九年级数学圆中常见辅助线作法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
九年级数学圆中常见辅助线作法
圆中常见辅助线的作法 典型例题:
例题1、如图,P 是⊙O 外一点,PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ,C 是 弧AB 上
任意一点,过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ,若△PDE 的周长为12,则PA 长为______________
例题2、如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,AC ⊥L 于C ,BD ⊥L 于D ,且AC+BD=AB 。
求证:直线L 与⊙O 相切。
例题3、如图,AB 是⊙O 的直径,弦AC 与AB 成30°角,CD 与⊙O 切于C ,
交AB•的延长线于D ,求证:AC=CD .
A
B C D E
O
例题4、如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一个动点,那么OP的长的取值范围是_________.
1.遇到弦时(解决有关弦的问题时)
1)、常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。
作用:①利用垂径定理;
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。O
C
B
A
O C
B
A
O C
B A
2)、常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用:①可得等腰三角形;
②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
2.遇到有直径时
常常添加(画)直径所对的圆周角。
作用:利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形
3.遇到90°的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用:利用圆周角的性质,可得到直径。
4.遇到有切线时
(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点
作用:利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形。(2)常常添加连结圆上一点和切点
作用:可构成弦切角,从而利用弦切角定理。
5.遇到证明某一直线是圆的切线时
(1)若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段,再证垂足到圆心的距离等于半径。
(2)若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径),
再证其与直线垂直。
6.遇到两相交切线时(切线长)
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用:据切线长及其它性质,可得到:①角、线段的等量关系;
②垂直关系;③全等、相似三角形。
7.遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。
作用:利用内心的性质,可得:
①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;
②内心到三角形三条边的距离相等
8.遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点
作用:外心到三角形各顶点的距离相等。
A
B
C
D
E
P O
O
C
B A
例题讲解
例题1、如图,已知△ABC 内接于⊙O ,∠A=45°,
BC=2,求⊙O 的面积。
例题2、如图,弦AB 的长等于⊙O 的
半径,点C 在弧AMB 上,
O C
B
A
O C
B A
则∠C的度数是________.
例题3、如图,AB是⊙O的直径,AB=4,弦BC= 2,∠B=
例题4、如图,AB、AC是⊙O的的两条弦,∠BA C=90°,
AB=6,AC=8,⊙O的半径是
例题5、如图所示,已知AB是⊙O的直径,AC ⊥L于C,BD⊥L于D,且AC+BD=AB。
求证:直线L与⊙O相切。
例题7、如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O 切于A、B,C是弧AB上任意一点,过C作⊙O 的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长
为12,则PA 长为______________
例题8、如图,△ABC 中,∠A=45°,I 是内心,则∠BIC=
例题9、如图,Rt △ABC 中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I 分别切AC ,BC ,AB 于D ,E ,F ,求Rt △ABC 的内心I 与外心O 之间的距离.
课后练习
1、已知:P 是⊙O 外一点,PB ,PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D 且AB=CD.求证:
A
B C D E
O
PO平分∠BPD.
2、如图,ΔABC中,∠C=90°,圆O分别与AC、BC相切于M、N,点O在AB上,如果AO=15㎝,BO=10㎝,求圆O的半径.
3、已知:□ABCD的对角线AC、BD交于O点,BC切⊙O于E点.求证:AD也和⊙O相切.
A
B
C D
O E A
N
o
4、如图,学校A 附近有一公路MN ,一拖拉机从P 点出发向PN 方向行驶,已知∠NPA=30°,AP=160米,假使拖拉机行使时,A 周围100米以内受到噪音影响,问:当拖拉机向PN 方向行驶时,学校是否会受到噪音影响?请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时,则受噪音影响的时间是多少秒?
5、如图,A 是半径为1的圆O 外的一点,OA=2,AB 是圆O 的切线,B 是切点,弦BC ∥OA ,连结AC ,求阴影部分的面积.
6、如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE ⊥CD ,垂足为E,BF ⊥CD ,垂足为F.求证:DE=CF.
C
A
O
B