逆矩阵的性质及求法2
2-2逆矩阵及其运算
线性代数第二节逆矩阵及其运算一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵线性代数（或称的逆）；其中为的倒数，a 11a a -=a ,111aa a a --==在数的运算中，对于数，有是否存在一个矩阵,.11AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A ，1A -使得一、逆矩阵的概念和性质0a ≠线性代数对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。
,AB BA E ==例1设,01011010A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。
定义1（可逆矩阵）线性代数例1 设,2110A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭解设是A 的逆矩阵,a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭则2110a b AB c d ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1001⎛⎫= ⎪⎝⎭221001a c b d ab ++⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求A 的逆矩阵线性代数,,,,212001a c b d a b +=⎧⎪+=⎪⇒⎨-=⎪⎪-=⎩,,,.0112a b c d =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-01120112-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛-0112=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1001⎛⎫= ⎪⎝⎭所以.10112A --⎛⎫= ⎪⎝⎭A BA B (待定系数法)线性代数注：不是每个非零矩阵都有逆矩阵。
0102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭例如11AA A A E --==不论一个怎样的矩阵的第一列全都是零。
因此，不可能有一个矩阵, 使,B 1A -BA线性代数定理1若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是惟一的.,,AB BA E AC CA E ====又B EB =()CA B =()C AB =.CE C ==所以A 的逆矩阵是惟一的,即B C=证明:设B 和C 是A 的逆矩阵，则有以后，把A 的逆矩阵记为。
2.2 逆矩阵
(B-1A-1)(AB)= B-1(A-1A)B= B-1EB=E
所以AB可逆，由逆阵的唯一性， (AB)-1=B-1A-1. 证毕
9
推广到有限个可逆方阵乘积的情况，即
(A1A2…An)-1=An-1…A2-1A1-1 性质2.4 如果方阵A可逆,则A-1可逆,而且 (A-1)-1=A 证 A-1A=AA-1=E, 直接利用逆阵的定义即可证明 证毕
0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1 r3 ( 1) r3 2 r2 0 1 0 2 5 1 0 1 0 2 5 1 0 0 1 5 11 2 0 0 1 5 11 2
其系数矩阵是方阵A, 表示为 Ax=b
6
在 Ax=b 两端同时左乘A-1，得到
A-1Ax= A-1b
Ex= A-1b 从而得到方程组解的表示：x= A-1b 利用矩阵 这说明，只要我们能够求得 A-1，
的乘法，就可以求出这种特殊方程组的解.
为了能能够求得 A-1， 我们必须进一步
探讨逆矩阵的性质.
3 1 1 0 0 1 r1 5 r2 0 1 0 2 5 1 0 0 1 5 11 2
r1 2 r3
A-1
32
例2.12 解下列矩阵方程, 求出未知矩阵X.
2 1 0 2 1 3 1 2 3 X 2 3 1 3 3 4
A
R12 (-1)A R13 (-1) R12 (-1)A
1 2 1 1 2 1 r3 ( 3)r2 c3 (c2 0 1 0 0 1 0 2) 0 3 0 0 0 0
逆矩阵的概念矩阵可逆的条件逆矩阵的求法-毕业论文-全文在线阅读-
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例10 设
求矩阵X使满足AXB= C。 分析：
若A-1，B -1存在，则由A-1左乘AXB=C，又
用B-1右乘AXB= C，
有
A-1AXBB-1= A-1CB-1，
即
X = A-1CB-1。
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解
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矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★ 矩阵与矩阵的加、减法； ★ 矩阵与数的乘积； ★ 矩阵与矩阵的乘积； ★ 方阵的行列式； ★ 逆矩阵； ★ 矩阵的转置。
Ex.4
解
又
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于是
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也可以直接按定义来验证这一结论。
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Ex.5 解
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Ex.6 解
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上页 下页 返回上页Fra bibliotek返回设给定一个线性变换： 它的系数矩阵是一个 n 阶方阵A，
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记
则线性变换(7)可记为 Y =AX.
逆矩阵。
例如
因为AB= BA= E，所以B是A的逆矩阵，同样A也 是B的逆矩阵。
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如果方阵A是可逆的，则 A的逆阵一定是唯一 的。 这是因为：设 B、C都是 A的逆矩阵， 则有
B=BE =B（AC）=（BA）C =EC =C， 所以 A的逆阵是唯一的。
A的逆阵记作A-1。 即若AB=BA=E，则 B=A-1。
§3 逆 阵
★ 逆矩阵的概念 ★ 矩阵可逆的条件 ★ 逆矩阵的求法
矩阵之间没有定义除法，而数的运算有 除法，本节相对于实数中的除法运算，引入 逆矩阵的概念。
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逆阵的概念
2-2逆矩阵
A −1
2 6 −4 1 3 −2 1 ∗ 1 = A = −3 −6 5 = − 3 2 −3 5 2 . A 2 2 2 −2 1 1 −1
14
三、逆矩阵的求法及应用
用可逆矩阵求解矩阵方程 矩阵方程AX=B的矩阵 其中 的矩阵X,其中 例3：求满足矩阵方程 ：求满足矩阵方程 的矩阵
左乘方程AX=B两边得： 两边得： 用A-1左乘方程 两边得
15
三、逆矩阵的求法及应用
1 1 X = A −1 B = 2 9 2 2 1 −2 2 8 − 2 − 5 1 2
2 3 9 = 7 9 9 28 15 9
第二章 矩阵及其运算
第二节 逆矩阵 (Inverse matrix) 一、逆矩阵的定义及性质
二、方阵可逆的充要条件 三、逆矩阵的求法及应用 四、小结 思考题
1
一、逆矩阵的定义及性质
1、数 、
−1
在数的运算中，当数α≠０时， 在数的运算中，当数 ０
有
aa −1 = a −1a = 1,
1 的倒数， 则 a = 称为 a 的倒数， a
17 3 − 5 3 1 3
注: 1)上例中X≠BA-1; 1)上例中 2)若矩阵方程为XB=C 或 AXB=C,其中矩阵A与B是可逆 2)若矩阵方程为XB=C 若矩阵方程为 方阵, 方阵,则 X=CB-1或 X=A-1CB-1; 注：若Ａ不是可逆阵，或者不是方阵，矩阵方程不能 不是可逆阵，或者不是方阵， 用可逆矩阵求解
A11 = ( −1)
2
2 1 4 3
= 2,
A12 = ( −1)
3
2 1 3 3
线性代数2.3- 逆矩阵
解
(1)
1 − 5 3 2 X = −1 4 1 4
−1
1 − 5 给方程两端左乘矩阵 , −1 4 E 1 − 5 1 − 5 1 − 5 3 2 X = 得 −1 4 −1 4 −1 4 1 4 1 − 5 3 2 − 4 − 5 3 2 − 17 − 28 ⇒X = = = . −1 4 1 4 − 1 − 1 1 4 − 4 − 6
A A21 A31 11 A 1 −1 ∴ A = = A A22 A32 12 A A A A23 A33 13
∗
1 − 3 3 1 4 . = −4 0 4 5 − 1 − 3 2 3 −1 5 = 0, 由于 B = − 1 3 1 5 − 11
−k
−1 T
).
−1 k
另外, 当 A ≠ 0时, 定义 A = E,
0
A
= (A
).
(k为正整数 )
当 A ≠ 0, λ , µ为整数时 , 有 A A =A
λ µ λ +µ
,
−1
(A )
λ µ
= Aλµ .
(5 ) 若A可逆 ,则有 A = A .
−1
证明
Q AA −1 = E
∴ A A −1 = 1
1 − 1 1 给方程两端左乘矩阵 1 1 0 , 3 2 1
一、概念的引入
在数的运算中， 在数的运算中，当数a ≠ 0 时， 有
aa −1 = a −1a = 1,
的倒数， 的逆）； 其中 a−1 = 1 为 a 的倒数， 或称 a 的逆）； （ a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中， 的1， 那么，对于矩阵 A ， ， 那么， 如果存在一个矩阵A−1, 使得
逆矩阵的性质及其若干求法
安阳师范学院本科学生毕业论文逆矩阵的性质及其若干求法作者戴丽丰系 (院) 数学与统计学院专业数学与应用数学年级 2010 级本科学号 100801071指导教师贾红艳论文成绩日期2014年06月学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表或已经撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：日期：论文使用授权说明本人了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借读；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
签名：导师签名：日期逆矩阵的性质及其若干求法戴丽丰（安阳师范学院 数学与统计学院, 浙江 金华 321000)摘 要：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。
关键词：逆矩阵；伴随矩阵；初等变换；分块矩阵；MATLAB1 引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.比如逆矩阵可以用来解线性方程组.逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值和它的伴随矩阵.当其阶数较高时,它的计算量是很大的,因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.为了更便捷地求矩阵的逆,本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法,这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题.同时,它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识,认真掌握它,可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础. 2 预备知识 2.1 逆矩阵的定义设A 为n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB BA E ==(这里的E 是单位矩阵)成立，那么矩阵A 称为可逆矩阵，此时矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称为矩阵A 的逆.如果A 的逆矩阵不存在，那么A 称为不可逆矩阵.A 的逆矩阵记作1-A ，即如果AB BA E ==，那么1-=A B .2.2逆矩阵的性质性质1 如果矩阵A 可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的.证明 设1B ，2B 都是A 的逆矩阵，则()()11121222B B E B AB B A B EB B =====， 所以A 的逆矩阵是唯一的.性质2 如果A 可逆，那么1-A 可逆，且A A =--11)(. 性质3 如果A 可逆，数0≠λ，那么A λ可逆，且111)(--=A A λλ.性质4 如果A 可逆，那么'A 可逆，且'11'()()A A --=.性质5 如果A ，B 都是n 阶可逆矩阵，那么AB 可逆，且111)(---=A B AB . 证明 因为111111()()()AB B A A BB A AEA AA E------====111111()()()B A AB B A A B B EB B B E------====所以AB可逆，且111)(---=ABAB.3 逆矩阵的求法3.1 用定义求逆矩阵设A是一个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵A，使A B B A E==，则称A矩阵是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵.例1已知n阶矩阵A满足2A A E-=，证明2A E+可逆，并求出它的逆矩阵1(2)A E-+.证：由220A A E--=，得(3)(2)40A E A E E-++=，则(2)(3)40A E A E E+-+=，即1(2)[(3)]4A E A E E+--=且1[(3)](2)4A E A E E--+=，由定义可知，2A E+可逆且11(2)(3)4A E A E-+=--.3.2 用伴随矩阵法求逆矩阵设A是n阶实矩阵，若0≠A,那么*11AAA⋅=-证明: 设()1>n阶矩阵111212212212nnn n nna a aaa aAa a a⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：11220i j i j in jnA i ja A a A a Ai j⎧=+++=⎨≠⎩，若，若1220i ij i j ni njA i ja A a A a Ai j⎧=+++=⎨≠⎩，若，若这里的代数余子式，中元素是行列式ijijaAA由此可知，若令1121121222*12,nnn n nnA A AAA AAA A A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭那么=⋅=⋅AAAA**⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛AAAA⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=EEEEA≠A,由此可得，EAAAAAA=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅**11由矩阵定义可知：*11AAA⋅=-证毕.注：用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快捷，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过EAA=-1来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.例 2 判定矩⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323222321A阵是否可逆，若可逆，求1-A.解：12322240323A⎡⎤⎢⎥==-≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦A∴可逆1122223A==122233A=-=1322232A==-212323A=-=2213633A==-2312432A=-=3123222A==-3213422A=-=3312222A==-所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-2112112321212424622411*1AAA.3.3 用初等变换法求逆矩阵求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵SPPP,,21使sppp21A⋅E=()1用1-A右乘上式两端，得：sppp211-=A()2比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵E作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵1-A.用矩阵表示()A E−−−−→行初等变化()1E A-这是求逆矩阵的初等行变换法，或者1A EE A-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭列初等变换这是用列初等变换求逆矩阵，这都是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.现在让我们从具体的题目中看看这类题的解析.例 3用初等行变换求逆矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=31121112A的逆矩阵.解()A E=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡13111211112→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11121211311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---21511211311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21131211311→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--32313111211311→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3231311343532111111→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----323131134353213132311，故=-1A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----323131343532313231.3.4 用分块矩阵求逆矩阵3.4.1分块矩阵的一般求法在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，并视每一小块是矩阵的元素，按照矩阵的运算法则进行计算，二小块之间的运算同样是按矩阵的运算法则进行运算，由此可以求出一个矩阵的逆矩阵.特别地，我们有，若T为可逆矩阵，且A BTC D⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+=--------------11111111111111)()()()(BCADCABCADBCADBACABCADBAAT证明：设A、D分别为r阶、s阶的方阵，则：()()()()11111111100rsE A A B D C A B AB D CABA B ETC D E E D CA B CA D CA B---------⎛⎫+-⋅⋅--⎛⎫ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎝⎭---⎝⎭∴()()()()11111111111A AB D CA B AB D CABA BTC D D CA B CA D CA B-----------⎛⎫+---⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪---⎝⎭证毕由于这个公式太难记，因此我们在解决这类题目时往往将其转化为三角分块矩阵再求其逆.3.4.2 准对角线型矩阵的求逆设A、B都是非奇异矩阵,且A为n阶方阵，B为m阶方阵，若矩阵=C⎪⎪⎭⎫⎝⎛BA，则1-C⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--11BA.证明： A、B均为非奇异矩阵，则00≠≠BA且∴AC A BB==≠A∴可逆设A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=WZYX,nmEX Y AEZ W B⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中nmXA EYBZAWB E=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，又 A、B均为可逆矩阵，∴11X AYZW B--⎧=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴---111BAC证毕.可以将上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角线型矩阵中去，即：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111AAAAAAAA3.4.3 准三角型矩阵求逆设A、C为非奇异矩阵，则1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛CBA=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11110CBCAA.证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-CAEBAECBA1两边求逆得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛------111110CACBAEBAE∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------111111110CBCAACAEBAECBA证毕.同理可证⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----111110CBCAACBA.此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.例 4 已知1252142112001100T⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪⎝⎭，求1T-.解将T分块如下：1252142112001100A BTC⎛⎫⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎝⎭，其中125212,,142111A B C-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求的1*1*11121112,1111||||322A A C CA C--⎛⎫-⎪⎛⎫====⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎪⎝⎭从而11111111126311112263120033110033A A BCTC-----⎛⎫---⎪⎪⎪⎪⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭3.5 matlab求逆矩阵法MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
求逆矩阵知识点总结
求逆矩阵知识点总结一、定义矩阵的逆是指存在一个矩阵使得它与原矩阵相乘得到单位矩阵。
具体来说，如果矩阵A的逆矩阵存在，我们用A^-1来表示它，那么矩阵A的逆矩阵定义为满足下式的矩阵B：A *B = B * A = I其中，I是单位矩阵。
二、求解方法1. 初等变换法利用行初等变换把矩阵A转换为单位矩阵，所做的初等行变换同时作用于一个相同次序的单位矩阵，然后将单位矩阵转换得到的矩阵即是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法对于n阶方阵A，它的伴随矩阵定义为其每个元素的代数余子式。
A的伴随矩阵记作Adj(A)，则有A^-1 = (1/det(A)) * Adj(A)，其中det(A)是A的行列式。
3. 初等矩阵法对于矩阵A，构造一个n阶单位矩阵In，然后对In进行一系列的乘法和加减操作所得到的新矩阵记为B，如果B=A^-1，则B就是矩阵A的逆矩阵。
三、性质1. 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵A有逆矩阵，那么这个逆矩阵是唯一的。
也就是说，如果存在矩阵B和C，使得A*B=I和A*C=I，那么B=C。
2. 若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且有(A*B)^-1=B^-1*A^-13. (A^-1)^-1 = A4. (A^T)^-1 = (A^-1)^T5. 行列式为0的矩阵没有逆矩阵。
四、应用求逆矩阵在实际应用中有着广泛的作用，其中包括但不限于以下几个方面。
1. 线性方程组求解线性方程组Ax=b时，如果A是可逆矩阵，则可以直接用逆矩阵求解：x=A^-1*b。
2. 信号处理在信号处理领域中，矩阵的逆可以用来解决信号的解耦、滤波等问题。
3. 机器学习矩阵的逆在机器学习中也有重要的应用，比如用于参数的最小二乘估计以及矩阵分解等问题。
4. 几何变换在计算机图形学和几何变换领域，矩阵的逆可以用来表示坐标点的逆向变换。
总结求逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，有着广泛的应用。
本文从定义、求解方法、性质和应用等方面对求逆矩阵的知识点进行了总结，希望能帮助读者更好地理解和应用这一概念。
逆矩阵
1 2 3 4
2, A11 4, A12 3, A21 2, A11 1
2 1 4 2 1 A 1 , A 3 3 1 2 2
§3
解法二
逆矩阵
a b 设 B 是A的逆矩阵, c d
(1)矩阵A的两个多项式φ(A) 和f (A)是可换的,即 φ(A) f (A) = f (A) φ(A) , (2)如果A =P∧P-1,则Ak =P∧kP-1,从而φ(A) = Pφ(∧)P-1,
§3
( ) a0 E a1
逆矩阵
am m n 1m am n m
所以A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆阵记为A-1,即 AA-1=A-1A=E
§3
例
逆矩阵
1 A 1 2 2 , B 1 4 2 1 1 , 2
1 0 1 0 AB , BA 0 1 0 1
2 A1 1 2 1 , B 1 1 2 1 1 4 2
2 m
§3
逆矩阵
例 设方阵A满足方程A2 - A -2E=0,证明A, A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵. 解 (1) 可得 A2 - A -2E=0 A(A - E)=2E
1 A ( A E ) E, 2 因此A可逆。
§3
(2)
逆矩阵
A2 - A -2E=0
可得(A+ 2E)(A -3E)+4E =0
(3)如果∧=diag (λ1, λ2 , ∙ ∙ ∙ λn )为对角矩阵,则∧k=diag (λ1k, λ2k , ∙ ∙ ∙ λnk),
《2.1.2 逆矩阵的性质》教案2
《2.1.2 逆矩阵的性质》教案2教学目标1. 了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法；2. 掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件并运用行列式求逆矩阵教学重点二阶行列式的定义，存在可逆矩阵的充要条件教学难点熟练掌握求逆矩阵的方法。
教学过程1. 二阶行列式的概念 如果矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆的，则ad bc -≠0. 其中ab cd -称为二阶行列式，记作a b c d ，即a bc d＝ad bc -，ad bc -也称为行列式a bc d的展开式。
符号记为：detA 或|A| 注意：ad bc -为主对角线上两数之积减去副对角线上两数之积2. 可逆矩阵的充要条件 定理：二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时 1det det det det db A A Ac a A A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭与此相反，若detA=ad bc -=0，则二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭不存在逆矩阵。
3.二阶矩阵和二阶行列式的区别：二阶矩阵是一个数表，而二阶行列式是一个数。
例题分析例题1 矩阵A ＝3142⎛⎫⎪⎝⎭，求|A|。
思路分析：根据二阶行列式概念求得。
答案：|A|＝313214242=⨯-⨯=例题2判断矩阵1627⎛⎫=⎪⎝⎭M 是否存在逆矩阵，若存在，求出它的逆矩阵，并利用定义验证 思路分析：根据可逆矩阵的充要条件判断可逆矩阵的存在，再利用二阶行列式求解。
答案：判断矩阵1627⎛⎫= ⎪⎝⎭M 的行列式1617625027=⨯-⨯=-≠所以矩阵M 存在逆矩阵-1M ,且17676555521215555--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪--==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M验证：176161055E 27210155-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭MM 176161055E 21270155-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭M M 技巧点拨：求解该类问题属程序化知识，需要牢记行列式。
2.2 逆矩阵
一般地， 二阶方阵 a11 A a21
a12 a22
当 A a11a22 a12a21 0 时，其逆阵为
a22 1 A a11a22 a12a21 a12
1
a21 . a11
例2
解 则
1 A . 3 由伴随矩阵与逆矩阵的关系，有 A A A1 ,
一、可逆矩阵的概念与性质
定义 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，使得 AB = BA = E . 则称A是可逆阵（非奇异阵） ，称B 为 A 的逆矩阵 ， 记作 B A1 . 例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
AA A A A E . 定理1（伴随矩阵的性质）
定理2 矩阵 A 可逆充分必要条件是 A 0, 且
1 * 当 A 0 时， A A . A
1
用伴随矩阵法求逆矩阵的步骤： * ; (3)由公式A1 1 A*得到A1 ; ( 求 A ; (2)计算 A 1) A 推论 若方阵 A、B 有 AB = E，则 A、B 均可逆. 且 A、B 互为逆矩阵.
（1）AX=B; （2）XA=B; （3）AXB=C ;
当未知阵X左边和右边的矩阵都可逆时，可以求出 矩阵方程唯一的解： （1）X=A-1B; （2）X=BA-1; （3）X=A-1CB-1;
例3 (解矩阵方程)
求 A+ B .
2 1 1 设 A 2 6 4 , AB A B , 2 1 3
a12 a22 ... an 2
... a1 n ... a2 n 中元素 a 的 ij ... ... ann
An1 An 2 称为 A 的伴随矩阵. ... Ann
1.5 逆矩阵
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例5. 若A, B, C是同阶矩阵, 且A可逆, 证明下列结论中(1), (3)成立, 举例说明(2), (4)不必然成立. (1)若AB=AC, 则B=C; (2)若AB=CB, 则A=C; (3)若AB=O, 则B=O; (4)若BC=O, 则B=O. 解: (2)设
A=1 0 2 , B = 1 1 , C = 3 1 1 0 1 0 , 1
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逆矩阵的性质 (1)若A可逆, 则A−1也可逆, 且(A−1)−1=A. (2)两个同阶可逆矩阵A、B的乘积是可逆矩阵, 且 (AB)−1=B−1A−1. (3)可逆矩阵A的转置矩阵AT是可逆矩阵, 且 −1=(A−1 (AT )− = − )T . 这是因为 AT(A−1)T=(A−1A)T=ET =E, 所以 (AT )−1=(A−1)T .
0
C W
= Y 0
BX + DW = E , BZ + DY = O , ⇒ CW = O , CY = E .
. E X = B −1 , −1 Y =C , ⇒ Z = − B −1 DC −1 , W = O.
因此
1 0 1 1 0 0 1 0 0 −5 / 2 1 −1/ 2 5 −1 1 → 0 1 − 2 −2 1 0 → 0 1 0 0 0 2 7 − 2 1 0 0 2 7 −2 1
于是
1 0 0 −5 / 2 1 −1/ 2 5 −1 1 , → 0 1 0 0 0 1 7 / 2 −1 1/ 2 −5 / 2 1 −1/ 2 A−1 = 5 −1 1 . 7 / 2 −1 1/ 2
逆矩阵的四则运算
逆矩阵的四则运算
逆矩阵是线性代数中的一个概念，表示矩阵的逆运算。
逆矩阵的四则运算如下：
1. 加法运算：如果两个矩阵A 和B 是可逆的，那么它们的和矩阵C=A+B 也是可逆的，且
(C)−1=A−1+B−1。
2. 数乘运算：如果矩阵 A 是可逆的，那么对于任意一个数k，kA 也是可逆的，且(kA)−1=k−1A−1。
3. 乘法运算：如果矩阵A 和B 是可逆的，那么它们的乘积矩阵C=AB 也是可逆的，且(AB)−1=B−1A−1。
4. 减法运算：如果两个矩阵A 和B 是可逆的，那么它们的差矩阵C=A−B 也是可逆的，且
(C)−1=A−1−B−1。
需要注意的是，在逆矩阵的四则运算中，矩阵必须是方阵，且它们的行列式不能为零。
此外，逆矩阵的性质也与原矩阵的性质密切相关，例如，如果原矩阵是可逆的，那么它的逆矩阵也是可逆的，且逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵。
难忘一课 2-2逆矩阵
i1 j1 i2 j2
A1n A2n
in
jn
Ann
伴随矩阵Adjoint matrix
9
三、方阵可逆的充要条件
a11 a 21 AA a n1 a12 a1n A11 A21 a22 a2 n A12 A22 an 2 ann A1n A2 n An1 An 2 Ann
四、逆矩阵的求法及应用
例2 求方阵
第二节
逆矩阵
1 2 3 A 2 2 1 3 4 3
1 2 3
的逆矩阵.
解
A2 2 1 3 4 3
2 1 4 3
A1存在. 2,
A11 ( 1) M11 ( 1)
2
2
2,
A12 3,
A13 2,
1
ax b(a 0)
a ax a b x a 1b
对于 a ，能找到 a 的倒数
1
1
1
EX A1B
X A1B
B
对于 A ，如果能找到一个
1
a （或称为 a的逆），满足： 矩阵 A 满足：
a a aa 1
1
1
A 1 A E ,
AA1 E
AA A A A E
如果
引理2.1
第二节
逆矩阵
A A , A 0, 则 A( ) ( ) A E A A
A 1 . 按逆矩阵的定义得：A 可逆，且 A A 【定理２.２】 设A是n阶方阵，则A可逆的充要条件是 A 0. 当 A 0 有 1 1 A A A 【证】充分性（已证）
2-3 逆矩阵
例2 下列矩阵 A, B是否可逆 ? 若可逆 , 求出其逆 矩阵 . 2 3 −1 1 2 3 B = −1 3 5 . A = 2 1 2 , 1 5 − 11 1 3 3
解
1 2 3 1 2 3 A = 2 1 2= 0 − 3 −4 1 3 3 0 1 0
AB = BA = E ,
AC = CA = E ,
可得 B = EB = (CA )B = C ( AB ) = CE = C . 的逆矩阵是唯一的,即 所以 A 的逆矩阵是唯一的 即
B = C = A −1 .
例 解 则
2 1 , 求A的逆阵. 设 A= − 1 0 a b 利用待定系数法 是 A 的逆矩阵 的逆矩阵, 设 B= c d 2 1 a b 1 0 AB = = − 1 0 c d 0 1 2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
同理可得
A13 = 2, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
A31 = −4, A32 = 5, A33 = −2,
得
故
6 − 4 2 ∗ A = − 3 − 6 5 , 2 2 − 2
3 − 2 6 − 4 1 2 1 ∗ 1 A −1 = A = − 3 − 6 5 = − 3 2 − 3 5 2 . A 2 1 1 −1 2 − 2 2
∴ ( AB ) = B −1 A−1 .
−1
推广
− (A1 A2 ⋯Am −1 = Am1 A2−1 A1−.1 ) ⋯
T
(4) 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 (A
3.3逆矩阵及其求法(春苗教育)
A12
5
A22
An
2
an1
an2
a A 优讲n借n鉴
1n
A2n
Ann
| A | 0 0
1 0 0
|
1 A
|
0
| A|
0
|
1 A
|
|
A
|
0
1
0
0
0 | A |
0
0
1
=E
同样 ( 1 A* )A 1 | A | E E
| A|
| A|
由逆阵的定义有: A1 1 A* | A| 6
A A E E 2
A A E 1 2
|A|0
A可逆,
15
A1
1
(A
E)
2
优讲借鉴
A2A2E=0 (A+2E)(A3E)+4E=0 ( A 2E)[ 1 ( A 3E)] E 4 A 2E 1 (A 3E) 1 4
|A+2E|0
A+2E可逆
( A 2E )1 1 ( A 3E ) 316 E A
且(AB)=B1A1 [证]∵|AB|=|A||B|0 AB可逆
9
∵(AB)(B1A1) =A(BB1)A1 =AEA1 =AA1 =E
由推论得:
(AB)1=B1A1 优讲借鉴
5.若A可逆,则A也可逆,且(A)1=(A1) [证]∵|A|=|A|0 A可逆
∵A(A1) =(A1A) =E =E 由推论得 (A)1=(A1)
5
A13=7, A21=2, A22= 2, A23= 2, A31= 1, A32=2, A33=1
A1
|
1 A|
矩阵的逆计算方法
矩阵的逆计算方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中非常重要的一个概念，它在各个领域中都有着广泛的应用。
而矩阵的逆是矩阵理论中一个核心的概念，它在很多问题的解决过程中起着非常关键的作用。
在这篇文章中，我们将会介绍矩阵的逆的计算方法，以及一些相关的概念和定理。
矩阵的逆是指对于一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵，记作A^{-1}。
逆矩阵的存在性是一个非常重要的问题，因为只有存在逆矩阵的矩阵才能称之为可逆矩阵，可逆矩阵的性质非常重要。
在实际计算中，如何求一个矩阵的逆是一个比较复杂的问题。
下面我们将介绍几种常见的计算方法：1. 初等变换法：这是求逆矩阵最常用的方法之一。
首先将矩阵A与单位矩阵I组合成一个增广矩阵[A|I]，然后通过一系列的初等行变换将左侧的矩阵变为单位矩阵，那么矩阵A就会变成逆矩阵。
2. 初等矩阵法：利用初等矩阵与原矩阵的乘积来求逆矩阵。
首先将矩阵A分解成一系列的初等矩阵的乘积，然后分别求每一个初等矩阵的逆矩阵，最后把它们逆序相乘，就能得到矩阵A的逆矩阵。
3. 行列式法：对于一个方阵A，如果det(A)不为0，那么就可以通过公式A^{-1} = \frac{1}{det(A)}\text{adj}(A)来求得A的逆矩阵，其中adj(A)是A的伴随矩阵。
除了这些常见的方法之外，还有一些特殊的矩阵，如对称矩阵、正交矩阵等，它们的逆矩阵的求解方法可能会有一些特殊的性质和技巧。
在实际的计算过程中，可以根据矩阵的具体性质和条件来选择最合适的方法来求解逆矩阵。
在矩阵逆的计算过程中还有一些需要注意的细节和注意事项，比如矩阵的秩、行列式、伴随矩阵等概念。
我们需要保证矩阵是方阵，而且行列式不为0，才能保证逆矩阵的存在性。
在实际的计算中，可能会遇到矩阵奇异的情况，求不出逆矩阵，这时候需要进行特殊处理。
矩阵的逆是线性代数中一个非常重要的概念，它在很多问题的解决过程中都起着非常关键的作用。
逆矩阵的性质
逆矩阵的性质
逆矩阵是线性代数中一个重要的概念，它是一个矩阵的反转形式，可以用来解决线性方程组。
它的性质是，如果一个矩阵A的逆矩阵是A-1，那么A-1乘以A等于单位矩阵I，而A乘以A-
1也等于单位矩阵I。
首先，逆矩阵的性质是它可以用来解决线性方程组。
如果一个矩阵A的逆矩阵是A-1，那么A-
1乘以A等于单位矩阵I，而A乘以A-1也等于单位矩阵I。
这意味着，如果一个矩阵A乘以
一个向量b，得到一个结果c，那么A-1乘以c就可以得到b。
这就是逆矩阵的作用，它可以
用来解决线性方程组。
其次，逆矩阵的性质是它可以用来求解矩阵的行列式。
如果一个矩阵A的逆矩阵是A-1，那么
A的行列式的值就等于A-1的行列式的值。
这意味着，如果我们想要求解一个矩阵A的行列式，我们可以先求解A的逆矩阵A-1，然后求解A-1的行列式，就可以得到A的行列式的值。
最后，逆矩阵的性质是它可以用来求解矩阵的特征值和特征向量。
如果一个矩阵A的逆矩阵是
A-1，那么A的特征值和特征向量就可以用A-1来求解。
这意味着，如果我们想要求解一个矩
阵A的特征值和特征向量，我们可以先求解A的逆矩阵A-1，然后用A-1来求解A的特征值和
特征向量。
总之，逆矩阵是线性代数中一个重要的概念，它的性质是，如果一个矩阵A的逆矩阵是A-1，
那么A-1乘以A等于单位矩阵I，而A乘以A-1也等于单位矩阵I。
它可以用来解决线性方程组，求解矩阵的行列式，以及求解矩阵的特征值和特征向量。
因此，逆矩阵在线性代数中有着
重要的作用，是线性代数研究的基础。