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同济版高数课后习题答案

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高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v .解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ）=5a -11b +7c .2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知AM =MC ，MB DM =.故DC DM MC MB AM AB =+=+=.即DC AB //且|AB |=|DC |，因此四边形ABCD是平行四边形.3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与点A 连接.试以AB =c ,BC =a 表向量A D 1,A D 2,A D 3,A D4.证如图8-2，根据题意知511=BD a,5121=D D a,5132=D D a,5143=D D a,故A D 1=-（1BD AB +）=-51a -cA D 2=-（2BD AB +）=-52a -c A D 3=-（3BD AB +）=-53a -c A D 4=-（4BD AB +）=-54a -c.4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量21M M 及-221M M .解21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.-221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量.解向量a 的单位向量为a a ，故平行向量a 的单位向量为±a a =111±（6，7，-6）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-±116,117,116，其中11)6(76222=-++=a .6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A （1，-2，3），B （2，3，-4），C （2，-3，-4），D （-2，-3，1）.解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限.7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A （3，4，0），B （0，4，3），C （3，0，0），D （0，-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy 面上的点的坐标为（x 0，y 0，0），xOz 面上的点的坐标为（x 0，0，z 0），yOz 面上的点的坐标为（0，y 0，z 0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为（x 0，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，y 0，0），z 轴上的点的坐标为（0，0，z 0）.A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.8.求点（a ，b ，c ）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a ，b ，c ）关于xOy 面的对称点（a ，b ，-c ），为关于yOz 面的对称点为（-a ，b ，c ），关于zOx 面的对称点为（a ，-b ，c ）.（2）点（a ，b ，c ）关于x 轴的对称点为（a ，-b ，-c ），关于y 轴的对称点为（-a ，b ，-c ），关于z 轴的对称点为（-a ，-b ，c ）.（3）点（a ，b ，c ）关于坐标原点的对称点是（-a ，-b ，-c ）.9.自点P 0），，（000z y x 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P 0F 为点P 0关于xOz面的垂线，垂足F 坐标为），，000(z x ；P 0D 为点P 0关于xOy 面的垂线，垂足D 坐标为），，0(00y x ；P 0E 为点P 0关于yOz 面的垂线，垂足E 坐标为)0(0o z y ，，.P 0A 为点P 0关于x 轴的垂线，垂足A 坐标为），0,0(o x ；P 0B 为点P 0关于y 轴的垂线，垂足B 坐标为)0,,0(0y ；P 0C 为点P 0关于z 轴的垂线，垂足C 坐标为),0,0(0z .10.过点P 0），，（000z y x 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P 0且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.而过点P 0且平行于xOy 面的平面 上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.11.一边长为a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.解如图8-5，已知AB=a ，故OA=OB=a 22，于是各顶点的坐标分别为A )0022(，，a ，B （），022,0(a ），C （-a 22，0，0），D （0，-a 22，0），E （a 22，0，a ），F （0，a 22，a ），G （-a 22，0，a ），H （0，-a 22，a ）.12.求点M （4，-3，5）到各坐标轴的距离.解点M 到x 轴的距离为d 1=345)3(22=+-，点M 到y 轴的距离为d 2=415422=+，点M 到z 轴的距离为d 3=525)3(422==-+.13.在yOz 面上，求与三点A （3，1，2），B （4，-2，-2），C （0，5，1）等距离的点.解所求点在yOz 面上，不妨设为P （0，y ，z ），点P 与三点A ，B ，C,)2()1(3222-+-+=z y,)2()2(4222++++=z y.)1()5(22-+-=z y==222222)2()2(4)2()1(3++++=-+-+z y z y 22)1()5(-+-=z y ，即.)1()5()2()1(9,)2()2(16)2()1(922222222-+-=-+-+++++=-+-+z y z y z y z y 解上述方程组，得y=1，z=-2.故所求点坐标为（0，1，-2）.14.试证明以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证由2798)63()14()102(,7)93()14()42(,7)96()11()410(222222222==-+++-==-+-+-==-+--+-=.+==故△ABC 为等腰直角三角形.15.设已知两点为M 1（4，2，1），M 2（3，0，2），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.解向量21M M =（3-4，0-2，2-1）=（-1，-2，-1），2412-1-222==++=）（）（.其方向余弦分别为cos α=-21，cos β=-22，cos γ=21.方向角分别为3,43,32πγπβπα===.16.设向量的方向余弦分别满足（1）cos α=0；（2）cos β=1；（3）cos α=cos β=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解（1）由cos α=0得知2πα=，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.（2）由cos β=1得知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.（3）由cos α=cos β=0知2πβα==，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂直于xOy 面.17.设向量r 的模是4，它与u 轴的夹角为3π，求r 在u 轴上的投影.解已知|r |=4，则Prj u r=|r |cos θ=4∙cos 3π=4×21=2.18.一向量的终点在点B （2，-1，7），它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.解设A 点坐标为（x ，y ，z ），则AB =（2-x ，-1-y ，7-z ），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故x=-2，y=3，z=0，因此A 点坐标为（-2，-3，0）.19.设m =3i +4j +8k ，n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k .求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y轴上的分向量.解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.1.设k j i b k j i a -+=--=2,23，求（1）b a b a ⨯⋅及；（2）b a 2b 3a 2-⨯⋅及）（；（3）b a ,的夹角的余弦.解（1）），（），，（1-2,12-1-3⋅=⋅b a ，）（）（）（31-2-21-13=⨯+⨯+⨯==⨯b a 121213---kj i =（5,1,7）.（2）1836)(63)2(-=⨯-=⋅-=⋅-b a b a )14,2,10()7,1,5(2)(22==⨯=⨯b a b a （3222222)1(21)2()1(33),cos(-++-+-+=⋅=b a b a b a 21236143==2.设c b a ,,为单位向量，满足.,0a c c b b a cb a ⋅+⋅+⋅=++求解已知,0,1=++===c b a c b a 故0=++⋅++）（）（c b a c b a .即0222222=⋅+⋅+⋅+++a c c b b a c b a .因此23-21222=++-=⋅+⋅+⋅）（c b a a c c b b a 3.已知M 1（1，-1，2），M 2（3,3,1）M 3（3,1,3）.求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.解21M M =（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）32M M =（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）由于3221M M M M ⨯与3221,M M M M 同时垂直，故所求向量可取为M M M M a =）（由3221M M M M ⨯=220142--k j i=（6，-4，-4），17268)4()4(6222==-+-+=⨯知).172,172,173()4,4,6(1721--±=--±=a 4.设质量为100kg 的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m ，重力方向为z 轴负方向）.解21M M =（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）W=F ∙21M M =（0,0，-980）∙（-2,3，-6）=5880（J）.5.在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处，有一与1OP 成角1θ的力F 1作用着；在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处，有一与2OP 成角2θ的力F 2作用着（图8-6），问1θ，2θ，x 1，x 2，21,F F 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为0sin sin 222111=-θθx F x F ，即222111sin sin θθx F x F =.6.求向量），（4,3-4=a在向量）（1,2,2=b 上的投影.解236122)1,2,2()4,3,4(Pr 222==++⋅-=⋅=b b a a j b .7.设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a，问μλ与有怎样的关系，能使b a μλ+与z 轴垂直？解b a μλ+=λ（3,5，-2）+μ（2,1,4）=（μλμλμλ42,5,23+-++）.要b a μλ+与z 轴垂直，即要（b a μλ+）⊥（0,0,1），即（b a μλ+）∙（0，0,1）=0，亦即（μλμλμλ42,5,23+-++）∙（0,0,1）=0，故（μλ42+-）=0，因此μλ2=时能使b a μλ+与z 轴垂直.8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图8-7，设AB 是圆O 的直径，C 点在圆周上，要证∠ACB=2π，只要证明0=⋅BCAC 即可.由BC AC ⋅=)()(OC BO OC AO +⋅+=BO OC OC AO BO AO ⋅+⋅+⋅=0=+⋅-⋅+OC AO OC AO .故BC AC⊥,∠ACB为直角.9.已知向量j i c k j i b k j i a 23,32-=+-=+-=和，计算：（1）b c a c b a )()(⋅-⋅（2）)()(c b b a +⨯+（3）cb a ⋅⨯)(解（1）8)3,1,1()1,3,2(=-⋅-=⋅ba ，8)0,2,1()1,3,2(=-⋅-=⋅c a ，b c a c b a )()(⋅-⋅)24,8,0()3,1,1(8)0,2,1(8--=---=k i 248--=.（2）b a +=（2，-3,1）+（1，-1,3）=（3，-4,4），c b +=（1，-1,3）+（1，-2,0）=（2，-3,3），)()(c b b a +⨯+332443--=kj i k j --=--=)1,1,0(.（3）c b a ⋅⨯)(.2021311132=---=10.已知k j OBk i OA 3,3+=+=，求△OAB 的面积.解由向量积的几何意义知S △OAB⨯)1,3,3(310301--==⨯kj i OB OA，⨯191)3()3(22=+-+-=S △OAB219=11.已知),,(),,,(),,,(z y x z y x z y x c c c c b b b b a a a a ===，试利用行列式的性质证明：ba c a cbc b a ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯)()()(证因为,)(z yxz y xz y xc c c b b b a a a cb a =⋅⨯zyxz y x z y x a a a c c c b b b a c b =⋅⨯)(=⋅⨯b a c )(zyxz yxz y xb b b a a ac c c ，而由行列式的性质知z yxz y x z y x c c c b b b a a a z yx z y x z y x a a a c c c b b b ==zyxz y x z y x b b b a a a c c c ，故b ac a c b c b a ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯)()()(.12.试用向量证明不等式：332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++，其中321321,,,,,b b b a a a 为任意实数.并指出等号成立的条件.证设向量=a （321,,a a a ），=b （321,,b b b ）.由),cos(b a b a ba =⋅b a ≤，从而232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++≤++，当321,,a a a 与321,,b b b 成比例，即332211b a b a b a ==时，上述等式成立.1.求过点（3,0，-1）且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程.解所求平面与已知平面012573=-+-z y x 平行.因此所求平面的法向量可取为n=（3，-7，5），设所求平面为0573=++-D z y x .将点（3，0，-1）代入上式得D=-4.故所求平面方程为04573=-+-z y x .2.求过点M 0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解.6,9,2(0）-=OM 所求平面与0OM 垂直，可取n=0OM ，设所求平面方程为0692=+-+D z y x .将点M 0（2，9，-6）代入上式得D=-121.故所求平面方程为0121692=--+z y x .3.求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程.解由0121111121212111=+---+----+--z y x ，得023=--z y x ，即为所求平面方程.注设M （x,y,z ）为平面上任意一点，)3,2,1)(,,(==i z y x M i i i i 为平面上已知点.由,0)(31211=⨯⋅M M M M MM 即,0131313121212111=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x 它就表示过已知三点M i （i=1,2,3）的平面方程.4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0;（2）3y-1=0;（3）2x-3y-6=0;（4）x-3y=0;（5）y+z=1;（6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解（1）—（7）的平面分别如图8—8（a ）—（g ）.（1）x=0表示yOz 坐标面.（2）3y-1=0表示过点（0,31,0）且与y 轴垂直的平面.（3）2x-3y-6=0表示与z 轴平行的平面.（4）x-3y=0表示过z 轴的平面.（5）y+z=1表示平行于x 轴的平面.（6）x-2z=0表示过y 轴的平面.（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面.5.求平面0522=++-z y x 与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy ，yOz ，zOx 的夹角分别为321,,θθθ.则根据平面的方向余弦知,3111)2(2)1,0,0()1,2,2(cos cos 2221=⋅+-+⋅-=⋅==k n k n γθ,3213)0,0,1()1,2,2(cos cos 2=⋅⋅-=⋅==i n i n αθ3213)0,1,0()1,2,2(cos cos 3-=⋅⋅-=⋅==j n j n βθ.6.一平面过点（1，0，-1）且平行于向量)1,1,2(=a 和)0,1,1(-=b ，试求这个平面方程.解所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量)3,1,1(011112-=-=⨯=kj i b a n .故所求平面为0)1(3)0(1)1(1=+--⋅+-⋅z y x ，即043=--+z y x .7.求三平面322,02,13=++-=--=++z y x z y x z y x 的交点.解联立三平面方程.322,02,13=++-=--=++z y x z y x z y x 解此方程组得.3,1,1=-==z y x故所求交点为（1，-1，3）.8.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于xOz 面且经过点（2，-5，3）；（2）通过z 轴和点（-3，1，-2）；（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.解（1）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为0=+D By .将点（2，-5，3）代入，得05=+-D B ，即B D 5=.因此所求平面方程为05=+B By ，即05=+y .（2）所求平面过z 轴，故设所求平面为0=+By Ax .将点（-3，1，-2）代入，得03=+-B A ，即A B 3=.因此所求平面方程为03=+Ay Ax ，即03=+y x .（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为0=++D Cz By .将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得2=+-D C 及07=++D C B .D B D C 29,2-==.因此，所求平面方程为0229=++-D z DDy ，即029=--z y .9.求点（1,2,1）到平面01022=-++zy x 的距离.解利用点),,(00o o z y x M 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式222000C B A DCz By Ax d +++++=.1332211012221222=-=++-⋅+⋅+=1.求过点（4，-1，3）且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程.解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量)5,1,2(=s ，直线方程即为531124-=+=-z y x .2.求过两点)1,2,3(1-M 和)2,0,1(2-M 的直线方程.解取所求直线的方向向量)1,2,4()12),2(0,31(21-=-----==M M s ，因此所求直线方程为112243-=+=--z y x .3.用对称式方程及参数方程表示直线.42,1=++=+-z y x z y x 解根据题意可知已知直线的方向向量112111-=kj i s ).3,1,2(-=取x=0，代入直线方程得.4,1=+=+-z y z y 解得.25,23==z y 这样就得到直线经过的一点（25,23,0）.因此直线的对称式方程为.32512320-=-=--z y x 参数方程为.325,23,2t z t y t x +=+=-=注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.4.求过点（2，0，-3）且与直线1253,0742=+-+=-+-z y x z y x 垂直的平面方程.解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即),11,14,16(253421-=--==kj i s n 故所求平面方程为.0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x 即.065111416=---z y x 5.求直线0123,09335=-+-=-+-z y x z y x 与直线01883,02322=-++=+-+z y x z y x 的夹角的余弦.解两已知直线的方向向量分别为),1,4,3(1233351-=--=k j i s ),10,5,10(1831222-=-=kj i s 因此，两直线的夹角的余弦212121),(cos cos s s s s s s ⋅== .010)5(10)1(4310154103222222=+-+-++⨯-⨯-⨯=6.证明直线72,72=++-=-+z y x z y x 与直线02,8363=--=-+z y x z y x 平行.证已知直线的方向向量分别是),15,3,9(112363),5,1,3(11212121---=---==--=kj i s k j i s 由123s s -=知两直线互相平行.7.求过点（0,2,4）且与两平面12=+zx 和23=-z y 平行的直线方程.解所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量可取),1,3,2(31020121-=-=⨯=kj i n n s 故所求直线方程为.143220-=-=-z y x 注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线为.3,2b z y a z x=-=+将点（0，2，4）代入上式，得.10,8-==b a 故所求直线为.103,82-=-=+z y z x 8.求过点（3，1，-2）且通过直线12354z y x =+=-的平面方程.解利用平面束方程，过直线12354z y x =+=-的平面束方程为,0)23(2354=-+=+=-z y y x λ将点（3，1，-2）代入上式得.2011=λ因此所求平面方程为,0)23(20112354=-+=+=-z y y x即.0592298=---z y x 9.求直线0,03=--=++z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.解已知直线的方向向量),2,4,2(111311-=--=k j is 平面的法向量).1,1,1(--=n 设直线与平面的夹角为,ϕ则,0)1()1(1)2(42)1()2()1(412),cos(sin 222222=-+-+-++-⋅-+-⋅+⋅=⋅==n s n s s n ϕ即.0=ϕ10.试确定下列各组中的直线和平面间的关系；（1）37423z y x =-+=-+和3224=--z y x ；（2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）431232--=+=-z y x 和.3=++z y x 解设直线的方向向量为s ，平面的法向量为n ，直线与平面的夹角为,ϕ且ns n s s n ⋅==),cos(sin ϕ.（1）),2,2,4(),3,7,2(--=--=ns,0)2()2(43)7()2()2(3)2()7(4)2(sin 222222=-+-+⋅+-+--⋅+-⋅-+⋅-=ϕ则.0=ϕ故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A （-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立.故点A 不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行.（2）),7,2,3(),7,2,3(-=-=n s 由于n s =或,17)2(37)2(377)2()2(33sin 222222=+-+⋅+-+⋅+-⋅-+⋅=ϕ知2πϕ=，故直线与平面垂直.（3）),1,1,1(),4,1,3(=-=n s 由于0=⋅n s 或,0111)4(131)4(1113sin 222222=++⋅-++⋅-+⋅+⋅=ϕ知,0=ϕ将直线上的点A （2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即点A 在平面上.故直线在平面上.11.求过点（1,2,1）而与两直线1,012=-+-=+-+z y x z y x 和0,02=+-=+-z y x z y x 平行的平面的方程.解两直线的方向向量为),1,1,0(111112),3,2,1(11112121--=--=--=--=kj i s k j is取),1,1,1(11032121--=----=⨯=k j i s s n 则过点（1,2,1），以n 为法向量的平面方程为,0)1(1)2(1)1(1=-⋅--⋅+-⋅-z y x 即.0=+-z y x 12.求点（-1,2,0）在平面012=+-+z y x 上的投影.解作过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交点即为所求.根据题意，过点（-1,2,0）与平面012=+-+z y x 垂直的直线为,102211--=-=+z y x 将它化为参数方程,,22,1t z t y t x -=+=+-=代入平面方程得,01)()22(21=+--+++-t t t 整理得32-=t .从而所求点（-1,2,0）在平面012=+-+z y x 上的投影为（32,32,35-）.13.求点P （3，-1，2）到直线042,01=-+-=+-+z y x z y x 的距离.解直线的方向向量).3,3,0(112111--=--=kj i s 在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式.3,32,1t z t y x -=--==（1）又，过点P （3，-1，2），以)3,3,0(--=s 为法向量的平面方程为,0)2(3)1(3=--+-z y 即.01=-+z y （2）将式（1）代入式（2）得21-=t ，于是直线与平面的交点为（23,21,1-），故所求距离为.223)232()211()13(222=-++-+-=d 14.设M 0是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s ，试证：点M 0到直线L的距离d =.证如图8-9，点M 0到直线L 的距离为d.由向量积的几何意义知s ⨯表示以M M 0，s 为邻边的平行四边形的面积.而表示以s 为边长的该平面四边形的高，即为点M 0到直线L 的距离.于是d =15.求直线0923,042=---=+-z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线的方程.解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.设过直线0923,042=---=+-z y x z y x 的平面束方程为,0)923(42=---++-z y x z y x λ经整理得.09)21()4()32(=--+--++λλλλz y x 由,01)21()1()4(4)32(=⋅-+-⋅--+⋅+λλλ得1113-=λ.代入平面束方程，得.0117373117=--+z y x 因此所求投影直线的方程为.14,0117373117=+-=--+z y x z y x 16.画出下列各平面所围成的立体的图形.（1）;012243,1,2,0,0,0=-++=====z y x y x z y x（2）.4,2,1,0,0yz y x z x =====解（1）如图8-10（a ）；（2）如图8-10（b ）.1.一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，-4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径.解设所求球面的方程为2222)()()(R c z b y a x =-+-+-，将已知点的坐标代入上式，得,2222R c b a =++（1）,)4(2222R c b a =++-（2）,)3()1(2222R c b a =+-+-（3）2222)4(R c b a =+++，（4）联立（1）（2）得,2=a 联立（1）（4）得,2-=c 将2=a 代入（2）（3）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为,9)2()1()2(222=++-+-z y x 其中球心坐标为),2,1,2(-半径为3.2.建立以点（1，3，-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.解设以点（1，3，-2）为球心，R 为半径的球面方程为,)2()3()1(2222R z y x =++-+-球面经过原点，故,14)20()30()10(2222=++-+-=R 从而所求球面方程为.14)2()3()1(222=++-+-z y x 3.方程0242222=++-++z y x z y x 表示什么曲面？解将已知方程整理成,)6()1()2()1(2222=++++-z y x所以此方程表示以（1，-2，-1）为球心，以6为半径的球面.4.求与坐标原点O 及点（2,3,4）的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解设动点坐标为（z y x ,,），根据题意有,21)4()3()2()0()0()0(222222=-+-+--+-+-z y x z y x 化简整理得.)2932()34()1()32(2222=+++++z y x 它表示以（34,1,32---）为球心，以2932为半径的球面.5.将xOz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以22z y +±代替抛物线方程x z 52=中的z ，得222)(z y +±x 5=，即x z y 522=+.注xOz 面上的曲线0),(=z x F 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为0),(22=+±z y x F .6.将xOz 坐标面上的圆922=+z x 绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以22y x +±代替圆方程922=+z x 中的x ，得,9)(2222=++±z y x 即.9222=++z y x7.将xOy 坐标面上的双曲线369422=-y x分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以22zy +±代替双曲线方程369422=-y x中的y ，得该双曲线绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为,36)(942222=+±-z y x 即.36)(94222=+-z y x 以22zx +±代替双曲线方程369422=-y x中的x ，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为,369)(42222=-+±y z x 即.369)(4222=-+y z x 8.画出下列各方程所表示的曲面：（1）;)2()2(222a y a x =+-（2）;19422=+-y x （3）;14922=+z x （4）;02=-z y （5）22x z-=.解（1）如图8-11（a ）；（2）如图8-11（b ）；（3）如图8-11（c ）；（4）如图8-11（d ）；（5）如图8-11（e ）.9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）;2=x （2）;1+=x y （3）;422=+y x（4）.122=-y x解（1）2=x 在平面解析几何中表示平行于y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与yOz 面平行的平面.（2）1+=x y在平面解析几何中表示斜率为1，y 轴截距也为1的一条直线，在空间解析几何中表示平行于z 轴的平面.（3）422=+y x在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2的圆，在空间解析几何中表示母线平行于z 轴，准线为0,422==+z y x 的圆柱面.（4）122=-y x在平面解析几何中表示以x 轴为实轴，y 轴为虚轴的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z轴，准线为,122==-z y x 的双曲柱面.10.说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）;1994222=++z y x （2）;14222=+-z y x （3）;1222=--z y x （4）.)(222y x a z+=-解（1）1994222=++z y x 表示xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz 面的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面.（2）14222=+-z y x 表示xOy 面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz 面的双曲线1422=+-z y 绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面.（3）1222=--z y x表示xOy 面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz 面的双曲线122=-z x 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面.（4）222)(y x a z+=-表示xOz 面上的直线a x z +=或a x z +-=绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz 面的直线a y z+=或a y z +-=绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.11.画出下列方程所表示的曲面：（1）;44222=++z y x（2）;44222=--z y x（3）.94322y x z +=解（1）如图8-12（a ）；（2）如图8-12（b ）；（3）如图8-12（c ）；12.画出下列各曲面所围立体的图形：（1）1,03,0,3,022=+=-=-==y x y x y x z z（在第一卦限内）；（2）222222,,0,0,0R z y R y x z y x =+=+===（在第一卦限内）.解（1）如图8-13所示；（2）如图8-14所示.1.画出下列曲线在第一卦限内的图形；（1）;2,1==y x （2）;0,422=---=yxyx z（3）.,222222a z x a y x =+=+解（1）如图8-15（a ）；（2）如图8-15（b ）；（3）如图8-15（c ）.2.指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）;32,15-=+=x y x y （2）.3,19422==+y y x 解（1）32,15-=+=x y x y 在平面解析几何中表示两直线的交点.在空间解析几何中表示两平面的交线，即空间直线.（2）3,19422==+y y x 在平面解析几何中表示椭圆19422=+y x 与其切线3=y 的交点，即切点.在空间解析几何中表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面3=y 的交线，即空间直线.3.分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线0,162222222=-+=++y z x z y x 的柱面方程.解在,162222222=-+=++y z x z y x 中消去x ，得,16322=-z y 即为母线平行于x 轴且通过已知曲线的柱面方程.在,162222222=-+=++y z x z y x 中消去y ，得,162322=+z x 即为母线平行于y 轴且通过已知曲线多的柱面方程.4.求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影的方程.解在1,9222=+=++z x z y x 中消去z ，得,9)1(222=-++x y x 即,82222=+-y x x它表示母线平行于z轴的柱面，故0,82222==+-z y x x 表示已知交线在xOy 面上的投影的方程.5.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）;,9222x y z y x ==++（2）.0,4)1()1(222==+++-z z y x解（1）将x y=代入,9222=++z y x 得,9222=+z x 取,cos 23t x =则,sin 3t z =从而可得该曲线的参数方程tz t y t x sin 3,cos 23,cos 23===（t ≤0˂π2）（2）将z=0代入,4)1()1(222=+++-z y x 得,3)1(22=+-y x 取,cos 31t x =-则,sin 3t y =从而可得该曲线的参数方程0,sin 3,cos 31==+=z t y t x （t ≤0˂π2）6.求螺旋线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解由θθsin ,cos a y a x==得,222a y x =+故该螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为,222==+z a y x 由θθb z a y ==,sin 得bza y sin =，故该螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为0,sin ==x bza y 由θθb z a x ==,cos 得,cos b za x =故故该螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为.0,cos ==y bza x 7.求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体a ax y x (22≤+>0)的公共部分在xOy 面和xOz 面上的投影.解如图8-16.所求立体在xOy 面上的投影即为ax y x ≤+22，而由axy x y x a z =+--=22222,得.2ax a z -=故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，z 轴及曲线ax a z-=2所围成的区域.8.求旋转抛物面)40(22≤≤+=z y x z在三坐标面上的投影解联立422=+=z y x z ，得422=+y x.故旋转抛物面在xOy面上的投影为.0,422=≤+z y x 如图8-17.联立0,22=+=x y x z 得,2y z=故旋转抛物面在yOz 面上的投影为2y z=及4=z 所围成的区域.同理，联立0,22=+=y y x z 得,2x z =故旋转抛物面在xOz 面上的投影为2x z=及4=z 所围成的区域.。

同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案(可编辑)

同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案(可编辑)

同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案习题 1?11. 设 A?∞, ?5∪5, +∞, B[?10, 3, 写出 A∪B, A∩B, A\B及 A\A\B的表达式解 A∪B?∞, 3∪5, +∞, A∩B[?10, ?5, A\B?∞, ?10∪5, +∞, A\A\B[?10, ?5C C C2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: A∩B A ∪B证明因为C C C C Cx∈A∩B ?x?A∩B? x?A或x?B? x∈A 或x∈Bx∈A ∪B ,C C C所以 A∩B A ∪B 3. 设映射 f : X →Y, A?X, B?X证明1fA∪BfA∪fB; 2fA ∩B?fA∩fB 证明因为 y∈fA∪B??x∈A∪B, 使 fxy?因为 x∈A 或 x∈B y∈fA或 y∈fB? y∈ fA∪fB,所以 fA∪BfA∪fB 2因为y∈fA∩Bx∈A∩B, 使fxy?因为 x∈A且 x∈B y∈fA且 y∈fB? y∈ fA∩fB,所以 fA∩B?fA∩fB 4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使 g f I , f g I , 其中I 、I 分别是X、X YX YY上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有I xx; 对于每一个y∈Y, 有I yy. 证明: f是双射, 且gX Y?1是f的逆映射: gf证明因为对于任意的y∈Y, 有xgy∈X, 且fxf[gy]I yy, 即Y中任意元素都是X中某y元素的像, 所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x ≠x , 必有fx ≠fx , 否则若fx fx ?g[ fx ]g[fx ]x x1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射对于映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有gyx∈X, 且满足fxf[gy]I yy, 按逆映射的y定义, g是f的逆映射 5. 设映射 f : X→Y, A?X证明: ?1 1f fA?A; ?1 2当f是单射时, 有f fAA ?1 ?1 证明 1因为x∈Afxy∈fAf yx∈f fA, ?1 所以 f fA?A1 2由1知f fA?A1 ?1 另一方面, 对于任意的x∈f fA?存在y∈fA, 使f yx?fxy因为y∈fA且f是单1 ?1射, 所以x∈A. 这就证明了f fA?A. 因此f fAA6. 求下列函数的自然定义域: 1 y 3x+2 ;2 2 解由 3x+2≥0 得 x 函数的定义域为[? , +∞3 31 2 y ;21?x2 解由 1?x ≠0得x≠±1函数的定义域为?∞, ?1∪?1, 1∪1, +∞12 3 y 1?x ;x2 解由x≠0 且 1?x ≥0得函数的定义域D[?1, 0∪0, 1]1 4 y ;24?x2 解由 4?x 0 得 |x|2函数的定义域为?2, 2 5 y sin x ;解由 x≥0 得函数的定义 D[0, +∞ 6 ytanx+1;ππx≠kπ + ?1解由 x+1≠ k0, ±1, ±2,得函数的定义域为 k0, ±1, ±2,2 2 7 yarcsinx?3; 解由|x?3|≤1 得函数的定义域 D[2, 4]1 8 y 3? x +arctan ;x 解由 3?x≥0 且 x≠0 得函数的定义域 D?∞, 0∪0, 3 9 ylnx+1; 解由 x+10 得函数的定义域 D?1, +∞1x 10 ye解由 x≠0 得函数的定义域 D?∞, 0∪0, +∞ 7. 下列各题中, 函数 fx和 gx是否相同?为什么? 2 1fxlg x , gx2lg x;2 2 fxx, gx x ;3 34 3 3 f x xx , gx x x?12 2 4fx1, gxsec x?tan x解 1不同因为定义域不同 2不同因为对应法则不同, x0时, gx?x 3相同因为定义域、对应法则均相相同 4不同因为定义域不同π|sin x| |x|πππ3 8. 设?x , 求? , ? , ?? , ??2, 并作出函数 y?x的图形π 64 4?0 |x|≥3ππ 1 ππ 2 ππ 2 解 ? |sin | , ? |sin | , ?? |sin? | , ??206 6 2 4 4 2 4 4 2 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:x 1 y , ?∞, 1;1? x 2yx+ln x, 0, +∞证明 1对于任意的x , x ∈?∞, 1, 有 1?x 0, 1?x 0. 因为当x x 时,1 2 1 2 1 2x x xx1 2 1 2yy 0,1 21? x 1? x 1? x 1? x1 2 1 2x所以函数 y 在区间?∞, 1内是单调增加的1? x 2对于任意的x , x ∈0, +∞, 当x x 时, 有1 2 1 2x1yy x +ln x ?x +ln x xx +ln 0,1 2 1 1 2 2 1 2x2所以函数 yx+ln x 在区间0, +∞内是单调增加的 10. 设 fx为定义在?l, l内的奇函数, 若 fx在0, l内单调增加, 证明 fx在?l, 0内也单调增加证明对于?x , x ∈?l, 0且x x , 有?x , ?x ∈0, l且?x ?x1 2 1 2 1 2 1 2 因为 fx在0, l内单调增加且为奇函数, 所以f?x f?x ,fx ?fx , fx fx ,2 1 2 1 2 1这就证明了对于?x , x ∈?l, 0, 有fx fx , 所以fx在?l, 0内也单调增加1 2 1 2 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间?l, l上的, 证明: 1两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; 2两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明1设Fxfx+gx. 如果fx和gx都是偶函数, 则F?xf?x+g?xfx+gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数如果 fx 和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x+g?x?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数2设Fxfx?gx. 如果fx和gx都是偶函数, 则F?xf?x?g?xfx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数如果 fx 和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x?g?x[?fx][?gx]fx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数如果fx是偶函数, 而gx是奇函数, 则F?xf?x?g?xfx[?gx]?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数?2 21yx 1?x ;2 32y3x ?x ;21?x3 y ;21+x4yxx?1x+1; 5ysin x?cos x+1;x ?xa +a6 y22 2 2 2 解 1因为f?x?x [1??x ]x 1?x fx, 所以fx是偶函数2 3 2 3 2由f?x3?x ??x 3x +x 可见fx既非奇函数又非偶函数221??x1? x 3因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数221+ x1+x 4因为f?x?x?x?1?x+1?xx+1x?1?fx, 所以fx是奇函数5由f?xsin?x?cos?x+1?sin x?cos x+1 可见 fx既非奇函数又非偶函数?x ??x ?x xa +a a +a 6因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数2 2 13. 下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期: 1ycosx?2; 2ycos 4x; 3y1+sin πx; 4yx cos x;25ysin x 解 1是周期函数, 周期为 l2ππ 2是周期函数, 周期为 l2 3是周期函数, 周期为 l2 4不是周期函数 5是周期函数, 周期为 lπ 14. 求下列函数的反函数:3 1 y x+1 ;1?x 2 y ;1+xax+b 3 y ad?bc≠0;cx+d 4 y2sin3x; 5 y1+lnx+2;x2 6yx2 +13 33 3 解 1由 y x+1得xy ?1, 所以 y x+1的反函数为yx ?11? y1?x 1?x 1?x 2由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 y1+x 1+ y 1+x 1+x?dy+bax+b ax+b ?dx+b 3由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 ycy?acx+d cx+d cx?ay1 1 x 4由 y2sin 3x 得 x arcsin, 所以 y2sin 3x的反函数为 y arcsin3 2 3 2y?1 x?1 5由y1+lnx+2得xe ?2, 所以y1+lnx+2的反函数为ye ?2x xy2 2 x 6由 y 得 xlog , 所以 y 的反函数为 ylog2 2x x2 +1 1? y 2 +1 1? x 15. 设函数 fx在数集 X 上有定义, 试证: 函数 fx在 X 上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界证明先证必要性. 设函数 fx在 X 上有界, 则存在正数 M, 使|fx|≤M, 即?M≤fx≤M. 这这就证明了 fx在 X 上有下界?M 和上界 M 再证充分性. 设函数fx在X 上有下界K 和上界K , 即K ≤fx≤ K取M|K |, |K |,1 2 1 2 1 2则M≤ K ≤fx≤ K ≤M ,1 2即 |fx|≤M这就证明了 fx在 X 上有界 16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 和x 的函数值:1 22 ππ 1 yu , usin x, x , x ;1 26 3ππ 2 ysin u, u2x, x , x ;1 28, 42 3 y u, u1+x , x 1, x 2;1 2u 2 4 ye , ux , x 0, x 1;1 22 x 5 yu , ue , x 1, x ?11 22 π 1 1 π3 32 2 2 2 解 1ysin x, y sin , y sin1 26 2 4 3 2 4ππ 2 ππ 2ysin2x, y sin2? sin , y sin2? sin 11 28 4 2 4 22 2 23 y, 1+ x y 1+1 2 , y 1+2 51 22 2 2x 0 1 4 y e , y e 1 , y e e1 22x 2?1 2 2??1 ?2 5ye , y e e , y e e1 2 17. 设 fx的定义域 D[0, 1], 求下列各函数的定义域:2 1 fx ; 2 fsinx; 3 fx+aa0; 4fx+a+fx?aa02 2 解 1由 0≤x ≤1 得|x|≤1, 所以函数fx 的定义域为[?1, 1] 2由0≤sin x≤1 得 2nπ≤x≤2n+1π n0, ±1, ±2 ?, 所以函数 fsin x的定义域为[2nπ, 2n+1π] n0, ±1, ±2 ?3由 0≤x+a≤1 得?a≤x≤1?a, 所以函数fx+a的定义域为[?a, 1?a]1 1 1 4由 0≤x+a≤1 且 0≤x?a≤1 得: 当 0a≤时, a≤x≤1?a; 当 a 时, 无解. 因此当 0a≤时2 2 21函数的定义域为[a, 1?a], 当 a 时函数无意义21 |x|1?x18. 设 f x 0 |x|1, gxe , 求f[gx]和g[fx], 并作出这两个函数的图形1 |x|1x1 |e |1 1 x0x解 f [gx] 0 |e |1 , 即 f [gx] 0 x0x1 |e |1 ?1 x0?1e |x| 1 e |x| 1f x 0 g[ f x ]e e |x|1, 即 g[ f x ] 1 |x|11 ?1?e |x|1 e |x|119. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角?40°图 1?37. 当过水断面ABCD的面积为定值S 时, 求湿周LLAC+CD+DB与水深h之间的函数关系式, 并说明定义域0图 1?37h 解 AbDC , 又从sin401h[BC +BC +2cot40 ?h]S 得2SBC ?cot40 ?h , 所以hS2?cos40L + hh sin 40 自变量 h 的取值范围应由不等式组Sh0, ?cot40 ?h0h确定, 定义域为 0h S cot400 20. 收敛音机每台售价为 90 元, 成本为 60 元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过 100 台以上的, 每多订购 1台, 售价就降低 1 分, 但最低价为每台 75 元 1将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数; 2将厂方所获的利润 P表示成订购量 x 的函数; 3某一商行订购了 1000 台, 厂方可获利润多少?解 1当 0≤x≤100时, p90令 0. 01x ?10090?75, 得x 1600. 因此当x≥1600 时, p750 0 当 100x1600 时, p90?x?100×0. 0191?0. 01x 综合上述结果得到90 0≤ x≤100 p 91?0.01x 100 x1600?75x≥1600 30x 0≤ x≤1002P p?60x 31x?0.01x 100 x1600 215xx≥16002 3 P31×1000?0. 01×1000 21000元习题 1 ?21. 观察一般项x 如下的数列x 的变化趋势, 写出它们的极限:n n1 1 x ;nn21n 2 x ?1 ;nn1x 2 + 3 ;n2nn ?1 4 x ;nn +1n 5 x n ?1n1 1x lim 0 解 1 当 n →∞时, →0,nn nn →∞2 21 1n n 2 当 n →∞时, x ?1 →0, lim ?1 0 nn →∞n n1 1 3 当 n →∞时, x2 + →2,lim2 + 2 n2 2n →∞n nn ?1 2 n ?1x 1lim 1 4 当 n →∞时, →0,nn →∞n +1 n +1 n +1n 5 当n→∞时, x n ?1 没有极限nn πcos2 2. 设数列x 的一般项 x 问 lim x ? 求出N, 使当nN 时, x 与其极限之差的n nn nn →∞n绝对值小于正数ε , 当ε 0.001 时, 求出数N 解 lim x 0nn →∞n π|cos |1 1 1 12 |x ?0| ≤? ε 0, 要使|x ?0| ε , 只要ε , 也就是 n 取 N [ ], nnn nn εε则?nN, 有|x ?0| εn1N [ ] 当ε 0.001 时, 1000ε 3. 根据数列极限的定义证明: 1 1 lim 0 ;2n →∞n3n +1 3lim 2 ;n →∞2n +1 22 2n +a 3 lim 1n →∞n 4 lim 0.999 9 1n →∞n 个1 1 1 12| ?0| ε n 1 分析要使 , 只须 , 即 n2 2εn n ε1 11 证明因为ε0,N [ ], 当 nN 时, 有| ?0| ε , 所以 lim 02 2n →∞1 13n +1 3 1 1 2 分析要使|| ε , 只须ε , 即 n2n +1 2 22n +1 4n4n 4 ε3n +1 31 3n +1 3 证明因为ε0,N [ ] , 当 nN 时, 有|| ε , 所以 lim n →∞4 ε 2n +1 2 2n +1 22 2 2 2 2 2 2n +a n +a ?n a a a 3 分析要使|, ?1| ε只须 n2 2n n n εn n +a +n2 2 2 2 2an +a n +a证明因为? ε0,N [ ] , 当?nN 时, 有| ?1| ε , 所以 lim 1n →∞ε n n11 1 4 分析要使|0.99 9 ?1| , 只须ε , 即 n 1 +lgεn ?1 n ?1ε1证明因为? ε0,N [1 +lg ] , 当?nN 时, 有|0.99 9 ?1| ε , 所以 lim 0.999 9 1n →∞εn 个 4. lim u a , 证明 lim |u | |a|并举例说明: 如果数列|x | 有极限, 但数列x 未必有n nn nn →∞ n →∞极限证明因为 lim u a , 所以? ε0, ?N ∈N, 当 nN 时, 有|u ?a| ε , 从而n nn →∞||u | ?|a|| ≤|u ?a| εn n这就证明了 lim|u | |a|nn →∞n n 数列|x | 有极限, 但数列x 未必有极限. 例如 lim| ?1 | 1, 但lim ?1 不存在n nn →∞ n →∞ 5. 设数列x 有界, 又 lim y 0 , 证明: lim x y 0 nn →∞ n →∞证明因为数列x 有界, 所以存在M, 使?n ∈Z, 有|x | ≤Mn nε又 lim y 0 , 所以ε0, ?N ∈N, 当 nN 时, 有| y | 从而当 nN 时, 有n nn →∞Mε |x y ?0| |x y | ≤M | y | M ε ,n n n n nM所以 lim x y 0n nn →∞ 6. 对于数列x 若x →a k →∞, x →a k →∞, 证明: x →a n →∞n 2k 2k +1 n 证明因为x →a k →∞, x →a k →∞, 所以ε0,2k 2k +1?K , 当 2k2K 时, 有| x ?a | ε ;1 1 2kK , ?当 2k+12K +1 时, 有| x ?a | ε2 2 2k+1取N 2K , 2K +1, 只要nN, 就有|x ?a | ε因此x →a n →∞1 2 n n 习题 1 ?31. 根据函数极限的定义证明: 1 lim3x ?1 8;x →3 2 lim5x +2 12;x →22x ?4 3 lim ?4;x → ?2x +231 ?4x 4 lim 21x →2x +121 证明 1 分析 |3x ?1 ?8| |3x ?9| 3|x ?3|, 要使|3x ?1 ?8| ε , 只须|x ?3| ε31 证明因为ε 0,δε , 当 0 |x ?3| δ时, 有|3x ?1 ?8| ε , 所以 lim3x ?1 8x →331 2 分析 |5x +2 ?12| |5x ?10| 5|x ?2|, 要使|5x +2 ?12| ε , 只须|x ?2| ε51δε证明因为ε 0,, 当 0 |x ?2| δ时, 有|5x +2 ?12| ε , 所以 lim5x +2 12x →252 2 2x ?4 x +4x +4 x ?4 3 分析 ? ?4 |x +2| |x ? ?2| , 要使 ? ?4 ε , 只须x +2 x +2 x +2|x ? ?2| ε2 2x ?4 x ?4 证明因为ε 0,δε , 当 0 |x ? ?2| δ时, 有 ? ?4 ε ,所以 lim ?4x → ?2x +2 x +2331 ?4x 1 1 ?4x 1 1 4 分析 , 要使 ?2 ε , 只须|x ?| ε 2 |1 ?2x ?2| 2|x ?|2x +1 2 2x +1 2 23 31 1 1 ?4x 1 ?4x 证明因为ε 0,δε , 当 0 |x ?| δ时, 有 ?2 ε , 所以 lim 212 2 2x +1 2x +1x →2 2. 根据函数极限的定义证明:31 + x 1 1 ;lim3x →∞22xsin x 2 lim 0x → +∞x33 3 31 + x 1 1 + xx 1 1 + x 1 1 证明 1 分析 , 要使ε , 只须ε , 即3 3 3 3 32 22x 2x 2|x| 2x 2|x|1|x| 32 ε 331 1 + x 11 + x 1 证明因为ε 0,X , 当|x| X 时, 有ε , 所以 lim3 33x →∞2 22x 2x2 εsin x |sin x| 1 sin x 1 1 2 分析 ?0 ≤ , 要使 ?0 ε , 只须ε , 即 x 2εx x x x x1sin x sin x 证明因为ε 0,X , 当 x X 时, 有 ?0 ε , 所以 lim 0 2x → +∞εx x2 3. 当x →2 时, y x →4. 问δ等于多少, 使当|x ?2| δ时, |y ?4|0. 001 ?2 解由于x →2, |x ?2| →0, 不妨设|x ?2| 1, 即 1 x 3. 要使|x ?4| |x +2||x ?2| 5|x ?2| 0. 001, 只要0.0012|x ?2| 0.0002, 取δ 0. 0002, 则当 0 |x ?2| δ时, 就有|x ?4| 0. 00152x ?1 4. 当x →∞时, y →1, 问X 等于多少, 使当|x|X 时, |y ?1|0.012x +32x ?1 44 解要使 ?1 0.01, 只 ,|x| ?3 397 X 3972 20.01x +3 x +3 5. 证明函数 fx |x| 当 x →0 时极限为零x |x| 6. 求 f x , ?x 当 x →0 时的左?右极限, 并说明它们在 x →0 时的极限是否存在x x 证明因为xlim f x lim lim 1 1,x →0 x →0 x x →0xlim f x lim lim 1 1,+ + +x →0 x →0 x x →0lim f x lim f x,? +x →0 x →0所以极限 lim f x 存在x →0 因为|x| ?xlim ?x lim lim ?1,x →0 x →0 x →0x x|x| xlim ?x lim lim 1,+ + +x →0 x →0 x →0x xlim ?x ≠ lim ?x,? +x →0 x →0所以极限 lim ?x 不存在x →0 7. 证明: 若 x →+ ∞及 x →?∞时, 函数 fx 的极限都存在且都等于 A, 则 lim f x Ax →∞证明因为 lim f x A , lim f x A , 所以? ε0,x → ?∞ x →+∞?X 0, 使当x ?X 时, 有|fx ?A| ε ;1 1?X 0, 使当x X 时, 有|fx ?A| ε2 2取XX , X , 则当|x| X时, 有|fx ?A| ε , 即 lim f x A1 2x →∞ 8. 根据极限的定义证明: 函数fx 当x →x 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性. 设fx →Ax →x , 则? ε0,δ 0, 使当 0|x ?x | δ时, 有0 0|fx ?A| ε因此当xδxx 和x xx + δ时都有0 0 0 0|fx ?A| ε这说明fx 当x →x 时左右极限都存在并且都等于A0 再证明充分性. 设fx ?0 fx +0 A, 则? ε0,0 0? δ 0, 使当xδ xx 时, 有| fx ?A ε ;1 0 1 0? δ 0, 使当x xx + δ时, 有| fx ?A| ε2 0 0 2取δ min δ , δ , 则当0|x ?x | δ时, 有xδ xx 及x xx + δ , 从而有1 2 0 0 1 0 0 0 2| fx ?A| ε ,即fx →Ax →x0 9. 试给出 x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理 : 如果 fx 当 x→∞时的极限存在 , 则存在 X0 及M 0 , 使当|x|X 时, |fx| M证明设 fx →Ax →∞ , 则对于ε 1 , ?X0 , 当|x| X 时, 有|fx ?A| ε 1所以|fx| |fx ?A+A| ≤|fx ?A| +|A| 1 +|A| 这就是说存在 X0 及 M 0 , 使当|x| X 时, |fx| M , 其中 M 1 +|A|习题1 ?41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小?举例说明之解不一定αx 2 αx 例如, 当 x →0 时, αx 2x, βx 3x 都是无穷小, 但 lim , 不是无穷小x →0β x 3 β x 2. 根据定义证明:2x ?9 1 y 当 x →3 时为无穷小;x +31 2 y xsin 当 x →0 时为无穷小x2x ?9 证明 1 当 x ≠3 时| y| |x ?3|因为ε 0,δε , 当 0 |x ?3| δ时, 有x +32x ?9| y| |x ?3| δε ,x +32x ?9所以当 x →3 时 y 为无穷小x +31 2 当 x ≠0 时| y| |x||sin | ≤|x ?0|因为? ε 0,δε , 当 0 |x ?0| δ时, 有x1| y| |x||sin | ≤|x ?0| δε ,x1所以当 x →0 时 y xsin 为无穷小x1 +2x 3. 根据定义证明: 函数 y 为当x →0 时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使x4|y|10 ?1 +2x 1 1 1 1 证明分析| y|2 + ≥ ?2 , 要使|y| M, 只须 ?2 M , 即|x|x x |x| |x| M +21 1 + 2x 证明因为 ?M 0,δ , 使当 0 |x ?0| δ时, 有 M ,M +2 x1 +2x所以当 x →0 时, 函数 y 是无穷大x1 14 4 取M 10 , 则δ当 0 |x ?0| 时, |y|104 410 +2 10 +2 4. 求下列极限并说明理由:2x +1 1 lim ;n →∞x21x 2 limx →01x2x +1 1 1 2x +1 解 1 因为 2 + , 而当 x→∞时是无穷小, 所以 lim 2n →∞x x x x2 21x 1x 2 因为 1 + x x ≠1, 而当 x →0 时 x 为无穷小, 所以 lim 1 x →01x 1x 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表: 6. 函数 y xcos x 在?∞, +∞内是否有界?这个函数是否为当 x →+∞时的无穷大?为什么?解函数 y xcos x 在?∞, +∞内无界这是因为?M 0, 在 ?∞, +∞内总能找到这样的 x, 使得|yx| M. 例如y2k π 2k π cos2k π 2k π k 0, 1, 2,,当 k 充分大时, 就有| y2k π| M 当 x →+ ∞时, 函数 y xcos x 不是无穷大这是因为?M 0, 找不到这样一个时刻 N, 使对一切大于 N 的 x, 都有|yx| M. 例如πππy2k π + 2k π + cos2k π + 0 k 0, 1, 2,,2 2 2π对任何大的 N, 当 k 充分大时, 总有 x 2k π + N , 但|yx| 0 M21 1+ 7. 证明: 函数 y sin 在区间0, 1] 上无界, 但这函数不是当x →0 时的无穷大x x1 1 证明函数 y sin 在区间0, 1] 上无界. 这是因为x xM 0, 在0, 1] 中总可以找到点x , 使yx M. 例如当k k1x k 0, 1, 2,kπ2k π +2时, 有πyx 2k π + ,k2当k 充分大时, yx Mk+当x →0 时, 函数 y sin 不是无穷大. 这是因为x xM 0, 对所有的δ 0, 总可以找到这样的点x , 使 0 x δ, 但yx M. 例如可取k k k1x k 0, 1, 2,,k2k π当k 充分大时, x δ, 但yx 2k πsin2k π 0 Mk k习题 1 ?51. 计算下列极限:2x +5 1 lim ;x →2x ?32 2x +5 2 +5 解 lim ?9x →2x ?3 2 ?32x ?3 2 lim ;2x → 3 x +1223 ?3x ?3 解 lim 02x → 3 x +13 +12x ?2x +1 3 lim ;2x →1x ?122x ?2x +1 x ?1 x ?1 0 解 lim lim lim 0 2x →1 x →1 x →1x ?1 x ?1x +1 x +1 23 24x ?2x +x 4 lim ;2x →03x +2x3 2 24x ?2x +x 4x ?2x +1 1 解 lim lim2x →0 x →03x + 2x 3x + 2 22 2x +h ?x 5 lim ;h →0h2 22 2 2x +h ?xx +2hx +h ?x 解 lim lim lim2x +h 2x h →0 h →0 h →0h h1 1 6 lim2+ ;2x →∞x x1 1 1 1 解 lim2+ 2lim + lim 22 2x →∞ x →∞ x →∞x x x x2x ?1 7 lim ;2x →∞2x ?x ?11122x 解 lim lim2x →∞ x ?xx →∞ 1 1 22 12?2x x2x +x 8 lim ;4 2x →∞x ?3x ?12x +x 解 lim 0 分子次数低于分母次数, 极限为零4 2x →∞x ?3x ?11 1+22 3x +xx x 或 lim lim 04 2x →∞ x →∞ 2 11?2 4x x2x6x + 8 9 lim ;2x →4x5x + 42x ?2x ?4x ?6x +8 x ?2 4 ?2 2lim lim lim 解2x →4 x →4 x →4x ?5x +4 x ?1x ?4 x ?1 4 ?1 31 1 10 lim1 +2 ;2x →∞x x1 1 1 1 解 lim1 +2 lim1 + lim2 1 ×2 22 2x →∞ x →∞ x →∞x x x x1 1 1 11 lim1 + + + + ;nn →∞2 4 21n +11 ?1 1 12 解 lim1 + + + + lim 2 nn →∞ n →∞ 12 4 2121 +2 +3 + +n ?1 12 lim ; 2n →∞nn ?1n1 +2 +3 + +n ?1 1 n ?1 12 解lim lim lim2 2n →∞ n →∞ n →∞n n 2 n 2n +1n +2n +3 13 lim ;3n →∞5nn +1n +2n +3 1 解 lim 分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比3n →∞ 5n 5n +1n +2n +31 123 1 或 lim lim1 + 1 + 1 +3n →∞ n →∞5n 5 n n n 51 3 14 lim ;3x →11 ?x 1 ?x21 ?xx +21 3 1 +x +x ?3 x +2lim lim ?lim ?lim ?1 解3 2 2 2x →1 x →1 x →1 x →11 ?x 1 ?x 1 ?x1 +x +x 1 ?x1 +x +x 1 +x +x 2. 计算下列极限:3 2x +2x 1 lim ;2x →223 2x ?20 x +2x 解因为 lim 0 , 所以 lim ∞3 2 2x →2 x →2x +2x 16 x ?22x 2 lim ;x →∞2x +12x 解 lim ∞因为分子次数高于分母次数x →∞2x +13 3 lim2x ?x +1x →∞3 解 lim2x ?x +1 ∞因为分子次数高于分母次数x →∞ 3. 计算下列极限:12 1 limx sin ;x →0x1 2 12 解 limx sin 0 当x →0 时, x 是无穷小, 而 sin 是有界变量x →0arctanx 2 limx →∞xarctanx 1 1 解 lim lim ?arctanx 0 当 x →∞时, 是无穷小, 而arctan x 是有界变量x →∞ x →∞x x x 4. 证明本节定理 3 中的2. 习题 1 ?61. 计算下列极限:sin ωx 1 lim ;x →0xsin ωx sin ωx 解 lim ω lim ωx →0 x →0x ωxtan3x 2 lim ;x →0xtan3x sin3x 1 解 lim 3lim3x →0 x →0x 3x cos3xsin2x 3 lim ;x →0sin5xsin2x sin2x 5x 2 2 解 lim lim?x →0 x →0sin5x 2x sin5x 5 5 4 lim x cot x ;x →0x x 解 lim xcot x lim ?cosx lim ?limcosx 1x →0 x →0 x →0 x →0sin x sin x1 ?cos2x 5 lim ;x →0xsin x21 ?cos2x 1 ?cos2x 2sin x sin x2 解法一 lim lim lim 2lim 22 2x →0 x →0 x →0 x →0xsin x x x x21 ?cos2x 2sin x sin x 解法二 lim lim 2lim 2x →0 x →0 x →0xsin x xsin x xxn 6 lim 2 sin x 为不等于零的常数nn →∞2xsinnxn2 解 lim2 sin lim ?x xnxn →∞ n →∞2n2 2. 计算下列极限:1x 1 lim1 ?x ;x →01 11?1?1?1?x ?xx 解 lim1x lim[1 + ?x] lim[1 + ?x] e x →0 x →0 x →01x 2 lim1 +2x ;x →01 1 1?222x 2x 2x 解 lim1 +2x lim1 +2x [ lim1 +2x ] ex →0 x →0 x →01 + x2x 3 lim ;x →∞x1 + x 1 22x x 2[ ] 解 lim lim1 + ex →∞ x →∞x x1kx 4 lim1 k 为正整数x →∞x1 1kx ?x ?k ?k 解 lim1 lim1 + ex →∞ x →∞xx 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则 I ′解 4. 利用极限存在准则证明:1 1 lim 1 + 1;n →∞ n1 1 证明因为1 1 + 1 + ,n n1而lim1 1 且 lim1 + 1,n →∞ n →∞ n1由极限存在准则 I, lim 1 + 1n →∞n1 1 12 limn + + + 1;2 2 2n →∞n + π n +2 π n +n π证明因为2 2n 1 1 1 nn + + + ,2 2 2 2 2n +n π n + π n +2 π n +n π n + π2 2n n而lim 1, lim 1,2 2n →∞ n →∞n +n π n + π1 1 1所以 limn + + + 12 2 2n →∞ n + π n +2 π n +n π 3 数列 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , 的极限存在; 证明 x 2 , x 2 + x n 1, 2, 3,1 n +1 n 先证明数列x 有界. 当n 1 时 x2 2 , 假定n k 时x 2, 当n k +1 时,n k1x 2 + x 2 +2 2,k +1 k所以x 2n 1, 2, 3,, 即数列x 有界n n 再证明数列单调增22 + xx ?x ?2x +1n n n nxx 2 + xx ,n +1 n n n2 + x + x 2 + x + xn n n n而x ?2 0, x +1 0, 所以x ?x 0, 即数列x 单调增n n n +1 n n 因为数列x 单调增加有上界, 所以此数列是有极限的nnlim 1 + x 1 4 ;x →0 证明当|x| ≤1 时, 则有n 1 +x ≤1 +|x| ≤1 +|x| ,n 1 +x ≥1 ?|x| ≥1 ?|x| ,n从而有 1 ?|x| ≤ 1 + x ≤1 +|x|因为 lim1 ?|x| lim1 +|x| 1,x →0 x →0根据夹逼准则, 有nlim 1 + x 1x →01 5 lim x [ ] 1+x →0 x1 1 1 1 证明因为 ?1 [ ] ≤ , 所以1x x [ ] ≤1x x x x1 又因为 lim 1x lim 1 1 , 根据夹逼准则, 有 lim x [ ] 1+ + +x →0 x →0 x →0x习题 1?72 23 1. 当x→0 时, 2x?x 与x ?x 相比, 哪一个是高阶无穷小?2 3 2x ?x x?x 解因为 lim lim 0,2x→0 x→02?x2x?x2 3 2 3 2所以当x→0 时, x ?x 是高阶无穷小, 即x ?x o2x?x13 2 2. 当x→1 时, 无穷小 1?x 和11?x , 2 1x 是否同阶?是否等价? 23 21?x 1?x1+x+x2 解 1 因为 lim lim lim1+x+x 3,x→1 x→1 x→11?x 1?x3所以当x→1 时, 1?x 和 1?x 是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小121?x12 2 因为 lim lim1+x1,x→1 x→11?x 212所以当x→1 时, 1?x 和 1?x 是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小2 3. 证明: 当x→0 时, 有: 1 arctanx~x;2x 2 secx?1~2arctanx y 证明 1 因为 lim lim 1 提示: 令yarctan x, 则当x→0 时, y →0,x→0 y→0x tany所以当x→0 时, arctanx~xx x22sin 2sin2secx?1 1?cosx2 2 2 因为 lim 2lim lim lim 1,2 2x→0 x→0 x→0 x→01 x2 x cosx xx2 222x所以当x→0 时, secx?1~2 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:tan3x 1 lim ;x→02xnsinx 2 lim n, m 为正整数;mx→0sinxtanx?sinx 3 lim ;3x→0sin xsinx?tanx 4 limx→0 3 21+x ?1 1+sinx ?1tan3x 3x 3 解 1 lim lim x→0 x→02x 2x 21 nmnnsinx x 2 lim lim 0 nmm mx→0 x→0sinx x∞nm1 12sinx ?1 xtanx?sinx 1?cosx 1cosx2 3 lim lim lim lim3 3 2 2x→0 sin x x→0 sin x x→0 cosxsin x x→0x cosx 2 4 因为。

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-2

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-2

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-2 1. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数. 解 x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 2. 求由参数表示式⎰=t udu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t , t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+x y ttdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 解 方程两对x 求导得0cos =+'x y e y ,于是 ye x dx dy cos-=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=x t dt te x I 02)(有极值？ 解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0,所以x =0是函数I (x )的极小值点.5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π. 解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt tdx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ)cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-=)sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-=)sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-=)sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分:(1)⎰+-adx x x 02)13(; 解 a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. (2)⎰+2142)1(dx xx ; 解 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ; 解 94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰ 6145)421432()921932(223223=+-+=. (4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解 3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+a x a dx 3022; 解 a a a a xa x a dx aa 30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰. (7)⎰-1024x dx ; 解 60arcsin 21arcsin 2arcsin 410102π=-==-⎰x x dx . (8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 013012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=. (9)⎰---+211e x dx ; 解 1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x x dx e e . (10)⎰402tan πθθd ; 解 4144tan )(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d . (11)dx x ⎰π20|sin |; 解 ⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x πππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4.(12)⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 211 1)(2x x x x x f . 解 38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin . 证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k k k k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k k k k x k k kxdx 0cos 1cos 1=+-=ππk kk k . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题:(1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx . 证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 9. 求下列极限:(1)x dt t x x ⎰→020cos lim;(2)⎰⎰→x t x t x dt te dt e 0220022)(lim .解 (1)11cos lim cos lim 20020==→→⎰x x dt t x x x . (2)22222200002200)(2lim )(lim x xt x t x xt x t x xe dt e dt e dtte dt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→ 22222002002lim 2lim x x t x x x xt x xe dt e xe edt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx ===⎰⎰ϕ; 当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xx ϕ. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ; 当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x x xx ϕ; 当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x -=+==⎰⎰⎰ 10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(. 12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x adt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f x a -=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=. 由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F .。

同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC

同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)

同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)

习题3-31. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解 设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f =-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解 因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f '(0)=-9, f ''(0)=60, f '''(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+==1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为24)4(==f , 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f , 328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1). 4. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--; kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1), 所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n n n x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. 5. 求函数x x f 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f (x )=x -1, f '(x )=(-1)x -2, f ''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , 1)1()(!)1()( )2)(1()(++--=-⋅⋅⋅--=n n n n xn xn x f ; !)1(!)1()1(1)(k k fk k k -=--=-+(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n nn x n f x n f ξ 12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1). 6. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解 因为 f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x xx x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2,所以 4523)(c o s 3]2)()[s i n s i n (31t a nx x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 7. 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为 f '(x )=e x +xe x ,f ''(x )=e x +e x +xe x =2e x +xe x , f '''(x )=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ; f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1 !2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.8. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.解 因为公式62132x x x e x+++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为 43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时，按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的误差 01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ.645.1)21(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e .9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin18︒.解 (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-⋅+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅+≈---10724.3)3531311(31063≈+-+≈, 其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR .(2) 已知43!4s i n !31s i n x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间),所以 sin 18︒3090.0)10(!311010sin 3≈-≈=πππ,其误差为44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR . 10. 利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x x x x --++∞→;(2))]1ln([cos lim2202x x x e x x x -+--→;(3)2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→. 解 (1)tt t xx x x x x x t x x 430434343232131lim 12131lim)23(lim --+=--+=--++→+∞→+∞→.因为)(1313t o t t ++=+,)(211214t o t t +-=-, 所以23])(23[lim )](211[)](1[lim)23(lim 00434323=+=+--++=--++→+→+∞→t t o t t o t t o t x x x x t t x . (2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim)]1ln([cos lim1344244202202x x xx x xx o x x x o x x x x x e x -++⋅+--++-=-+-→-→010)1l n (1)(121lim 11340=+=-++-=-→e x x x o x x x . (3)2442442442202220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2xx o x x x o x x x o x x x x e x x x x x x +++-++-+-+-+=-+-+→→ 12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=⋅+--+=→→x x o x x x o x o x x x x o x x x .习题3-41. 判定函数f (x )=arctan x -x 单调性.解 因为011111)(22≤+-=-+='x x x f , 且仅当x =0时等号成立, 所以f (x )在(-∞, +∞)内单调减少.2. 判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解 因为f '(x )=1-sin x ≥0, 所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7;(2)xx y 82+=(x >0);(3)x x x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3;(6))0())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x (n >0, x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2) 0)2)(2(28222=+-=-='x x x x y ,令y '=0得驻点x 1=2, x 2=-2(舍去).因为当x >2时, y >0; 当0<x <2时, y '<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +∞)内单调增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.(4)因为011)1221(11222>+=++++='x x x x x y , 所以函数在(-∞, +∞)内单调增加. (5) y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x . 因为当21<x 时, y '<0; 当21>x 时, y '>0, 所以函数在]21 ,(-∞内单调减少, 在) ,21[∞+内单调增加.(6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=', 驻点为321a x =, 不可导点为22a x =, x 3=a .列表得可见函数在)2 ,(a -∞, ]32 ,2(a a , (a , +∞)内单调增加, 在) ,32[a a 内单调减少.(7)y '=e -x x n -1(n -x ), 驻点为x =n . 因为当0<x <n 时, y '>0; 当x >n 时, y '<0, 所以函数在[0, n ]上单调增加, 在[n , +∞)内单调减少.(8)⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+=πππππππk x k x x k x k x x y 22sin 2 2sin (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+='πππππππk x k x k x k x y 2 2c o s 212 2c o s 21(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). y '是以π为周期的函数, 在[0, π]内令y '=0, 得驻点21π=x , 652π=x , 不可导点为23π=x .列表得根据函数在[0, π]上的单调性及y '在(-∞, +∞)的周期性可知函数在]32 ,2[πππ+k k 上单调增加, 在]22 ,32[ππππ++k k 上单调减少(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 证明下列不等式: (1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时, 331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x , 也就是 x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为 0)1l n (1)11(11)1l n ()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1l n (122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++.(3)设f (x )=sin x +tan x -2x , 则f (x )在)2,0[π内连续,f '(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 22cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=. 因为在)2 ,0(π内cos x -1<0, cos 2x -1<0, -cos x <0, 所以f '(x )>0, 从而f (x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即sin x +tan x -2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设331tan )(x x x x f --=, 则f (x )在)2 ,0[π内连续,))(t a n (t a n t a n 1s e c )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--='. 因为当20π<<x 时, tan x >x , tan x +x >0, 所以f '(x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即031t a n 3>--x x x ,也就是 231t a n x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0, 也就是2x >x 2. 5. 讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根？解 设f (x )=ln x -ax . 则f (x )在(0, +∞)内连续, xax a x x f -=-='11)(, 驻点为a x 1=.因为当ax 10<<时, f '(x )>0, 所以f (x )在)1 ,0(a 内单调增加; 当a x 1>时, f '(x )<0, 所以f (x )在) ,1(∞+a内单调减少. 又因为当x →0及x →+∞时, f (x )→-∞, 所以如果011ln )1(>-=a a f , 即e a 1<, 则方程有且仅有两个实根; 如果011ln )1(<-=aa f , 即e a 1>, 则方程没有实根. 如果011ln )1(=-=a a f , 即e a 1=, 则方程仅有一个实根. 6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子: f (x )=x +sin x .解 单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-∞,+∞)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上, f '(x )=1+cos x ≥0,这就明f (x )在(-∞, +∞)内是单调增加的. f ''(x )=-sin x 在(-∞, +∞)内不保持确定的符号, 故f '(x )在(-∞, +∞)内不是单调的.7. 判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2 ; (2) y =sh x ;(3)xy 11+=(x >0);(4) y =x arctan x ; 解 (1)y '=4-2x , y ''=-2,因为y ''<0, 所以曲线在(-∞, +∞)内是凸的. (2)y '=ch x , y ''=sh x . 令y ''=0, 得x =0.因为当x <0时, y ''=sh x <0; 当x >0时, y ''=sh x >0, 所以曲线在(-∞, 0]内是凸的, 在[0, +∞)内是凹的.(3)21x y -=', 32x y =''. 因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在(0, +∞)内是凹的. (4)21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ;(4) y =ln(x 2+1); (5) y =e arctan x ; (6) y =x 4(12ln x -7),解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720 ,35(.(2)y '=e -x -xe -x , y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.(4)122+='x x y , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(5)2arctan 11x e y x+⋅=',)21(12arctan x x e y x-+=''. 令y ''=0得, 21=x . 因为当21<x 时, y ''>0; 当21>x 时, y ''<0, 所以曲线y =e arctg x 在]21 ,(-∞内是凹的,在) ,21[∞+内是凸的, 拐点是) ,21(21arctane. (6) y '=4x 3(12ln x -7)+12x 3, y ''=144x 2⋅ln x . 令y ''=0, 得x =1.因为当0<x <1时, y ''<0; 当x >1时, y ''>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +∞)内是凹的, 拐点为(1, -7).9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:(1) nn n y x y x )2()(21+>+(x >0, y >0, x ≠y , n >1);(2))(22y x e e e yx y x ≠>++;(3)2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+ (x >0, y >0, x ≠y ). 证明 (1)设f (t )=t n , 则f '(t )=nt n -1, f ''(t )=n (n -1)t n -2. 因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=t n 在区间(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 nn n y x y x )2()(21+>+.(2)设f (t )=e t , 则f '(t )=e t , f ''(t )=e t . 因为f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=e t 在(-∞, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x , y ∈(-∞, +∞), x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 )(22y x ee e yx yx ≠>++.(3)设f (t )=t ln t , 则 f '(t )=ln t +1, tt f 1)(=''.因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+. 10. 试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明 222)1(12+++-='x x x y ,323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=''x x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, 322-=x , 323+=x . 例表得可见拐点为(-1, -1), ))32(431 ,32(---, ))32(431 ,32(+++. 因为41)1(32)1()32(431=-------, 41)1(32)1()32(431=--+--++,所以这三个拐点在一条直线上.11. 问a 、b 为何值时, 点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解 y '=3ax 2+2bx , y ''=6ax +2b . 要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点, 必须y (1)=3且y ''(1)=0, 即a +b =3且6a +2b =0, 解此方程组得23-=a , 29=b .12. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d , 使得x =-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 解 y '=3ax 2+2bx +c , y ''=6ax +2b . 依条件有⎪⎩⎪⎨⎧=''=-'-==-0)1(0)2(10)1(44)2(y y y y , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a .解之得a =1, b =-3, c =-24, d =16.13. 试决定y =k (x 2-3)2中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y '=4kx 3-12kx , y ''=12k (x -1)(x +1). 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.因为在x 1=-1的两侧y ''是异号的, 又当x =-1时y =4k , 所以点(-1, 4k )是拐点. 因为y '(-1)=8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814+-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即kk 814-=-, 82±=k .同理, 因为在x 1=1的两侧y ''是异号的, 又当x =1时y =4k , 所以点(1, 4k )也是拐点.因为y '(1)=-8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即k k 814-=-, 82±=k .因此当82±=k 时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.14. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ''(x 0)=0, 而f '''(x 0)≠0,试问 (x 0, f (x 0))是否为拐点？为什么？解 不妨设f '''(x 0)>0. 由f '''(x )的连续性, 存在x 0的某一邻域(x 0-δ, x 0+δ), 在此邻域内有f '''(x )>0. 由拉格朗日中值定理, 有f ''(x )-f ''(x 0)=f '''(ξ)(x -x 0) (ξ介于x 0与x 之间), 即 f ''(x )=f '''(ξ)(x -x 0).因为当x 0-δ<x <x 0时, f ''(x )<0; 当x 0<x <x 0+δ 时, f ''(x )>0, 所以(x 0, f (x 0))是拐点.习题3-51. 求函数的极值: (1) y =2x 3-6x 2-18x +7; (2) y =x -ln(1+x ) ; (3) y =-x 4+2x 2 ; (4)x x y -+=1;(5)25431x xy ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e xcos x ;(8)xx y 1=;(9)31)1(23+-=x y ; (10) y =x +tan x .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在 (2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-∞, 1], )112(1243121121211+---=---=--='x x x xx xy ,令y '=0, 得驻点43=x .因为当43<x 时, y '>0; 当143<<x 时, y '<0, 所以45)1(=y 为函数的极大值.(5)函数的定义为(-∞, +∞), 32)54()512(5x x y +--=', 驻点为512=x . 因为当512<x 时, y '>0; 当512>x 时, y '<0, 所以函数在512=x 处取得极大值, 极大值为10205)512(=y . (6)函数的定义为(-∞, +∞), 22)1()2(+++-='x x x x y , 驻点为x 1=0, x 2=-2.列表可见函数在x =-2处取得极小值3, 在x =0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-∞, +∞). y '=e x (cos x -sin x ), y ''=-e x sin x .令y '=0, 得驻点ππk x 24+=, ππ)1(24++=k x , (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).因为0)24(<+''ππk y , 所以22)24(24⋅=++ππππk e k y 是函数的极大值. 因为y ''0])1(24[>++ππk , 所以22])1(24[)1(24⋅-=++++ππππk e k y 是函数的极小值. (8)函数xx y 1=的定义域为(0, +∞),)ln 1(121x x x y x-⋅='. 令y '=0, 得驻点x =e .因为当x <e 时, y '>0; 当x >e 时, y '<0, 所以ee e y 1)(=为函数f (x )的极大值.(9)函数的定义域为(-∞, +∞), 3/2)1(132+-='x y , 因为y '<0, 所以函数在(-∞, +∞)是单调减少的, 无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为ππk x +≠2(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为y '=1+sec 2x >0, 所以函数f (x )无极值.2. 试证明: 如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2 -3ac <0, 那么这函数没有极值 . 证明y '=3a x 2+2b x +c . 由b 2 -3ac <0, 知a ≠0. 于是配方得到y '=3a x 2+2b x +c ab ac a b x a a c x a b x a 33)3(3)332(32222-++=++=,因3ac -b 2>0, 所以当a >0时, y '>0; 当a <0时, y '<0. 因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数, 没有极值.3. 试问a 为何值时, 函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 f '(x )=a cos x +cos 3x , f ''(x )=-a sin x -3 sin x .要使函数f (x )在3π=x 处取得极值, 必有0)3(='πf , 即0121=-⋅a , a =2 .当a =2时, 0232)3(<⋅-=''πf . 因此, 当a =2时, 函数f (x )在3π=x 处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为3)23(=f .4. 求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4; (2) y =x 4-8x 2+2, -1≤x ≤3 ; (3)x x y -+=1, -5≤x ≤1.解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2)y '=4x 3-16x =4x (x 2-4), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=2, y (2)=-14, y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=-14, 最大值为y (3)=11.(3)xy --='1211, 令y '=0, 得43=x . 计算函数值得65)5(+-=-y , 45)43(=y , y (1)=1,经比较得出函数的最小值为65)5(+-=-y , 最大值为45)43(=y .5. 问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值. 解 y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.6. 问函数x x y 542-=(x <0)在何处取得最小值？解 2542x x y +=', 在(-∞, 0)的驻点为x =-3. 因为31082xy -='', 0271082)3(>+=-''y ,所以函数在x =-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x =-3处取得最小值, 最小值为27)3(=-y .7. 问函数12+=x xy (x ≥0)在何处取得最大值？解 222)1(1+-='x x y . 函数在(0, +∞)内的驻点为x =1.因为当0<x <1时, y '>0; 当x >1时y '<0, 所以函数在x =1处取得极大值. 又因为函数在(0, +∞)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=21.8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm 长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 设宽为x 长为y , 则2x +y =20, y =20-2x , 于是面积为 S = xy =x (20-2x )=20x -2x 2. S '=20-4x =4(10-x ), S ''=-4. 令S '=0, 得唯一驻点x =10.因为S ''(10)-4<0, 所以x =10为极大值点, 从而也是最大值点. 当宽为5米, 长为10米时这间小屋面积最大.9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解 由V =π r 2h , 得h =V π-1r -2. 于是油罐表面积为S =2π r 2+2π rh rVr 222+=π(0<x <+∞),224r Vr S -='π.令S '=0, 得驻点32πV r =. 因为0443>+=''r V S π, 所以S 在驻点32πVr =处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为r r Vh 2 20==π. 底直径与高的比为2r : h =1 : 1.10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省.11. 设有重量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数μ=0.25, 问力F 与水平线的交角α为多少时, 才可使力F 的大小为最小？解 由F cos α =(m -F sin α)μ 得αμαμsin cos +=m F (2 0πα≤≤),2)sin (cos )cos (sin αμααμαμ+-='m F , 驻点为 α = arctan μ.因为F 的最小值一定在)2 ,0(π内取得, 而F 在)2,0(π内只有一个驻点α = arctan μ,所以α=arctan μ一定也是F 的最小值点. 从而当α=arctan0.25=14︒时, 力F 最小. 12. 有一杠杆, 支点在它的一端. 在距支点0.1m 处挂一重量为49kg 的物体. 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m , 求最省力的杆长?解 设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F , 则有1.049521⋅+⋅=x x xF , 即)0(9.425>+=x x x F .29.425xF -=',驻点为x =1.4. 由问题的实际意义知, F 的最小值一定在(0, +∞)内取得, 而F 在(0, +∞)内只有一个驻点x =1.4, 所以F 一定在x =1.4m 处取得最小值, 即最省力的杆长为1.4m . 13. 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图),问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？ 解 漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π). 2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.14. 某吊车的车身高为1.5m , 吊臂长15m , 现在要把一个6m 宽、2m 高的屋架, 水平地吊到6m 高的柱子上去(如图), 问能否吊得上去？解 设吊臂对地面的倾角为ϕ时, 屋架能够吊到的最大高度为h . 在直角三角形∆EDG 中 15sin ϕ=(h -1. 5)+2+3tan ϕ,故 21tan 3sin 15--=ϕϕh ,ϕϕ2cos 3cos 15-='h . 令h '=0得唯一驻点5451arccos 3≈=ϕ︒.因为0cos sin 6sin 153<--=''ϕϕϕh , 所以ϕ=54︒为极大值点, 同时这也是最大值点. 当ϕ=54︒时, 5.721tan 3sin 15≈--=ϕϕh m .所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m 高, 现只要求水平地吊到6m 处, 当然能吊上去. 15. 一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R .令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.习题3-6描绘下列函数的图形: 1. )786(5124++-=x x x y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)23)1)(2(54)8124(51-+=+-='x x x x y ,)1)(1(512)33(542-+=-=''x x x y ,令y '=0, 得x =-2, x =1; 令y ''=0, 得x =-1, x =1.(3)列表(4)作图:2.21xx y +=;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x ≥0时函数的图形.(3)22)1()1)(1(x x x y ++--=', 32)1()3)(3(2x x x x y ++-='',当x ≥0时, 令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得x =0, 3=x .(4)列表(5)有水平渐近线y =0; (6)作图:3.2)1(--=x e y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞); (2))]221()][221([4)1(222)1()1(--+-=''--='----x x e y e x y x x ,令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得221+=x ,221-=x .(3)列表(4)有水平渐近线y =0; (5)作图: 4.xx y 12+=;解 (1)定义域为(-∞, 0)⋃(0, +∞); (2)2321212xx xx y -=-=',333)1(222x x x y +=+='',令y '=0, 得321=x ; 令y ''=0, 得x =-1.(3)列表(4)有铅直渐近线x =0; (5)作图: 5.xxy 2cos cos =.解 (1)定义域为42ππ+≠n x (n =0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅)(2)是偶函数, 周期为2 . 可先作[0, ]上的图形, 再根据对称性作出[-, 0)内的图形, 最后根据周期性作出[-, ]以外的图形; (3)xx x y 2cos )sin 23(sin 22-=',xx x x y 2cos )sin 4sin 123(cos 342-+⋅='',在[0,]上, 令y '=0, 得x =0, x =; 令y ''=0, 得2π=x .(4)列表(5)有铅直渐近线4π=x 及43π=x ;(6)作图:习题3-71. 求椭圆4x 2+y 2=4在点(0, 2)处的曲率. 解 两边对x 求导数得8x +2yy '=0, y x y 4-=', 244y y x y y '--=''.y '|(0, 2)=0, y ''|(0, 2)=-2.所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+-='+''=y y K .2. 求曲线y =lnsec x 在点(x , y )处的曲率及曲率半径.解 x x x xy tan tan sec sec 1=⋅⋅=', x y 2sec =''.所求曲率为|cos |)tan 1(|sec |)1(||2/3222/32x x x y y K =+='+''=, 曲率半径为 |sec ||cos |11x x K ===ρ.3. 求抛物线y =x 2-4x +3在其顶点处的曲率及曲率半径. 解 y '=2x -4, y ''=2.令y '=0, 得顶点的横坐标为x =2. y '|x =2=0, y ''|x =2=2. 所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+='+''=y y K , 曲率半径为211==K ρ.4. 求曲线x =a cos 3t , y =a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解 t x a t a y tan )cos ()sin (33-=''=', tt a x a x y 43cos sin 31)cos ()tan (⋅=''-=''. 所求曲率为|2sin |32|cos sin 31|)tan 1(|cos sin 31|)1(||32/3242/32t a t t a t t t a y y K ==+⋅='+''=, |2sin |3200t a K t t ==.5. 对数曲线y =ln x 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解 x y 1=', 21xy -=''.2/322/3222/32)1()11(|1|)1(||x x xx y y K +=+-='+''=, xx 232)1(+=ρ,2222232212)12(1)1(2)1(23x x x x x x x x --=+-⋅⋅+='ρ.令ρ'=0, 得22=x . 因为当220<<x 时, ρ<0; 当22>x 时, ρ>0, 所以22=x 是ρ的极小值点, 同时也最小值点. 当22=x 时, 22ln =y . 因此在曲线上点)22ln ,22(处曲率半径最小, 最小曲率半径为233=ρ. 6. 证明曲线axa y ch =在点(x , y )处的曲率半径为a y 2.解 a x y sh =', axa y ch 1=''.在点(x , y )处的曲率半径为a y a x a a x a a xa x a a x y y 222/322/322/32ch |ch 1|)(ch |ch 1|)sh 1(||)1(===+='''+=ρ.7. 一飞机沿抛物线路径100002x y =(y 轴铅直向上, 单位为m )作俯冲飞行, 在坐标原点O 处飞机的速度为v =200m /s 飞行员体重G =70Kg . 求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员的反力.解 5000100002x x y ==', 50001=''y ; y '|x =0=0, 50001|0=''=x y . 500050001)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ.向心力56050002007022=⨯==ρmV F (牛顿). 飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79⨯9.8+560=1246(牛顿).8. 汽车连同载重共5t , 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6km/h , 桥的跨度为10m , 拱的矢高为0.25m . 求汽车越过桥顶时对桥的压力.解 如图取直角坐标系, 设抛物线拱桥方程为y =ax 2, 由于抛物线过点(5, 0.25), 代入方程得01.02525.0==a ,于是抛物线方程为y =0. 01x 2. y '=0.02x , y ''=0.02.5002.0)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ. 向心力为360050)3600106.21(1052332=⨯⨯==ρmV F (牛顿). 因为汽车重为5吨, 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 5⨯103⨯9.8-3600=45400(牛顿).*9. 求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.*10. 求曲线y =tan x 在点)1 ,4(π处的曲率圆方程.*11. 求抛物线y 2=2px 的渐屈线方程.总习题三1. 填空:设常数k >0, 函数k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________.解 应填写2.提示: e x x f 11)(-=', 21)(xx f -=''.在(0, +∞)内, 令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为f ''(x )<0, 所以曲线k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x =e 一定是最大值点,最大值为f (e )=k >0.又因为-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)-f (0)或f (0)-f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)-f (0); (B )f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0); (C )f (1)-f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)-f (1)>f '(0). 解 选择B .提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)-f (0)=f '(ξ), ξ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)-f (0)>f '(0).3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a , b ]上连续, 在(a ,b )内除某一点外处处可导, 但在(a , b )内不存在点ξ , 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 解 取f (x )=|x |, x ∈[-1, 1].易知f (x )在[-1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=-1; f '(0)不存在, 即f (x )在[-1, 1]上除x =0外处处可导.注意f (1)-f (-1)=0, 所以要使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))成立, 即f '(ξ)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)内不存在点ξ , 使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1)). 4. 设k x f x ='∞→)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞→.解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '(ξ )⋅a , ξ 介于x +a 与x 之间. 当x →∞ 时, ξ → ∞, 于是ak f a a f x f a x f x x ='=⋅'=-+∞→∞→∞→)(lim )(lim )]()([lim ξξξ.5. 证明多项式f (x )=x 3-3x +a 在[0, 1]上不可能有两个零点.证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2-1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点.6. 设1210++⋅⋅⋅++n a aa n =0, 证明多项式f (x )=a 0+a 1x +⋅ ⋅ ⋅+a n x n 在(0,1)内至少有一个零点.证明 设121012)(+++++=n n x n a x ax a x F , 则F (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F (0)=F (1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F '(x )=f (x ), 所以f (x )在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0.8. 设0<a <b , 函数f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a , b )使abf b f a f ln )()()(ξξ'=-.证明 对于f (x )和ln x 在[a , b ]上用柯西中值定理, 有ξξ1)(ln ln )()(f ab a f b f '=--, ξ∈(a , b ), 即 abf b f a f ln )()()(ξξ'=-, ξ∈(a , b ).9. 设f (x )、g (x )都是可导函数, 且|f '(x )|<g '(x ), 证明: 当x >a 时, |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).证明 由条件|f '(x )|<g '(x )得知,1)()(<''ξξg f , 且有g '(x )>0, g (x )是单调增加的, 当x >a 时, g (x )>g (a ).因为f (x )、g (x )都是可导函数, 所以f (x )、g (x ) 在[a , x ]上连续, 在(a , x )内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , x ), 使)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--. 因此,1)()()()(|)()(|<''=--ξξg f a g x g a f x f , |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).10. 求下列极限:(1)xx x x xx ln 1lim 1+--→;(2)]1)1ln(1[lim 0xx x -+→;(3)x x x )arctan 2(lim π+∞→.(4)nxx n x x x n a a a ]/) [(lim 11211+⋅⋅⋅++∞→(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0).解 (1) (x x )'=(e x l n x )'=e x l n x(ln x +1)=x x (ln x +1).xx x x xx x x x x x x x x x x x x x x x xx -+-=+-+-='+-'-=+--+→→→→1)1(ln lim11)1(ln 1lim )ln 1()(lim ln 1lim 11111 21)1)(ln 11(ln 1lim11=--+++-=+→xx x x x x x x . (2)xxx x x x x x x x x x x x x x x x ++++-='+'+-=++-=-+→→→→1)1ln(111lim ])1ln([])1ln([lim )1ln()1ln(lim ]1)1ln(1[lim 00002111)1l n (1lim )1ln()1(lim00=+++=+++=→→x x x x x x x。

第六版同济大学高等数学上下课后答案详解

第六版同济大学高等数学上下课后答案详解
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|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )

同济大学版高等数学课后习题答案第2章

同济大学版高等数学课后习题答案第2章

习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t ]内转过的角度为q , 从而转角q 是t 的函数: q =q (t ). 如果旋转是匀速的, 那么称tθω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解 在时间间隔[t 0, t 0+D t ]内的平均角速度ω为tt t t t ∆-∆+=∆∆=)()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为)()()(lim lim lim 000000t tt t t t t t t θθθθωω'=∆-∆+=∆∆==→∆→∆→∆. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T (t ), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔[t 0, t 0+D t ]内, 温度的改变量为D T =T (t +D t )-T (t ),平均冷却速度为tt T t t T t T ∆-∆+=∆∆)()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=∆-∆+=∆∆→∆→∆. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f (x )元, 此函数f (x )称为成本函数, 成本函数f (x )的导数f ¢(x )在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f ¢(x )的实际意义.解 f (x +D x )-f (x )表示当产量由x 改变到x +D x 时成本的改变量.xx f x x f ∆-∆+)()(表示当产量由x 改变到x +D x 时单位产量的成本. xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示当产量为x 时单位产量的成本. 4. 设f (x )=10x 2, 试按定义, 求f ¢(-1).解 xx x f x f f x x ∆--∆+-=∆--∆+-=-'→∆→∆2200)1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 10020-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x xx x x x .5. 证明(cos x )¢=-sin x .解 x x x x x x ∆-∆+='→∆cos )cos(lim )(cos 0 xxx x x ∆∆∆+-=→∆2sin )2sin(2lim 0 x x xx x x sin ]22sin )2sin([lim 0-=∆∆∆+-=→∆. 6. 下列各题中均假定f ¢(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim000; 解 xx f x x f A x ∆-∆-=→∆)()(lim 000 )()()(lim 0000x f xx f x x f x '-=∆--∆--=→∆-. (2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f (0)=0, 且f ¢(0)存在; 解 )0()0()0(lim )(lim 00f xf x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A hh x f h x f h =--+→)()(lim 000. 解 hh x f h x f A h )()(lim 000--+=→ hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim 00000----+=→ h x f h x f h x f h x f h h )()(lim )()(lim 000000----+=→→ =f ¢(x 0)-[-f ¢(x 0)]=2f ¢(x 0).7. 求下列函数的导数:(1)y =x 4;(2)32x y =;(3)y =x 1 6;(4)x y 1=; (5)21x y =; (6)53x x y =;(7)5322x x x y =; 解 (1)y ¢=(x 4)¢=4x 4-1=4x 3 .(2)3113232323232)()(--=='='='x x x xy . (3)y ¢=(x 1 6)¢=1.6x 16-1=1.6x 0 6. (4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x xy . (5)3222)()1(---='='='x x xy . (6)511151651653516516)()(x x x x x y =='='='-. (7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y . 8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m) 求这物体在t =2秒(s )时的速度. 解v =(s )¢=3t 2, v |t =2=12(米/秒).9. 如果f (x )为偶函数, 且f (0)存在, 证明f (0)=0.证明 当f (x )为偶函数时, f (-x )=f (x ), 所以)0(0)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim )0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f ¢(0)=0, 即f ¢(0)=0.10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率: π32=x , x =p . 解 因为y ¢=cos x , 所以斜率分别为2132cos 1-==πk , 1cos 2-==πk .11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 解y ¢=-sin x , 233sin 3-=-='=ππx y , 故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y , 法线方程为)3(3221π--=-x y . 12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程.解y ¢=e x , y ¢|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为y -1=1×(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y ¢=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k . 令2x =4, 得x =2.因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线.14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性:(1)y =|sin x |;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin 2x x x x y . 解 (1)因为y (0)=0, 0)sin (lim |sin |lim lim 000=-==---→→→x x y x x x , 0sin lim |sin |lim lim 000===+++→→→x x y x x x , 所以函数在x =0处连续.又因为1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000-=-=--=--='---→→→-xx x x x y x y y x x x , 1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y -(0)y +(0), 所以函数在x =0处不可导.解 因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y (0)=0, 所以函数在x =0处连续. 又因为01sin lim 01sin lim 0)0()(lim 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y (0)=0.15. 设函数⎩⎨⎧>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f 为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解 因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f (1)=a +b , 所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 .又因为当a +b =1时211lim )1(21=--='-→-x x f x , a x x a x b a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1.16. 已知⎩⎨⎧<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +¢(0)及f -¢(0), 又f ¢(0)是否存在？ 解 因为f -¢(0)=10lim )0()(lim 00-=--=---→→xx x f x f x x , f +¢(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -¢(0)¹f +¢(0), 所以f ¢(0)不存在. 17. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0 sin x x x x , 求f ¢(x ) . 解 当x <0时, f (x )=sin x , f ¢(x )=cos x ;当x >0时, f (x )=x , f ¢(x )=1;因为 f -¢(0)=10sin lim )0()(lim 00=-=---→→xx x f x f x x , f +¢(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→x x x f x f x x , 所以f ¢(0)=1, 从而 f ¢(x )=⎩⎨⎧≥<0 10 cos x x x . 18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解 由xy =a 2得x a y 2=, 22xa y k -='=. 设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为 )(02020x x x ay y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x a x y x =+=, 为切线在x 轴上的距. 令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距. 此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式:(cot x )¢=-csc 2x ; (csc x )¢=-csc x cot x .解 xx x x x x x x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ⋅-⋅-='=' x xx x x 22222csc sin 1sin cos sin -=-=+-=. x x xx x x cot csc sin cos)sin 1()(csc 2⋅-=-='='. 2. 求下列函数的导数:(1)1227445+-+=xx x y ;(2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1;(4) y =sin x ×cos x ;(5) y =x 2ln x ;(6) y =3e x cos x ;(7)x x y ln =; (8)3ln 2+=xe y x ; (9) y =x 2ln x cos x ;(10)tt s cos 1sin 1++=; 解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xx x y 2562562282022820x x x x x x +--=+--=---. (2) y =(5x 3-2x +3e x )=15x 2-2x ln2+3e x .(3) y=(2tan x +sec x -1)=2sec 2x +sec x tan x =sec x (2sec x +tan x ). (4) y =(sin x ×cos x )=(sin x )×cos x +sin x ×(cos x ) =cos x ×cos x +sin x ×(-sin x )=cos 2x . (5) y=(x 2ln x )=2x ×ln x +x 2×x 1=x (2ln x +1) . (6) y =(3e x cos x )=3e x ×cos x +3e x ×(-sin x )=3e x (cos x -sin x ).(7)22ln 1ln 1)ln (x x x x x x x x y -=-⋅='='. (8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=⋅-⋅='+='. (9) y =(x 2ln x cos x )=2x ×ln x cos x +x 2×x1×cos x +x 2 ln x ×(-sin x ) 2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x .(10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t t t t t t t t t t s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数:(1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y . (2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=d d . (3)553)(2x x x f +-=, 求f (0)和f(2) . 解 (1)y =cos x +sin x , 21321236sin 6cos 6+=+=+='=πππx y , 222224sin 4cos 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d , )21(4222422214cos 44sin 214πππππθρπθ+=⋅+⋅=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=. 求: (1)该物体的速度v (t );(2)该物体达到最高点的时刻.解 (1)v (t )=s (t )=v 0-gt .(2)令v (t )=0, 即v 0-gt =0, 得g v t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻. 5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程. 解 因为y =2cos x +2x , y|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为y =2x ,所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0. 6. 求下列函数的导数:(1) y =(2x +5)4(2) y =cos(4-3x );(3)23x e y -=;(4) y =ln(1+x 2);(5) y =sin 2x ;(6)22x a y -=;(7) y =tan(x 2);(8) y =arctan(e x );(9) y =(arcsin x )2;(10) y =lncos x .解 (1) y=4(2x +5)4-1×(2x +5)=4(2x +5)3×2=8(2x +5)3. (2) y =-sin(4-3x )×(4-3x )=-sin(4-3x )×(-3)=3sin(4-3x ).(3)22233236)6()3(x x x xe x e x e y ----=-⋅='-⋅='.(4)222212211)1(11xxx x x x y +=⋅+='+⋅+='. (5) y =2sin x ×(sin x )=2sin x ×cos x =sin 2x .(6))()(21])[(22121222122'-⋅-='-='-x a x a x a y 222122)2()(21x a x x x a --=-⋅-=-. (7) y =sec 2(x 2)×(x 2)=2x sec 2(x 2).(8)xx x x e e e e y 221)()(11+='⋅+='. (9) y 21arcsin 2)(arcsin arcsin 2x x x x -='⋅=.(10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='⋅='. 7. 求下列函数的导数:(1) y =arcsin(1-2x );(2)211x y -=; (3)x e y x3cos 2-=;(4)xy 1arccos =; (5)xx y ln 1ln 1+-=; (6)xx y 2sin =; (7)x y arcsin =;(8))ln(22x a x y ++=;(9) y =ln(sec x +tan x );(10) y =ln(csc x -cot x ).解 (1)2221)21(12)21()21(11x x x x x y --=---='-⋅--='. (2))1()1(21])1[(21212212'-⋅--='-='---x x x y 222321)1()2()1(21xx x x x --=-⋅--=-. (3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xxx x )3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xx x +-=--=---.(4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='. (6)222sin 2cos 212sin 22cos x x x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='. (7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='. (8)])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1xa x x a x a x +=++⋅++=.(9) x xx x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12=++='+⋅+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12=-+-='-⋅-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=; (4)xe y arctan=;(5)y =sin n x cos nx ;(6)11arctan -+=x x y ;(7)x x y arccos arcsin =;(8) y =ln[ln(ln x )] ; (9)x x x x y -++--+1111;(10)xx y +-=11arcsin .解 (1)'⋅=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y)2()2(11)2(arcsin 22'⋅-⋅=x x x 21)2(11)2(arcsin 22⋅-⋅=x x . 242arcsin 2x x-=(2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'⋅⋅='⋅='x x x x x yx x x csc 212sec 2tan 12=⋅⋅=.(3))ln 1(ln 121ln 1222'+⋅+=+='x xx y )(ln ln 2ln 1212'⋅⋅+=x x x x x x1ln 2ln 1212⋅⋅+= x x x 2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan'⋅='x e y x)()(112arctan'⋅+⋅=x x e x)1(221)(11arctan 2arctan x x e x x e xx+=⋅+⋅=. (5) y=n sin n -1x ×(sin x )×cos nx +sin n x ×(-sin nx )×(nx )=n sin n -1x ×cos x ×cos nx +sin n x ×(-sin nx )×n=n sin n -1x ×(cos x ×cos nx -sin x ×sin nx )= n sin n -1x cos(n +1)x . (6)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--⋅-++='-+⋅-++='. (7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-=' 22)(arccos arcsin arccos 11x x x x +⋅-=22)(arccos 12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'⋅⋅='⋅='x xx x x y)ln(ln ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ⋅=⋅⋅=.(9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111xx -+-=. (10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-⋅+--='+-⋅+--=' )1(2)1(1x x x -+-=. 9. 设函数f (x )和g (x )可导, 且f 2(x )+g 2(x )0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解 ])()([)()(212222'+⋅+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'⋅+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f (x )可导, 求下列函数y 的导数dxdy : (1) y =f (x 2);(2) y =f (sin 2x )+f (cos 2x ). 解 (1) y =f(x 2)×(x 2)= f(x 2)×2x =2x ×f (x 2).(2) y =f (sin 2x )×(sin 2x )+f (cos 2x )×(cos 2x ) = f(sin 2x )×2sin x ×cos x +f(cos 2x )×2cos x ×(-sin x )=sin 2x [f(sin 2x )- f(cos 2x )].11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x e ch x ; (3) y =th(ln x ); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x );(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y =sh(sh x )×(sh x )=sh(sh x )×ch x . (2) y=ch x ×e ch x +sh x ×e ch x ×sh x =e ch x (ch x +sh 2x ) .(3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ⋅='⋅='.(4) y =3sh 2x ×ch x +2ch x ×sh x =sh x ×ch x ×(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-⋅-='.(6)222)1()1(112422++='+⋅++='x x x x x y . (7)12)(1)(142222-='⋅-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11⋅+=⋅+='⋅+=' xx x 222sh 211sh ch 1+=+=.(9))ch (ch 21)ch (ch 124'⋅-'⋅='x xx x yx x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4⋅⋅-=x x x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -⋅=-= x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-⋅=. (10)'+-⋅+-⋅+-='+-⋅+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y)112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-⋅+=+--+⋅+-⋅=x x x x x x x x . 12. 求下列函数的导数: (1) y =e -x (x 2-2x +3); (2) y =sin 2x sin(x 2); (3)2)2(arctan x y =;(4)n x x y ln =;(5)t t t t ee ee y --+-=;(6)xy 1cos ln =;(7)x ey 1sin 2-=;(8)x x y +=;(9) 242arcsin x x x y -+=; (10)212arcsin tt y +=.解 (1) y =-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5). (2) y=2sin x ×cos x ×sin(x 2)+sin 2x ×cos(x 2)×2x=sin2x ×sin(x 2)+2x ×sin 2x ×cos(x 2). (3)2arctan 44214112arctan 222x x x x y +=⋅+⋅='.(4)121ln 1ln 1+--=⋅-⋅='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----tt t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y . (6)x x x x x x x y 1tan 1)1()1sin (1sec )1(cos 1sec 22=-⋅-⋅='⋅='. (7))1(1cos )1sin 2()1sin (21sin 21sin 22x x x e x ey x x -⋅⋅-⋅='-⋅='--x ex x1sin 222sin 1-⋅⋅=. (8))211(21)(21x xx x x x x y +⋅+='+⋅+='xx x x +⋅+=412.(9)2arcsin )2(421214112arcsin 22x x x x x x y =-⋅-+⋅-⋅+='.(10)22222222)1()2(2)1(2)12(11)12()12(11t t t t tt t t t t y +⋅-+⋅⋅+-='+⋅+-=' )1(|1|)1(2)1()1(2)1(1222222222t t t t t t t +--=+-⋅-+=. 习题 2-31. 求函数的二阶导数: (1) y =2x 2+ln x ; (2) y =e 2x -1; (3) y =x cos x ; (4) y =e -t sin t ; (5)22x a y -=; (6) y =ln(1-x 2) (7) y =tan x ; (8)113+=x y ; (9) y =(1+x 2)arctan x ;(10)xey x =;(11)2x xe y =;(12))1ln(2x x y ++=. 解 (1)x x y 14+=', 214x y -=''.(2) y =e 2x -1 ×2=2e 2x -1, y=2e 2x -1 ×2=4e 2x -1.(3) y =x cos x ; y =cos x -x sin x ,y =-sin x -sin x -x cos x =-2sin x -x cos x . (4) y =-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t )y=-e -t (cos t -sin t )+e -t (-sin t -cos t )=-2e -t cos t .(5)222222)(21xa x x a x a y --='-⋅-=', 22222222222)(xa x a a xa x a xx x a y ---=---⋅---=''.(6) 22212)1(11x x x x y --='-⋅-=',222222)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''. (7) y =sec 2 x ,y=2sec x ×(sec x )=2sec x ×sec x ×tan x =2sec 2x ×tan x .(8)232233)1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y ,333433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y . (9)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x xx x x y ,212arctan 2xx x y ++=''.(10)22)1(1x x e x e x e y x x x -=⋅-⋅=', 3242)22(2)1(])1([x x x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''.(11))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''. (12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=',xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222.2. 设f (x )=(x +10)6, f (2)=?解f (x )=6(x +10)5, f (x )=30(x +10)4, f(x )=120(x +10)3,f(2)=120(2+10)3=207360.3. 若f (x )存在, 求下列函数y 的二阶导数22dxyd :(1) y =f (x 2);(2) y =ln[f (x )] . 解 (1)y = f (x 2)×(x 2)=2xf (x 2), y =2f(x 2)+2x ×2xf(x 2)=2f(x 2)+4x 2f(x 2).(2))()(1x f x f y '=',2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=. 4. 试从y dy dx '=1导出: (1)322)(y y dy x d '''-=; (2)5233)()(3y y y y dy x d '''''-''=. 解 (1)()()()3222)(1)(11y y y y y dy dx y dx d y dy d dy dx dy d dy xd '''-='⋅'''-=⋅'='==. (2)(())(())dy dx y y dx d y y dy d dy x d ⋅'''-='''-=3333 52623)()(31)()(3)(y y y y y y y y y y y '''''-''='⋅''''⋅''-''''-=.5. 已知物体的运动规律为s =A sin t (A 、是常数), 求物体运动的加速度, 并验证:222=+s dts d ω.解 t A dtds ωωcos =,tA dts d ωωsin 222-=.22dt s d 就是物体运动的加速度. 0sin sin 22222=+-=+t A t A s dts d ωωωωω.6. 验证函数y =C 1e lx +C 2e -lx (l ,C 1 C 2是常数)满足关系式: y -l 2y =0 .解 y =C 1le lx -C 2le -lx ,y =C 1l 2e lx +C 2l 2e -lx .y-l 2y =(C 1l 2e lx +C 2l 2e -lx )-l 2(C 1e lx +C 2e -lx )=(C 1l 2e lx +C 2l 2e -lx )-(C 1l 2e lx +C 2l 2e -lx )=0 . 7. 验证函数y =e x sin x 满足关系式: y -2y+2y =0 .解 y =e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x ),y =e x (sin x +cos x )+e x (cos x -sin x )=2e x cos x . y-2y +2y =2e x cos x -2e x (sin x +cos x )+2e x sin x=2e x cos x -2e x sin x -2e x cos x +2e x sin x =0 . 8. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2++a n -1x +a n (a 1, a 2,, a n 都是常数);(2) y =sin 2x ; (3) y =x ln x ; (4) y =xe x . 解 (1) y =nx n -1+(n -1)a 1x n -2+(n -2)a 2x n -3++a n -1,y =n (n -1)x n -2+(n -1)(n -2)a 1x n -3+(n -2)(n -3)a 2x n -4++a n -2,,y (n )=n (n -1)(n -2)2×1x 0=n ! .(2) y=2sin x cos x =sin2x ,)22sin(22cos 2π+==''x x y , )222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y , )232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n . (3) 1ln +='x y ,11-==''x xy , y=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, , y (n )=(-1)(-2)(-3)(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (4) y =e x +xe x ,y=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .9. 求下列函数所指定的阶的导数:(1) y =e x cos x , 求y (4) ;(2) y =x sh x , 求y (100) ;(3) y =x 2sin 2x , 求y (50) .解 (1)令u =e x , v =cos x , 有u =u=u =u (4)=e x ; v =-sin x , v =-cos x , v=sin x , v (4)=cos x , 所以 y (4)=u (4)×v +4u×v +6u ×v +4u ×v +u ×v (4) =e x [cos x +4(-sin x )+6(-cos x )+4sin x +cos x ]=-4e x cos x .(2)令u =x , v =sh x , 则有u =1, u =0;v =ch x , v =sh x , , v (99)=ch x , v (100)=sh x ,所以 )100()99(99100)98(98100)98(2100)99(1100)100()100( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅==100ch x +x sh x .(3)令u =x 2 , v =sin 2x , 则有u =2x , u =2, u =0;x x v 2sin 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π, v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x ,所以 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅=)50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''=)2sin 2(2cos 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=.习题 2-31. 求函数的二阶导数:(1) y =2x 2+ln x ;(2) y =e 2x -1;(3) y =x cos x ;(4) y =e -t sin t ;(5)22x a y -=;(6) y =ln(1-x 2)(7) y =tan x ;(8)113+=x y ; (9) y =(1+x 2)arctan x ;(10)x e y x =; (11)2x xe y =;(12))1ln(2x x y ++=.解 (1)x x y 14+=', 214xy -=''. (2) y=e 2x -1 ×2=2e 2x -1, y =2e 2x -1 ×2=4e 2x -1. (3) y =x cos x ; y =cos x -x sin x , y=-sin x -sin x -x cos x =-2sin x -x cos x . (4) y=-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t ) y=-e -t (cos t -sin t )+e -t (-sin t -cos t )=-2e -t cos t . (5)222222)(21x a x x a x a y --='-⋅-=', 22222222222)(xa x a a x a x a x x x a y ---=---⋅---=''. (6) 22212)1(11xxx x y --='-⋅-=', 222222)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''. (7) y=sec 2 x , y =2sec x ×(sec x )=2sec x ×sec x ×tan x =2sec 2x ×tan x .(8)232233)1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y , 333433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y . (9)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x xx x x y , 212arctan 2xxx y ++=''.(10)22)1(1x x e x e x e y x x x -=⋅-⋅=', 3242)22(2)1(])1([xx x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''. (11))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''.(12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=', xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222. 2. 设f (x )=(x +10)6, f(2)=? 解f (x )=6(x +10)5, f(x )=30(x +10)4, f (x )=120(x +10)3, f (2)=120(2+10)3=207360.3. 若f (x )存在, 求下列函数y 的二阶导数22dxy d : (1) y =f (x 2);(2) y =ln[f (x )] .解 (1)y= f (x 2)×(x 2)=2xf (x 2), y=2f (x 2)+2x ×2xf (x 2)=2f (x 2)+4x 2f (x 2). (2))()(1x f x f y '=', 2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=. 4. 试从y dy dx '=1导出: (1)322)(y y dy x d '''-=; (2)5233)()(3y y y y dy x d '''''-''=.解 (1)()()()3222)(1)(11y y y y y dy dx y dx d y dy d dy dx dy d dy x d '''-='⋅'''-=⋅'='==. (2)(())(())dy dx y y dx d y y dy d dy x d ⋅'''-='''-=3333 52623)()(31)()(3)(y y y y y y y y y y y '''''-''='⋅''''⋅''-''''-=.5. 已知物体的运动规律为s =A sint (A 、是常数), 求物体运动的加速度, 并验证:0222=+s dt s d ω. 解 t A dtds ωωcos =, t A dts dωωsin 222-=. 22dt s d 就是物体运动的加速度. 0sin sin 22222=+-=+t A t A s dts d ωωωωω. 6. 验证函数y =C 1e lx +C 2e -lx (l ,C 1 C 2是常数)满足关系式: y-l 2y =0 . 解 y =C 1le lx -C 2le -lx , y=C 1l 2e lx +C 2l 2e -lx . y -l 2y =(C 1l 2e lx +C 2l 2e -lx )-l 2(C 1e lx +C 2e -lx )=(C 1l 2e lx +C 2l 2e -lx )-(C 1l 2e lx +C 2l 2e -lx )=0 .7. 验证函数y =e x sin x 满足关系式:y-2y +2y =0 . 解 y =e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x ), y=e x (sin x +cos x )+e x (cos x -sin x )=2e x cos x . y -2y +2y =2e x cos x -2e x (sin x +cos x )+2e x sin x=2e x cos x -2e x sin x -2e x cos x +2e x sin x =0 .8. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ +a n -1x +a n (a 1, a 2, , a n 都是常数); (2) y =sin 2x ;(3) y =x ln x ;(4) y =xe x .解 (1) y=nx n -1+(n -1)a 1x n -2+(n -2)a 2x n -3+ +a n -1, y=n (n -1)x n -2+(n -1)(n -2)a 1x n -3+(n -2)(n -3)a 2x n -4+ +a n -2, , y (n )=n (n -1)(n -2) 2×1x 0=n ! . (2) y =2sin x cos x =sin2x ,)22sin(22cos 2π+==''x x y , )222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y , )232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n . (3) 1ln +='x y ,11-==''x xy , y=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ,y (n )=(-1)(-2)(-3)(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (4) y =e x +xe x ,y=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .9. 求下列函数所指定的阶的导数:(1) y =e x cos x , 求y (4) ;(2) y =x sh x , 求y (100) ;(3) y =x 2sin 2x , 求y (50) .解 (1)令u =e x , v =cos x , 有u =u=u =u (4)=e x ; v =-sin x , v =-cos x , v=sin x , v (4)=cos x , 所以 y (4)=u (4)×v +4u×v +6u ×v +4u ×v +u ×v (4) =e x [cos x +4(-sin x )+6(-cos x )+4sin x +cos x ]=-4e x cos x . (2)令u =x , v =sh x , 则有u =1, u=0; v =ch x , v =sh x , , v (99)=ch x , v (100)=sh x ,所以 )100()99(99100)98(98100)98(2100)99(1100)100()100( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅==100ch x +x sh x .(3)令u =x 2 , v =sin 2x , 则有u =2x , u =2, u =0;x x v 2sin 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π, v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x ,所以 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅=)50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''=)2sin 2(2cos 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=.习题2-41. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy :(1) y 2-2x y +9=0;(2) x 3+y 3-3axy =0;(3) xy =e x +y ;(4) y =1-xe y .解 (1)方程两边求导数得2y y -2y -2x y =0 ,于是 (y -x )y =y ,x y y y -='. (2)方程两边求导数得 3x 2+3y 2y -2ay -3axy =0,于是 (y 2-ax )y =ay -x 2 ,axy x ay y --='22. (3)方程两边求导数得y +xy =e x +y (1+y ),于是 (x -e x +y )y =e x +y -y ,yx y x e x y e y ++--='. (4)方程两边求导数得y =-e y -xe y y ,于是 (1+xe y )y =-e y ,yy xe e y +-='1. 2. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程. 解 方程两边求导数得032323131='+--y y x , 于是 3131---='y x y ,在点)42 ,42(a a 处y =-1. 所求切线方程为)42(42a x a y --=-, 即a y x 22=+. 所求法线方程为 )42(42a x a y -=-, 即x -y =0. 3. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22dx y d : (1) x 2-y 2=1;(2) b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2;(3) y =tan(x +y );(4) y =1+xe y .解 (1)方程两边求导数得2x -2yy =0,y =yx , 3322221)(y y x y y y xx y y y x y y x y -=-=-='-='=''. (2)方程两边求导数得2b 2x +2a 2yy =0,yx a b y ⋅-='22, 22222222)(y y x a b x y a b y y x y a b y ⋅--⋅-='-⋅-='' 32432222222ya b y a x b y a a b -=+⋅-=. (3)方程两边求导数得y =sec 2(x +y )(1+y ),1)(cos 1)(sec 1)(sec 222-+=+-+='y x y x y x y 222211)(sin )(cos )(sin yy x y x y x --=+-+++=,52233)1(2)11(22y y y y y y y +-=--='=''. (4)方程两边求导数得y =e y +xe y y ,ye y exe ey y y y y -=--=-='2)1(11, 3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 用对数求导法求下列函数的导数: (1) x xx y )1(+=;(2)55225+-=x x y ; (3)54)1()3(2+-+=x x x y ; (4)x e x x y -=1sin .解 (1)两边取对数得ln y =x ln|x |-x ln|1+x |，两边求导得xx x x x x y y +⋅-+-⋅+='11)1ln(1ln 1, 于是 ]111[ln )1(xx x x x y x ++++='. (2)两边取对数得)2ln(251|5|ln 51ln 2+--=x x y , 两边求导得 22251515112+⋅--⋅='x x x y y , 于是 ]225151[25512552+⋅--=+-='x x x x x y . (3)两边取对数得)1ln(5)3ln(4)2ln(21ln +--++=x x x y ,两边求导得1534)2(211+---+='x x x y y , 于是 ]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y (4)两边取对数得)1ln(41sin ln 21ln 21ln x e x x y -++=, 两边求导得)1(4cot 21211x x e e x x y y --+=', 于是 ])1(4cot 2121[1sin x x xe e x x e x x y --+-=' ]1cot 22[1sin 41-++-=x x x e e x x e x x . 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dxdy : (1) ⎩⎨⎧==22bt y at x ; (2) ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x . 解 (1)t ab at bt x y dx dy t t 23232==''=. (2)θθθθθθθθcos sin 1sin cos ---=''=x y dx dy . 6. 已知⎩⎨⎧==.cos ,sin t e y t e x t t 求当3π=t 时dx dy 的值. 解 tt t t t e t e t e t e x y dx dy t t t t t t cos sin sin cos cos sin sin cos +-=+-=''=, 当3π=t 时, 23313123212321-=+-=+-=dx dy . 7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1) ⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin , 在4π=t 处;(2) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2221313taty t atx , 在t =2处.解 (1)tt x y dx dy t t cos 2sin 2-=''=. 当4π=t 时, 222224cos )42sin(2-=-=⋅-=ππdx dy , 220=x , 00=y , 所求切线方程为)22(22--=x y , 即0222=-+y x ; 所求法线方程为)22(221---=x y , 即0142=--y x . (2)222222)1(6)1(23)1(6t at t t at t at y t +=+⋅-+=', 222222)1(33)1(23)1(3t at a t t at t a x t +-=+⋅-+=', 2212336ttat a atx y dx dy t t -=-=''=. 当t =2时, 3421222-=-⋅=dx dy , a x 560=, a y 5120=, 所求切线方程为)56(34512a x a y --=-, 即4x +3y -12a =0; 所求法线方程为)56(43512a x a y -=-, 即3x -4y +6a =0. 8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxy d : (1) ⎪⎩⎪⎨⎧-==.122t y t x ;(2) ⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ; (3) ⎩⎨⎧==-t t ey e x 23;。

同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)1

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习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22y x yz +=;解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解 因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分.解 因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12, 所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解 设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233yx y y x x y x +∆+∆++=,所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7( 已知边长为x(6m 与y(8m 的矩形( 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm(问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值. 解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x yx ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明 设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2yy x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dtdyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xxxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明 )()(v yy z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂. (2)) ,(zyy x f u =;解 1211)()(f y z yx f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂,)()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f z y '⋅-=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证 211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅.11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂.解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422,f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22yz ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vfx u v f v u f x u f x2222222vfv u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解 令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22v f x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=22211 2232221vf y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2', z y =f 1'⋅2xy +f 2'⋅x 2=2xyf 1'+x 2f 2';z xx =y 2[f 11''⋅y 2+f 12''⋅2xy ]+2yf 2''+2xy [f 21''⋅y 2+f 22''⋅2xy ] =y 4f 11''+2xy 3f 12''+2yf 2''+2xy 3f 21''+4x 2y 2 f 22'' =y 4f 11''+4xy 3f 12''+2yf 2''+4x 2y 2 f 22'',z xy =2y f 1'+y 2[f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+2xf 2'+2xy [f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2y f 1'+2xy 3f 11''+x 2y 2 f 12''+2xf 2'+4x 2y 2f 21''+2x 3yf 22'' =2y f 1'+2xy 3f 11''+5x 2y 2 f 12''+2xf 2'+2x 3yf 22'', z yy =2xf 1'+2xy [f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+x 2[f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+2x 3y f 12''+2x 3yf 21''+x 4f 22'' =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+4x 3y f 12''+x 4f 22''. (4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1'⋅cos x + f 3'⋅e x +y =cos x f 1'+e x +y f 3', z y =f 2'⋅(-sin y )+ f 3'⋅e x +y =-sin y f 2'+e x +y f 3', z xx =-sin x f 1'+cos x ⋅(f 11''⋅cos x + f 13''⋅e x +y ) +e x +y f 3'+e x +y (f 31''⋅cos x + f 33''⋅e x +y ) =-sin x f 1'+cos 2x f 11''+e x +y cos x f 13''+e x +y f 3' +e x +y cos x f 31''+e 2(x +y ) f 33''=-sin x f 1'+cos 2x f 11''+2e x +y cos x f 13''+e x +y f 3'+e 2(x +y ) f 33'', z xy =cos x [f 12''⋅(-sin y )+ f 13''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32'+e 2(x +y )f 33' =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+e 2(x +y )f 33'',z yy =-cos y f 2'-sin y [f 22''⋅(-sin y )+ f 23''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 22222432341yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=,)2123()(22yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8-51. 设sin y +e x -xy 2=0, 求dxdy . 解 令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy ,xyy e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy .解 令xyy x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=,22222221)(11221y x x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, yx y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解 令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x , F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F yz , 于是13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F F F F y z x z . 6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解 因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为vu uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, vu v v u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, 所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22xz∂∂.解 设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z -xy , xye yzF F x z z z x -=-=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xyz yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+= 22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ;解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂. (3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g xu g x v x vf x u x u f x u 21212)1()( ,即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x .解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂,1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x uu cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得 ⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得 dy v v e v dx v v e v du uu 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u uuu ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u, ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u. 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=.证明 由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dx dt t F dx dy y F x F dxdtt f x f dx dy ,移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dx dt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy , 在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yFt f t F xFt f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1. 习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12 (-π处, 切线方程为22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, t t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++, 法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为 0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x ,即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得yy 2='. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y '(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +-=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222-+=by a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a x F F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22ba b y a x ba-=-=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ) ,(2222βα=+-+-=b a a b a b n e . 又因为aa x x zbab a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, b b y y zb a b a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, 所以 βαcos cos yz x z n z ∂∂+∂∂=∂∂222222b a a b b a b a +⋅++⋅=222b a ab+=.4. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3πγ=的方向的方向导数. 解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为1)()2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂yz y x u , 0)2()2,1,1()2,1,1(=-=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=-=∂∂xy z z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 5211122021)1(=⋅+⋅+⋅-=. 5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9-5, 4-1, 14-2)=(4, 3, 12),)1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz xu ,10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 139813125133101342=⋅+⋅+⋅=. 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导. 解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1,1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l ,)143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u , 所以 γβαcos cos cos )1,1,1(zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1412143214221412=⋅+⋅+⋅=. 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2-1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 000000111z y x z y x ++=⋅+⋅+⋅=.8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x -2y -6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).解 32++=∂∂y x x f , 24-+=∂∂x y yf , 66-=∂∂z z f . 因为 3)0,0,0(=∂∂x f, 2)0,0,0(-=∂∂yf, 6)0,0,0(-=∂∂z f , 6)1,1,0(=∂∂x f , 3)1,1,0(=∂∂y f, 0)1,1,0(=∂∂z f,所以 grad f (0, 0, 0)=3i -2j -6k ,grad f (1, 1, 1)=6i +3j .9. 设u , v 都是 x , y , z 的函数, u , v 的各偏导数都存在且连续, 证明(1) grad (u +v )=grad u + grad v ;解 k j i zv u y v u x v u v u ∂+∂+∂+∂+∂+∂=+)()()()(grad k j i )()()(zv z u y v y u x v x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)()(k j i k j i zv y v x v z u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= v u grad grad +=.(2) grad (uv )=v grad u +u grad v ;解 k j i zuv y uv x uv uv ∂∂+∂∂+∂∂=)()()()(grad k j i )()()(z v u z u v y v u y u v x v u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= )()(k j i k j i zv y v x v u z u y u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= =v grad u +u grad v .(3) grad (u 2)=2u grad u .解 k j i z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=2222)(grad k j i zu u y u u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=222 u u zu y u x u u grad 2)(2=∂∂+∂∂+∂∂=k j i .10. 问函数u =xy 2z 在点p (1, -1, 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方向导数的最大值.解 k j i k j i 222 xy xyz z y zu y u x u u ++=∂∂+∂∂+∂∂=grad , k j i k j i +-=++=--42)2()2 ,1 ,1( )2,1,1(22xy xyz z y u grad .grad u (1, -1, 2)为方向导数最大的方向, 最大方向导数为 211)4(2|)2 ,1 ,1( 222=+-+=-u grad |.习题8-81. 求函数f (x , y )=4(x -y )-x 2-y 2的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==-=024),(024),(y y x f x y x f yx , 求得驻点为(2,-2). f xx =-2, f xy =0, f yy =-2,在驻点(2,-2)处, 因为f xx f yy -f xy 2=(-2)(-2)-0=4>0, f xx =-2<0,所以在点(2, -2)处, 函数取得极大值, 极大值为f (2, -2)=8.2. 求函数f (x , y )=(6x -x 2)(4y -y 2)的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==--=0)24)(6(),(0)4)(26(),(22y x x y x f y y x y x f yx , 得驻点(0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4).函数的二阶偏导数为f xx (x , y )=-2(4y -y 2), f xy (x , y )=4(3-x )(2-y ), f yy (x , y )=-2(6x -x 2). 在点(0, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242<0,所以f (0, 0)不是极值;在点(0, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242<0,所以f (0, 4)不是极值.在点(3, 2)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=(-8)⨯(-18)-02=8⨯18>0, f xx =-8<0,所以f (3, 2)=36是函数的极大值.在点(6, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242>0,所以f (6, 0)不是极值.在点(6, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242>0,所以f (6, 4)不是极值.综上所述, 函数只有一个极值, 这个极值是极大值f (3, 2)=36. 3. 求函数f (x , y )=e 2x (x +y 2+2y )的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+==+++=0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x yx x , 得驻点)1 ,21(-. f xx (x , y )=4e 2x (x +y 2+2y +1), f xy (x , y )=4e 2x (y +1), f yy (x , y )=2e 2x . 在驻点)1 ,21(-处, 因为 f xx ⋅f yy -f xy 2=2e ⋅2e -02=4e 2>0, f xx =2e >0, 所以2)1 ,21(e f -=-是函数的极小值. 4. 求函数z =xy 在适合附加条件x +y =1下的极大值.解 由x +y =1得y =1-x , 代入z =xy , 则问题化为求z =x (1-x )的无条件极值.x dxdz 21-=, 222-=dx z d . 令,0=dx dz 得驻点21=x . 因为022122<-==x dx zd , 所以21=x 为极大值点, 极大值为41)211(21=-=z . 5. 从斜边之长为l 的一切直角三角形中, 求有最大周界的直角三角形.解 设直角三角形的两直角边之长分别为x , y , 则周长 S =x +y +l (0<x <l , 0<y <l ).因此, 本题是在x 2+y 2=l 2下的条件极值问题, 作函数 F (x , y )=x +y +l +λ(x 2+y 2-l 2).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=222021021ly x y F x F y x λλ, 得唯一可能的极值点2l y x ==. 根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在, 所以斜边之长为l 的一切直角三角形中, 周界最大的是等腰直角三角形.6. 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.解 设水池的长为x , 宽为y , 高为z , 则水池的表面积为 S =xy +2xz +2yz (x >0, y >0, z >0).本题是在条件xyz =k 下, 求S 的最大值.作函数F (x , y , z )=xy +2xz +2yz +λ(xyz -k ).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++==++==++=k xyz xy y x F xz z x F yz z y F z y x 0220202λλλ, 得唯一可能的极值点)221 ,2 ,2(333k k k . 由问题本身可知S 一定有最小值, 所以表面积最小的水池的长和宽都应为.23k 高为3221k . 7. 在平面xOy 上求一点, 使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离平方之和为最小.解 设所求点为(x , y ), 则此点到x =0的距离为|y |, 到y =0的距离为|x |, 到x +2y -16=0的距离为221|162|+-+y x , 而距离平方之和为 222)162(51-+++=y x y x z . 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂0)162(5420)162(522y x y y z y x x x z , 即{03292083=-+=-+y x y x . 得唯一的驻点)516 ,58(, 根据问题的性质可知, 到三直线的距离平方之和最小的点一定存在, 故)516 ,58(即为所求. 8( 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体( 问矩形的边长各为多少时( 才可使圆柱体的体积为最大？解 设矩形的一边为x , 则另一边为(p -x ), 假设矩形绕p -x 旋转, 则旋转所成圆柱体的体积为V =πx 2(p -x ).由0)32()(22=-=--=x p x x x p x dx dV πππ, 求得唯一驻点p x 32=. 由于驻点唯一, 由题意又可知这种圆柱体一定有最大值, 所以当矩形的边长为32p 和3p 时, 绕短边旋转所得圆柱体体积最大. 9. 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为x 2+y 2+z 2=a 2, (x , y , z )是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点, 则此长方体的长宽高分别为2x , 2y , 2z , 体积为V =2x ⋅2y ⋅2z =8xyz .令 F (x , y , z )=8xyz +λ(x 2+y 2+z 2-a 2) .解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+==+==+=2222028028028a z y x z xy F y xz F x yz F z y x λλλ, 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+=+2222040404a z y x z xy y xz x yz λλλ, 得唯一驻点)3,3,3(a a a . 由题意可知这种长方体必有最大体积, 所以当长方体的长、宽、高都为32a 时其体积最大. 10. 抛物面z =x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离.解 设椭圆上点的坐标(x , y , z ), 则原点到椭圆上这一点的距离平方为d 2=x 2+y 2+z 2, 其中x , y , z 要同时满足z =x 2+y 2和x +y +z =1. 令 F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-==+-=02022022212121λλλλλλz F y y F x x F z y x , 得驻点231±-==y x , 32 =z . 它们是可能的两个极值点, 由题意这种距离的最大值和最小值一定存在, 所以距离的最大值和最小值在两点处取得, 因为在驻点处359)32()231(2222222 =+±-=++=z y x d , 所以3591+=d 为最长距离;3592-=d 为最短距离.总习题八1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x , y )在(x , y )可微分是f (x , y )在该点连续的______条件, f (x , y )在点连续是f (x , y )在该点可微分的______条件.解 充分; 必要.(2)z =f (x , y )在点(x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是f (x , y )在该点可微分的______条件, z = f (x , y )在点(x , y )可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在的______条件. 解 必要; 充分.(3)z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂在(x , y )存在且连续是f (x , y )在该点可微分的______条件. 解 充分. (4)函数z =f (x , y )的两个二阶偏导数y x z ∂∂∂2及xy z ∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的______条件.解 充分.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设函数f (x , y )在点(0, 0)的某邻域内有定义, 且f x (0, 0)=3, f y (0, 0)=-1, 则有______.(A )dz |(0, 0)=3dx -dy .(B )曲面z =f (x , y )在点(0, 0, f (0, 0))的一个法向量为(3, -1, 1).(C )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(1, 0, 3). (D )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(3, 0, 1). 解 (C ).3. 求函数)1ln(4),(222y x y x y x f ---=的定义域, 并求),(lim )0,21(),(y x f y x →. 解 函数的定义域为{(x , y )| 0<x 2+y 2<1, y 2≤4x }因为D ∈)0 ,21(, 故由初等函数在定义域内的连续性有 43ln 2)1ln(4)1ln(4lim ),(lim )0,21(222222)0,21(),()0,21(),(=---=---=→→y x y x y x y x y x f y x y x .。

高等数学 课后答案 - 高等教育出版社(同济大学数学系)

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高等数学 高等教育出版社--同济大学数学系习题一1、（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-254876131210131311412 （5）原式=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++333232131323222121313212111321)(x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x233332323131322322222121311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++= =j i ij j i x x a ∑=31,2、（1）T B A 23-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡165654111202022242363636333 （2）B AB T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101012111101011121121212111 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101441300101012111202431211 （3）T BA A -2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121211121101012111121212111121212111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡414645233242031211656676444 3、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321220011112y y y B y y y z z z ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321111110011x x x A x x x y y y ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=552121023111110011230011112BA ⎪⎩⎪⎨⎧++=--=-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴32133212211321321321321552223552121023xx x z x x x z x x z x x x x x x BA y y y B z z z 或 4、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.14.4251482041015620105B A 则4321414.118562.1515114355158A A A A AB ←←←←⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 即1A 工厂总收入158万元，利润55万元，其他类似. 5、设现有人口用矩阵表示为（单位：万人）：)50,80(=A转移矩形⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆9.01.02.08.0B , 则三年后人口可表示为[]3)(AB B B AB = )09.74,91.55(781.0219.0438.0562.0)50,80(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 即三年后市区，郊区人口分别为55.91，74.09万人.注：也可以先乘AB ，再计算（AB ）B ，最后算[]B B AB )(.用AB 3计算时，B ，B 2，B 3的每行两数之和为1，最终结果两数之和为130，否则结果错误. 6、记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7.015.110506230157182010B A则 T AB )150,5.46,6.47(=即此人每天摄入蛋白质，脂肪，碳水化合物分别为47.6，46.5，150克. 7、⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=22222200002000020000240040000400004111111111*********11111111111111A⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==44442242222)(A A 猜想⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn nA 222222222 （*） 用数学归纳法证明①当1=n 时，显然由2A 的表达式知猜想成立. ②设k n =时成立，即{}K K K K k diag A 222222,2,2,2=．当1+=k n 时，22)1(2A A A k k ⋅=+={}k k k k diag 22222,2,2,2{}22222,2,2,2diag =diag{)1(2)1(2)1(2)1(22,2,2,2++++k k k k }. 因此，1+=k n 时，猜想也成立综上：（*）式成立，因此⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==+111111*********120000200002000022222212nn n n n n A A A ()A nn nnn n n n nn n n n n n n n 2222222222222222222222222222222222=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=. 注：简洁算法是()A A E A A n n n 22222==.8、 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121557331233122A222200003003151551012155735)(x O E A A A f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=∴ 9、（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+521123241302111120221032121T T B A 注：也可用T B A )(+，更易求！ (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=54651360556410630201232121311012210)(TTT BA （3）B B A T )(-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=921116521031101221010334100110、设33)(⨯=ij a B ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000000100010000000100010333231232221333231232221131211323122211211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a AB a a a a a a a a a a a a a a a BA由AB=BA 可得：,0,,,0,,0323133223221312312221121========a a a a a a a a a a a a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴111211131211a a a a a a B 即任意形如),,(000R c b a a b a c b a∈∀⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡的矩阵都可以和A 相交换. 11、（1）T TT T A A A A A A +∴+=+)(对称T T T T T A A A A A A A A -∴--=-=-)()(反对称（2）)(21)(21T T A A A A A -++=12、AB B B A B AB B T T T T T ==)(13、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n a a a a a a A ΛΛΛ1221111，考虑T AA 的对角线上的元素，由nxn T AA 0=可得 0,,2,1,0),(0)2,2(0)1,1(0222212222222121212211=∴==∴∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++A nj i a Ra n n AA a a a AA a a a AA a a a ij ij T nn n n T n T n ΛΘΛΛΛΛΛ元的第元的第元的第14、注意到：n k n n E A A E A E =+++--))((1Λ及n n k n E A E A A E =-+++-))((1Λ（利用0=k A ）．A E n -∴可逆，且11)(--+++=-k n n A A E A E Λ.15、0672=--n E A A⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⇒-=-+=-⇒=-⇒nn n n n n n n n n E E A E A E E A E A E E A A E E A A 129121)2(12)9)(2()6761(6)7(再验证：nn n n n E E A E A E A E A =+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-)2(1291216761于是可说E A A 2,+均可逆，且 n n n E A E A E A A 43121)2(,676111+-=+-=-- 说明：对于数a而言，当0672=--a a 时，可以得到12)9)(2(,6)7(-=-+=-a a a a ，矩阵的乘法可类比.16、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==345123101)(ij b B ，易求出AB. 17、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=αααα2cos 2sin 2sin 2cos 2A猜想 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααn n n n A n cos sin sin cos （*）用数学归纳法证：① 1=n 时成立．② 设1-n 时成立，则n 时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⋅=-ααααααααcos sin sin cos )1cos()1sin()1sin()1cos(1n n n n A AA n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααn n n n cos sin sin cos 故（*）式成立19、（1）原式T T T T n u u u u uu uu E )(λμμλ+--= T T n uu u u E )(λμμλ-+-=（2）当1≠u u T λ时，由0=-+u u T λμμλ可解出,1uu T λλμ--=则由（1）结果可知此时n T n T n E uu E u E =--))((μμλ，从而T n uu E λ-可逆． 22、22))((B BA AB A B A B A -+-=-+.当BA=AB 即A 、B 可交换时，22))((B A B A B A -=-+. 23、设,),,(),(1T n ij x x x a A Λ==由0=Ax 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++)(0)2(0)1(01121211111m x a x a x a x a x a x a n mn m n n n n ΛM ΛΛΛΛ由于n R x ∈是任意的（x 是任意n 维列向量），分别取),,2,1(,)0,,1,,.0(n j e x T j ΛΛΛ===，则,0),,,(21==T mj j j j a a a Ae Λ得到),,,1.(0m i a ij Λ==又j 分别取n ,,2,1Λ时，可得 ),,1;,,1(,0n j m i a ij ΛΛ===，故 .0=A24、设T j ij i e y a A x )0,,1,,0(),(),0,,1,,0()(ΛΛΛΛ====则由⇒=0xAy ,0010)0,,1,,0(111111==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ijnn nj n in ij i n j a a a aa a a a a a M M ΛΛM M M ΛΛM M MΛΛΛΛ).,,1;,,1(n j m i ΛΛ== 故 .0=A 25、（1） T ij x a A )1,,1,1(),(Λ==则 11111111111nx nn n n nn n n a a a a a a a a Ax ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛΛΛM ΛΛΛΛ （2）A 的每行元素之和为常数a ，即是ax Ax =.,)()(111x aA x ax A Ax A ---=⇒=∴又0≠a （否则00=⇒=x Ax ，矛盾）x a x A 11=∴-，即A -1每行元素之和皆为a1．27、设),,(1n a a diag A Λ=，)(ij b B =，),(),(ij ij d BA c AB ==则 ,001ij i nj ij i j ij b a b b a b c =⋅+++⋅=ΛΛ（A c ij =Θ的第i 行元素与B 的第j 列对应元素乘积之和）j ij in j ij i ij a b b a b b d =⋅+++⋅=001ΛΛ，令BA AB =得ij ij d c =．即 j ij ij i a b b a =0)(=-⇒ij j i b a an a a ΛΘ1两两不等，即)(j i a a j i ≠≠ B j i b ij ∴≠=∴)(0为对角矩阵．习题二1、按第3行展开00000000051412524232115141311325242252423221514131231a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -=25242315141341322524231514134231a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅-⋅==0． 2、（1）第2列减去第3列，提出公因数100； （2）化阶梯形；（3）第一行展开，再化阶梯形；（4）第2，3，4列加到第1列提出公因数10.（5）yxx y x y x y y x yx yx x y x yx y x y yx D 111)22(222222+++=+++++= xy x y xx y y x ---+=001)22().(2)]([)22()22(332y x y x y x y x xy x yxy x +-=-+-⋅+=---⋅+=（7）原式 .0221222122212221252321252321252321252321222222222=++++=++++++++++++=d d c c b b a a d d d d c c c cb b b b a a a a3、（1）按第一行展开，再把第2个1-n 阶行列式按最后一行展开000)1(1⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=+ΛΛy xx yxx xD n1121)1()1(-++--+=n n n y x xxO.22--=n n x y x（2）按第一行展开111)1(-+-⋅=n n n b b b D O )()1(11n n b b Λ+-=．（3）原式＝.)1(!)1(!221)1)(1()1(121)1(2)2)(1(12)1(1111++++++++-++-=-==----=--n n n n n n n n n n n n n n ΛΛNN（4）第1,3至n 行分别减去第2行，再按第1列展开.)!.2(220000100222000012000010022220001--=--=--=n n n D ΛM M M M M ΛΛΛΛM M M M M ΛΛΛ（5）212---=n n n D D D ⇒211----=-n n n n D D D D12312=-=-D D⇒)2(11≥=--n D D n n∴1)2(2⋅-+=n D D n （等差数列）123+=-+=n n 4、（1）略（2）4阶范德蒙行列式的变形. 5、（1）用归纳法．当 2=n 时，,11112121212a a a a a a D ++=++=等式成立．设当k n =时等式成立，即k k k k k k a a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛ3222112121++++=--．当1+=k n 时，1212112111101101111111111111101110111++++++++=+++++=k k k a a a a a a a a D ΛM M M M ΛΛΛM M M M ΛΛΛM M M M ΛΛ,1321121211211211211110000++-+++++++=+=+=k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a D a a a ΛΛΛΛΛΛΛM O M M ΛΛ等式得证．（2）归纳法． 当3=n 时，,)()(11))((0011113132121132321122213123133313213123133313231131213332313213∏≤<≤-++=++++--=----=----==i j j ia aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D结论成立．假设当1-n 时结论成立． 当n 时，n nn n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛM M M MΛΛ32122322213211111----=211231132211233331122111)()(---------+++--=n nn n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛMMMΛΛ)111111)(()(21231221333311312333311222------------+--=n nn n n n n n n nn n n n n n n aa aa a a aa a aaa a a a a a a a ΛΛM M M ΛΛΛM M M ΛΛ)111)(()(223223333111122-------+--=n nn n n n n n n n aaa a a a a D a a a a ΛΛM M MΛΛ))()())((()(2122112∏∏≤<≤≤<≤-+-++--=ni j j ini j j in n a aa a aa a a a a a ΛΛ.)()(121∏≤<≤-+++=ni j j in a aa a a Λ另一证法参见《 学习指导》．6、利用范德蒙行列式，可得∏-≤<≤---------==11111111111)()().(111)(n i j j i n n n n n n a a x a x a a a x a a xx D ΛΛM M M MΛΛ由于),11(,-≤<≤≠n i j a a j i 故上式为x 的1-n 次多项式，其根分别为.,,,121-n a a a Λ8、用初等变换化为阶梯形即可得秩．9、利用行初等变换化 )()(1-→→A E E A ΛΛ得到1-A ．注：（2）E A 4442=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O ⇒ 441AA E A A =⇒=⋅-.11、⇒+=⋅B A B A 2A B E A =-)2(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-=⇒-9122692683)2(1A E A B 注意左、右乘的区别！12、设.)(1110--+++=n n x c x c c x f Λ由⇒=i i b a f )(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----n n O n n n n n b b c c c a a a a a a AC M M M ΛM M M M ΛΛ1111122111111由范德蒙行列式,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒≠-=-≤<≤∏n n n i j j i b b A c c a a A M M 11010)(det即n c c ,,0Λ唯一存在，从而)(x f 唯一存在. 13、 当0det ≠A 时, 1)(det *-=A A A())det()(det )(det det *det 11--==⇒A A A A A n ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⇒--A A A A n det 1det )(det *det 11Θ.当0det =A 时，0*=AA . 设r A rank =)(，则11000000--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q Er P A Er PAQ *000*11A Q Er P AA --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒ 0000211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C C Er P ，（记)*211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C C A Q000021=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒C C Er （1-P Θ可逆） O C O O C =⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴-222100*0*QC C Q A C A Q0*det =∴A （*A Θ中至少有r 行为0行）.14、(1) rank(A)=.)(0||||0||*1*n A rank A A A n n =⇒≠=⇒≠⇒-(2) ,1)(-<n A rank 则A 的1-n 阶子式全为0，从而*A 的任一元素为0，故.0)(*=A rank(3) 当,1)(-=n A rank 则A 中至少有一个1-n 阶子式不为0，即*A 至少有一个元素不为0，故.1)(*≥A rank 反之，.0||0||1)(*==⇒=⇒-=E A AA A n A rank 又存在n 阶可逆矩阵,,Q P 使.0001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n E PAQ 又,0**1==-PAA A PAQQ 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21*1B B A Q ，其中2B 为*1A Q -的最后一行，则由,00.0001211=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B B B E n 于是,10)()(2*1*≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-B rank A Q rank A rank 故.1)(*=A rank15、由已知条件知，T A A )(*=，于是||||*A A =．0||||||||||**=⇒=⇒=A A A A E A AA n或.1||±=A 但∑=>=ni ij a A 12,0||（某个),0≠ij a 故.1||=A16、利用⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12111212212111112100A A A A A A E A A E A r n r 及例2.21的结论.习题四6、设313322211,,ααβααβααβ+=+=+=，321,,βββ线性无关3),,(321=⇔βββr ，而321,,ααα线性无关3),,(321=⇒αααr ，故只须证：),,(),,(321321αααβββr r =或：),,(),,(321321βββααα→列初等变换．事实上：),,(),,(322132121ααααααα+→+C C),,(),,()2,,()2,,(),,(3211332213213221332212332212313332βββααααααααααααααααααααααα=+++++++++++→→→→-++C C C C C C C3)(),,(321321==∴αααβββr r 321,,βββ∴线性无关．方法2 设 =+++++)()()(133322211ααααααx x x 0 (1) 下证 0321===x x x（1）式332221131)()()(αααx x x x x x +++++⇒=0由321,,ααα线性无关⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+∴000000321322131x x x x x x x x x 从而133221,,αααααα+++线性无关. 方法3：,110011101),,(),,(321133221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++ααααααααα 记 .110011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AA A ∴≠=02det Θ可逆线性无关321321133221,,3),,(),,(ααααααααααααΘ↑==+++∴r r7、（1）432,,αααΘ 线性无关32,αα∴ 线性无关（整体线性无关，则部分也是） 又321ααα，，Θ线性相关1α∴可由32αα，唯一线性表示（定理4.5） （2）反证法，设4α可由321,,ααα线性表示，则),,(),,,(3214321αααααααr r = ①又321,,αααΘ线性相关3),,(321＜r ααα∴ ② 又432,,αααΘ线性无关，有 3),,(432=αααr3),,(),,,(4324321=≥∴αααααααr r ③由①②③知⎩⎨⎧<≥3),,,(3),,,(43214321ααααααααr r 矛盾．10、设),,(),,,(11n n B A ββααΛΛ== 则),,(11n n B A βαβα++=+Λ设r i i αα,,1Λ是A 的一个最大线性无关组，s j j ββ,,1Λ是B 的一个最大线性无关组则s B r r A r ==)(,)(，由于k α可由r i i αα,,1Λ线性表示，k β可由s j j ββ,,1Λ线性表示，）（n k ,,1⋯⋯=n n βαβα+⋯⋯+∴,11可由r i i αα,,1Λ，s j j ββ,,1Λ线性表示，从而),,,(),(1111s r n n r r ββααβαβα⋯⋯⋯⋯≤+⋯⋯+s r +≤ 即).()()(B r A r B A r +≤+12、假设r n -⋯⋯ξξξη,,,,21线性相关r n -⋯⋯ξξξ,,,21Θ线性无关η∴可由r n -⋯⋯ξξ,,1线性表示设 i i rn i k ξη∑-==1),,1(r n i i -=ΛΘξ是0=AX 的解 η∴也是0=AX 的解，从而0=ηA ，但η却是B AX =的解，从而0≠=B A η矛盾． 13、112211)1(+------++++=r n r n r n r n k k k k k x ηηηηΛΛ11122111)()()(+-+---+-+-+-++-+-=r n r n r n r n r n r n k k k ηηηηηηηΛ 令1122111,,+---+-+--=-=-=r n r n r n r n r n ηηαηηαηηαΛ 则0)(1=-=-=+-B B A A r n i i ηηαr n -⋯⋯∴αα,1是0=AX 的解 ①下证：r n -⋯⋯αα,1线性无关02211=+++--r n r n x x x αααΛ0)()(1111=-++-⇔+---+-r n r n r n r n x x ηηηηΛ 0)(1111=---+++⇔+----r n r n r n r n x x x x ηηηΛΛ 11,,,+--r n r n ηηηΛΘ线性无关， .021====∴-r n x x x Λr n -∴αααΛ,,21线性无关. ②由①，②知r n -αααΛ,,21是0=Ax 的基础解系．又1+-r n η是B Ax =的解（非齐次方程的一个特解！）∴111+---+++r n r n r n k k ηααΛ11)1(11+-------+++=r n r n r n r n k k k k ηηηΛΛ是=AX B 的通解．14、032321=+-x x x 的基础解系为,203,02121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηη它们就是V 的一组基．注：分别取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20,0232x x 得1η，2η． 17、充分性：设),,(,),,(11n T m b b a a ⋯⋯=⋯⋯=βα αβ=A ，则1)()(≤≤αr A r ① 因0,≠βα，不妨设i a ，0≠j b 则A 的第i 行第j 列的元素为i a 0≠j b∴ 1)(≥A r （至少有一个一阶子式不为0） ② ∴ 1)(=A r （由①与②得）必要性：设),,,(21n A αααΛ=， ),,,()(121n r A r αααΛ==， 则n ααΛ1的最大线性无关组只含1个向量，设它为α，)0(≠αΘ α为n αα⋯⋯,1的最大线性无关组 ∴ n αα⋯⋯,1可由α线性表示设ααααααn n k k k ===,,,2211Λ，令),,,(21n k k k Λ=β 则0≠β （否则，由1)(021=====A r n 与αααΛ矛盾．）则),(1n A ααΛ=),,(1ααn k k ⋯=)(21n k ，，k k ⋯=ααβ=． 其中α为1⨯m 向量，β为n ⨯1向量． 18、令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T m T A ααM 1， ,1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T m T B βααM则0=Ax 的解都是0=Bx 的解（条件） 显然0=Bx 的解都是0=Ax 的解 （后者比前者少一个方程）)()(B r A r =∴（结构定理4.11）)()(T T B r A r =∴⇒),,(),,(11βααααm m r r ΛΛ= ∴β可由m αα,,1Λ线性表示19、令),,(),,,(11p n B A ββααΛΛ==，则矩阵方程B AX =有解∃⇔矩阵B AP P p n =⨯使得,∃⇔矩阵),(),(,11p n p n P a P ββαΛΛ=⨯使得⇔ 存在矩阵使得,)(p n ij p P ⨯=⎪⎩⎪⎨⎧++=++=n np p pn n p p p p ααβααβΛΛΛΛΛΛΛ1111111 p ββ,,1Λ⇔能由n ααΛ,1线性表示⇔ )()(A rank B A rank =M20、这里A 是实矩阵（否则未必成立，如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1i A ）考虑0=AX 与0)(=X A A T 的解由===⇒=0)()(0T T T A AX A X A A AX 0知0=AX 的解一定是0)(=X A A T 的解.下证：0=AX A T 的解也是0=AX 的解，设0=AX A T 则0=AX A X T T .AX 是实向量，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a AX M 1，则0),,()()(22111=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n T a a a a a a AX AX ΛM Λ．0),,(1==∴T n a a AX Λ，即X 是0=AX 的解，从而0)(=X A A T 的解也是0=AX 的解∴ 0)(=X A A T 与0=AX 同解 ∴ )()(A rank A A rank T =（定理4.11）21、有结论，对线性无关组k ββΛ，1，若k ＜n ，则可以从n αα,,1Λ中取一个向量j α，记作1+k β，使11,,+⋯⋯k k βββ线性无关（*），现用该结论证明本题：r Θ＜n ，可以取{}n j αααΛ,1∈ 使j r αββ,1Λ，线性无关 记j r αβ=+1，如果n r =+1，则证毕！如果1+r ＜n ，上述结论（*），可再从n αα,,1Λ中找k α使11+r ββΛ，，k α线性无关，如此进行下去，直到得到n ββΛ，1线性无关，此时从n αα,,1Λ中取了r n -个向量n r ββΛ，1+加入r ββΛ，1，使得n ββΛ，1线性无关（作为n R 的一组基）． P.S ．证明结论（*）向量组n αα,,1Λ不能用r ββΛ，1线性表示，否则由于n r <导致n ααΛ,1线性相关，矛盾∴存在某个j α不能用r ββΛ,1线性表示而k ββΛ,1，j α线性无关，记1+=r j βα即可.22、A 可由1A 线性表示，又1A 可由A 线性表示，于是1A 与A 等价，从而r A rank A rank ==)()(1,由定理4.7 知1A 为A 的最大线性无关组．23．（1）取11,,-m ααΛ的一个最大无关组)(,1个r ir i ααΛ，则r r m m m ==--),,,(),,(1111αααααΛΛ从而ir i ααΛ,1也是m ααΛ,1的最大无关组，显然它不包含m α（ir i αα,1ΛΘ是从11,,-m ααΛ中取出的！）（2）假设结论不成立，则A 有一个最大线性无关组ir i αα,1Λ，不包含m α,则包含在11,,-m ααΛ中，从而m α能表示为ir i αα,1Λ的线性组合，也能表示为11,,-m ααΛ的线性组合，矛盾.习题五2、若λ为A 的特征值，X 为相应的特征向量，即X AX λ=，于是X AX X A 22λλ==，又E A =2，则0)1(22=-⇒=X X X λλ，由于0≠X ，则1012±=⇒=-λλ.5、（反证）若21X X +为A 的属于λ的特征向量，则212121)()(AX AX X X A X X +=+=+λ0)()(22112211=-+-⇒+=X X X X λλλλλλ，由于21,X X 线性无关，则21λλλ==,矛盾. 7、X AX A x A X AX i i λλ==⇒=Λ（i 为自然数）.)()()(101010X f X a X a X a X A a AX a X a X A a A a E a X A f mm m m m m λλλ=++=++=++=⇒ΛΛΛ8、（1）)5)(5)(1(34430241-+-=----=-λλλλλλλE A ，A 的特征值为5,5,1321-===λλλ.（1.1）若求)det(100A ，由上题知A 100的特征值为：1 ， 5100， (-5)100,于是2001001001005)5(51)det(=-⨯⨯=A .（1.2）若求A 100，先将A 对角化：对11=λ，0)(0010011024440240=-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011X ; 对52=λ，0)5(0021101012404802445=-⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2122X ; 对53-=λ，0)5(00210101844202465=+⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213X .取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==120210121),,(321X X X P ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-120210505511P ，11110011551551551551500050001-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=P P P P P P A P P A AP P Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--100100100110010011005000501501551551P P P P .16、设n 阶正交阵A （n 为奇数）有特征值λ及相应特征向量X ，即X AX λ=，0)1()()(22=-⇒=⋅===X X X X X X AX AX AX A X X X T T T T T T T λλλλ，由于022221≠+++=n T x x x X X Λ，故,112±=⇒=λλ设A 的所有特征值为n λλλ,,,21Λ，则1det 21==A n λλλΛ，由于)1(1n i i ≤≤±=λ且n 为奇数，故必有某个,1=k λ又A E -的特征值为),,2,1(,1n i i Λ=-λ,从而0)1()1()1()det(1=---=-n k A E λλλΛΛ.17、设n n ββααΛΛ,,,11为n R 中两组单位正交基，从n αα,,1Λ到n ββ,,1Λ的过渡矩阵P=B A n n 1111),,(),,(--=记ββααΛΛ，由于A ，B 为正交阵，由正交阵性质知B A P 1-=为正交矩阵.20、（2）A 可逆，由AB BA AB BA BA A A A AB A ,~)()(11⇒==--与BA 有相同特征值.21、由16题证明知A 的特征值为1或-1，由于A 为上三角矩阵，其对角线上元素为特征值，即1±，再利用A 的任两列正交可得A 为对角阵. 另一证法可参见《学习指导》.22、存在正交矩阵Q ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T AQ Q λλλO 21，令QY X =，则：22111)(n n n T T T T y y Y Y Y AQ Q Y AX X λλλλ++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ΛO ，取{}n c λλ,,max 1Λ=，则X cX X Q X Q c Y cY y y c AX X T T T n T ===+≤--11221)()(Λ注：题目中)det(AX X T 应改为AX X T .24.由X AX ⋅==00知21,ξξ为A 的属于0的特征向量,且它们正交.由A 对称知A 的属于3的特征向量3ξ必与21,ξξ正交.现求3ξ.由于021222132132121=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x T T ξξ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210201212221得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1223321x x x x ，取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1223ξ，则21,ξξ，3ξ为A 的两两正交的三个特征向量，单位化：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=313232,323132,323231321ηηη，得正交阵[]321,,ηηη=Q , 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300AQ Q T ，于是 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122244244313112221222130012221222131300T Q Q A . 26、设λ为A 的特征值，X 为相应特征向量，则X AX λ=，X AX A X A 22)(λ==，由A A =2得000)(22=⇒=-⇒=-λλλλλX 或1，即A 的特征值为0或1，E+A 的特征值为1或2，故E+A 的所有特征值之积不为0，即0≠+A E ，从而E+A 可逆，或由A E A E E A A E A E A E 21)(2121)21)((12-=+⇒=-+=-+- 27、若B 与A 相似，即存在可逆阵P ，使AP P B 1-=，从而P A P B k k 1-=，因而01==-P A P B m m ，但对角阵Λ不满足0=Λm ，故A 不与对角阵Λ相似. 28、记),,,(21n diag B λλλΛ=则存在可逆阵,P 使k k B P A P B AP P =⇒=--11.设n n A a A a E a A f Λ++=10)(，则))(),(()(111101110111011101n n n nn nn n n nn f f diag a a a a a a a a E a p A P a AP P a E a P A f P λλλλλλλλλλΛΛO ΛO ΛO Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=---)(A f ⇒相似于)(),((1n f f diag λλΛ.29、由已知条件，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0112011A ，⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1103110A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300211002100111010303210230321021001110101A A30、由于A 为实对称阵，必与对角阵相似，要使A 与B 相似，只要A 与B 有相同特征值即可，B 的特征值为0,1,2，也为A 的特征值，A 的特征多项式为：λλλλλ---=-=11111)(yy x xE A f ，于是有0)2()1()0(===f f f ，即y x y x y y xx f =⇒=--==0)(11111)0(2 00201010)1(=⇒===x xy y y xx f 或0=y y x y x y y xx f -=⇒=+=---=0)(11111)2(2 31、用21,x x 分别表示市区，郊区居民数量，依题意有3:2:9.015.01.085.0212121=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x x习题六3、存在正交矩阵Q ，变换QY X =将二次型f 化为标准型，即：2222211)(n n T T T y y y Y AQ Q Y AX X f λλλ+++===Λ，取),2,1(n i e Y i Λ==则0==i f λ ),2,1(n i Λ=，（即此时取i Qe X =）.00011=⋅⋅=⇒=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇒-Q Q A AQ Q n T λλO6、二次型3231212322212245x x x x x x ax x x f --+++=的矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=a A 11112125，A 正定⇔A 的各阶顺序主子式).3,2,1(,0=>∆k k即,20211112125,011225,05321>⇒>-=----=∆>==∆>=∆a a a故当2>a 时，二次型f 正定.7、设n 阶实对称阵A 的n 个特征值为n λλλΛ,,21，则存在正交矩阵Q ，使T n n T Q Q A AQ Q ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλO O 2121 A正定⇒A 的n 个特征值nλλλ,,,21Λ全为正T n n Q Q A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒λλλλλλO O 2121B B A T =⇒，其中Tn Q B ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλO 21为满秩阵. 反之，若有n 阶满秩矩阵B ，使B B A T =.令BX Y =，则：22221)()())((n T T T T T y y y Y Y BX BX BX B X AX X f +++=====Λ，从而对任一0≠X ，有,00>⇒≠=f BX Y 所以f 正定.8、（1）)0(,0≠>=X AX X f T 取i e X =，则).,21(0010)010()(11111，n i a a a a a a a a e f ii nn n in ii i n i ΛM M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，=>=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=（2）与（1）类似可证.9、（1）对B A BX X AX X X B A X x f X T T T +⇒>+=+=≠0)()(,0正定（2）K K K T T K A A A A ⇒==)()(对称A 正定A ⇒的特征值n λλλΛΛ,,21全为正k A ⇒的特征值k n k k λλλΛΛ,,21全为正k A ⇒正定（3）设A 的n 个特征值为n λλλΛΛ,,21，则aE A +的n 个特征值为),2,1(,n i a i Λ=+λ，取{}i a λmax >，则),2,1(0n i a i Λ=>+λ即aE A +的n 个特征值全为正aE A +⇒正定.10、f 的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3030002aa A ，由标准型23222152y y y f ++=知A 的三个特征值为1，2，5. 由0)3)(3)(2(33002=---+-=--=-λλλλλλa a aa E A 知A 的三个特征值为a a -+3,3,2.于是2=a 或2-，不妨取2=a ，于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=320230002A 对⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=00011000122220001,11E A λ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1101ξ，单位化,212101⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=η 对22=λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-300210001202100002E A ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0012ξ，取22ξη=; 对53=λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-0001100012202200035E A ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103ξ，单位化⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=212103η，于是所用正交变换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010Q . 11、二次型f 的标准矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=λλλ111111A ，要f 正定，即要求A 正定，必须A 的各阶主子式：0>∆k ，)3,2,1(=k 即01>=∆λ，011122>-==∆λλλ，10)2()1(11111123>⇔>-+=--=∆λλλλλλ且202>⇔>-λλ. 故当2>λ时，二次型f 为正定. 12、A为正定矩阵，则A为对称矩阵，即,ij ji a a =因此ij j ij i i ji j ji b c a c c a c b ===，从而B 也为对称矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===n n n nn n n n n n j iji ij c c c A c c c c c c a a a a a a a a a c c c c a c b B OO O ΛΛΛΛΛΛO21212121222211121121)()(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒n n n n n n n n T x c x c x c A x c x c x c x x x c c c A c c c x x x BX X M ΛM O O Λ2211221121212121),,(),( (1)由于n c c c Λ,,21为非零实数，对021≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X M ，有02211≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n x c x c x c M ，又A 为正定矩阵，则（1）式右端大于0，从而对0≠X ,有0>BX X T ，故B 为正定矩阵.。

同济高数课后习题答案全解

同济高数课后习题答案全解

同济高数课后习题答案全解高等数学同济版第一章一、求下列极限、;解一: 原式原式解二:2xlim2、解一:2x13x11原式解二:sin3x~3x2xx1原式xtan2xlim3、解:原式xlim4、原式解一: 1 解二:原式、原式解一:解二:原式xlimxlim6、解一原式令2t解二: 1原式2x)]17、解:原式:、解:原式、原式解:10、解:2663xsinx1sinx1原式11、。

解:原式二、求下列导数或微分1、设，求dy 解一:解二:dx2x2、设，求解、设，求解4、设，求解:dy5、设，求dx1y解:6、设ye，求 dxx解、设，求dy解、设，求解9、设，求解:10、设，求1解、设sinxx3edt，求解12、设，求解，，3三、求下列积分1、解:原式ex2、解:原式、cscx解:原式4、1x221x2解:原式(lnx)3、 x14解:原式dx6、解:原式x47、解:原式8、解一:令原式解二:利用原式9、55解:因原式10、1elnxdx1e1解:原式e111、解:原式12、dx 2x令解:原式2413、解:原式x3 原式x,314、1027解:原式19817 272710 981 115、20 sinx3解:2sin3x20令原式20注:上题答案有误，应为(π-1)/4四、微分和积分的应用1、列表讨论下列函数的单调性、凹凸性、极值、拐点: 32; (1)解:83由或x=2.由在区间，上递3增;在区间[1,2]上递减。

在上是凸的;333在上是凹的。

点(2,2)是函数的拐点，函数在处取得极大值2，在处取得极小值1。

(2)解:没有的点，存在不可导点在区间上递增;在上是凸的;在上是凹的。

点(0,0)是函数的拐点(3)解:33399921由由55当时，y,y不存在‘‘‘在区间上递增，在-，上是凹的;上递减;在区间-在上是凸的。

点，是函数的拐点，函数在处取得极大值，在5处32取得极小值32、求函数的极值。

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案解析

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word 完美格式第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

同济第五版高数答案(高等数学课后习题解答)

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(7) yarcsin(x3);
解 由|x3|1 得函数的定义域 D[24]. 1 (8) y 3 x arctan ; x 解 由 3x0 且 x0 得函数的定义域 D(0)(03).
(9) yln(x1);
解 由 x10 得函数的定义域 D(1).
解 (1)是周期函数周期为 l2.
(2)是周期函数周期为 l . 2 (3)是周期函数周期为 l2. (4)不是周期函数. (5)是周期函数周期为 l. 14. 求下列函数的反函数 (1) y 3 x 1 (2) y 1 x 1 x (3) y ax b (adbc0); cx d (4) y2sin3x; (5) y1ln(x2); 2x . (6) y x 2 1
解 (1)由 y 3 x 1 得 xy31所以 y 3 x 1 的反函数为 yx31.
1 y (2)由 y 1 x 得 x 所以 y 1 x 的反函数为 y 1 x . 1 x 1 x 1 x 1 y dy b 所以 y ax b 的反函数为 y dx b . (3)由 y ax b 得 x cx d cy a cx d cx a
F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)
所以 F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数. 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数则
F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)
所以 F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数.
解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 . 4 4 2 4 4 6 6 2 2
9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: x (1) y , (, 1); 1 x (2)yxln x, (0, ).

高等数学课后习题答案,同济版高等数学课后习题答案

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D
习题8-2
1.计算下列二重积分：
(1)
∫∫(x
DD
2
+y2)dσ，其中D={(x,y)||x|≤1,|y|≤1};
(2)(3∫∫x+2y)dσ，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域;(3)
∫∫(x
DD
3
+3x2y+y3)dσ，其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1};
(4)∫∫xcos(x+y)dσ其中D是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域.
dσ=∫2
y2
dydx=
122∫?2y2(4?y2)dy=64
15
.D
?2
(3)D=D1∪D2，其中D1={(x,y)|?x?1≤y≤x+1,?1≤x≤0}，
D1={(x,y)|x?1≤y≤?x+1,0≤x≤1}，于是
∫∫e
x+y
dσ=D∫∫ex+ydσ+∫∫ex+ydσ
D1
D2
=∫0exdx∫
x+1?1?x?1
解(1)直线y=x及抛物线y2=4x的交点为(0,0)和(4,4)
，于是
I=∫4dx4y
x
f(x,y)dy或I=∫0
dy∫y2f(x,y)dx
4
(2)将D
用不等式表示为0≤y≤?r≤x≤r，于是可将I
化为
I=∫r
?r
dx0
f(x,y)dy;
如将D
用不等式表示为≤x≤0≤y≤r，于是可将I
化为
I=∫r
I=∫∫f(x,y)dσ
D
为二次积分(分别列出对2个变量先后次序不同的2个二次积分)，其中积分区域D是：

同济大学版高等数学课后习题答案第2章

同济大学版高等数学课后习题答案第2章

同济大学版高等数学课后习题答案第2章习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称tθω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 tt t t t-?+=??=)()(00θθθω,故t 0时刻的角速度为)()()(lim lim lim 000000t tt t t tt t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为tt T t t T t T ?-?+=??)()(,故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义.解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量.xx f x x f ?-?+)()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. xx f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim)(0表示当产量为x 时单位产量的成本.4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 xx x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2200)1(10)1(10lim )1()1(lim)1(20)2(lim 102lim 10020-=?+-=??+?-=→?→?x xx x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x .解 xxx x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0xxx x x +-=→?2sin )2sin(2limx x xx x x sin ]22sin )2sin([lim 0-=+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =?-?-→?)()(lim 000;解xx f x x f A x ?-?-=→?)()(lim000)()()(lim 0000x f xx f x x f x '-=?--?--=→?-. (2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f(0)=0, 且f '(0)存在; 解)0()0()0(lim )(lim00f x f x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A h h x f h x f h =--+→)()(lim 000. 解hh x f h x f A h )()(lim000--+=→hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim00000----+=→ hx f h x f hx f h x f h h )()(lim)()(lim 000000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0). 7. 求下列函数的导数: (1)y =x 4; (2)32x y =; (3)y =x 1. 6; (4)xy 1=;(5)21xy =;(6)53x x y =;(7)5322x x x y =;解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 .(2)3113232323232)()(--=='='='x x x xy . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.(4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x xy .(5)3222)()1(---='='='x x xy .(6)511151651653516516)()(x x x x xy =='='='-.(7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y .8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s)时的速度.解v =(s)'=3t 2, v|t =2=12(米/秒).9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 证明当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以)0(0)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim)0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0.10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:π32=x , x =π.解因为y '=cos x , 所以斜率分别为 2132cos 1-==πk , 1cos 2-==πk .11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式.解y '=-sin x ,233sin3-=-='=ππx y ,故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y ,法线方程为)3(3221π--=-x y .12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程. 解y '=e x , y '|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为 y -1=1?(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y '=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k .令2x =4, 得x =2.因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线. 14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性: (1)y =|sin x|;(2)=≠=0001sin 2x x xx y . 解 (1)因为 y(0)=0,0)sin (lim |sin |lim lim 00=-==---→→→x x y x x x ,0sin lim |sin |lim lim 00===+++→→→x x y x x x ,所以函数在x =0处连续. 又因为 1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000-=-=--=--='---→→→-x x x x x y x y y x x x ,1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y '-(0)≠y '+(0), 所以函数在x =0处不可导.解因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y(0)=0, 所以函数在x =0处连续. 又因为01sin lim 01sin lim0)0()(lim 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.15. 设函数>+≤=1 1)(2x b ax x x x f 为了使函数f(x)在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f(1)=a +b ,所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 . 又因为当a +b =1时211lim )1(21=--='-→-x x f x ,a x x a xb a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1. 16. 已知?<-≥=0 0)(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？解因为 f -'(0)=10lim )0()(lim00-=--=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在.17. 已知f(x)=?≥<0 0sin x x x x , 求f '(x) .解当x<0时, f(x)=sin x , f '(x)=cos x ; 当x>0时, f(x)=x , f '(x)=1; 因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=---→→x x x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→xx x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x)=?≥<0 10cos x x x .18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解由xy =a 2得xa y 2=, 22xa y k -='=.设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为)(02020x x x a y y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x ax y x =+=, 为切线在x轴上的距.令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距.此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)'=-csc 2x ; (csc x)'=-csc xcot x .解 xx x x x xx x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ?-?-='=' x xx x x 22222csc sin 1sin cos sin-=-=+-=. x x xx x x cot csc sin cos )sin 1()(csc 2?-=-='='. 2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+=xxxy ;(2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ?cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)xx y ln =;(8)3ln 2+=xe y x;(9) y =x 2ln x cos x ; (10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xxxy2562562282022820xxxx x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3ex .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ?tan x =sec x(2sec x +tan x).(4) y '=(sin x ?cos x)'=(sin x)'?cos x +sin x ?(cos x)' =cos x ?cos x +sin x ?(-sin x)=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x)'=2x ?ln x +x 2?x 1=x(2ln x +1) . (6) y '=(3e x cos x)'=3e x ?cos x +3e x ?(-sin x)=3e x (cos x -sin x).(7)22ln1ln 1)ln (x x x xx x x x y -=-?='='.(8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=?-?='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x)'=2x ?ln x cos x +x 2?x1?cos x +x 2 lnx ?(-sin x)2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x .(10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t tt s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=dd .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) .解 (1)y '=cos x +sin x , 21321236sin 6cos 6+=+=+='=πππx y ,222224sin 4cos 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214cos 44sin 214πππππθρπθ+=?+?=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=. 求:(1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 解(1)v(t)=s '(t)=v 0-gt .(2)令v(t)=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻.5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程.解因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x , 所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x); (3)23x e y -=;(4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=;(7) y =tan(x 2); (8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x)2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1?(2x +5)'=4(2x +5)3?2=8(2x +5)3. (2) y '=-sin(4-3x)?(4-3x)'=-sin(4-3x)?(-3)=3sin(4-3x). (3)22233236)6()3(xx x xe x e x e y ----=-?='-?='.(4)222212211)1(11x x x x x x y +=?+='+?+='. (5) y '=2sin x ?(sin x)'=2sin x ?cos x =sin 2x . (6))()(21])[(22121222122'-?-='-='-x a x a x a y2122)2()(21x a x x x a --=-?-=-.(7) y '=sec 2(x 2)?(x 2)'=2xsec 2(x 2).(8)xx xx e e e e y 221)()(11+='?+='. (9) y '21arcsin2)(arcsin arcsin 2xx x x -='?=. (10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='?='. 7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x);(2)211x y -=;(3)x e y x 3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)x x y ln 1ln 1+-=;(6)xx y 2sin =; (7)x y arcsin =;(8))ln(22x a x y ++=;(9) y =ln(sec x +tan x); (10) y =ln(csc x -cot x). 解 (1)2 221)21(12)21()21(11x x x x x y --=---='-?--='.(2))1()1(21])1[(21212212'-?--='-='---x x x y 2321)1()2()1(21x x x x x --=-?--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xx x x)3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xxx+-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x xy +-=+--+-='.(6)222sin 2cos 212sin 22cos xx x x xx x x y -=?-??='.(7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=?-='?-='.(8)])(211[1)(12222222222'+++?++='++?++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++?++=.(9)x x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12 =++='+?+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12 =-+-='-?-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=;(4)x e y arctan =; (5)y =sin n xcos nx ; (6)11arctan -+=x x y ;(7)xx y arccos arcsin =;(8) y=ln[ln(ln x)] ; (9)xx x x y-++--+1111; (10)xx y +-=11arcsin.解 (1)'?=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(arcsin 22'?-?=x x x21)2(11(arcsin 22-?=x x . 242arcsin 2x x-=(2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'??='?='x x x x x yx x x csc 212sec 2tan 12=??=.(3))ln 1(ln 121ln 1222'+?+=+='x xx y )(ln ln 2ln 1212'??+=x x x x x x 1ln 2ln 1212??+=xx x2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan '?='x e y x)()(112arctan'?+?=x x e x)1(221)(11arctan 2arctanx x e x x e x x+=?+?=.(5) y '=n sin n -1x ?(sin x)'?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?(nx)' =n sin n -1x ?cos x ?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?n =n sin n -1x ?(cosx ?cos nx -sin x ?sin nx)= n sin n -1xcos(n +1)x . (6)222 211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--?-++='-+?-++= '.(7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-='22)(arccos arcsin arccos 11x x x x +?-=22)(arccos 12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'??='?='x x x x x y)ln(ln ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ?=??=. (9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111x x -+-=.(10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-?+--='+-?+--=')1(2)1(1x x x -+-=.9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f 2(x)+g 2(x)≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解])()([)()(212222'+?+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'?+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f(x)可导, 求下列函数y 的导数dxdy :(1) y =f(x 2);(2) y =f(sin 2x)+f(cos 2x).解 (1) y '=f '(x 2)?(x 2)'= f '(x 2)?2x =2x ?f '(x 2). (2) y '=f '(sin 2x)?(sin 2x)'+f '(cos 2x)?(cos 2x)'= f '(sin 2x)?2sin x ?cos x +f '(cos 2x)?2cosx ?(-sin x) =sin 2x[f '(sin 2x)- f '(cos 2x)]. 11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x ?e ch x ; (3) y =th(ln x); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x);(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y '=sh(sh x)?(sh x)'=sh(sh x)?ch x . (2) y '=ch x ?e ch x +sh x ?e ch x ?sh x =e ch x (ch x +sh 2x) . (3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ?='?='.(4) y '=3sh 2x ?ch x +2ch x ?sh x =sh x ?ch x ?(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-?-='. (6)222)1()1(112422++='+?++='x x x x x y .(7)12)(1)(142222-='?-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11?+=?+='?+=' x x x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'?-'?='x x x x y x x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4??-= xx x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -?=-=x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-?=. (10)'+-?+-?+-='+-?+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y)112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-?+=+--+?+-?=x x x x x x x x .12. 求下列函数的导数: (1) y =e -x (x 2-2x +3); (2) y =sin 2x ?sin(x 2); (3)2)2(arctan x y =;(4)n xx y ln =;(5)t t t t ee e e y --+-=;(6)xy 1cos ln =;(7)x ey 1sin 2-=; (8)xx y +=;(9)242arcsin x x x y -+=;(10)212arcsint t y +=.解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ?cos x ?sin(x 2)+sin 2x ?cos(x 2)?2x =sin2x ?sin(x 2)+2x ?sin 2x ?cos(x 2). (3)2arctan 44214112arctan 222x x x x y +=?+?='. (4)121ln 1ln 1+--=?-?='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y .。

高等数学(同济第七版)课后答案解析

高等数学(同济第七版)课后答案解析
解当0i时.s（t）二!F.
当I V，w2时，s（!）=I - y（2-/）2=一£f2+ 2/-1 ,
当/>2HhS（f） =1.
放
/>2.
Q 16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求
(1)90叩的等价摄氏温度和-5 °C的等价华氏温度：
(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的？如果存在，那么该温度值是多少？
xi
所以/（存）>/（%）,即/（W在（0, + ao）内单调增加.
公5・设/U）为定义在（-/./）内的荷函数.若/（X）在（01）内单调増加，证明/（#）在（-L0）内也单凋増加.
证设-/<X, <X2<0,则0< “2 <-A,</,由/（、）是哉函数，從/g）V（X|）=-/（-知）+f（-旳）■因为/Xx）在（OJ）内单调増加.所以y（-X!）-/（-x2）>0.从而/（旳）>/（旳），即/（X〉在《・"0）内也単调增加.
解设尸.其中叽/，均为常数.
因为〃=32。相当于。=。。/ =212。相当于C= 100°.所以
7 "*=槌
故〃=1.80+32或C=扌（F-32）.
(1)F=90°. C =刑90-32)52.2。.
C=-5。，F= 1.Xx(-5)+32= 23°.
(2)设温度値，符合题意.则有
/ = 1.8/ +32,I =-40.
尸銘EC
> =
y=•<>«< w
y=cotZ；
y=arcfiin lx I C1；
G2.卜列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么”⑴/U) =lg/,g⑴=21gx；

高等数学同济课后答案

高等数学同济课后答案

总习题一1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件. (2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的________条件. )(lim 0x f x x →存在是f (x )在x 0的某一去心邻域内有界的________条件. (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件. ∞=→)(lim 0x f x x 是f (x )在x 0的某一去心邻域内无界的________条件.(4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0x f x x →存在的________条件.解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ).(A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小.解 因为x x xx x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→3ln 2ln )1ln(lim 3ln )1ln(lim2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) .所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ).解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ].(3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2222ππππ+≤≤-n x n (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),即函数f (cos x )的定义域为[2,22ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 设⎩⎨⎧>≤=0 00)(x x x x f , ⎩⎨⎧>-≤=0 0 0)(2x x x x g , 求f [f (x )], g [g (x )], f [g (x )], g [f (x )]. 解 因为f (x )≥0, 所以f [f (x )]=f (x )⎩⎨⎧>≤=0 00x x x ;因为g (x )≤0, 所以g [g (x )]=0; 因为g (x )≤0, 所以f [g (x )]=0; 因为f (x )≥0, 所以g [f (x )]=-f 2(x )⎩⎨⎧>-≤=0 002x x x . 5. 利用y =sin x 的图形作出下列函数的图形: (1)y =|sin x |; (2)y =sin|x |; (3)2sin 2x y =.6. 把半径为R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数.解 设围成的圆锥的底半径为r , 高为h , 依题意有 R (2π-α)=2πr ,παπ2)2(-=R r ,παπαπαπ244)2(2222222-=--=-=RR R r R h .圆锥的体积为παπαπαππ244)2(312222-⋅-⋅=RR V22234)2(24a R -⋅-=πααππ(0<α<2π). 7. 根据函数极限的定义证明536lim23=---→x x x x .证明 对于任意给定的ε>0, 要使ε<----|536|2x x x , 只需|x -3|<ε, 取δ=ε, 当0<|x -3|<δ时, 就有|x -3|<ε, 即ε<----|536|2x x x , 所以536lim 23=---→x x x x .8. 求下列极限:(1)221)1(1lim-+-→x x x x ;(2))1(lim 2x x x x -++∞→;(3)1)1232(lim +∞→++x x x x ; (4)30sin tan limx x x x -→;(5)x x x x x c b a 10)3(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan 2)(sin lim π→.解 (1)因为01)1(lim 221=+--→x x x x , 所以∞=-+-→221)1(1lim x x x x .(2))1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x .(3)2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x xe x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(4)xx x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→21)2(2lim cos 2sin 2sin lim 320320=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换). (5)x c b a c b a xx x x xx xx x x x x x x x c b a c b a 3333010)331(lim )3(lim -++⋅-++→→-+++=++, 因为e c b a x x x c b a x x x x =-+++-++→330)331(lim ,)111(lim 3133lim 00xc x b x a x c b a xx x x x x x x -+-+-=-++→→ ])1ln(1lim ln )1ln(1lim ln )1ln(1lim [ln 31000v c u b t a v u t +++++=→→→3ln )ln ln (ln 31abc c b a =++=,所以3ln 103)3(lim abc e c b a abc x x x x x ==++→.提示: 求极限过程中作了变换a x -1=t , b x -1=u , c x -1=v . (6)xx x x xx x x tan )1(sin 1sin 12tan 2)]1(sin 1[lim )(sin lim -⋅-→→-+=ππ, 因为 e x x x =-+-→1sin 12)]1(sin 1[lim π,x x x x x x x cos )1(sin sin limtan )1(sin lim 22-=-→→ππ01sin cos sin lim )1(sin cos )1(sin sin lim 222=+-=+-=→→x x x x x x x x x ππ, 所以1)(sin lim 0tan 2==→e x x x π.9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=01sin )(2x x a x xx x f , 要使f (x )在(-∞, +∞)内连续, 应怎样选择数a ? 解 要使函数连续, 必须使函数在x =0处连续. 因为 f (0)=a ,a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 200, 01sin lim )(lim 00==++→→xx x f x x ,所以当a =0时, f (x )在x =0处连续. 因此选取a =0时, f (x )在(-∞, +∞)内连续. 10. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01 )1ln(0)(11x x x e x f x , 求f (x )的间断点, 并说明间断点所属类形. 解 因为函数f (x )在x =1处无定义, 所以x =1是函数的一个间断点.因为0lim )(lim 1111==-→→--x x x e x f (提示-∞=--→11lim 1x x ),∞==-→→++1111lim )(lim x x x e x f (提示+∞=-+→11lim 1x x ),所以x =1是函数的第二类间断点.又因为0)1ln(lim )(lim 00=+=--→→x x f x x , ee xf x x x 1lim )(lim 110==-→→++,所以x =0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.11. 证明()11 2111lim222=++⋅⋅⋅++++∞→n n n n n .证明 因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim2=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→nn n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 12. 证明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2(ππ-内至少有一个根.证明 设f (x )=sin x +x +1, 则函数f (x )在]2,2 [ππ-上连续.因为2121)2 (πππ-=+--=-f , 22121)2 (πππ+=++=f , 0)2()2 (<⋅-ππf f , 所以由零点定理, 在区间)2,2 (ππ-内至少存在一点ξ, 使f (ξ)=0.这说明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2 (ππ-内至少有一个根.13. 如果存在直线L : y =kx +b , 使得当x →∞(或x →+∞, x →-∞)时, 曲线y =f (x )上的动点M (x , y )到直线L 的距离d (M , L )→0, 则称L 为曲线y =f (x )的渐近线. 当直线L 的斜率k ≠0时, 称L 为斜渐近线. (1)证明: 直线L : y =kx +b 为曲线y =f (x )的渐近线的充分必要条件是xx f k x x x )(lim),( -∞→+∞→∞→=, ])([lim),( kx x f b x x x -=-∞→+∞→∞→.(2)求曲线x e x y 1)12(-=的斜渐近线.证明 (1) 仅就x →∞的情况进行证明.按渐近线的定义, y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线的充要条件是0)]()([lim =+-∞→b kx x f x .必要性: 设y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线, 则0)]()([lim =+-∞→b kx x f x ,于是有 0])([lim =--∞→xb k x x f x x ⇒0)(lim =-∞→k x x f x ⇒x x f k x )(lim∞→=, 同时有0])([lim =--∞→b kx x f x ⇒])([lim kx x f b x -=∞→.充分性: 如果xx f k x )(lim ∞→=, ])([lim kx x f b x -=∞→, 则0])([lim ])([lim )]()([lim =-=--=--=+-∞→∞→∞→b b b kx x f b kx x f b kx x f x x x ,因此y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线.(2)因为212lim lim 1=⋅-==∞→∞→x x x e x x x y k , 11)1ln(lim21)1(lim2]2)12[(lim ]2[lim 011=-+=--=--=-=→∞→∞→∞→t t e x x e x x y b t xx xx x ,所以曲线x e x y 1)12(-=的斜渐近线为y =2x +1.总 习 题 二1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0连续的____________条件. f (x )在点x 0连续是f (x )在点x 0可导的____________条件.(2) f (x )在点x 0的左导数f -'(x 0)及右导数f +'(x 0)都存在且相等是f (x )在点x 0可导的_______条件. (3) f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0可微的____________条件. 解 (1)充分, 必要. (2) 充分必要. (3) 充分必要.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f (x )在x =a 的某个邻域内有定义, 则f (x )在x =a 处可导的一个充分条件是( ). (A ))]()1([lim a f ha f h h -++∞→存在; (B )hh a f h a f h )()2(lim0+-+→存在;(C )h h a f h a f h 2)()(lim--+→存在; (D )hh a f a f h )()(lim 0--→存在.解 正确结论是D . 提示:xa f x a f h a f h a f h h a f a f x h h ∆-∆+=---=--→∆→→)()(lim)()(lim )()(lim000(∆x =-h ). 3. 设有一根细棒, 取棒的一端作为原点, 棒上任一点的做标x 为, 于是分布在区间[0, x ]上细棒的质量m 是x 的函数m =m (x ),应怎样确定细棒在点x 0处的线密度(对于均匀细棒来说, 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)？解 ∆m =m (x 0+∆x )-m (x 0).在区间[x 0, x 0+∆x ]上的平均线密度为xx m x x m xm ∆-∆+=∆∆=)()(00ρ.于是, 在点x 0处的线密度为)()()(lim lim 0000x m xx m x x m xm x x '=∆-∆+=∆∆=→∆→∆ρ.4. 根据导数的定义, 求xx f 1)(=的导数. 解20001)(1lim)(lim 11lim x x x x x x x x x x x x x y x x x -=∆+-=∆+∆∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆.5. 求下列函数f (x )的f -'(0)及f +'(0),又f '(0)是否存在? (1)⎩⎨⎧≥+<=0 )1ln(0 sin )(x x x x x f ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 00 1)(1x x e x x f x .解 (1)因为10sin lim 0)0()(lim )0(00=-=--='--→→-xx x f x f f x x ,1ln )1ln(lim 0)1ln(lim 0)0()(lim )0(1000==+=-+=--='+++→→→+e x xx x f x f f x x x x ,而且f -'(0) = f +'(0), 所以f '(0)存在, 且f '(0)=1.(2)因为111lim 01lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='---→→→-xx xx x e x e x x f x f f ,011lim 001lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='+++→→→+xx xx x e x e x x f x f f ,而f -'(0)≠ f +'(0), 所以f '(0)不存在.6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性. 解 因为f (0)=0,)0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不可导. 7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(sin x );(2)x x y -+=11arctan ;(3)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; (4))1ln(2x x e e y ++=;(5)x x y =(x >0) .解(1)|cos |cos cos sin 11)(sin sin 1122x x x xx x y =⋅-='⋅-='.(2)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='.(3))(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(4)xxx x xx x x x x x e e e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='.(5)x x y ln 1ln =, x x x xy y 11ln 112⋅+-=', )ln 1()1ln 1(222x x x x x x x y xx-=+-='.8. 求下列函数的二阶导数: (1)y =cos 2x ⋅ln x ; (2)21x xy -=.解 (1)x x x x x x x x x y 1cos ln 2sin 1cos ln sin cos 222⋅+⋅-=⋅+⋅-=',221cos 1sin cos 212sin ln 2cos 2x x x x x x x x x y ⋅-⋅-⋅-⋅-=''22cos 2sin 2ln 2cos 2xx x x x x --⋅-=.(2)232222)1(111--=---⋅--='x xx xx x y52252)1(3)2()1(23x x x x y -=-⋅--=''-.9. 求下列函数的n 阶导数: (1)m x y +=1;(2)xx y +-=11. 解 (1)m mx x y 1)1(1+=+=,11)1(1-+='m x m y , 21)1)(11(1-+-=''m x m m y , 31)1)(21)(11(1-+--='''m x m m m y , ⋅ ⋅ ⋅,n m n x n mm m m y-++-⋅⋅⋅--=1)()1)(11( )21)(11(1.(2)1)1(2111-++-=+-=x xx y , y '=2(-1)(1+x )-2, y ''=2(-1)(-2)(1+x )-3, y '''=2(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, ⋅ ⋅ ⋅, 1)1()()1(!)1(2)1)(( )3)(2)(1(2++-+-=+-⋅⋅⋅---=n n n n x n x n y.10. 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求y ''(0). 解 方程两边求导得e y y '+y +xy '=0, —— (1) 于是ye x y y +-=';2)()1()()(y y y y e x y e y e x y e x y y +'+-+'-='+-=''. ——(2)当x =0时, 由原方程得y (0)=1, 由(1)式得e y 1)0(-=', 由(2)式得21)0(e y =''. 11. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dx dy 及二阶导数22dx yd :(1)⎩⎨⎧==θθ33sin cos a y a x ;(2)⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2.解 (1)θθθθθθθtan )sin (cos 3cos sin 3)cos ()sin (2233-=-=''=a a a a dx dy ,θθθθθθθcsc sec 31sin cos 3sec )cos ()tan (422322⋅=--=''-=aa a dx y d .(2)t t t t t t dx dy 1111]1[ln )(arctan 222=++='+'=,3222222111]1[ln )1(t t t t t t t dx y d +-=+-='+'=.12. 求曲线⎩⎨⎧==-t te y e x 2在t =0相的点处的切线方程及法线方程.解t t tt t ee e e e dx dy 2212)2()(-=-=''=--.当t =0时,21-=dx dy , x =2, y =1. 所求切线的方程为)2(211--=-x y , 即x +2y -4=0; 所求法线的方程为y -1=2(x -2).13. 甲船以6km/h 的速率向东行驶, 乙船以8km/h 的速率向南行驶, 在中午十二点正, 乙船位于甲船之北16km 处. 问下午一点正两船相离的速率为多少?解 设从中午十二点开始, 经过t 小时, 两船之间的距离为S , 则有 S 2=(16-8t )2+(6t )2,t t dtdS S 72)816(162+--=,St t dt dS 272)816(16+--=.当t =1时, S =10,8.220721281-=+-==t dt dS (km/h), 即下午一点正两船相离的速度为-2.8km/h . 14. 利用函数的微分代替函数的增量求302.1的近似值.解 设3)(x x f =, 则有x x f f x f ∆=∆'≈-∆+31)1()1()1(, 或x x f ∆+≈∆+311)1(于是007.102.031102.0102.133=⋅+=+=.15. 已知单摆的振动周期gl T π2=, 其中g =980 cm/s 2, l 为摆长(单位为cm). 设原摆长为20cm , 为使周期T 增大0.05s , 摆长约需加长多少？ 解 因为L gLdT T ∆⋅=≈∆π,所以23.205.020=≈∆=L gLL π(cm),即摆长约需加长2.23cm .总习题三 1. 填空:设常数k >0, 函数k ex x x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________. 解 应填写2. 提示: e x x f 11)(-=', 21)(x x f -=''. 在(0, +∞)内, 令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为f ''(x )<0, 所以曲线k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x =e 一定是最大值点, 最大值为f (e )=k >0.又因为-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)-f (0)或f (0)-f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)-f (0); (B )f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0); (C )f (1)-f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)-f (1)>f '(0). 解 选择B .提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)-f (0)=f '(ξ), ξ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)-f (0)>f '(0).3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a , b ]上连续, 在(a ,b )内除某一点外处处可导, 但在(a , b )内不存在点ξ , 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 解 取f (x )=|x |, x ∈[-1, 1].易知f (x )在[-1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=-1; f '(0)不存在, 即f (x )在[-1, 1]上除x =0外处处可导.注意f (1)-f (-1)=0, 所以要使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))成立, 即f '(ξ)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)内不存在点ξ , 使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1)). 4. 设k x f x ='∞→)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞→.解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '(ξ )⋅a , ξ 介于x +a 与x 之间.当x →∞ 时, ξ → ∞, 于是ak f a a f x f a x f x x ='=⋅'=-+∞→∞→∞→)(lim )(lim )]()([lim ξξξ.5. 证明多项式f (x )=x 3-3x +a 在[0, 1]上不可能有两个零点.证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2-1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点.6. 设1210++⋅⋅⋅++n a a a n =0, 证明多项式f (x )=a 0+a 1x +⋅ ⋅ ⋅+a n x n 在(0,1)内至少有一个零点. 证明 设121012)(+++++=n n x n a x a x a x F , 则F (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F (0)=F (1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F '(x )=f (x ), 所以f (x )在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0.8. 设0<a <b , 函数f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a , b )使abf b f a f ln )()()(ξξ'=-.证明 对于f (x )和ln x 在[a , b ]上用柯西中值定理, 有ξξ1)(ln ln )()(f ab a f b f '=--, ξ∈(a , b ), 即 abf b f a f ln)()()(ξξ'=-, ξ∈(a , b ). 9. 设f (x )、g (x )都是可导函数, 且|f '(x )|<g '(x ), 证明: 当x >a 时, |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ). 证明 由条件|f '(x )|<g '(x )得知, 1)()(<''ξξg f , 且有g '(x )>0, g (x )是单调增加的, 当x >a 时, g (x )>g (a ).因为f (x )、g (x )都是可导函数, 所以f (x )、g (x ) 在[a , x ]上连续, 在(a , x )内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , x ), 使)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--. 因此,1)()()()(|)()(|<''=--ξξg f a g x g a f x f , |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).10. 求下列极限:(1)xx x x xx ln 1lim 1+--→;(2)]1)1ln(1[lim 0xx x -+→;(3)x x x )arctan 2(lim π+∞→.(4)nx xn xx x n a a a ]/) [(lim 11211+⋅⋅⋅++∞→(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0).解 (1) (x x )'=(e x l n x )'=e x l n x (ln x +1)=x x (ln x +1).xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx -+-=+-+-='+-'-=+--+→→→→1)1(ln lim11)1(ln 1lim )ln 1()(lim ln 1lim 11111 21)1)(ln 11(ln 1lim11=--+++-=+→xx x x x x x x . (2)xxx xx x x x x x x x x x x x x x ++++-='+'+-=++-=-+→→→→1)1ln(111lim])1ln([])1ln([lim )1ln()1ln(lim ]1)1ln(1[lim 00002111)1ln(1lim )1ln()1(lim00=+++=+++=→→x x x x x x x(3))2ln arctan (ln lim )arctan 2(lim ππ++∞→+∞→=x x x xx ex ,因为)2lnarctan (ln lim π++∞→x x x ππ2111arctan 1lim )1()2ln arctan (ln lim22-=-+⋅=''+=+∞→+∞→xx x xx x x , 所以πππ2)2ln arctan (ln lim )arctan 2(lim -++∞→+∞→==eex x x x x x .(4)令nxxn xxn a a a y ]/) [(11211+⋅⋅⋅++=. 则]ln ) [ln(ln11211n a a a nx y xn xx-+⋅⋅⋅++=, 因为xn a a a n y xn xx x x 1]ln ) [ln(limln lim 11211-+⋅⋅⋅++=∞→∞→)1()1()ln ln ln ( 1lim121211111211''⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅=∞→xxa a a a a a a a a n n xn x xxn x x x=ln a 1+ln a 2+⋅ ⋅ ⋅+ln a n =ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ). 即y x ln lim ∞→=ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ), 从而n x nx xn xx x a a a y n a a a lim ]/) [(lim 2111211⋅⋅⋅⋅==+⋅⋅⋅++∞→∞→.11. 证明下列不等式: (1)当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >; (2):当x >0时, xxx +>+1arctan )1ln(.证明 (1)令x x x f tan )(=, )2,0(π∈x . 因为0tan tan sec )(222>->-='x xx x x x x x f ,所以在)2,0(π内f (x )为单调增加的. 因此当2021π<<<x x 时有]2211tan tan x x x x <, 即1212tan tan x x x x >. (2)要证(1+x )ln(1+x )>arctan x , 即证(1+x )ln(1+x )- arctan x >0.设f (x )=(1+x )ln(1+x )- arctan x , 则f (x )在[0, +∞)上连续,211)1ln()(xx x f +-+='.因为当x >0时, ln(1+x )>0, 01112>+-x, 所以f '(x )>0, f (x )在[0, +∞)上单调增加.因此, 当x >0时, f (x )>f (0), 而f (0)=0, 从而f (x )>0, 即(1+x )ln(1+x )-arctan x >0 .12. 设⎩⎨⎧≤+>=0 20)(2x x x x x f x , 求f (x )的极值.解 x =0是函数的间断点.当x <0时, f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=2x 2x (ln x +1). 令f '(x )=0, 得函数的驻点ex 1=. 列表:函数的极大值为f (0)=2, 极小值为e e ef 2)1(-=.13. 求椭圆x 2-xy +y 2=3上纵坐标最大和最小的点. 解 2x -y -xy '+2yy '=0, y x y x y 22--='. 当y x 21=时, y '=0.将y x 21=代入椭圆方程, 得32141222=+-y y y , y =±2 .于是得驻点x =-1, x =1. 因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在, 且在驻点处取得, 又当x =-1时, y =-2, 当x =1时, y =2, 所以纵坐标最大和最小的点分别为(1, 2)和(-1, -2). 14. 求数列}{n n 的最大项.解 令xx x x x f1)(==(x >0), 则x xx f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x xx x x x f x f -=-='⋅, )ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e 为最大值点. 因此所求最大项为333}3 ,2max{=.15. 曲线弧y =sin x (0<x <π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径. 解 y '=cos x , y ''=-sin x ,xx y y sin )cos 1(||)1(2/322/32+='''+=ρ(0<x <π),xxx x x x x 2232212sin cos )cos 1(sin )sin cos 2()cos 1(23+-⋅-+='ρxx x x x 222212sin )1cos sin 3(cos )cos1(+++-=.在(0, π)内, 令ρ'=0, 得驻点2π=x .因为当20π<<x 时, ρ'<0; 当ππ<<x 2时, ρ'>0, 所以2π=x 是ρ的极小值点, 同时也是ρ的最小值点,最小值为12sin)2cos 1(2/32=+ππρ.16. 证明方程x 3-5x -2=0只有一个正根. 并求此正根的近似值, 使精确到本世纪末10-3. 解 设f (x )=x 3-5x -2, 则 f '(x )=3x 2-5, f ''(x )=6x .当x >0时, f ''(x )>0, 所以在(0, +∞)内曲线是凹的, 又f (0)=-2, +∞=--+∞→)2(lim 3x x x , 所以在(0, +∞)内方程x 3-5x -2=0只能有一个根. (求根的近似值略)17. 设f ''(x 0)存在, 证明)()(2)()(lim 020000x f hx f h x f h x f h ''=--++→.证明 hh x f h x f h x f h x f h x f h h 2)()(lim)(2)()(lim00020000-'-+'=--++→→hh x f h x f h )()(lim 21000-'-+'=→hh x f x f x f h x f h )]()([)]()([lim 2100000-'-+'-+'=→)()]()([21])()()()([lim 2100000000x f x f x f h h x f x f h x f h x f h ''=''+''=-'-+'-+'=→.18. 设f (n )(x 0)存在, 且f (x 0)=f '(x 0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f (n )(x 0)=0, 证明f (x )=o [(x -x 0)n ] (x →x 0). 证明 因为 100)()(lim)()(lim-→→-'=-n x x nx x x x n x f x x x f20))(1()(lim-→--''=n x x x x n n x f =⋅ ⋅ ⋅)(!)(lim 0)1(0x x n x f n x x -=-→0)(!1)()(lim!10)(00)1()1(0==--=--→x fn x x x f x f n n n n x x ,所以f (x )=o [(x -x 0)n ] (x →x 0).19. 设f (x )在(a , b )内二阶可导, 且f ''(x )≥0. 证明对于(a , b )内任意两点x 1, x 2及0≤t ≤1, 有f [(1-t )x 1+tx 2]≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2).证明 设(1-t )x 1+tx 2=x 0. 在x =x 0点的一阶泰勒公式为 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ(其中ξ介于x 与x 0之间). 因为f ''(x )≥0, 所以 f (x )≥f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0). 因此f (x 1)≥ f (x 0)+f '(x 0)(x 1-x 0), f (x 2)≥f (x 0)+f '(x 0)(x 2-x 0). 于是有(1-t )f (x 1)+tf (x 2)≥(1-t )[ f (x 0)+f '(x 0)(x 1-x 0)]+t [f (x 0)+f '(x 0)(x 2-x 0)] =(1-t )f (x 0)+t f (x 0)+f '(x 0)[(1-t )x 1+t x 2]-f '(x 0)[(1-t )x 0+t x 0] =f (x 0)+f '(x 0)x 0-f '(x 0)x 0 =f (x 0),即 f (x 0)≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2),所以 f [(1-t )x 1+tx 2]≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2) (0≤t ≤1).20. 试确定常数a 和b , 使f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小. 解 f (x )是有任意阶导数的, 它的5阶麦克劳公式为)(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(55)5(4)4(32x o x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+=)(!516!34)1(553x o x b a x b a x b a +--+++--=.要使f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小, 就是要使极限 ])(!516!341[lim )(lim552405xx o b a x b a x b a x x f x x +--+++--=→→ 存在且不为0. 为此令 ⎩⎨⎧=+=--0401b a b a ,解之得34=a , 31-=b .因为当34=a , 31-=b 时,0301!516)(lim 50≠=--=→b a x x f x ,所以当34=a ,31-=b 时, f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数): 1.⎰--xx e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(;解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(.3. ⎰-dx xa x 662(a >0); 解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662. 4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1. 5. ⎰dx xxln ln ; 解C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln .6. ⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan;解xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ;解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9.⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656. 10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a axa +--=22arcsin. 11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos;解⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122. 13.⎰bxdx eaxcos ;解 因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cosdx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax axax ax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以C bx e a b bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e b a ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e e dxx x )1111(112)1ln(11122令. c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x xdx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12. 16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a ++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31.17. ⎰+241xxdx;解tdt t t tx x xdx 2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x)1ln(2;解⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx xx x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122. 21.⎰dx x arctan;解x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dx n a x x n a a x dx .24. ⎰++dx x x x 234811;解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444. 25.⎰-416x dx ;解⎰⎰⎰++-=+-=-dx xx dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81 C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx xx x ++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx x xx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x xx 2cos sin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222⎰⎰+=dx x xxd 2tan 2tanC x x dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan . 28. ⎰-dx x x x x e x23sin cos sin cos ;解⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x ex x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xex xsec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x xxde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x xcos sec sec sin sin sin sinC e x xex x+⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dxx x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x xC t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln( C ee x xx++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e xx+-=-)arctan(C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xde d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x xxxde e ee x )111(1C e e e x x x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x ++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln222222'++⋅-++=++⎰⎰⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln xd x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222. 34.⎰+dx x x2/32)1(ln ; 解 因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t tx dx x 2232/321sin cos secsec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx xx xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令 ⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=. 36.⎰-dx xx x 231arccos ;。

同济大学第六版高等数学上下册课后答案全集word资料104页

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同济第六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

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同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

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高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。

解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。

证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。

3. 设映射f : X Y, A X, B X。

证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。

4。

设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。

证明：f 是双射， 且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明 因为对于任意的yY ， 有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。

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习题1?9
1. 求函数63
3)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2
x f x →. 解 )2)(3()1)(1)(3(6
33)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(??, ??)内除点x ?2和x ??3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(??, ?3)、(?3, 2)、(2, ??).
在函数的连续点x ?0处, 2
1)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x ?2和x ??3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x , 5
82)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数
?(x )?max{f (x ), g (x )}, ?(x )?min{f (x ), g (x )}
在点x 0也连续.
证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00
x g x g x x =→. 可以验证 ] |)()(|)()([2
1)(x g x f x g x f x -++=ϕ, ] |)()(|)()([2
1)(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2
1)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ, ] |)()(|)()([2
1)(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为
] |)()(|)()([2
1lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000
x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([2
10000x g x f x g x f -++=??(x 0), 所以?(x )在点x 0也连续.
同理可证明?(x )在点x 0也连续.
3. 求下列极限: (1)52lim 20
+-→x x x ;
(2)34
)2(sin lim x x π
→; (3))2cos 2ln(lim 6
x x π
→ (4)x x x 11lim
0-+→; (5)1
45lim 1---→x x x x ; (6)a
x a x a x --→sin sin lim ; (7))(lim 22x x x x x --++∞
→. 解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x ?0有定义, 所以 55020)0(52lim 220
=+⋅-==+-→f x x x . (2)因为函数f (x )?(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点x ?4
π有定义, 所以 1)42(sin )4()2(sin lim 334
=⋅==→πππ
f x x . (3)因为函数f (x )?ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点x ?6
π有定义, 所以 0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6
=⋅==→πππ
f x x . (4)2
11101111lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim 0000=++=++=++=++++-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x . (5))45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim 111
x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454
lim 1=+-⋅=+-=→x x x . (6)a
x a x a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2lim sin sin lim
a a a a x a x a x a x a x cos 12
cos 2
2sin lim 2cos lim =⋅+=--⋅+=→→. (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→ 1)1111(2lim )(2lim 22=-++=-++=+∞→+∞→x x x x x x x
x x .
4. 求下列极限: (1)x x e 1lim ∞→; (2)x
x x sin ln lim 0→; (3)2)11(lim x x x
+∞→; (4)x x x 2
cot 20)tan 31(lim +→; (5)21)63(lim -∞→++x
x x
x ; (6)x
x x x
x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim . 解 (1) 1lim 01
lim 1
===∞→∞→e e e x x x x . (2) 01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x x
x x x . (3) []e e x x x
x x x ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim .
(4) []33tan 31
20cot 2022)tan 31(lim )tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→. (5)216336
21)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x
x
x x . 因为
e x x x =+-+-+∞→36
)631(lim , 2
32163lim -=-⋅+-∞→x x x , 所以2321)63(lim --∞→=++e x
x x
x . (6))sin 1tan 1)(1sin 1()1sin 1)(sin 1tan 1(lim sin 1sin 1tan 1lim 22020x x x x x x x x x x x
x x x +++-++++-+=-++-+→→ 21)2(2lim sin 2sin 2tan lim )sin 1tan 1(sin )1sin 1)(sin (tan lim
3
20220220=⋅=⋅=+++++-=→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x .
5. 设函数⎩
⎨⎧≥+<=0 0 )(x x a x e x f x ? 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(??, ??)内的连续函数？
解 要使函数f (x )在(??, ??)内连续, 只须f (x )在x ?0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0
0. 因为1lim )(lim 00==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00, 所以只须取a ?1.。

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