高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(1)word学案

2．1圆锥曲线

[学习目标] 1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．

[知识链接]

1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答：不是，是线段F1F2.

2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？

答：是双曲线一支．

[预习导引]

1．椭圆的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

2．双曲线的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

3．抛物线的定义

平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

4．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．

要点一椭圆定义的应用

例1在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．

(1)顶点A的轨迹是什么？

(2)指出轨迹的焦点和焦距．

解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.

又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，

所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．

(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.

规律方法本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形，轨迹要除去两点．

跟踪演练1已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．

证明设MB＝r.

∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10，

∴两圆的圆心距MA＝10－r，

即MA＋MB＝10(大于AB)．

∴圆心M的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．

要点二双曲线定义的应用

例2已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．

解由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r.

因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①

又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②

②－①得MC2－MC1＝2，且2

所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．

规律方法设动圆半径为r，利用动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得两个等式，相减后消去r，得到点M的关系式．注意到MC2－MC1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C1与圆C2相切于点(－1,0)，所以M的轨迹不过(－1,0)．

跟踪演练2在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设BC＝m，且|sin C－sin B|＝1

2sin A，则顶点

A的轨迹是什么？

解因为|sin C－sin B|＝1

2sin A，由正弦定理可得|AB－AC|＝

1

2BC＝

1

2m，且

1

2m

所以点A的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC的两交点)．

要点三抛物线定义的应用

例3已知动点M的坐标(x，y)满足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，试确定动点M的轨

迹．

解方程可变形为

(x－1

)2＋(y－1)2

|x＋y＋6|

2

＝1，

∵(x－1)2＋(y－1)2表示点M到点(1,1)的距离，|x＋y＋6|

2

表示点M到直线x＋y＋6＝0的距离，

又由(x－1)2＋(y－1)2

|x＋y＋6|

2

＝1知点M到定点(1,1)的距离等于点M到直线x＋y＋6＝0的距离．

由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．

规律方法若将方程两边展开整理，然后通过方程的特点来判断，将很难得到结果，而利用方程中表达式的几何意义，再由抛物线定义，问题就变得非常简单．

跟踪演练3点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．

答案抛物线

解析将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4,0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．

1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，则动点P的轨迹是__________________．

答案椭圆或线段或不存在

解析当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．2．已知△ABC的项点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．

答案以A、B为焦点的双曲线的右支

解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜

AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．

3．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________________．

答案以O、A为焦点的椭圆

解析∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.

∴点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆．