电容的充放电过程其应用

电容的充放电过程及其应用

一、实验目的

1．观察RC电路的矩形脉冲响应。

2．了解RC微分电路、积分电路及耦合电路的作用及特点。

3．学习双踪示波器的使用方法。

二、实验原理

1．RC串联电路的充放电过程

在由电阻R及电容C组成的直流串联电路中，暂态过程即是电容器的充放电过程（图1），当开关K打向位置1时，电源对电容器C充电，直到其两端电压等于电源E。这个暂态变化的具体数学描述为q＝CUc，而I = dq / dt ，故

dt

dUc

C

dt

dq

i=

=（1）

E

iR

Uc=

+（2）

将式(1)代人式(2)，得

E

RC

Uc

RC

dt

dUc1

1

=

+

考虑到初始条件t=0时，u C=0，得到方程的解：

[]

()

()

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

-

=

-

=

-

=

=

RC

t

E

U

E

U

RC

t

R

E

i

RC

t

E

U

C

R

/

exp

/

exp

）

/

-

（

exp

-

1

C

上式表示电容器两端的充电电压是按指数

增长的一条曲线，稳态时电容两端的电压等于电

源电压E，如图2(a) 所示。式中RC=τ具有时间

量纲，称为电路的时间常数，是表征暂态过程进

行得快慢的一个重要的物理量，由电压u c上升

到0.63E，1/e≈0.37，所对应的时间即为τ。

当把开关k1打向位置2时，电容C通过电阻R放电，放电过程的数学描述为

将

dt

dUc

C

i=，代人上式得0

1

=

+Uc

RC

dt

dUc

由初始条件t＝0时，Uc＝E，解方程得

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

-

-

=

-

-

=

-

=

)

/

exp(

)

/

exp(

)

/

exp(

RC

t

E

U

RC

t

R

E

i

RC

t

E

Uc

R

表示电容器两端的放电电压按指数律衰减到零，τ也可由此曲线衰减到0.37E所对应的

时间来确定。充放电曲线如图2所示。

2. 半衰期T1/2

图2 RC电路的充放电曲线

（a）电容器充电过程（b）电容器放电过程

U R

Uc

K

1

2

V

E

R

C

图1 RC串联电路

与时间常数τ有关的另一个在实验中较容易测定的特征值，称为半衰期T 1/2，即当U C （t ）下降到初值（或上升至终值）一半时所需要的时间，它同样反映了暂态过程的快慢程度，与t 的关系为：T 1/2 =τln2 = 0.693τ（或τ= 1.443T 1/2）

3. RC 电路的矩形脉冲响应。

若将矩形脉冲序列信号加在电压初值为零的RC 串联电路上，电路的瞬变过程就周期性地发生了。显然，RC 电路的脉冲响应就是连续的电容充放电过程。如图3所示。

图3 RC 电路及各元件上电压的变化规律

若矩形脉冲的幅度为U ，脉宽为t p 。电容上的电压可表示为：

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤⋅≤≤-=-

-211

0)1()(t t t e U t t e U t u t

t c τ

τ 电阻上的电压可表示为：

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤⋅-≤≤⋅=-

-2

110)(t t t e U t t e U t u t

t

R ττ

即当10t t ≤≤时，U t u i =)(，电容被充电；当21t t t ≤≤时，电容器经电阻R 放电。 4．RC 电路的应用

（1）微分电路。取RC 串联电路中的电阻两端为输出端，并选择适当的电路参数使时间常数τ<

dt

t du RC dt du RC i R t u i c c )

()(0⋅≈⋅

=⋅=

(t u i )(t R )

(t C )(t u i

(t u R (t u C u

u

u

-t

t

t