全等三角形中做辅助线的技巧

全等三角形中做辅助线的技巧

口诀：

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

一、由角平分线想到的辅助线

口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线

（一）、截取构全等

图1-1

B

如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BC

D ，C

E 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC =AB+CD 。

例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC

例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB -AC=CD

分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？

练习 1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC

图1-2

D

B

C

图

1-4

A

B

C

2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=

2AC ，求证：AE=2CE

3．

已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任

一点。求证：BM-CM>AB-AC

4．

已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，连接D

B 、D

C 。求证：BD+CD>AB+AC 。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=

BC 。

求证：∠ADC+∠B=180

分析：可由C 向∠BAD 的两边作垂线。近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。

图2-1

B

C

例2． 如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC ，∠ABD=∠CBD 。 求证：BC=AB+AD

分析：过D 作DE ⊥BC 于E ，则AD=DE=CE ，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。

例3． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。

分析：连接AP ，证AP 平分∠BAC 即可，也就是证P 到AB 、AC 的距离相等。

练习：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA ，P D ⊥OA ，

如果PC=4，则PD=（ ）

A 4

B 3

C 2

D 1

2．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC 。

3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD ，CE ⊥AB ，

AE=21

（AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180 。

4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中

图2-2

A

B

C

图2-3

A

B

C 图

2-4

O

A

D

A

B

D

点，F 为BC

上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF 。 5．

已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，

AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB 交BC 于H 。求证CF=BH 。

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD

于D ，H 是BC 中点。求证：DH=2

1

（AB-AC ）

分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。问题可证。

例2． 已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，AD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。

分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角

图2-6

E

C

D

图2-7

D

B

A

B

图3-2

B

C