全等三角形常用辅助线做法

全等三角形常用辅助线做

法

This manuscript was revised on November 28, 2020

五种辅助线助你证全等

姚全刚

在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．

一、截长补短

一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．

例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．

分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．

证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．

∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°

∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．

显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°

在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC

∴△DOC≌△FOC， CF=CD

∴AC=AF+CF=AE+CD．

截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求证：CD=AD+BC。

思路分析：

1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。

2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：

证明：在CD上截取CF=BC，如图乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），

∴∠2=∠1。

又∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∴∠DCE+∠CDE=90°，

∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，

∴∠3=∠4。

在△FDE与△ADE中，

∴△FDE≌△ADE（ASA），

∴DF=DA，

∵CD=DF+CF，

∴CD=AD+BC。

解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：

截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

二、中线倍长

三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．

例3．已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（）．

分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．

解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x．

延长AD至E，使DE = AD=x．

∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD

∠ADC=∠EDB（对顶角）∴△ADC≌△EDB

∴BE=AC=5

∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE

即7-5＜2x＜7+5 ∴1＜x＜6

例4：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA

三角形BEG是等腰三角形

例5：已知：如图，在ABC

∆中，AC

AB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BA

DF//

交AE于点F，DF=AC.

求证：AE平分BAC

∠

提示：

方法1：倍长AE至G，连结DG

方法2：倍长FE至H，连结CH

例6：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中

线，求证：∠C=∠BAE

提示：倍长AE至F，连结DF

证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）

进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）

第 1 题图

A

B

F

D E C

5、分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以有

AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）

∴AB+AC>2AD。

6、分析：欲证AC=BF，只需证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。

思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在三角形BFH中方法一：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明△ADC和△HDB全等，得

AC=BH。

通过证明∠H=∠BFH，得到BF=BH。

∴△ADC≌△HDB(SAS)

∴AC=BH，∠H=∠HAC

∵EA=EF

∴∠HAE=∠AFE

又∵∠BFH=∠AFE

∴BH=BF

∴BF=AC

方法二：过B点作BH平行AC，与AD的延长线相交于点H，证明△ADC和△HDB全等即可。

小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形。而过一点作已知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。

思路二、以三角形BFD为基础三角形。转移线段BF，使AC、BF在两个全等三角形中

方法三：延长FD至H，使得DH=FD，连接HC。证明△CDH和△BDF全等即可。

三、作平行线

当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．例7．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．

分析：要证DF=EF，必须借助三角形全等．而现有图形中没有全等三角形．由等腰三角形条件，可知∠B=∠ACB，作DH∥AE，可得∠DHB=∠ACB．则△DBH为等腰三角形．证明：作DH∥AE交BC于H．

∴∠DHB=∠ACB，

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB

∴∠DHB=∠B，DH=BD

∵CE=BD ∴DH= CE

又DH∥AE，∠HDF=∠E

∠DFH=∠EFC（对顶角）

∴△ DFH≌△EFC（AAS）∴DF=EF