一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的
根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满
足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨
<⎪⎩； （2）0a <时，()()0
f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：
若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间
()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为
2
m
，由213m <<得22
3m <<即为所求；
方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程2
4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15
314
m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或3
2
m =
，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15
314
m -<<-或1m =-
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1
12
m -
<<即为所求的范围。

例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

解：由
03m <<-3m >+
例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m
的取值范围。

解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 1
22
m -<<
即为所求的范围。

例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +< ⇒ 1
3
m <-
即为所求范围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题意，计
算量稍大）
例1、当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程22
70x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2；
（2）方程2
2
7(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上； （3）方程022
=++ax x 的两根都小于0； 变题：方程022
=++ax x 的两根都小于-1．
（4）方程2
2
(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上； （5）方程042
=+-ax x 在区间（-1，1）上有且只有一解；
例2、已知方程042
=+-mx x 在区间[-1，1]上有解，求实数m 的取值范围．
例3、已知函数f (x )1)3(2
+-+=x m mx 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．
检测反馈：
1．若二次函数2
()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2
上是增函数，则(2)f 的取值范围是___________．
2．若α、β是关于x 的方程06k kx 2x 2
=++-的两个实根, 则22)1()1(-β+-α的最小值为 ．
3．若关于x 的方程2
(2)210x m x m +-+-=只有一根在(0,1)内，则m ∈_ _．
4．对于关于x 的方程x 2+(2m -1)x+4 -2m=0 求满足下列条件的m 的取值范围：
（1）有两个负根 （2） 两个根都小于-1 （3）一个根大于2，一个根小于2 （4） 两个根都在（0 ，2）内 （5）一个根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内 （6）一个根小于2，一个根大于4 （7） 在（0， 2）内 有根 （8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大
5．已知函数1)(2
-+=x mx x f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。

2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨
设()()002
>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：
对于开口向下的情况，讨论类似。

其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
（1）若[]n m a b ,2∈-
，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫
⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m a
b
,2∉-
，则()()(){}n f m f x f ,m ax max =，()()(){}n f m f x f ,m in min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数()()2
220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。

解：对称轴[]012,3x =∉，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。

（1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()max min
32f x f f x f ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩ ⇒ 32522a b b ++=⎧⎨+=⎩ ⇒ 10a b =⎧⎨=⎩；
（2）当0a <时，函数()f x 在区间[]2,3上是减函数，故()()()()max min
23f x f f x f ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 25322b a b +=⎧⎨++=⎩⇒ 1
3a b =-⎧⎨=⎩
例2、求函数()[]221,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。

解：对称轴0x a =
（1）当1a <时，()min 122y f a ==-（2）当13a ≤≤时，()2min 1y f a a ==-；（3）当3a >时，()min 3106y f a ==- 改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
解：（1）当2a <时，()()max 3106f x f a ==-； （2）当2a ≥时，()()max 122f x f a ==-。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？
解：（1）当1a <时，()()max 3106f x f a ==-，()()min 122f x f a ==-；
（2）当12a ≤<时， ()()max 3106f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-； （3）当23a ≤<时，()()max 122f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-； （4）当3a ≥时， ()()max 122f x f a ==-，()()min 3106f x f a ==-。

例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。

解：对称轴02x =
（1）当2t <即2t >时，()2
min 43y f t t t ==-+；（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-；
（3）当21t >+即1t <时，()2
min 12y f t t t =+=-
例4、讨论函数()2
1f x x x a =+-+的最小值。

解：()22
21,11,x a
x x a f x x x a x a x x a ≥⎧+-+=+-+=⎨<-++⎩
，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线
12x =-，12x =，当12a <-，1122a -≤<，1
2
a ≥时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）
因此，（1）当12a <-
时，()min 1324
f x f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； （2）当1122a -≤<时，()()2
min 1f x f a a ==+； （3）当12a ≥
时，()min 1324
f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭。