江西理工大学概率论与数理统计考试模拟试题

( A) a = 0, b = 2; ( B) a = 1, b = 0; 1 1 1 (C ) a = , b = 1; ( D) a = , b = . 2 2 2
4 ．设 X ~ N μ , σ 2 , X 1 , X 2 , X 3 , X 4 为
X 的一个样本, 下列各项为 μ 的无偏估计,
（用 X 与 Z 等表示） .
2． （10 分）设有一箱同类产品是由三家工 厂生产的,其中 1/2 是第一家工厂生产的,其 余两家各生产 1/4,又知第一、二、三家工厂 生产的产品分别有 2%、4%、5%的次品,现 从箱中任取一件产品,求： （1） 取到的是次品 的概率； （2） 若已知取到的是次品,它是第一 家工厂生产的概率. 3. （10 分）设随机变量 X 的概率分布为
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一、 单项选择题(每小题 3 分,满分 15 分) 1．设 A、B 是两个互相对立的事件,且 P ( A) > 0, P ( B) > 0 , 则 下 列 结 论 正 确 的 是（ ） P ( B ｜A) > 0 (B) P( A｜B ) = P ( A) (A) (C) P ( A｜B ) = 0 (D) P( AB) = P( A) P( B) . 2．设 X 是连续型随机变量, F ( x) 是 X 的分 布函数,则 F ( x) 在其定义域内一定是 （ ）
σ 2) , 且
t0.025 (8) = 2.306 ; t0.025 (9) = 2.262; t0.05 (8) = 1.860 ; t0.05 (9) = 1.833 Φ (1.67) = 0.9525 ； Φ (1.96) = 0.9750 ； Φ (1.65) = 0.9505
P{2 < X < 4} = 0.3 ,则 P{ X < 0} =
算 P{Y < X } . 6. 某工厂生产的设备的寿命 X (以年计)的 概率密度为 f ( x) = ⎨
⎧ e− x , x > 0 ． 工厂规定, ⎩ 0, x < 0
出售的设备若在一年之内损坏可予以调 换． 若出售一台设备可赢利 150 元,调换一台 设备厂方需花费 300 元,试求厂方出售一台 设备净赢利的数学期望． 四、 （ 10 分 ） 总 体 X 的 概 率 密 度 为
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一、单项选择题（每小题 3 分,共 15 分.）
和 χ 检验法
2
(D) T 检验法和 F 检验法
二、填空题（每小题 3 分,共 15 分.） 1. 若 X 服从自由为 n 的 t 分布,则 X2 服从自
由度为 和 的 F 分布. 1．一射手向目标射击 3 次, Ai 表示第 i 次射击 2． 在长度为 t 的时间间隔内到达某港口的轮 中击中目标这一事件 ( i = 1 , 2 , 3 ) ,则 3 次射击 中至多 2 次击中目标的事件为( ) 船数 X 服从参数为 t 3 的泊松分布 , 而与时 间间隔的起点无关（时间以小时计） ．某天 12 时至 15 时至少有一艘轮船到达该港口的 . 概率为 3．设 X , Y 相互独立,且同服从于参数为 λ 的指数分布 , Z = max( X , Y ) , 则 Z 的分布 函数为： ． 4．设随机变量 X 与 Y 相互独立,且
.
（3）设随机变量 X 和 Y 的期望分别为 − 2 和 2,方差分别为 1 和 4, ρ XY = −0.5 ,由切比 雪夫不等式 P( X + Y ≥ 6) ≤ （4） 设某种清漆干燥时间 X ~ N ( μ , σ ) ,
2
⎧(θ + 1) x θ , 0 < x < 1, f ( x;θ ) = ⎨ 0, 其他， ⎩
X ~ N (μ , σ )
2
C ∑ ( X i +1 − X i ) 2 是参数 σ 2 的无偏估计量,
i =1
百度文库
n −1
则常数 C = . 三、计算题（满分 10 分） 已 知 X ~ N (0, 1) , 求 随 机 变 量 函 数
Y = 2 X 的概率密度.
四、计算题（满分 10 分） 设 事 件 A 、 B 满 足 条 件
（A）非阶梯形间断函数（B）可导函数 （C） 阶梯函数 （D） 连续但不一定可导函数. 3． 设 X ~ N (0 , 1), Y ~ N (1 , 1) ,且 X 与 Y 相互独立,则下列结论正确的是（ ） 1 1 ( B ) P{ X + Y ≤ 1} = ( ( A) P{ X + Y ≤ 0} = 2 2 1 1 (C ) P{ X − Y ≤ 0} = ( D) P{ X − Y ≤ 1} = . 2 2 4. 设 随 机 变 量 X 与 Y 互 独 立 ， D ( X ) = 4, D(Y ) = 2 则 D(3 X − 2Y ) = ( ) （A） 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44. 5.设总体 X ~ N ( μ , σ ) , X 1 , , X n , X n +1 是取自总体 X 的简单随机样本. 又设样本
信上限为： （ 5 ） 设 ( X1 ,
.
, Xn) 为 取 自 总 体
X ~ N(μ , σ 2 ) 的 样 本 , 参 数 μ, σ2 均 未
知, X =
n 1 n X i , Z 2 = ∑ ( X i − X )2 , 则 对 ∑ n i =1 i =1
于假设 H0： μ = 0 作 t 检验时,使用的检验统 计量T=
P( A) =
1 1 , P( B｜A) = P( A｜B ) = . 4 2
定义随机变量 X、Y 如下：
⎧ 1, 若A发生， ⎧ 1, 若B 发生， X =⎨ Y =⎨ ⎩ 0, 若A不发生， ⎩ 0, 若B 不发生， 求二维随机变量（X,Y）的联合分布律. 五、计算与解答题（满分 10 分） 设二维随机变量 （X,Y） 的联合密度函数为： ⎧ A, y < x, 0 < x < 1, f ( x, y ) = ⎨ 其他. ⎩ 0, （1） 求常数 A ； （2） 计算协方差 cov( X , Y ) ； （3）说明 X 与 Y 的相关性. 六、计算题(满分 10 分) 设电路供电网内有 10000 盏灯,夜间每一 盏灯开着的概率为 0.7,假设各灯的开关是 相互独立的,利用中心极限定理计算同时开 着的灯数在 6900 与 7100 之间的概率. 七、计算题（满分 10 分） 设总体 X 的概率密度为：
E ( X ) = E (Y ) = μ , D( X ) = D(Y ) = σ 2 则 E( X − Y )2 =
．
2
(C ) 7 10 ；
( D) 21 50
3. 设随机变量 X 的概率密度为
5． 从服从正态分布的 N ( μ , σ ) 的总体中抽
⎧a + bx , 0 < x ≤ 1; f ( x) = ⎨ 其它 . ⎩0 ,
(θ > −1) ， X 1 , X 2 ,
取容量为n的样本,其样本均值和方差分别 为 X , S ,则 μ 的置信度为 1- α 的单侧置
2
, X n 是来自总体 X 的
简单随机样本,求参数 θ 的矩估计量和极大 似然估计量. 八、计算题（满分 10 分） 从正态总体 X ~ N (3.4, 6 2 ) 中抽取容 量为 n 的样本,如果要求样本均值位于区间 (1.4,5.4) 内的概率不小于 0.95,问样本容 量 n 至少应取多大？ 九、计算题（满分 10 分） 设某种电子元件的使用寿命服从正态分布
n , 其中有 m 个是男婴的概率 (2) X 与 Y 的
联合概率分布(3) Y 的概率分布律． 附 ：
二、填空题（每小题 3 分,满分 15 分） 1.袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黃球,30 个是白球,两人依次从袋中各取一球,取后 不放回. 则第二个人取到黃球的概率是 2. 若 随 机 变 量 X ~ N ( 2,
2
⎧θ xθ −1 , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0, 其它
(θ > 0 )
,
X1, X 2 ,
, X n 的均值为 X ,样本标准差为
n X n +1 − X 服从的分布 n +1 S
( D ) χ 2 ( n)
X1,
, X n 是来自总体 X 的样本,分别用矩
S,则统计量
是（ ）
3.设射手每次击中目标的概率为 0.4,今射 手向目标射击了 10 次,若 X 表示射手击中 目标的次数,则 E ( X ) = 4.设随机变量 X 的方差是 2,则由切比雪夫
2
不等式得 P{ X − E ( X ) ≥ 2} ≤ 5. 设 X 1 , X 2 ,
.
, Xn 是 取 自 总 体
的 样 本 , 并 且
则有( )
1 3 且 P{ X ≤ } = , 取容量为 9 的样本,样本均值 x = 1500 ,样本 2 8 标准差为 s = 14 ,则总体均值 μ 的置信水平
． 为 95%的置信区间为 三、计算下列各题（1～4 小题每题 8 分,5、 6 小题每题 10 分,共 52 分） 1. 设事件 A 发生的概率为 p ,则在 n 次独立 重复试验中,事件 A 发生多少次时概率最大. 2. 据统计男性有 5% 是患色盲的 , 女性有 0.25% 的是患色盲的 , 今从男女人数相等的 人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问 此人是男性的概率是多少？ 3. 由 100 个相互独立起作用的部件组成的 一个系统在运行过程中, 每个部件能正常工 作的概率为 90% ．为了使整个系统能正常 运行,至少必须有 85%的部件正常工作,求整 个系统能正常运行的概率． 4. 设随机变量 X 在区间 [0,π] 上服从均匀分 布,求随机变量 Y = sinX 的概率密度 fY ( y) ． 5. 设随机变量 ( X , Y ) 在 G 上服从均匀分布, 其中 G 由 x 轴 , y 轴及直线 x + y = 1所围成, ⑴ 求 ( X , Y ) 的边缘概率密度 f X ( x ) ,⑵ 计
其中最有效估计量为（ ）
(
)
( A) X 1 + 2 X 2 + 2 X 3 − 4 X 4 ; ( B)
1 ∑ Xi; 4 i =1
4
(C)0.5X1 + 0.5X 4 ;(D)0.1X1 + 0.5X 2 + 0.4 X3
5. 设 X 1 ,
, Xn 是来自总体 X 的一个样
2
本, X ~ N ( μ , σ ) ,对于 σ 已知和 σ 未知时 的期望 μ 的假设检验,应分别采用的方法为 （ ）(A) U 检验法和 T 检验法 (B ) T 检验法和 U 检验法 (C) U 检验法
N ( μ , σ 2 ) ,现随机抽取了 10 个元件进行检
测,得到样本均值 x = 1500(h) ,样本标准差 S = 14(h) . 求总体均值 μ 的置信概率为 99 ％的置信区间. 附表： Φ(2.18) = 0.9854, Φ(1.645) = 0.95, Φ(1.96) = 0.975
( A) A1 ∪ A2 ∪ A3 ;
(C ) A1 ∪ A2 ∪ A3 ;
( B) A1 A2 A3 ;
( D) A1 A2 A3
2. 袋中有 10 个乒乓球,其中 7 个黄的,3 个白 的,不放回地依次从袋中随机取一球.则第一 次和第二次都取到黄球的概率是( ) ；
( A) 7 15
；
( B ) 49 100
估计法和极大似然估计法求 θ 的估计量. 五（8 分）若某地区一天出生的婴儿人数 X 服从参数为 λ (λ > 0) 的泊松分布 , 以 Y 表示 其中男婴的个数,每一新生婴儿为男性的概 率是 p ,求(1)已知某一天出生的婴儿人数为
( A) t (n − 1) ( B) χ 2 (n − 1) (C ) t (n)
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1．填空题（15 分） （1） 设随机事件 A , B 互不相容,且
P ( A) = 0.3, P( B ) = 0.6 ,则 P ( B A ) =
（2）设随机变量 X 服从（-2,2）上的均匀 分布,则随机变量 Y = X 概率密度函数为
2
f Y ( y) =
t0.025 (9) = 2.2622 t0.025 (10) = 2.2281 ,