第四讲矩阵的运算和逆矩阵
应用高等数学-4.2.3 可逆矩阵与逆矩阵
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
小结
1. 可逆矩阵与逆矩阵的概念 2. 逆矩阵的性质 3. 利用初等行变换求逆矩阵的步骤
课堂练习
练习题4.2
练习册 第4章 练习四
思考题
3 0 0
1.
设A
0
1
0
,
则An
0 0 4
2.已知A3 E,则A1
3. 若n阶矩阵A满足方程A2 2A 3E 0,则 A1
答案
3n 0 0 1. 0 1 0 .
3 2 12 1
5 2 1 2 . 1
注意: 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换， 其间不能作任何列变换．
练习1
1 2 3
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
解：
1 2 3 1 0 0
A
E
2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
－2 －3
1 2 3 1 0 0
0
2
5
2
1
0
0 2 6 3 0 1
0
1
1
1
-2
0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 2
0
2
0
1
1
0 0 1 0 1
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵矩阵的变换与运算：矩阵的乘法与逆矩阵矩阵在数学中扮演着重要的角色，它可以用于描述线性变换或者表示线性系统的方程组。
本文将讨论矩阵的变换与运算，重点介绍矩阵的乘法与逆矩阵两个关键概念。
一、矩阵的乘法（Matrix Multiplication）矩阵的乘法是矩阵运算中的一种基本运算，表示为A * B，其中A 和B分别为两个矩阵。
在进行矩阵乘法时，需要满足乘法的条件：A 矩阵的列数等于B矩阵的行数。
矩阵乘法的计算方法是将A矩阵的每一行与B矩阵的每一列进行内积运算，并将结果填入一个新的矩阵C中。
具体计算过程如下：C[i][j] = A[i][1]*B[1][j] + A[i][2]*B[2][j] + ... + A[i][n]*B[n][j]其中，C[i][j]表示矩阵C中第i行第j列的元素，A[i][k]表示矩阵A 中第i行第k列的元素，B[k][j]表示矩阵B中第k行第j列的元素。
矩阵乘法的重要性在于可以描述线性变换的复合效果，同时也有利于解决线性方程组。
在实际应用中，矩阵乘法广泛运用于计算机图形学、信号处理、最优化等领域。
二、逆矩阵（Inverse Matrix）逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A * B = B * A = I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵的存在与否与矩阵的行列式密切相关。
判断矩阵A是否可逆的条件是行列式不等于零，即|A| ≠ 0。
若矩阵A可逆，则可以通过一系列行变换将其转化为单位矩阵，对应的变换矩阵为逆矩阵。
逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵法或者初等行变换法。
例如，对于一个2x2的矩阵A：A = [a b][c d]若|A| ≠ 0，即ad - bc ≠ 0，则A的逆矩阵存在，并可表示为：A^-1 = 1/(ad - bc) * [d -b][-c a]逆矩阵的应用广泛，例如求解线性方程组、计算矩阵的行列式与秩、求解微分方程等。
三、矩阵的变换（Matrix Transformation）矩阵的变换是指通过矩阵的乘法，对向量进行线性变换。
矩阵的行列式与逆矩阵
矩阵的行列式与逆矩阵现代数学中，矩阵是一种非常重要的数学工具，广泛用于线性代数、微积分、概率论等领域。
矩阵的两个重要性质是行列式和逆矩阵。
本文将重点探讨矩阵的行列式和逆矩阵，并解释它们的概念、计算方法以及应用场景。
一、矩阵的行列式矩阵的行列式是一个数值，可以通过矩阵中元素的运算得到。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，计算方式如下：|A| = a11·A11 + a12·A12 + a13·A13 + ... + a1n·A1n，其中a11、a12、a13等表示矩阵A第一行各元素的值，A11、A12、A13等表示对应元素的代数余子式。
行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（或两列）的符号变号；2. 如果矩阵中有一行（或一列）全为0，那么行列式的值为0；3. 如果矩阵中的两行（或两列）相同，那么行列式的值为0；4. 若矩阵中某一行（或一列）的元素都是两数之和，则可将该行（或列）按元素分开计算，得到的两行（或列）的行列式与原矩阵的行列式相等。
行列式在线性代数中有广泛应用，例如：a. 计算矩阵的逆矩阵时，需要先计算矩阵的行列式，若行列式为0，则矩阵不存在逆矩阵；b. 判断矩阵是否可逆时，可以通过行列式是否为0来判断；c. 计算二次型的矩阵时，常常需要用到行列式。
二、矩阵的逆矩阵逆矩阵是指对于一个矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵I（AB=BA=I）。
如果一个矩阵存在逆矩阵，那么称之为可逆矩阵或非奇异矩阵。
计算方法如下：1. 对于一个2阶方阵A，如果其行列式不为0，那么逆矩阵存在。
假设A的行列式为|A|，则A的逆矩阵记作A^-1，可通过以下公式计算： A^-1 = (1 / |A|) * (a22 -a12, -a21, a11)。
2. 对于一个n(n≥3)阶方阵A，如果其行列式不为0，逆矩阵存在。
逆矩阵的计算可以通过伴随矩阵进行，即将A的每个元素转置并求代数余子式所构成的矩阵C，再将矩阵C转置并除以A的行列式，得到A的逆矩阵。
高中数学第4课时二阶行列式与逆矩阵课时逆矩阵与二元一次方程组教案新人教A版选修4_22
第四讲 二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组一.二阶行列式与逆矩阵【概念】如果矩阵A ＝a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭是可逆的，则ad bc -≠0. 其中ab cd -称为二阶行列式，记作a bc d ，即a bc d ＝ad bc -，ad bc -也称为行列式a bc d 的展开式。
符号记为：detA 或|A|【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时1det det det det d b A A A c a A A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭（请同学一起证明此定理）【应用】1.计算二阶行列式： ①3142②2213λλ-- 2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。
①A ＝0110⎛⎫⎪-⎝⎭②B ＝1100⎛⎫ ⎪⎝⎭【练习：P 55】二、二元一次方程组的矩阵形式1.二元一次方程组的矩阵形式一般的，方程组ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩可写成矩阵形式为： 2. 二元一次方程组的线性变换意义 设变换ρ：a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则方程组ax by e cx dy f+=⎧⎨+=⎩，意即：ρx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、逆矩阵与二元一次方程组1.研究方程组：13221122x y x y -=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩的矩阵形式与逆矩阵的关系。
【定理】如果关于x,y 的二元一次方程组ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭是可逆的，则该方程组有唯一解：x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a b c d -⎛⎫ ⎪⎝⎭e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【推论】关于x,y 的二元一次方程组00ax by cx dy +=⎧⎨+=⎩（a,b,c,d,均不为0），有非零解⇔a b c d ＝0【应用】1.用逆矩阵解二元一次方程组32420x y x y +=⎧⎨+=⎩ 【思考】课本60页思考 ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭不可逆，方程组的解如何？ 【练习：P 61】【应用】1.λ为何值时，二元一次方程组a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝λx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭有非零解？ 三、三阶矩阵与三阶行列式1.三阶矩阵的形式2.三阶行列式的运算【第四讲.作业】1.矩阵A ＝3142⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|A|=2.矩阵A ＝21510x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若A 是不可逆的，则x= 3. 1234⎛⎫ ⎪-⎝⎭的逆矩阵为 4. A ＝1031⎛⎫ ⎪-⎝⎭，B ＝1201-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1()AB -＝5. A ＝312x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，31α⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若A 不可逆，则A α＝ 6.若关于x,y 的二元一次方程组304110x my x y +=⎧⎨-=⎩有非零解，则m ＝7.设二元一次方程组224m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭没有非零解，则m 所有值的集合为 8.向量α在旋转变换60o R 的作用下变为13-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则向量α＝9. 若1301⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则x+y ＝ 10. A ＝3110-⎛⎫⎪⎝⎭，B ＝3201-⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量α满足1()AB α-＝31⎛⎫ ⎪⎝⎭，则向量α＝11.用逆矩阵的方法解方程组：①71130x y x y -=⎧⎨+=⎩ ②301240x y x y -=⎧⎨-=⎩12.求下列未知的二阶矩阵X ：①12323111X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ②12323111X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭13.当λ为何值时，二元一次方程组2213⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝λx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭有非零解？14.设A ＝1211⎛⎫ ⎪-⎝⎭，矩阵B 满足1ABA -＝3012⎛⎫ ⎪⎝⎭，求矩阵B.答案：1.22. 3.2155311010⎛⎫-⎪⎪⎪⎪⎝⎭4.7231-⎛⎫⎪-⎝⎭5.155⎛⎫⎪⎝⎭6.-33/47.32m≠-8.12⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭9.－310.3⎛⎫⎪⎝⎭11.11,66x y==-x=k,y=3k 12.147710577⎛⎫⎪⎪⎪--⎪⎝⎭、38774177⎛⎫- ⎪⎪⎪--⎪⎝⎭13.1或4 14.523321033⎛⎫-⎪⎪⎪⎪⎝⎭中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2,, m; j 1,2,, n k 1
a1, a2 ,
bn n1
b1a1 b1a2 b1an
, an
1n
b2a1
bna1
b2a2
bna2
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的
分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉
的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：
3. 对于两个 n 阶矩阵，一般
ABk Ak B k . AB2 ABAB A2 B2
如
A
2 3
46,
B
2 1
42,
AB 00
00,
AB2
0 0
0 0
;
A2 128
16 24
,
B2
8 4
016,
A2 B 2
0 0
128 192
.
线性代数 第二章 矩阵及其运算
11
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
注4：方阵A的多项式定义：已知f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 则对应A的多项式为：f ( A) a0E a1 A a2 A2 an An;请看下例：
矩阵的乘法及求逆运算 最终版
(1)
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
记
a11
A
a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a33
,
x1
x
x2 x3
,
b1
b
b2 b3
则方程组(1)可表示为 Ax b.
二.矩阵的求逆
一、逆矩阵的概念 二、方阵可逆的判别定理 三、逆矩阵的基本性质 四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
0
1
5
逆矩阵求解方法七——恒等变形
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其
逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒 等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。
1
3
例 . 已知 A6 I，求 A11，其中 A 2
2
3 1
x1i
Xi
x2i
x3i
解得：
（i 1, 2,3）
1 3 2
A1
X
3
3
5
2
2
0 11 1
逆矩阵求解方法六——准对角矩阵
A11 0 L
定义：形如A
0
A22 L
L L L
0
0L
A称为准对角矩阵
0
0
0
1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0
0
0
1
矩阵运算中的转置与逆矩阵
矩阵运算中的转置与逆矩阵矩阵是线性代数中重要的概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
在矩阵运算中，转置和逆矩阵是两个常见且重要的操作。
本文将详细介绍矩阵的转置和逆矩阵的概念、性质以及计算方法。
一、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵A，其转置记作A^T，即A的第i行第j列元素变为A^T的第j行第i列元素。
矩阵转置的性质如下：1. (A^T)^T = A，即矩阵进行两次转置后得到原矩阵。
2. (A + B)^T = A^T + B^T，即矩阵的和的转置等于各个矩阵转置后的和。
3. (kA)^T = kA^T，其中k为常数。
4. (AB)^T = B^T A^T，即矩阵乘积的转置等于右边矩阵转置后乘以左边矩阵转置。
计算矩阵的转置可以通过交换矩阵的行和列来实现。
例如，对于一个3×2的矩阵A：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其转置A^T为一个2×3的矩阵：A^T = [a11 a21 a31a12 a22 a32]二、矩阵的逆矩阵对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵的性质如下：1. (A^(-1))^(-1) = A，即逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵。
2. (kA)^(-1) = k^(-1)A^(-1)，其中k为常数。
3. (AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，即矩阵乘积的逆矩阵等于右边矩阵的逆矩阵乘以左边矩阵的逆矩阵。
计算矩阵的逆矩阵需要满足以下条件：1. 矩阵A必须是一个方阵，即行数等于列数。
2. 矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0。
计算矩阵的逆矩阵可以使用伴随矩阵和行列式的方法。
假设A为一个n阶方阵，其逆矩阵A^(-1)的计算公式为：A^(-1) = (1/|A|) adj(A)，其中adj(A)为A的伴随矩阵，|A|为A的行列式。
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
§2.2 矩阵的运算1.矩阵的加法定义：设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为n m ij ij b a B A ⨯+=+)(设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。
数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ=)(ii A A A μλμλ+=+)()(iii B A B A λλλ+=+)(3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj sk ik sj is j i j i ij ===+++=∑=并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。
例3：求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律 注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满足消去律.矩阵的乘法满足下列结合律与分配律)(i )()(BC A C AB =)(ii 为数）其中λλλλ(),()()(B A B A AB == )(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)(对单位矩阵E ,易知n m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯=⋅=,可简记为 A AE EA ==4.矩阵的转置的定义：把矩阵A 的行列交换得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的) )(i A A T T =)()(ii T T T B A B A +=+)()(iii T T A A λλ=)()(iv T T T A B AB =)(5.对称矩阵与反对称矩阵的定义：设A 是n 阶方阵,如果满足A A T =,即),,2,1,(,n j i a a ji ij ==则称A 是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等. 如果满足A A T-=,即⎩⎨⎧=≠-=0)(ii ji ij a j i a a 则称A 是反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相反6.方阵的行列式：由n 阶矩阵A 的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为矩阵A 的行列式，记作A 或A det设A ，B 为n 阶方阵，λ为数，则有下列等式成立：B A AB A A A A n T ===;;λλ例4：设A 是n 阶反对称矩阵，B 是n 阶对称矩阵，证明：BA AB +是n 阶反对称矩阵证明：)()()()()()(,BA AB B A A B B A A B BA AB BA AB BB A A T T T T T T T T T +-=-+-=+=+=+∴=-=所以结论成立例5：设A 是n 阶方阵，满足E AA T =,且1-=A ，求E A + 解：由于A E A E A E A A E A AA A E A T T T T +-=+-=+=+=+=+)( 所以02=+E A ，即E A +=0§2.3矩阵的逆7.逆矩阵：对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。
矩阵的行列式和逆矩阵
矩阵的行列式和逆矩阵矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学中。
在研究矩阵的性质和运算中，行列式和逆矩阵是两个关键的概念。
本文将详细介绍行列式和逆矩阵的定义、性质以及计算方法。
一、行列式的定义和性质行列式是矩阵非常重要的一个属性，它具有许多重要的性质。
一个n×n 矩阵 A 的行列式记作 |A| 或 det(A)，其中 n 表示矩阵的阶数。
行列式的定义有很多种，这里我们主要介绍按行或按列展开的定义方法。
对于 2×2 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22 - a12*a21对于 3×3 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 -a12*a21*a33 - a11*a23*a32行列式具有许多重要的性质，包括：1. 当矩阵的某一行（或某一列）全为零时，行列式的值为零。
2. 若矩阵的两行（或两列）互换，则行列式的值变号。
3. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素成比例，则行列式的值为零。
4. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素上下对称，那么行列式的值为零。
5. 二阶和三阶矩阵的行列式可以通过定义直接计算，高阶矩阵的行列式计算可以通过展开定理，将矩阵按任意一行（或一列）展开成余子式的乘积再求和来计算。
二、逆矩阵的定义和性质逆矩阵是矩阵论中的重要概念，用于解决线性方程组以及矩阵的运算问题。
对于 n 阶方阵 A，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = I (I 为单位矩阵)，则矩阵 B 称为矩阵 A 的逆矩阵，并记作 A^-1。
逆矩阵的定义表明，如果一个矩阵A 存在逆矩阵，则A 是可逆的；反之，如果矩阵 A 不可逆，则不存在 A 的逆矩阵。
逆矩阵具有一些重要的性质：1. 只有方阵才能有逆矩阵，即非方阵的矩阵不存在逆矩阵。
2. 如果矩阵 A 的逆矩阵存在，则它是唯一的。
矩阵的乘法及求逆运算最终版
矩阵的乘法及求逆运算最终版矩阵乘法在线性代数中，矩阵乘法是一种常用且重要的运算。
矩阵乘法允许我们将两个矩阵相乘，从而生成一个新的矩阵。
这一运算对于解决线性方程组、计算线性变换等问题非常有用。
矩阵乘法的定义对于两个矩阵 A 和 B，它们可以相乘的条件是：A 的列数必须等于 B 的行数，否则乘法无法进行。
假设 A 是一个 m×n 的矩阵，B 是一个 n×p 的矩阵，那么 A 与B 的乘积 AB 就是一个 m×p 的矩阵，其中第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。
矩阵乘法的计算规则为了求出矩阵乘法的结果，我们需要按照以下规则进行计算：1.如果 A 是一个 m×n 的矩阵，B 是一个 n×p 的矩阵，那么 AB 的维度为 m×p。
2.对于 AB 的每个元素 AB[i][j]，可以通过将 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素相乘，并将乘积累加得到。
即AB[i][j] = A[i][1]×B[1][j] + A[i][2]×B[2][j] + … + A[i][n]×B[n][j]矩阵乘法的例子下面我们来看一个具体的例子，以帮助理解矩阵乘法的计算过程。
假设有两个矩阵 A 和 B：A = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]B = [[7, 8, 9], [10, 11, 12]]我们可以按照矩阵乘法的规则计算 AB：AB = [[1×7 + 2×10, 1×8 + 2×11, 1×9 + 2×12], [3×7 + 4×10, 3×8 + 4×11, 3×9 +4×12], [5×7 + 6×10, 5×8 + 6×11, 5×9 + 6×12]]简化后的结果为：AB = [[27, 30, 33], [61, 68, 75], [95, 106, 117]]通过这个例子，我们可以清楚地看到矩阵乘法的计算过程，以及如何按照规则对应元素相乘并累加得到结果。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用1. 前言在矩阵运算中，逆矩阵是一个重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵是指，如果一个矩阵A乘上它的逆矩阵A^-1等于单位矩阵I，那么A就有逆矩阵。
逆矩阵经常用于解线性方程组、计算行列式和计算矩阵的特征值等方面。
本文将介绍逆矩阵的求法和逆矩阵的应用。
2. 求逆矩阵的方法要求一个矩阵的逆矩阵，需要满足两个条件：该矩阵是方阵且它的行列式不等于零。
下面介绍两种求逆矩阵的方法。
2.1. 初等变换法采用初等变换法求逆矩阵，需要构造一个n阶矩阵[AB]，其中A 为待求矩阵，B为单位矩阵，即：[AB]=[A I_n]然后，对矩阵[AB]进行初等行变换，一直到[AB]变为[IBA']的形式，其中A'为A的逆矩阵。
由于[AB]=[A I_n]，所以[IBA']=[I_n A^-1]，即A的逆矩阵就构造出来了。
2.2. 公式法另一种求逆矩阵的方法是采用公式法。
设A为一个n阶矩阵，若它的行列式为D，那么它的伴随矩阵记为adj(A)，则逆矩阵为A^-1=(1/D)adj(A)。
其中，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵，它的第i行第j列元素A_ij的代数余子式与(-1)^(i+j)的乘积。
3. 逆矩阵的应用逆矩阵在数学中有多种应用，这里只介绍几个典型的应用。
3.1. 解线性方程组逆矩阵可以用于求解线性方程组，解法如下：假设有n个未知数，n个方程，可将方程组表示为AX=B的形式，其中X为未知数向量，B为常数向量，A为系数矩阵。
如果系数矩阵A有逆矩阵，那么可以将方程组A^-1AX=A^-1B简化为X=A^-1B，即可求得未知数向量X。
3.2. 计算行列式和矩阵的特征值逆矩阵还可以用于计算行列式和矩阵的特征值。
设A为n阶方阵，它的逆矩阵为A^-1，则有：det(A)=det(A^-1)^-1λ是A的特征值，那么A的逆矩阵的特征值就是λ^-1。
3.3. 计算数据的逆矩阵逆矩阵也可以用于计算数据的逆矩阵。
矩阵的行列式与逆阵
ai1
ai 2
ais
b1 j b2 j
bs j
cij
5
总结如下: 可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B
的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数.
6
7
8
9
10
运算性质: (A是mn的矩阵) (1)0 pm A 0 pn , A0nq 0mq (2)Em A = A , AEn = A (3) A(BC) ( AB)C (4) A(B + C ) AB + AC (B + C )A = BA + CA
A
A
定理 2设.2A 为数域 F 上 n 阶方阵,则
1. A 可逆 ｜A｜≠0 2. A 可逆时, A-1= 1 A*
A
证 若A可逆,则 AA1 = E AA1 = A A1 E 1
从而 |A| 0.必要性得证.
若 |A| 0, 则由
AA* A*Α | A | E
A( 1 A*) ( 1 A*)A E
4
4
例4 已知 A为方阵且 Ak 0, k N
证明 (E A)1 E + A + + Ak1. 证 因为 (E A)(E A Ak1) E Ak E
所以 E A 可逆，而且
(E A)1 E A Ak1
总结关于方阵 A :
A 可逆 |A| 0
AA*=A*A=|A| E
记作B = A-1.
注 定义中矩阵 A 与矩阵B的地位是相 同的,如果 A可逆,且B是 A的逆,则B 也可逆,且A 也是B的逆,即A与B互逆.
问题: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵,
计算矩阵的乘法和逆矩阵
计算矩阵的乘法和逆矩阵矩阵是线性代数中重要的概念之一，在各个领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵的乘法和逆矩阵的计算方法，以及它们的性质和应用。
一、矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
首先，我们需要明确矩阵的定义。
一个m行n列的矩阵A可以表示为A=（a_ij），其中i表示行标，j表示列标，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
假设有两个矩阵A和B，A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，它们的乘积C=A×B是一个m行p列的矩阵。
矩阵的乘法规则如下：设A=（a_ij）为m行n列的矩阵，B=（b_ij）为n行p列的矩阵，C=（c_ij）为m行p列的矩阵。
则C的元素c_ij可以表示为：c_ij=a_i1*b_1j + a_i2*b_2j + ... +a_in*b_nj其中，1<=i<=m，1<=j<=p。
矩阵乘法的注意事项：1. 两个矩阵相乘，前一个矩阵的列数必须等于后一个矩阵的行数，才能进行乘法运算；2. 矩阵乘法不满足交换律，即A×B不一定等于B×A；3. 矩阵乘法满足结合律，即(A×B)×C等于A×(B×C)。
二、逆矩阵对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得A×B=B×A=I（I为单位矩阵），则称A是可逆的，B为A的逆矩阵，记为A^{-1}。
逆矩阵的计算可以通过伴随矩阵和行列式的关系来进行。
设A为一个n阶方阵，其行列式为|A|，若|A|≠0，则A可逆，其逆矩阵可以表示为A^{-1} = (1/|A|) adj(A)，其中adj(A)表示A的伴随矩阵，即将A的元素a_ij的代数余子式a_ij*乘以(-1)^(i+j)，再进行转置得到的矩阵。
逆矩阵的性质：1. 若A可逆，则A的逆矩阵唯一；2. 若A可逆，则|A|≠0，即A的行列式不为零；3. 若A,B均可逆，则AB也可逆，并且(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}；4. 若A可逆，则A^{-1}也可逆，且(A^{-1})^{-1} = A；5. 若A可逆，则A的转置矩阵A^T也可逆，并且(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T。
矩阵的行列式和逆矩阵的计算
矩阵的行列式和逆矩阵的计算矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，它在数学中具有广泛的应用。
在讨论矩阵的性质和运算时，行列式和逆矩阵是两个重要的概念。
本文将详细介绍矩阵的行列式以及逆矩阵的计算方法。
一、矩阵的行列式行列式是矩阵的一个标量，用来表示矩阵的某些性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)，可以通过下列方法计算：1. 二阶行列式的计算对于一个2×2的矩阵A：A = [a, b; c, d]其行列式的计算公式为：|A| = ad - bc2. 三阶行列式的计算对于一个3×3的矩阵A：A = [a, b, c; d, e, f; g, h, i]其行列式的计算公式为：|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)3. 高阶行列式的计算对于n阶方阵A，可以通过代数余子式的方法计算行列式：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n其中，Aij表示aij的代数余子式，计算方法为将第i行和第j列划去后，剩余元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式。
二、逆矩阵的计算逆矩阵是在矩阵理论中非常重要的概念，它定义了矩阵的倒数。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I （其中I为单位阵），则称B为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵的计算方法如下：1. 二阶矩阵的逆矩阵计算对于一个2×2的矩阵A：A = [a, b; c, d]其逆矩阵的计算公式为：A^(-1) = 1/|A| * [d, -b; -c, a]其中，|A|为A的行列式。
2. 高阶矩阵的逆矩阵计算对于n阶方阵A，通过伴随矩阵的方法可以计算其逆矩阵。
伴随矩阵的定义如下：* 将A的每个元素aij的代数余子式Aij取负号后，构成矩阵A*。
* 将A*进行转置，得到伴随矩阵adj(A)。
则逆矩阵的计算公式为：A^(-1) = 1/|A| * adj(A)注：在计算逆矩阵之前，需要确保矩阵A的行列式非零，否则矩阵A没有逆矩阵。
矩阵运算逆矩阵与行列式的应用
矩阵运算逆矩阵与行列式的应用矩阵运算作为现代数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
其中，逆矩阵和行列式是矩阵运算中常用的工具，具有重要的理论和实际应用价值。
本文将深入介绍逆矩阵与行列式的定义、性质以及它们在各个领域中的应用。
一、逆矩阵的定义与性质1. 逆矩阵的定义在矩阵运算中，逆矩阵指的是对于一个给定的方阵A，存在另一个方阵B，使得A与B的矩阵乘积为单位矩阵I，即AB=BA=I。
若存在逆矩阵B，则称矩阵A可逆，也称为非奇异矩阵；若不存在逆矩阵B，则称矩阵A不可逆，也称为奇异矩阵。
2. 逆矩阵的性质（1）非奇异矩阵的逆矩阵是唯一的；（2）若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且(AB)的逆矩阵等于B的逆矩阵与A的逆矩阵的乘积，即(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)；（3）若A是可逆矩阵，则A的转置矩阵也是可逆矩阵，并且(A^T)^(-1)=(A^(-1))^T。
二、逆矩阵的应用1. 线性方程组的求解逆矩阵在解线性方程组中有着重要的应用。
设A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵，线性方程组表示为AX=B。
若A可逆，则可得到方程的唯一解X=A^(-1)B。
逆矩阵的存在与否即决定了线性方程组是否有解以及解的个数，为线性代数解题提供了有效的方法。
2. 矩阵的相似变换相似矩阵指的是矩阵A和B满足A=PBP^(-1)，其中P为可逆矩阵。
逆矩阵在矩阵的相似变换中起到了重要的作用。
通过相似变换，不仅可以简化矩阵的计算，还可以得到与原矩阵相似但具有特殊性质的矩阵，为矩阵的分析与研究提供了便利。
三、行列式的定义与性质1. 行列式的定义行列式是一个与方阵相关的标量量，是矩阵运算中的重要概念之一。
对于n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，根据行列式的定义可知，它是一个n次齐次多项式。
行列式的计算方式复杂，但是具有一些重要的性质，可以简化计算过程。
2. 行列式的性质（1）行列式与矩阵的转置：det(A^T) = det(A)；（2）行列式与矩阵的乘积：det(AB) = det(A)det(B)；（3）方阵的行列式等于其逆矩阵的行列式的倒数：det(A^(-1)) =1/det(A)；（4）方阵可逆的充要条件是其行列式不等于0。
矩阵的逆
AB 1 B 1 A1 .
推广
A1 A2 Am1 Am 1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明
A A
T
1 T
A A
1 1 T
5 11
3.构造(用定义)
例4
设方阵A满足方程A2 A 2 E 0, 证明 :
由A A 2 E 0,
2
A, A 2 E都可逆, 并求它们的逆矩阵 .
证明
A
1
A E E 得A A E 2 E A 2 A E A 1 A 0, 故A可逆 . 2
同理可得
A13 2, A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2,
得
故
6 4 2 A 3 6 5 , 2 2 2
3 2 6 4 1 2 1 1 A 1 A 3 6 5 3 2 3 5 2 . A 2 1 1 1 2 2 2
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆，即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0.
当 A 0时,
当 A 0时,
a11 a12 a1n A11 A21 An1 a a22 a2 n A12 A22 An 2 21 AA a A a A a A A 11 12 1 1n 11 12 n a a a A A A n1A n a A nn n a 2 nA A 1 2 nn a
线性代数第四讲_矩阵的概念及其加减乘运算讲义
一 部分特殊矩阵
1
零矩阵 所有元素均为 0 的矩阵称为零矩阵，记为O 例如
O22 0 0 0 0 O23 0 0 0 0 0 0
O33 0 0 0 0 0 0 0 0 0
一 矩阵的定义：
第四讲 矩阵的概念及其运算
由 mn 个数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成 的一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵
a11 a21 记作 Amn= am1
a12 a1n a22 a2n am2 amn
a11±b11 a12±b12 … a1n±b1n a21± b21 a22 ±b22 … a2n±b2n A±B= … … … am1±bm1 am2±bm2 … amn±bmn
1 2 例1 设 A 3 +5 2+6 解 A B 3 4 7 8 3+7 4+8
2 方阵 若矩阵A的行数与列数都等于n， 则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵
例如
A22 1 2 3 4
B33 2 5 3 1 2 2 7 4 4
3 行矩阵与列矩阵： 只有一行的矩阵称为行矩阵 只有一列的矩阵称为列矩阵
也可以用小写黑体字母 例如
1 0 0 diag(1,2,3) 0 2 0 0 0 3
2 0 diag(2,1,3,4) 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4
5 数量矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵 a A 0 0 0 a 0
b11 0 B b21 b22 bn1 bn2
矩阵和逆矩阵的关系公式
矩阵和逆矩阵的关系公式（实用版）目录1.矩阵和逆矩阵的定义2.矩阵和逆矩阵的关系公式3.逆矩阵的性质4.应用实例正文矩阵在数学中是一种重要的工具，它可以用来表示线性方程组、线性变换等。
而逆矩阵则是矩阵的一种特殊形式，它可以使矩阵的运算变得更加简便。
下面我们来探讨一下矩阵和逆矩阵的关系公式。
首先，我们来回顾一下矩阵和逆矩阵的定义。
矩阵是一个二维数组，可以用来表示线性方程组。
例如，下面这个矩阵表示的是一个二元一次线性方程组：```2 31 5```逆矩阵是指对于一个可逆矩阵 A，存在一个矩阵 B，使得 AB=BA=I，其中 I 是单位矩阵。
例如，对于上面的矩阵，它的逆矩阵是：```3 -2-1 -5```接下来，我们来看一下矩阵和逆矩阵的关系公式。
矩阵和逆矩阵的关系可以通过以下公式表示：A * A^-1 = A^-1 * A = I其中，A 表示矩阵，A^-1 表示矩阵 A 的逆矩阵，I 表示单位矩阵。
这个公式表明，一个矩阵与其逆矩阵的乘积等于单位矩阵。
逆矩阵具有一些有趣的性质。
首先，逆矩阵是唯一的。
也就是说，对于一个可逆矩阵 A，它的逆矩阵是唯一的。
其次，逆矩阵的元素是原矩阵元素的倒数，并且原矩阵的行和列互换位置。
例如，对于上面的矩阵，它的逆矩阵的元素就是原矩阵元素的倒数，并且行和列互换位置。
矩阵和逆矩阵的关系公式在实际应用中具有很大的价值。
它可以用来简化矩阵的运算，使得原本复杂的运算变得简单。
例如，对于一个矩阵 A，如果我们想要求它的逆矩阵，只需要用单位矩阵 I 减去矩阵 A，就可以得到矩阵 A 的逆矩阵。
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§2.2 矩阵的运算
1.矩阵的加法定义：设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为
n m ij ij b a B A ⨯+=+)(
设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.
2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。
数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ=
)(ii A A A μλμλ+=+)(
)(iii B A B A λλλ+=+)(
3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj s
k ik sj is j i j i ij ===+++=∑=
并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。
例3：求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律
注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满足消去律.
矩阵的乘法满足下列结合律与分配律
)(i )()(BC A C AB =
)(ii 为数）
其中λλλλ(),()()(B A B A AB == )(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)(
对单位矩阵E ,易知
n m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯=⋅=,
可简记为 A AE EA ==
4.矩阵的转置的定义：把矩阵A 的行列交换得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A
矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的) )(i A A T T =)(
)(ii T T T B A B A +=+)(
)(iii T T A A λλ=)(
)(iv T T T A B AB =)(
5.对称矩阵与反对称矩阵的定义：设A 是n 阶方阵,如果满足A A T =,即),,2,1,(,n j i a a ji ij ==则称A 是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等. 如果满足A A T -=,即⎩
⎨⎧=≠-=0)(ii ji ij a j i a a 则称A 是反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相反
6.方阵的行列式：由n 阶矩阵A 的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为矩阵A 的行列式，记作A 或A det
设A ，B 为n 阶方阵，λ为数，则有下列等式成立：
B A AB A A A A n T ===;;λλ
例4：设A 是n 阶反对称矩阵，B 是n 阶对称矩阵，证明：BA AB +是n 阶反对称矩阵
证明：)()()()()()(,BA AB B A A B B A A B BA AB BA AB B
B A A T T T T T T T T T +-=-+-=+=+=+∴=-=
所以结论成立
例5：设A 是n 阶方阵，满足E AA T =,且1-=A ，求E A + 解：由于A E A E A E A A E A AA A E A T T T T +-=+-=+=+=+=+)( 所以02=+E A ，即E A +=0
§2.3矩阵的逆
7.逆矩阵：对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。
A 的逆矩阵记为1-A 注意：若A 可逆，则A 的逆唯一
设C B ,都是A 的逆矩阵，则一定有C EC C BA AC B BE B =====)()(
8.伴随矩阵:设)(ij a A =是n 阶方阵, ij A 为行列式A 的各元素ij a 的代数余子式.
记⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 2122221
11211*,称*A 为A 的伴随矩阵. 有行列式的按行(列)展开定理,我们可以证明E A A A AA ==**
9.定理:若矩阵A 是n 阶方阵，则A 可逆的充要条件是0≠A ，且A A A *1
=-,其中*A 是A 的伴随矩阵。
证：必要性：A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故11==-E A A 所以0≠A
充分性：设0≠A ，由伴随矩阵的性质，有E A A A AA ==** 因0≠A ，则E A A A A A A ==**,这说明A 是可逆的，且A
A A *1=- 证 由例1知：E A A A AA ==** 因0≠A ，故有E A A A
A A A ==**11 所以有逆矩阵的定义，既有*11A A A =
- 10.推论：若E AB =（或E BA =），则1-=A B 证 1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，且1111)()(----=====A E A AB A B A A EB B
11.方程的逆矩阵满足下述运算规律
①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(
②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111
)(--=A A λλ
③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---=A B AB ④若A 可逆，则1-A 也可逆，且1
1--=A A
⑤若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )()(11--= ⑥设),,(21n diag A λλλ =是对角矩阵,则A 可逆的充要条件是)2,1(0n i i =≠λ，且),,(112111----=n diag A λλλ .
例2 求方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321.A 的逆矩阵
解 023********≠=⋅+⋅+⋅=A A A A ，知1-A 存在
2.11=A 6.21=A 4.31-=A
3.12-=A 6.22-=A 532=A
2.13=A 2.23=A 2.33-=A
于是.A 的伴随矩阵为
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222563462.*A ,所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-1112532323
11.*1A A A 注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是
1. 求矩阵.A 的行列式A ，判断.A 是否可逆；
2. 若1.-A 存在，求.A 的伴随矩阵*.A ；
3. 利用公式*11A A
A =
-，求1.-A 小结与提问:
小结：本讲介绍了方程的行列式、逆矩阵及其求法 提问：求逆矩阵应注意什么？
课外作业:
P62 8. 9. 13. 15.。