利用导数研究函数的性态
拉格朗日中值定理的推广及其应用
嘉应学院本科毕业论文（设计）（2014届）题目：拉格朗日中值定理的推广及其应用姓名：徐佳琳学号： 101010045学院：数学学院专业：数学与应用数学（师范）指导老师：温坤文申请学位：学士学位嘉应学院教务处摘要拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有极其重要的意义.本文先对拉格朗日中值定理作了一定的阐述，并将其进行了推广，然后通过对几种类型问题的解决，对拉格朗日值定理的应用作一些探讨和归纳，以起到对定理的深入理解，熟悉掌握并能够正确应用的作用.字典关键词：拉格朗日中值定理，定理的推广及应用，极限，不等式，级数的敛散性.AbstractLagrange mean value theorem is one of the basic theorem of differential calculus，It has extremely important meaning in the theory and application.This article first to make the Lagrange theorem certain, and put it to the promotion, then through several types on the solution of the problem,and it will make some discussions and studies on the application of lagrange mean value theorem .It’s purpose is to have in-depth understanding of theorem, the role of expert knowledge and be able to correct application.Keywords： Lagrange mean value theorem,The generalization and application of the theorem, The limit, Inequality, The convergence and divergence of the series.1. 引言罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理，这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，他们之间的关系可用简图示意如下：以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理，他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态，中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征.拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，它有许多推广，这些推广都有一个基本特点，就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后推广微分中值表达公式.除此之外，拉格朗日中值定理在理论和应用上也有着极其重要的意义.该定理叙述简单明了,并有明确的几何意义，一般掌握问题不大，但要深刻认识定理的内容，特别是中值点的含义，就有较大难度.总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具，而著名的拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理，是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具，必须深刻认识定理的内容，熟练掌握定理的本质，在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区.现借下文中的若干例子来对拉格朗日中值定理作一些探讨，以起到对定理深入理解、熟练掌握并正确应用的作用.2.拉格朗日中值定理定理2.1（拉格朗日中值定理）若函数满足下列条件：（i）在闭区间上连续；(ii) 在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.3. 拉格朗日中值定理的推广命题3.1 若函数在开区间内可导，函数极限都存在；则至少存在一点,使得.证明不妨记,,令函数则函数在闭区间上连续,函数在开区间内可导,.由拉格朗日中值定理,至少存在一点，使得又，，，所以.命题3.2 若函数在内可导,函数极限与都存在；则至少存在一点，使得证明令则复合函数在开区间内可导,其导数为由已知函数极限,与,都存在.由命题3.1，至少存在一点，使得,令,则时，，并且.所以，至少存在一点，使得命题3.3 若函数在开区间内可导,函数极限与都存在，则至少存在一点使得.证明令,且则复合函数在开区间内可导，其导数为由已知函数极限,与,都存在.由命题3.1，至少存在一点使得令则时，所以，至少存在一点使得命题3.4 若函数在开区间,使得证明令，且则复合函数在开区间内可导，其导数为由已知函数极限,与,都存在.由命题3.1，至少存在一点，使得令则时，所以，至少存在一点使得显然,有如下的推论:若把上述命题的第二个条件加强为：有关的函数极限存在且相等,则至少存在一点属于上述各区间,使得.于是我们得到了推广的罗尔中值定理.不难看出,推广的罗尔中值定理,有其明确的几何意义:在符合定理的条件下,曲线在点处有水平的切线.4. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用广泛，可用于计算、证明、估算、判定等，在应用中灵活性较大，下面从求极限、证明不等式、判别级数敛散性等方面对拉格朗日中值定理的应用做进一步的研究.4.1 利用拉格朗日中值定理求极限用拉格朗日中值定理,最重要的是去找函数和相应的区间,而公式可变形为:它的左端是有特点的，恰好是在区间上的增量与的区间长度的比值.因此公式变形后就可以确定函数和相应的区间.例1．求极限：.解函数在或上运用拉格朗日中值定理，得(在与之间).故.例2．设连续,,有公式, （1）试求解对函数在或上运用拉格朗日中值定理，得,代入（1）式，得. （2）将按泰勒公式展开：, （3）由（2）（3）得,故.例3．求极限：.解令在或上对变量运用拉格朗日中值定理，得（在之间）,故.4.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理存在的形式并不是不等式的形式.那么怎么能用拉格朗日中值公式去证明不等式呢?我们知道,在拉格朗日中值公式中而不知道具体是多少,但根据在之间的取值却可以估计的取值范围.或者说可以估计出取值的上、下界，分别用取值的上、下界去代换拉格朗日中值公式中的就可以得到不等式.这就是用拉格朗日中值公式证明不等式的思想.例4．证明当时，.证明设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，故有. （1）又,故（1）式为,则,即.例5．设函数在上连续，有二阶连续导数且,若有使得，则必有，使得.证明由题知，在,上分别满足拉格朗日中值定理的条件，则有,且.因且,故，又由题知在上满足拉格朗日中值定理，即.例6．证明：当时，.证明令，则在上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在，使得,即.又因，故.当时，,即.所以当时，不等式成立.4.3 利用拉格朗日中值定理证明恒等式由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点（不妨设），有，那么若恒为0，则有，所以.由的任意性可知，在定义域内函数值恒等.即有下面一个推论：推论如果函数在开区间内的导数恒为零，那么在内是一个常数.利用这个推论可以证明一类反三角恒等式的题目.例7．证明恒等.证明令在时，有意义，且.所以，在时，（常数）.又取内任一点，如，有，且，所以端点值也成立，由推论有恒等.4.4 利用拉格朗日中值定理证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项,证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，寻找机会应用.例8．设在内可导，且，试证，使得.证明令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，由条件，可得，再令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，综合上述两式可得，即.4.5 利用拉格朗日中值定理研究函数在区间上的性质因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助其导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识.比如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉格朗日中值定理的结论，通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要的方法.例9．证明：若函数在有穷或无穷的区间内存在有界的导函数，则在内一致连续.证明设当时，对于，在以为端点的区间上由拉格朗日中值定理，有，在之间，那么对于,取，则当，且，就有（在之间），由一致连续定义可知，在内一致连续.4.6 利用拉格朗日中值定理证明估值问题证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便，特别是二阶及二阶以上的导函数估值时.但对于某些积分估值，可以采用拉格朗日中值定理来证明.例10．设在上连续，且，试证：.证明若，不等式显然成立；若不恒等于0，，使，在及上分别用拉格朗日中值定理，有,从而,这里利用了,所以原不等式得证.4.7 利用拉格朗日中值定理判别级数的敛散性在级数敛散性的判别问题上，可以构造辅助函数，研究在各个区间上的特点，最后相加可以进行化简，利用级数敛散性的判别法则给出判断.例11．证明调和级数的敛散性.。
利用导数研究函数的性质
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3．(人 A 选必二 P91 例 5)函数 f(x)＝13x3－4x＋4 的极大值为__2_38__，极小值为__－__43___．
【解析】 因为 f(x)＝13x3－4x＋4，所以 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令 f′(x)＝0，解 得 x＝－2 或 x＝2． 当 x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，当 x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，当 x∈(2，＋∞)时， f′(x)＞0，因此，当 x＝－2 时，f(x)有极大值，并且极大值为 f(－2)＝238；当 x＝2 时，f(x)有极小值，并且极小值为 f(2)＝－43．
1 (1)已知f(x)＝3x2＋6x－6ex＋5，则函数f(x)的单调递减区间为
A．(1，＋∞)
B．(ln3，＋∞)
C．(－∞，ln3)
D．(－∞，＋∞)
( D)
【解析】 由题可知f(x)的定义域为R，且f′(x)＝6x＋6－6ex＝6(x＋1－ex)． 令 g(x) ＝ x ＋ 1 － ex ， 则 g′(x) ＝ 1 － ex ， x ∈ R ． 当 x ∈ ( － ∞ ， 0) 时 ， g′(x) ＞ 0 ； 当 x∈(0，＋∞)时，g′(x)＜0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调 递减，则g(x)的最大值为g(0)＝0，故g(x)≤0恒成立，故f′(x)≤0在R上恒成立，所 以f(x)在R上单调递减，即函数f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)．
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1．若函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，
高考复习-利用导数研究函数的单调性及极值和最值
利用导数研究函数的单调性及极值和最值知识集结知识元利用导数研究函数的单调性问题知识讲解1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲利用导数研究函数的单调性问题例1.函数f（x）=e x-3x+2的单调减区间为__________．例2.若函数y=-x3+ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是___．例3.函数f（x）=sin x-x，x∈（0，）的单调递增区间是_______．利用导数研究函数的极值与最值问题知识讲解1．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f （x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲利用导数研究函数的极值与最值问题例1.函数y=lnx-e x在[1，e]最大值为（）A．1-e e B．C．-eD．例2.己知定义域为（1，+∞）的函数f（x）=e x+a-ax，若f（x）>0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）例3.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）A．1+ln2B．1-ln2C．D．当堂练习单选题练习1.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若存在实数x使不等式f（x）≤m2-am-3对于a∈[0，2]恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（-∞，-2]∪[2，+∞）B．C．D．练习2.若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）=g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）=x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（-∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）练习3.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）<0的解集为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，3）D．（3，+∞）练习4.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）>0且f（e）=1，若xf′（x）lnx+f（x）>0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式<lnx的解集为（）A．{x|0<x<1}B．{x|x>1}C．{x|x>e}D．{x|0<x<e}练习5.已知函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，x1+2x0=（）A．3B．2C．1D．0练习6.若函数f（x）=e x+axlnx（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-e）B．（-∞，-2e）C．（e，+∞）D．（2e，+∞）填空题练习1.已知函数f（x）=，若∃，使得f（f（x0））=x0，则m的取值范围是_________练习2.设函数f（x）=e x（2x-1）-2ax+2a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是_______．练习3.已知函数，若当x1，x2∈[1，3]时，都有f（x1）<2f（x2），则a的取值范围为______________．练习4.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为____．练习5.已知函数，g（x）=|x-t|，t∈（0，+∞）．若h（x）=min{f（x），g （x）}在[-1，3]上的最大值为2，则t的值为___．练习6.已知函数f（x）=x3-ax2在（-1，1）上没有最小值，则a的取值范围是_________．解答题练习1.'已知函数f（x）=e x-a（x+1），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a>0时，函数f（x）恰有一个零点，求实数a的值．（3）已知数列{a n}满足a n=，其前n项和为S n，求证S n>ln（n+1）（其中n∈N）．'练习2.'已知函数f（x）=（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0<x1<1，x2>1，是否存在实数a，使得OP⊥OQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f′（x1-），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．'练习3.'已知函数f（x）=x2+ax-alnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值．（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围．（3）若方程x-lnx-m=0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2<1．'练习4.'已知函数f（x）=xlnx-x2-ax+1，a>0，函数g（x）=f′（x）．（1）若a=ln2，求g（x）的最大值；（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．'练习5.'已知函数f（x）=e x-ax-b．（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求ab的最大值；（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，若F（x）=g（x）-f（x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．'。
《微分中值定理及其应用》内容小结与典型例题
《微分中值定理及其应⽤》内容⼩结与典型例题⼀、基本结论与定理1、费马引理：可导函数极值点处导数等于0，曲线有⽔平切线2、罗尔定理：闭区间上端点值相等的连续可导函数必存在导数等于0的点3、拉格朗⽇中值定理：闭区间上连续可导函数必存在导数等于曲线端点连线的斜率的点4、柯西中值定理：闭区间上连续可导的两个函数，分母的导数不等于0时，存在⼀点使得两函数端点值的差的⽐值等于该点处两个函数的导数值的⽐值.5、泰勒中值定理：如果函数在点x0的某个邻域内具有n+1阶导数，则有⼆、有关中值命题证明的思路与⽅法利⽤逆向思维 , 设辅助函数 . ⼀般解题⽅法:(1) 证明含⼀个中值的等式或根的存在，多⽤罗尔定理，可⽤原函数法找辅助函数。
验证根的唯⼀性、⾄少、⾄多数量⼀般借助于反证法，基于罗尔定理验证.(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数，可考虑⽤柯西中值定理.(3) 若结论中含两个或两个以上的中值，必须多次应⽤中值定理。
⼀般⾸先考虑将不同的中值分别放置于不同的两侧，然后对于各侧使⽤中值定理.(4) 若已知条件中含⼆阶及⼆阶以上的导数 , 多考虑⽤泰勒公式 , 对于⼀阶、两阶也可考虑对导数⽤中值定理.(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放⼤或缩⼩的技巧.(6)罗尔定理、柯西定理⼀般只⽤于等式结论的证明，⽽拉格朗⽇中值定理(泰勒中值定理的特殊情况)和泰勒中值定理即可⽤于等式的证明，也可⽤于不等式的证明。
对于包含有函数值、⾃变量取值、导数值的中值命题的证明，⼀般⾸先考虑拉格朗⽇中值定理和泰勒中值定理.三、⽤导数研究函数的性态(1)单调性的判定(2)凹凸性的判定(3)极值点、极值、拐点的判定和计算(4)最值判定与计算(5)曲率和曲率圆的计算(6)借助单调性、凹凸性、极值、最值验证函数不等式或常值不等式(7)应⽤拉格朗⽇中值定理求极限(8)应⽤洛必达法则求极限(9)应⽤带⽪亚诺余项的麦克劳林公式求极限(10)分析作图法的基本步骤。
利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的性质导数是微积分中的重要概念之一，它可以帮助我们研究函数的性质。
本文将介绍如何利用导数研究函数的极值、范围与曲线形状等方面的性质。
首先，导数可以帮助我们找到函数的极值。
对于一个连续可微的函数而言，其极值点可以通过求导数并令导数等于零来确定。
具体而言，我们先求函数的导函数，然后找到导函数的零点，即求得函数的极值点。
通过求导数的方法，我们可以确定函数的极大值或者极小值，并进一步分析函数在这些点的增减性与凹凸性。
其次，导数也可以帮助我们研究函数的增减性与凹凸性。
如果函数的导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是递减的。
通过求导数，我们可以确定函数在不同区间内的增减情况。
同样地，函数的凹凸性可以通过分析导数的二阶导数来确定。
如果函数的二阶导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是凹的；如果二阶导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是凸的。
再次，导数还可以帮助我们确定函数的范围。
如果函数在一些区间内的导数始终大于零，那么函数在该区间内是上升的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是下降的。
通过分析导数的正负性，我们可以确定函数的增减范围。
另外，函数的最大值和最小值也可以通过求导函数的极值点来确定。
最后，导数还可以帮助我们研究函数的曲线形状。
通过分析导数的零点以及正负性，我们可以确定函数的临界点和拐点。
临界点是函数曲线上的点，在这些点上函数的斜率为零。
拐点是函数曲线上的点，在这些点上函数的曲率发生变化。
通过分析这些点的位置和性质，我们可以了解函数曲线的形状。
综上所述，导数在研究函数的性质方面有着重要的作用。
它可以帮助我们确定函数的极值点、范围、增减性与凹凸性，以及曲线的形状。
在实际应用中，利用导数可以帮助我们优化函数、解决最优化问题等。
因此，对导数的研究是微积分中基础而重要的内容。
利用导数研究函数的性质
（五）利用导数研究函数的性质【知识精讲】导数在研究函数中的应用：1、利用导数求函数()y f x =单调区间的步骤：① 确定()f x 的定义域； ② 求导数'()f x ；③ 令'()0f x >，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递增区间， 令'()0f x <，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递减区间.2、对于含参数的函数()y f x =，若已知此函数在某区间单调递增（或单调递减），则此函数的导函数'()0f x ≥（或'()0f x ≤）在此区间上恒成立.处理恒成立问题，常用图象法或分离参数法，从而可求得参数的取值范围.3、求可导函数 )(x f y =极值的步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程'0y =的根，这些根也称为可能极值点；④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么)(x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f y =在这个根处取得极大值.4、在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：① 函数 )(x f y =在),(b a 内有导数．．． ；．② 求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值③ 将．函数)(x f y =在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值.【例题选讲】例1.【2014·全国大纲卷（理22）】已知函数3()ln(1)3x f x x x =+-+.讨论()f x 的单调性；例2.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）讨论14a =-时函数()f x 的单调性.例3.【2014·福建卷（理20）】已知函数()ax e x f x -=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.求a 的值及函数()x f 的极值；例4.【2014·四川卷（文21）】已知函数3()12x f x e x =--，求函数()f x 在区间[0,1]上的最值；【练习巩固】1.求函数ln ()x f x x=的单调区间.2.设函数22()(ln )x e f x x x x=++求函数()f x 的单调区间3..【2014·湖南卷（理22）】已知常数20,()ln(1).2x a f x ax x >=+-+函数讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；4.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数238()13f x x x x =+--，其中0a >. (Ⅰ)讨论()f x 在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值5.【2014·江西卷（理18）】已知函数. （1）当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b 的取值范围.。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
导数和函数的增减性
导数和函数的增减性函数的增减性是我们研究函数性质的重要内容。
在微积分中，我们可以利用导数的概念来判断函数在不同区间的增减性。
本文将就导数与函数的增减性展开讨论。
一、导数的定义在介绍导数与函数的增减性之前，我们首先来回顾导数的定义。
设函数f(x)在点x0处可导，那么在这一点的导数f'(x0)被定义为：f'(x0) = lim┬[h→0]〖(f(x0+h)-f(x0))/h ̈朗式(1)〗其中，lim表示极限的符号，h为自变量的增量。
二、函数的增减性1. 函数的增减性定义考虑定义在区间I上的函数f(x)，对于任意的x1、x2∈I，并满足x1 < x2，若有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是增函数；若有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是减函数。
当函数在区间I上既不是增函数也不是减函数时，则称函数f(x)在区间I上无增减性。
2. 导数与函数的增减性的关系对于可导函数f(x)，根据导数的定义(式(1))，我们可以得到如下结论：a. 若f'(x) > 0，即导数大于0，那么f(x)在该点的函数值是递增的；c. 若f'(x) = 0，即导数等于0，那么f(x)在该点的函数值为驻点。
由此可见，导数的正负性与函数值的增减性密切相关。
我们可以利用导数的正负性来研究函数在不同区间上的增减性。
三、函数增减性的判定1. 一阶导数判定法根据导数与函数的增减性的关系，我们可以利用一阶导数判定法来判断函数在某一点周围的增减性。
具体步骤如下：a. 求出函数f(x)的一阶导数f'(x)；b. 解方程f'(x) = 0，求得驻点；c. 根据驻点将函数定义域I划分为若干个区间；d. 在各个区间内取任意一点x0，代入f'(x)的符号进行判定：- 若f'(x0) > 0，说明f(x)在该区间上是递增的；- 若f'(x0) < 0，说明f(x)在该区间上是递减的；- 若f'(x0) = 0，说明f(x)在该区间上有驻点。
利用导数研究含参函数单调性
利用导数研究含参函数单调性在数学中，单调性是指函数随着自变量的变化而变化的趋势。
如果函数在区间上递增，那么我们称函数在该区间上是单调递增的；如果函数在区间上递减，那么我们称函数在该区间上是单调递减的。
利用导数研究含参函数的单调性，是一种非常常用且有效的方法。
对于含参函数，其导数是关于自变量的函数，通过研究导数的符号来判断函数的单调性。
具体来说，如果导数在区间上恒大于0，那么函数在该区间上是递增的；如果导数在区间上恒小于0，那么函数在该区间上是递减的。
这可以通过导数的定义和性质来证明。
下面以一个简单的例子来说明如何利用导数研究含参函数的单调性。
假设我们要研究含参函数 f(x;a) = ax^2 的单调性，其中 a 是参数。
首先，我们计算函数f的导数。
由于a是参数，我们将其视为常数。
根据导数的定义，有：f'(x;a) = lim[h->0] (f(x+h;a) - f(x;a)) / h= lim[h->0] (a(x+h)^2 - ax^2) / h= lim[h->0] (2axh + ah^2) / h= lim[h->0] (2ax + ah)= 2ax因此，函数 f 的导数是 f'(x;a) = 2ax。
接下来，我们通过研究导数的符号来判断函数f的单调性。
当 a > 0 时，当 x1 < x2 时，有 2ax1 < 2ax2，即 f'(x1;a) <f'(x2;a)。
因此，函数 f 在区间上是递增的。
当 a < 0 时，当 x1 < x2 时，有 2ax1 > 2ax2，即 f'(x1;a) >f'(x2;a)。
因此，函数 f 在区间上是递减的。
当a=0时，函数f(x;a)=0，因此函数f在任意区间上是常数，既不递增也不递减。
综上所述，当 a > 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 在任意区间上都是递增的；当 a < 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 在任意区间上都是递减的；当a = 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 是常数。
利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的性质一、利用导数研究函数图象性质的基本思路由“导数值的正负性→函数的单调性→函数的极值点（极值）→函数的最值点（最值）”，结合“导数值绝对值大（小）→函数图象的陡峭（平缓）”，我们可以较为准确地画出函数的图象，进而得出函数的相关性质。
要求：对教材中的函数单调区间、函数的极值与函数最值的求法要思路清晰，表达准确简洁。
二、综合应用举例【例】已知函数1()ln f x x a x x =-+。
（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--。
【第（1）问分析】按照导数研究函数性质的基本思路，函数()f x 的单调性问题，就是导函数()f x '值的正负性问题。
即【解析】（1）22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-（0x >） 令24a ∆=-， ①若240a ∆=-≤，即22a ∆=-≤≤，则2()10m x x ax =-+≥恒成立故()0f x '>，()f x 的单调区间为(0,)+∞，无单减区间；②若240a ∆=->，即2a <-或2a >（i ）当2a <-时，2()1m x x ax =-+在(0,)+∞上单增，又(0)10m =>，所以()0m x > 从而()0f x '>，()f x 的单增区间为(0,)+∞，无单减区间；（ii ）当2a >时，因为0x >，由2()10m x x ax =-+>⇒2402a a x --<<或242a a x -> 由2()10m x x ax =-+<⇒2244a a a a x --+-<< ∴()f x 的单调区间为24(0,2a a --或24(,)2a a +-+∞， 单减区间为2244a a a a --+-；综上：当2a ≤时，()f x 的单增区间为(0,)+∞，无单减区间； 当2a >时，()f x的单调区间为24(0,)a a --或24(,)a a +-+∞， 单减区间为2244(,)22a a a a --+-。
同济大学高等数学2.5导数在研究函数性态上的应用
进一步，如果在实际问题中根据问题的性质可 以判定可导函数 f (x) 确有最值，且一定在定义区间 内部取得，则唯一的驻点 x0 必是 f (x)的最值点。
怎样选择它的直径与高，使得所用的材料最省？
解 设圆柱体的底面直径为 d，高为h，表面积为S，则有：
S
d
h
d2
V d 2h 4
S 4V d 2，
d 0
4
d4
令S 0，解得唯一驻点 d 23 V 。
又由问题的实际意义可 知最小表面积 S一定存在，
所以唯一驻点d 23 V 就是最小点，
此时 h 4V 3 V
()
(2) f (x) 0 f (x) 在区间 I 上严格单调增加
()
（减少）.
定理 2 设函数 f 在区间 I 上可导，则 f 在区间 I 上 严格单调增加（减少）充要条件是
(1) 对x I,有 f (x) 0（ 0）； (2) 在I的任一部分区间上f (x) 都不恒等于零.
例1 讨论下列函数的单调性,并指出单调区间：
当 x ( x , x ) 时， f (x) 0 ， 则 f (x) 在点 x 取得极小值； （3）若 f (x) 在点 x 的左、右邻域内保持同号， 则 f (x) 在点 x 处无极值。
例5 求函数 f (x) (x 1) 3 x2的极值.
解：f ( x) 3 x 2 2( x 1) 5x 2
几点说明： （1）极值是指函数的值，而极值点是指自变量的值，
两者不要混淆。 （2）函数极值的概念是局部性的，它不一定是函数在
人教版高中数学利用导数研究函数的性质教案2023
人教版高中数学利用导数研究函数的性质教案2023本教案旨在通过利用导数来研究函数的性质。
通过理论讲解和实例演示，帮助学生理解导数在函数研究中的应用，从而提高他们的数学思维和解题能力。
【教学目标】1. 理解导数的概念和性质；2. 掌握函数导数的计算方法；3. 理解导数在函数研究中的应用。
【教学重点】1. 导数的概念和性质；2. 函数导数的计算方法；3. 导数在函数研究中的应用。
【教学难点】1. 导数在函数研究中的具体应用；2. 解决涉及导数的实际问题。
【教学准备】1. 教师准备好教案和相应的教学材料；2. 学生准备好笔记本和作业本。
【教学过程】一、导入（5分钟）为了引起学生的兴趣，我们可以通过一个实际问题来导入本节课的内容。
比如，可以用一个汽车行驶的例子，让学生思考汽车的速度变化是如何与时间变化相关联的。
二、理论讲解（15分钟）1. 导数的定义和概念：导数是描述函数变化率的工具，用来研究函数的性质和变化规律。
我们可以通过极限的概念来定义导数，即函数在某个点处的导数等于该点的切线的斜率。
2. 导数的计算方法：- 利用导数的定义计算导数；- 利用导数的性质计算导数；- 利用基本函数的导数公式计算导数。
三、实例演示（20分钟）通过几个具体的例子，我们来演示如何应用导数来研究函数的性质。
比如，给定一个函数，我们可以通过求导数来确定它的极值点、拐点，以及其它一些特殊的性质。
四、小组讨论（15分钟）将学生分成小组，让他们在小组内讨论一个实际问题，并运用导数的知识来解答。
鼓励学生积极思考，相互交流，帮助彼此解决问题。
五、解决问题（20分钟）让学生从课后作业中选择一个问题，并运用导数的知识来解答。
鼓励他们在解题过程中，发散思维，灵活运用导数的性质和计算方法。
六、归纳总结（10分钟）请学生进行课堂总结和复习。
我们可以回顾本节课涉及到的导数的概念、计算方法和应用。
让学生相互交流，共同总结本节课的重点和难点。
【课堂作业】1. 完成课后作业册上的练习题；2. 思考一个实际问题，并用导数的知识来解答。
第二讲导数
第二讲 导数及其在函数性态上的应用一、导数及其求法1．导数的定义 00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆−∆'==∆∆ 00000()()()()limlim h x x f x h f x f x f x h x x →→+−−==− 2．导数的求法 （1）利用定义 （2）利用基本公式 （3）复合函数求导 （4）隐函数求导 （5）参数方程求导 （6）对数求导法 （7）高阶导数二、导数在函数性态上的应用 单调性、极值、凹凸性 三、不等式的证明方法 1．利用单调性 2．利用中值定理 3．利用泰勒展开 四、方程根的讨论 1．利用罗尔定理2．利用零点定理和单调性说明根的唯一性3．利用零点定理、极值、单调性讨论根的个数 五、例题利用导数的定义的有关问题例 1 设()f x 连续，1()()d g x f xt t =⎰，且0()lim ,x f x A A x→=为常数，求()g x '，并讨论()g x '在0x =处的连续性。
(2009首届，15分，97考研)例2设函数()f x 连续，且0)0(')0(==f f ，记000d ()d , 0,()ln[1()]d ,0,x u xu f t t x F x f x t t x −⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩⎰⎰⎰求)('x F 及)0(''F .练习：设函数 ()cos ,0(),0x xx f x x a x ϕ−⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中，()x ϕ具有连续的二阶导数，且(0)1ϕ=， （1）确定a 的值，使()f x 在0x =处可导，并求()f x ' （2）讨论()f x '在0x =处的连续性。
例3 设函数()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且0()lim 0x f x x →=，证明级数11|()|0n f n ∞==∑收敛。
医用高等数学》考点归纳
医用高等数学》考点归纳医用高等数学》第1章介绍了函数与极限的基本概念。
其中，1.1节介绍了基本初等函数的图像和性质，而1.2节则重点讲解了极限的定义和四则运算。
该节还介绍了两种重要的极限形式，即sinx/x和(1+x)^(1/x)，以及无穷大与无穷小量的定义和基本性质。
最后，1.3节讲解了函数的连续性的定义和判定方法。
在第2章中，§2.1介绍了导数的概念。
导数的定义是指函数在某一点处的变化率，其计算方法是求函数在该点处的斜率。
该节还介绍了导数的几何意义和物理意义，以及导数的基本性质。
除了以上内容之外，本章还包括了§2.2导数的计算方法、§2.3高阶导数和§2.4微分的概念和计算方法等内容。
这些知识点对于医学专业的学生来说，具有重要的理论和实际意义。
因此，学生在研究本章内容时，应该认真对待，多做练，掌握好基本概念和计算方法。
如果在区间I上每一点都存在导数，那么我们称该函数在该区间上可导，导函数简称为导数，通常表示为y'、dy/dx或f'(x)。
判断函数在x点是否可导的方法是从导数定义出发，判断lim(Δy/Δx)是否存在，若存在，则可导；否则不可导。
函数y=f(x)在x点的导数值实际上就是曲线y=f(x)在x点处的切线斜率。
函数在某点可导和该点存在切线的关系为：可导必有切线，有切线未必可导。
函数连续与可导的关系为：函数在某点可导必连续，连续未必可导。
函数四则运算和基本初等函数的求导法则如下：u±v)'=u'±v'ku)'=ku'（k为常数）uv)'=u'v+v'u复合函数的求导法则为：设y=f(u),u=φ(x)，则(dy/dx)=(dy/du)(du/dx)。
隐函数求导法则的基本方法是等号两侧分别对x求导，且将y视为x的函数，利用复合函数求导法则求导。
对数求导法的基本方法是等式两侧分别取自然对数，化简后再求导。
利用导数求解函数增减性问题的步骤与技巧
利用导数求解函数增减性问题的步骤与技巧在解决函数增减性问题时，利用导数是常用的方法之一。
在本文中，将介绍如何利用导数来确定一个函数的增减性，以及利用导数来解决常见的函数增减性问题。
以下是一些步骤和技巧。
一、求导数首先，需要将要研究的函数求导数。
对于一个连续可导的函数，其导数存在则可以用来研究其增减性。
例如，若 $f(x)$ 表示一个可导的函数，则 $f'(x)$ 表示它的导数。
其中， $f'(x)$ 的值可以通过求 $f(x)$ 的导数来求得。
对于多项式和三角函数等常见的函数形式，可以使用基本导数公式来求导。
对于链式法则和乘法法则等复杂的函数形式，可以使用相应的求导技巧来求导。
二、解方程 $f'(x)=0$然后，需要解方程 $f'(x)=0$。
解 $f'(x)=0$ 可以得到函数的临界点（即函数增减性变化的点）。
临界点可以分为两种：驻点和拐点。
当 $f'(x)=0$ 时，$x$ 即为驻点。
当存在 $f''(x)=0$ 时，$x$ 即为拐点。
三、求函数的增减区间接着，需要通过求 $f'(x)$ 的符号来确定 $f(x)$ 的增减区间。
当 $f'(x)>0$ 时，则 $f(x)$ 在该点的左侧是下降的，右侧是上升的。
此时，$x$ 为函数 $f(x)$ 的极小值点。
当 $f'(x)<0$ 时，则 $f(x)$ 在该点的左侧是上升的，右侧是下降的。
此时，$x$ 为函数 $f(x)$ 的极大值点。
四、绘制增减性曲线最后，可以通过使用$f(x)$ 的增减性和极值点来绘制其增减性曲线。
增减性曲线是一个图形，可以用来展示函数在其定义域内的增减特性。
增减性曲线可以通过以下步骤来绘制：1. 标出函数的极值点和拐点。
2. 根据函数的增减性，在极值点和拐点处标出函数的增减区间。
3. 将增减区间按照增减性分别绘制成上升或下降的曲线。
利用导数判断函数的单调性和凹凸性的步骤
利用导数判断函数的单调性和凹凸性的步
骤
函数的单调性和凹凸性是非常重要的概念，可以用来帮助我们理解函数的行为。
为了判断函数的单调性和凹凸性，我们可以利用导数。
下面就来详细介绍如何利用导数判断函数的单调性和凹凸性。
第一步，我们需要对函数求一阶导数，即求函数的导数，这可以通过计算函数的导数的方法实现。
第二步，我们需要观察函数的一阶导数，即函数的斜率，以判断函数的单调性。
如果函数的斜率一直为正，则表明函数是单调递增的；如果函数的斜率一直为负，则表明函数是单调递减的；如果函数的斜率先正后负，则表明函数先递增后递减；如果函数的斜率先负后正，则表明函数先递减后递增。
第三步，我们需要观察函数的二阶导数，以判断函数的凹凸性。
如果函数的二阶导数一直为正，则表明函数的曲线是向上凸的；如果函数的二阶导数一直为负，则表明函数的曲线是向下凹的；如果函数的二阶导数先正后负，则表明函数的曲线先凸后凹；如果函数的二阶导数先负后正，则表明函数的曲线先凹后凸。
以上就是利用导数判断函数的单调性和凹凸性的步骤，它可以帮助我们更好地理解函数的行为。
但需要指出的是，要利
用导数判断函数的单调性和凹凸性，我们需要先掌握一些基础的微积分知识，因为导数涉及到微积分的概念。
高等数学-第3章-3.1-洛必达法则
第3章 导数的应用本章介绍导数的一些应用，利用导数求未定式的极限，利用导数研究函数的性态：判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大值、最小值，并解决实际工作中的一些简单最优化问题。
§3.1 洛必达法则如果当0x x →（或x →∞）时，函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，则极限0()lim()x x f x g x →（或()lim ()x f x g x →∞）可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未定式，并分别记为00或∞∞。
例如，极限0sin lim x x x →是00型未定式，极限221lim 23x x x →∞-+是∞∞型未定式。
在第1章中，我们曾计算过这种极限，由于不能直接利用极限运算法则，通常需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则的形式进行计算，这种变形没有一般方法，需视具体问题而定。
下面介绍利用导数计算未定式极限的一般方法——洛必达法则。
一、 00型与∞∞型未定式定理3.1 设函数()f x 、()g x 满足： （1）0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=；（2）在点0x 的某去心邻域内，()f x '及()g x '都存在，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x g x →''存在（或为∞）； 则 ()()=→x g x f x x 0lim()()x g x f x x ''→0lim 。
证明从略.这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称 为洛必达法则。
注：（1）在定理3.1中,把“0x x →”换成“x →∞”（或其他情形）时，结论也成立。
（2）定理3.1中的条件(1)，若改为lim x x →)(x f ＝∞, 0lim x x →)(x g ＝∞，则定理仍成立.（3）如果0()lim'()x x f x g x →'仍是00型或∞∞型未定式，并且函数)(x f '、'()g x 满足定理3.1中的条件，则可以继续利用洛必达法则，即有()()limx x f x g x →=0()lim'()x x f x g x →'0''()lim ''()x x f x g x →==.例1 求0ln(1sin )limx x x →+.解 这是0型未定式,应用洛必达法则,得000cos ln(1sin )cos cos01sin lim lim lim 111sin 1sin 0x x x xx x x x x →→→++====++. 注:上式中的0cos lim 1sin x xx→+已经不是未定式,不能再对它应用洛必达法则,否则会得出错误的结论；事实上，利用初等函数的连续性即可求出它的值。
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目录标题 (1)中文摘要ﻩ11．函数的单调性ﻩ１1.1单调性判别法 (1)１.２单调区间的划分 (2)1.3典型例题分析 (2)2．函数的极值ﻩ32.1极值的概念ﻩ3２.2极值存在的条件 (4)2.3典型例题解析ﻩ43. 函数的最大值、最小值问题ﻩ53.1闭区间上连续函数的最大值、最小值求法ﻩ６3.2应用问题的最值的求法ﻩ６4. 函数的凸凹性...................................................... ７4．1概念......................................................... ７４．２定理ﻩ８4.3解题步骤ﻩ８４.4经典题型ﻩ９5. 曲线的渐近线ﻩ95．1水平渐近线ﻩ95．2垂直渐近线ﻩ95.3斜渐近线 (9)106. 描绘函数图像ﻩ６.1简单介绍及描绘图像步骤 (10)6.２典型例题分析ﻩ1１1参考文献ﻩ31致谢ﻩ4导数是数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带.它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些问题的有力工具.应借助于导数在函数中的应用,深刻领会在利用导数探究函数的单调性、极值(与最值)这一过程中的原理. 运用导数来研究函数的性态，它包括如下内容：单调性、极值、最值及函数的凹凸性与拐点、渐近线、函数的图像．下面我们通过六部分内容来详细说明一下．⒈ 函数的单调性中学《数学》用代数的方法讨论了一些函数的性态如单调性、极值性、奇偶性、周期性等.由于受方法的限制讨论得既不深刻也不全面,且计算繁琐,也不易掌握其规律.而导数为我们深刻、全面地研究函数的性态提供有力的数学工具.回顾以前知识可以知道,导数的几何意义也就是切线的斜率,导数的实际意义就是变化率(如同上坡的变化率是坡度等)，而物理意义如同位移之如速度、速度之如加速度等等.1．1 单调性判别法定理1 若函数)(x f 在),(b a 内可导,则⑴)(x f 在),(b a 内单调递增⇔0)(≥'x f ,((,))x a b ∀∈; ⑵)(x f 在递减⇔0)(≤'x f ，)),((b a x ∈∀． 定理2 若函数)(x f 在),(b a 内可导,则),(b a 内单调.⑴ )(x f 在),(b a 内严格递增⇔ ①),(b a x ∈∀,有0)(≥'x f ;②在),(b a 内的任何子区间上)(x f '不恒等于0.⑵ )(x f 在),(b a 内严格递减⇔ ①),(b a x ∈∀,有0)(≤'x f ；②在),(b a 内的任何子区间上)(x f '不恒等于0.推论 设函数()f x 在),(b a 内可导.若0)(>'x f (0)(<'x f ),则()f x 在),(b a 内严格递增（严格递减）.但仍需注意,本推论只是严格单调的充分条件.例如3)(x x f =在R 上是严格单调的,但23)(x x f ='并不是在R 上恒大于0的，因为003)0(2=⨯='f ，即允许个别离散的点使得0)(='x f ．满足方程0)(='x f 的点0x 为函数()f x 的稳定点(又称驻点）.1.2 单调区间的划分⑴ 函数单调区间的分界点可能是: 驻点或不可导点. ⑵ 求单调区间的步骤:①求出函数的定义域;②求出可能的分界点:驻点或不可导点;③用上述各点将定义域分成若干个小区间;④判断每个小区间上)(x f '的符号， 从而得出结论.1.3 典型例题分析 例1 求x xx y ln 426-+=的单调区间. 分析：先求函数的定义域，再利用一阶导数为零的点和导数不存在的点将定义域划分为几个部分区间，然后分别确定函数在这些区间上的单调性。
解 x xx y ln 426-+=的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞ x x y 4262--=',令0='y ，则0)123(122=--x x x即 01232=--x x ,11=x ,312-=x列表如下：∴函数的单调增区间为)3,(--∞、),1(+∞; 函数的单调减区间为)0,31(-、)1,0(．例２ 证明:当2021π<<<x x 时,不等式1212tan tan x x x x >成立. 分析：1212tan tan x x x x >可变形2121tan tan x x x x >,故只需证明x x tan 在)2,0(π内是单调增的 . 证 令 xxx f tan )(=xx xx x x x x x x f 2222cos cos sin tan sec )(-=-='当20π<<x 时,x x x x <≤sin cos sin ,0)(>'∴x f ∴xxx f tan )(=在)2,0(π内是单调增的.∴当2021π<<<x x 时，1212tan tan x x x x >,即1212tan tan x x x x >． 通过上题我们可以知道利用函数的单调性证明不等式的方法是:先构造一个辅助函数)(x f ，)(x f 等于不等号两端的式子的差(一般用大的减去小的),然后再利用导数判断该函数的单调性,让)(x f 与0比较大小,从而来证明不等式.这也是证明不等式的一种方法,我们以后可以用这种方法证明一些不等式．２.函数的极值函数的极值不仅在实际生活中占有重要的地位,而且也是函数性态的一个重要特征． ２.1极值的概念.定义 设函数()f x 在区间I 有定义，若0,x I ∈且存在0x 的某邻域0()U x 0,U()I x x ⊂∀∈,有00()()(()())f x f x f x f x ≤≥,则称0x 是函数()f x 的极大值点（极小值点），0()f x 是函数()f x 的极大值（极小值）,极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.注 极值点0x 必在区间I 的内部（即不能是区间I 的端点)0()f x 是函数()f x 的极值是与函数()f x 在0x 的某个邻域0()U x 上的函数值()f x 比较而言的,因此极值是一个局部的概念.函数()f x 在区间I 上可能有很多的极大值（或极小值）,但只能是一个最大值（如果存在最大值)和一个最小值（如果存在最小值)若函数()f x 在区间I 的内部某点0x 取最大值（最小值)，则0x 必是函数()f x 的极大点（极小点）.２.２极值存在的条件费马定理 若函数()f x 在点0x 可导，且0x 为()f x 的极值点,则0()0.f x '=这就是说可导函数在点0x 取极值的必要条件是0()0f x '=.注 函数连续但不可导的点0x 处,0()f x 也可以为极值,另一方面,使0()0f x '=的0x x =也未必使0()f x 为极值.应检查充分性.定理1（极值的第一充分条件)设()f x 在点0x 连续，在某邻域00(;)U x δ內可导．⑴若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤,当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥,则f 在点0x 处取得极小值.⑵若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥,当00(,)()0x x x f x δ'∈+≤时,则f 在点0x 处取得极大值.注 1.若()f x 在0x x =的左右邻域内()f x '同号,则0()f x 必不是极值.2.即使函数连续且左右侧邻域导数都存在,并且0()f x 为极值，也未必存在某邻域使()0f x '>（0<)与某邻域使()0(0)f x '<>.换言之,左右侧邻域导数反号是极值的充分条件而不是必要条件．定理2 (极值的第二充分条件)设()f x 在0x 的某邻域),(0δx U 内一阶可导,在x ＝0x 处二阶可导，且)(0x f '＝0, )(0x f ''≠0,⑴ 若)(0x f ''<0，则()f x 在0x 取得极大值;⑵ 若)(0x f ''>0，则()f x 在0x 取得极小值.定理3 （极值存在的第三充分条件)设()f x 在0x 的某邻域),(0δx U 内存在直到1-n 阶导数, 在0x 处n 阶可导,并且()0()0k f x =,)1,,2,1(-=n k ,0)(0)(≠x f n ,则⑴ 当n 为偶数时, ()f x 在x =0x 取得极值,且当)(0)(x f n ＜0时, ()f x 在0x 取得极大值；当)(0)(x fn >0时, ()f x 在0x 取得极小值；⑵ 当n 为奇数时， ()f x 在x =0x 处无极值. 2.3典型例题解析 例３ 求22)13()(e x x ex f x+++=-的极值。
解 )(x f 的定义域为),(+∞-∞,)2()32()13()(22-+-=++++-='---x x e x e x x ex f x x x令 0)(='x f ,11=x ,22-=x 又 )3()(2--=''-x x ex f x由极值的第二充分条件可知03)1(1<-=''-e f ,∴215)1(e e f +=-是极大值2(2)30f e ''-=>,∴0)2(=-f 是极小值. 例４ 试求函数43()(1)f x x x =-的极值.解 由于32()(1)(74)f x x x x '=--,因此40,1,7x =是函数的三个稳定点,()f x 的二阶导数为22()6(1)(782)f x x x x x ''=--+,由此可得,(0)(1)0f f ''''==及4()07f ''>.所以()f x 在47x =时取得极小值.求三阶导数32()6(3560304)f x x x x x '''=-+-，有(0)0f '''=,(1)0f '''>.由于3n =为奇数,由极值第三充分条件可得()f x 在1x =不取极值.再求()f x 的四阶导数(4)32()24(3545151)f x x x x =-+-，有(4)(0)0f <．4n =为偶数,∴()f x 在0x =取得极大值.综上所述,(0)0f =为极大值,434436912()()()777823543f =-=-为极小值.总结求极值的方法步骤:⑴求可疑点，可疑点包括ⅰ）稳定点（亦称驻点或逗留点，皆指一阶导数等于零的点；ⅱ）导数不存在的点;ⅲ)区间端点.⑵对可疑点进行判断的基本方法:①直接利用定义判断;②利用实际背景来判断;⑶查看一阶导数的符号,当x 从左向右穿越可疑点0:x 若()f x '的符号,由“正”变为“负”则0()f x 为严格极大值;由“负”变为“正”则0()f x 为严格极小值;若()f x '不变号,则0()f x 不是极值.3．函数的最大值、最小值问题函数在某个连续区间上的最大（小)值是此区间上的极大(小）值及此区间端点的函数值中的最大(小)者.如就最大值而言，我们常说“登峰．造极．”,说的是在一个．．山峰上达到极高，但就多个山峰来说,峰峰有极高,而其中最高者只有一个，并且在一个游山者的某段旅程中,最高点有时不一定在某个山峰之极,就算此人停在某个山峰的上坡路上的某个位置,却也可能高于其它峰颠.这说明，有时区间端点也可能是最值点.因此,求最值时不光要比较各个极值,还要考虑到区间端点值．由连续函数在[,]a b 上的性质，若函数()f x 在闭区间[,]a b 上一定有最大值、最小值,这就为我们求连续函数的最大、最小值问题提供了理论保证.函数()f x 在区间I 的最小值和最大值统称为最值.生产实践和科学实验所遇到的“最好”，“最省”,“最大”,“最小”等问题都可归结为数学的最值问题.３.1 闭区间上连续函数的最大值、最小值求法⑴求出()f x 在该区间内部的一切驻点及不可导的点，并计算相应的函数值; ⑵求出()f x 在闭区间两端点处函数值.比较⑴⑵中求出的函数值,最大者为最大值,最小者为最小值.故由此可见,求函数的最值就归结为求函数在稳定点及不可导的点及区间端点处函数值中的最值. 例5求函数32()2912f x x x x =-+在闭区间15[,]42-上的最大值与最小值.解 函数()f x 在闭区间15[,]42-上连续，故必存在最大、最小值.由于232221(2912)04()2912(2912)5(2912)02x x x x f x x x x x x x x x x x ⎧--+-≤≤⎪⎪=-+=-+=⎨⎪-+<≤⎪⎩,因此就得出了 2216(1)(2)0618124()5618126(1)(2)02x x x x x f x x x x x x ⎧----≤<⎪⎧-+-⎪'==⎨⎨--+⎩⎪--<≤⎪⎩. 又因为(00)12,(00)12f f ''-=-+=,所以由导数极限定理推知函数在0x =处不可导，求出函数()f x 在稳定点１与2，不可导点0x =,以及端点15,42x =-的函数值11155(1)5,(2)4,(0)0,(),()54322f f f f f ===-==.所以函数()f x 在0x =处取得最小值0，在1x =和52x =处取得最大值５.３．2 应用问题的最值的求法⑴建模:建立目标函数的表达式()y f x =及相应的定义区间I ； ⑵如果()f x 在I 内可导,则求出()f x 在I 内的一切驻点;⑶如果I 内只有一个驻点，并且经检验是极大（小）值点,则在此惟一驻点处函数必为最大（小)值.注 这里⑵⑶中的“如果”,必须认真检查是否真的满足．在实际生活中最值的应用例６ 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(/)km h ,燃料费为每小时6元,而其他与速度无关的费用为每小时9６元，问轮船的速度为多少时,每航行1km 所消耗的费用最小？解 设船速为(/)x km h ,据题意,每航行1km 的耗费为31(96)y kx x=+. 由已知,当10x =时,3106k ⋅=,故由已知,当10x =时,3106k ⋅=，故得0.006k =,所以有31(0.00696),(0,)y x x x=+∈+∞.令320.012(8000)0y x x '=-=，求得稳定点20x =.由极值第一充分条件检验得20x =是极小值点，由于在(0,)+∞上该函数处处可导,且只有惟一的极值点,当它为极小值点时比为最小值点,所以求得当船速为20(/)km h 时，每航行1km 的耗费为最少,其值为2min 960.006207.220y =⨯+=元． 函数最值的几个特例: ⑴单调函数的最值;⑵如果函数)(x f 在区间],[b a 上可导且仅有一个驻点， 则当0x 为极大值点时, 0x 亦为最大值点； 当0x 为极小值点时， 0x 亦为最小值点;⑶若函数)(x f 在R 内可导且仅有一个极大(或小)值点， 则该点亦为最大(或小)值点； ⑷ 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点.4．函数的凹凸性上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凹凸性的概念及其与函数二阶导数的关系.讨论函数()y f x =在区间I 严格增加还不够,因为函数()y f x =在区间I 严格增加还有不同的方式.例如,函数2y x =与y =[0,)+∞,显然都是严格增加的,但它们增加的方式不同.4.1概念定义1 设()f x 为定义在区间I 上的任意两点12,x x 和任意实数(0,1)λ∈,总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称()f x 为I 上的凸函数,反之,如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称()f x 为I 上的凹函数.定义２ 设曲线()y f x =在点(00,()x f x ）的一边为上凸,一边为下凸,则称 (00,()x f x )为曲线的拐点.注 若(00,()x f x )是曲线()y f x =的一个拐点,()y f x =在点0x 的导数不一定存在,如y =0x =的情形．4.２定理（拐点必要条件） 若(00,()x f x )为拐点，则要么（1)0()0f x ''=；要么（2）()f x 在0x 点不可导.定理1 设函数()f x 在开区间I 是凸函数（凹函数)⇔12,x x I ∀∈，且12x x <,有12()()f x f x ''≤12(()())f x f x ''≥．推论 若函数()f x 在开区间I 存在二阶导数,⑴x I ∀∈,有()0f x ''>,则函数()f x 在区间I 上严格凸函数; ⑵x I ∀∈，有()0f x ''<,则函数()f x 在区间I 上严格凹函数.定理2 设函数()f x 在开区间I 可导,函数()f x 在I 内是凸函数（凹函数）⇔曲线()y f x =位于它的任意一点切线. 4.3解题步骤若函数()f x 存在二阶导数,讨论函数()f x 得凹凸性和拐点可按下列步骤进行: 第一步:求函数()y f x =二阶导函数()f x '';第二步:令()0f x ''=,求解.其解将函数()f x 的定义域分成若干个开区间；第三步：判别()f x ''在每个小区间的符号,设()0f c ''=,由下表可知函数()f x 得凹凸性和拐点.４.4经典题型例7 讨论函数43()21f x x x =-+的凹凸性及其拐点．解 函数的定义域是R ,32()46f x x x '=- ,()12(1)f x x x ''=-令()0f x ''=其解是０与１.它们将定义域R 分成三个区间:(,0),(0,1),(1,)-∞+∞.列表如下：显然()f x 在(,0)-∞与(1,)+∞是严凸，在(0,1)严凹.曲线上的点(0,1）与(1,0）都是拐点. 注 若00(,())x f x 曲线()y f x =的拐点，()y f x =在0x 的导数不一定存在.5．曲线的渐近线定义 当曲线C 上动点P 沿着曲线C 无限远移时,若动点P 到某直线l 的距离无限趋近于0,则称直线l 是曲线C 的渐近线.曲线的渐近线包括三种:水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线.5.1水平渐近线若()1lim x f x b →+∞=,则1y b =是一条水平渐近线;又有()2lim x f x b →+∞=，则2y b =也是一条(若12b b =,则当然只能算一条）.5.2垂直渐近线若存在0x ，使()0lim x x f x -→=∞（或()0lim x x f x +→=∞）则0x x =是一条垂直渐近线,这样的0x 先由观察法观得，一般考虑分母为零处、对数的真数为零处.5.3斜渐近线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线的充要条件是()limx f x a x→+∞=,lim (())x f x ax b →+∞-=．这里也可以改成x →-∞.若0a =成立,即为水平渐近线.例８ 求()()()2341x f x x -=-的渐近线．解 已知()()213lim 41x x x +→-=+∞-,()()213lim 41x x x -→-=-∞-.则1x =是曲线的垂直渐近线. 又有 41)1(4)3(lim )(lim2=--==∞→∞→x x x x x f a x x ()()()()()222369595lim lim lim lim 41441414x x x x x x x x x x x b f x kx x x x →∞→∞→∞→∞⎡⎤--+-+-+=-=-===-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---⎢⎥⎣⎦. 直线1544y x =-，即45x y -=是曲线的渐近线.注 无穷区间的曲线()y f x =具有什么样的性质才是具有渐近线？由观察不难得到以下的简易判别法：设()()()P x f x Q x =,当()P x 与()Q x 都是连续函数时,若()0Q a =且()0P a ≠,则直线x a =是曲线()y f x =的垂直渐近线.当()P x 是n 次多项式，()Q x 是m 次多项式（()()()P x f x Q x =),若1n m =+则曲线()y f x =有斜渐近线;若n m ≤，则曲线()y f x =有水平渐近线.当()P x 与()Q x 是无理函数时，沿()P x 与()Q x 的最高次幂分别是正数α与β,若1αβ=+则曲线()y f x =有斜渐近线;若αβ≤则曲线()y f x =有水平渐近线.６．描绘函数图像6.1简单介绍及描绘图像步骤中学数学应用描点法描绘了一些简单函数的图像,但是描点法有缺陷.这是因为描点法所选取的点不可能很多,而一些关键性的点,如极值点、拐点等可能漏掉，曲线的单调性、凹凸性等一些重要的形态也没有掌握.因此,用描点法所描绘的函数图像常常与真实的函数图像相差很多.现在，我们已经掌握了应用导数讨论函数的单调性、极值性、凹凸性、拐点等的方法,从而就能比较准确地描绘函数的图像 .描绘函数的图像可按下列的步骤进行:⑴确定函数()y f x =的定义域;⑵考察函数()y f x =是否具有某些特性（奇偶性、周期性);⑶考察函数()y f x =是否有垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线.如果有渐近线，将渐近线求出来;⑷求出函数()y f x =的单调区间、极值列表； ⑸求出函数()y f x =的凹凸区间和拐点、列表;⑹确定一些特殊点如曲线()y f x =与坐标轴的交点,容易计算函数值()f x 的一些点(00,()x f x ）.⑺综合上述讨论结果画出函数图象． ６.2 典型例题分析例9 作出函数23)1(2-=x x y 的图形.解 由题意知函数的定义域为),1()1,(+∞-∞ ,易知,(0,0)是函数23)1(2-=x x y 与坐标轴的交点,)3()1(232--='x x x y ,令0='y 有,3,021==x x 是23)1(2-=x x y 的两个驻点,13=x 是不可导点，4)1(3-=''x xy ,令0=''y 有, 04=x ，∴)0,0(是拐点,所以列表如下: x)0,(-∞(0,1) 1)3,1(3 ),3(+∞y ' +0 + 不存在 -+ y ''－+不存在+++23)1(2-=x x y凹拐点)0,0(凸不存在凸极小值827凸+∞=→y x 1lim ,∴1=x 是垂直渐近线， ﻩ21)1(2lim lim 22=-==∞→∞→x x x y a x x , 32222(1)2lim()lim lim 122(1)2(1)x x x x x x x x x b y x x →∞→∞→∞---=-===--， ﻩ其斜渐近线为112y x =+以上讨论运用导数研究函数性态为进一步研究函数性质提供了依据，解决了函数单调性、极值、最值、图象等问题，同时我们也掌握了更精确的画函数图像的方法.我们在电脑中可以借助Mathematic和word等工具来完成作图,并且对高中导数部分的学习和教学也具有一定的指导意a义.参考文献：【１】刘玉琏、傅沛仁．《数学分析讲义》第四版. 高等教育出版社．20０3年版．【２】蔡燧林、胡金德.《数学辅导讲义》学苑出版社．2００6年版.【3】华东师范大学数学系．《数学分析》高等教育出版社.200１年版.【4】钱吉林.《数学分析题解精粹》中央民族大学出版社.2005年版．【5】裴礼文.《数学分析中的典型问题与方法》高等教育出版社.２00６年版．致谢四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号,而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。