高考数学三角函数大题专项练习
高考数学三角函数与解三角真题100题含答案
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知2sin 3且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A B ． CD ．2．在ABC ∆中,1,2,60a c B ︒===,则b = A．1BC D ．33．函数tan 2y x =的周期为 A ．2π B ．π C ．2π D ．4π4．下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A ．sin1650> B ．cos 2800> C ．tan1700>D ．tan 3100<5．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A ．12B ．12-C D ． 6．函数2cos 1([0,2])=+∈y x x π的单调递减区间为（ ） A ．[0,2]πB ．[0,]πC ．[,2]ππD ．3[,]22ππ7．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是A B C D8．已知扇形的半径为2，面积为23π，则该扇形的圆心角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 9．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是 A ．1y x=B ．y ln x =C ．sin y x =D ．2x y -=10．在ABC 中，已知60,2A a b ===，则B =（ ）A ．30或150B ．60C ．30D ．60或12011．一艘向正东航行的船，看见正北方向有两个相距海里的灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的北偏西，另一灯塔在船的北偏西，则这艘船的速度是每小时A ．海里B ．海里C ．海里D ．海里12．函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．2π13．若复数cos sin z i αα=+，则当2απ<<π时，复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．在ABC 中，若(sin sin )(sin sin )sin (sin sin )A B A B C C B +-≤-，则A 的取值范围是 A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．已知角α终边经过点()1,m -，且3sin 5α=-，则tan α=（ ）A ．34±B ．34C ．34-D ．4316．设sin35sin72sin55sin18a =︒︒-︒︒，cos3214sin172cos188b ︒-=︒︒，221tan 361tan 36c -︒=+︒，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>17．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 18．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，……为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为（ ）A B C ．134D ．13219．若一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为 A ．2B ．1C ．21sin 1D ．21cos 120．在中，则A ．B ．C ．D ．21．已知，则sinxcosx+1等于A ．B ．C ．D ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 3cos 0a B b A +=，则tan A =（ ） A ．3B ．13C ．13-D ．3-23．函数3cos y x x =-的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．24．已知2{|0}1x A x x -=<+，{}|cos ,B y y x x A ==∈ ，则A B =（ ） A ．(cos2,1]B ．[cos2,1]C ．(1,2]-D ．(1,cos2]-25．已知3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且212sin 5cos 9αα-=，则cos2=α（ ） A ．13B ．79-C ．79D ．1826．cos160sin10sin20cos10-=（ ）A ．BC ．12-D ．1227．函数y ＝sin （x π6-）的图象与函数y ＝cos （2x π3-）的图象A ．有相同的对称轴，但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心，但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴，也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心，也无相同的对称轴28．已知6x π=-为函数()sin f x a x x =的图象的一条对称轴，若()()120f x f x +=，且()f x 在()12,x x 单调，则()12f x x +=（ ）A ．0B ．1CD ．229．当θ取遍全体实数时，直线πcos sin 4)4x y θθθ+=+ 所围成的图形的面积是（ ） A ．πB ．4πC ．9πD ．16π30．已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．12C ．2D ．331．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如下图所示，下列说法错误．．的是（ ）A ．函数()y f x =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 C ．函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．该图象对应的函数解析式为2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32．在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos c a a B -=，则ba的取值范围是（ ）A ．(B ．C ．(D ．()0,133．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =34．下列区间中，使函数cos y x =为增函数的是 A ．[0,]πB ．3[,]22ππC ．[,2]ππD ．[,]22ππ-35．已知α△3π,π2⎛⎫⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A ．7B ．17C ．-17D ．-736．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()P ，则cos2=α（ ）A ．12-B ．12C ．D 37．函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴正半轴两交点之间的最小距离为π2，若要将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位得到()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间为A ．()π2ππ,π63k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．()π7ππ,π1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZC ．()5πππ,π1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭ZD ．()πππ,π66k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z38．在ABC ∆中，15,10,60,a b A ===︒则cos B =（ ）A B C ．D 或39．“34πθ=”tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件40．已知点(cos ,sin )P θθ与点(cos()sin())66Q ππθθ+⋅+，关于x 轴对称，则（ ）A ．1sin(2)62πθ+=B ．1cos(2)62πθ+=C ．sin 2sin(2)3πθθ=+D ．cos 2cos(2)3πθθ=+41．函数21()cos cos 2f x x x x =+-在下列某个区间上单调递增，这个区间是 A ．-03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．-33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．π6B ．π6-C ．π3D ．π3-43．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（ ） A ．3B ．32π- C ．532π- D ．32π-44．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，已知15A =，2a =，则b cc b+的值为（ ）A B ．C D ．45．已知抛物线的焦点F 到准线l 的距离为p ，点A 与F 在l 的两侧，⊥AF l 且2AF p =，B 是抛物线上的一点，BC 垂直l 于点C 且2BC p =，AB 分别交l ，CF 于点,DE ，则BEF ∆与BDF ∆的外接圆半径之比为A ．12B C D ．2二、填空题46．已知tan α=[],αππ∈-，则α=______． 47．22cot csc αα-=______________. 48．已知复数ππsini cos 33z =+，则z =________． 49．函数()sin cos f x x x =+的值域为___________. 50．函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是________.51．某饭店顶层旋转餐厅的半径为20米，该餐厅每分钟旋转112弧度，则餐厅边缘一点1小时所转过的弧长是____________米.52．若πsin 47α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=______．53．ABC 中，3A π=，4B π=，BC =，则ABC 的周长是______．54．如图，为测量一个旗杆AB 的高度，在C 处测得杆顶的仰角为60︒，后退40米到达D 处测得塔顶的仰角为30，则旗杆的高度为___________米.55．已知()1cos 753α︒+=，则()()sin 15cos 105αα-︒+︒-的值是________．56________ . 57．在中，若＝＝，则的形状是_________三角形．58．三角形ABC 的内角A ，B 的对边分别为,a b ，若()cos sin 02a A b B ππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，则三角形ABC 的形状为__________．59．设ABC 分别为,,a b c 内角,,A B C 的对边.已知a =4b =，c =则C =_____. 60．若函数1()2cos f x x =+，则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭________．61．若4sin 5α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α等于_________. 62．已知ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sin 1cos sin 2cos A A B B +=-，3cos 5A =，6ABCS=，则=a ______．63．在ABC 中，60A ︒∠=，3AC =，面积为332，那么BC 的长度为_________． 64．函数2sin cos 1y x x =-+的最大值为___________ .65．已知函数()sin(3)5f x x π=+的图象关于直线()0x m m π=<<对称，则m 的最大值为___________.66．在△ABC 中，AB =2，AC =3，△BAC =120°，点D 在边BC 上，且AD 平分△BAC ，则AD 的长为________67．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为676π，PB ⊥平面ABC ，10PB =，150BAC ∠=︒，则BC 的长为___________.68．已知函数()sin f x x =，若对任意的实数(,)46αππ∈--，都存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最大值是____.69．将函数2()2sin sin 21f x x x =+-图像先向左平移4π个单位，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若1()2g α=，,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos α=______.70．已知函数y =sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则φ=______．71．若函数()sin 2cos 2f x x x =+在[0,]2m和[3,]m π上均单调递增，则实数m 的取值范围为________．72．某城市的电视发射搭建在市郊的一座小山上. 如图所示，小山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，测得,A C 两点间距离为50米，从点A 观测电视发射塔的视角（CAD ∠）为45︒，则这座电视发射塔的高度为_________米.73．在ABC 中，若3BC =，AC =2B A =，则cos A =___________.74．为创建全国文明城市，上饶市政府决定对某小区内一个近似半圆形场地进行改造，场地如图，以O 为圆心，半径为一个单位，现规划出以下三块场地，在扇形AOC 区域铺设草坪，OCD 区域种花，OBD 区域养殖观赏鱼，若AOC COD ∠=∠，且使这三块场地面积之和最大，则cos AOC ∠=___________.三、解答题75．已知()()sin cos 2ππαπααπ⎛⎫--+<< ⎪⎝⎭，求下列各式的值： (1)sin cos αα-；(2)33sin +cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．76．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos 5A =，1tan()3B A -=．（1）求tan B 的值；（2）若13,c =求ABC ∆的面积．77．已知4tan 3α=-，且α是第四象限角，求cot ,cos ,csc ααα的值.78．已知α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2cos cos cos 5αβαβ=⎧⎪⎨=⎪⎩(1)求αβ+的值； (2)证明：04παβ<-<，并求()sin αβ-的值．79．已知、、分别是的三个内角、、所对的边 （1）若面积求、的值；（2）若，且，试判断的形状．80．已知函数()2cos cos 3f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． （1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间；（2）△ABC 内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若()1,f B b c ===a 的值．81．2022年是上海浦东开发开放32周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头､旧仓库变身步行道､绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形ABCDE 所示，线段BE 处修建步行道，BDE 为等腰三角形，且1112CDE π∠=，3BCD π∠=，4CBD π∠=，CD =.(1)求步行道BE 的长度；(2)若沿海的ABE △区域为绿化带，23π∠=BAE ，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积. 82．已知23sin 2sin 12αα=-(1)求sin 2cos2αα+的值；(2)已知(0,)απ∈，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22tan tan 10ββ--=，求αβ+的值.83．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222b c a +=. （1）求角A 的大小；（2）若a =1)b +的取值范围.84．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP θ+∠=，n *∈N .（1）若31arctan 3θ=，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为(，求n θ的最大值及相应n 的值.85．在△3sin 4cos a C c A =；△2sinsin 2B Cb B +这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．然后解答补充完整的题，在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知______，a =（1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点，MC MB =，2ABM π∠=，求边c ．86．一艘海轮从A 出发，沿北偏东70︒的方向航行1)n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东10︒的方向航行2n mile 到达海岛C ．(1)求AC 的长；(2)如果下次航行直接从A 出发到达C ，应沿什么方向航行？87．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A -+=． (1)求B ；(2)从以下条件中选择两个，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积． △若5a =；△3b =；△23C π=；△△ABC 的周长为9．88．在△sin sin sin sin a A b B A c C ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，△22cos b c A a =+，△222cos sin sin sin cos A A B B C +=+，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答.在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且______. (1)求角C 的大小；(2)若AC π4B =，求AB 的长度. 89．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且满足cos cos 2A aB b c=-+． （1）求角A 的大小； （2）求sin sin B C 的最大值．90．在△ ABC 中，C 为锐角，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是外接圆半径，已知向量(,),(cos ,cos )m a b n B A ==，且m n R ⋅=. （△）求角C ；（△）若2b =，△ ABC cos()3B π+的值.91．已知向量()sin ,cos a m x x =，()cos ,cos b x n x =，()f x a b =⋅，且()f x 的图像过点12π⎛ ⎝⎭和点1,82π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求m ，n 的值及()f x 的最小正周期； （2）若将函数()y f x =的图像向左平移8π个单位长度，得到函数y g x 的图像，求()g x 在,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的值域和单调递减区间.92．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =，3AB AC ⋅=． （1）求ABC ∆的面积； （2）若1c =，求a 的值．93．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=. (1)求角C 的大小；(2)若4CA CB ⋅=，6a b +=，求c . 94．正方体1111ABCD A B C D -中：（1）求AC 与1A D 所成角的大小；（2）若F 分别为AD 的中点，求1BD 与CF 所成角的余弦值.参考答案：1．B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】由2sin3且,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则cosα===所以2sintancosααα-====.故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了计算求解能力，属于基础题.2．C【解析】根据由余弦定理,可得2222cosb ac ac B=+-,代入数据,即可求得答案.【详解】由余弦定理,得2222cos3b ac ac B=+-=,∴b=故选:C.【点睛】本题考查了根据余弦定理求三角形边长,解题关键是掌握余弦定理,考查了计算能力,属于基础题.3．A【解析】【分析】利用正切型函数的周期公式可计算出函数tan2y x=的周期.【详解】由题意可知，函数tan 2y x =的周期为2T π=.故选A. 【点睛】本题考查正切型函数周期的计算，利用正切型函数的周期公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】根据各角度所在象限，即可判断各个选项的正误，即可得答案. 【详解】165°是第二象限角，因此sin165°>0，故A 正确； 280°是第四象限角，因此cos280°>0，故B 正确； 170°是第二象限角，因此tan170°<0，故C 错误； 310°是第四象限角，因此tan310°<0，故D 正确． 故选：C 5．B 【解析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin 43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可. 【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin 43sin17=-︒︒︒︒1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B 【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】函数2cos 1y x =+的单调递减区间与函数cos y x =相同，求得cos y x =的单调区间界，既得答案. 【详解】由题可知函数2cos 1y x =+的单调递减区间与函数cos y x =相同 因为函数cos y x =在[0,2]xπ内的单调递减区间为[0,]π所以函数2cos 1y x =+的单调递减区间为[0,]π. 故选：B 【点睛】本题考查余弦函数的单调区间，属于简单题. 7．B 【解析】 【详解】试题分析：2x 2＋3x －2＝0的根为－1，12，所以三角形的两边夹角的余弦是12，由余弦定B ．考点：本题主要考查余弦定理的应用．点评：简单题，注意到三角形中，角的取值范围是（0，π），因此，三角形内角的余弦不可能为－1. 8．C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式先求出弧长，进而求出圆心角的弧度. 【详解】设该扇形的弧长、半径及圆心角的弧度分别为,,l r α，则r =2，扇形面积2112232223323l S lr l l r ππππα==⨯⨯=⇒=⇒===. 故选：C. 9．B 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A ，y 1x=，为反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意； 对于B ，y ＝lnx ，为对数函数，在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意； 对于C ，y ＝sin x ，为正弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，y ＝2﹣x ＝（12）x ，是指数函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；故选B ． 【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键掌握常见函数的单调性，属于基础题． 10．C 【解析】 【分析】利用正弦定理求解以及用三角形的大边对大角进行检验. 【详解】因为在ABC 中，60,2A a b ===， 由正弦定理有：sin sin a bA B=， 所以sin 1sin2b A B a ===， 解得30B =或150，又因为a b >可得A B > 所以150B =不符合题意，舍去. 可得30B =，故A ，B ，D 错误. 故选：C . 11．C 【解析】 【详解】试题分析：设两灯塔分别为,A B ,这艘船初始位置为O ,航行半小时后所在位置为C ,OB OC ⊥ 且10AB =海里, 15,150A ACB ABC ∠=∠=∠=．所以可得10BC AB ==,60OCB ∠=, 所以在Rt BOC ∆中1cos601052OC BC ==⨯=海里,所以这艘船的速度51012V ==/海里小时．故C 正确． 考点：解三角形． 12．C 【解析】 【分析】化简()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，画出函数图像得到答案.【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数图像为将()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在x 轴下方的部分向上翻折形成，如图所示：根据图像知函数周期为π. 故选：C .【点睛】本题考查了三角函数周期，画出函数图像是解题的关键. 13．B 【解析】根据角的范围，结合复数的几何意义，即可判断出点的符号，进而得复数z 在复平面内对应的点所在象限. 【详解】复数cos sin z i αα=+，在复平面内对应的点为()cos ,sin αα， 当2απ<<π时，cos 0,sin 0αα<>，所以对应点的坐标位于第二象限， 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数符号的判断，属于基础题. 14．C 【解析】 【分析】利用正弦定理得到222a b c bc -≤-，再利用余弦定理得到1cos 2A ≥，计算得到答案. 【详解】 根据正弦定理：222(sin sin )(sin sin )sin (sin sin )A B A B C C B a b c bc +-≤-⇒-≤-根据余弦定理：2222212cos cos 023a b c bc A b c bc A A π=+-≤+-⇒≥⇒<≤ 故答案选C 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正余弦定理的灵活运用和计算能力. 15．B 【解析】 【分析】由任意角的三角函数的定义列方程求出m ，从而可求出tan α， 【详解】因为角α终边经过点()1,m -，且3sin 5α=-，35=-，所以229125m m =+，且0m <， 解得34m =-，所以3tan 14m m α==-=- 故选：B. 16．C【解析】 【分析】利用三角变换化简,,a b c ，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项. 【详解】sin35cos18cos35sin18sin17a =︒︒-︒︒=︒，2cos3212sin 16sin164sin172cos1884sin8cos8b ︒-︒===︒︒︒︒︒，22221tan 36cos 36sin 36cos 72sin181tan 36c -︒==︒-︒=︒=︒+︒， 因为016171890︒<︒<︒<︒<︒，故sin16sin17sin18︒<︒<︒. 故c a b >>， 故选：C. 17．A 【解析】 【分析】图象平移后解析式为sin 226y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由关于y 轴对称得2,62k k ϕππ+=+π∈Z ，结合ϕ的取值范围，即可求出ϕ的值. 【详解】()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后得()sin 2sin 2266x x y ππϕϕ⎡⎤⎛⎫++=++ ⎪⎢⎥⎣⎝=⎦⎭，图象关于y 轴对称，则2,62k k ϕππ+=+π∈Z ，即,62k k ϕππ=+∈Z ，因为02πϕ<≤，所以当0k =时，6π=ϕ， 故选: A. 【点睛】本题考查了三角函数的图象平移变换，考查了三角函数的性质.本题的关键是写出平移后的函数的解析式. 18．B 【解析】 【分析】根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，即可求出圆锥的底面半径与高． 【详解】解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， 即接下来的圆弧对应的圆面半径是5813+=，对应的弧长是11321342l ππ=⨯⨯=， 设圆锥底面半径为r ，则1322r ππ=，解得134r =，所以圆锥的高为h ． 故选：B ． 19．C 【解析】 【分析】根据扇形的中心角以及弦长,求出扇形的半径和弧长,利用扇形的面积公式求解即可. 【详解】由题得因为扇形的中心角为2, 中心角所对的弦长为2.故扇形的半径1sin1r =,故扇形的弧长为122sin1sin1⨯=.故扇形面积为211212sin1sin1sin 1⨯⨯= 故选：C 【点睛】本题考查了扇形的相关计算,属于基础题型. 20．A 【解析】 【详解】试题分析：由题根据正弦定理可得1.sin 45sin 60b b ︒=∴=︒，故选A. 考点：正弦定理 21．A 【解析】 【详解】试题分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：△，则sinxcosx+1=+1=+1=+1=，故选A ．考点：同角三角函数基本关系的运用． 22．D 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理可得()sin sin 3cos 0B A A +=，根据三角形内角的性质易知sin 0B ≠，即可求tan A . 【详解】由sin 3cos 0a B b A +=，结合正弦定理有sin sin 3sin cos 0A B B A +=， △()sin sin 3cos 0B A A +=，又0B π<<，即sin 0B ≠， △sin 3cos 0A A +=，可得tan 3A =-. 故选：D. 23．D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断()f x 为奇函数，进而排除选项A 、B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除选项C ，从而可得答案. 【详解】解：因为()3cos y f x x x ==-，所以()()()3cos 3cos f x x x x x -=---=， 所以()()f x f x -=-，又()f x 定义域为R ， 所以()f x 为奇函数，其图象关于原点中心对称， 所以排除选项A 、B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，从而可得选项D 正确，故选：D. 24．A 【解析】分别根据分式不等式求解以及余弦的值域求解计算集合,A B ,再求交集即可. 【详解】{}2{|0}|121x A x A x x x -=<==-<<+,{}{}|cos ,|cos21B y y x x A y y ==∈=<≤. 故A B =(cos2,1]. 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解以及根据定义域求余弦函数的值域方法,同时也考查了交集的运算,属于基础题. 25．D 【解析】 【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出cos α的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】依题意，原等式化为：()2121cos 5cos 9αα--=，整理得：()()4cos 33cos 10αα+-=，因为3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α<，△3cos 4α=-，所以21cos 22cos 18αα=-=. 故选：D. 26．C 【解析】 【分析】先根据诱导公式化角，再根据两角和正弦公式求结果. 【详解】()1cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin20cos10sin 10202-=--=-+=-,选C.【点睛】本题考查诱导公式以及两角和正弦公式，考查基本求解能力，属基础题. 27．A 【解析】 【详解】试题分析：函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为2,6223k x k x k Z πππππ-=+⇒=+∈ 函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为,33x k x k k Z ππππ-=⇒=+∈；当0k =时，二者有相同的对称轴3x π=；同理，由三角函数的性质可得函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为,0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为5,0,6k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，二者没有相同的对称中心考点：三角函数的对称轴，对称中心 28．C 【解析】 【分析】由()sin f x a x x =)x θ-，tan θ=6x π=-是()f x 的图象的一条对称轴，可求得a ，再由()()120f x f x +=，且()f x 在()12,x x 单调， 则11(,())x f x ，22(,())x f x 两点关于()f x 图象的对称中心对称，求得答案. 【详解】由()sin f x a x x =)x θ-， 由6x π=-是()f x 的图象的一条对称轴，则62k ππθπ--=+，得23k πθπ=--，又tan θ==1a =，则()sin f x x x =2sin()3x π=-，若()()120f x f x +=，且()f x 在()12,x x 单调，则11(,())x f x ，22(,())x f x 两点关于()f x 图象的对称中心对称，即1233,2x x k k Z πππ-+-=∈，得12223x x k ππ+=+，则()12f x x +=22sin(2)33k πππ+-= 故选：C. 【点睛】本题考查了辅助角公式，正弦型函数的对称轴和对称中心的应用，还考查了学生的分析理解能力，转化能力，属于中档题.29．D 【解析】 【详解】因为sin cos 4sin cos x y θθθθ+=++，所以(1)sin (1)cos 4x y θθ-+-=，也即)4θϕ+=1=4=，这表示的以(1,1)C 为圆心，4为半径的圆，所以当θ取遍全体实数时，直线πcos sin 44x y θθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 所围所围成的图形（圆）的面积是16S π=，应选答案D ．30．D 【解析】 【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得tan 2α，再根据两角和正切公式求结果.【详解】△α为锐角，3cos 5α=，△4sin 5α， 则2sin 2sincos 222tan2cos2cos 22αααααα==4sin 1531cos 215αα===++， △1tantan1422tan 31421tan tan 1422παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--. 故选：D 【点睛】本题考查同角三角函数关系、二倍角公式、两角和正切公式，考查基本分析求解能力，是基础题. 31．A 【解析】 【分析】根据函数图像解出函数解析式后，对选项逐一判断 【详解】由图可知2A =，4()312T πππ=⨯-=，故2ω=，将(,2)12π代入解得3πϕ=故2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 正确对于A ，令2[2,2],322x k k k Z πππππ+∈-++∈，解得5[,],1212x k k k Z ππππ∈-++∈，故A 错误对于B ，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得对称轴为,122k x k Z ππ=+∈，故B 正确 对于C ，令2,3x k k Z ππ+=∈，解得对称中心为,0,62k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确 故选：A 32．B 【解析】 【分析】化简已知得2B A =,根据已知求出A 的范围和2cos bA a=，即得b a 的取值范围.【详解】由正弦定理得2cos c a a B -=．sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+()sin sin A B A ∴=-． 22B A π∴=<，因为32C A ππ=-<，02A π<<，64A ππ∴<<，所以sin sin 22cos sin sin b B AA a A A===∈．故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化，考查三角恒等变换和余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 33．B 【解析】 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项．【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ． 故选：B ． 【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．. 34．C 【解析】 【详解】由余弦函数的图像可知其增区间为[2,2]()k k k Z πππ-+∈，则当1k =函数增区间为[,2]ππ，应选答案C ． 35．B 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力. 36．B 【解析】 【分析】由三角函数的定义求出cos a ，再由二倍角公式求出cos2a ． 【详解】cos α==21cos 22cos 12αα=-=. 故选：B. 37．C 【解析】 【分析】根据题意，求得T π=，得到函数的解析式()sin(2)6f x x π=+，再根据图象的变换求得函数()sin(2)3g x x π=+，再由函数的单调性，即可求解函数的单调区间.【详解】由函数()sin()6f x wx π=+的图象与x 轴正半轴两交点之间的最小距离为2π，即22T π=，即T π=，所以2w ππ=，解得2w =，即()sin(2)6f x x π=+， 将函数()f x 的图象向左平移12π个单位得到()sin[2()]sin(2)1263g x x x πππ=++=+， 令222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 即函数的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质，对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数；另外在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言. 38．B 【解析】 【分析】根据正弦定理得到sin B =cos B 得到答案. 【详解】10sin B =，故sin B =，且60B <︒，故cos B .故选：B . 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 39．A 【解析】 【分析】先看34πθ=tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立时，能否推出34πθ=，即判断必要性，由此可得答案. 【详解】当34πθ=31tan 224πππθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即“34πθ=”tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的充分条件；tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin tan =cos θθθθ=，则sin 0θ= 或cos θ=，则k θπ= 或32,4k k Z πθπ=±∈,tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立，推不出34πθ=一定成立，故“34πθ=”tan 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的必要条件， 故选：A. 40．D 【解析】 【分析】依题意可得cos cos 6πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin sin 6πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，从而得到2,12k k Z πθπ=-+∈，即可求出sin 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、cos 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后利用二倍角公式求出cos2θ与sin2θ即可；【详解】解：由已知可知：cos cos 6πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin sin 6πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2,12k k Z πθπ=-+∈．所以sin 2sin 4sin 006k πθπ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，cos 2cos 4cos 016k πθπ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，sin22sin cos 2sin cos sin 2663πππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222cos2cos sin cos sin cos 2663πππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D ． 41．A 【解析】 【详解】△函数()21cos cos 2f x x x x =+- △()sin(2)6f x x π=+令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，则,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.△当0k =时，36x ππ-≤≤，即函数()f x 的一个单调增区间为[,]36ππ-. 故选A. 42．B 【解析】 【分析】结合函数图像，由周期求出ω，再由()16f π=求出ϕ的值.【详解】由图像可知：2()6122T πππ=⨯+=,故2==4Tπω， 又()16f π=，所以4+=+2()62k k Z ππϕπ⨯∈，2()6k k Z πϕπ∴=-+∈又||2ϕπ<，故：6πϕ=-.故选：B 43．C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出tan α，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】解：因为角α的终边上一点()sin3,cos3P ， 所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<， 又cos30,sin30<>， 所以α为第四象限角， 所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤， 所以532πα=-. 故选：C. 44．B 【解析】 【分析】由已知结合三角形的面积公式及余弦定理可得221sin152cos152bc b c bc ︒=+-︒，化简即可求解 【详解】解：15A =，2a =，∴221sin152cos152bc b c bc ︒=+-︒，22sin152cos15bc b c ∴︒+︒=+，2214cos152bc b c ⎫∴︒+︒=+⎪⎪⎝⎭ ()224sin 1530bc b c ∴︒+︒=+整理可得，22b c +=，∴22b c bc bc+=则b c c b+=故选：B ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于中档题【解析】【详解】由题得如图，3,3,,2,AFBC ,FC 2B p p AF BC p EF FC FE p 所以为平行四边形，又⎛⎫====∴= ⎪⎝⎭，11,23AD AM AD AB BD BC ==∴=,A B =所以，,AF AD p DF AD p ∴===又为中垂线，所以，由正弦定理得，122,2sin sin EF DF R R EBF EBF==∠∠,所以BEF BDF 、的外接圆半径之比为EF DF =故选B 点睛：考察正弦定理和三角想外接圆半径的关系，正弦定理的值是三角形外接圆的直径，做此类型得题多化草图分析理解题意46．23π或3π- 【解析】【分析】根据正切函数值及角的所属范围求角即可.【详解】πtan π,3a k k Z α==-∈又[]ππ,π3αα∈-∴=- 或2π3α=. 故答案为：2π3或π3-. 47．1-【分析】将余切和余割都转化为正弦和余弦，然后利用同角三角函数的基本关系式进行化简，由此求得表达式的结果.【详解】 依题意，原式22222cos 1sin 1sin sin sin ααααα-=-==-. 故填：1-.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.48．1【解析】【分析】先结合三角函数值化简复数z ，进而求出复数的模【详解】△1sin i cos i 33π2πz =+=△1z ==. 故答案为：149．[【解析】【分析】化简得())4f x x π=+，即得解. 【详解】由题得())4f x x π=+，所以当sin()14x π+=-时，()=min f x当sin()14x π+=时，()max f x所以函数的值域为[.故答案为：[50．π【解析】【详解】1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+，T=22ππ=. 51．100【解析】【分析】求出圆心角的弧度数后，利用弧长公式可求得结果.【详解】 依题意可得圆心角的弧度数160512α=⨯=弧度，又半径20r =米 根据弧长公式可得餐厅边缘一点1小时所转过的弧长l r α=⋅205100=⨯=米.故答案为：10052．3349- 【解析】【分析】将题干条件展开，平方后即可得到答案.【详解】因为)πsin sin cos 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以()224sin cos 7αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以161sin 249α+=，故33sin 249α=-． 故答案为：3349-53【解析】【分析】用正弦定理和两角和公式计算即可.【详解】依题意，43C πππ⎛⎫∠=-+ ⎪⎝⎭，由正弦定理得：,sin sin BC AC AC A B==，,2sin 2sin cos cos sin sin sin 433434AB BC AB C A πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ABC 的周长=AB BC AC ++=；.54．【解析】【分析】 利用AB 表示出BC ，BD ，让BD 减去BC 等于40即可求得AB 长．【详解】解：设m AB h =，则BC =，BD =，40=，h ∴=，故答案为：55．23- 【解析】【分析】利用诱导公式可求()1sin 153α-︒=-，()1cos 1053α︒-=-，从而可求三角函数式的值. 【详解】因为()1cos 753α︒+=， 所以()()()1sin 15sin 7590cos 753ααα⎡⎤-︒=︒+-︒=-︒+=-⎣⎦ ()()()1cos 105cos 18075cos 753ααα⎡⎤︒-=︒-︒+=-︒+=-⎣⎦. 所以()()2sin 15cos 1053αα-︒+︒-=-.故答案为：23-. 【点睛】本题考查诱导公式的应用，注意对已知的角和未知的角的关系进行分析，从而选择合适的诱导公式进行化简，本题属于基础题．56．sin3cos3-【解析】利用诱导公式和完全平方公式将式子化成|sin3cos3|-，再根据绝对值内数的正负去绝对值.【详解】原式sin3cos3===-,又sin30>,cos30<,△sin3cos30->,△原式sin3cos3=-.故答案为：sin3cos3-.【点睛】本题考查诱导公式的应用、三角函数值的大小比较，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意sin3表示3弧度角的正弦值.57．等边【解析】【详解】试题分析:由正弦定理可得,则,故是等边三角形.故应填答案等边.考点：正弦定理及运用．58．等腰三角形或直角三角形【解析】【分析】利用三角形内角和以及诱导公式将原式化简为cos cos a A b B =，再利用正弦定理、二倍角公式化简即可.【详解】试题分析：将原式化简为cos cos a A b B =，根据正弦定理sin cos sin cos A A B B =，化简为11sin2sin222A B =， 因为,(0,)A B π∈，所以即有22A B =或22A B π+=A B =或2A B π+=,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.59．56π（或150°） 【解析】利用已知条件通过余弦定理直接求解即可.【详解】因为cos C =，()0,C π∈，所以56C π=， 故答案为：56π（或150）. 【点睛】本题主要考查三角形的解法，余弦定理的应用，属于基础题.60【解析】【分析】根据题意，结合导数运算法则，直接求解即可.【详解】 由1()2cos f x x=+，得()2sin ()2cos f x x x '=+，因此223122f π⎛⎫'== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭61．2425【解析】【分析】由同角三角函数基本关系求出cos α的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为4sin 5α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α==， 所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 故答案为：2425. 62．4【解析】【分析】 利用两角的正弦公式以及正弦定理得出2a b c =+，根据已知条件求出sin A 的值，结合三角形的面积公式可求得bc 的值，再利用余弦定理可求得a 的值. 【详解】由sin 1cos sin 2cos A A B B+=-得2sin sin cos sin cos sin A A B B A B -=+， 则()2sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin A B A B A B B A B B C =++=++=+，即2a b c =+，由3cos 05A =>可知A 为锐角，则4sin 5A =， 16sin 2ABC S bc A ∴==⋅△得15bc =， 由余弦定理得()22222316244855a b c bc b c bc a =+-⋅=+-=-， 即2348a =，解得4a =．故答案为：4.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.63．。
【高中数学专项练习】——三角函数大题20道
三角函数 专题1如图,已知的内角的对边分别是,且,点是的中点,,交于点,且.1.求;2.求的面积.2.当()πk k z α≠∈时，求证：1cos tan 2sin ααα-=3.已知函数()()212cos cos f x x x x x R =--∈. （1）求2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间. 4.写出终边落在图中阴影区域内的角的集合.5.在与530°角的终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在[)360,720︒︒内的角.6.已知函数π()2sin()4f x x =+（1）求出函数的最大值及取得最大值时的x 的值; （2）求出函数在[0,2π]上的单调区间; （3）当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的值域7.计算3πsin(3π)cos(2π)sin()2cos(π)sin(π)cos(3π)αααααα---+----+的值. 8.如图所示，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻t min 时，点P 距离地面的高度.（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过70m ？9.已知函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：（2）根据（1）的结果，若函数()(0)y f kx k =>的最小正周期为2π3，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f kx m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.10.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140mmHg 和60~90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值. 设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)p t t =+，其中()p t 为血压（mmHg ），t 为时间（min ），试回答下列问题：（1）求函数()p t 的最小正周期； （2）求此人每分钟心跳的次数；（3）求出此人的血压和血压计上的读数，并与正常值比较.11.已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：时）的函数，记作()y ft =，下表是某日某时的浪高数据. （1）根据上表数据，求函数cos y A t B ω=+的最小正周期T 、振幅A 及函数解析式.（2）依据规定，当海浪高度等于或高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内8时至20时之间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动？12.已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，其图像上相邻两个最高点间的距离为π.(1)求函数()f x 的解析式;(2)用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数()f x 在一个周期内的图像,并写出函数()f x 的单调递减区间.13.已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求sin()α+π的值; (2)若角β满足5sin()13αβ+=,求cos β的值. 14.已知函数()π2cos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(其中0,x ω>∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值； (2)设π5π65π16,0,,5,5235617ff αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈+=--=⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，求()cos αβ-的值. 15.如图所示,某市政府决定在以政府大楼 O 为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形ABCD 的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝向市政府大楼.设扇形的半径OM R =,45MOP ∠=︒,OB 与OM 之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.(2)若45R m =,求当θ为何值时,矩形ABCD 的面积 S 最大?最大面积是多少?( 1.414) 16.某港口的水深()m y 是时间t (024t ≤≤,单位:h)的函数,下面是该港口的水深表:经过长时间的观察,描出的曲线如下图所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦函数()sin y A t B ωϕ=++的图象.(1)试根据数据表和曲线,求出函数()sin y A t B ωϕ=++的表达式;(2)一般情况下,船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的.如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多少小时(忽略离港所用的时间)?17.某港口的水深y (米)是时间t (024t ≤≤,单位:小时)的函数,下面是每天不同时间与水深的关系表: t369 12 151821 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1710sin A t b ω+. (1)根据以上数据,求出()y f t =的解析式;(2)若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几个时间段可以安全的进出该港. 18.如图,某公园摩天轮的半径为40m,点O 距离地面的高度为50m,摩天轮做匀速运动,每3min 转一圈,摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.(1)已知在时刻(min)t 时点P 距离地面的高度()sin()f t A t h ωϕ=++,求2018min 时点P 距离地面的高度. (2)当距离地面50203m +以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈有多少时间可以看到公园全貌?19.据市场调查,某种商品一年内每月的价格满足函数关系式:π()sin()(0,0,||)2f x A x B A ωϕωϕ=++>><,*(N )x x ∈为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高,为9万元,7月份该商品的价格首次达到最低,为5万元. (1)求()f x 的解析式;(2)求此商品的价格超过8万元的月份.20.心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大位、最小值分别称为收缩压、舒张压,血压计上的读数就是收缩压、舒张压,读数120/80 mmHg 为标准值.设某人的血压满足()11525sin(160π)P t t =+.其中()P t 为血压()mmHg ,t 为时间(min).(1)求函数()P t 的最小正周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数()P t 在一个周期内的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.参考答案1.答案：（1）()sin sin sin a A c a C b B +-=∵，由sin sin sin a b c A B C==得222a c ac b +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0πB <<，60B =︒∴（2）连接CE ，如下图：D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE CE =∴，sin DE CE AE A ===∴ 在BCE △中，由正弦定理得sin sin sin2CE BC BCB BEC A==∠，22sin cos A A =，cos A ∴=， 0π,45A A ︒<<∴=，75ACB ︒∠=∴，30BCE ACB ACE ︒∠=∠-∠=∴，90BEC ︒∠=，CE AE ==∴1AB AE BE =+=，1·2ABC S AB CE =∴△， 解析：2.答案：证明21cos 22sin 1cos 22sin sin 22sin cos 2ta 222n αααααααα-⋅-===⋅⋅解析：3.答案：（1）()212cos cos f x x x x =--πcos 222sin 26x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭.则2π4ππ2sin 2336f ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π.由正弦函数的性质得πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k Z ∈， 解得ππππ36k x k -+≤≤+，k Z ∈，所以，()f x 的单调递减区间是πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 解析：4.答案：(1){}360135360300,k k k αα⋅︒+︒≤≤⋅︒+︒∈Z . (2){}1806018045,k k k αα⋅︒-︒<<⋅︒+︒∈Z . 解析：5.答案：（1）与530°角的终边相同的角为360170,k k ⋅+∈Z °°. 由3603601700,k k -⋅+<∈Z °°°°， 得530360170,k k -⋅<-∈Z °°°，解得1k =-，故所求的最大负角为1360170190-⨯+=-°°°. （2）由0360170360,k k <⋅+∈Z °°°°， 得170360190,k k -<⋅∈Z °°°，解得0k =，故所求的最小正角为0360170170⨯+=°°°. （3）由360360170720,k k ⋅+<∈Z °°°°， 得190360550,k k ⋅<∈Z °°°，解得1k =，故所求的角为1360170530⨯+=°°°. 解析：6.答案：（1）当ππ2π42x k +=+,即π2π,4x k =+k Z ∈时,函数的最大值为2 （2）单调增区间为π5π0,,,2π44⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,单调减区间为π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）函数()f x 的值域为⎡⎤⎣⎦因为ππππ3ππ,,sin 1224444x x x ⎛⎫-≤≤-≤+≤≤+≤ ⎪⎝⎭,所以, π2sin 24x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的值域为⎡⎤⎣⎦ 解析： 7.答案：原式()()()()sin cos cos 1cos sin cos αααααα--==--解析：8.答案：（1）以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面的高度为y m ，依题意得2ππ40sin 50032y t ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭.（2）令2ππ40sin 507032t ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，则2ππ1sin 322t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，π2ππ5π2π2π()6326k t k k ∴+<-<+∈Z ， 2π2π4π2π2π()333k t k k ∴+<<+∈Z ，3132()k t k k ∴+<<+∈Z . 令0k =，得12t <<.因此，摩天轮转动的一圈内，共有1min 点P 距离地面超过70m. 解析：9.答案：（1）设()f x 的最小正周期为T ，则11ππ2π66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 由2πT ω=，得1ω=.又由3,1,B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得2,1.A B =⎧⎨=⎩令5ππ62ωϕ⋅+=，即5ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=-， ∴函数()f x 的一个解析式为π()2sin 13f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）函数π()2sin 13y f kx kx ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3，又0,3k k >∴=.令π33t x =-. ππ2π0,,,333x t ⎡⎤⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.π2πsin ,,33y t t ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图像如图所示.由sin t s =在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，得s ⎫∈⎪⎪⎣⎭，∴方程()f kx m =在π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恰有两个不同的解，则[1,3)m ∈，即实数m 的取值范围是1,3).解析：10.答案：（1）最小正周期2π2π1min ||160π80T ω===. （2）180f T==次/min.所以此人每分钟心跳的次数为80次.（3）max min ()11525140mmHg,()1152590mmHg p t p t =+==-=.即收缩压为140mmHg ，舒张压为90mmHg ，比正常值高. 解析：11.答案：（1）由表中数据知，周期2ππ12,6T T ω=∴==. 由0, 1.5t y ==，得 1.5A B +=.由3, 1.0t y ==，得 1.0B =.0.5,1A B ∴==. 1πcos 1,[0,24]26y t t ∴=+∈.（2）1π1,cos 1126y t ∴+.πcos 06t ∴.πππ2π2π()262k t k k ∴-+∈Z .123123()k t k k ∴-+∈Z . 又820,1,915t k t ∴=.∴冲浪爱好者从9时到15时，有6小时可进行运动.解析：12.答案：(1)因为()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以()f x 的最小正周期πT =,由2π||T ω=,可得2ω=.因为sin y x =的对称中心为(π,0),k k ∈Z ,所以5π2π()12k k ϕ⨯+=∈Z ,即5ππ()6k k ϕ=-∈Z .又π||2ϕ<,所以π6ϕ=,所以函数的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)由“五点作图法”找出函数()f x 在一个周期内的五个关键点,如表所示.由ππ3π2π22π,262k x k k +++∈Z ,可得π2πππ,63k x k k ++∈Z ,所以函数()f x 的单调递减区间是π2ππ,π,63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 解析：13.答案：(1)由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,得4sin 5α=-,所以4sin(π)sin 5αα+=-=. (2)由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-,由5sin()13αβ+=,得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-,得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 解析：14.答案：（1）因为函数()f x 的最小正周期为10π，所以2π10πω=，所以15ω=. （2）因为5π6535f α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以15πππ62cos 52cos 53625αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3sin 5α=.又因为5π165617f β⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以15ππ162cos 52cos 56617ββ⎡⎤⎛⎫-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以8cos 17β=.因为π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以415cos ,sin 517αβ==,所以()48315cos cos cos sin sin 5175177785αβαβαβ-=+=⨯+⨯=.解析： 15.答案：(1) 由题意，可知点M 为PQ 的中点，所以OM AD ⊥. 设OM 与BC 的交点为F ,则2sin ,cos BC R OF R θθ==， 所以1cos sin 2AB OF AD R R θθ=-=-, 所以()()222sin cos sin 2sin cos 2sin S AB BC R R R R θθθθθθ=⋅=-=- ()222πsin 21cos 2sin 24R R θθθ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭,π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(2) 因为π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π2,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ242θ+=，即π8θ=时,S 有最大值. ))()222max 11450.4142025838.35S R m ==⨯=⨯=.故当π8θ=时，矩形ABCD 的面积S 最大，最大面积为838.352m . 解析： 16.答案：(1)由周期求得π6ω=,由最大、最小值求得3A =,由y 轴截距求得 10B =,所以()π3sin 100246y t t =+≤≤. (2)由于船的吃水深度为7m,船底与海底的距离不少于4.5m,故在船航行时水深11.5m y ≥. 令π3sin 1011.56y t =+≥,得π1sin 62t ≥.解得()12125k t k k +≤≤+∈Z , 取0k =,则15t ≤≤;取1k =,则1317t ≤≤.即该船在凌晨1点到凌晨5点和下午1点到5点两个时间段能够安全进港.从而,船舶要在一天之内在港口停留时间最长,就应从凌晨1点进港,下午17点前离港,在港内停留的时间为16h. 解析：17.答案：(1)由表中数据可以得到水深最大值为13,最小值为7, ∴13713710,322b A +-====,且相隔12小时达到一次最大值说明周期为12, 因此212,6T ωωππ===,故()3sin 10(024)6f t t t π=+≤≤. (2)要想船舶安全,必须深度()11.5f t ≥, 即3sin 1011.56t π+≥,∴1sin 62t π≥, 即522,Z 666k t k k ππππ+≤≤π+∈, 解得121125,Z k t k k +≤≤+∈,又024t ≤≤,当0k =时,15t ≤≤;当1k =时,1317t ≤≤;故船舶安全进港的时间段为(1:005:00),(13:0017:00)--.解析：18.答案：(1)依题意,40,50,3A h T ===,∴223T ωππ==, 又(0)10f =,∴2ϕπ=-,∴2()40sin 50(0)32f t t t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭, ∴5(2018)40sin 50706f π=+=. 即第2018min 时点P 所在位置的高度为70m.(2)由(1)知,2()40sin 5032f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 25040cos (0)3t t π⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,依题意()50f t >+∴240cos 3t π⎛⎫-> ⎪⎝⎭∴2cos 3t π⎛⎫< ⎪⎝⎭解得52722,Z 636k t k k ππππ+<<π+∈, 即5733,Z 44k t k k +<<+∈.∵75133442k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴转一圈有0.5min 可以看到公园全貌.解析：19.答案：(1)由题可知7342T =-=,∴8T =,∴2ππ4T ω==. 又592952B A +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,∴27A B =⎧⎨=⎩,∴π()2sin 74f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(*) 又()f x 过点(3,9),代入(*)式得3π2sin 794ϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, ∴3πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴3ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈. 又π||2ϕ<,∴π4ϕ=-, ∴*ππ()27(112,N )44f x n x x x ⎛⎫=-+≤≤∈ ⎪⎝⎭. (2)令ππ()2sin 7844f x x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭, ∴ππ1sin 442x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,∴πππ5π2π2π,Z 6446k x k k +<-<+∈, 可得51388,Z 33k x k k +<<+∈. 又112x ≤≤,*N x ∈,∴2,3,4,10,11,12x =,即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元. 解析：20.答案：(1)由题意,可得2π1(min)160π80T ==, 所以函数()P t 的最小正周期为1min 80. (2)函数()P t 的频率180(/min)f T==次, 即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表:描点、连线得函数()P t在一个周期内的简图如图所示.(4)此人收缩压为11525140(mmHg)-=,与标准值120/80 mmHg相比较,此人血压偏高.+=,舒张压为1152590(mmHg)解析：。
高考三角函数专题(含答案)
高考专题复习三角函数专题模块一——选择题一、选择题： (将正确答案的代号填在题后的括号内． )π5π1．(2021天·津)以下图是函数 y ＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间 －6，6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 y ＝sinx(x∈R)的图象上所有的点 ( )π1A ．向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变π2倍，纵坐标不变B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3π1C ．向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短2，纵坐标不变到原来的π2倍，纵坐标不变D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6y ＝Asin(ωx＋φ)中A ＝1，2ππ π解析：观察图象可知，函数 ω＝π，故ω＝2，ω×－6＋φ＝0，得φ＝ 3，所以函数y ＝sin 2x ＋ ，故只要把y ＝sinx 的图象向左平移π1即个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的2可．答案：A2．(2021全·国Ⅱ)为了得到函数 y ＝sin2x －π的图象，只需把函数y ＝sin2x ＋π的图象()36πB ．向右平移A ．向左平移个长度单位个长度单位44πD ．向右平移C ．向左平移2个长度单位2个长度单位解析：由y＝sin2x＋πx→x＋φ＝sin2x－πππ――→y＝sin2(x＋φ)，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－6634π即向右平移4个长度单位．应选B. 答案：B3．(2021重·庆)函数y＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π的局部图象如下图，那么()2πB．ω＝1，φ＝－πππA．ω＝1，φ＝66C．ω＝2，φ＝6D．ω＝2，φ＝－6解析：依题意得T＝2π7ππππ2πππω＝412－3＝π，ω＝2，sin2×3＋φ＝1.又|φ|<2，所以3＋φ＝2，φ＝－6，选D.答案：D4．函数 y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如下图，那么ω＝( )11A．1B．2 C.2D.32π解析：由函数的图象可知该函数的周期为π，所以 ω＝π，解得ω＝2.答案：Bπ()5．函数y ＝sinx －12cosx －12，那么以下判断正确的选项是A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π，012B ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，012C ．此函数的最小正周期为 2π，其图象的一个对称中心是π，6D ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，6ππ1π解析：∵y＝sinx －12·cosx－12＝2sin2x －6，∴T＝2ππ2＝π，且当x ＝12时，y＝0.答案：Bπa 的值为()6．如果函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图象关于直线对称，那么实数 x ＝－8A.2B ．－2C．1D．－1π分析：函数f(x)在x ＝－ 时取得最值；或考虑有8ππf－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88解析：解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－πππ8对称，所以f－8＋x＝f－8－x对一切实数x都成立，即sin2ππ－＋x＋acos2－＋x＝sin2ππ－－x＋acos2－－xππsin－4＋2x＋sin4＋2xππ＝acos4＋2x－cos－4＋2x，ππ∴2sin2x·cos4＝－2asin2x·sin4，即(a＋1)sin2x·＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为，∴a＋1＝0，即a＝－1，应选D.π解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－8对称．ππ∴有f－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88π特别，对于x＝8应该成立．π将x＝8代入上式，得f(0)＝f－，ππ∴sin0＋acos0＝sin－2＋acos－2∴0＋a＝－1＋a×0.∴a＝－1.应选D.解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其图象的对称轴方程π2x＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，kππφx＝2＋4－2(k∈Z)．kππφπ令2＋4－2＝－8(k∈Z)．3π得φ＝kπ＋4(k∈Z)．π但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－2角的终边相同，∴a＝－1.解法四：y＝sin2x＋acos2x＝21＋asin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)的对称轴为πy＝－8，π∴当x＝－8时函数y＝f(x)有最大值或最小值，所以1＋a2＝fπ－8或－1＋a2＝fπ－8，即1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4，或－1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4.解之得a＝－1.应选D.答案：D评析：此题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程xωxππkπ＋2－φπ＋φ＝kπ＋2(k∈Z)的解x＝ω(k∈Z)，然后将x＝－8代入求出相的φ，再求a的．解法四利ππ用称的特殊性，在此函数f(x)取最大或最小．于是有f－8＝[f(x)]max或f－8＝[f(x)]min.从而化解方程，体了方程思想．由此可，本体了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出其西．模块二——填空题二、填空：(把正确答案填在后的横上．)π7．(2021福·建)函数f(x)＝3sinωx－6(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的象的称完全相同．假设π，f(x)的取范是________．x∈0，2解析：∵f(x)与g(x)的象的称完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)ππππ5π13≤3，即f(x)＝3sin2x－6，∵≤2x－≤≤sin2x－61，∴－≤3sin2x－6 0≤x≤2，∴－666，∴－22的取范，3.答案：－3，318．函数y＝cos2πx的象位于y 右所有的称中心从左依次A1，A2，⋯，An，⋯.A50的坐是________．解析：称中心横坐x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得．答案：(99,0)9．把函数y＝cosx＋π的象向左平移m个位(m>0)，所得象关于y称，m的最小是3________．解析：由y＝cos(x＋πππ3＋m)的象关于y称，所以3＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－3，当k＝1，m最2小3π.答案：2π310．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，那么M×N所对应的图形的面积为________．解析：如下图阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BC×CD＝π·2＝2π.答案：2π模块三——解答题三、解答题：(写出证明过程或推演步骤．) 11．假设方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值．分析：设函数y1＝3sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．解：设f(x)＝π3 sinx ＋cosx ＝2sin x＋6，x∈[0,2．π]π令x＋6＝t，那么f(t)＝2sint，且t∈π6，13π6 .在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程3sinx＋cosx＝a在[0,2上π]有两个不同的实数解．当1＜a＜2时，t1＋t2＝π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝π，2π∴x1＋x2＝3；当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝3π，8πx1＋x2＝3.综上可得，a的取值范围是(1,2)∪(－2,1)．2π当a∈(1,2)时，x1＋x2＝3；8πa∈(－2,1)时，x1＋x2＝3.评析：此题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想及换元法．解答此题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围，仍把t当成在[0,2 π]中处理，从而出错．11πφ<π)，其图象过点π1＋φ(0<，12．(2021山·东)函数f(x)＝2sin2xsinφ＋cosxcosφ－2sin262.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函2π数g(x)在0，4上的最大值和最小值．11π解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin＋φ(0<φ<π)，2211＋cos2x1所以f(x)＝2sin2xsinφ＋2cosφ－2cosφ1 12sin2xsinφ＋2cos2xcosφ12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)1π2cos(2x－φ)，π1又函数图象过点6，2，11ππ所以2＝2cos2×6－φ，即cos3－φ＝1，π又0<φ<π，所以φ＝3.1π1(2)由(1)知f(x)＝2cos2x－3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得1 2 3 4 56π到函数y ＝g(x)的象，可知g(x)＝f(2x)＝2cos4x －3，π4x∈[0，π]，因x∈0，4 ，所以ππ2π1因此4x － 3∈－3，3 ，故－ 2≤cos4x －3≤1. 所以y ＝g(x)在0，π114上的最大和最小分 2和－4.13.〔2021天津卷理〕在⊿ ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA求AB 的： (II) 求sin 2A 的4本小主要考正弦定理、余弦定理、同角三角函数的根本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基知，考根本运算能力。
2023届高考数学大题专项(三角函数与解三角形)练习(附答案)
(1)若 D 为 BC 的中点,且△CDF 的面积等于△ABC 的面积,求∠ABC;
(2)若∠ABC=45°,且 BD=3CD,求 cos∠CFB.
参考答案
1.解 (1)f(0)=2cos20+sin 0=2.
(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为 π.
f(x)=2cos2x+sin 2x=(cos 2x+1)+sin 2x=√2
6.(山东潍坊一模,17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin
A+sin C),且 m∥n.
(1)求 C;
(2)若√6c+3b=3a,求 sin A.
7.(山东模考卷,18)在△ABC 中,∠A=90°,点 D 在 BC 边上.在平面 ABC 内,过点 D 作 DF⊥BC,且
-B =4√3sin B
cos
2
sin
2
3
B+ sin B =6sin Bcos B+2√3sin2B=2√3sin 2B当 2B-
π
6
π
2π
π
π
+√3.因为 0<B< ,所以- <2B6
3
6
6
7π
.
6
π
π
,即 B= 时,△ABC 面积取得最大值 3√3.
2
3
4.解 (1)在△ABC 中,因为 a=3,c=√2,B=45°,由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=9+2
由正弦定理得,c2=a+b2.
因为 a=4,所以 b2=c2-4.
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含答案
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．数学家欧拉通过研究，建立了三角函数和指数函数之间的联系，得到著名的欧拉公式i e cos isin x x x =+(i 为虚数单位)，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，3i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数22()cos 3sin 1f x x x =-+的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．若360k αθ=⋅︒+，()360,m k m βθ=⋅︒-∈Z ，则角α与角β的终边一定（ ） A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称4．sin 480︒的值是（ ）A ．12B ．12-C D ． 5．下列各角中与60︒角终边相同的角是( ) A ．－300°B ．－60°C ．600°D ．1 380°6．一架直升飞机在300m 高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60︒，则塔高为（ ）A ．200mB ．C ．D ．100m7．已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b =1a =，23B π=，则c =（ ）A B ．2CD ．38．为了得到函数2cos ,y x x R =∈的图像，只需把cos ,y x x R =∈图像上所有点（ ） A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍 C ．横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 D ．横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12倍9．把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（ ）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-10．设sin160a ︒=，则cos340︒的值是（ ）A ．21a - BC ．D ．11．已知,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且24sin225α=-，则sin cos αα+=（ ）A ．15B ．15- C ．75- D ．7512．已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 2cos 1cos 2ααα-=+（ ） A．56- B ．75- C ．2- D ．13．已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是 A ．2πB ．76πC ．56π D ．π14．已知曲线21:C y x =，曲线2:sin 2cos 2C y x x =+，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线1C 关于原点对称B ．4x π=是曲线2C 的一条对称轴C ．曲线1C 向右平移8π个单位长度，得到曲线2C D ．曲线2C 向左平移4π个单位长度，得到曲线1C15．函数3sin 2x y x =的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．16．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()5c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（ ）A ．3B C D ．17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c =，b ，则ABC 的面积最大值为（ ）AB ．CD ．18．已知sin()0,cos()0θπθπ+<->，则θ是第象限角. A ．一 B ．二 C ．三D ．四19． 若，且,42x ππ<<则cos sin x x -的值是A ．B ．C ．D ．20．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =（ ） A ．513B ．6365C ．2113D ．31021． E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan△ECF=A ．B ．C ．D ．22．已知θ为第四象限角，sin cos θθ+=sin cos θθ-=（ ）A ．B ．C D23．在数列{}n a 中,()*1153n n a a a n n N +==-+∈，，若该数列的前三项可作为三角形的三边长,则此三角形最小角与最大角之和为 A ．150°B ．135°C ．120°D ．90°24．将函数()π2sin +36x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) 的解析式为 A ．()π2sin +134x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()π2sin 134x g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ C ．()π2sin 1312x g x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．()π2sin 1312x g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭25．某船在岸边A 处向正东方向航行x 海里后到达B 处，然后向南偏西60︒方向航行3海里达到C 处，若A 与Cx 的值是（ ）A ．3BC ．D ．26．一艘船航行到点B 处时，测得灯塔C 在其北偏东15°的方向，如图，随后该船以25海里/小时的速度，沿西北方向航行两小时后到达点A ，测得灯塔C 在其正东方向，此时船与灯塔C 间的距离为（ ）A ．(253海里B ．25海里C ．(253海里D ．(25海里27．北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽、如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46km处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为（ ） （参考数据：sin16.280.28︒≈，sin47.430.74︒≈，sin31.150.52︒≈）A ．65.46kmB ．74.35kmC ．85.09kmD ．121.12km28．已知定义域为[1,1]-函数3()sin f x x x =+，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+->的解集是（ ）A．(3,2)-B ．2)C ．D ．29．某学习小组的学习实践活动是测量图示塔AB 的高度．他们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，测得3BCD π∠=，4BDC π∠=，且基点C ，D 间的距离为(30m CD =+，同时在点C 处测得塔顶A 的仰角为6π，则塔高AB 为（ ）A ．20mB ．C ．40mD ．30．若tan()74πα+=，则2cos 2sin 2αα+=（ ）A ．6425B ．4825C ．1D ．162531．已知sin α＋cos αα△(0，π)，则tan α＝( )A ．－1 BC D ．132．要得到函数2sin 2y x =的图象，只需将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度33．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（312π-，），与之相邻的一个对称中心为06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ） A ．g （x ）为偶函数B ．g （x ）的一个单调递增区间为51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．g （x ）为奇函数D ．函数g （x ）在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个零点34．在ABC 中，如果4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=C ∠的大小为（ ） A ．30B ．150︒C ．30或150︒D ．60︒或120︒35．已知()2cos f x x =，[],x m n ∈，则“存在[]12,,x x m n ∈使得()()124f x f x -=”是“πn m -≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件36．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，点P 是ABC 的重心，且AP =若2b =，(()cos 24sin 1A B C ++=，则=a （ ）A ．B ．C ．D ．37．把函数y= sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移3π个单位，所得图象对应的函数为（ ）A ．y=sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．y=sin2xC ．y=sin 126x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．y=sin 12x38．将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．再把()g x 图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到函数()h x 的图象，则下列叙述正确的是（ ）A ．当6πθ=时，,012π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()h x 图象的对称中心B ．当6πθ=时，若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()h xC ．当2πθ=时，函数()g x 与()h x 的图象关于x 轴对称D ．当2πθ=时，函数()()g x h x -的最小值为039．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45︒方向，距离的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北(045)θθ︒<<︒方向的C 处，且4cos .5θ=已知A ，C 之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（ ）A ．/小时B ．/小时C ．/小时D ．/小时40．中，角的对边分别为，且满足，则A ．B ．C ．D ．41．已知1tan 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．BCD ． 42．要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度43．把函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭)图象向左平移4π个单位后所得图象与y 轴距最近的称轴方程为 A ．x 3π=B ．x -6π= C ．x -24π= D ．11x 24π=44．已知点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（ ）A ．（2π，34π）△（54π，32π）B ．（0，4π）△（54π，32π）C ．（2π，34π）△（74π，2π）D ．（2π，34π）△（π，32π）45．已知点()00,P x y 是圆22:124390C x y x y ++++=上的一点，记点P 到x 轴距离为1d ，到原点O 的距离为2d ，则当212d d +取最小值时，x y =（ ） A ．167B ．187C ．227D ．24746．函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3π()2cos(2)110f x x =+- B ．3π()1cos(2)10f x x =-+C ．π()1sin 25f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭D ．π()1sin 25f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭47．把函数sin 2y x =的图象沿着x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断：（1）该函数的解析式为2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）该函数图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；（3）该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；（4）若函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a =其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题48．已知角α与180α︒-的顶点均在原点，始边均在x 轴的非负半轴上，终边相同，且450720α︒<<︒，则α=__________．（用角度表示）49．已知cos 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，0<α<2π，则sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.50．已知 tan 02παα⎫=<<⎪⎝⎭，则α=___________. 51．用“五点法”画2sin(2)3y x π=+在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是(,0)6π-，(,2)12π，(,0)3π，7(,2)12π-，_______．52．如果角θ始边为x 轴的正半轴，终边经过点(，那么tan θ=______． 53．计算：10cos3π=________．54．在ABC 中，已知22,3BC AC B π==，那么ABC 的面积是______． 55．已知函数()2sin cos 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，给出以下四个命题：△函数()f x 的最小正周期为2π；△函数()f x 的图象的一个对称中心是82π⎛- ⎝⎭；△函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数；△若()()12f x f x =，则()1211Z 4x x k k ππ+=+∈或()1222Z x x k k π-=∈．其中真命题的序号是__________．（请写出所有真命题的序号） 56．已知()()4sin cos cos sin 5αβαβαα---=，β是第三象限角，则sin 4πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值___________.57．已知sincos22θθ+=cos2θ=______. 58．如果1cos 5α=-，且α是第三象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．59．函数tan()34y x ππ=+的对称中心是__________．60．若18090α-︒<<-︒，且()1cos 753α︒+=，则()cos 15α︒-=__________.61．已知1sin cos 2αα+=-，则tan cot αα+=__________62．已知1tan 3α= ，则sin 2α= ________.63．已知角α的终边经过点(3,4)P ，则tan α=____________ 64．y cos 25sin x x =+的最小值为________________．65．若角α的终边经过点()P y ，且sin (0)y y α=≠，则cos α=______.66．设a ＞0，角α的终边经过点P （﹣3a ，4a ），那么sinα+2cosα的值等于______． 67．已知tan 2α，则3sin 2cos 5sin 4cos αααα-=+__________．68．函数sin 22y x x =的图象可由函数sin 22y x x =的图象至少向右平移_______个长度单位得到．69．已知函数()sin2f x x x =，给出下列四个结论：△函数()f x 的最小正周期是π；△函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数；△函数()f x 的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；△函数()f x 的图像可由函数2sin2y x =的图像向左平移3π个单位得到；其中正确结论是_________________.70．设f(x)=kx －|sin x | (x >0，k >0)，若f(x)恰有2个零点，记较大的零点为t ，则2(1)sin 2t tt+= ____71．计算：23456coscoscos cos cos cos 777777ππππππ+++++=__________．72．若2tan 3α=-，则sin(2)4πα+=____________．73．已知3ππ4αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，()4cos 5αβ+=，π5cos 413α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πcos 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____74．已知集合{}22(,)(cos )(sin )4,0P x y x y θθθπ=-+-=≤≤∣.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：△“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为； △在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为4；△阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则||3CD =+△白色“水滴”图形的面积是116π 其中正确的有___________.75．设0a ≥____________．76．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过点(0,B ，且在ππ,183⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图像向左平移π个单位长度后与原来的图像重合，当124π2π,,33x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=__________.77．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角4B π=且4sin 4sin sin 4sin a A c C ac B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为_____________.三、解答题78．设函数()sin(2)2sin cos 3f x x x x π=++．(1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)若[,]123x ππ∈-，求函数()f x 的最大值和最小值． 79．若角α的终边与60︒角的终边关于直线y x =对称,且360360α-︒<<︒,求角α的值. 80．已知函数()()21cos ,1sin2.2f x xg x x ==+（1）设0x x =是函数()y f x =的图象的一条对称轴，求()02g x 的值； （2）求函数()()(),0,4h x f x g x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域.81．已知()()()()()3sin 3cos 2sin 2cos sin f παππαααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----. （1）化简()f α； （2）若313πα=-，求()f α的值. 82．如图，一艘船以32.2nmile/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°方向上，30min 后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东60°方向上，求灯塔S 到B 处的距离（精确到0.1nmile ，参考数据：sin 200.342︒≈，sin 400.643︒≈）．83．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC且sin cos 0a C A =. （1）求a ；（2）若b c +=ABC 的面积.84．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><图象经过点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫⎪⎝⎭，且在区间7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增． （1）求函数()f x 的解析式；（2）当,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．85．若向量(3sin ,sin )a x x ωω=，(cos sin )b x x ωω=，，其中0>ω.记函数1()2f x a b =⋅-，若函数()f x 的图象上相邻两个对称轴之间的距离是2π. （1）求()f x 的表达式；（2）设ABC 三内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，若3a b +=，c =()1f C =，求ABC 的面积.86．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，)cos sin 0a c B b C --=． （1）求角C 的大小；（2）若2c =，AB 边上的中线CD ABC 的周长． 87．如图4，在平面四边形中，,(1)求的值；(2)求的长88．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1cos 3A =，3c b =，且△ABC 的面积ABCS=(1)求边,b c ；(2)求边a 并判断△ABC 的形状.89．已知函数2()cos cos 1f x x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若5()6f θ=，2(,)33ππθ∈，求sin 2θ的值. 90．如图，某圆形海域上有四个小岛，小岛A 与小岛B 相距为5nmile ，小岛A 与小岛C相距为，小岛B 与小岛C 相距为2nmile ，CAD ∠为钝角，且sin CAD ∠=(1)求小岛A ，B ，C 围成的三角形的面积； (2)求小岛A 与小岛D 之间的距离.91．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且222a c b ac +-=． （1）求B ；（2）若cos sin a C c A b +=，b =a ．92．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos b A c= （1）证明：ABC ∆是直角三角形： （2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1BM=，6c =，求cos ABM ∠．93．为迎接冬奥会，石家庄准备进行城市绿化升级，在矩形街心广场ABCD 中，如图，其中400m AB =，300m BC =，现将在其内部挖掘一个三角形空地DPQ 进行盆景造型设计，其中点P 在BC 边上，点Q 在AB 边上，要求3PDQ π∠=．(1)若100m AQ CP ==，判断DPQ 是否符合要求，并说明理由； (2)设CDP θ∠=，写出DPQ 面积的S 关于θ的表达式，并求S 的最小值．94．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin A =B 2A =，b 4=． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 中点，求AD 的长．95．已知函数()cos cos )f x x x x =+，x ∈R ．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)设0t >，关于x 的函数()2tx g x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，求实数t 的取值范围．96．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 的单调递增区间； (3)先将()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，求()g x 在区间[]2ππ，上的值域.97．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-． (1)求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及()f x 的最小正周期；(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值．参考答案：1．B 【解析】 【分析】由题可知3i e 对应在复平面的点为()cos3,sin3，由32ππ<<可判断cos3和sin3的正负，进而得到答案. 【详解】由题，3i e cos3isin3=+，其对应点为()cos3,sin3, 因为32ππ<<知，cos30<，sin30>，所以点()cos3,sin3在第二象限， 故选：B 2．B 【解析】 【分析】先利用余弦的二倍角公式化简()f x ，再利用余弦函数的周期公式即可求解. 【详解】因为()()22222()cos 3sin 1cos sin 12sin f x x x x x x =-+=-+-cos2cos22cos2x x x =+=，所以最小正周期2ππ2T ==， 故选：B. 3．C 【解析】 【分析】根据角θ与角θ-的终边关于x 轴对称即可得解. 【详解】解：因为角θ与角θ-的终边关于x 轴对称，所以角α与角β的终边一定也关于x 轴对称． 故选：C 4．C【解析】结合诱导公式化简即可 【详解】()sin 480sin 360120sin120︒=︒+︒=︒=故选：C 【点睛】本题考查三角函数值的化简，属于基础题 5．A 【解析】 【详解】与60︒角终边相同的角为：60360k,k Z ︒+︒∈. 当k 1=-时，即为－300°. 故选A. 6．A 【解析】 【分析】由题设，画平面示意图，利用三角形内边角关系，列方程求塔高即可. 【详解】如图，O 、A 分别为塔底、塔顶，C 为飞机位置，△300,30,60OB BCA BCO =∠=︒∠=︒， 若设OA x =，则300AB x =-，有tan tan AB OBBCA BCO =∠∠，=200x =.故选：A. 7．B 【解析】 【分析】由余弦定理列方程即可求解. 【详解】由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，即211722c c+--=，整理得260c c +-=，解得2c =．故选：B. 8．C 【解析】 【分析】根据坐标变换求解即可得答案. 【详解】为了得到函数2cos ,y x x R =∈的图像，只需把cos ,y x x R =∈图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍. 故选：C 9．B 【解析】 【分析】由37515360-=-︒-︒︒结合弧度制求解即可. 【详解】△37515360-=-︒-︒︒，△π3752πrad 12⎛⎫-︒=-- ⎪⎝⎭故选：B 10．B 【解析】根据题中条件，先由诱导公式，得到sin 20a ︒=，再根据诱导公式化简所求式子即可. 【详解】因为sin160a ︒=，所以()sin 18020sin 20a ︒-︒=︒=，而()()cos340cos 36020cos 20cos 20︒=︒-︒=-︒=︒= 故选：B. 11．A 【解析】 【分析】由题意得242sin cos 25αα∴=-，由,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得sin cos αα+=，代入即可求值得解. 【详解】 24sin 225α=-， 242sin cos 25αα∴=-， ,04πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴+>，1sin cos 5αα∴+=. 故选：A 【点睛】本题考查同角三角函数关系式，常用公式2(sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x +=+=+，属于基础题. 12．A 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求出tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】△1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，△1tan tan 11442tan tan 1443111tan tan 244ππαππααππα⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-===- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+⨯++ ⎪⎝⎭， 则222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 11cos 22cos 2αααααααα---==+ 1115tan 2326α=-=--=-.故选：A 【点睛】本题以三角正切函数值为依托，考查了正切的两角差公式和倍角公式的运用，此题以考生最熟悉的知识呈现，面向考生，试题注重基础，针对性强，同时考查了考生的运算求解能力及逻辑推理能力，属于基础题. 13．A 【解析】 【详解】试题分析：因为函数的最大值取不到2,所以b a T -<,即02b a π<-<．故A 正确． 考点：三角函数的图像,值域． 14．C 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据余弦函数、正弦函数的性质判断即可； 【详解】解：曲线21:C y x x ==关于y 轴对称，故A 错误；曲线2:sin 2cos 224C y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令242x k πππ+=+，解得82k x ππ=+，Z k ∈，即曲线2C 的对称轴方程为82k x ππ=+，Z k ∈，则4x π=不是曲线2C 的一条对称轴，故B 错误；曲线1:222C y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向右平移8π个单位长度得到24i 28n 2y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即得到曲线2C ，故C 正确．将曲线2C 向左平移4π个单位长度得到42242i 4n 24y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦++，故D 错误；故选：C 15．D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <判断选项.【详解】3xy =是偶函数，sin 2y x =是奇函数，()3sin 2xf x x =是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ，当(,)2x ππ∈时，30x y =>，sin 20y x =<3sin 20xy x ∴=<，排除C.故选D . 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项. 16．C 【解析】 【分析】先根据题意以及余弦定理求出ab ，再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：2222()525c a b a ab b =-+=-++， 即22225a b c ab +-=-，由余弦定理得：222251cos 3222a b c ab ab ab π+--===， 解得：5ab =，则ABC的面积为：11sin 522ab C =⨯=故选：C. 17．B 【解析】 【分析】根据题意，先由余弦定理，得到28cos 8b A b +=，求出sin A积公式，得到1sin 2ABCSbc A ==，根据三角形的性质，确定b 的范围，进而可求出三角形面积的最值. 【详解】因为b =，2c =，所以222221482cos 248b c b a b A bc b b++-+===，所以sin A =因此1sin 2ABCSbc A == 由三角形性质可得：a b c b a c +>⎧⎨-<⎩，即22b b +>⎨⎪<⎪⎩，解得：44b -<+又44-<+因此当224b =，即b =ABC的面积最大，为ABCS ==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求三角形面积的最值问题，熟记余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型. 18．B 【解析】 【详解】试题分析：由sin()sin 0sin 0θπθθ+=-⇒，cos()cos 0cos 0θπθθ-=->⇒<，由sin 0{cos 0θθ><可知θ是第二象限角，选B.考点：诱导公式及三角函数在各个象限的符号. 19．C 【解析】 【详解】 试题分析：42x ππ<<，cos sin x x ∴<，cos sin 0x x ∴-<，()22213cos sin cos sin 2sin cos 1284x x x x x x -=+-⋅=-⨯=，cos sin x x ∴-=C 正确． 考点：1同角三角函数基本关系式；2正弦函数余弦函数比较大小问题． 20．C 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可. 【详解】因为A ，C 是ABC ∆的内角，所以,(0,)A C π∈. 因为4cos 5A =，5cos 13C=，所以3sin 5A ==，12sin 13C ===，因此有：3541263sin sin()sin()sin cos cos sin 51351365B AC A C A C A C π=--=+=+=⨯+⨯=，由正弦定理可知：121363sin sin 13565a b b b A B =⇒=⇒=. 故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.21．D 【解析】 【详解】 略 22．B 【解析】 【分析】将sin cos θθ+=2sin cos θθ，再求出()2sin cos θθ-，即可得到sin cos θθ-，最后根据θ的范围，即可得解；【详解】解：因为sin cos θθ+=()2sin co 1s 5θθ+=，所以221sin 2sin cos cos 5θθθθ++=，所以42sin cos 5θθ=-，所以()2229sin cos sin 2sin cos cos 5θθθθθθ-=-+=，所以sin cos θθ-=θ为第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，所以sin cos θθ-= 故选：B 23．C 【解析】根据数列的递推关系求出前三项即为三角形边长，根据余弦定理求出从小到大第二大的角，即可求得最大角与最小角之和. 【详解】由题：数列{}n a 中,()*1153n n a a a n n N +==-+∈，，所以12357,8a a a ===，，作为三角形三边长， 由余弦定理：边长为7的边所对角的余弦值为25644912582+-=⨯⨯，角的大小为60°，所以最大角与最小角之和为120°. 故选：C 【点睛】此题考查根据递推关系求数列中的项，根据余弦定理求三角形的角的大小，涉及三角形三内角和的关系进行转化. 24．A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，即可求解. 【详解】将函数()π2sin()36x f x +＝的图象向左平移 π4个单位，得到函数()πππ2sin +2sin 312634x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，再向下平移1个单位，得到函数()π2sin +134x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则解析式为()π2sin +134x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选:A ． 25．D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，在ABC 中利用余弦定理建立方程求解即得. 【详解】如图，ABC 中，依题意，30ABC ∠=，,3AC AB x BC ===，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠得，222323cos30x x =+-⋅，即260x -+=，解得x =x =所以x 的值是 故选：D 26．D 【解析】 【分析】根据三角形ABC 的边和角，利用正弦定理，即可求解. 【详解】由题意可知，60ABC ∠=︒，45A ∠=︒，75C ∠=︒，50AB =海里，由正弦定理可得sin sin AB ACC ABC=∠，所以(25AC =海里. 故选：D 27．A 【解析】 【分析】由题意可得46km AC =，16.28ACB ∠=︒，132.57BAC ∠=︒，然后在ABC 中利用正弦定理求解即可 【详解】如图所示，由题意可得46km AC =，16.28ACB ∠=︒，132.57BAC ∠=︒， 由正弦定理可得sin sin BC ACA B =，即46sin132.57sin31.15BC =︒︒， 解得4646sin132.570.7465.46sin31.150..52BC =⋅︒≈⨯≈︒．故选：A28．C 【解析】 【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的奇偶性和单调性，进而根据函数的性质和定义域，将不等式2(2)(4)0f a f a -+->化为2(2)(4)f a f a ->-，解不等式组即可求解. 【详解】解：因为函数3y x =和函数sin y x =均为奇函数，且在[1,1]-上均为增函数， 所以函数3()sin f x x x =+是奇函数，且在[1,1]-为增函数， 由2(2)(4)0f a f a -+->， 得2(2)(4)f a f a ->-， 所以2224121141a a a a ⎧->-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得2a <≤2a ∈（. 故选：C. 29．A 【解析】 【分析】设,AB x =则BC =，利用正弦定理即得解. 【详解】解：设,AB x =则BC . 由题得53412CBD ππππ∠=--=.51sinsin()12642πππ=+==在△BCD20x ∴=. 所以塔高20m. 故选：A 30．A 【解析】 【分析】先计算出tan α的值，然后构造齐次式，将分子分母同除以2cos α即可计算出结果. 【详解】因为tan()74πα+=，所以tan 171tan A A +=-，所以3tan 4α=，又222222314cos 4sin cos 14tan 644cos 2sin 2sin cos tan 125314ααααααααα+⨯+++====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以264cos 2sin 225αα+=. 故选：A. 【点睛】本题考查两角和的正切公式与同角三角函数的基本关系的综合应用，难度一般.已知tan α，求解22sin cos m n αα+的值，可变形为求解222222sin cos tan sin cos tan 1m n m nαααααα++=++的结果；求解sin cos sin cos n n n n a b c d αααα++的值，可变形为求解tan tan n n a b c dαα++的结果.31．D 【解析】 【详解】 由sin α＋cos α＝得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝1，又因为α△(0，π)，则当cos α＝0时，sin α＝1，不符合题意，所以cos α≠0，所以＝＝1，解得tan α＝1，故选D. 32．D 【解析】 【详解】分析：利用诱导公式，()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，得到答案详解：222sin 236y sin x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦要得到函数22y sin x =的图象，只需要将函数223y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度即可故选D点睛：本题考查了三角函数图像的性质，根据图像的平移来确定结果，掌握由sin y x =图像到()y Asin x ωϕ=+图像的变换过程． 33．B【分析】先根据函数的部分图象和性质求出f （x ）解析式，再根据图象的变换规律求得g （x ），最后根据余弦函数性质得出结论． 【详解】因为函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象的一个最高点为（312π-，），与之相邻的一个对称中心为06π⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以A =3，46T π=-（12π-）4π=；所以T ＝π所以ω＝2；所以f （x ）＝3cos （2x +φ）； 又因为f （12π-）＝3cos[（2×（12π-）+φ]＝3，所以6π-+φ＝K π；△0＜φ＜π； △φ6π=，△f （x ）＝3cos （2x 6π+）； 因为将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象， 所以g （x ）＝3cos[2（x 6π-）6π+]＝3cos （2x 6π-）；是非奇非偶函数；令﹣π+2k π≤2x 6π-≤2k π，所以512π-+k π≤x ≤k π12+π，k △z ； 当k ＝0时，g （x ）的一个单调递增区间为：51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；令2x 6π-=k π2π+， 解得x 23k ππ=+，k △z ， △函数g （x ）在[0，2π]上只有一个零点． 故选：B ．本题主要考查由三角函数部分图象求解析式，图象变换以及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 34．A 【解析】 【分析】对4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=再相加得出30C ︒=或150︒，再由三角函数的性质验证150C ︒=，即可得出答案. 【详解】4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=2216sin 16sin cos 4cos 1A A B B ∴++=△224sin 16sin cos 16cos 27B B A A ∴++=△△+△得2016sin()28A B ++=即1sin()sin()sin 2A B C C π+=-==()0,180C ︒︒∈ 30C ︒∴=或150︒当150C ︒=时，则030,030A B ︒︒︒︒<<<<12sin 212B ∴<⨯=，4cos 4A <2sin 4cos 5B A ∴+<5∴<150C ︒∴=不满足题意故选：A 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式，平方关系，三角函数的性质，属于中档题. 35．A 【解析】 【分析】由三角函数的性质可知()2cos f x x =在R 上的最大值为2，最小值2-，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为π，结合充分、必要条件的定义即可判定. 【详解】由于()2cos f x x =在R 上的最大值为2，最小值2-，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为半个周期，即π，所以若存在[]12,,x x m n ∈使得()()124f x f x -=，则必有πn m -≥，但反之不成立,比如2π2,33m n π=-=时，4=>π3n m π-，但()f x 在[],m n 上的最大值为2，最小值为1-，[]12,,x x m n ∈时()()12f x f x -的最大值为3，不可能等于4，△“存在[]12,,x x m n ∈使得()()124f x f x -=”是“πn m -≥”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，涉及三角函数的性质，属基础题，关键是认真审题，理解存在性命题的意义，掌握三角函数的性质和充分、必要条件的意义. 36．C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换的应用化简已知恒等式可得(22sin 4sin 0A A -+=，解方程即可求出sin A ，进而求出角A ，由三角形的重心的性质可得()13AP AB AC =+，两边同时平方结合平面向量的数量积的运算即可得到24cos 240c c A +⋅-=，分类讨论求出边c ，进而求出结果. 【详解】因为(()cos 24sin 1A B C ++=，所以(212sin 4sin 1A A -+=,因此(22sin 4sin 0A A -+=，解得sin A =或sin 2A =， 又因为()0,A π∈，则(]sin 0,1A ∈，所以sin A =，因此3A π=或23A π=，又因为点P 是ABC 的重心，所以()13AP AB AC =+,因此()22212cos 9AP AB AC AB AC A =++⋅⋅, 即()22212cos 9AP AB AC AB AC A =++⋅⋅，又因为AP =2b =，所以()228144cos 99c c A =++⋅，即24cos 240c c A +⋅-=,当3A π=时，22240c c +-=，因为0c >，所以4c =，此时214162242a =+-⨯⨯⨯，所以a =当23A π=时，22240c c --=，因为0c >，所以6c =，此时214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，所以a =综上：a =a = 故选：C. 37．A 【解析】 【分析】直接利用三角函数图象的“伸缩变换”与“平移变换”法则求解即可. 【详解】把函数3y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，所得图象对应的函数为22333y sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.38．C 【解析】 【分析】利用图象的变换规律，可求出函数()g x 与()h x 的的解析式， 再由三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍， 纵坐标不变，得到函数()sin 2g x x =的图象，再把()g x 图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到函数 ()sin()h x x θ=+的图象 ,当6πθ=时，()sin(2),3h x x π=+ 当12x π=时，()sin(2)112123h πππ=⨯+=，则12x π=为函数()h x 图象的对称轴，故 A 错误；当6πθ=时，()sin(2)3h x x π=+，若0,,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦则1sin(2),132x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故()h x 的最大值为 1，故B 错误； 当2πθ=时，函数()sin 2g x x =与()sin 2h x x =-的图象关于x 轴对称，故C 正确； 当2πθ=时，()()2sin 2g x h x x -=最小值为 -2 , 故D 错误. 故选：C. 39．A 【解析】 【分析】根据所给条件求出cos BAC ∠，再借助余弦定理即可作答. 【详解】因4cos 5θ=，则3sin 5θ=，由题意得45BAC θ∠=︒-， 即()43cos cos 4555BAC θ⎛⎫∠=︒-=+= ⎪⎝⎭， 在ABC中，AB =10AC =，由余弦定理2222BC AB AC AB ACcos BAC =+-⋅∠得：即22210210340BC =+-⋅=，解得BC = 设船速为x，则12x =x =所以货船的速度大小为/小时. 故选：A 40．C 【解析】 【详解】 设，则，则，故选C.考点：正弦定理与余弦定理. 41．A 【解析】 【详解】2222221sin tan 14sin 1sin cos tan 1514αααααα====+++，由于角为第三象限角，故sin α=πcos sin 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭. 42．C 【解析】 【分析】先将函数()f x 的化为正弦型函数，在将函数()f x 的解析式表示为()()sin 23f x x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，并结合ϕ的符号与绝对值确定平移的方向与长度．【详解】由诱导公式可得()cos 2sin 2sin 232343f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，只需在将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，即可得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】在考查两个三角函数平移的过程中，需注意以下两个问题； △两个函数的名称一定要一致；△左右平移法则中的“左加右减”指的是在自变量x 上变化了多少． 43．B 【解析】 【分析】先求出把函数()f x 的图象向左平移4π个单位后所得图象对应的解析式，然后求出该图象对应函数的对称轴，最后结合四个选项进行判断即可． 【详解】把函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭)图象向左平移4π个单位后所得图象对应的解析式为sin 2?cos 2433y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由2,k Z 3x k ππ+=∈，得对称轴方程为,k Z 62k x ππ=-+∈．当0k =时，可得对称轴为6x π=-，此时对称轴离y 轴距最近． 故选B ． 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换以及函数图象对称轴的求法，对于图象的平移变换，解题时要注意平移只是对自变量x 而言的，同时要注意平移的单位的大小；在求图象的对称轴方程时，将4x π+看作一个整体进行求解，属于基础题．44．C【解析】 【分析】由点P 的横坐标大于0且纵坐标小于0解三角不等式求解α的范围． 【详解】△点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，△00sin cos tan ＞＜ααα+⎧⎨⎩， 由sinα+cosα=（α4π+）， 得2kπ＜α4＜π+2kπ+π，k△Z ，即2kπ4π-＜α＜2kπ34π+π，k△Z ． 由tanα＜0，得kπ2π+＜α＜kπ+π，k△Z ． △α△（2π，34π）△（74π，2π）．故选C ． 【点睛】本题考查了三角函数的符号，考查了三角不等式的解法，是基础题． 45．D 【解析】 【分析】利用圆的参数方程，表示出212d d +并求最值，利用三角函数求出0x y . 【详解】22:124390C x y x y ++++=化为标准方程：22(6)(2)1x y +++=，点()00,P x y 是圆上一点，不妨设006sin 2cos x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则22212(6sin )(2cos )(2cos )d d t t t +=-++-+--+(12sin 5cos )43t t =-++)43t ϕ=++ 13sin()43t ϕ=-++其中5tan 12ϕ= 当2t πϕ+=时，212sin()1,t d d ϕ+=+可取得最小值30此时001266sin 6cos 221352cos 2sin 7213x t y t ϕϕ-+-+-+====-+-+-+ 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据圆的方程，可设点()00,P x y 满足006sin 2cos x t y t=-+⎧⎨=-+⎩，代入212d d +化简求最值，是解决本题的关键，属于中档题. 46．D 【解析】 【分析】由函数图象知,,A T B ，利用周期公式即可解得ω，又πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭7020，解得ϕ，即可得出函数()f x 的解析式. 【详解】设函数()()sin f x A x B ωϕ=++，则 由图可知,A B =-=11，πππT =-=7420104，解得πT =, 所以2π=πT ω=，解得2=ω，将点π,⎛⎫⎪⎝⎭7020代入函数()()sin 21f x x ϕ=-++中，即7π7π()sin 2102020f ϕ⎛⎫=-⨯++= ⎪⎝⎭，解得ππ,k k Z ϕ=-∈25当0k =时，π5ϕ=-. ()f x 的解析式为：π()1sin 25f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.故选：D.47．B 【解析】 【分析】利用正弦型函数的图象变换规律求得函数()y f x =的解析式，然后利用正弦函数的基本性质可得出结论. 【详解】把函数sin 2y x =的图象沿着x 轴向左平移6π个单位，可得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再把纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，对于函数()2sin 23x y f x π=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故（1）错误；由于当3x π=时，()0f x =，故该函数图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故（2）正确；在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，22,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故函数()y f x =该函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是增函数，故（3）错误；在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当4233x ππ+=时，函数()y f x a =+在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最小值为a =a ∴=4）正确，故选：B. 【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，考查推理能力，属于中等题. 48．630° 【解析】 【分析】根据题目条件得到(180)360,k Z k αα=-+⋅︒︒∈，求出()2190,k k Z α=+⋅︒∈，列出不等式组，求出3,630k α==︒. 【详解】由题意得，(180)360,k Z k αα=-+⋅︒︒∈， 即()2190,k k Z α=+⋅︒∈，。
2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
2023-2024学年高考数学三角函数专项练习题(附答案)
2023-2024学年高考数学三角函数小专题一、单选题1．函数的最小正周期为（ ）()2sin 222sin 4f x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2ππ42π2．若，则等于（ ）sin tan 0x x ⋅<1cos2x +A ．B ．C ．D ．2cos x 2cos x -2sin x 2sin x-3．已知，均为锐角，则（ ）251cos ,tan()53ααβ=-=-,αββ=A ．B ．C ．D ．5π12π3π4π64．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =是（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位π12π6π12D ．向左平移个单位π65．若，则（ ）1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．42979429-79-6．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 最小正周期大于，则的取值范围为（ ）πωA ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭()0,2[)1,2()1,27．已知，且，求（ ）π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3π44<<αcos α=A ．B ．C ．D ．2106222610A ．函数的图像可由()f xB ．函数在区间()f xC ．函数的图像关于直线()f xC ．D ．o o2sin15sin 75o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说(21)f x +1x =(1)f x +(1,0)法不正确的是（ ）A ．B ．4为的周期(1)(1)f x f x -=+()f x C ．D ．(1)0f =()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）ππ()sin(3)()22f x x ϕϕ=+-<<π4x =A ．函数为奇函数π()12f x +B ．函数在上单调递增()f x ππ[,]126C ．若，则的最小值为12|()()|2f x f x -=12||x x -2π3D ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+三、填空题13．计算：＝.tan 73tan1933tan 73tan13︒︒︒︒--14．已知，，则 .1sin cos 5αα+=-()0,πα∈tan α=15．已知函数的最小正周期为，则.π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4πω=16．已知函数，则函数的对称轴的方程为22()2cos 43sin cos 2sin f x x x x x =+-()f x ．答案：1．B【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.()sin y A x ωϕ=+2πT ω=【详解】因为()2sin 222sin 4f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22sin 2cos 221cos 222x x x =---.22sin 2cos 2222x x =+-πsin 224x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.2ππ2T ==故选：B 2．B【分析】先由已知条件判断的符号，然后对配凑升幂公式即可.cos x 1cos2x +【详解】由题知：2sin sin tan 00cos 0cos xx x x x ⋅<⇒<⇒<.21cos21cos222cos 2cos 2cos 2xx x x x++=⨯===-故选：B.3．C【分析】由两角差的正切公式求解即可.【详解】因为，，，π02α<<25cos 5α=25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==，()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎡⎤=--===⎣⎦+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以.π4β=故选：C.4．A【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.【详解】对于A ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，符合；πππsin 2sin 2cos 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ：向右平移个单位可得到，不πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 2cos 263y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦符合；对于C ：向右平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，不符合；πππsin 2sin 2cos 21236y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6，不符合；ππ2πsin 2sin 2cos 2633y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．D【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题.【详解】因为2217cos(2)=cos22cos 121cos(2)366393ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.7sin 2sin 2cos 262339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D 6．C【分析】根据题意，得到，取得对称轴的方程，由的()π2sin()6f x x ω=+ππ,Z 3k x k ωω=+∈k 取值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，()π3sin cos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+令，可得，πππ,Z 62x k k ω+=+∈ππ,Z3k x k ωω=+∈因为图象的一条对称轴在区间内，可得，可得，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ633k ωω≤+≤131231k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥+⎩又因为的最小正周期大于，可得，解得，()f x π2ππω>2ω<当且仅当时，解得.0k =ω1≤<2综上可得，实数的取值范围为.ω[1,2)故选：C.7．A【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算.【详解】因为，所以，，π3π44<<απππ24α<+<2ππ3cos()1sin ()445αα+=--+=-，ππππππ3422cos cos ()cos()cos sin()sin ()44444455210αααα⎡⎤=+-=+++=-+⨯=⎢⎥⎣⎦故选：A.8．B【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．【详解】由图象可知，，2A =由图，因为，所以，，()10=1sin =2f ϕ⇒π02ϕ<<π=6ϕ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图，则，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ122π,=,12655k k k k ωω⨯+=∈⇒-∈Z Z由图可知，所以，所以，1π5π12002125T ωω=>-⇒<<=2ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的图像向左平移个单位得到的sin =2sin2y A x x ω=π6ππ2sin2+=2sin 2+63y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象，选项A 不正确；对于B ，由，可得，πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z则函数的单调递增区间为，则在区间上单调递增，()f x πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以在区间上单调递增，选项B 正确；()f x ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项π2ππ2sin 12336f ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =()f x C 不正确；对于D ，由，可得，则函数的图象关于点π2π,6x k k +=∈Zππ,122k x k =-+∈Z ()f x 对称，选项D 不正确．ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：B ．9．ABD【分析】令，求得，可判定A 不正确；令，求得5π12x =5π3()122f =π8x =-可判定B 不正确；由时，可得，可判定C 正π5π()sin()812f -=-π22π,π,0,π6x -=--()0f x =确；由，结合正弦函数的性质，可判定D 不正确.π7ππ2(,)666x -∈--【详解】对于函数，()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A 中，令，可得，5π12x =5π5ππ2π3()sin(2)sin 1212632f =⨯-==所以函数的图象不关于点中心对称，所以A 不正确；()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对于B 中，令，可得不是最值，π8x =-πππ5π()sin(2)sin()88612f -=-⨯-=-所以函数的图象不关于直线对称，所以B 不正确；()f x π8x =-对于C 中，由，可得，()π,πx ∈-π13π11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭当时，可得，π22π,π,0,π6x -=--()0f x =所以在上有4个零点，所以C 正确；()f x ()π,π-对于D 中，由，可得，π[,0]2x ∈-π7ππ2(,)666x -∈--根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D 不正确.()f x故选：ABD.10．BC【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可.11sin(6-π)【详解】由题意有，11ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭对于A 选项：因为，故A 选项不符合题意；2o o 312cos 151cos3022-==≠对于B 选项：因为，故B 选项符合()o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos 602-=+==题意；对于C 选项：因为，故()()o o o o o o o o 12sin15sin 75cos 7515cos 7515cos 60cos902=--+=-=C 选项符合题意；对于D 选项：因为，故D 选项不符合题意；()o o o o o o otan 30tan151tan 3015tan 4511tan 30tan152+=+==≠-故选：BC.11．CD【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，从而判断A ，B ；举特例符合题意，验证C ，D 选项，即得答案.【详解】由函数的图像关于直线对称，可得，(21)f x +1x =(2(1)1)(2(1)1)f x f x ++=-+即，即，(32)(32)f x f x +=-(3)(3)f x f x +=-以代换x ，则；1x +(4)(2)f x f x +=-由函数关于点对称，可得，(1)f x +(1,0)(2)(2)0f x f x ++-=结合可得，(4)(2)f x f x +=-(4)(2)f x f x +=-+即，则，即4为的一个周期，B 正确；(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 又，结合，(2)(2)f x f x +=--(2)()f x f x +=-可得，故，A 正确；(2)()f x f x -=(1)(1)f x f x -=+由以上分析可知函数关于直线对称，且关于点成中心对称，()f x 1x =(2,0)其周期为4，则满足题意，π()sin2f x x=但是，故C 错误；π(1)sin 12f ==说明函数图象关于直线对称，3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34x =而，即直线不是对称轴，D 错误，33π()sin 148f =≠±34x =π()sin 2f x x =故选：CD 12．AB【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.【详解】由题意可知，又，()πππ3πZ π424k k k ϕϕ⨯+=+∈⇒=-+ππ22ϕ-<<故，()ππ,sin 344f x x ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于A 项，，由诱导公式知，即函πππsin 3sin 312124f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 3sin 3x x -=-数为奇函数，故A 正确；π()12f x +对于B 项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上ππππ[,]30,12644x x ⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎣⎦()f x ππ[,]126单调递增，故B 正确；对于C 项，易知，若，则与一个取得最大值，一个()max 1f x =12|()()|2f x f x -=()1f x ()2f x 取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C 错误；1x 2x 12||x x -π23T =对于D 项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，()f x 13得到函数的图象，故D 错误.sin(9)y x ϕ=+故选：AB.13．3【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．()()tan 73tan133tan 73tan13tan 73131tan 73tan133tan 73tan133︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=-+-=故．314．/34-0.75-【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.12sin cos 25αα-=【详解】由可得，故，1sin cos 5αα+=-112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα-=又，解得或，222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125αααααααα-===++3tan 4α=-4tan 3α=-由于，，故，12sin cos 025αα-=<()0,πα∈sin 0,cos 0αα><又，故，因此，1sin cos 05αα+=-<sin cos αα<tan 1α<故，3tan 4α=-故34-15．/120.5【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4π所以，则.2π2π4πT ωω===ω=12故答案为.1216．ππ(Z)62kx k =+∈【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得ππ2π(Z)62x k k +=+∈答案.【详解】22()2cos 43sin cos 2sin 1cos 223sin 2cos 21f x x x x x x x x =+-=+++-，π23sin 22cos 24sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，解得：．ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈故ππ(Z)62kx k =+∈。
高三数学三角函数练习大题经典22套
三角函数（三）1、在△ABC 中，AC=3，sinC=2sinA.（1）求AB 的值。
（2）求sin(2A －4π)的值。
2、设△ABC 的内角A 、B 、C 所以的边长分别为a,b,c ，3cos cos 5a Bb A C -=，（1）tan cot A B 的值。
（2）tan()A B -的最大值。
3、在△ABC中，5cos13B=-，4cos5C=.（I）sin A的值；（II）设△ABC的面积S△ABC=332，求BC的长。
4、设△ABC的内角A、B、C的对边分别为,,a b c，且A=60°，c=3b。
求（I）ac的值；（II）cot cotB C+的值.三角函数（四）1、在△ABC 中ambmc 分别为角A 、B 、C 的对的边长，a = ，tantan 422A B C++=，2sin sin cos 2AB C =。
求A 、B 及a 、c .2、在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别为,,a b c ，已知2,3c C π==（I ）若S △ABC ,a b .（II ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求△ABC 的面积。
3、设锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为,,a b c，2sina b A=.（I）求角B的大小；（II）求cos sinA C+的取值范围。
4、在△ABC中，1tan4A=，3tan5B=,（I）求角C的大小；（II）若△ABC三角函数（五）1、已知△ABC的内角A、B及其对边,a b满足cot cot,a b a A b B+=+求内角C.2、△ABC中，D为BC上的一点，BD=33，5sin13B=，3cos5ADC∠=，求AD.3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1cos 24C =-. （I ）求sin C 的值；（2）当2,2sin sin a A C ==时，求b c 及的长。
高考数学大题专题练习 (2)
(2)方法一：由(1)得 cosA＝12，则b2＋2cb2c－a2＝12， 所以 b2＋c2－bc＝16.①
因为A→D＝12(A→B＋A→C)，
则A→D2＝14(A→B2＋2A→B·A→C＋A→C2)＝14(c2＋bc＋b2)＝9， 即 b2＋c2＋bc＝36.②
②－①得 2bc＝20，解得 bc＝10.
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(2)由题设及(1)得 cosBcosC－sinBsinC＝－12， 即 cos(B＋C)＝－12，因为 0<B＋C<π，所以 B＋C＝23π，故 A ＝π3. 由题设得12bcsinA＝3sain2A，即 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得 b＋c ＝ 33. 故△ ABC 的周长为 3＋ 33.
－
sinC)2
＝
sin2A
－
sinBsinC，得 b2＋c2－2bc＝a2－bc，
所以 bc＝b2＋c2－a2，所以 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12.
由 A∈(0，π)，得 A＝π3.
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(2)由 2a＋b＝2c，得 2a＝2c－b，即 2a2＝4c2＋b2－4bc. 将 bc＝b2＋c2－a2 代入 2a2＝4c2＋b2－4bc，得 2a2＝3b2，
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1.(2019·课标全国Ⅲ)△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，已知 asinA＋2 C＝bsinA.
(1)求 B； (2)若△ ABC 为锐角三角形，且 c＝1，求△ ABC 面积的取值 范围.
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解析 (1)由题设及正弦定理得 sinAsinA＋2 C＝sinBsinA. 因为 sinA≠0，所以 sinA＋2 C＝sinB. 由 A＋B＋C＝180°，可得 sinA＋2 C＝cosB2，故 cosB2＝2sinB2 B cos 2 . 因为 cosB2≠0，所以 sinB2＝12，所以 B＝60°.
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
高中数学三角函数专项练习(含答案)
高中数学三角函数专项练习(含答案)一、填空题1．如图，在棱长均为23的正四面体ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是______.2．在ABC 中，7AB =，23BC =，1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △的面积有最大值，且最大值为3；②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．3．如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，3BC =，则观赏道路BD 长度的最大值为______．4．已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 5．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.6．在直角坐标系中，ABC 的顶点()cos ,sin A αα，()cos ,sin B ββ，C ⎝，且ABC 的重心G 的坐标为⎝，()cos αβ-=__________. 7．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．8．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）9．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 10．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（ ）①1ω=时，函数()f x 图象关于π4x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(]03ω∈，；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=. A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④13．已知点P 是曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦14．已知,a b Z ∈，满足)sin 50a b ︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．13B ．12C ．32D ．3316．在三棱锥A BCD -中，5,2,2AC AD AB CD BC BD ======，则这个三棱锥的外接球的半径为（ ） A ．2105B ．2103C ．253D ．2517．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()33f π=，且()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1418．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()sin y A x B ωϕ=++，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）A ．25C ︒B ．26C ︒ C ．27C ︒D ．28C ︒19．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）20．设锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且1c =，2A C =，则ABC ∆周长的取值范围为（ ） A ．(0,22)+B ．(0,33)C ．(22,33)+D ．(22,33]三、解答题21．已知向量()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有实数解，求实数a 的取值范围.22．在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距离A 为31-海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距离A 为2海里的C 处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.（1）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间. 23．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.24．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.25．已知函数2()232sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f = （1）求a 的值；（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围. 26．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos 32)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 28．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.29．已知ABC ∆的外接圆．．．，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，sin sin n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长.30．已知两个不共线的向量a ，b 满足a =，(cos ,sin )b =θθ，R θ∈． （1）若//a b ，求角θ的值；（2）若2a b -与7a b -垂直，求||a b ＋的值；（3）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，存在两个不同的θ使得||||a ma =成立，求正数m 的取值范围.【参考答案】一、填空题12．①③31 4．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5．165386．237．⎝⎭8．8,83⎛⎫ ⎪⎝⎭910． 3 21,32⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．A 12．B 13．A 14．B 15．C 16．A 17．C 18．C 19．D 20．C 三、解答题21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或732a +-.【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212f x x π+=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于t 的方程，分离参数后进行求解.【详解】 （1）因为()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，所以()2111cos 213sin cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6x πω=-.因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-. （2）由（1）可知()sin 212f x x π+=.因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，所以22(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，则方程22cos 22cos 23301212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可化为()2222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭.所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得32t =（舍）；当0a ≠时，则22230at t a +--=可化为212132t a t-=-，令22132t y t-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，2212(3)11(3)222u u y u u⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为7u u+≥u = 当1u =时，7u u+取到最大值8，所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或732a +-. 所以实数a 的取值范围是1a 或732a +- 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）=BC C 船在B 船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北30才能最快追上走私船． 【解析】（1）在ABC 中根据余弦定理计算BC ，再利用正弦定理计算ABC ∠即可得出方位； （2）在BCD △中，利用正弦定理计算BCD ∠，再计算BD 得出追击时间． 【详解】解：（1）由题意可知1=AB ，2AC =，120BAC ∠=︒， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos1206BC AB AC AB AC =+-︒=， BC ∴，由正弦定理得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，即2sin ABC∠解得：sin ABC ∠=， 45ABC ∴∠=︒，C ∴船在B 船的正西方向．（2）由（1）知=BC 120DBC ∠=︒， 设t 小时后缉私艇在D 处追上走私船，则10BD t =，CD =，在BCD △10sin tBCD∠， 解得：1sin 2BCD ∠=， 30BCD ∴∠=︒，BCD ∴△是等腰三角形，10t ∴=，即t =∴缉私艇沿东偏北30【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．23．（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【解析】 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果. 【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤,所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤. （2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”.令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时,因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<,所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时,存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=.()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为M x 在区间00,x 上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤,综上所述： 当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.24．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+()24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．25．（1）a =（2）15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 表达式，利用(0)f =a 的值.（2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围.【详解】（1）2()2sin cos f x x x x a =-++sin 2x x a =+2sin 23x a π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭(0)f =(0)2sin 3f a π∴=+=即a =（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭， [0,]x π∈，2,2333πππωπω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x 在[0,]π上有且只有一个零点， 223πππωπ∴+<，1536ω∴<， ω∴的取值范围为15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 26．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈；（2）12. 【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 2f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间（2）由02x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m【详解】（1）∵2()2cos 2f x a b x x m =⋅=+1cos22x x m =++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈时，函数单调递增， 解得：36k x k ππππ-≤≤+， 故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈. （2）∵02x π≤≤， ∴72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22f x ≤≤， 故12m =. 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.27．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2 【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解.【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =， 从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62k B k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=. ∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】 本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题.28．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）最大值和最小值和1.【解析】（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）利用正弦函数的性质可求得结果.【详解】（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π= 当244x ππ+=或34π，即0x =或4x π=时，函数取得最小值1.所以()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π和1.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题.29．(1) 3C π=. (2) max S = 【解析】【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =()2202242a c b b a R R R ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=， ∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为 【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.30．（1）,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜（23）⎣⎭【解析】【分析】（1）由题得tan θ=2）先求出1a b ⋅=，再利用向量的模的公式求出||7a b +=；（3）等价于2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦有两解，结合三角函数分析得解.【详解】（1）由题得sin 0,tan θθθ=∴=所以角θ的集合为,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜ . （2）由条件知2a =， 1b =，又2a b -与7a b -垂直，所以()()2781570a b a b a b -⋅-=-⋅+=，所以1a b ⋅=.所以222||||2||4217a b a a b b +=+⋅+=++=，故||7a b +=.（3）由3a b ma +=，得223a b ma +=， 即2222233a a b b m a +⋅+=，即2434b m +⋅+=，)27cos 4m θθ+=，所以2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦得2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，2647m ≤-<2134m ≤<又因为0m >m ≤<即m 的范围⎣⎭. 【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含参考答案
（2）求 在 上的单调增区间.
89．已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
90．已知向量 ， ， .
(1)求函数 的最小正周期及 取得最大值时对应的 的值；
(2)在锐角三角形 中，角 、 、 的对边为 、 、 ，若 ， ，求三角形 面积的最大值并说明此时该三角形的形状.
A．90°B．60°C．45°D．30°
39．已知函数 的部分图像如图所示，将 图像上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），所得图像对应的函数 解析式为（）
A． B．
C． D．
40．函数 在 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
41．已知 ， ，则 的值为
A． B． C． D．
42．已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ， 的面积 ，则 的外接圆的直径为（）
19．如图，在扇形OAB中， ，半径OA=2，在 上取一点M，连接OM，过M点分别向线段OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.设 ，则四边形MEOF的面积为（）
A． B．
C． D．
20．设 ， ， 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 与 不共线，
， ，则 的值一定等于（）
55．在 中， ， ， ，则 ________.
56．在锐角 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 ， ，则 面积的取值范围为______．
57．用列举法写出 __________.
58．在△ABC中，∠B=75°，∠C=60°，c=1，则最小边的边长为______________________ .
三角函数 高考数学真题分类大全 专题06解析
专题6三角函数第一部分近3年高考真题一、选择题1．（2021·北京高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A ．奇函数，最大值为2B ．偶函数，最大值为2C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D【解析】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.2．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C【解析】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．3．（2021·全国高考真题（文））函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和2【答案】C【解析】由题，()34x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==，最大值为.故选：C ．4．（2021·全国高考真题（文））若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A ．1515B ．55C ．53D ．153【答案】A【解析】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，15cos 4α∴==，sin 15tan cos 15ααα∴==.故选：A.5．（2021·全国高考真题（理））把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B【解析】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.6．（2021·全国高考真题（文））22π5πcos cos 1212-=（）A ．12B ．3C ．2D ．2【答案】D【解析】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos26π==.故选：D.7．（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.8．（2020·天津高考真题）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】因为()sin(3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin(sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确.故选：B.9．（2020·北京高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为302sin n︒，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒，303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A.10．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C11．如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β,面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB +S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选B .12.设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是（）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点，∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确，由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+<，即<3ϖ，∵1229510ω≤<，故③正确．故选D ．13.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2-B．CD ．2【答案】C【解析】因为()f x 为奇函数，∴(0)sin 0=,0,f A k k ϕϕπ==∴=，0ϕ=；又12()sin ,2,122g x A x T πωπω=∴==2ω=，2A =，又(4g π=∴()2sin 2f x x =，3()8f π=故选C ．14.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为（）A．B．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．15．（2020·海南高考真题）下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕπ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭故选：BC.二、填空题16．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】 (cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.17．（2021·全国高考真题（文））已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.【答案】【解析】由题意可得：31332,,241234T T Tπππππω=-=∴===，当1312x π=时，()131322,2126x k k k Z πωϕϕπϕππ+=⨯+=∴=-∈，令1k =可得：6πϕ=-，据此有：()52cos 2,2cos 22cos 62266f x x f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：.18．（2021·全国高考真题（理））已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【答案】2【解析】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.19．（2020·浙江高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==.故答案为：120．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，252OQ r =-，272DQ r =-，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以3252212522r r -=-，解得22r =等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯=；扇形AOB 的面积(221322324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+.故答案为：542π+.21．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.三、解答题22．（2021·浙江高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（1）π；（2）212+.【解析】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎭⎦⎝，所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin sin cos cos 22x x x x x x ⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 2222sin 22222242x x x x x π-⎛⎫=+=-+=-+⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值212+.23．（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）313,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【解析】（I ）由2sin b A =结合正弦定理可得：32sin sin ,sin 2B A A B =∴=△ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos sin 222A A A =-++311sin cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，1313sin ,2232A π⎛⎤+⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是313,22⎛⎤+ ⎥⎝⎦.24．（2020·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若33b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【解析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又33b c a -=②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．第二部分模拟训练1．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示.若实数n 满足224sin 184n ︒+=，则221sin188sin 18n ︒︒-=（）A ．14B ．12C．4D．2【答案】A【解析】根据题中的条件可得()22222221sin181sin181sin181sin188sin 188sin 184cos 188sin 368sin 1844sin 18n -︒-︒-︒-︒===︒︒⨯︒︒︒-︒()1sin181sin1811cos 7241cos 72482-︒-==-︒︒︒=-⨯.故选：A ．2．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，(0,2πωϕ><的部分图象如图所示，()f x 的图象过,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将()f x 的图象向左平移712π个单位得到()g x 的图象，则函数()g x 在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A．BC．D ．1-【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴2T π=，则1ω=，∴()()2sin f x x ϕ=+，将点,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-，则()2sin 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 在30,4π⎡⎤⎢⎣⎦上的最小值为32cos 4π=，故选：A3．如图所示，扇形OQP 的半径为2，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则ABCD S 的最大值是（）A ．233B ．CD ．23【答案】A【解析】如图，记COP α∠=，在Rt OBC 中，2cos OB α=，2sin BC α=，在Rt OAD 中，3323sin 333OA DA BC α===，所以232cos sin 3AB OB OA αα=-=-，设矩形ABCD 的面积为S，2(2cos )2sin 34323234sin cos 2sin 2cos 2333sin(2)363S AB BC ααααααααπα=⋅=-⋅=-=+-=+-由03πα<<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S 取最大值，为432323333-=,故选：A.4．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.图中的ABCD 为矩形，弧CED 为一段圆弧，其尺寸如图所示，则截面（图中阴影部分）的面积为（）A．210cm 3π⎛+⎝B．28cm 3π⎛+⎝C．2(4π+D．2(2π+【答案】B 【解析】如图，由图可知，球半径2r cm =，设阴影部分面积为1S ，则截面面积为1ABCD S S S S =+-圆矩形截面,()224S r cm ππ==圆，)21233ABCD S cm =⨯=矩形，3AB CD cm ==，连接CD ,作OF CD ⊥于F 点，2OD OC r cm === ，F ∴为CD 中点，3,2F D D O =∴=，3cos 2DF ODF OD ∴∠==，故30ODF ︒∠=，60DOF ∴∠=︒,∴扇形ODC 的面积()22114242233S r cm ππα==⨯⨯⨯=扇形，)21131322ODC S DC OF cm =⋅=⨯= ，)21433ODC ODC S S S cm π∴=-=扇形)2484333333S cm πππ∴=+-+=+截面，故选：B5．定义在R 上的函数()f x 满足：()()ln 2f x f x =--，函数()()2sin cos xx x f x g π++=，若()()1ln2a g e a =∈R ，则()a g e -=______．【答案】2ln 2【解析】∵()()ln 2f x f x =--，∴()()ln 2f x f x +-=，故()()ln 2aaf e f e +-=；令()2sin cos xh x x π=+，则()()()g x f x h x =+，而()()2sin cos xx h x h x π-=+-=-，即()()0h x h x +-=，该函数是奇函数，故()()0a a h e h e +-=；故()()()()()()()()()a a a a a a aa a g e g e f e h e f e f e f e h e h e ⎡⎤⎡⎤+-=++-=+-++-⎣⎦⎣⎦ln 20ln 2=+=，又∵()1ln ln 22ag e==-，∴()()ln 2ln 22ln 2ag e -=--=.故答案为：2ln 2.6．已知函数()sin sin 2f x x x =⋅，[]0,2πx ∈.下列有关()f x 的说法中，正确的是______(填写你认为正确的序号).①不等式()0f x >的解集为π04x x ⎧<<⎨⎩或3ππ4x ⎫<<⎬⎭；②()f x 在区间[]0,2π上有四个零点；③()f x 的图象关于直线πx =对称；④()f x ；⑤()f x 的最小值为2；【答案】③④【解析】由()2sin sin 22sin cos f x x x x x =⋅=⋅①()0f x >，即cos 0x >，又[]0,2πx ∈，则02x π<<或322x ππ<<，故①不正确.②()0f x =,则sin 0x =或cos 0x =，又[]0,2πx ∈所以30,,,,222x ππππ=，共有5个零点，故②不正确.③()()()()2222sin 2cos 22sin cos f x x x x x f x πππ-=-⋅-=⋅=所以()2f x π-=()f x ，则()f x 的图象关于直线πx =对称，故③正确.④()()222sin cos 2cos 1cos f x x x x x =⋅=⋅-设[]cos 1,1x t =∈-，则322y t t =-+，则262y t '=-+由2620y t '=-+>解得3333t -<<-，由2620y t '=-+<解得313t -<<-或313t <<所以322y t t =-+在313⎡--⎢⎣⎦，上单调递减，在3333⎡-⎢⎣⎦，上单调递增，在313⎤⎥⎣⎦上单调递减.当33t =时,y =,当t 3=-时,y =,当1t =时，0y =，当1t =-时，0y =，所以当33t =时，函数322y t t =-+有最大值9所以当t 3=-时,函数322y t t =-+有最小值439-所以④正确，⑤不正确.故答案为：③④7．已知函数2()cos 222x x x f x =+-.（1）求函数()f x 在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围.【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦；（2）5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）2()cos 2222sin()4x x x f x x x x π=+=++-，令4U x π=+，[]0,x π∈ ，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦由sin y U =的图像知，2sin 2U ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即sin ,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 24x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.（2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>(f x ωQ2sin()4x πω∴+=，即3sin()=42x πω+[]0,x π∈ ，444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦,，且=2()43x k k ππωπ++∈Z 或2=2()43x k k ππωπ++∈Z由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，所以243ππωπ+≥，解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》(含答案)
2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设函数f(x)=Acos(ωx+φ)（其中A＞0，|ω|<;4,0<;φ<;π)的大致图象如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A. π2B. πC. 2πD. 4π2.（5分）数学必修二介绍了海伦−秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.若把以上这段文字写成公式，即S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2]，其中a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边.若√3cosB√3sinB =1tanC，b=2，则△ABC面积S的最大值为()A. √3B. √5C. 3D. √23.（5分）某干燥塔的底面是半径为1的圆面O，圆面有一个内接正方形ABCD框架，在圆O的劣弧BC上有一点P，现在从点P出发，安装PA，PB，PC三根热管，则三根热管的长度和的最大值为()A、4B、2√3C、3√3D、2√6A. 4B. 2√3C. 3√3D. 2√64.（5分）现只有一把长为2m的尺子，为了求得某小区草坪坛边缘A，B两点的距离AB(AB大于2m)，在草坪坛边缘找到点C与D，已知∠ACD=90∘，且tan∠ADB=−2√2，测得AC=1.2m，CD=0.9m，BD=1m，则AB=()A. √373m B. √5m C. √172m D. 3√22m5.（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>;0,ω>;0,|φ|<;π2)在一个周期内的图象如图所示.若方程f（x）=m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1,x2，则x1+x2的值为（)A. π3B. 23π或43π C. 43π D. π3或43π6.（5分）设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0⩽t⩽24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：经长期观观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A、y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B、y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C、y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D、y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]A. y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B. y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C. y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D. y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]7.（5分）泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔.某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60∘，在塔底C处测得A处的俯角为45∘.已知山岭高CD为256米，则塔高BC为()A. 256(√2−1)米B. 256(√3−1)米C. 256(√6−1)米D. 256(2√3−1)米8.（5分）为迎接校运动会的到来，学校决定在半径为20√2m，圆心角为π的扇形空地4OPQ内部修建一平行四边形观赛场地ABCD，如图所示，则观赛场地面积的最大值为( )A. 200m2B. 400(2−√2)m2C. 400(√3−1)m2D. 400(√2−1)m29.（5分）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（cm）和时)，那么单摆摆动一个周期所需的时间为间t（s）的函数关系式为s=6sin(2πt+π6（）A. 2πsB. πsC. 0.5sD. 1s10.（5分）小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A. 11+sin α米 B. 11−cos α米 C. 11−sin α米D. 11+cos α米11.（5分）瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32，沿山道继续走20m ，抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为π3，则该瀑布的高度约为()A. 60mB. 90mC. 108mD. 120m12.（5分）设y =f(t)是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中0⩽t ⩽24，表格中是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y =f(t)的图象可以近似地看成函数y =k +Asin(ωt +φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A. y =12+3sin π6t,t ∈[0，24] B. y =12+3sin(π6t +π2)，t ∈[0，24] C. y =12+3sin π12t,t ∈[0,24] D. y =12+3sin(π12t +π2)，t ∈[0,24] 二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）振动量函数y =√2sin(ωx +φ)(ω>;0)的初相和频率分别为-π和32，则它的运动周期为_______________，相位是_______________.14.（5分）如图，在平面直角坐标系中，点P 以每秒π2的角速度从点A 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B ，再以每秒π3的角速度从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为__________.15.（5分）函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>;0,|φ|<;π2)的图象如图所示，则函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为_______________；为了得到g(x)=sinωx的图象，只需把y=f(x)的图象上所有的点向右平移_______________个单位长度.16.（5分）已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0⩽t⩽24，单位：小时)的函数，记作y=f(t).某日各时刻记录的浪高数据如下表：经长期观测，y=f(t)可近似地看成是函数y=Acosωt+b.根据以上数据，可得函数y=Acosωt+b的表达式为__________.17.（5分）一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是____．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用y=Asin(ωt+φ)+b近似地拟合出月平均气温y(单位：℃)与时间t(单位：月)的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间.(答案不唯一)19.（12分）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：ℎ)的变化近似满足函数关系：f(t)=12−3sin(π12t+π3)，t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？20.（12分）如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m.(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少?(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远?21.（12分）健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=25sin160πt+115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.22.（12分）如果α为小于360°的正角，且这个角的7倍角的终边与这个角的终边重合，则这样的角α是否存在?23.（12分）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：（A＞0，ω＞0）.（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港？答案和解析1.【答案】C;【解析】略2.【答案】A;【解析】此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差公式，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于较难题．先利用两角和的正弦公式、三角形的内角和、诱导公式化简已知条件可得sinC=√3sinA，由正弦定理可得c=√3a代入面积公式结合二次函数的性质即可求解.解：因为√3cosB√3sinB =1tanC=cosCsinC，所以sinC=√3sinCcosB+√3cosCsinB=√3sin(B+C)=√3sinA，由正弦定理可得：c=√3a，代入面积公式可得：S=√14[a2⋅3a2−(a2+3a2−222)2]=√14[3a4−(2a2−2)2]=√14(−a4+8a2−4)=√14[−(a2−4)2+12]=√−14(a2−4)2+3，所以当a=2时，−14(a2−4)2+3取得最大值3，所以△ABC面积S的最大值为√3，故选：A.3.【答案】null;【解析】此题主要考查三角函数的实际应用，属于基础题.求出|PA|+|PB|+|PC|=2√3sin(θ+φ)，利用三角函数的性质即可求解.解：如图，设∠PAC=θ，θ∈[0,π4]，可得|PA|+|PB|+|PC|=2[cosθ+sin(π4−θ)+sinθ]=(2+√2)cosθ+(2−√2)sinθ=2√3sin(θ+φ)，其中tanφ=3+2√2，φ∈(π4,π2 )，所以(|PA|+|PB|+|PC|)max=2√3，由的范围可以取到最大值.故选B.4.【答案】C;【解析】此题主要考查解三角形的实际应用，考查数学运算的核心素养与应用意识，属于中档题.由题意可得AD=1.5m，利用tan∠ADB，求出cos∠ADB，进一步进行求解即可.解：因为∠ACD=90∘，AC=1.2m，CD=0.9m，所以AD=√AC2+CD2=1.5m.因为tan∠ADB=−2√2，所以cos∠ADB=−13，所以AB=√1.52+12−2×1.5×1×(−13)=√172m.5.【答案】D;【解析】略6.【答案】null;【解析】此题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属基础题.通过排除法进行求解，由y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin(ωx+φ)中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．解：排除法：∵y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，∴由T=12可排除C、D，将(3,15)代入，排除B.故选A.7.【答案】B;此题主要考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合思想和运算求解能力，属于基础题．根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC 的值．解：如图所示，在Rt △ACD 中，∠CAD =45°，CD =256， 所以AD =256，在Rt △ABD 中，∠BAD =60°， 所以BD =ADtan∠BAD =256√3， 所以BC =BD −CD =256√3−256， 即塔高BC 为256(√3−1)米． 故选：B.8.【答案】D;【解析】如图所示，连接OC ，设∠COA =θ，作DF ⊥OP ，CE ⊥OP ，垂足分别为F ，E ．根据平面几何知识可知，AB =CD =EF ，DF =OF =CE ，∴CE =20√2sinθ，EF =OE −OF =20√2cosθ−20√2sinθ．故四边形ABCD 的面积S 等于四边形DFEC 的面积，即有S =20√2sinθ×20√2(cosθ−sinθ)=400(sin2θ+cos2θ−1)=400√2sin(2θ+π4)−400，其中θ∈(0,π4)．所以当sin(2θ+π4)=1，即θ=π8时，S max =400(√2−1)，即观赛场地面积的最大值为400(√2−1)m 2．故选D ．9.【答案】D;10.【答案】C; 【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用. 由题设可得PA −1=PAsinα，即可得结果. 解：由题设，PC =PB′sinα=PAsinα，而PC =PA −1，所以PA −1=PAsinα，可得PA =11−sinα米.故选：C11.【答案】A; 【解析】此题主要考查解三角形的应用，根据题意作出示意图是解答该题的关键，考查空间立体感、学科素养和运算能力，属于中档题．作出示意图，过点B 作BC ⊥OA 于C ，结合三角函数和勾股定理，转化为平面几何中的简单计算，即可得解．解：根据题意作出如下示意图，其中tanα=32，β=θ=π3，AB =20m ，过点B 作BC ⊥OA 于C ， 设OH =3x ，则OA =OH tanα=2x ，OB =OH tanβ=√3x ，在Rt △ABC 中，因为AB =20，θ=π3，所以AC =AB ×cos π3=10，BC =AB ×sin π3=10√3，所以OC =OA −AC =2x −10，在Rt △OBC 中，由勾股定理知，(2x −10)2+(10√3)2=(√3x)2， 化简得x 2−40x +400=0，解得x =20， 所以瀑布的高度OH =3x =60m.故答案选：A.12.【答案】A;【解析】略13.【答案】23;3πx−π; 【解析】略14.【答案】f(t)={2sinπt2,0<t⩽2sin[π3(t−2)+π],2<t⩽5;【解析】此题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间的关系，属于综合题.解：由三角函数的定义可得：当动点P在半径为2的上半圆上运动时，t∈(0,2],终边OP对应的角度为π2t，所以P点坐标为(2cosπ2t,2sinπ2t)，当动点P在半径为1的下半圆上运动时，t∈(2,5],终边OP对应的角度为π3(t−2)+π，所以P点坐标为(cos[π3(t−2)+π],sin[π3(t−2)+π])，综上：动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为y={2sinπ2t,t∈(0,2]sin[π3(t−2)+π],t∈(2,5]15.【答案】π;π6+kπ,k∈Z;【解析】略16.【答案】y=12cosπ6t+1;【解析】此题主要考查了三角函数模型的应用的相关知识，试题难度一般. 解题时先计算出周期和振幅，然后求解解析式即可.解：由表中数据，知周期T=12，∴ω=2πT =2π12=π6，由t=0，y=1.5，得A+b=1.5；由t=3，y=1.0，得b=1.0，∴A=0.5，b=1，∴y=12cosπ6t+1.17.【答案】14;【解析】解：设P 与地面高度与时间t 的关系，f （t ）=Asin （ωt+φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω=，又因为f （0）=2，故ϕ=-πt所以f （16）=8sin(π- ． 故答案为：14．18.【答案】解：根据图象可知，当t =1时，y 有最小值15;当t =8时，y 有最大值27. ∴{−A +b =15ω+φ=−π28ω+φ=π2A +b =27解得{A =6b =21ω=π7φ=−9π14， ∴y =6sin(π7t −9π14)+21，周期T =2πω=2ππ7=14，振幅A =6.气温在1月份时达到最低， 在8月份时达到最高.;【解析】此题主要考查由y =Asin(ωt +φ)的部分图象确定其解析式，属于中档题． 当t =8月份时平均气温达到最大值25℃，当t =1月份时，平均气温达到最小值15℃，列出方程组，结合周期与振幅，从而可得函数解析式．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(t)=12−3sin(π12t +π3)，t ∈[0,24), 根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t +π3)⩽1，所以f(t)max=15,f(t)min=9，可得f(t)max−f(t)min=6，则实验室这一天的最大温差为6℃.(2)由题意，令f(t)>10.5，即12−3sin(π12t+π3)>10.5，即sin(π12t+π3)<12，因为t∈[0,24),可得π12t+π3∈[π3,7π3),所以5π6<π12t+π3<13π6，解得6<t<22，即在6时至22时这段时间内大棚需要降温.;【解析】此题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，三角函数模型的应用，属于中档题.(1)根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t+π3)⩽1，求得f(t)max=15,f(t)min=9，进而求得这一天的最大温差；(2)根据题意，令f(t)>10.5，得到sin(π12t+π3)<12，利用正弦型函数的性质，求得t的范围即可求解.20.【答案】解(1)连接OB，如图所示，设∠AOB=θ，则AB=OBsinθ=20sinθ，OA=OBcosθ=20cosθ，且θ∈(0,π2).因为A，D关于点O对称，所以AD=2OA=40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S=AD·AB=40cosθ·20sinθ=400sin2θ.因为θ∈(0,π2)，所以2θ∈(0,π)，所以当sin2θ=1，即θ=π4时，S max=400(m2).此时AO=DO=10√2(m).故当A，D距离圆心O为10√2m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.(2)由(1)知AB=20sinθ，AD=40cosθ，所以AB+BC+CD=40sinθ+40cosθ=40√2sin(θ+π4)，又θ∈(0,π2)，所以θ+π4∈(π4,3π4)，当θ+π4=π2，即θ=π4时，(AB+BC+CD)max=40√2(m)，此时AO=DO=10√2(m)，即当A，D距离圆心O为10√2m时，步行小路的距离最远.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的最值，是中档题21.【答案】解(1)T =2π|ω|=2π160π =180(min).(2)f =1T=80. 即此人每分钟心跳的次数为80.(3)p(t)max =115+25=140(mmHg)，p(t)min =115−25=90(mmHg)， 即收缩压为140mmHg ，舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg ，在正常值范围内.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的周期与频率之间的关系以及求正弦函数的的值域相关问题，属于一般题.22.【答案】解：由题意，有7α=k·360°＋α(k ∈Z)，即α=k·60°． 又由于0°＜α＜360°，即0°＜k·60°＜360°(k ∈Z)，则k 取1，2，3，4，5，所以α的值可取60°，120°，180°240°，300°．; 【解析】略.23.【答案】【解析】（1）由题表中数据可得：水深的最大值为13，最小值为7，所以{A +B =13,−A +B =7B =13+72=10,A =13−72=3,且相隔12小时达到一次最大值，说明周期为12，因此T=2πω=12,ω=π6,故f(t)=3sin π6t +10(0≤t ≤24)（2）要想船舶安全，必须f （t ）≥11.5，即3sin π6t +10≥11.5， 所以sin π6t ≥12，所以2kπ+π6≤π6t ≤5π6+2kπ,k ∈Z ，解得12k+1≤t≤5+12k ，k ∈Z ，当k=0时，1≤t≤5；当k=1时，13≤t≤17.故船舶能安全进出该港的时间段为1：00至5：00，13：00至17：00，共8个小时.; 【解析】略。
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1．（本小题满分1 2分）
在锐角△A BC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2
3,sin sin .4
b a
c A C ==且 （I ）求角B 的大小。
（II ）求函数()sin()sin (0)f x f x B x x π=-+≤<的最大值和最小值。
~
2.（本小题满分12分）
在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23= (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为2
33,求a ＋b 的值。
16．（本小题满分12分）
…
3.已知函数()cos cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()11sin 224g x x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合．
）
4．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，向量
12
(1sin ,
), (cos 2, 2sin )7
p A q A A =-=，且//p q . （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）若2,b =ABC ∆的面积为3，求a ．
—
5．（本小题满分10分）
设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4
1
cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；16．（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知11,2,c o s 4
a b C === （I ） 求ABC ∆的周长； （II ）求c o s ()A C -的值。
<
6.（本小题满分12分） ,
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°． （Ⅰ）若cos(B ＋C )＝－11
14，求cos C 的值；
（Ⅱ）若a ＝5，→AC ·→
CB ＝5，求△ABC 的面积．
7．(本小题满分l0分)
在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ，若.0cos )2(cos =++B c a C b
&
(I)求内角B 的大小；
(Ⅱ)若b=2，求∆ABC 面积的最大值．。
8．（本小题满分12分） [
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－11
14． （Ⅰ）求cos C 的值；
（Ⅱ）若a ＝5，求△ABC 的面积．
/
9．（本题满分12分）
已知函数()sin()(0,0,||,)2
f x A x A x R π
ωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示． （I ）求函数()f x 的解析式；
（II ）求函数()(2)y f x f x =++
（
1 1
2 －2
－1 －1 0
2 3
[
5 6 7
x。