常微分方程期末考试试卷(6)

3、求 =f(x,y)满足 的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程 的解y= 作为 的函数在它的存在围是__________。
5、若 为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（共6小题，每题10分）。
1、求解方程： =
2.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解
4、求解常系数线性方ຫໍສະໝຸດ Baidu：
5、试求方程组 的一个基解矩阵，并计算
6、方程组 的_________________称之为 的一个基本解组。
7、若 是常系数线性方程组 的基解矩阵，则expAt =____________。
8、满足___________________的点（ ），称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定
常微分方程期末考试试卷(6)
学院______班级_______学号_______ _______成绩_______
一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全
微分方程。
2、________________称为齐次方程。
显然， 是通过点（0，0）的一个解；
又由 解得，|y|=
所以，通过点（0，0）的一切解为 及
|y|=
4、解：(1)
齐次方程的通解为x=
(2) 不是特征根，故取
代入方程比较系数得A= ，B=-
于是
通解为x= +
5、解：det( )=
所以，
设 对应的特征向量为
由
取
所以， =
6、解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件
1、解：(x-y+1)dx-(x+ +3)dy=0
xdx-(ydx+xdy)+dx- dy-3dy=0
即 d -d(xy)+dx- -3dy=0
所以
2、解： ，令z=x+y
则
所以–z+3ln|z+1|=x+ ，ln =x+z+
即
3、解：设f(x,y)= ,则
故在 的任何区域上 存在且连续，
因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，
6、试讨论方程组 （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac 0。
三、证明题（共一题，满分10分）。
试证：如果 满足初始条件 的解，那么
常微分方程期末考试答案卷
一、填空题。（30分）
1、
2、
3、y= +
4、连续的
5、w
6、n个线性无关解
7、
8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0
9、为零稳定中心
二、计算题。（60分）
，故奇点为原点（0，0）
又由det(A- E)= 得
所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：
a，c为实数
三、证明题。（10分）
证明：设 的形式为 = （1）
（C为待定的常向量）
则由初始条件得 =
又 =
所以，C= =
代入（1）得 =
即命题得证。