常微分方程期末考试试卷(6)

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大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案

大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂ 3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(xy g dx dy =的方程 4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dx dy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(mb a h = 5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=19．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________ 答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）13．方程y x xy sin d d 2=的所有常数解是．答： ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x x y )(d d ϕ=的任一非零解与x 轴相交．答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上与x 轴相切．答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是．答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要22．方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答： xoy 平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y=的任一解的存在区间（D ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定3．方程y x x y+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解（B ）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解（D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y-=过点)1,2(π共有（ B ）个解．（A ）一（B ）无数（C ）两（D ）三6. 方程2d d +-=y x xy （ B ）奇解．（A ）有三个（B ）无（C ）有一个（D ）有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．（A ）n 维（B ）1+n 维（C ）1-n 维（D ）2+n 维8．方程323d d y xy =过点（ A ）．（A ）有无数个解（B ）只有三个解（C ）只有解0=y （D ）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ B ）条件．（A ）充分（B ）充分必要（C ）必要（D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（ D ）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y12．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+13．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（ D ）条件．（A ）必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）充分14. 方程1d d +=y x y （ C ）奇解．（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个15．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=23另外 0=y 也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ []81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x+++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1 所以方程的通解为 cx y +-=1 故过1)1(=y 的解为 21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到２，所以解的存在区间为 )2,(-∞4．求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解解: 利用p 判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=x N ∂∂ , 所以方程是恰当方程.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++= )('2y xy yu ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为 c y yx x =++ln sin 6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 cx x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 c y xy x =--732 , 另外 0=y 也是方程的解 8．21d d x xy x y += 解当0≠y 时，分离变量得x x x y y d 1d 2+= 等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++=即通解为21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 51 10. 5d d xy y xy += 解方程两端同乘以5-y ，得x y xy y +=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z x z =--d d 41 通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy解因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-3231 12． y y xy ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得C x yy y +=⎰⎰d ln d 通积分为 x C y e ln = 13．03)(22=+'+''x y y y解原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ）通积分为： Cx xy ln arcsin= 15． xy x y x y tan d d += 解令u xy =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u xu x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为： Cx x y =sin16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为Cx y =+x x ln17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解积分因子为21)(x x =μ原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x=+-⎰⎰即 1e ,e C C C x yx +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y即1C y y ='分离变量得x C y y d d 1=积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y解令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1由基本关系式 y x y'=d d ，有p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p)d 11(-= 积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y解原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x yx=++⎰⎰ 即 C y y x x =++42242四、计算题1．求方程x y y e 21=-''的通解．解对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为x Ax x y e )(1=代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+，可解出 41=A ．故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=- 2．求下列方程组的通解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x ty y x t x 43d d 2d d ．解方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分）1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ；2. 解方程：x y xye 2d d =+； 3. 解方程：；4. 解方程：t e x dtdx23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ；6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy；7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ；8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；12. 解方程：y y dx dyln =； 13. 解方程：y x e dxdy-=；14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ；15. 解方程：x y dxdycos 2=；16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+；17. 解方程：x xy dx dy42=+；18. 解方程：23=+ρθρd d ；19. 解方程：22x y xe dxdy+=；20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx解： ,2,1,0,2,±±=+==k k x k y πππ是原方程的常数解，（2分）当2,πππ+≠≠k x k y 时，原方程可化为：0cos sin sin cos =-dx xxdy y y ，（2分）积分得原方程的通解为：C x y =cos sin . （2分）2. 解方程：x y xye 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e y dxx p dxx p （2分）x xx xdxx dx e Cedx e C edx e e C e 31)()(23222+=+=⎰+⎰=---⎰⎰分）（分）（223. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dx e x f C e y dxx p dx x p （2分）=⎰⎰+⎰-)sec (tan tan dx xe C e xdxxdx（2分）⎰+=)sec (cos 2xdx C xx x C sin cos +=. （2分）4. 解方程：t e x dtdx23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dt e t f C e x dtt p dt t p （2分）=⎰⎰+⎰-)(323dt e e C e dtt dt （2分）⎰+=-)(53dt e C e t t t t e Ce 2351+=-. （2分） 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y解：原方程可化为：02=+---y y xde ydy dx e ，（2分）即 0)(2=--y xe d y ，（2分）原方程的通解为：C y xe y =--2. （2分）6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy解：原方程可化为：0ln )(ln 3=++xdy dy y x yd ，（2分）即 0)41ln (4=+y x y d ，（2分）原方程的通解为：C y x y =+441ln . （2分）7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy解：因为xNx x y M ∂∂=+=∂∂62，所以原方程为全微分方程，（2分）由 02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ，（1分）得: 0)()(232=+y x d y x d ，（2分）故原方程的通解为：C y x y x =+232. （1分）8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x 解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ，（1分）特征根为2=λ为2重根，1=λ. （2分）所以其基本解组为： t t t e te e ,,22，（2分）原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=. （1分）9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ，（1分）特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.（2分）所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,，（2分）原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321. （1分）10. 解方程：02=-''+'''x x x 解：其特征方程为：0)22)(1(2223=++-=-+λλλλλ，（1分）特征根为：i ±-==11321，，λλ. （2分）所以其实基本解组为： t e t e e t t t s i n ,c o s ,--，（2分）原方程的通解为： t e C t e C e C y t t t sin cos 321--++=. （1分）11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；解：原方程可化为：21,21-='='y x ，（2分）积分得通解为：212,2c t y c t x +-=+=. （4分）12. 解方程：y y dxdyln = 解：原方程可化为：0ln 1=-dx dy yy ，（3分）积分得原方程的通解为：C y x =ln ln . （3分）13. 解方程：y x e dxdy-= 解：原方程可化为： dx e dy e x y =，（3分）积分得原方程的通解为：c x y +=. （3分）14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x解：0=y 是原方程的常数解，（1分）当0≠y 时，原方程可化为：012122=-+dx x xdy y ，（2分）积分得原方程的通解为：c x y +-=-1ln 21. （3分） 15. 解方程：x y dxdycos 2= 解：0=y 是原方程的常数解，（1分）当0≠y 时，原方程可化为：xdx dy ycos 12=，（2分）积分得原方程的通解为：x c y sin 1-=-. （3分）16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+解：0=y ，0=x 是原方程的常数解，（1分）当,0≠x 0≠y 时，原方程可化为：dx xx dy y y )11()11(22+=+，（2分）积分得原方程的通解为：c x x y y +-=---11ln ln . （3分）17. 解方程：x xy dxdy42=+ 解：分析可知2=y 是其特解. （2分）对应齐方程的02=+xy dxdy通解为：2x ce y -=，（2分）故原方程的通解为：22+=-x ce y . （2分）18. 解方程：23=+ρθρd d 解：分析可知32=ρ是其特解. （2分）对应齐方程03=+ρθρd d 的通解为：θρ3-=ce ，（2分）故原方程的通解为：323+=-θρce . （2分）19. 解方程：22x y xe dxdy+= 解：原方程可化为： dx xe dy e x y 22=-，（3分）积分得原方程的通解为：c e e x y =+-22. （3分）20. 解方程：422x y y x =-' 解：分析可知4x y =是其特解. （2分）又对应齐方程02=-'y y x 的通解为：2cx y =，（2分）故原方程的通解为：42x cx y +=. （2分）。

常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　xoy 平面．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的充分条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分方程

系别___________________ 专业_____________________年级_____________________姓名_________________学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院08数学与应用数学专业常微分方程课2008——2009学年度第二学期期末考试试卷（A 卷）12、设()(),,M x y N x y 、为ｘ、ｙ的连续函数且有连续的一阶偏导数，则一阶方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 为恰当方程的充要条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3、方程：()dy P x y dx=，（其中()P x 是x 的连续函数）的通解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

： 4、若存在常数0L >，使得不等式()()1212,,f x f x Ly y yy -≤-在定义域R 内成立，则称函数(),f x y 在R 上于y 满足＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 5、设()y x ϕ=是方程(),dy f x y dx=的定义与区间00x h x x≤≤+上，满足初始条件()0yx ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的定义与区间00x h x x≤≤+上的连续解。

6、若函数()()()12,...n t t t x x x 在区间a x b ≤≤上线性相关，则在[],a b 上它们的弗朗斯基行列式()W t =＿＿＿＿＿。

7、方程220d x x dt-=的基本组解为＿＿＿＿＿＿＿8、若方程()()220d y dy p x q x y dxdx++=中系数()(),p x q x 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为x R <则上述方程有形如＿＿＿＿＿＿＿的特解，也以x R <为级数的收敛区间。

1、求解方程dy x y dx+= ()0x <。

常微分方程期末复习

1.求下列方程的通解。

1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。

1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =，从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++，另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。

0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。

t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ，故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

常微分期末考试试题和答案a#

《常微分方程》期终测试试卷<A ）<适用班级：班）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩______________________。

2、一阶方程0=+Ndy Mdx ，若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时，称),(y x μ为这个方程的积分因子。

3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。

4、对R y x y x ∈∀),(),,(21，存在常数)0(>N ，使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。

5、若)(x ϕ为毕卡逼近序列)}({x n ϕ的极限，则有≤ϕ-ϕ|)()(|x x n _________。

6、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R ：22≤≤-x ，22≤≤-y 上，则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。

7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的n 个解，)(t w 为其伏朗基斯行列式，则)(t w 满足一阶线性方程__________________。

8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。

9、若),,3,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。

2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。

4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。

5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有无数个解。

6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。

7、方程x x y xy+-=d d 无奇解。

8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。

9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。

10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。

11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面。

12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。

13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是线性无关。

14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。

一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0).1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。

如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。

2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。

3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。

如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。

4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。

5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。

（方程线性与否与自变量无关）。

如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。

注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。

余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。

另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。

b.教材28页第八题不妨做做。

二.可分离变量的方程A.变量分离方程1.定义：形如dxdy=f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。

这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。

2.解法：分离变量法⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。

需视情况补上φ（y ）=0的特解。

（有时候特解也可以和通解统一于一式中）b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。

例1.0)4(2=-+dy x x ydx解：由题意分离变量得：042=+-ydy x dx即：0)141(41=+--ydydx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 41故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。

常微分方程期末选择题题库

..选择题1、下列方程中为常微分方程的是（）(A) 2-210x x += (B) 2' y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2 y x c =+(c 为常数）2、下列微分方程是线性的是（）(A)22 ' y x y =+ (B)2 " xy y e += (C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =3、方程2-2 "3' 2xy y y x e++=特解的形状为( )(A)2-2 1 x y ax ey = (B) 2-21 () x y ax bx c e =++ (C)22-21 ()x y x ax bx c e =++ (D) 22-21 ()x y x ax bx c e =++4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 4, x (B) 2,2, x x x (C)225,cos ,sin x x (D) 21,2,,x x5、微分方程2-yxdy ydx y e dy =的通解是( )(A)(-) yx y c e = (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D) (-)yy x c e =6、下列方程中为常微分方程的是（）(A)20 t dt xdx += (B)sin 1x =(C) 1 y x c =++(c 为常数） (D) 22220u ux y ∂∂+=∂∂7、下列微分方程是线性的是（）(A)2'1y y =+ (B)11dy dx xy=+ (C)2 ' y by cx += (D) 4'0y xy += 8、方程 "-2' 2(cos 2sin )xy y y e x x x +=+特解的形状为( )(A) 1[()cos sin ]x y e Ax B x C x =++ (B) y e Ax x C x x1=+[cos sin ](C)y e Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ] (D)y xe Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ]9、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)31, , x x (B)222,,x x x(C)21,sin ,cos 2x x (D)225,sin (1),cos (1)x x ++10、微分方程2-ydx xdy y exdx =的通解是( )(A)() xy x e c =+ (B)( ) xx y e c =+ (C)(-) xx y c e = (D)(-)xy x e c =11、下列方程中为常微分方程的是（）(A)22-10 x y += (B) 2' x y y=(C) 222222u u u x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2x y c +=(c 为常数）12、下列微分方程是线性的是（）(A) dy dx y x = (B)2y '+6y '=1 (C) y '=y 3+sin x (D)y '+y =y 2cos x13、方程y ''+y =2sin x 特解的形状为( )(A) )sin cos (1x B x A x y += (B) y Ax x 1=sin (C)y Bx x 1=cos (D)y Ax x x 12=+(cos sin )14、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 0,1, t (B) e t ，2e t ,e -t (C)e t e t t t --3322sin ,cos (D)t t t t ,||,242+15、微分方程ydx-xdy=x 2e x dx 的通解是( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x ) (C) x=y(c-e x ) (D) y=x(c-e x )16、下列方程中为常微分方程的是（）(A) x 2+y 2-z 2=0 (B) y ce x=(C) ∂∂∂∂u t u x =22(D) y=c 1cost+c 2sint (c 1,c 2为常数） 17、下列微分方程是线性的是（）(A) )(t x ' -x=f(t) (B)3y '+y=cos x (C) x +2y '=y '' (D) y '+(1/3)y =y 418、方程y ''-2y '+3y =e -x cos x 特解的形状为( )(A)y A x B x 1=+cos sin (B) y Ae x1=-(C)y e A x B x x1=+-(cos sin ) (D)y Axe x x1=-cos19、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)23,,t t t e e e (B) 20,, t t(C) )22cos(),1(sin 12++t t ，(D) 4-t,2t-3,6t+820、微分方程xdx-ydy=y 2e y dy 的通解是( )(A) x=y(e y + c) (B) x=y(c-e y ) (C) y=x(e x +c) (D) y=x(c-e y )21、下列方程中为常微分方程的是（）(A) x 3+1=0 (B) y ce x= (C)∂∂∂∂u t ux=22 (D) ''+=y y e x 2'22、下列微分方程是线性的是（）(A)y ''+y 2=1+x (B)y '2+y=cosx (C) y '-2y=2x 2 (D) xdx+ydy=023、方程''-+=-y y y e x69163'特解的形状为( )(A) 31x y Ae = (B)y Ax e x123=(C) y Axe x 13= (D) y e A x B x x1333=+(sin cos )24、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)2,,xxxe xe x e (B) 222,cos , cos x x (C) 2 1,2,x (D) 5420,,x x e x e x25、微分方程ydx-xdy=2x 2e x dx 的通解是( )(A) y=x(c-2e x ) (B) x=y(c+2e x ) (C) x=y(c-2e x ) (D) y=x(c+2e x ) 26、微分方程dy dx y x tg yx=+的通解为（） (A) 1sin y xcx = (B) sin y x =x +c (C) sin yx =c x (D) sin x y =c x27、微分方程2y y ''=(y ')2的通解（）(A) (x-c )2 (B) c 1(x -1)2+c 2(x +1)2 (C) c 1+(x -c 2)2 (D) c 1(x -c 2)228、微分方程xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为（）(A) y=x(e x +c) (B) x=y(e y +c) (C) y =x(c-e x ) (D) x=y(c-e y )29、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解*y 为（）(A) c x c x 123+ (B) c x cx123+ (C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x 123-+30、微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x 的特解y *的形式是（）(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) (A) e x y -=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+32、设y(x)满足微分方程(cos 2x)y ¹+y=tgx 且当x=π/4时y=0，则当x =0时y =( )(A) π/4 (B) -π/4 (C) -1 (D) 133、已知y=y(x) 的图形上点M(0,1)处的切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程''=+y y 12(')，则y(x)=( )(A) sin x (B)cos x (C) shx (D) chx34、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解是y =( )(A)33x x ++ (B) c x c x123+(C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x123-+ 35、设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程d y dxa x dydx b x y f x 22++=()()()的特解，则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223(A) 是所给微分方程的通解 (B) 不是所给微分方程的通解 (C) 是所给微分方程的特解(D) 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解36、设 y(x)满足 y 'sinx=yLny ，且y (π/2)=e ，则y (π/4)=（）(A) e /2 (B)-1e (C) e21- (D) e 23-37、微分方程2cos 0yn ytgx y x -+=的通解是（）(A) arctgx c + (B)1x ()arctgx c + (C) 1arctgx c x + (D) 1arctgx c x++38、微分方程(1+y 2)dx=(arctgy-x)dy 的通解为（）(A) x arctgy ce arctgy =-+-1 (B) x arctgy cearctgy=-++1(C) x arctgy cec arctgy=-++ (D) x arctgy ce c arctgy =-+39、微分方程''+=y y x 4212cos 的通解为y=（） (A) e c x c x c x +++1223 (B) c x c x c 1223++ (C) c e c x c x 123++ (D) c x c x c 13223++40、微分方程''-''+=y y y x 76sin 的通解是 y =（）(A) e x x x-++574774sin cos (B) c e c x c e c x x x 1234+++-sin cos(C) ()()c c x e c c x e x x1233+++- (D) ()sin ()cos c c x x c c x x 1233+++41、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) (A) e x y-=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+42、设y(x)满足微分方程xy ¹+y-y 2Lnx=0且当y(1)=1,则y(e)=( )(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e43、已知()y y x =满足()()x xy y dx y xy x dy 2222220+-++-=，且(1)1y =则y 122+⎛⎝ ⎫⎭⎪=( ) (A) 1 (B) 1/2 (C) 22 (D) 122+ 44、微分方程''=+y xy x 212'满足初始条件y x ==01, y x '==03的特解是y=( )(A)x x 33++ (B) x x 331++ (C) x x 23++ (D) x x 231++45、微分方程''++=y y y 6130'的通解是y=( )(A) ec x c x x -+31222(cos sin ) (B) e c x c x x 21233(cos sin )-(C) e c x c x x31222(cos sin )- (D) e c x c x x-+21233(cos sin )46、微分方程y yxc '++=20满足y x ==20的特解y =（）(A) 4422x x - (B)x x 2244- (C))2ln (ln 2-x x (D))2ln (ln 12-x x47、微分方程y ytgx y x 'cos -+=20的通解是（）(A)1()cos x c x y =+ (B) ()cos y x c x =+ (C) 1cos x x c y=+ (D) cos y x x c =+48、微分方程(y 2-6x )y ' +2y=0的通解为（）(A) 2x-y 2+cy 3=0 (B) 2y-x 3+cx 3=0 (C) 2x-cy 2+y 3=0 (D) 2y-cx 3+x 3=049、微分方程''+=y y x 4212cos 的特解的形式是y=（） (A) cos2a x (B) cos2ax x(C)sin2cos2 a x b x + (D)sin2cos2 ax x bx x +50、满足微分方程''-''+=y y y x 76sin 的一个特解 y*=（）(A)e x x x -++574774sin cos (B)e x x x ++574774sin cos(C)e x x x-++6574774sin cos (D)e e x x x x --+++6574774sin cos51、初值问题"40,(0)0,'(0)1y y y y +===的解是()y x =（）（其中其通解为1212()sin 2cos2,,y x c x c x c c =+为任意常数）(A)1sin 23x (B)1sin 22x (C)1sin33x （D ）1sin32x52、下列方程中为常微分方程的是（）(A)42310x x x +-+= (B) 2"'y y x +=(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2u v w =+53、下列微分方程是线性的是（）(A)2"'y xy y x ++= (B)22'y x y =+ (C)2"()y xy f x -= (D)3"'y y y -=54、已知(,)F x y 具有一阶连续偏导，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数的全微分，则（）(A) F F x y ∂∂=∂∂ (B)F F x y x y ∂∂=∂∂ (C)F F x y x y ∂∂-=∂∂ (D)F Fy x x y∂∂=∂∂55、设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程"()'()()y P x y Q x y f x ++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的解为( )(A)11223c y c y y ++ (B)1122123(1)c y c y c c y ++-- (C)1122123()c y c y c c y +-+ (D)1122123(1)c y c y c c y +--- 56、若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 为（） (A)2x e ln (B)22x e ln (C)2x e ln + (D)22xe ln +57、若3312,x xy e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（）(A)"6'90y y y ++= (B)"90y y -= (C)"90y y += (D)"6'90y y y -+=58、设123,,y y y 是二阶线性微分方程"()'()()y p x y q x y r x ++=的三个不同的特解，且1223y y y y --不是常数，则该方程的通解为（）(A)11223c y c y y ++ (B)1122231()()c y y c y y y -+-+ (C)11232c y c y y ++ (D)112223()()c y y c y y -+- 59、设()f x 连续，且满足方程()1()()f tx dt nf x n N =∈⎰，则()f x 为（）(A)1n ncx - (B)(c c 为常数） (C)sin c nx (D)s cco nx60、设12,y y 是方程"()'()0y p x y q x y ++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（）(A)是此方程的通解 (B)是此方程的特解 (C)不一定是该方程的解 (D)是该方程的解61、方程22(2)"(2)'(22)0x x y x y x y ---+-=的通解为（）(A)12x y c e c =+ (B)12x x y c e c e -=+ (C)212x y c e c x =+ (D)12xy c e c x =+62、微分方程"'1xy y e -=+的一个特解形式为（）(A)x ae b + (B)x axe bx + (C)x ae bx + (D)xaxe b + 63、方程22()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分的充要条件是（）(A)4,2p q == (B)4,2p q ==- (C)4,2p q =-= (D)4,2p q =-=-64、表达式22[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（）(A)2,2a b == (B)3,2a b == (C)2,3a b == (D)3,3a b ==65、方程"'"'xy y y y xe -+++=是特解形式为（）(A)()xax b e-+ (B)()xx ax b e -+(C)2()xx ax b e -+ (D)[()cos 2()sin 2]xe ax b x cx d x +++66、方程"2'xy y y xe -+=的特解*y 的形式为（）(A) xaxe (B)()x ax b e + (C)()x x ax b e + (D)2()xx ax b e + 67、已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2"0y w y +=的解，则1122y c y c y =+是（）(A) 方程的通解 (B)方程的解，但不为通解 (C)方程的特解 (D)不一定是方程的解68、方程"3'232xy y y x e -+=-的特解*y 的形式为（）(A) ()x ax b e + (B)()x ax b xe + (C)()x ax b ce ++ (D)()xax b cxe ++69、方程22"3'2xy y y x e-++=特解的形式为（）(A) 22x y ax e -= (B)22()xy ax bx c e-=++(C)22()xy x ax bx c e -=++ (D)222()xy x ax bx c e-=++70、下列函数在定义域内线性无关的是（）(A) 4x (B)22x x x ⋅⋅ (C)225cos sin x x ⋅⋅ (D)212x x ⋅⋅⋅71、微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是（）(A)()yx y c e =- (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D)()yy x c e =- 72、方程5,3dx dyx y x dt dt=-+-=-的奇点为（） (A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)73、（0,0）为系统,23dx dyy x y dt dt==--的（） (A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点 74、方程dx dy dz xz yz xy==的首次积分是（） (A)2xy z c -= (B)2x c y= (C)2x yz c -= (D)2xz x c -=75、方程22222dx dy dzx y z xy xz==--的首次积分是（） (A) 2x y z c x ++= (B)222x y z cy++= (C)y c x = (D)z c x =76、系统22dxx y dtdy x y dt⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点类型为（）(A) 稳定结点 (B) 不稳定结点 (C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点77、系统3474dxx y dt dy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的奇点类型为（）(A) 鞍点 (B) 焦点 (C) 中心 (D) 结点78、方程"xy y xe-+=有形如（）特解(A)xy Axe -= (B)21()x y Ax Bx c e -=++(C)1()x y Ax B e -=+ (D)xAe -79、方程2"6'13(512)t x x x e t t ++=-+特解形状为（）(A)21()t x At Bt c e =++ (B)1()tx At B e =+（C)1t x Ate = (D)1tx Ae =80、方程"2'2cos xy y y e x --+=的特解形状为（）(A)1cos x y A xe -= (B)1sin xy A xe -= (C)1(cos sin )x y e A x B x -=+ (D)1xy Ae -=81、方程"2'2cos tx x x te t -+=的特解形状为（）(A)21()cos tx At Bt c e t =++ (B)21()sin t x At Bt c e t =++(C)1(cos sin )t x e A t B t =+ (D)221()cos ()sin t tx At Bt c e t Dt Et F e t =++++82、微分方程()()0xyyx ye e dx xee dy ---++=的通解为（）(A)xyye xe c -= (B)yxye xe c -= (C)x y ye xe c --= (D)x yye xe c --=83、微分方程(sin 2sin )(cos 2cos )0xxe y y x dx e y x dy -++=的通解为（）(A)sin 2cos xe y y x c += (B)s 2cos xe co y y x c += (C)sin cos xe y y x c += (D)s 2cos xe co y y x c +=84、微分方程(2)0yye dx x xy e dy -+=的通解为（）(A)2yxe y c += (B)2y e y c x += (C)y xe xy c += (D)y y e c x+=85、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的通解为（）(A)32x xe x y c += (B)232(2)xx x e x y c -+=(C)232(22)x x x e x y c --+= (D)232(2)x x e x y c -+=86、下列方程为常微分方程的是（）(A)2220x y z ++= (B)22u u ux y y∂∂∂+=∂∂∂ (C)sin sin y A t B t =+ (D)'x y Ae =87、方程432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（）(A)21()x x μ=(B)1()x xμ= (C)41()y y μ= (D)21()y y μ= 88、方程(2)0yye x xy e dy -+=的积分因子为（）(A)21()x x μ=(B) 1()x xμ= (C)21()y y μ= (D) 1()y y μ= 89、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的积分因子为（）(A) 1()x xμ=(B)2()x x μ= (C) 1()y y μ= (D) 2()y y μ=90、方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（）(A)()x x e μ= (B)()x x eμ-= (C)()y y e μ= (D)()y y e μ-=91、方程23(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（） (A) 1()x x μ=(B)21()1x x μ=+ (C) 1()y y μ= (D)21()1y y μ=+ 92、方程3222(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（） (A) 1()x x μ=(B) 21()x x μ= (C) 1()y y μ= (D) 21()y y μ= 93、方程(2cos )0x x e dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（）(A)()sin x x μ= (B)()s x co x μ= (C)()sin y y μ= (D)()s y co y μ=94、方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（） (A) 21()x x μ=(B) 21()y y μ= (C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x y μ=+95、方程3222()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（） (A) 21x μ=(B)1xy μ= (C)221x y μ= (D)21x y μ= 96、方程36330x y x dx dy y y x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的积分因子为（） (A)x μ= (B)y μ= (C)xy μ= (D)2x y μ=97、下列方程中为常微分方程的是（）(A) 2-210x x += (B) 2' y xy = (C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2 y x c =+(c 为常数）98、下列微分方程是线性的是（）(A)22 ' y x y =+ (B)2 " x y y e += (C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =。

常微分方程期末选择题题库

常微分方程期末选择题题库选择题1、下列方程中为常微分方程的是（）(A) 2-210x x += (B) 2' y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2y x c =+(c 为常数）2、下列微分方程是线性的是（）(A)22' y x y =+ (B)2" xy y e += (C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =3、方程2-2 "3' 2xy y y x e ++=特解的形状为( )(A)2-21x y ax ey = (B) 2-21() x y ax bx c e =++(C)22-21()x y x ax bx c e =++ (D) 22-21()xy x ax bx c e =++4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 4, x (B) 2,2, x x x (C)22 5,cos ,sin x x (D) 21,2,,x x5、微分方程2-yxdy ydx y e dy =的通解是( )(A)(-) y x y c e = (B)()y x y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D) (-)yy x c e =(A)20 t dt xdx += (B)sin 1x =(C) 1 y x c =++(c 为常数） (D) 22220u ux y∂∂+=∂∂ 7、下列微分方程是线性的是（） (A)2'1y y =+ (B)11dy dx xy=+(C)2' y by cx += (D) 4'0y xy +=8、方程 "-2' 2(cos 2sin )xy y y e x x x +=+特解的形状为( )(A) 1[()cos sin ]xy e Ax B x C x =++ (B) y e Ax x C x x1=+[cos sin ](C)y e Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ] (D)y xe Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ]9、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)31, , x x (B)2 22,,x x x(C)21,sin ,cos2x x (D)225,sin (1),cos (1)x x ++10、微分方程2-ydx xdy y exdx =的通解是( )(A)() x y x e c =+ (B)( ) x x y e c =+ (C)(-) xx y c e = (D)(-)xy x e c =(A)22-10 x y += (B) 2' xy y= (C)222222u u ux y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2x y c +=(c 为常数）12、下列微分方程是线性的是（）(A) dy dx yx= (B)2y '+6y '=1 (C) y '=y3+sin x (D)y '+y =y 2cos x13、方程y ''+y =2sin x 特解的形状为( )(A) )sin cos (1x B x A x y += (B) y Ax x 1=sin(C)y Bx x 1=cos (D)y Ax x x 12=+(cos sin )14、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 0,1, t (B) e t ，2e t ,e -t (C)e t e t tt--3322sin ,cos (D) t t t t ,||,242+15、微分方程ydx-xdy=x 2e x dx 的通解是( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x ) (C) x=y(c-e x ) (D) y=x(c-e x )(A) x 2+y 2-z 2=0 (B) y ce x=(C) ∂∂∂∂u t u x=22(D) y=c 1cost+c 2sint (c 1,c 2为常数）17、下列微分方程是线性的是（）(A) )(t x ' -x=f(t) (B)3y '+y=cos x (C) x +2y '=y '' (D) y '+(1/3)y =y 418、方程y ''-2y '+3y =e -x cos x 特解的形状为( )(A)y A x B x 1=+cos sin (B) y Ae x1=-(C)y e A x B x x1=+-(cos sin ) (D)y Axe x x1=-cos19、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 23,,t t t e e e (B) 20,, t t(C) )22cos(),1(sin 12++t t ，(D) 4-t,2t-3,6t+820、微分方程xdx-ydy=y 2e y dy 的通解是( )(A) x=y(e y + c) (B) x=y(c-e y ) (C) y=x(e x +c) (D) y=x(c-e y )(A) x 3+1=0 (B) y ce x= (C)∂∂∂∂u t u x=22(D) ''+=y y e x2'22、下列微分方程是线性的是（）(A)y ''+y 2=1+x (B)y '2+y=cosx (C) y '-2y=2x 2 (D) xdx+ydy=023、方程''-+=-y y y e x69163'特解的形状为( )(A) 31xy Ae = (B)y Ax e x123=(C) y Axe x13= (D) y e A x B x x1333=+(sin cos )24、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)2,,x x x e xe x e (B) 222,cos , cos x x (C) 21,2,x (D) 5420,,x x e x e x25、微分方程ydx-xdy=2x 2e x dx 的通解是( )(A) y=x(c-2e x ) (B) x=y(c+2e x ) (C) x=y(c-2e x ) (D) y=x(c+2e x )26、微分方程dy dx y x tg yx=+的通解为（） (A)1sin yxcx= (B) sin yx =x +c (C)sin y x =c x (D) sin x y=c x 27、微分方程2y y ''=(y ')2的通解（）(A) (x-c )2 (B) c 1(x -1)2+c 2(x +1)2 (C) c 1+(x -c 2)2 (D) c 1(x -c 2)228、微分方程xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为（）(A) y=x(e x +c) (B) x=y(e y +c) (C) y =x(c-e x ) (D) x=y(c-e y )29、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解*y 为（）(A) c x c x 123+ (B) c x c x123+ (C) c e c e x x123+- (D)c e c e x x123-+30、微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x 的特解y *的形式是（）(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dy dxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )(A) e x y-=+1 (B) e x y++=10 (C) e x y=+1 (D) 222y x x =+32、设y(x)满足微分方程(cos 2x)y ¹+y=tgx 且当x=π/4时y=0，则当x =0时y =( )(A) π/4 (B) -π/4 (C) -1 (D) 133、已知y=y(x) 的图形上点M(0,1)处的切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程''=+y y 12(')，则y(x)=( )(A) sin x (B)cos x (C) shx (D) chx34、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解是y =( )(A)33x x ++ (B) c x c x123+ (C) c e c e x x123+- (D) c e c e xx123-+35、设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程d y dxa x dydx b x y f x 22++=()()()的特解，则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223(A) 是所给微分方程的通解 (B) 不是所给微分方程的通解(C) 是所给微分方程的特解(D) 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解36、设 y(x)满足 y 'sinx=yLny ，且y (π/2)=e ，则y (π/4)=（）(A) e /2 (B)-1e (C) e 21- (D) e 23-37、微分方程2cos 0yn ytgx y x -+=的通解是（）(A) arctgx c + (B)1x ()arctgx c + (C) 1arctgx c x+ (D)1arctgx c x++38、微分方程(1+y 2)dx=(arctgy-x)dy 的通解为（）(A) x arctgy ce arctgy=-+-1 (B) x arctgy ce arctgy=-++1(C) x arctgy ce c arctgy=-++ (D) x arctgy ce c arctgy=-+39、微分方程''+=y y x 4212cos 的通解为y=（）(A) e c x c x c x+++1223(B) c x c x c 1223++(C) c e c x c x 123++ (D) c x c x c 13223++40、微分方程''-''+=y y y x 76sin 的通解是 y =（）(A) e x x x-++574774sin cos (B) c e c x c e c x x x1234+++-sin cos(C) ()()c c x e c c x e x x1233+++- (D) ()sin ()cos c c x x c c x x 1233+++41、通过坐标原点且与微分方程dy dx x =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )(A) e x y-=+1 (B) e x y++=10 (C) e x y=+1 (D) 222y x x =+42、设y(x)满足微分方程xy ¹+y-y 2Lnx=0且当y(1)=1,则y(e)=( )(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e43、已知()y y x =满足()()x xy y dx y xy x dy 2222220+-++-=，且(1)1y =则y 122+⎛⎝ ⎫⎭⎪=( ) (A) 1 (B) 1/2 (C) 22 (D) 122+ 44、微分方程''=+y xy x 212'满足初始条件yx ==01,y x '==03的特解是y=( )(A)x x 33++ (B) x x 331++ (C) x x 23++ (D) x x 231++45、微分方程''++=y y y 6130'的通解是y=( )(A) e c x c x x-+31222(cos sin ) (B) e c x c x x21233(cos sin )-(C)e c x c x x 31222(cos sin )- (D)e c x c x x -+21233(cos sin )46、微分方程y y x c '++=20满足y x ==20的特解y =（）(A) 4422xx -(B)x x2244-(C))2ln (ln 2-x x(D))2ln (ln 12-x x47、微分方程y ytgx yx 'cos -+=2的通解是（）(A) 1()cos x c x y=+ (B) ()cos y x c x =+(C)1cos x x c y=+(D) cos y x x c =+48、微分方程(y 2-6x )y ' +2y=0的通解为（）(A) 2x-y 2+cy 3=0 (B) 2y-x 3+cx 3=0 (C) 2x-cy 2+y 3=0 (D) 2y-cx 3+x 3=049、微分方程''+=y y x 4212cos 的特解的形式是y=（）(A) cos2a x (B) cos2ax x (C)sin2cos2 a x b x + (D)sin2cos2 ax x bx x +50、满足微分方程''-''+=y y y x 76sin 的一个特解 y*=（）(A)e x xx -++574774sin cos (B)ex xx++574774sin cos(C)e x xx -++6574774sin cos(D)e e x x xx--+++6574774sin cos51、初值问题"40,(0)0,'(0)1y y y y +===的解是()y x =（）（其中其通解为1212()sin 2cos2,,y x c x c x c c =+为任意常数）(A)1sin 23x (B)1sin 22x (C)1sin33x （D ）1sin32x52、下列方程中为常微分方程的是（）(A)42310x x x +-+= (B) 2"'y y x +=(C) 2222u u ut x y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2u v w =+53、下列微分方程是线性的是（）(A)2"'y xy y x ++= (B)22'y x y =+ (C)2"()y xy f x -= (D)3"'y y y -=54、已知(,)F x y 具有一阶连续偏导，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数的全微分，则（）(A) F F x y ∂∂=∂∂ (B)F F x y x y ∂∂=∂∂ (C)F F x y x y∂∂-=∂∂ (D)F Fy x x y∂∂=∂∂55、设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程"()'()()y P x y Q x y f x ++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的解为( )(A)11223c y c y y ++ (B)1122123(1)c y c y c c y ++--(C)1122123()c y c y c c y +-+ (D)1122123(1)c y c y c c y +---56、若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 为（）(A)2xe ln (B)22xe ln (C)2xe ln + (D)22xe ln +57、若3312,xxy e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（）(A)"6'90y y y ++= (B)"90y y -= (C)"90y y += (D)"6'90y y y -+=58、设123,,y y y 是二阶线性微分方程"()'()()y p x y q x y r x ++=的三个不同的特解，且1223y yy y--不是常数，则该方程的通解为（）(A)11223c y c y y ++ (B)1122231()()c y y c y y y -+-+(C)11232c y c y y ++(D)112223()()c y y c y y -+- 59、设()f x 连续，且满足方程()10()()f tx dt nf x n N =∈⎰，则()f x 为（）(A)1n n cx - (B)(c c 为常数） (C)sin c nx (D)s cco nx60、设12,y y 是方程"()'()0y p x y q x y ++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（）(A)是此方程的通解 (B)是此方程的特解 (C)不一定是该方程的解 (D)是该方程的解61、方程22(2)"(2)'(22)0x x y x y x y ---+-=的通解为（）(A)12xy c e c =+ (B)12xxy c e c e -=+ (C)212xy c e c x =+ (D)12xy c e c x =+62、微分方程"'1xy y e -=+的一个特解形式为（）(A)x ae b + (B)x axe bx + (C)xae bx + (D)xaxe b +63、方程22()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分的充要条件是（）(A)4,2p q == (B)4,2p q ==- (C)4,2p q =-= (D)4,2p q =-=-64、表达式22[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（）(A)2,2a b == (B)3,2a b == (C)2,3a b == (D)3,3a b ==65、方程"'"'xy y y y xe -+++=是特解形式为（）(A)()xax b e -+ (B)()xx ax b e -+(C)2()xx ax b e -+ (D)[()cos 2()sin 2]xe ax b x cx d x +++66、方程"2'xy y y xe -+=的特解*y 的形式为（）(A) x axe (B)()xax b e + (C)()x x ax b e + (D)2()xx ax b e +67、已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2"0y w y +=的解，则1122y c y c y =+是（）(A) 方程的通解 (B)方程的解，但不为通解 (C)方程的特解 (D)不一定是方程的解68、方程"3'232x y y y x e -+=-的特解*y 的形式为（）(A) ()x ax b e + (B)()x ax b xe + (C)()xax b ce ++ (D)()xax b cxe ++69、方程22"3'2xy y y x e -++=特解的形式为（）(A)22xy ax e -= (B)22()xy ax bx c e -=++(C)22()xy x ax bx c e -=++(D)222()xy x ax bx c e -=++70、下列函数在定义域内线性无关的是（）(A) 4x (B)22x x x ⋅⋅ (C)225cos sin x x ⋅⋅ (D)212x x ⋅⋅⋅71、微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是（）(A)()yx y c e =- (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D)()yy x c e =-72、方程5,3dx dyx y x dt dt=-+-=-的奇点为（） (A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)73、（0,0）为系统,23dx dyy x y dt dt ==--的（） (A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点74、方程dx dy dz xz yz xy==的首次积分是（） (A)2xy z c-= (B)2x c y= (C)2xyz c-=(D)2xz xc-=75、方程22222dx dy dzxy z xy xz==--的首次积分是（）(A)2x y zc x ++= (B)222x y z c y++= (C)y c x=(D)z c x =76、系统22dxx y dt dy x y dt⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点类型为（）(A) 稳定结点 (B) 不稳定结点(C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点 77、系统3474dx x y dt dy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的奇点类型为（）(A) 鞍点 (B) 焦点(C) 中心 (D) 结点78、方程"xy y xe -+=有形如（）特解(A)xy Axe -= (B)21()xy Ax Bx c e -=++(C)1()xy Ax B e -=+ (D)xAe -79、方程2"6'13(512)t x x x e t t ++=-+特解形状为（）(A)21()tx At Bt c e =++ (B)1()tx At B e =+（C)1tx Ate =80、方程"2'2cos xy y y e x --+=的特解形状为（）(A)1cos xy A xe -= (B)1sin xy A xe -=(C)1(cos sin )x y e A x B x -=+ (D)1xy Ae -=81、方程"2'2cos tx x x te t -+=的特解形状为（）(A)21()cos t x At Bt c e t =++ (B)21()sin tx At Bt c e t =++(C)1(cos sin )tx e A t B t =+ (D)221()cos ()sin t tx At Bt c e t Dt Et F e t =++++82、微分方程()()0x y y xye e dx xe e dy ---++=的通解为（）(A)x y ye xe c -= (B)y x ye xe c -= (C)x yye xe c --= (D)x yye xe c --=83、微分方程(sin 2sin )(cos 2cos )0x xe y y x dx e y x dy -++=的通解为（）(A)sin 2cos xe y y x c += (B)s 2cos xe co y y x c +=(C)sin cos xe y y x c += (D)s 2cos xe co y y x c +=84、微分方程(2)0y ye dx x xy e dy -+=的通解为（）(A)2y xe y c += (B)2ye y c x += (C)yxe xy c +=x85、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的通解为（）(A)32xxe x y c += (B)232(2)xx x e x y c -+=(C)232(22)xx x e x y c --+= (D)232(2)xx e x y c -+=86、下列方程为常微分方程的是（）(A)2220x y z ++= (B)22u u ux y y∂∂∂+=∂∂∂ (C)sin sin y A t B t =+ (D)'xy Ae = 87、方程432422(22)(3)0yyxy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（）(A)21()x x μ= (B)1()x xμ= (C)41()y y μ= (D)21()y y μ=88、方程(2)0yye x xy e dy -+=的积分因子为（）(A)21()x x μ= (B) 1()x xμ= (C)21()y y μ= (D)1()y yμ=89、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的积分因子为（）(A) 1()x xμ= (B)2()x x μ= (C) 1()y yμ=(D)2()y y μ=90、方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（）(A)()xx e μ= (B)()xx e μ-= (C)()yy e μ= (D)()yy e μ-=91、方程23(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（）(A) 1()x x μ= (B)21()1x xμ=+ (C) 1()y y μ= (D)21()1y y μ=+92、方程3222(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（）(A) 1()x x μ= (B) 21()x xμ=(C) 1()y yμ=(D)21()y y μ=93、方程(2cos )0xxe dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（）(A)()sin x x μ= (B)()s x co x μ= (C)()sin y y μ= (D)()s y co y μ=94、方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（）(A) 21()x x μ= (B) 21()y y μ=(C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x yμ=+95、方程3222()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（）(A) 21x μ= (B)1xy μ=(C)221x y μ= (D)21x y μ=《常微分方程》选择题及答案 1996、方程36330x y x dx dy y y x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的积分因子为（）(A)x μ= (B)y μ=(C)xy μ= (D)2x y μ=97、下列方程中为常微分方程的是（） (A)2-210x x += (B) 2 ' y xy =(C) 2222u u ut x y ∂∂∂=+∂∂∂(D) 2 y x c =+(c 为常数）98、下列微分方程是线性的是（） (A)22 ' y x y =+ (B)2 " x y y e +=(C)2"0 y x += (D)2 '-y y xy =。

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常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（）。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为x.y 的连续函数。

2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。

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《常微分方程》期末考试试题目录《常微分方程》期末考试题（一） (1)《常微分方程》期末考试题（二） (6)《常微分方程》期末考试题（三） (13)《常微分方程》期末考试题（四） (18)《常微分方程》期末考试题（五） (24)《常微分方程》期末考试题（六） (31)《常微分方程》期末考试题库 (36)《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。

1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。

2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。

3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。

4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。

xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。

6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。

8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。

9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。

10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。

11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。

12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。