逆矩阵的求法

5．求具体矩阵的逆矩阵

求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵时，常采用如下一些方法．

方法1伴随矩阵法：．

注1对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵．注意元素的位置及符号．特别对于2阶方阵，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律．

注2对分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵．

方法2 初等变换法：

注对于阶数较高()的矩阵，采用初等变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便．在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换．

方法3 分块对角矩阵求逆：对于分块对角(或次对角)矩阵求逆可套用公式

其中均为可逆矩阵．

例1已知，求．

解将分块如下：

其中，

而

，

从而

例2已知，且，试求．

解由题设条件得

例3 设4阶矩阵

且矩阵满足关系式，试将所给关系式化简，并求出矩阵．解由所给的矩阵关系式得到

，即

故．利用初等变换法求．由于

故

例4 设，则_________.

应填：.

分析在遇到的有关计算时，一般不直接由定义去求，而是利用的重要公式.如此题，由得，而，于是

=

例5已知，试求和．

分析因为，所以求的关键是求．又由知，可见求得和后即可得到．

解对两边取行列式得，于是

即，故

又因为，其中，又，可求得

，

故由得

例6 设，其中（），则____.

应填：.

分析法1.，其中，.

从而.又，，代入即得的逆矩阵.

法2.用初等变换法求逆矩阵.

=

故