利用schur补引理转化lmi约束
6.2 鲁棒性分析(4)
i 0 i 0 z
max | (Q 1/ 2Y T YQ 1/ 2 ) j |2
z
|| (YQ 1/2 z ) j ||2 (YQ 1Y T ) jj 2
[ A(k j ) B (k j )]
max
x(k | k )T Px(k | k ) r , P rQ 1（6-23）
可知， {z | zT Q1z 1} {z | zT Pz r} 是不确定系统未来预测状态的不变椭圆集。 （2）输入约束 1、在采样时刻k，考虑Euclidean约束：|| u(k i | k ) ||2 umax ，i 0
若存在对称矩阵X使得
X T Y Y 0 Q
且
X jj u 2 j max , j 1, 2,, nu
成立，则输入约束满足。
（3）输出约束
|| 1、在采样时刻k，考虑Euclidean约束： y(k i | k ) ||2 ymax
i 1 i 0
i 1
max || y (k i | k ) ||2 max || C ( A(k i ) B(k i ) F ) x(k i | k ) ||2 2 2 max || C ( A(k i ) B(k i ) F ) z ||2 2
z
max {Q1/2 [ A(k i) B(k i) F ]T C T C[ A(k i) B(k i) F ]Q1/2}
因此，对所有
[ A(k ) B(k )]
下述不等式（6-26）成立，则输出约束满足
MATLABLMI工具在鲁棒稳定性分析中的应用
收稿日期：2003-07-01修订日期：2003-08-08作者简介：高金凤：（1978-），女，助教，主要研究方向为不确定时滞系统的鲁棒控制与NCS 稳定性分析。
MATLAB LMI 工具在鲁棒稳定性分析中的应用高金凤，潘海鹏（浙江工程学院自动化所，浙江杭州310033）摘要：针对一类普遍存在的不确定时滞系统，基于线性矩阵不等式（LMI ）的描述进行系统的稳定性分析，得到了用一个线性矩阵不等式系统的可行性表示的鲁棒稳定性滞后依赖型条件。
介绍了如何利用MATLAB 软件中的LMI 工具箱进行分析与设计，据此计算出最大的允许时滞界。
针对此类系统的鲁棒稳定性分析给出了数值算例。
关键词：线性矩阵不等式；稳定性；鲁棒控制；时滞中图分类号：TP13；TP319文献标识码：A文章编号：1001-4551（2003）05-0106-03Application of MATLAB L MI for Rob st Stability AnalysisGAO Jin-feng ，PAN Hai-peng（Department of Automation ，Zhejiang Institute of Science and Technology ，Hangzhou 310033，China ）Abstract ：This paper is concerned about the robust stabiiity probiem of a ciass of time-deiay systems with norm-bounded uncer-tainties.A deiay-dependent sufficient condition for the robust stabiiity is derived and is expressed as the feasibiiity probiem of a certain iinear matrix ineguaiity（LMI ）system.The LMI tooibox is introduced in detaii ，and a maximum deiay bound is obtained by soiving a corresponding convex optimization probiem.Furthermore ，a numericai exampie is given to iiiustrate the proposed resuits.Key words ：LMI ；stabiiity ；robust controi ；deiay1引言在线性矩阵不等式使用之前，许多控制问题是用Riccati不等式方法来解决的［1~3］，而Riccati 不等式的求解带有一定的保守性。
汽车主动悬架多目标最优鲁棒控制LMI方法研究
汽车主动悬架多目标最优鲁棒控制LMI方法研究段建民; 黄小龙【期刊名称】《《自动化仪表》》【年(卷),期】2019(040)008【总页数】7页(P43-48,54)【关键词】汽车主动悬架; 性能约束; 多目标优化; 状态反馈控制; 鲁棒控制; 残性矩阵不等式; 路面扰动抑制【作者】段建民; 黄小龙【作者单位】北京工业大学信息学部北京100124【正文语种】中文【中图分类】TH-390 引言1/4车辆悬架模型无法反映前后悬架之间的联动关系。
而在半车悬架协同控制中，要求反映行驶平顺性的垂直加速度和俯仰角加速度值小、悬架的动行程只能在给定的行程内变化、车轮和路面间的动位移较小，使车轮和路面具有良好的附着效果。
但这三个评价标准在客观上存在矛盾[1]。
为解决此问题：文献[2]利用模糊PID控制车身加速度和悬架动挠度，未对其他性能作约束，鲁棒性能差；在其他控制方法中，神经网络控制系统的学习过程较长、适应性和实时性较差，线性二次高斯(linear quadratic Gaussian，LQG)控制很难选择合适的加权值，将其性能限制在范围内[3]。
刘树博[4]利用差分进化和矩阵不等式(differential evolution and linear matrix inequality，DELMI)算法对主动悬架单目标输出反馈控制进行研究。
ZHENG等[5]研究具有执行器容错的1/4主动悬架系统有限频率控制问题。
LI等[6]研究1/4悬架鲁棒反馈控制器的设计问题。
WANG等[7]针对全车主动悬架系统,在有限频率范围内,给出了动态输出反馈控制器设计方法。
针对汽车主动悬架系统中性能指标存在相互制约的特性，以4自由度(degree of freedom,DOF)半车电液主动悬架模型作为研究对象，设计出一种基于矩阵不等式(linear matrix inequality，LMI)的多目标最优鲁棒控制器。
该控制方法不仅考虑系统鲁棒稳定性的问题，而且综合考虑舒适性、悬架行程约束和接地性，对这些性能指标进行优化约束。
有关lmi的引理
有关lmi的引理LMI（Linear Matrix Inequality）是一种重要的数学工具，在控制理论、优化问题和系统辨识等领域都有广泛的应用。
本文将介绍与LMI相关的几个重要引理，以帮助读者更好地理解和应用LMI。
一、Schur补引理Schur补引理是LMI理论中的一个基本引理，它在LMI问题的化简和求解中起到了重要的作用。
Schur补引理的基本思想是将LMI问题转化为一个更简单的形式，从而更方便地进行求解。
Schur补引理可以用于将一个大的矩阵不等式分解为几个小的矩阵不等式。
通过引入一个辅助矩阵，可以将原始的大矩阵不等式转化为一个关于辅助矩阵的小矩阵不等式。
这样，原始的LMI问题就可以通过求解小矩阵不等式来得到解。
二、Lyapunov引理Lyapunov引理是LMI理论中的另一个重要引理，它与稳定性分析和控制设计密切相关。
Lyapunov引理提供了一种用LMI表示稳定性的方法，通过构造一个Lyapunov函数和一个LMI条件，可以判断一个系统的稳定性。
Lyapunov引理的基本思想是通过构造一个满足一定条件的二次型函数（即Lyapunov函数），来刻画系统的稳定性。
通过对Lyapunov函数进行LMI条件的约束，可以得到系统稳定性的充分条件。
如果存在满足LMI条件的Lyapunov函数，那么系统就是稳定的。
三、S-procedure引理S-procedure引理是LMI理论中的一种重要的判定工具，它常用于判定一组不等式是否同时成立。
通过引入松弛变量和LMI条件，S-procedure引理可以将多个不等式约束转化为一个LMI问题，从而更方便地进行求解。
S-procedure引理的基本思想是将一组不等式约束转化为一个等式约束加一个LMI条件的形式。
通过引入一个松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，并使用LMI条件来保证等式约束的成立。
这样，原始的多个不等式约束就可以通过求解一个LMI问题来判定是否同时成立。
通信受限不确定Delta算子网络系统H∞滤波
通信受限不确定Delta算子网络系统H∞滤波张端金;高晓蓓【摘要】研究了一类基于Delta算子的通信受限条件下参数不确定网络系统H∞滤波问题.在通信受限条件下,采用通信序列对网络控制系统进行分析,构建Delta算子描述的不确定系统滤波误差模型.利用线性矩阵不等式和Lyapunov-Krasovskii 泛函提出滤波误差系统渐近稳定的充分条件,证明了系统的H∞性能,并给出滤波器的设计方法.数值仿真结果验证了所提方法的有效性.%The problem ofH∞filtering for Delta operator based uncertain networked systems with limited communication is studied.Under the communication constraints, the networked control systems are analyzed by using a communication sequence,and the Delta operator formulated filtering error system with uncertainty is established.The performance analysis of network-based H∞ filtering error system is proposed by constructing a suitable Lyapunov-Krasovskii functional via Delta operator which includes limited communication.Sufficient conditions of asymptotic stability for the filtering error system are derived in terms of linear matrix inequalities, and the design of H∞ filter is also obtained.A numerical example is given to show the effectiveness of the proposed method.【期刊名称】《系统工程与电子技术》【年(卷),期】2017(039)008【总页数】7页(P1864-1870)【关键词】不确定系统;H∞滤波;通信受限;Delta算子【作者】张端金;高晓蓓【作者单位】郑州大学信息工程学院, 河南郑州 450001;郑州大学信息工程学院,河南郑州 450001【正文语种】中文【中图分类】TP273近年来,随着计算机、通信等技术的快速发展,传统的点对点控制表现出来的布线复杂,扩展难和维护难等一系列的问题也日益突出,因此由通信网络连接节点的网络控制系统(networked control systems, NCSs)应运而生。
基于增广Lyapunov泛函的Lurie时滞系统的绝对稳定性
1004
自
动
化
学
报
34 卷
方法得到了 Lurie 时滞系统的时滞相关绝对稳定条件, 得到 了一些具有较低保守性的结果[6] . 但文献 [5 − 6] 所采用的 Lyapunov 泛函为普通泛函, 具有较大的改进空间. 本文采 用增广的 Lyapunov 泛函[15] 结合自由权矩阵方法对 Lurie 时滞系统进行了研究, 得到了具有更低保守性的时滞相关绝 对稳定条件, 并将结果推广到具有时变结构不确定性的情形. 数值实例表明了本文方法的有效性和相比已有结果的优越 性.
汽车主动悬架系统的有限频率H∞控制
Finite Frequency H∞ Control for Vehicle Active Suspension SystemsWeichao Sun, Huijun Gao, Senior Member, IEEE, and Okyay Kaynak,Fellow, IEEEIEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMSTECHNOLOGY, VOL. 19, NO. 2, MARCH 2011汽车主动悬架系统的有限频率H∞控制孙伟超，高辉俊，电气和电子工程师协会高级成员，奥基艾·凯内克，电气和电子工程师协会研究员电气电子工程师协会控制系统技术，卷19，2号，2011年3月摘要简要说明H∞控制在有限的频域主动悬架系统的控制问题。
H∞的性能是用来衡量乘坐的舒适性，因此更应该考虑一般的道路干挠。
通过使用广义卡尔曼-Yakubovich波波夫-（KYP）引理，从扰动到受控输出常态H∞控制被降低特定频带，提高乘坐舒适度。
与整个频率的方法相比，有限的频率的方法更有效地抑制振动有关的频率范围。
另外，对时域的限制，这代表了车辆悬架的性能要求，保证在控制器的设计。
状态反馈控制器设计的线性矩阵不等式（LMI）优化的框架。
四分之一汽车主动悬架系统模型被认为是在这个简短的和一个数值的例子用来说明该方法的有效性。
关键词：主动悬架系统，约束，有限的频率，广义KYP引理，H∞控制。
一、引言车辆悬架系统基本上由横臂，弹簧和减震器的传输和过滤器与道路之间的所有力组成。
弹簧是进行体质量和隔离的身体道路干扰，从而有助于乘坐舒适性。
减震器的任务是车身和车轮的振动阻尼，其中避免车轮振荡的直接造成乘坐安全。
由于车辆悬架系统的乘坐舒适性和安全性负责，它在现代汽车中起着重要的作用。
近年来,很多一直努力开发模型悬架系统和定义设计规范,反映了主要目标需要考虑。
在这个意义上，乘坐的舒适性，行驶能力，悬架动挠度，和致动器的饱和度被认为是控制方案解决的重要因素。
基于改进LMI的鲁棒H∞动态输出反馈控制综合
基于改进LMI的鲁棒H∞动态输出反馈控制综合郝峰;叶思隽;车晓涛【摘要】研究动态输出反馈(DOF)下连续时间系统的鲁棒H∞控制综合问题.借助于线性矩阵不等式(LMI)技术,给出了闭环系统鲁棒H∞DOF控制器存在的充要条件.该条件依赖于引入的松弛变量,消除了Lya-punov变量与系统矩阵之间的耦合,能够减小控制器设计的保守性.利用变量替换方法,将上述条件中的非线性矩阵不等式转化为关于替换变量的LMI,并给出了相应的DOF控制器求解方法.数值算例结果验证了新方法的有效性.【期刊名称】《弹箭与制导学报》【年(卷),期】2017(037)002【总页数】6页(P5-10)【关键词】控制理论;鲁棒控制;动态输出反馈;线性矩阵不等式;H∞控制【作者】郝峰;叶思隽;车晓涛【作者单位】西北工业大学航天学院,西安710072;中国兵器工业第203研究所,西安710065;中国兵器工业第203研究所,西安710065;中国兵器工业第203研究所,西安710065【正文语种】中文【中图分类】TP1320世纪90年代以来,随着内点法的应用和MATLAB LMI工具箱的推出,LMI方法被广泛应用于控制领域[1-2],成为控制分析与综合最有效的工具之一。
H∞控制是鲁棒控制理论中最为重要的设计框架之一。
传统的H∞范数计算问题都可以通过有界实引理转化为标准的LMI表达式。
但是,在多目标或多通道控制分析与综合时,矩阵表达式中的系统矩阵和Lyapunov变量之间的耦合导致问题非凸,难以求解。
常见的解决办法是针对所有的约束条件使用相同的Lyapunov函数[2],这使得控制器的保守性大大增加。
近年来,通过在矩阵表达式中引入松弛变量,能够实现系统矩阵和Lyapunov变量之间的解耦,减小设计保守性。
M.C.Oliveira和J.Geromel在这方面做出了开创性的研究工作[3],获得了基于参数依赖Lyapunov函数的不确定离散时间系统的鲁棒稳定条件。
分散鲁棒控制的LMI方法
由于 LMI 的优良性能以及数学规划和解法的突破，特别是内点法的提出以及 MATLAB 软件中 LMI 工具箱的推出，LMI 这一工具越来越受到人们的广泛关注与重视，使其在控制 系统的分析和设计方面得到了广泛的重视和应用，成为这一领域的研究热点。在此之前，绝 大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或不等式的方法来表示和求解的。但是求解 Riccati 方程或其不等式，有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。因而有时即使问题本身是有 解的，也不能找出问题的解。这给实际问题的解决带来了很大的不便，而 LMI 方法可以很 好地弥补 Riccati 方程方法的不足，不需要调整任何参数，便可获得问题的解。
（1.4）
这个问题也可以化成如下一个等价问题：
min cT x
s.t. F x 0
（1.5）
这是 LMI 工具箱中特征值问题求解器所要处理问题的标准形式。
一个 LMI F x 0 的可行性问题也可以写成一个 EVP：
min
s.t. F x I 0
（1.6）
显然，对于任意的 x ，只要选取足够大的 ， x, 就是上述问题的一个可行解，因此上述 问题一定有解。若其最小值 * 0 ，则 LMI F x 0 是可行的。
件是等价的：
（a） S 0 ； （b） S11 0，S22 S1T2 S111S12 0 ； （c） S22 0，S11 S12 S221S1T2 0 。 （2）有界实引理 考虑线性时不变的连续时间系统
x t Ax t B t z t Cx t D t
具有正定解 X 0 。这里 R 2I DT D 。 事实上，Riccati 方程（1.10）等价于 Riccati 不等式
基于干扰观测器的二元机翼颤振抑制及阵风载荷减缓方法研究
基于干扰观测器的二元机翼颤振抑制及阵风载荷减缓方法研究吕聪;刘世前;卢正人;王永;梁青祥龙【摘要】针对大展弦比柔性飞机在飞行过程中面临的两类气动弹性问题:颤振抑制与阵风载荷减缓开展研究.首先,建立以飞行速度为时变参数的柔性二元机翼结构动力学模型.其次,提出了基于鲁棒预测控制方法的变参数柔性机翼颤振抑制;同时,引入干扰观测器对阵风扰动进行观测,以干扰估计作为抗干扰控制输入,实现阵风载荷减缓.然后,根据对偶原理,将控制器与观测器独立设计.运用极点配置方法,设计了离散系统干扰观测器.根据Lyapunov理论将变参数系统的鲁棒镇定与颤振抑制问题转换为极大/极小动态规划问题.通过线性矩阵不等式方法求解出相应的预测控制律,并证明了整个闭环系统的稳定性.最后,以某型柔性变参数二元机翼对象为例,进行仿真.结果表明,设计的鲁棒预测控制器可提高约20％的临界颤振速度,且阵风载荷减缓率达到90％.%Two types of aeroelastic problems for the high-aspect-ratio flexible aircraft were discussed:the flutter suppression and the gust load alleviation.Firstly,the structural dynamic model of a two-dimensional flexible wing with time-varying parameters was established.Secondly,a robust predictive control method was proposed to suppress the flutter of flexible wings with varying parameters.At the same time,disturbance observer was introduced to estimate the gust disturbance,and the estimated values were used as the rejected-disturb control input to realize gust load alleviation.According to the principle of duality,the controller and the observer can be designed independently.The disturbance observer of the discrete system was designed by using pole-placementmethod.According to,the robust stabilization and flutter suppressionproblem of variable parameter systems was transformed into maximal / minimal dynamic programming problem.The corresponding predictive control law was obtained by solving linear matrix inequalities.The stability of the overall closed-loop system was proved by using Lyapunov theory.The simulation results show that the robust predictor controller can increase the critical flutter speed by about 20％ and the gust load alleviation rate is 90％.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2017(017)015【总页数】7页(P136-142)【关键词】二元机翼;干扰观测器;颤振抑制;阵风载荷减缓;预测控制【作者】吕聪;刘世前;卢正人;王永;梁青祥龙【作者单位】上海交通大学航空航天学院,上海200240;上海交通大学航空航天学院,上海200240;西安飞行自动控制研究所,西安710065;西安飞行自动控制研究所,西安710065;上海交通大学航空航天学院,上海200240【正文语种】中文【中图分类】V215.34颤振抑制与阵风载荷减缓一直是柔性机翼气动弹性问题研究的两大热点[1]。
一种含扰动项的非线性系统执行器故障估计方法
收稿日期：2020-01-11修回日期：2020-03-11基金项目：2019年辽宁省教育厅科学研究经费资助项目（L201906）作者简介：孙延修（1981-），男，河北邯郸人，硕士，副教授。
研究方向：非线性系统观测器。
*摘要：现代控制系统的安全性与可靠性是各领域研究的热点之一，系统故障诊断与估计的方法越来越引起人们的重视。
针对一类含有外部扰动的非线性系统，研究了系统执行器故障估计问题。
通过设计一种增广系统观测器对原系统中的执行器故障进行估计；考虑到系统中的非线性扰动项，利用线性矩阵不等式（LMI ）方法给出了观测器存在的充分条件并保证误差系统渐近稳定。
同时，通过设定性能指标减少了外部扰动对执行器故障估计的影响；通过数值算例验证了执行器故障估计方法的有效性，表明该估计方法能够较好的对系统中的执行器故障进行鲁棒估计。
关键词：外部扰动，非线性系统，执行器故障，线性矩阵不等式，状态观测器中图分类号：TP391.9文献标识码：ADOI ：10.3969/j.issn.1002-0640.2021.03.007引用格式：孙延修.一种含扰动项的非线性系统执行器故障估计方法［J ］.火力与指挥控制，2021，46（3）：38-42.一种含扰动项的非线性系统执行器故障估计方法*孙延修（沈阳工学院基础课部，辽宁抚顺113122）A Method of Actuator Fault Estimation forNonlinear System With Disturbance TermSUN Yan-xiu（Basic Course Department ，Shenyang Institute of Technology ，Fushun 113122，China ）Abstract ：The safety and reliability of modern control system is one of the hotspots in variousfields ，more and more attention has been paid to the fault diagnosis and estimation of the system.For a class of nonlinear systems with external disturbances ，the problem of actuator fault estimation is studied.Firstly ，an augmented system observer is designed to estimate actuator faults in the original system ；Secondly ，considering the nonlinear disturbance term in the system ，the sufficient conditions for the existence of the observer are given by using the LMI method to ensure the asymptotic stability of the error system ，at the same time ，the influence of external disturbance on actuator fault estimation is reduced by setting performance index.Finally ，the effectiveness of the actuator fault estimation method is verified by a numerical example ，which shows that the method can estimate the actuator fault in thesystem robustly.Key words ：external disturbance ，nonlinear system ，actuator failure ，linear matrix inequality ；state observerCitation format ：SUN Y X.A method of actuator fault estimation for nonlinear system with disturbance term ［J ］.Fire Control &Command Control ，2021，46（3）：38-42.0引言目前，控制系统对稳定性及可靠性的要求越来越高。
离散Markov跳变系统事件触发H∞量化输出反馈控制
离散Markov跳变系统事件触发H∞量化输出反馈控制张婷婷;高金凤;李嘉豪【摘要】主要考虑了基于事件触发机制的离散Markov跳变系统的量化H∞输出反馈控制问题,对系统的建模、稳定性分析、控制器设计等三个方面进行了研究;首先,提出了事件触发通信机制来确定当前采样数据是否能够传输到控制器当中;其次,在传感器与控制器之间引入对数量化器,利用扇形有界方法,量化采样数据达到降低网络中的数据传输速率的目的;接下来,考虑网络诱导时延建立一种具有外部扰动的Markov跳变时滞系统;构造Lyapunov-Krasovskii泛函,利用线性矩阵不等式(LMIs)得到使闭环系统渐近稳定且满足H∞性能指标的充分条件,在此基础上设计相应的输出反馈控制器;最后通过数值仿真来证明本文所提方法的有效性.【期刊名称】《计算机测量与控制》【年(卷),期】2019(027)003【总页数】7页(P72-78)【关键词】离散Markov跳变系统;事件触发机制;量化;输出反馈控制;网络控制系统【作者】张婷婷;高金凤;李嘉豪【作者单位】浙江理工大学机械与自动控制学院,杭州 310018;浙江理工大学机械与自动控制学院,杭州 310018;浙江理工大学机械与自动控制学院,杭州 310018【正文语种】中文【中图分类】TP2730 引言Markov跳变系统作为一类特殊的随机混杂系统，不同模态之间可以通过Markov 链来进行转移。
由于此特性，在过去的几年中Markov跳变系统得到了学者们广泛的研究[1-2]，其中包括稳定性分析以及控制器设计等。
随着计算机和网络技术的发展，通信模式由传统的点对点方式转变为智能网络方式，网络控制系统(network control systems，NCSs)应运而生，NCSs相比较于以往的控制系统具有低成本、方便安装与维护等等优点。
NCSs是通过数字通信网络将被控对象、传感器、控制器以及执行器等控制节点连接起来的闭环控制系统。
转移概率未知下Markov线性切换系统的H∞ 控制
转移概率未知下Markov线性切换系统的H∞ 控制徐风风;林瑞全;余康舟【摘要】研究了一类具有Markov特性的随机时延切换系统的H∞ 控制问题.具体针对切换系统数据传输的随机时延特性,将随机时延转换成一类转移概率未知的Markov序列,基于模态依赖型Lyapunov函数设计了模态依赖状态反馈控制器.在此基础上,通过求解线性矩阵不等式(LMI),得到了使控制系统渐近稳定且具有H∞ 性能充分条件.数值算例表明,该设计方法有效.【期刊名称】《闽江学院学报》【年(卷),期】2019(040)002【总页数】8页(P15-22)【关键词】网络控制系统;Markov切换模型;时延;丢包;H∞控制;LMI【作者】徐风风;林瑞全;余康舟【作者单位】福州大学电气工程与自动化学院,福建福州350116;福州大学电气工程与自动化学院,福建福州350116;福州大学电气工程与自动化学院,福建福州350116【正文语种】中文【中图分类】TP273网络控制系统(NCS)由于其便于维护、诊断，有利于资源共享及增强了系统的灵活性和可靠性等优点在各个领域得到广泛的应用。
网络化控制带来若干优点的同时，由于自身的时延、丢包、时序错乱、网络宽带受限、介质接入限制等问题不可避免地会影响系统的控制性能，甚至导致系统不稳定。
因此，如何设计控制器使NCS 稳定已经成为当前研究的热点。
针对NCS中的时延问题，一些学者从不同的角度进行了研究。
文献[1-5]在处理传感器到执行器之间的时变时延时，通过设置缓冲器的办法将时变时延转化为确定时延，简化了对系统的分析，但却降低了系统的控制性能。
研究学者Ray[6]在研究网络控制系统中的分布式诱导时延时，提出了基于一个确定性的状态估计器和线性状态反馈控制律的分布式时延补偿算法。
文献[7-8]利用系统模型和额外的系统动态信息，采用预估方法补偿了数据丢包和时延的影响，但降低了设计的保守性。
上述研究方法需要在传输端和接收端设置缓存，增加了网络的繁忙程度，有时会造成网络堵塞。
一种在不等式约束下的故障诊断集员滤波器的设计
一种在不等式约束下的故障诊断集员滤波器的设计苗琳璐;王武【摘要】为了解决在不等式约束下的故障诊断的问题,提出了集员滤波器的设计方法,所提方法不仅可以对故障大小进行估计,有效检测出故障,还能解决运行系统中要求的100％包含真实最小域的需要,并且能够判定出故障信号类型.针对不等式约束,采用S-过程方法,并利用Schur补引理证明所提出的定理,最后运用递归优化算法对集员滤波器的设计进行优化,并且用线性矩阵不等式(LMI)方法求解所设计集员滤波器的主要参数.数值仿真说明该方法的可行性和有效性.【期刊名称】《闽江学院学报》【年(卷),期】2015(036)005【总页数】8页(P71-77,132)【关键词】故障诊断;集员滤波器;LMI;不等式约束;未知但有界【作者】苗琳璐;王武【作者单位】西北矿冶研究院,甘肃白银730900;福州大学电气工程与自动化学院,福建福州350116【正文语种】中文【中图分类】TP13众所周知，维纳-何甫提出的维纳滤波理论为控制界做出了巨大的贡献，但它一定要用到无穷过去的数据，且不能处理实时数据，因此在实际应用中具有一定的制约性.为了解决这个问题，Kalman提出卡尔曼滤波(Kalman filter, KF)方法，给出了线性系统最小均方差意义下的最优滤波.KF的出现大大推进了估计理论的发展，已普遍应用到各个领域[1-3].KF是基于随机噪声的滤波方法，然而实际噪声的统计特性往往难以得到，这是KF发展的一个瓶颈问题[4].由Witsenhausen H提出的集员滤波(set-membership filter, SMF)方法，只要求噪声未知但有界，用硬界描述(hard bounds)代替随机系统中对噪声的描述，对噪声在此界内的具体分布情况不作任何要求，并且能保证所估计的值100%包含在所需要的范围内.因此，近些年来受到了越来越多地关注，大量的文献不断涌现[5-7]，但有关集员滤波的方法用于故障诊断的文献很少.另外，当系统是有状态约束时，其特殊性和复杂性无法忽略[8-10].现有的文献，对有约束的故障诊断滤波器的设计问题的研究成果很少，也还没有形成完善的理论方法，特别是不等式约束.因此，本文提出用于故障诊断的集员滤波器设计方法，不仅能有效的检测出故障，保证系统的状态、故障信号的值100%包含在上下界内，还能辨别出故障信号的类型.考虑如下线性时变系统：其中，xk∈Rn是系统状态变量，uk∈Rn是已知的输入变量，yk∈Rm是测量输出，Ak,Bk,Ck,Dk,Fk,Mk,Lk是时变系统的已知的矩阵，wk∈Rr为过程噪声，vk∈Rp为测量噪声，fk∈Rn为故障信号，分别属于以下的椭球集合：其中，为已知正定矩阵，wk,vk,fk都在椭球内.系统的初始状态x0,r0满足以下的椭球集合：其中，0是对x0的估计，为已知矩阵.另外，针对动态系统(1)，存在一个不等式的状态约束，其形式如下:其中，Jk是已知的时变半正定的矩阵，ak是已知的时变正的标量.对于系统(1)，设计如下的集员滤波器：其中，k是对xk的估计，rk是对fk的估计，k是滤波器待设计的参数.本研究的设计目标是，对任意时刻k+1，具有不等式约束的系统(1)，在给定存在过程噪声wk、观测噪声vk和故障信号fk有界的情况下，设计形如式(5)的集员滤波器，对故障信号确切的值进行辨别，保证系统状态、故障信号的值100%在上下界内，即系统状态、故障信号的值满足以下性能指标：定理：针对满足不等式约束(4)的系统(1)，对于任意k+1时刻，在给定测量输出yk+1，如果满足：1)过程噪声wk∈Wk、观测噪声vk∈Vk和故障信号fk∈Ψk，即wk,vk, fk是有界的；2)xk、rk在其椭球内：，即是已知的；3)存在滤波器参数和参数λ1≥0,λ2≥0,λ3≥0,λ4≥0,λ5≥0,λ6≥0,λ7≥0,β1≥0,β2≥0,β3≥0,β4≥0,β5≥0,β6≥0,β7≥0,使得式(7)和式(8)成立；则以下成立：1)系统(1)存在一个集员滤波器(5)；2)xk+1,rk+1分别在其椭球集合内，即：，即保证系统的状态、故障信号的值100%包含在上下界内.其中，证明：由题设知，因为成立，所以∃z，∃s,且满足‖z‖≤1，‖s‖≤1,并且Ek、Γk 满足使得式(9)成立.又k+1步的状态估计误差、故障信号的误差可以分别为：将式(9)代入式(10)得：从式(11)可以看出：z，s，wk，vk+1， fk， fk+1为未知向量，定义：那么，式(11)可以写做：所以，式(6)可以写做：向量z，s，wk，vk+1， fk， fk+1满足下面的不等式：式(15)写成含有η的不等式：不等式约束(4)可以写成如下形式：式(14)、式(16)和式(17)应用S-procedure引理，由引理可知，存在λ1≥0,λ2≥0,λ3≥0,λ4≥0,λ5≥0,λ6≥0,λ7≥0,β1≥0,β2≥0,β3≥0,β4≥0,β5≥0,β6≥0,β7≥0,使得式(18)、式(19)成立.式(18)可以化简为：由Schur补引理式(20)可得到式(7)，同理可得式(8).综上，如果存在滤波器参数且满足λ1≥0,λ2≥0,λ3≥0,λ4≥0,λ5≥0,λ6≥0,λ7≥0,β1≥0,β2≥0,β3≥0,β4≥0,β5≥0,β6≥0,β7≥0,使得式(7)和式(8)成立，那么xk+1,rk+1满足式(6).得证.注1：定理给出了存在集员椭球滤波器的LMI条件和由式(7)、(8)所示的集员椭球滤波器参数的设计方法，通过MATLAB工具可以得到所需要的集员椭球滤波器.利用MATLAB工具的优化功能，解决如下凸优化问题，进一步优化集员椭球滤波器的设计.注2：本文针对具有不等式状态约束的系统，设计集员滤波器，假设系统的过程噪声、测量噪声、故障信号的值未知但有界，能够保证系统的状态、故障信号的真实值、估计值100%包含在上下界内，并且能够检测出故障信号的类型，根据参考文献[11]，有以下判断系统是否有故障的方法：故障检测时，选取评价函数为：其中，k0为初始评价时刻，L为评价步数.由于故障一定是发生在有限时间段内的，所以L是有限值.阈值的选取必须要考虑外界干扰的影响，为了尽量避免没有故障信号时出现误检测，而有故障信号时又要尽量迅速地检测出故障，取阈值函数为：可以通过计算每一时刻J(r)和Jth的值来检测故障是否发生：针对系统(1)，给出以下系统：其中xk=[xk1 xk2 xk3 xk4]T， fk=[fk1 fk2 fk3 fk4]T，yk=[yk1 yk2]T.对于所有的k，Qk=1，Sk=1,Rk=1,Sk+1=1,wk=0.3 sin(2k),vk=0.2sin(30k),ak=1.初始数据x0=[0 0 0 0]T，r0=[0 0 0 0]T,P0=diag(100,100,100,100),G0=diag(0.5，0.5，0.5，0.5).利用MATLAB LMI Toolbox对优化问题(21)进行寻优，首先，假设同一时刻只有一个部件发生故障.(1)fk1,fk2,fk3,fk4取同种故障，且为正弦信号：(2)fk1,fk2,fk3,fk4取同种故障，且为方波信号：图1和图2给出了在(1)、(2)故障情形下，状态变量xk1,xk2的真实值、估计值、上界线、下界线比较图，无论故障为何种形式，只要故障信号的值有界，状态变量xk1、xk2100%在上下界内，满足硬界描述.图3、图4分别是基于故障形式为(1)、(2)的rk1真实值、上下界线与fk1比较图，图3与图4表明故障信号的值100%在上下界内，也满足硬界描述，故障信号的类型不同，波形图也不同.因此，可以从故障信号的波形图判断出故障信号的类型.当故障是形如(2)时，取η=1.2，根据式(22)和式(23)计算每一时刻的残差评价函数值J(r)和阈值Jth，然后根据式(24)和式(25)比较判断.通过仿真，得到当k=24时，J(r)=0.653 42>0.144=Jth，如图5所示，说明故障信号在出现后第4步就被检测出来.针对不等式约束的系统，提出一种集员滤波器的设计方法用于故障诊断，保证系统的状态、故障信号的值100%包含在上下界内.首先假设过程噪声、测量噪声、故障信号的值有界，S-过程方法把所有不等式合并到一个不等式；Schur补引理把主要结果用矩阵表示，最后运用递归优化算法对集员滤波器的设计进行优化，用LMI方法求解所设计集员滤波器的主要参数.数值仿真说明了设计的滤波器能及时检测出故障，并能100%保证系统的状态和故障信号的值在上下界内，而且还能够辨别出故障信号的类型.王武(1973-),男,福建莆田人，福州大学教授，博士.【相关文献】[1] 孙梅, 邓星, 董同明. 神经网络和卡尔曼算法在石油需求预测中的应用[J]. 北京理工大学学报：社会科学版, 2013, 15(6)：10-15.[2] 刘春辉. 卡尔曼滤波在 GNSS 导航系统中的应用[D]. 北京邮电大学, 2013.[3] 刘国海, 李沁雪, 施维, 等. 动态卡尔曼滤波在导航试验状态估计中的应用[J]. 仪器仪表学报, 2009, 30(2): 396-400.[4] Zhu J, Zheng N, Yuan Z, et al. A SLAM algorithm based on the central difference Kalman filter[C] //Intelligent Vehicles Symposium, 2009 IEEE. Piscataway：IEEE, 2009：123-128.[5] Fernandez-Canti R M, Blesa J, Puig V. Set-membership identification and fault detection using a bayesian framework[C]//Control and Fault-Tolerant Systems (SysTol),2013 Conference on. Piscataway：IEEE,2013: 572-577.[6] Esfand Abadi M S, Eskandari H. Performance study of set-membership NLMS algorithm over an adaptive incremental network[C]//Computer and Knowledge Engineering (ICCKE), 2013 3th International eConference on. Piscataway：IEEE, 2013: 257-261.[7] Chai W, Qiao J, Wang H. Robust fault detection using set membership estimation and TS fuzzy neural network[C]//American Control Conference (ACC), 2013. Piscataway：IEEE, 2013: 893-898.[8] Shi L, Han D, Cheng P, et al. An online sensor power Schedule for remote state estimation with communication energy constraint[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2014，59 (7): 1 942 -1 947.[9] Han D, Zhang H, Shi L. An event-based scheduling solution for remote state estimation of two LTI systems under bandwidth constraint[C]//American Control Conference (ACC), 2013. Piscataway：IEEE, 2013: 3 314-3 319.[10] Ren Z, Cheng P, Chen J, et al. Optimal periodic sensor schedule for steady-state estimation under average transmission energy constraint[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,2013,58(12):3 265-3 271.[11] 阮玉斌. 网络化离散系统鲁棒故障检测及其在UPS中的应用[D]. 福建:福州大学, 2009.。
基于观测器的离散广义分段仿射系统H∞控制
基于观测器的离散广义分段仿射系统H∞控制周振华;杨博媛;王茂【摘要】针对一类当前所处作用域未知的离散时间广义分段仿射系统,考虑其具有范数有界形式的时变参数不确定性,而且不能从测量输出获得的问题,研究此类系统基于观测器H∞控制器的设计方法.闭环系统反馈控制器设计从离散广义分段仿射Lyapunov判据出发,应用相关基本引理将控制器存在条件转化为包含参变量的线性矩阵不等式形式,并采用投影定理进一步降低系统保守性,使得基于观测器的闭环系统满足一定的鲁棒H∞性能指标.通过求解一组包含参变量的线性矩阵不等式组,得到保证此闭环系统具有鲁棒H∞性能指标的反馈控制器增益和基于输出的观测器增益,并完成了基于Matlab 7.0线性矩阵不等式工具箱的数值仿真.仿真结果表明基于定理1所提控制器设计方法得到的闭环系统干扰抑制度y =21.4254,且在系统矩阵取值不同的情况下,定理1较传统控制器设计方法具有更好的保守性.【期刊名称】《中国惯性技术学报》【年(卷),期】2018(026)003【总页数】10页(P411-420)【关键词】广义分段仿射系统;观测器;H∞控制;分段Lyapunov函数;线性矩阵不等式【作者】周振华;杨博媛;王茂【作者单位】常州轻工职业技术学院,常州213164;常州轻工职业技术学院,常州213164;哈尔滨工业大学空间控制与惯性技术研究中心,哈尔滨150000【正文语种】中文【中图分类】TP13一直以来，复杂控制系统鲁棒稳定性问题是广大学者研究的热点和难点，其中关于具有范数有界时变参数不确定性广义分段仿射系统的鲁棒性能问题的研究少有报道。
Barakat和Oliveira等人分别用混沌系统理论[1]以及线性可变参数Lyapunov函数法[2]对仿射系统进行研究，邱建彬等人首次讨论分段仿射系统线性矩阵不等式方法下闭环系统的稳定性问题[3]，但基于观测器广义分段仿射系统鲁棒控制问题的研究确少有报道。
离散时延系统的鲁棒稳定性和镇定问题
离散时延系统的鲁棒稳定性和镇定问题李薇【摘要】文章研究了切换线性离散时间系统的鲁棒稳定性和镇定问题.在研究中参数不确定性是时变的但是范数有界的,并且假设时延是时变的和有界的,这包含了常数时延和模型依赖常数时延这些特殊情形.首先,得到一个保证不确定系统稳定的充分条件.其次,设计了一个能够保证所得的闭环系统对所有允许的不确定性是稳定的控制率.提出一个线性矩阵不等式方法和一个锥补线性化算法来解决上面所提的问题.给出一个数值例子来说明所得理论的潜在应用.【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(012)001【总页数】6页(P63-68)【关键词】切换系统;鲁棒稳定性;鲁棒镇定;锥补线性化算法【作者】李薇【作者单位】山西职业技术学院,山西太原030006【正文语种】中文【中图分类】TP130 引言切换系统是混合系统的一个子类，在过去的几年中已经引起了极大的关注.切换系统是一族由连续或离散动力学描述的子系统和一个描述连续动力学和离散动力学之间切换的一个规则组成的.例如文[1]中搅拌油箱反应器，文[2]中的风速涡轮调节器.研究目的是寻找一个不含保守性或较小保守性的条件来保证在任意切换信号下切换系统的稳定性.文[2]中提出一个切换二次李亚普诺夫函数（SQLF）方法，把针对多处发生不确定的系统的多二次稳定性技术应用到一类离散时间切换控制问题中.因为SQLF要求相邻两个子系统是递减的，所以被认为是在那些保守性方法（利用单个李亚普诺夫函数）和其他一些方法（在数值上很难证明）的一个折衷方案[3].在本文中研究带有时延和参数不确定切换线性离散时延系统的鲁棒稳定性和镇定问题.参数不确定性是时变的但是范数有界的，并且假设时延是时变的和有界的，这包含了常数时延和模型依赖常数时延这些特殊情形.针对相关的系统通过构造一个SQLF 得到鲁棒稳定性条件.这个条件依赖于上时延界和下时延界.这个稳定性判据能够利用线性矩阵不等式（LMI）来表示并且可以利用标准的数值软件很容易地检验.基于这一点，鲁棒镇定性问题可以通过设计一组所谓的时延或无记忆状态反馈控制器来解决.这些控制器根据系统模型进行切换.因为所得到的期望控制器的存在条件不是一个严格的LMI，所以利用锥补线性化算法来获得控制器和一个次优时延上界.对所有容许不确定性这个时延上界使得所研究的切换系统是稳定的.1 问题公式化和预备知识考虑一类带有时变时延线性离散时间切换系统的状态方程如下:其中x（k）∈Rn 是状态向量；u（k）∈Rl是控制输入；｛Φ（k），k＝－dM，－dM＋1，…，0｝是给定的初始条件序列；i是i（k）的简要表示，是时间的一个分段常函数，称为一个切换信号，在有限集I＝｛1，…，s｝中取值，s＞1是子系统的数目.在任意离散时刻k切换信号i依赖于k或x（k），或者都依赖，或者依赖于其他切换规则；对每个i∈I，Ai，Adi，Bi 代表了名义系统，且Ai，Adi，Bi 是已知适当维数的实常数矩阵.ΔAi（k），ΔAdi（k），ΔBi（k）是实值时变矩阵函数，它们代表了时变泛数有界参数不确定性.本文的目标是针对相应的不确定切换系统（1）得到鲁棒稳定性条件并设计一个镇定的状态反馈控制器.假设控制器有如下的形式其中当K2i＝0时，稳定的控制器可能被称为无记忆状态反馈控制器（SMSFC），K2i≠0时控制器可能被称为切换时延状态反馈控制器（SDSFC）.引理1[4] 假设，那么对于任何矩阵满足，下面的不等式成立引理2[5] 对于给定的适当维数的矩阵ψ1，ψ2，ψ3，且＝ψ1.那么对所有的W（k）成立，且满足WT（k）W（k）≤I，当且仅当对一些ε＞0有2 对名义系统的稳定性和镇定问题在本节中我们首先考虑名义切换系统，形式如下:下面的定理给出了系统（4）的一个充分条件.定理1 不受外力∀i∈I的系统（4）即u（k）≡0时是渐近稳定的如果存在n×n矩阵Pi＞0，Xi＞0，Yi，∀i∈I，Q＞0，R＞0使得下面的LMI对∀（i，j）∈I×I成立其中Λij＝－Pi＋dMXj＋Yj＋YTj＋（dM－dm＋1）Q.证明略.定理2 考虑（4）中的切换系统.一个形如（3）式的稳定的状态反馈控制器存在如果存在n×n矩阵Ji＞0，Pi＞0，Xi＞0，Yi，∀i∈I，Q＞0，R＞0，Z＞0和l×n矩阵K1i和K2i使得（6）和下面的条件成立其中Λij和定理1中的一样.证明考虑带有控制器（3）的相应闭环系统，把（5）式中的Ai和Adi分别用Ai ＋BiK1i和Adi＋BiK2i代替.利用diag｛P－1j ，R－1，I，I｝变换为和（5）式有一致的形式，我们有那么通过定义Ji＝P－1i ，Z＝R－1就可以获得所要得到的结果.尽管我们不总是能找到全局最优解，但是所提的非线性最小值问题比最初的非凸可行性问题更容易一些.算法如下:算法SSC（解决一个稳定控制器）Step 1 寻找一个可行集（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，∀i∈I）0 满足（6），（7）.令k＝0.Step 2 解决下面的LMI问题Step 3 把所获的矩阵变量（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，∀i∈I）代入（9）.如果条件（9）对一些充分小的标量δ满足那么输出的可行解（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，∀i∈I）存在，否则跳到Step 4.Step 4 如果k＞N存在，其中n是迭代所允许的最大值1否则跳到Step 5. Step 5 令k＝k＋1，（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，∀i∈I）k＝（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，∀i∈I），继续Step 2.上述所设计算法的目的是针对已知的dm和dM寻找期望控制器的一个可行解，那么基于这一点，当我们增加一个离线输出步骤时对于已知的dm也能够找到次优最大时延界dM.3 不确定切换系统的鲁棒稳定性和镇定问题3.1 鲁棒稳定性下面的定理提出了不确定切换系统（1）在u（k）＝0时的鲁棒稳定性条件.定理3 在（1）、（2）中不受外力的系统（1）当u（k）＝0时是鲁棒渐近稳定的如果存在n×n矩阵Pi＞0，Xi＞0，Yi，∀i∈I，Q＞0，Z＞0和标量εi＞0满足（6）和下面的LMI其中Λij和定理1中定义的一样.证明把（5）中的Ai 和Adi分别用A＋GiΔi（k）F1i和Adi＋GiΔi（k）F2i来代替.找到和引理2中对应的变量如下:如果（6）和下面的不等式成立，我们可以很容易地得出结论.不等式如下:那么相应的系统是鲁棒渐近稳定的.利用Schur补引理，由（11）式可得（10）式，定理证明完毕.3.2 鲁棒镇定问题不确定切换系统（1）镇定的状态反馈控制器的存在条件描述如下:定理4 考虑（1）、（2）的不确定切换系统（1）.一个形如（3）式的鲁棒镇定状态反馈控制器存在如果存在矩阵Ji＞0，Pi＞0，Xi＞0，Yi，∀i∈I，Q＞0，R＞0，Z＞0，1×n矩阵K1i和K2i和标量εi＞0满足（6），（8）和下面的不等式其中Λij和定理1中的一样.证明利用证明定理2和3中所提供的技术来证明这个结论.4 说明例子在这一节中我们用一个数值例子来证明所获理论结果的适用性.考虑（1）和（2）中的不确定切换系统由两个子系统组成.对于子系统（1），系统动力学被描述为:对于子系统（2），系统动力学被描述为:假设切换信号是由下面的算法随机产生的.算法如下:算法GSS（产生切换信号）:对于采样T＝1到时长切换值＝rand如果切换值≥Con切换信号（采样T）＝2否则切换信号（采样T）＝1；结束其中工作表函数产生随机数，它们均匀分布在间隔（0，1）.那么在这个例子假设算法GSS的时长＝100，Con＝0.6切换信号能够通过Matlab来实现，图1显示了一种可能的情形.首先我们检验u（k）≡0时不确定切换系统的鲁棒稳定性.假设时变时延d（k）的最小界dm＝2，那么利用定理3，我们找到dM＝5，这意味着上述系统对于2≤d （k）≤5是渐近稳定的.图1 切换信号进一步基于定理4的条件和算法SSC，选择ε1＝ε2＝0.1，我们分别利用SMSFC 和SDSFC获得最大时延界dM＝7和dM＝12.这意味这在评价系统中应用这样的控制器时允许的时延是增加的.此外证明了SDSFC有更好的性能.同时获得SMSFC 和SDSFC的控制器增益如表1所示，相应地获得时延界dM＝7和dM＝12.当SMSFC dM＝7时，k11 ＝ [0. 0 38 5 －0.800 9]；k12 ＝ [－ 0 .293 2 0.862 9]d2i＝[00]，∀i＝1，2当SDSFC dM＝12时，k11 ＝ [0. 0 65 2 －0.800 0]；k12 ＝ [－ 0 .230 71.074 0]k21 ＝ [0. 1 14 3 0.084 8]；k22 ＝ [－ 0 .191 7 －0.062 0].另外，应用SMSFC和SDSFC我们分别假设时延变量在2≤d（k）≤7和2≤d（k）≤12中随机地变化.对于初始条件x [ ]＝－0.5 0.3 T我们获得相应闭环系统的控制轨迹和状态相应分别如图2和图3所示.从曲线中可以很明显地看到在随机产生的切换信号下和变化的不确定参数下切换系统是鲁棒稳定的.图2 两个不同控制器下的控制轨迹图3 两个不同控制器下闭环系统的状态相应5 结论在本文，研究了带有有界时变时延和泛数有界时变不确定切换线性离散时间系统的鲁棒稳定性和镇定问题.针对相应的系统构造了一个切换二次李亚普诺夫函数并利用LMI公式得到依赖时延界的鲁棒稳定性判据，这个判据能够利用标准的数字软件很容易检验.此外，鲁棒镇定问题也可以通过设计一组所谓的切换时延或无记忆状态反馈控制器来解决.利用锥补线性化算法来获得控制器和次优上界时延使得相应的系统对所有允许的不确定能够稳定.介绍了一个数值例子来说明所提方法的有效性.参考文献:[1]Nael H El－Farra，Prashant Mhaskar，Panagiotis D Christofides.Outputfeedback control of switched nonlinear systems using multiple Lyapunov functions[J].Systems ＆ Control Letters，2005，54（12）:1 163－1 182 [2]Leithd J，Shortenr N，Leitheadw E，et al.Issues in the design of switched linear control systems[J].Int.J.Adapt.Control Signal Process，2003，17（2）:103－118[3]Daafouzj，Riedingerp，Iungc.Stability analysis and control synthesis for switched systems[J].Automatic Control，2002，4（11）:1 883－1 887[4]Monny S，Parkp，Kwonw H，et al.Delay－dependent robust stabilization of uncertain state－delaye dsystems[J].International Journal of Control，2001，74（14）:1 447－1 455[5]Xiel，Fum，Desouzac.E.H∞control and quadratic stabilization of systems with parameter uncertainty via output feedback[J].Automatic Control，1992，37:1 253－1 256。
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Schur补引理的介绍及应用
引言
在线性矩阵不等式（LMI）理论中，Schur补引理是一种常用的技术，可以将
复杂的LMI约束转化为更加简洁的形式。
本文将介绍Schur补引理的基本概念和
应用，并通过实际例子解释其在优化问题中的作用。
Schur补引理的基本概念
Schur补引理是一种基于矩阵分块的变换技术。
对于一个矩阵的分块表示，Schur补引理通过矩阵的逆和分块的转置操作，将LMI问题转化为更简洁的形式。
给定一个矩阵X，其分块形式为：
]
X=[A B
C D
如果D是可逆矩阵，那么根据Schur补引理，可以将LMI约束条件转化为以下
等价形式：
A−BD−1C≤0
这个等价形式通常被称为Schur补形式。
通过这种转化，LMI问题的约束条件
将变得更加简洁和易于求解。
Schur补引理的应用场景
Schur补引理在优化问题中的应用非常广泛。
它可以用于求解约束最优化问题、线性矩阵不等式问题等。
在下面的示例中，我们将演示如何使用Schur补引理来
解决一个线性矩阵不等式问题。
示例：线性矩阵不等式问题
假设我们需要找到一个半正定矩阵X∈ℝn×n，满足以下条件：
]≥0
[X A T X−C T
A T X−C T−B
其中，A,B,C是给定的矩阵。
我们可以通过Schur补引理将其转化为以下形式：
A T X−C T(−B)−1(A T X−C T)≤0
进一步展开，可以得到：
A T X−C T(−B)−1A T X+C T(−B)−1C T≤0
化简上式，得到：
[A T(−B)−1A X
X−C T(−B)−1C T
]≤0
通过观察上述形式，我们可以看到，如果存在一个半正定矩阵Y满足以下条件：
A T(−B)−1A−XY−1X≤0
那么原问题的解X就可以通过解上述形式的问题得到。
通过以上示例，我们可以看到Schur补引理在将复杂的LMI约束转化为简洁形式时发挥了重要作用。
结论
本文介绍了Schur补引理的基本概念和应用。
通过Schur补引理，我们可以将复杂的LMI约束转化为更加简洁的形式，从而方便求解各种优化问题。
Schur补引理在线性矩阵不等式问题中被广泛应用，并在实际问题中展现出了其强大的求解能力。
希望本文对读者理解和应用Schur补引理有所帮助。