现代信号处理-胡广书-清华

（1.1.1a）式的傅立叶变换可以写成如下的内积形式：
X ( jΩ)
=
1 2π
<
x(t), e jΩt
>
式中 < x, y > 表示信号 x 和 y 的内积。若 x ， y 都是连续的，则
（1.1.5）
< x, y >= ∫ x(t) y*(t)dt
若 x ， y 均是离散的，则
< x, y >= ∑ x(n) y*(n)
从时域波形还是从频域波形，我们都很难看出该信号的调制类型及其他特点。和图 1.1.1(c)
一样，图 1.1.2(c)也是 x(n) 的时－频分布表示，由该图可明显看出，该信号的频率与时间成
Line ar sca le
Real part
S ignal in time 1
0
-1 |S TF T|2, Lh=48 , Nf=1 92, lin. scale, co ntour, Thld =5%
gt,Ω (τ ) = g(t − τ )e jΩτ
（1.1.8）
来代替傅立叶变换中的基函数 e jΩt ，则
< x(τ ), gt,Ω (τ ) >=< x(τ ), g(t −τ )e jΩτ >
∫= x(τ )g*(t − τ )e− jΩτ dτ = STFTx (t, Ω)
(1.1.9)
该式称为 x(t) 的短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, STFT）。式中 g(τ ) 是一窗函
愈多。但由傅立叶变换 X ( jΩ) 看不出在什么时刻发生了此种类型的突变。现举两个例子说
明这一概念。 例 1．1．1 设信号 x(n)由三个不同频率的正弦所组成，即
x(n) = ⎪⎨⎧ssiinn((ωω12nn)),, ⎪⎩sin(ω3n),
0 ≤ n ≤ N1 −1 N1 ≤ n ≤ N2 −1 N2 ≤ n ≤ N −1
信号是变化着的，变化着的信号构成了我们周围五彩斑斓的世界。此处所说的“变化”， 一是指信号的幅度随时间变化，二是指信号的频率内容随时间变化。幅度不变的信号是“直 流”信号，而频率内容不变的信号是由单频率信号，或多频率信号所组成的信号，如正弦波、 方波、三角波等。不论是“直流”信号还是正弦类信号都只携带着最简单的信息。
（ e jΩt = cos Ωt + j sin Ωt ），因此其在时域的持续时间是从 − ∞ ~ +∞ ，因此，在时域有着
最坏的分辨率。 我们在“数字信号处理”的课程中已熟知，一个宽度为无穷的矩形窗（即直流信号）的
傅立叶变换为一δ 函数，反之亦然。当矩形窗为有限宽时，其傅立叶变换为一 Sinc 函数，即
5
∫ X (
jΩ)
=
A
T −T
e− jΩt dt
=
2
A
sin ΩT Ω
（1.1.8）
式中 A 是窗函数的高度， T 是其单边宽度。 x(t) 和其频谱如图 1.1.3(a)和(b)所示。
x(t)
X(Ω) 2AT
A
-T
0
Tt
0
Ω
图 1.1.3 矩形窗及其频谱 (a) 时域矩形窗， （b）矩形窗的频谱
−∞
（1.1.1b）
式 中 Ω = 2πf ， 单 位 为 弧 度 / 秒 ， 将 X ( jΩ) 表 示 成 | X ( jΩ) | e jϕ (Ω) 的 形 式 ， 即 可 得 到
| X ( jΩ) | 和ϕ (Ω) 随 Ω 变化的曲线，我们分别称之为 x(t) 的幅频特性和相频特性。
如果我们想知道在某一个特定时间，如 t0 ，所对应的频率是多少，或对某一个特点的频
n
内积的概念将贯穿在本书的始终。
（1.1.6a） （1.1.6b）
（1.1.5）式说明信号 x(t) 的傅立叶变换等效于 x(t) 和基函数 e jΩt 作内积，由于 e jΩt 对不
同的 Ω 构成一族正交基，即
∫ < e , e jΩ1t jΩ2t >= e dt j(Ω1−Ω2 )t = 2πδ (Ω1 − Ω2 )
第 1 章 信号分析基础
1．1 信号的时－频联合分析
我们生活在一个信息社会里，而信息的载体就是我们本书要讨论的主题——信号。在我 们身边以及在我们身上，信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的 视频图像信号，伴随着我们生命始终的心电信号，脑电信号以及心音、脉搏、血压、呼吸等 众多的生理信号。
频率随时间变化的信号（如例 1.1.2 中的 x(n) ）称为时变信号。文献[13]称这一类信号为“非
平稳”信号，而把频率不随时间变化的信号称为“平稳”信号。此处的“平稳”和“不平稳” 和随机信号中的“平稳随机信号”及“非平稳随机信号”的意义不同。平稳随机信号是指该
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类信号的一阶及二阶统计特征（均值与方差）不随时间变化，其自相关函数和观察的起点无 关，而非平稳信号的均值、方差及自相关函数均与时间有关，即是时变的。尽管这两类说法 的出发点不同，但非平稳信号的频率实质上也是时变的，因此，把频率随时间变化的信号统 称为“非平稳信号”并无大碍。但要说一个信号是“平稳信号”，则要具体说明所指的是频 率不随时间变化的信号还是平稳随机信号。
Energy spectral density
0.4 0.3 0.2 0.1
0 365 182 0
Frequency [Hz]
20
40
60
80
100 120
Time [s]
图 1.1.2 chirp 信号的时－频表示. （a）信号 x(n), (b) x(n)的频谱，(c) x(n)时 －频分布的二维表示，(d) x(n)时－频分布的三维表示，
数。（1.1.9）式的意义实际上是用 g(τ ) 沿着 t 轴滑动，因此可以不断地截取一段一段的信号，
然后对其作傅立叶变换，故得到的是 (t, Ω) 的二维函数。g(τ ) 的作用是保持在时域为有限长
（一般称作“有限支撑”），其宽度越小，则时域分辨率越好。在频域，由于 e jΩt 为一δ 函数，
因此仍可保持较好的频域分辨率。比较（1.1.9）式和（1.1.5）式可以看出，使用不同的基函 数可得到不同的分辨率效果。有关短时傅立叶变换的内容我们将在第二章详细讨论。
氏变换 X ( jΩ) 是信号 x(t) 在整个积分区间的时间范围内所具有的频率特征的平均表示。反
之，（1.1.1b）式也是如此，因此，傅立叶变换不具有时间和频率的“定位”功能。 前已述及，信号的幅度不但随时间变化，而且对现实物理世界中的大部分信号，其频率
也随时间变化。实际上，在时域中愈是在较短时间内发生幅度突变的信号，其包含的信息就
给定了信号 x(t) 的函数表达式，或 x 随 t 变化的曲线，我们可以由此得出在任一时刻处
该信号的幅值。如果想要了解该信号的频率成分，即“在××Hz 处频率分量的大小”，则可 通过傅立叶变换来实现，即
∫ X ( jΩ) = ∞ x(t)e− jΩtdt −∞
（1.1.1a）
∫ x(t)
=
1 2π
∞ X ( jΩ)e jΩtdΩ
对一个给定的信号，如 x(t) ，我们可以用众多的方法来描述它，如 x(t) 的函数表达式，
通过傅立叶变换所得到的 x(t) 的频谱，即 X ( jΩ) ，再如 x(t) 的相关函数，其能量谱或功率
谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。显然，时间和频 率与我们的日常生活关系最为密切，我们时时可以感受到它们的存在。时间自不必说，对频 率，如夕阳西下时多变的彩霞，音乐会上那优美动听的旋律以及在一片寂静中突然冒出的一 声刺耳的尖叫等，这些都包含了丰富的频率内容。正因为如此，时间和频率也成了描述信号 行为的两个最重要的物理量。
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总之，对给定的信号 x(t) ，人们希望能找到一个二维函数Wx (t, Ω) ，它应是我们最关心 的两个物理量 t 和 Ω 的联合分布函数，它可反映 x(t) 的能量随时间 t 和频率 Ω 变化的形态，
同时，又希望Wx (t, Ω) 既具有好的时间分辨率，同时又具有好的频率分辨率。
显然，矩形窗的宽度 T
和其频谱主瓣的宽度（ −
π T
~
π T
）成反比。由于矩形窗在信号处理中
起到了对信号截短的作用，因此，若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那
么由于 X ( jΩ) 的主瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。所有这些都体现了傅立叶变换
中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。 如果我们用基函数
Energy spectral density
0 .4 0 .3 0 .2 0 .1
0 159517975 0
Frequency [Hz]
50 100 150 200 250 300 350 Time [s]
图 1.1.1 信号的时－频表示 （a）信号 x(n), (b) x(n)的频谱， (c) x(n)时－频分布的二维表示，(d) x(n)时－频分布的三维表示，
由上述两例可以看出，傅立叶变换反映不出信号频率随时间变化的行为，因此，它只适 合于平稳信号，而对频率随时间变化的非平稳信号，它只能给出一个总的平均效果。
现在，我们再从“分辨率”的角度来讨论傅立叶变换的不足。“分辨率”包含了信号的 时域和频域两个方面，它是指对信号所能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨 细胞）。分辨能力的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于所用的算法。对在时域具有瞬 变的信号，我们希望时域的分辨率要好（即时域的观察间隔尽量短），以保证能观察到该瞬 变信号发生的时刻及瞬变的形态。对在频域具有两个（或多个）靠得很近的谱峰的信号，我 们希望频域的分辨率要好（即频域的观察间隔尽量短，短到小于两个谱峰的距离），以保证 能观察这两个或多个谱峰。有关分辨率的讨论见文献[19]的第三章。
（1.1.2）
式中 N > N 2 > N1,ω3 > ω2 > ω1 。ω 为圆周频率，ω = 2πf / f s ，f 是信号的实际频率，f s
为抽样频率，所以ω 的单位为弧度， Ω 和ω 的关系是[19] :
ω = ΩTs = 2πf / fs
（1.1.3）
x(n) 的波形如图 1.1.1(a)所示，x(n) 的傅立叶变换的幅频特性 | X (e jω ) |，如图 1.1.1(b)所示。
1
率，如 Ω0 ，所对应的时间是多少，那么傅立叶变化则无能为力。 分析（1.1.1）式，对给定的某一个频率，如 Ω0 ，那么，为求得该频率处的傅氏变换
X ( jΩ0 ) ，（1.1.1a）式对 t 的积分仍需要从 − ∞ 到 + ∞ ，即需要整个 x(t) 的“知识”。反之， 如果我们要求出某一时刻，如 t0 处的值 x(t0 ) ，由（1.1.1b）式，我们需要将 X ( jΩ) 对 Ω 从 − ∞ 至 + ∞ 作积分，同样也需要整个 X ( jΩ) 的“知识”。实际上，由（1.1.1a）所得到的傅
显然，| X (e jω ) |只给出了在ω1,ω2 及ω3 处有三个频率分量，给出了这三个频率分量的大小，
但由此图看不出 x(n) 在何时有频率ω1 ，何时又有ω2 及ω3 ，即傅立叶变换无时间定位功能。
图 1.1.1(c)是用我们后面所讨论的方法求出的 x(n) 的联合时－频分布。该图是三维图形
的二维投影，在该图中，一个轴是时间，一个轴是频率。由该图可清楚地看出 x(n) 的时间－
频率关系。若将 1.1.1(c)画成三维图，则如图 1.1.1(d)所示。
2
例 1.1.2 令
x(n) = exp( jωn2 ) = exp( jnωn)
（1.1.4）
该信号称作线性频率调制信号，其频率与时间序号 n 成正比，在雷达领域中，该信号又 称作 chirp 信号，图 1.1.2(a)是其时域波形， n = 0 ~ 127 ，图 1.1.2(b)是其频谱。显然，无论
（1.1.7）
由 1.5 节的讨论可知， X ( jΩ) 等于 x(t) 在这一族基函数上的正交投影，即精确地反映了在
该频率处的成分大小。基函数 e jΩt 在频域是位于 Ω 处的δ 函数，行为时，它具有最好的频率分辨率。但是， e jΩt 在时域对应的是正弦函数
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正比，且信号 x(n) 的能量主要集中在时间－频率平面的这一斜线上。图 1.1.2(d)是图 1.1.2(c)
的立体表示。
1 0.5
0 -0.5
Linear scale
Real part
S ignal in time W V , lin. scale, contour, Threshold=5%