二阶行列式与逆矩阵
二阶行列式与逆矩阵优秀教学设计
二阶行列式与逆矩阵【教学目标】了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵【教学重难点】1．掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵2．运用行列式求逆矩阵【教学过程】一、行列式与矩阵行列式：我们把a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦两边的“⎡⎤⎢⎥⎣⎦”改为“”，于是，我们把a bc d 称为二阶行列式，并称它为矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的行列式，它的结果是一个数值，记为||det()a b A A ad bc c d ===-。
计算方法：主对角线上两数之积减去副对角线上两数之积。
矩阵与行列式的区别：矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦表示一个数表，而行列式a b A c d =是一个数值。
二、利用行列式求逆矩阵设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，记||a b A ad bc c d ==-。
则 矩阵A 可逆的充要条件：||0a bA ad bc c d ==-≠。
当0A ≠时，1||||||||d b d b A A ad bc ad bc A c a c a A A ad bc ad bc --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 三、典例剖析设4112A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断A 是否是可逆矩阵，若可逆，求出1A -。
判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵（1） 1111A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2）101b B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （3）1111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦已知矩阵234b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可逆，求实数b 的范围。
四、课堂练习展开下列行列式，并化简（1）10937-- （2）121m m m m +++ （3）5779矩阵00a d 可逆的条件为 。
行列式(,,,{1,1,2})a ba b c d c d ∈-的所有可能值中，最大的是 。
若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵。
求二阶矩阵逆矩阵的方法
求二阶矩阵逆矩阵的方法
二阶矩阵的逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
这个过程可以通过求解线性方程组来完成。
本文将介绍求解二阶矩阵逆矩阵的两种方法：代数余子式法和伴随矩阵法。
1. 代数余子式法
代数余子式法是求解二阶矩阵逆矩阵比较简单实用的方法之一。
假设有一个二阶矩阵A=[a，b；c，d]，其行列式为：|A|=ad-bc。
若行列式|A|不等于0，则A可逆，其逆矩阵为：
A^-1 = 1/|A| ×
⎡d，-b⎤
⎣-c，a⎦
其中1/|A|为A的行列式的倒数。
若|A|=0，则A不可逆。
2. 伴随矩阵法
伴随矩阵法是通过矩阵的伴随矩阵求解矩阵逆的方法。
伴随矩阵是指将原矩阵的代数余子式转置后构成的矩阵，即
A* =
⎡d，-c⎤
⎣-b，a⎦
其中a，b，c，d为原矩阵的元素。
若原矩阵可逆，则其逆矩阵为：A^-1 = 1/|A| × A*
其中1/|A|为原矩阵的行列式的倒数。
总结：
以上就是求解二阶矩阵逆矩阵的两种方法，代数余子式法和伴随矩阵法。
对于二阶矩阵来说，两种方法都比较简单易懂，但对于高阶矩阵来说，伴随矩阵法更具有实用价值。
在求解矩阵逆时，一定要注意行列式是否为零。
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案新部编本2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案2教学目的熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法重点与难点重点：矩阵的逆 难点：矩阵的逆的概念教学内容一、概念的引入逆矩阵: 设A 是数域上的一个n 阶方阵，若在相同数域上存在另一个n 阶矩阵B ，使得: AB=BA=E 。
则我们称B 是A 的逆矩阵，而A 则被称为可逆矩阵。
定义1 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则说矩阵A是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。
A 的逆矩阵记为1-A.,, 的逆阵也一定是的逆阵时为当由定义知B A A B. ,, 212211B B I A B AB I A B AB =====∆则设唯一性 .. 111I A A AA A A ==---有的唯一的逆阵记为可逆阵定理1 若矩阵A 可逆，则0≠A证 A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故11==-E A A所以0≠A定理2 若0≠A ，则矩阵A 可逆，且*11A AA =-其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵证 由例1知：E A A A AA ==** 因0≠A ，故有E A A AA A A ==**11所以有逆矩阵的定义，既有*11A AA=-当A =0时，，A 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，由上面两定理可知：A 是可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
推论：若E AB =（或E BA =），则1-=A B证1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，于是111*)()(---=====AE A AB A B A A EB B 方程的逆矩阵满足下述运算规律①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111)(--=A A λλ③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---A B AB 证明 ()()()1111----=ABB A AB AB1-=AEA ,1E AA==-().111---=∴A B AB例2 求方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321.A 的逆矩阵解023********≠=⋅+⋅+⋅=A A A A ，知1-A 存在2.11=A6.21=A 4.31-=A3.12-=A 6.22-=A 532=A2.13=A 2.23=A 2.33-=A于是.A 的伴随矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222563462.*A所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-111253232311.*1A A A注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是1. 求矩阵.A 的行列式A ，判断.A 是否可逆；2. 若1.-A 存在，求.A 的伴随矩阵*.A ；3.利用公式*11A AA =-，求1.-A 三、逆矩阵的运算性质;1, 1. 1AA A -=则可逆若;)(, , 2.111A A A A -=--且也可逆则可逆若;)()(, 则 , 3.11T T T A A A A --=且也可逆可逆若证明：()()TTTA A AA 11--=ΘTE=,E =()().11TT A A--=∴().,,0,10kkAAE A A --==≠定义时当另外()为正整数k有为整数时当,,,0μλ≠A().λμμλA A =;1)( 0 4.11--=≠A kkA kA k A 也可逆，且，则可逆，数若 ;)( 5.111---=A B AB AB B A 且也可逆，为同阶可逆矩阵，则，若;)( ,,, 111211211----=A A A A A A A A s s s ΛΛΛ则为同阶可逆阵若Ⅴ.小结与提问小结：、逆矩阵及其求法、 提问：求逆矩阵应注意什么？。
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案新部编本3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案2教学目标1.了解行列式产生的背景；2.经历引入二阶行列式的过程；3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征．教学重难点二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组．教学过程典型例题例1 求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.(2009江苏卷) 解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩ 解得：1,2,2,3x z y w =-===-， 从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 或由逆矩阵知识a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则1db ad bc ad bc A ca ad bc ad bc --⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦直接可得答案．例2 已知曲线C ：1=xy将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程；解：由题设条件，0000cos 45sin 4522sin 45cos 45M ⎢⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，'2222:'Mx yx x xTy y yy⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎦⎦，即有'22'x x yy y⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')2'')2x x yy y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C的方程为22''2y x-=。
二阶逆矩阵的求法
对于一个二阶矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A 的逆矩阵，记作A^-1。
对于一个二阶矩阵，其逆矩阵的求法如下：
对于一个二阶矩阵A = [a b; c d]，首先计算A的行列式D，即D = ad - bc。
如果D≠0，则矩阵A可逆，逆矩阵A^-1 = 1/D ×[d -b; -c a]。
如果D=0，则矩阵A不可逆，称为奇异矩阵。
因此，对于一个二阶矩阵A，只有当其行列式D≠0时，才存在逆矩阵。
如果行列式D=0，则矩阵A不可逆。
需要注意的是，在计算逆矩阵时，需要保证矩阵A是一个可逆矩阵，即其行列式不为0。
此外，对于高阶矩阵，逆矩阵的求解方法比较复杂，通常需要使用高等数学中的行列式、伴随矩阵等概念和方法进行求解。
矩阵的逆矩阵与行列式计算
矩阵的逆矩阵与行列式计算矩阵是线性代数中的一项重要概念，它在各种领域中都有广泛的应用。
矩阵的逆矩阵和行列式是矩阵理论中的两个关键概念，本文将介绍逆矩阵和行列式的计算方法及其重要性。
一、逆矩阵逆矩阵是矩阵理论中非常重要的一个概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I表示单位阵），那么我们称B为A的逆矩阵，记作A的倒数。
对于可逆矩阵A，它的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的计算方法如下：设A为一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则B为A的逆矩阵。
求矩阵A的逆矩阵的方法有多种，以下是其中两个常用的方法：1. 初等行变换法通过利用矩阵初等行变换，将矩阵A变换成一个特殊形式，然后通过初等行变换得到B，使得AB=I。
具体步骤如下：a) 取A和单位阵I并排组成一个增广矩阵[A|I]；b) 对[A|I]做行变换，将矩阵A变换为n阶单位矩阵；c) 当[A|I]变为[I|B]时，B就是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法通过伴随矩阵的概念，求解矩阵A的逆矩阵。
设A为n阶方阵，A 的伴随矩阵记作Adj(A)，则A的逆矩阵B的表达式如下：B = (1/det(A)) * Adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式，Adj(A)表示A的伴随矩阵。
二、行列式行列式是矩阵理论中用于刻画矩阵性质的一种特殊函数。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其计算方法如下：1. 二阶方阵的行列式计算：A = [[a, b], [c, d]]det(A) = ad - bc2. 三阶方阵的行列式计算：A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh对于高阶方阵，通常使用行列式的性质和展开定理来计算。
行列式的计算过程相对繁琐，但是具有重要的应用价值。
行列式的性质有如下几个：a) 互换行列式的两行，行列式改变符号；b) 行列式某一行的公因子可以提到行列式的外面；c) 若行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为0；d) 行列式的某一行（列）可以表示成其他行（列）的线性组合。
二阶行列式与逆矩阵
二阶行列式与逆矩阵教学目标1. 了解行列式的概念；2.会用二阶行列式求逆矩阵。
教学重点及难点 用行列式求逆矩阵。
教学过程 一、复习引入 （1）逆矩阵的概念。
（2）逆矩阵的性质。
二、新课讲解. 例1 设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。
例2设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。
思考：对于一般的二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c ，是否有：当0≠-bc ad 时，A 可逆；当0=-bc ad 时，A 不可逆？结论：如果矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 是可逆的，则0≠-bc ad 。
表达式bcad -称为二阶行列式，记作cadb ，即cadb =bc ad -。
ad bc -也称为行列式a b c d的展开式。
符号记为：detA或|A|① 反之，当≠-bc ad 时，有⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c =⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c ⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆，当且仅当0≠-bc ad 。
当矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆时，1-A =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -。
1.计算二阶行列式： ①3142②2213λλ--2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。
①A ＝0110⎛⎫⎪-⎝⎭②B ＝1100⎛⎫⎪⎝⎭三、课堂小结1.矩阵是否可逆与其行列式的值的关系，2.逆矩阵的又一种求法。
二阶矩阵求逆矩阵口诀
二阶矩阵求逆矩阵口诀
二阶矩阵求逆矩阵是数学中常见的一种运算，可以用于解线性方程组等问题。
下面我将介绍二阶矩阵求逆矩阵的口诀。
首先，假设有一个二阶矩阵A，表示为：
A = | a b |
| c d |
求其逆矩阵A的口诀如下：
1. 计算矩阵A的行列式D，D = ad - bc。
2. 如果D等于零，则矩阵A没有逆矩阵。
3. 如果D不等于零，则矩阵A存在逆矩阵。
4. 计算矩阵A的伴随矩阵，AdjA，即将A的元素对应位置的代数余子式构成的矩阵。
AdjA = | d -b |
| -c a |
5. 计算矩阵A的逆矩阵A^-1，A^-1 = (1/D) * AdjA。
6. 将伴随矩阵AdjA中的元素除以行列式D，即可得到矩阵A的逆矩阵A^-1。
通过以上步骤，我们可以求得二阶矩阵A的逆矩阵A^-1。
这个口诀可以帮助我们更快地求解二阶矩阵的逆矩阵，提高数学运算的效率。
希望这篇文章能对你有所帮助。
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二阶行列式与逆矩阵 课件
b
d
det a
det
A A
, 满足
det A c
det A
10
0 1
.
b
det A a
det A
a c
b d
a c
b d
d
det A c
det A
b
det A
a det
A
二阶矩阵A
a c
b d
可逆，当且仅当det
A
ad
bc
0.
当矩阵A
a c
b d
可逆时，A-1
d
det A c
det A
ab ad bc.
cd
a c
b d
也称为二阶矩阵A
a c
b d
的行列式，记为det
A或
A
.
当det A ad bc 0时，对上面的方程组
ax cy 1, 3 bx dy 0, 4 au cv 0, 5 bu dv 1.6
(ad bc)x d,
利用加减消元得((aadd
b
det a
det
A A
.
例3 计算下列二阶行列式：
1 3 1；
42
2 - 2
2 .
1 -3
解：（1）原式 3 2 -1 4 2；
（2）原式 ( 2)( 3) 21 2 5 4.
例4 判断下列二阶矩阵是否可逆.若可逆，求出逆矩阵.
(1)
A
0 1
1 0
;
(2)B
1 0
10 .
12
3 4
3 4
1 2
2
，我们找到了矩阵B
12
二阶求逆矩阵的方法
二阶求逆矩阵的方法求一个矩阵的逆矩阵，就是找到一个与之相乘后得到单位矩阵的矩阵。
在线性代数中，一个n阶矩阵A的逆矩阵通常用A的倒数符号A^(-1)表示。
首先，对于一个矩阵A，我们可以用以下的方式来求它的逆矩阵。
找到A的伴随矩阵Adj(A)。
计算矩阵A的行列式det(A)。
如果行列式det(A)不等于0，则A存在逆矩阵，即A是可逆的。
使用A^(-1) = Adj(A) / det(A)来得到A的逆矩阵。
接下来，我们将详细介绍两种常见的二阶矩阵求逆的方法：代数方法和几何方法。
代数方法：对于一个二阶矩阵A=[[a,b],[c,d]]，我们可以通过以下的步骤来计算它的逆矩阵。
1. 计算矩阵的行列式det(A) = ad - bc。
如果det(A)不等于0，则A存在逆矩阵。
2. 交换a和d的位置，并将b和c变为负数得到矩阵A的伴随矩阵Adj(A) = [[d, -b], [-c, a]]。
3. 将Adj(A)中的每个元素除以det(A)得到A的逆矩阵A^(-1) = [[d/det(A), -b/det(A)], [-c/det(A), a/det(A)]]。
几何方法：对于一个二阶矩阵A=[[a,b],[c,d]]，我们可以通过几何方法来计算它的逆矩阵。
1.将矩阵A表示为一个线性变换T，其中T的输入是二维平面中的向量，输出是经过线性变换后的向量。
2. 如果行列式det(A)不等于0，则线性变换T是一个保持面积的变换，即它不会改变平面上任何区域的面积。
3. 反之，如果行列式det(A)等于0，则线性变换T会将平面上的一些区域压缩到一个线性子空间中，失去了可逆性。
4. 当行列式det(A)不等于0时，矩阵A的逆矩阵A^(-1)对应于线性变换T的逆变换，可以将经过T变换后的向量还原到原来的位置。
总结：。
二阶矩阵逆矩阵公式
二阶矩阵逆矩阵公式
我们要找出一个二阶矩阵的逆矩阵的公式。
首先，我们需要了解什么是逆矩阵。
一个矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)，是一个满足以下条件的矩阵：
A × A^(-1) = E，其中E是单位矩阵。
对于二阶矩阵，我们可以使用以下公式来计算其逆矩阵：
设二阶矩阵为：
a b
c d
其逆矩阵为：
d -b
-c a
这个公式是如何得来的呢？
我们知道，对于一个2x2矩阵，其逆矩阵可以通过以下公式计算：
A^(-1) = 1/(行列式(A)) adj(A)，其中adj(A)是A的伴随矩阵。
对于2阶矩阵，其伴随矩阵就是将原矩阵主对角线上的元素变为对应的代数余子式。
而二阶矩阵的行列式值就是ad - bc。
所以，我们可以得到上述公式。
所以，二阶矩阵的逆矩阵公式为：
d/(ad - bc) -b/(ad - bc)
-c/(ad - bc) a/(ad - bc)。
《2.1.2 逆矩阵的性质》教案2
《2.1.2 逆矩阵的性质》教案2教学目标1. 了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法；2. 掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件并运用行列式求逆矩阵教学重点二阶行列式的定义，存在可逆矩阵的充要条件教学难点熟练掌握求逆矩阵的方法。
教学过程1. 二阶行列式的概念 如果矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆的，则ad bc -≠0. 其中ab cd -称为二阶行列式，记作a b c d，即a b c d＝ad bc -，ad bc -也称为行列式a b c d的展开式。
符号记为：detA 或|A|注意：ad bc -为主对角线上两数之积减去副对角线上两数之积2. 可逆矩阵的充要条件 定理：二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时 1det det det det db A A Ac a A A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭与此相反，若detA=ad bc -=0，则二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭不存在逆矩阵。
3.二阶矩阵和二阶行列式的区别：二阶矩阵是一个数表，而二阶行列式是一个数。
例题分析例题1 矩阵A ＝3142⎛⎫⎪⎝⎭，求|A|。
思路分析：根据二阶行列式概念求得。
答案：|A|＝313214242=⨯-⨯=例题2判断矩阵1627⎛⎫=⎪⎝⎭M 是否存在逆矩阵，若存在，求出它的逆矩阵，并利用定义验证 思路分析：根据可逆矩阵的充要条件判断可逆矩阵的存在，再利用二阶行列式求解。
答案：判断矩阵1627⎛⎫= ⎪⎝⎭M 的行列式1617625027=⨯-⨯=-≠所以矩阵M 存在逆矩阵-1M ,且17676555521215555--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪--==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M验证：176161055E 27210155-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭MM 176161055E 21270155-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭M M 技巧点拨：求解该类问题属程序化知识，需要牢记行列式。
矩阵的行列式与逆矩阵的求解
矩阵的行列式与逆矩阵的求解行列式与逆矩阵是矩阵理论中重要的概念和运算方法。
它们在线性代数和数学分析等领域中有广泛的应用。
本文将从基本概念、求解方法和应用举例等方面来探讨矩阵的行列式与逆矩阵的求解。
一、行列式的基本概念行列式是一个与矩阵相关的标量值，可以用来衡量矩阵的特征和性质。
行列式的计算公式是将矩阵的元素按照一定规律排列，然后根据所属行或列的位置，通过交叉相乘再相加的方式得到最终结果。
二、行列式的求解方法1. 二阶和三阶矩阵的行列式求解方法对于二阶矩阵的行列式，直接按照公式计算即可。
而对于三阶矩阵来说，行列式的求解需要利用“对角线法则”，即主对角线上的元素与副对角线上的元素进行运算。
2. n阶矩阵的行列式求解方法对于高阶矩阵，行列式的求解过程相对复杂。
常用的方法有代数余子式法和高斯消元法。
代数余子式法通过递归的方式将高阶行列式转化为低阶行列式的求解问题。
而高斯消元法则通过初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，从而简化行列式的计算过程。
三、逆矩阵的基本概念逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它表示与原矩阵相乘后会得到单位矩阵。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I表示n阶单位矩阵，则称B为A的逆矩阵，记作A^{-1}。
四、逆矩阵的求解方法1. 二阶矩阵的逆矩阵求解方法对于二阶矩阵A，如果其行列式不等于0，则可以通过公式求解逆矩阵。
即A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}其中a,b,c,d分别为矩阵A的各个元素。
2. n阶矩阵的逆矩阵求解方法对于n阶矩阵A，如果其行列式不等于0，则可以通过伴随矩阵法求解逆矩阵。
伴随矩阵的求解过程是先求解A的代数余子式，再进行转置得到伴随矩阵。
最后，将伴随矩阵的每个元素除以矩阵A的行列式即可得到逆矩阵。
五、行列式与逆矩阵的应用举例1. 线性方程组的求解通过矩阵的行列式和逆矩阵，可以很方便地求解线性方程组。
求二阶矩阵逆矩阵的方法
求二阶矩阵逆矩阵的方法矩阵的逆矩阵是指对于一个给定的矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
二阶矩阵是指矩阵有2行2列的形式。
求解二阶矩阵的逆矩阵有多种方法，下面将介绍三种常见的方法：代数方法、几何方法和公式法。
在这些方法中，将详细说明二阶矩阵逆矩阵的求解步骤和原理。
1.代数方法：根据矩阵逆矩阵的定义，求解二阶矩阵的逆矩阵可以通过代数方法进行，即使用行列式和伴随矩阵的运算来求解。
首先，给定一个二阶矩阵A=[ab;cd]，求解其逆矩阵。
a. 计算矩阵A的行列式D = ad - bc。
b.如果D≠0，则矩阵A存在逆矩阵。
c.进一步，计算矩阵A的伴随矩阵[A*]，其中[A*]的元素为矩阵A的余子式，即[A*]=[d-b;-ca]。
d.最后，求解逆矩阵A^-1=[A*]/D，即将[A*]中的每个元素除以D。
2.几何方法：几何方法是通过向量的几何解释来求解二阶矩阵的逆矩阵。
对于一个二阶矩阵A，它的逆矩阵A^-1可以被理解为表示坐标点的线性变换的逆变换。
a.首先，将二阶矩阵A视为线性变换矩阵，它将一个二维向量变换为另一个二维向量。
b.然后，找到一个二维向量v，使得Av=I，其中I是单位矩阵。
这样的向量v可以被视为表示逆变换的向量。
c.最后，将向量v视为矩阵A的逆矩阵A^-13.公式法：公式法是通过使用特定的公式来求解二阶矩阵的逆矩阵，这个公式是针对二阶矩阵的特性进行推导得到的。
a. 首先，给定一个二阶矩阵A = [a b; c d]，计算其行列式D = ad - bc。
b.利用公式，求解逆矩阵A^-1=(1/D)*[d-b;-ca]。
以上三种方法是求解二阶矩阵逆矩阵的常见方法，它们都能够得到相同的逆矩阵结果。
但是，在实际计算中，通常会根据具体问题的特点和计算的方便性选取合适的方法来求解二阶矩阵的逆矩阵。
需要注意的是，在代数方法中，如果矩阵A的行列式D等于0，那么矩阵A不存在逆矩阵。
这是因为行列式D为0意味着矩阵A的行向量或列向量线性相关，无法表示一个一对一的线性变换。
二阶矩阵求逆的快速方法
二阶矩阵求逆的快速方法二阶矩阵求逆是线性代数中的基本问题之一。
在实际应用中，我们经常需要计算一个二阶矩阵的逆矩阵。
本文将介绍一种快速求解二阶矩阵逆的方法。
我们需要明确什么是二阶矩阵的逆。
一个二阶矩阵A的逆矩阵记作A^-1，满足以下条件：A * A^-1 = A^-1 * A = I，其中I是单位矩阵。
换句话说，矩阵A的逆矩阵与A相乘结果为单位矩阵。
对于一个二阶矩阵A = [a b; c d]，我们可以通过以下公式求解其逆矩阵A^-1：A^-1 = (1 / det(A)) * [d -b; -c a]其中det(A)表示矩阵A的行列式，即det(A) = ad - bc。
接下来，我们来看一下快速求解二阶矩阵逆的方法。
这个方法基于矩阵的性质，可以大大简化计算过程。
我们计算矩阵A的行列式det(A) = ad - bc。
如果det(A)等于0，说明矩阵A没有逆矩阵。
在这种情况下，我们无法继续计算。
如果det(A)不等于0，我们可以继续计算逆矩阵。
根据上述公式，我们可以得到逆矩阵A^-1 = (1 / det(A)) * [d -b; -c a]。
通过这个公式，我们只需要计算矩阵A的行列式det(A)和一些简单的乘法和除法，就可以得到逆矩阵A^-1。
下面，我们通过一个具体的例子来演示这个快速求解二阶矩阵逆的方法。
假设我们要求解矩阵A = [2 3; 1 4]的逆矩阵。
我们计算矩阵A的行列式det(A) = 2 * 4 - 3 * 1 = 8 - 3 = 5。
由于det(A)不等于0，我们可以继续计算逆矩阵。
根据上述公式，我们有A^-1 = (1 / det(A)) * [4 -3; -1 2]。
将det(A)代入公式，我们得到A^-1 = (1 / 5) * [4 -3; -1 2] = [4/5 -3/5; -1/5 2/5]。
因此，矩阵A = [2 3; 1 4]的逆矩阵为A^-1 = [4/5 -3/5; -1/5 2/5]。
二阶行列式与逆矩阵
x y
.
0
1
该方程组有解,由①×④-②×③,得
(ax+cy)(bu+dv)-(bx+dy)(au+cv)=1,
即 adxv+bcyu-aduy-bcxv=1,
∴ad(xv-uy)-bc(xv-uy)=1.
∴(ad-bc)(xv-uy)=1 成立.∴ad-bc≠0.
由①×b-②×a,得(bc-ad)y=b,
-
det
det
.
∴当 ad-bc≠0,即 ≠0 时,A 存在逆矩阵 A-1=
det
-
det
-
det
det
.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型四
行列式的计算
【例 1】 计算下列行列式:(1)
3
-1
2
5
;
(2) 7 -9 .
8 4
分析:根据行列式的定义,把对角线上的数相乘再相减即可.
1
-2
-2
-5
6
17
10
-5
4
5
.
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:把矩阵 A 的逆矩阵求错了,应该是 A-1=
-1
-10
-4
-10
-3
-10
-2
-10
1
10
3
10
=
2
5
1
5
, 因而计算时不要用错公式.
4
-2
正解:设 A=
,
3
∵detA=
-2
3
-1
4
= 2 − 12 = −10≠0,
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案1
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案1教学目标设计1.了解行列式产生的背景；2.经历引入二阶行列式的过程；3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征．教学重点及难点二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组．教学流程设计教学过程一、介绍背景行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念．德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商“ba”、比“a:b”、相似“∽”、全等“≌”、并“ ”、交“ ”等，最有名的要算积分和微分符号了．[说明]教师、学生课前收集有关资料，在授新课前（由学生或老师）作简单介绍，这是数学文化的一种渗透．二、学习新课1、二阶行列式的引入设二元一次方程组（*）⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a（其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．）用加减消元法解方程组（*）当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a21b b 表示算式1221b a b a -，即21a a21b b 1221b a b a -=．从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等．记=D 21a a21b b ，=x D 21c c21b b ，=y D 21a a21c c ，则当=D 21a a21b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x y x． 2、例题分析例1：展开并化简下列行列式：（1）85 21 （2）81 25 （3）θθsin cos θθc o ss i n - （4）11-a112++-a a点评：①正确运用对角线法则展开；②由（1）（2）可知，行列式中元素的位置是不能随意改变的．例2：用行列式解下列二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧-=+=+61548115y x y x（2）⎩⎨⎧=-+=--012053y x y x[说明] ①当所给方程组的形式不是方程组（*）的形式时，应先化为方程组（*）的形式，才能得到正确的x D 和y D ；②注意到这两个方程组的系数行列式的值均不为零． 3、问题拓展①二阶行列式展开的逆向使用的问题；如：算式ac b 42-可用怎样的二阶行列式来表示等． ②二阶行列式的值为零时，行列式中的元素有何特征？③举例说明，当二元一次方程组的系数行列式的值为零时，方程组的解会有怎样的可能？ [说明]问题拓展围绕教学内容（知识点）的基础上进行；同时为下一教学课时作准备． 例3：将下列代数式写成二阶行列式形式：2222(1)(2)1(3)1sin cos (4)x y x y xyz abc θθ---++例4：求函数2()21x x f x x -=-+的最值。
二阶矩阵求逆矩阵的简便方法
二阶矩阵求逆矩阵的简便方法求一个二阶矩阵的逆矩阵的方法较为简便，可以通过计算矩阵的伴随矩阵来得到。
伴随矩阵是一个与原矩阵维度相同，对角线元素互换，非对角线元素取负的矩阵。
设有一个二阶矩阵A，可以表示为：A = [[a, b],[c, d]]首先，计算矩阵A的行列式值D，公式为D = ad - bc。
根据行列式的值，可以判断该矩阵是否可逆，若D不等于0，则矩阵可逆；若D等于0，则矩阵不可逆。
接下来，计算伴随矩阵Adj(A)，公式为：Adj(A) = [[d, -b],[-c, a]]最后，计算逆矩阵A^-1，公式为：A^-1 = (1/D) * Adj(A)即A^-1 = (1/D) * [[d, -b],[-c, a]]这样，就求得了二阶矩阵的逆矩阵。
下面是一个例子来说明具体的计算过程：假设有一个二阶矩阵A：A = [[1, 2],[3, 4]]首先，计算行列式值D：D = (1*4) - (2*3) = 4 - 6 = -2由于D不等于0，所以矩阵A是可逆的。
接下来，计算伴随矩阵Adj(A)：Adj(A) = [[4, -2],[-3, 1]]最后，计算逆矩阵A^-1：A^-1 = (1/-2) * [[4, -2],[-3, 1]]将分数化简：A^-1 = [[-2, 1],[3/2, -1/2]]所以，对于矩阵A = [[1, 2],[3, 4]]，其逆矩阵为A^-1 = [[-2, 1],[3/2, -1/2]]。
这种方法适用于任意二阶矩阵的求逆计算，简单易行。
但需要注意的是，在高维矩阵（例如三阶及以上）中，这种方法变得比较复杂，通常需要使用更复杂的方法，如初等变换、高斯消元等来求解逆矩阵。
选修42第四章逆变换与逆矩阵3二阶行列式与逆矩阵
选修42第四章逆变换与逆矩阵3二阶行列式与逆矩阵测试题 2019.91,设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ,求8A 及4A2,取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证 DC BA D CB A ≠.3,设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ,B A AB 2+=,求B .4,利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x5,二阶行列式的运算结果为6,已知二项分布满足X ～B （6，32），则P(X=2)= ，EX= 。
7,设随机试验的结果只有A 与，,令随机变量 ，则的期望为 8,在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为 ．3546A ()P A P =10ξ⎧=⎨⎩AA ξa 1111ABCD A B C D -1BA AC9,已知关于面的对称点为，而关于轴的对称点为，则10,已知，则的最小值是测试题答案1, 解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ， 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A . 则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A .故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A . 1682818281810===A A A A A .⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A OO A A2, 检验:=DC B A =--1010010110100101101001010200002--410012002==而01111==D C B A , 故DC B AD C B A ≠3, 解 由B A AB 2+=可得A B E A =-)2(故A E AB 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3210113301210113321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011321330 (121)A -，，xOy B B x C BC =(11)(2)t t t t t =--=，，，，，a b -b a4, 解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x 故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x5, -26, 47, 1-p 8,9,20,243120°(042)--，，。
二阶矩阵逆矩阵的简便方法
二阶矩阵逆矩阵的简便方法
既然已经知道二阶矩阵的逆矩阵可以用于矩阵求解以及数值分析计算，那么要求解二阶矩阵逆矩阵最简便的方法是什么？
首先要了解二阶矩阵，二阶矩阵指的是将实数构成的矩阵分解为两个一维的矩阵的组合形式，其行列式为二阶的多项式。
它可以表示一对线性方程组的解，也可以表示两个一维空间上各向量之间的乘积。
二阶矩阵的逆矩阵，即矩阵的乘积关系加以逆操作变换成乘除式的结果。
如果要求解二阶矩阵逆矩阵，最简便的方法就是使用其特征值，也就是通过求解二阶矩阵行列式的系数值，可以确定矩阵特征值，由特征值反推出二阶矩阵的逆矩阵。
因此，求解二阶矩阵逆矩阵最简便的方法就是要先求解二阶矩阵行列式的系数值，然后根据特征值反推出二阶矩阵的逆矩阵。
其次，还可以利用矩阵的可逆性，即二阶矩阵的行列式的系数与特征值皆不为零，其反矩阵可以得出。
要求解可逆二阶矩阵可以用简易的计算方法，让行列式的值为1即可，注意乘以一定的常数使矩阵行列式的值满足要求；然后只需要利用可逆性，将每一行中数项乘以行列式的值后又除以行列式值，即可求出反矩阵。
最后，十字交叉乘法也能求解二阶矩阵的逆矩阵。
这种方法是先用计算出一个单位矩阵的值，然后乘以原始矩阵形成的新矩阵，最后再用十字交叉乘法将其分解开，即可求出一个新的可逆矩阵，这个矩阵就是即原始矩阵的逆矩阵。
总之，要求解二阶矩阵逆矩阵最简便的方法就是使用它的特征值、矩阵的可逆性以及十字交叉乘法，以上方法各自有其独特的优势，可以根据实际情况取胜，由此求解出二阶矩阵的逆矩阵。
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Hale Waihona Puke 修4－2 矩阵与变换如果矩阵A=
a b
c
d
是可逆的，
则 ad bc 0 。
表达式 ad bc 称为二阶行列式，
记作 a b cd
，即 a c
b d
= ad bc 。
ad bc 也称为行列式 a b 的展开式。 cd
符号记为：detA或|A|
2019年12月27日星期五
(AB)-1=B-1A-1
2019年12月27日星期五
建构数学
选修4－2 矩阵与变换
例1
设A=
3 4
1 2
，问A是否可逆？如果可逆，
求其逆矩阵。
2019年12月27日星期五
建构数学
选修4－2 矩阵与变换
例2
设A=
3 4
1 2
，问A是否可逆？如果
可逆，求其逆矩阵。
2019年12月27日星期五
选修4－2 矩阵与变换
定理：二阶矩阵A=
a b
c
d
可逆，
当且仅当ad bc 0 。
当矩阵A=
a b
c
d
可逆时，
。
d
A = 1
detA
c
det A
-b
detA
a
detA
。
2019年12月27日星期五
知识应用
选修4－2 矩阵与变换
全国名校高中数学选修系列优质学案汇编（附详解）
二阶行列式 与逆矩阵
复习：
选修4－2 矩阵与变换
1.对于一个二阶矩阵A,如果存在一个二阶矩阵B，使得
AB=BA= E2 ，则称矩阵A可逆。 2.设A 是二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵 是唯一的.
3.若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩 阵,且
1.计算二阶行列式：
①3 1 42
② 2 2 1 3
2019年12月27日星期五
知识应用
选修4－2 矩阵与变换
2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可 逆，求出逆矩阵。
①A＝
0 1
1
0
②B＝
1 0
1
0
2019年12月27日星期五