八年级数学下册(沪科版)《矩形、菱形、正方形》拓展训练
最新八年级数学下册19.3矩形菱形正方形课后拓展练习新版沪科版3
19.3矩形、菱形、正方形1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是 .2．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ． 3．（08贵阳市）如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形． 5若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．6．，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED 的度数为 . 8．延长正方形ABCD 的边AB 到E ，使BE ＝AC ，则∠E＝ °9．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．10．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ． 二、选择题（每题3分，共30分）11．如图4在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E＋∠F ＝( )A ．110°B ．30° C．50°D ．70°12．菱形具有而矩形不具有的性质是( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等13．平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ， 点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( ) A ．3 cm B ．6 cm C ．9 cm D ．12 cm14．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4， 则图中阴影部分的面积为 ( ) A ．8B ．6C ．4D ．315．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( ) A ．①③⑤ B．②③⑤ C．①②③ D ．①③④⑤16．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是 直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长 是 ( ) A ．88 mmB ．96 mmC ．80 mmD ．84 mm（6） E A F D CBHG17、（08甘肃省白银市）如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°18、（08哈尔滨市）某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形。
沪科版八年级数学下册习题课件：19.3矩形、菱形和正方
10．(4 分)如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿
折痕 AE 翻折上去，使 AB 与 AD 边上的 AF 重合，则四边形 ABEF 就是一个最大的正方形，
他判定的方法是有__一__组___邻__边__相___等__的． 矩形是正方形
【综合运用】
17．(14分)如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点(E与A，D不重合)，
G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
周长为( C )
A．14 B．15 C．16 D．17
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3．(4 分)如图，ABCD 是正方形，G 是 BC 上(除端点外)的任意一点，DE⊥AG 于点 E，
BF∥DE，交 AG 于点 F，下列结论中不一定成立的是( D )
A．△AED≌△BFA B．DE－BF＝EF C．∠ABF＝∠EDC D．DE－BG＝FG
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD ＝90°，又∵AE＝BF，∴AB－AE＝BC－BF，即BE＝CF， ∴△CBE≌△DCF，∴CE＝DF
正方形的判定
7．(3 分)下列说法不正确的是( D )
A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
15．(12分)如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点， CE＝CF.
(1)求证：△BCE≌△DCF； (2)若∠BEC＝60°，求∠EFD的度数．
(1)证明：∵ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DCB＝∠FCE，∵CE＝CF， ∴△DCF≌△BCE (2)∵△BCE≌△DCF，∴∠DFC＝∠BEC＝60°， ∵CE＝CF，∴∠CFE＝45°，∴∠EFD＝15°
沪科版八年级下册数学 第19章 19.3.1 矩形及其性质 习题课件
素养核心练 (2)试探究图②中BN，CN，CM，DM这四条线段之间的关系，
写出你的结论，并证明． 解：BN2＋DM2＝CM2＋CN2. 证明：延长NO交AD于点P，连接PM，MN，如图②. ∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OB，AD∥BC， ∴∠DPO＝∠BNO，∠PDO＝∠NBO. 在△BON和△DOP中，
答案显示
核心必知
1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的四个角都是 __直__角____. 矩形的对角线__相__等____．
核心必知 2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一__半____．
基础巩固练
1．如图是一张矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝4，若用剪 刀沿∠ABC的平分线BE剪下，则DE的长等于( C ) A．4 B．5 C．6 D．7
HK版 八年级下
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形 第1课时 矩形及其性质
习题链接
核心必知 1 直角；相等 2 一半
提示：点击 进入习题
1C 2 (3，4) 3 2或4 4 673 5D
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64 7 115° 8A 9C 10 60°
11 B 12 4 13 见习题 14 见习题 15 见习题
素养核心练 15．【创新题】某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，
将一块直角三角尺的直角顶点绕着矩形ABCD(AB<BC)的对 角线交点O旋转(如图①→②→③)，图中M，N分别为直角 三角尺的直角边与矩形ABCD的边CD，BC的交点．
素养核心练 (1)该学习小组中一名成员意外地发现：在图①(三角尺的一直角
易知S△DCO＝ 14S矩形ABCD＝10.
∵S△DCO＝S△DPO＋S△PCO，
八年级数学下册19.3矩形菱形正方形19.3.3正方形课时作业新版沪科版
19.3.3正方形知识要点基础练知识点1正方形的性质1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(D)A.对角线相等且互相平分B.对边平行且相等C.每一个内角均为直角D.对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角2.正方形ABCD的边长是4 cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的长是(B)A.2 cmB.2 cmC.4 cmD.4 cm3.正方形的对角线的长为6 cm,则正方形的面积为18cm2.4.如图,G为正方形ABCD内一点,AB=AG,∠AGB=70°,连接DG,那么∠BGD=135°.知识点2正方形的判定5.下列结论错误的是(C)A.对角线相等的菱形是正方形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形6.黑板上画有一个图形,学生甲说它是多边形,学生乙说它是平行四边形,学生丙说它是菱形,学生丁说它是矩形,老师说这四名同学的答案都正确,则黑板上画的图形是正方形.综合能力提升练7.如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC的度数为(B)A.75°B.60°C.55°D.45°8.如图,在正方形ABCD中,EF分别是边CD,AD上的点,且CE=DF,AE与BF相交于点O,则下列结论错误的是(C) A.AE=BF B.AE⊥BFC.AO=OED.S△AOB=S四边形DEOF9.如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则EN的长为(D) A.3 B.23C.2D.23-310.(舟山中考)有一张矩形纸片ABCD,已知AB=3,AD=2,小明按下图步骤折叠纸片,则线段DG 的长为(A)A. B.2C.1D.211.如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°,则CF的长为(A)A.210B.35C.5310 D.103512.如图,正方形ABCD的边长为6 cm,对角线AC,BD相交于点O,过点O的任一直线EF分别交边AB,CD于点E,F,则阴影部分的面积是9 cm2.13.如图,直线l1∥l2∥l3,正方形ABCD的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3上,l1,l2之间的距离是3,l2,l3之间的距离是4,则正方形ABCD的面积为25.14.(义乌中考)如图为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD 上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500 m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F,若小敏行走的路程为3100 m,则小聪行走的路程为4600m.15.(泰州中考)如图,正方形ABCD中,G为BC边上一点,BE⊥AG于点E,DF⊥AG于点F,连接DE.(1)求证:△ABE≌△DAF;(2)若AF=1,四边形ABED的面积为6,求EF的长.解:(1)在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,即∠DAF+∠BAE=90°.∵BE⊥AG,DF⊥AG,∴∠AEB=∠DFA=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,∴∠ABE=∠DAF,∴△ABE≌△DAF.(2)设EF=x,则AE=1+x.由(1)知△ABE≌△DAF,∴BE=AF=1,DF=AE=1+x.S四边形ABED=S△ABE+S△AED=1BE·AE+1AE·DF=1(1+x)+1(1+x)2=6,解得x1=-5(不合题意,舍去),x2=2,∴EF的长为2.16.正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,BC上,将AD,DC分别沿DE,DF折叠,点A,C恰好都落在P处,且AE=2.(1)求EF的长;(2)求△BEF的面积.解:(1)∵正方形ABCD的边长为6,∴∠A=∠C=90°,AB=BC=6,根据折叠的性质可得∠DPE=∠DPF=90°,AE=PE=2,CF=PF,∴E,P,F三点在同一直线上,设CF=x,则PF=x,BF=6-x,EF=x+2,BE=4,在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,即42+(6-x)2=(x+2)2,解得x=3,∴EF=3+2=5.(2)由(1)得BF=BC-CF=3,BE=4,∴S△BEF=1BE·BF=1×4×3=6,∴△BEF的面积为6.17.如图,正方形ABCD的边长为1,O是BC边上的一个动点(与B,C点不重合),以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°.当MO经过点A时,在ON上截取OE=OA,过E点作EF垂直于直线BC,垂足为F,EH⊥CD于点H,求证:四边形EFCH为正方形.证明:∵∠MON=90°,∴∠EOF=90°-∠AOB.在正方形ABCD中,∠BAO=90°-∠AOB,∴∠EOF=∠BAO,又∵EH⊥CD,EF⊥CB,∠DCF=90°,∴∠EHC=∠EFC=90°,∴四边形EFCH为矩形,又∵∠EOF=∠BAO,∠EFO=∠B,OE=OA,∴△EOF≌△OAB,∴EF=BO,OF=AB=BC,又∵OF=OC+CF,BC=BO+OC,∴CF=OB=EF,∴四边形EFCH为正方形.拓展探究突破练18.如图,AC是正方形ABCD的对角线,E为边CB上一个动点(点E不与点C,B重合),连接AE,点F在直线AC上,且EF=AE.(1)若∠BAE=10°,求∠CEF的度数;(2)试探究线段CD,CE,CF之间的数量关系,并说明理由.解:(1)∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠BAC=∠BCA=45°.∵∠BAE=10°,∴∠EAF=35°.∵EF=AE,∴∠F=∠EAF=35°.∵∠BCA是△CEF的外角,∴∠BCA=∠F+∠CEF,即45°=35°+∠CEF,∴∠CEF=10°.(2)CE+CF=CD.理由:由(1)知∠BAE=∠CEF.过点E作ME⊥BC交AC于点M,易证△AEM≌△FEC,∴AM=FC,∴FM=AC=CD.∵FM=MC+CF,∴MC+CF=CD.∵ME⊥BC,∠ACB=45°,∴△MEC是等腰直角三角形,∴MC=CE,∴CE+CF=CD.。
2013-2014学年沪科版八年级数学下19.3矩形、菱形、正方形讲解与例题
矩形菱形正方形1．矩形的定义和性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．两者缺一不可．(2)矩形的性质：①矩形具有平行四边形的所有性质．②矩形的四个角都是直角．如图，在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，又由邻角互补、对角相等可得∠BAD＝∠ADC ＝∠DCB＝∠ABC＝90°推理形式为：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°.③矩形的对角线相等．如上图，在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，BC为公共边，可得△ABC≌△DCB.从而证得AC＝BD.其推理形式为：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.④矩形既是中心对称图形(对称中心是对角线的交点)(20．4节讲到)，又是轴对称图形(有两条对称轴)．①“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证明两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证明线段相等．②矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形．【例1】如图所示，在矩形ABCD中，∠CAD＝30°，CD＝5 cm，求矩形ABCD的周长(精确到0.1)．解：连接BD交AC于点O.在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝10(cm)．在Rt△ADC中，AD＝AC2－CD2＝102－52＝75≈8.66(cm)．∴AB＋BC＋CD＋DA＝2(AD＋DC)＝2×(8.66＋5)≈27.3(cm)．∴矩形ABCD的周长约为27.3 cm.2．直角三角形的一个性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图所示，由矩形的对角线相等可知，AC ＝BD .又因为矩形的对角线互相平分，所以OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD .所以OA ＝OB ＝OC ＝OD .所以在Rt △ABC 中，斜边上的中线OB ＝12AC .直角三角形的这一性质与两锐角互余、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半都是直角三角形的重要性质．这一性质常常用来证明线段的倍分关系．【例2】如图，BD ，CE 是△ABC 的两条高，G ，F 分别是BC ，DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析：有三角形的高就会出现直角三角形，有中点就可以联想到直角三角形斜边上中线的性质和等腰三角形的性质．证明：连接EG ，DG .因为BD ，CE 是△ABC 的两条高，所以△BDC 和△BEC 都是直角三角形． 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝12BC ＝EG ，即△GDE 是等腰三角形．因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线． 所以GF 是底边DE 上的高． 所以FG ⊥DE . 3．矩形的判定(1)定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)方法一：对角线相等的平行四边形是矩形． (3)方法二：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的定义也是矩形判定方法中的一个 矩形的判定可用下图表示：①用定义判定一个四边形是矩形必须具备两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．②用方法一判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就是说，两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．【例3】如图所示，在四边形ABCD中，BE＝DF，AC与EF互相平分于点O，∠B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．分析：此题要证四边形ABCD是矩形，要先证它是平行四边形，而要证明它是平行四边形，应结合条件确定合适的判定方法，即具体情况具体分析．证明：连接AF，CE.∵EF和AC互相平分，∴四边形AECF是平行四边形．∴AB∥CD，CF＝AE.又∵DF＝BE，∴AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．4．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形．如图，当把平行四边形的一条边平移后，使邻边相等，平行四边形就变成了菱形．菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是菱形.①菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．②菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的判定方法．【例4】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗？试说明理由．分析：由菱形的定义去判定，由DE∥AC，DF∥BC可得四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2，证得邻边相等即可．解：四边形DECF是菱形．理由：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2.∵DF∥BC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3，∴CF＝DF.∴四边形DECF是菱形．5．菱形的性质菱形具有平行四边形的所有性质，除此之外它也具有自己特殊的性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；(3)菱形是轴对称图形，有两条对称轴即每条对角线所在的直线；(4)菱形的面积等于对角线乘积的一半．①由于菱形对角线互相垂直平分，故菱形可被两条对角线分成四个全等的直角三角形，这样容易与勾股定理联系起来；②菱形的面积除了用对角线计算之外，也可以用底乘以高来计算．即菱形的面积有两种求法．【例5】如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为()．A．5 B．6 C．8 D．10解析：设AC，BD相交于点O，因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以AO＝3，BO ＝4，根据勾股定理，AB＝5.答案：A6．菱形的判定(1)定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形．(2)方法一：四边都相等的四边形是菱形．(3)方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．菱形的判定方法可用下图表示：判定一个四边形是菱形时，一定要注意判定前提，即在什么条件下判定．若在四边形的条件下判定，则可证其四边相等，也可先判定其是平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直；若在平行四边形的条件下判定，则证其一组邻边相等或对角线互相垂直即可．【例6】如图所示，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.所以∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.又EF是AC的垂直平分线，所以OA＝OC.所以△AOE≌△COF.所以OE＝OF.所以AC与EF互相垂直平分．所以四边形AFCE是菱形．7．正方形的定义有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．正方形与矩形、菱形的关系可用下图表示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；②既是矩形又是菱形的四边形是正方形；③正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．【例7】如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，求证：四边形BEDF是正方形．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB.同理可得DF∥BC.∴四边形BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是菱形．又∠ABC＝90°，∴四边形BEDF是正方形．8．正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有的性质．(1)边的性质：正方形的四条边都相等，对边平行，邻边垂直；(2)角的性质：正方形的四个角都是直角；(3)对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角．正方形还有特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；正方形是轴对称图形，有四条对称轴．【例8】如图所示，A，B，C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC.求证：FN＝EC.证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°.因为AB＝2BC，所以EN＝BC.所以△FNE≌△ECB.所以FN＝EC.9．正方形的判定(1)一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等；②先证明它是菱形，再证它有一个角是直角．【例9】如图所示，已知ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．若∠AED＝2∠EAD.求证：四边形ABCD是正方形．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO＝CO.又因为△ACE是等边三角形，所以EO⊥AC，即DB⊥AC.所以平行四边形ABCD是菱形．因为△ACE是等边三角形，所以∠AEC＝60°.所以∠AEO＝12∠AEC＝30°.因为∠AED＝2∠EAD，所以∠EAD＝15°.所以∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.因为四边形ABCD是菱形，所以∠ADC＝2∠ADO＝90°.所以四边形ABCD是正方形．10．矩形、菱形、正方形性质的综合运用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质．应从边、角、对角线三个方面区分它们的性质：(1)从边的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有四条边相等的性质；(2)从角的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有四个角都等于90°的性质；(3)从对角线的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形的对角线还具有相等的性质，菱形和正方形的对角线还具有互相垂直的性质．【例10】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB，ED.(1)求证：△BEC≌△DEC；(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°.求∠AFE的度数．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA.∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC.(2)解：∵∠DEB＝140°，△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°.∵∠DAB＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°.11．矩形、菱形、正方形判定的综合运用几种特殊平行四边形的判定方法可用下图表示：正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，当平行四边形的一个内角变为直角时(角特殊化了)，平行四边形变成矩形；当平行四边形的邻边变为相等时(边特殊化了)，平行四边形变成菱形；当平行四边形的一个内角变为直角，一组邻边变为相等时(角、边均特殊化了)，平行四边形变为正方形．【例11】已知如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AE＝AF.(1)试说明BE＝DF的理由；(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并说明你的理由．解：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.因为AE＝AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF.所以BE＝DF.(2)四边形AEMF是菱形．因为四边形ABCD是正方形，所以∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC.因为BE＝DF，所以BC－BE＝DC－DF.即CE＝CF.又OC为公共边，∴△EOC≌△FOC.所以OE＝OF.因为OM＝OA，所以四边形AEMF是平行四边形．因为AE＝AF，所以平行四边形AEMF是菱形．12．特殊四边形的探究题平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定的综合探究题在中考中常出现．它还能与其他知识综合考查，如等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点，综合运用性质和判定进行推理是解此类题的关键．矩形、菱形、正方形问题在中考中的比重近年来有加大的趋势，不但有选择题、填空题、解答题，也有探究型、开放型试题．解答此类问题，要在牢记矩形、菱形、正方形的性质和判定、弄清它们的特性和共性的基础上，分析图形特征，选择适当的方法．譬如解答正方形问题时，由于正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，所以当证明一些与线段有关的问题时，可以借助旋转或平移实现线段的移位，在正方形中这种移位非常地巧妙、自然，比作其他类型的辅助线要来的简捷、顺畅．_______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 【例12】以四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E，F，G，H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH.(1)如图①，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图②，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状(不要求证明)；(2)如图③，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝α(0°＜α＜90°)．①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE＝HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．。
八年级数学下册 19.3 矩形、菱形、正方形课后练习 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中八年级下册数
19.3 矩形菱形正方形基础巩固1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )．A．对边相等 B．对角相等C．对角互补 D．对角线平分2．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为( )．A．20 B．18C．16 D．153．ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①AC⊥BD；②AB＝BC；③AC平分∠BAD；④AO＝DO，使得ABCD是菱形的条件有( )．A．1个 B．2个C．3个 D．4个4．如图所示，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于( )．(第4题图)A．3．33．42．85．如图，E为正方形ABCD内一点，△BCE为等边三角形，那么∠ADE＝__________°.(第5题图)6．菱形的周长为20 cm，一条对角线长为8 cm，则菱形的面积为__________ cm2.7．如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1)说明D是BC的中点的理由；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并说明你的结论正确的理由．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC，垂足为F.请说明四边形AEFG是菱形的理由．(第8题图)9．如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点(G与B，C两点不重合)，E，F是AG 上的两点(E，F与A，G两点不重合)，若AF＝BF＋EF，∠1＝∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论．(第9题图)10．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从(1)AB＝CD；(2)AB∥CD；(3)OA＝OC；(4)OB＝OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如(1)(2)(5)⇒四边形ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：__________⇒四边形ABCD是菱形；__________⇒四边形ABCD是菱形．11．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图所示，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即A，C之间的距离)．若AB＝40 cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？(2≈1.414，3≈1.732，结果保留整数)12．在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于F.如图(1)所示，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF.(1)如图(2)所示，若点P在线段AO上移动(不与点A，O重合)，PE⊥PB，PE交CD于点E.①请说明DF＝EF的理由；②写出线段PC，PA，CE之间的一个等量关系，并说明你的结论是正确的．(2)若点P在线段OC上移动(不与点O，C重合)，PE⊥PB，PE交DC的延长线于点E.请完成图(3)并判断(1)中的结论①，②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论(所写结论均不必说明理由)．参考答案1.答案：C 点拨：矩形的对角相等且互补，但平行四边形的对角只是相等而不互补，故选C.2.答案：C 点拨：在菱形ABCD中，因为∠BAD＝120°，所以∠B＝60°.在△ABC中，因为AB＝CB，所以△ABC是等边三角形．所以AB＝BC＝CD＝AD＝AC＝4.所以菱形的周长为16，故选C.3.答案：C 点拨：因为四边形ABCD是平行四边形，①AC⊥BD，具备对角线互相垂直的平行四边形是菱形；②AB＝BC，具备一组邻边相等的平行四边形是菱形；③AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠DAC.因为AB∥CD，所以∠BAC＝∠DCA.所以∠DAC＝∠DCA，所以CD＝AD.具备一组邻边相等的平行四边形是菱形；④AO＝DO，得AC＝BD，对角线相等的平行四边形不是菱形．故选C.4.答案：A 点拨：DE＝3，AB＝AE＝6，在直角三角形ADE中，∠DAE＝30°.由折叠的性质得∠BAF＝∠EAF＝30°.设BF＝x，则AF＝2x,4x2－x2＝36，x＝，＝＝AF x25.答案：15 点拨：∵△BCE为等边三角形，那么CB＝CE且∠ECB＝60°，又∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB.∴CE＝CD.∴∠CED＝∠CDE.∵∠CDA＝∠BCD＝90°，∴∠ECD＝30°，∠CED＝∠CDE＝75°.∴∠ADE＝15°.6.答案：24 点拨：菱形的周长为20 cm，所以边长为5 cm.根据菱形的对角线互相垂直平分，运用勾股定理求得菱形的另一条对角线为6 cm，所以菱形的面积为24 cm2.7.解：(1)因为AF∥BC，又因为E是AD的中点，所以可以证明△AEF≌△DEC.所以有AF＝DC.又AF＝BD，所以可得D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.而四边形AFBD是平行四边形，所以四边形AFBD是矩形．8.解：因为CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC＝90°，所以EA＝EF，∠AEC＝∠FEC.因为EF⊥BC，AD⊥BC，所以EF∥AD.所以∠AGE＝∠FEC＝∠AEC.所以AE＝AG.同理可得EF＝FG.所以四边形AEFG是菱形．9.解：根据题目条件可判断DE∥BF.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＋∠2＝90°.∵AF ＝AE ＋EF ，又AF ＝BF ＋EF ，∴AE ＝BF .∵∠1＝∠2，∴△ABF ≌△DAE (SAS)．∴∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE .∴∠ADE ＋∠2＝90°.∴∠AED ＝∠BFA ＝90°.∴DE ∥BF .10. 答案：(1)(2)(6)或(3)(4)(5)或(3)(4)(6)点拨：由(1)(2)或(3)(4)可先判别出四边形ABCD 为平行四边形，然后再由其他条件判别它是菱形即可．11. 解：如图所示，连接AC ，与BD 相交于点O .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，∠ADB ＝∠CDB ，AC ＝2AO .当∠ADC ＝60°时，△ADC 是等边三角形，所以AC ＝AD ＝AB ＝40 cm.当∠ADC ＝120°时，∠ADO ＝60°，所以∠OAD ＝30°. 所以114020(cm)22OD AD ⨯＝＝＝．在Rt△AOD 中，AO ．所以AC ＝.因此增加的高度为40400.73229(cm)⨯≈＝．12. 解：(1)①理由：连接PD .因为四边形ABCD 是正方形，所以AC 平分∠BCD ，CB ＝CD .所以△BCP ≌△DCP .所以∠PBC ＝∠PDC ，PB ＝PD .因为PB ⊥PE ，∠BCD ＝90°，所以∠PBC ＋∠PEC ＝360°－∠BPE －∠BCE ＝180°.又因为∠PEC ＋∠PED ＝180°，所以∠PED ＝∠PBC ＝∠PDC .所以PD ＝PE .因为PF ⊥CD ，所以DF ＝EF .②PC PA －.理由：过点P 作PH ⊥AD 于点H .由①，知PA ，PC .∴)PC PA CF EF －－.(2)画图略．结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PC PA －.。
八年级数学下册第19章四边形1矩形、菱形、正方形1正方形作业设计沪科版
19.3.3 正方形1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A．四条边相等 B．对角线互相垂直C．对角线相等 D．对角线互相平分2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分C．对角线相等 D．四个角都是直角3. 正方形四边中点的连线围成的四边形(最准确的说法)一定是( )A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形4. 矩形具有而平行四边形不具有的是( )A.内角和为360°B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线相等5. 下列说法错误的是( )A.正方形的四条边相等B.正方形的四个角相等C.平行四边形对角线互相垂直D.正方形的对角线相等6. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.内角和为360°C.对角线相等D.对角线平分内角7. 能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角互补C.一组对角相等，一组邻角互补D.一组对角相等，另一组对角互补8. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A.对角线相等B.对角线垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分9. 下列说法正确的有( )①四边都相等的四边形是正方形②有三个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形③四个内角都相等的菱形是正方形④有一个角是直角的平行四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个10. 下列命题中，不正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形11. 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形12. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形为正方形的是( )A.AC=BD，AB∥CD，AB=CDB.AD∥BC，∠A=∠CC.OA=OB=OC=OD，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BC13. 若正方形的面积为18，则它的边长为________，对角线为___________，周长为______________．14. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为____________．第14题图15. 下列说法正确的有_______________．①四条边相等的四边形为正方形②四个角都相等的四边形为正方形③对角线相等的菱形是正方形④对角线垂直的矩形是正方形16. 如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，若再补充一个条件就能使菱形成为正方形，则这个条件是______________________（填一个条件即可）.第16题图17. 正方形的面积为4，则它的边长为______，对角线长为___________．18. 如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B 的落点为F．你认为四边形ABEF是什么特殊四边形？请说出你的理由．第18题图19. 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．第19题图参考答案1---12 CACDC CCDBD DC13. 614. 15°15. ③④16. AC=BD（答案不唯一）17. 218. 解：四边形ABEF是正方形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAF=∠B=90°．∵∠B与∠AFE折叠后重合，∴∠AFE=∠B=90°．∴四边形ABEF是矩形．∵AB，AF折叠后重合，∴AB=AF．∴四边形ABEF是正方形.19. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°.∴∠ABF=90°．在△BAF和△DAE中，AB=AD,∠ABF=∠ADE,BF=DE,∴△BAF≌△DAE（SAS）.∴∠FAB=∠EAD.∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°.∴∠FAE=90°.∴EA⊥AF．。
2022春八年级数学下册第19章矩形菱形正方形矩形第1课时矩形及其性质习题课件新版沪科版ppt
证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE. ∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE. 又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE， ∴CD＝FA.又∵CD∥FA，∴四边形 ACDF 是平行四边形．
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说 明理由．
解：BC＝2CD.理由如下： ∵CF 平分∠BCD，∴∠DCE＝45°. ∵∠CDE＝90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD＝DE.∵E 是 AD 的中点，∴AD＝2DE， ∴AD＝2CD.∵AD＝BC，∴BC＝2CD.
( 5)2＋52＝ 30.∴AD＝ AC2－CD2＝ (6 5)2－( 30)2＝5 6. 【答案】A
7．【中考·眉山】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，过 对角线交点 O 作 EF⊥AC 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，则 DE 的长是( B )
A．1 B．74 C．2 D．152
4．【中考·黔东南州】如图，将矩形ABCD沿AC折叠， 使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝25°， 则∠2等于( C ) A．25° B．30° C．50° D．60°
5．【中考·怀化】如图，在矩形ABCD中，AC， BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形 ABCD的面积为( C ) A．4 B．6 C．8 D．10
∴∠ABE＝∠CDF.∵AE⊥BD 于点 E，CF⊥BD 于点 F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ ABE 和△ CDF 中，
∠ABE＝∠CDF， ∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴AE＝CF. AB＝CD，
(2)如图②，当∠ADB＝30°时，连接 AF，CE，在不添加任何辅 助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每 个三角形的面积都等于矩形 ABCD 面积的18.
沪科版八年级下册数学 第19章 19.3.1 矩形及其性质 习题课件
素养核心练 ∵∠ ∠OBNB＝NBOOO＝ ＝D，∠ ∠PDDPOO， ， ∴△BON≌△DOP(AAS)，∴ON＝OP，BN＝PD. ∵∠MON＝90°，∴PM＝MN. ∵∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴PM2＝PD2＋DM2，MN2＝CM2＋CN2， ∴PD2＋DM2＝CM2＋CN2，∴BN2＋DM2＝CM2＋CN2.
交BC于点F，则DE的长是( )
A．1
B. 7 C．2 4
D. 12 5
能力提升练
【点拨】如图，连接CE，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OC＝OA，AD＝BC＝8，DC＝AB＝6.
∵EF⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE.
在Rt△DEC中，DE2＋DC2＝CE2，即DE2＋36＝(8－DE)2，
能力提升练
(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．
解：如图，过点O作OF⊥CD于点F. 由题意易得OF＝12 BC，DE＝2CE＝12. 在Rt△BCE中，由勾股定理得BC＝8.∴OF＝4. ∴△ODE的面积为 12DE·OF＝ 12×12×4＝24.
能力提升练
14．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，M，N分别是AB，CD的
解得DE＝
7 4
，故选B.
【答案】B
能力提升练 12．如图，矩形ABCD的面积为40，点P在边CD上，
PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.若AC＝10，则 PE＋PF＝________．
能力提升练
【点拨】如图，设AC与BD的交点为O，连接PO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝5.
中点．
(1)求证：MN⊥CD；
证明：连接DM，CM.
由已知得CM＝
八年级数学第四周《矩形、菱形、正方形》拓展训练
A B C D P第6题图第1题图第2题图 第3题图 第4题图八年级数学第四周《矩形、菱形、正方形》拓展训练（2019.3.14）三、选择题：1.如图，P 是矩形ABCD 的边AD 上一个动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是-------------------------------------------------------( ) A ．125 B ．65 C ．245D ．不确定 2.（2015-2016如图，四边形ABCD 和AEFC 是两个矩形，点B 在EF 上，若矩形ABCD 和矩形AEFC 的面积分别是S 1、S 2，则它们的关系是-----------------------------------------------------------（ ） A.S 1＞S 2 B.S 1=S 2 C.S 1＜S 2 D.3S 1=2S 23．（2013-2014）菱形OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 的坐标是（6，0），点A 的纵坐标是1，则点B 的坐标是-------------------------------------------------------------------（ ）A ．（3，1）B ．()3,1-C ．(13)-，D ．（1，3）4.（2013-2014）在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 处停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，且y 关于x 的函数图象如图所示，则矩形的周长是-------------------（ ） A ．9 B ．10 C ．18 D ．36 5．（2015-2016）如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，点P 从点B 出发，沿B C D →→向终点D 匀速运动，设点P 走过的路程为x ，△ABP 的面积为S ，能正确反映S 与x 之间函数关系的图象是-----（ ）6.如图，点E 、G 分别是正方形ABCD 的边CD 、BC 上的点，连接AE 、AG 分别交对角线BD 于点P 、Q ，若∠第7题图 E O D CA 第8题图 第9题图 第10题图第11题图 EAG=45°，BQ=4，PD=3，则正方形ABCD 的边长为------------------------------------------（ ） A.26 B.7 C. 27 D.57.（2015-2016）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且DE=AF ，AE 交BF 于点O ，下列结论：①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③AO=OE ；④S △AOB =S 四边形DEOF 中，正确的有-------------------------（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8．（2016-2017）如图，P 为正方形ABCD 的对角线BD 上任一点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF ．给出以下4个结论：①AP=EF；②AP⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP ．其中，所有正确的结论是--------------------------------------------------------------------（ ） A ． ①② B ． ①③ C ． ①②④ D ． ①③④ 四、填空题： 9．（2015-2016）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC =130°，则∠AOE 的大小为 . 10．（2014-2015）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是 ．11.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠DAB=60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使△PBE 的周长最小，则△PBE 周长的最小值为 。
八年级数学下册四边形矩形菱形正方形菱形菱形的性质练习沪科版
课时作业(二十六)[19.3 2. 第1课时菱形的性质]一、选择题1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直2．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是链接听课例1归纳总结( ) A．10 B．8 C．6 D．53．如图K－26－1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．14图K－26－1图K－26－24．如图K－26－2，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°，则对角线BD的长等于( ) A．2 B．4 C．6 D．85．·吉林一模如图K－26－3，四边形ABCD是菱形，点A，B，C，D的坐标分别是(m，0)，(0，n)，(1，0)，(0，2)，则mn＝________．K－26－3图K－26－46．如图K－26－4所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，DE∶AE＝3∶4，则下列结论：①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形ABCD的面积为15 cm2；④BD＝2 10 cm.其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题7．如图K－26－5，菱形ABCD的周长是8 cm，则AB的长是________cm.K－26－5K－26－68．如图K－26－6是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动的菱形衣架，若墙上两钉子间的距离为AB＝BC＝15 cm，则∠1的度数为________．9．如图K－26－7所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于点E，∠B＝60°，则菱形ABCD的面积为__________．K－26－7K－26－810．2020·十堰如图K－26－8，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE.若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为________．图K－26－911．如图K－26－9，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值为______．三、解答题12．已知：如图K－26－10，在菱形ABCD中，E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF.链接听课例2归纳总结图K－26－1013．·柳州如图K－26－11，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB ＝2.(1)求菱形ABCD的周长；(2)若AC＝2，求BD的长．图K－26－1114．如图K－26－12，在菱形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．链接听课例2归纳总结图K －26－1215．如图K －26－13，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，连接DP 交对角线AC 于点E ，连接BE .(1)求证：∠APD ＝∠EBC ；(2)若∠DAB ＝60°，则当点P 运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14？并说明理由．图K －26－13已知：如图K－26－14，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME.图K－26－14详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] C 对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故A 错误；对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质，故B 错误；对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有，故C 正确；邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故D 错误．故选C .2．[答案] D 3．[答案] A4．[解析] A ∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝180°－120°＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝AB ＝2，故选A .5．[答案] 2[解析] ∵四边形ABCD 是菱形，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(m ，0)，(0，n)，(1，0)，(0，2)，∴m ＝－1，n ＝－2，∴mn ＝2.6．[解析] C 利用菱形的性质和勾股定理计算即可． 7．[答案] 2[解析] ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴4AB ＝8 cm ，∴AB ＝2 cm . 8．[答案] 120° 9．[答案] 8 3[解析] 连接AC ，则△ABC 为等边三角形，所以AE 垂直平分BC ，BE ＝2.由勾股定理得AE ＝2 3，则菱形ABCD 的面积是8 3.10．[答案] 20°[解析] 因为四边形ABCD 是菱形，所以BD 平分∠ABC ，OD ＝OB ，所以∠DBC ＝12∠ABC ＝70°.因为DE ⊥BC 于点E ，O 为BD 的中点，所以OE ＝OB ，所以∠OEB ＝∠OBE ＝70°，所以∠OED ＝90°－70°＝20°.11．[答案] 5[解析] 作点M 关于BD 的对称点Q ，则Q 为AB 的中点．连接NQ ，交BD 于点P ，此时PM ＋PN 的值最小．连接AC 交BD 于点O ，求出OC ，OB 的长，根据勾股定理求出BC 的长，证出PM ＋PN 的最小值＝QN ＝BC ，即可得出答案．12．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD. ∵E ，F 分别为边CD ，AD 的中点， ∴AD ＝2DF ，CD ＝2DE ，∴DE ＝DF.在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ，DE ＝DF ，∴△ADE ≌△CDF.13．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝2， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2， ∴菱形ABCD 的周长＝2×4＝8.(2)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝2，AB ＝2， ∴AC ⊥BD ，AO ＝1，BD ＝2OB ， ∴BO ＝AB 2－AO 2＝22－12＝3， ∴BD ＝2 3.14．[解析] (1)首先根据菱形的性质，得到AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠D ，结合E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，即可证出△ABE ≌△CDF ；(2)首先证明△ABC 是等边三角形，结合题干，在Rt △AEB 中，∠B ＝60°，AB ＝4，即可求出AE 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠D. ∵E ，F 分别是边BC ，AD 的中点， ∴BE ＝DF.在△ABE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS)． (2)∵∠B ＝60°，AB ＝BC ， ∴△ABC 是等边三角形． ∵E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC. 在Rt △AEB 中，∠B ＝60°，AB ＝4， ∴BE ＝2，由勾股定理得AE ＝2 3. 15．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ，AB ＝BC ＝DC ＝AD ，CA 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE. 又∵CE ＝CE ，∴△BCE ≌△DCE ， ∴∠EBC ＝∠EDC.又∵AB ∥DC ，∴∠APD ＝∠EDC ，∴∠APD ＝∠EBC.(2)当点P 运动到AB 边的中点时，S △ADP ＝14S 菱形ABCD .理由：连接DB.∵∠DAB ＝60°，AD ＝AB ， ∴△ABD 是等边三角形． ∵P 是AB 边的中点，∴DP ⊥AB ， ∴S △ADP ＝12AP ·DP ，S 菱形ABCD ＝AB·DP.∵AP ＝12AB ，∴S △ADP ＝12×12AB ·DP ＝14S 菱形ABCD .[素养提升][解析] (2)延长DF ，AB 交于点G ，可证△CEM ≌△CFM ，△CDF ≌△BGF ，通过线段之间的简单运算，即可得证．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴CB ＝CD ，AB ∥CD ， ∴∠1＝∠ACD.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD ， ∴MC ＝MD.∵ME ⊥CD ，∴CD ＝2CE ＝2， ∴BC ＝CD ＝2.(2)证明：如图，延长DF ，AB 交于点G.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BCA ＝∠DCA.∵BC ＝2CF ，CD ＝2CE ，∴CE ＝CF. 又∵CM ＝CM ，∴△CEM ≌△CFM ，∴ME ＝MF.∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠G ，∠BCD ＝∠GBF. 又∵CF ＝BF ，∴△CDF ≌△BGF ，∴DF＝GF.∵∠1＝∠2，∠2＝∠G，∴∠1＝∠G，∴AM＝GM＝GF＋MF＝DF＋ME.。
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拓展训练
1．用两个全等的直角三角形拼下列图形：
①平行四边形（不包含矩形、菱形、正方形）；②矩形；③菱形；④正方形；
⑤等腰三角形.一定可以拼成的图形有（ ）
A ．①②⑤
B ．②③⑤
C ．①④⑤
D ．①②③
2．（09·山东）如图19-74所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点,D C 分别落在,D C ''的位置，若65EFB ∠=o ，则AED '∠等 于（ ）
A ．70°
B ．65°
C ．50°
D ．25°
3．矩形的四条内角平分线能围成一个（ ）
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
4．如图19-75所示，将标号为,,,a b c d 的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号
为①，②，③，④的四组图形（如图19-76所示），试按照正方形剪开后重组图形的对应关系，选择与,,,a b c d 对应的图形（ ）
A．③②①④B．④①②③
C．③①②④D．④②①③
5．已知菱形的周长为40㎝，两条对角线长度之比为3：4，那么对角线的长分别为了（）
A．3 cm，8 cm B．3 cm，4 cm
C．12 cm，16 cm D．24 cm，32 cm
6．将矩形纸片ABCD按如图19-77所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）
A．1 B．2 C．2D．3 7．（09·江西）如图19-78所示，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16㎝，若墙上钉子间的距离AB=BC=16㎝，则1
∠=度.
8．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，如果AC=10㎝，那么EF+EG= .
9．（08·十堰）如图19-79所示，已知矩形ABCD，P，R分别是BC和DC上的点，点E，F分别是PA，PR的中点，如果DR=3，AD=4，则EF的长为.
10．菱形的周长为10㎝，一条对角线长为2.5㎝，菱形各内角分别是. 11．（08·咸宁）如图19-80所示，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交BCA
∠的平分线于点E，交BCA
∠的外角平分线于点F.
（1）求证EO=FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.
12．如图19-81所示，在△ABC 中，B C ∠=∠，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点
E ，D
F ⊥AC 于点F.
（1）求证△BDE ≌△CDF ；、
（2）当△ABC 是直角三角形时，求证四边形AEDF 是正方形.
13．如图19-82所示，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于点E ，2,23,CD AD ==求
BE 的长.
14．小刚制作了一个菱形的大风筝如图19-83所示，上面还贴了一张彩色的三角
形硬纸片，小刚拿给金老师看，问：“我的风筝符合要求吗？”金老师说：“如果彩色三角形硬纸的两边CE 与EF 相等，就符合要求.”可是小刚手中只有一把短尺，无法直接测出CE 和CF 的长，试帮小刚想一个办法，并说明理由.
15．（09·深圳）如图19-84所示，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，
EF 与BC 交于点G.
（1）求证△ABE ≌△CBF ；
（2）若50ABE ∠=o ，求EGC ∠的度数.
参考答案
1．A[提示：考虑判定特殊平行四边形的方法.]
2．C[提示：65,DEF EFB ∠=∠=o 180218026550.AED DEF '∠=-∠=-⨯=o o o o ]
3．D[提示：先利用角度关系得到其内角都是90°，证明其是矩形，再证明一组邻边相等即可.]
4．C
5．C[提示：设两条对角线长分别为3x ，4x ，则222341022x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得x =4，∴两条对角线长分别为12㎝，16㎝.]
6．D[提示：2222,AC BC AC BC AB =-=.]
7．120[提示：连接AB ，则A ，B 与两菱形交点构成等边三角形，结合菱形性质，可得1120∠=o .]
8．5㎝[提示：52
AC EF EG +==㎝.] 9．52
10．60°，120°，60°，120°[提示：菱形较短对角线长与边长相等，围成了等边三角形.]
11．（1）证明：∵MN ∥BC ，∴OEF ECB ∠=∠.∵CE 平分BCA ∠，∴,ECB ECO ∠=∠∴,OEC ECO ∠=∠∴OE OC =.同理可证,OF OC =∴OE OF =. （2）当点O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形.证明如下：∵,,OE OF OA OC ==∴四边形AECF 是平行四边形.∵CE 平分
,ACB ∠CF 平分,OCD ∠∴ECF =90°
，∴AECF Y 是矩形. 12．证明：（1）因为D 是BC 的中点，所以BD =CD .因为,,DE AB DF AC ⊥⊥所以90BED CFD ∠=∠=o .又因为,B C ∠=∠所以△BDE ≌△CDF （AAS ）. （2）由
（1）得Rt △BDE ≌Rt △CDF ，
所以,DE DF =又因为90,90,AED AFD A ∠=∠=∠=o o 所以四边形AEDF 是正方形.
13．解：作BF AC ⊥于点F ，则Rt △ABF ≌Rt △CDE ，所以,BF DE AF CE ==.因为22216,AC CD AD =+=所以4AC =，因为S △ADC =11,22AB BC AC BF •=•
所以AB BC BF AC •===所以1CE AF ====.所以
EF =4-1-1=2.所以222347BE BF EF =+=+=.所以BE =
14．解：连接AC ，交EF 于点G .先用短尺量出,,,AE AF EG FG 的长，如果
,,AE AF EG FG ==那么,CE CF =则符合要求，
否则不符合要求.理由如下：因为,AE AF =所以△AEF 为等腰三角形.又,EG FG =所以EAG FAG ∠=∠.又,,AE AF AC AC ==所以△EAC ≌△FAC .所以CE CF =.
15．（1）
证明：∵四边形ABCD 是正方形，,BE BF ⊥∴,AB CB ABC EBF =∠=∠=90°，∴,ABC EBC EBF EBC ∠-∠=∠-∠即
,ABE CBF ∠=∠又∵,BE BF =∴△ABE ≌△CBF .
（2）解：∵,90,BE BF EBF =∠=o ∴45BEF ∠=o .又∵EBG ABC ABE ∠=∠-∠ =40°，∴85EGC EBG BEF ∠=∠+∠=o .。