1因数和倍数
倍数与因数知识点
倍数与因数知识点两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数，那么因数和倍数之间的区分是什么呢?下面是为大家整理的关于〔小学〕〔数学〕中倍数与因数相关的学问点之间归纳，盼望对你们有关怀。
倍数与因数学问点整理一：一、因数与倍数的意义1、假如自然数乘自然数b等于c，即b=c，我们就说和b 是c的因数，c是和b的倍数。
2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
倍数和因数是互相依存的。
0是任何整数的倍数。
3、怎样找一个数的因数?就是从1和它本身开始。
一组一组从小到大的相乘，积要是这个数。
4、怎样确定一个数有几个因数?从1和它本身开始。
一组一组从小到大的相乘，相同的只算一个。
二、2、5、3的倍数的特征1、2的倍数特征个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
2、5的倍数的特征个位上是0或5的数是5的倍数。
3、3的倍数的特征各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
三、偶数与奇数自然数中，是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数)，不是2的倍数的数叫做奇数。
依据这个定义，我们可以说自然数分为偶数和奇数两类。
四、质数和合数1、质数一个数，假如只有1和他本身两个因数，这样的数叫做质数(或素数)。
如2、3、5、7都是质数。
最小的质数是2，除2外，全部的质数都是奇数。
2、合数一个数，假如除了1和它本身还有别的因数(合数的因数至少有3个)，这样的数叫做合数。
最小的合数是4。
3、1既不是质数，也不是合数。
所以我们可以说质数和合数都是自然数，但不能说自然数分为质数和合数，只能说它分为质数、合数、1和0。
4、在自然数中，最小的奇数是(1)，最小的质数是(2)，最小的合数是(4)。
5、质数只有(2)个因数，它们分别是(1)和(它本身)。
一个合数至少有(3)个因数，(1)既不是质数，也不是合数。
自然数中，既是质数又是偶数的是(2)。
因数与倍数知识点
因数与倍数知识点
在数学中，因数和倍数是两个基本的数学概念，它们分别描述了两个整数之间的关系。
以下是关于因数与倍数知识点的介绍：
1. 因数：
因数是指两个整数之间存在的一种数学关系。
一个数的因数是指能够整除该数的所有整数。
例如，如果a是整数，b是整数且a能被b整除，那么b是a的一个因数。
在一个数的因数中，有一个特殊的因数，称为最小因数。
这个因数的特点是它能被这个数本身整除。
例如，在整数3中，它的最小因数是3。
注意：1既不是任何整数的因数，也不是任何整数的倍数，因为1既可以被1整除，也可以被1整除。
2. 倍数：
倍数是指一个整数与另一个整数之间的关系。
如果一个整数a除以另一个整数b得到商为整数，且没有余数，那么b是a的一个倍数。
例如，如果a是整数，b是整数且a能被b整除，那么b是a的一个倍数。
在一个数的倍数中，有一个特殊的倍数，称为最小倍数。
这个倍数的特点是它是这个数本身的倍数。
例如，在整数3中，它的最小倍数是3。
注意：1既不是任何整数的倍数，也不是任何整数的因数，因为1既可以被1整除，也可以被1整除。
了解因数和倍数的概念有助于解决与这两个概念相关的数学问题，例如因数分解、倍数问题等。
掌握这两个概念对于后续学习整数、小数和分数的相关知识非常重要。
倍数因数知识点
倍数和因数知识点1.我们在研究倍数和因数时，所说的数一般指不是0的自然数。
2.a×b＝c或c÷a＝b (abc都是非0自然数)中，a和b是才的因数，c是a和b的倍数。
3.倍数和因数是相互存在的，只能说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
4.一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的因数的个数是有限的。
5.一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的倍数的个数是无限的。
6.一个数最大的因数等于这个数最小的倍数（都是它本身）。
7.是2的倍数的数叫偶数，偶数的特点：个位数字是0·2·4·6·8。
不是2的倍数的数叫奇数，奇数的特点：个位数字是1·3·5·7·9。
8.5的倍数的特点：个位数字是0或者5。
既是2的倍数，又是5的倍数的特点：个位数字是0。
9.奇数+偶数=奇数奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数×偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数10.3的倍数的特点：所有数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
如：453各数位上的数字和是4+5+3=12，因为12是3的倍数，所以453也是3的倍数。
11.9的倍数的特点：所有数位上数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
12.三个连续自然数（如：3.4.5），三个连续奇数（如：3.5.7）三个连续偶数（如：4.6.8）的和都是3的倍数。
13.只有1和它本身2个因数的数叫素数（也叫质数）；除了1和它本身2个因数还有其他因数的数叫合数。
1既不是素数也不是合数。
倍数和因数知识点1.我们在研究倍数和因数时，所说的数一般指不是0的自然数。
2.a×b＝c或c÷a＝b (abc都是非0自然数)中，a和b是才的因数，c是a和b的倍数。
3.倍数和因数是相互存在的，只能说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
4.一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的因数的个数是有限的。
1.因数和倍数
二、探究新知
2的倍数有：2，4，6，…… 3的倍数有：3，6，9，12，15,…… 5的倍数有：5，10，15，20，25,…… 可以用这个数分别乘1、2、 3、4、5……，所得的积就 是这个数的倍数。 还可以想哪些整数除以这个 数商是整数，那这些整数就 是这个数的倍数。
怎样找一个数的倍数？
二、探究新知
二、探究新知
第一类 12÷2＝6 21÷21＝1 20÷10＝2
第二类
8÷ 3＝ 2· · · · · · 2 19÷7＝2· · · · · · 5 26÷8＝3.25 9÷5＝1.8
63÷9＝7 30÷6＝5
你发现了什么？ 对，因数与倍数是相互依存的。 必须要说谁是谁的倍数， 谁是谁的因数。
注意：
四、布置作业
Hale Waihona Puke 作业：第7页练习二，第3题； 第8页练习二，第7题、第8题。
2的倍数有哪些？
自然数是无限的， 可以想哪些整数除以 2的 2 倍数也是无限的。 商还是整数。 2÷ 2＝ 1 6÷ 2＝ 3
既然无法一一列举出来，写出 你是怎么想的？ 2 的倍数有多少个？ 几个后就可以用省略号表示。
4÷ 2＝ 2 8÷ 2＝ 4
也可以用2分别乘1、 2、3……，所得的积 都是2的倍数。 2× 1＝ 2 2× 3＝ 6 2× 2＝ 4 2× 4＝ 8
二、探究新知
第一类 12÷2＝6 21÷21＝1 20÷10＝2
第二类
8÷ 3＝ 2· · · · · · 2 19÷7＝2· · · · · · 5 26÷8＝3.25 9÷5＝1.8
63÷9＝7 30÷6＝5
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们 就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除 说一说第一类的每个算式中， 数的因数。例如， 12÷2＝6，12是2和6的倍数， 谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 2和6是12的因数。
因数与倍数
因数与倍数（相互依存）a ×b = c（a、b、c都是不为0的整数），那么a、b就是c的因数，c是a、b的倍数。
1、一个数的因数的个数是有限的。
最小因数是1，最大的因数是它本身。
找因数的方法：①列乘法算式②列除法算式2、一个数的倍数的个数是无限的。
一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。
找倍数的方法：①列乘法算式②列除法算式注意：0是任何一个非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。
注意：一个数的最小倍数和最大因数相等例、36的因数有1、2、3、4、6、8、12、18、3636的倍数有36、72、108、…3、偶数：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。
如果a是自然数，偶数可以用2a表示。
个位上是0、2、4、6、8是偶数。
最小的偶数是0.4、奇数：自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数。
如果a是自然数，奇数可以用2a-1或2a+1表示表示个位上是1、3、5、7、9是奇数。
最小的奇数是1。
奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数（大减小）奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数偶数×奇数=偶数5、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是三的倍数。
（各个数位上的数相加的和能被3整除。
）5的倍数的特征：个位上是5或0的数。
既是2、5的倍数，又是3的倍数的特征：个位上是0，且各数位上数字之和是3的倍数。
9的倍数的特征：一个数各数位上的数字的和是9的倍数。
10的倍数的特征：这个数个位只能是0。
11的倍数的特征：一个数的奇数位上的数字之和，同偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例、5632110 0+1+3+5-(6+2+1)=0 0是11的倍数，所以563211是11的倍数数。
（一个数的末三位数与末三位前地数字所组成的数之差（大减小）是11的倍数。
）例、5632110 5632-110=5522,522-5=517,517是11的倍数，所以5632110是11的倍数25的倍数的特征：一个数的末两位数是25的倍数。
2022年暑期奥数教案 五升六《1 因数和倍数》教案(打印版)
《数学思维训练教程》教案教材版本：实验版 . 学校： .第一课时第二课时292÷〔2÷0.5〕=73〔桶〕280÷〔2.5÷0.5〕=56〔桶〕答：“江海牌〞是红色的，“前进牌〞是黄色的，“乐士牌〞是白色的。
〔五〕教学大胆闯关5☆5.〔选做题〕如果六位数2021□□是105的倍数，那么这个六位数是多少？1.指名同学读题目。
2.分组讨论。
师：你获得了那些信息？你能将这个数是105的倍数进行转化吗？怎样转化？生：这道题和例1的拓展提高类似。
可以先对105分解质因数105=3×5×7,3、5与7彼此互质，所以这个六位数能同时被3、5和7整除。
3.独立完成。
答案：结合3、5和7的倍数特征可知这个六位数为202175。
四、拓展延伸〔一〕拓展延伸11.两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？答案：解：设另一个数为x。
题干“最小公倍数是720〞闪一闪变蓝色后，出示文字：[180，x]＝60×3×＝720解得：x＝240答：另一个数是240。
〔二〕拓展延伸2课本及练习册答案自主探究答案：例题1：12180 12480 12780 12285 12585 12885例题2：不对〔不是4的倍数〕例题3: 367.92元例题4: 31100913例题5: 159 160 161大胆闯关：1．第二筐2．1450203．ABABAB4．红色的是“江海牌〞，黄色的是“前进牌〞，白色的是“乐士牌〞。
5．202175练习册：1、根据题意可知，四位数8AAB是2,3,5的公倍数，所以B＝0,；且它是3的倍数，所以8＋A＋A＝8＋2A的和是3的倍数，经验证，A＝2,5,8满足条件。
所以这个四位数可能是：8220或8550或8880。
2、1～100的和－9的倍数的和＝不是9的倍数的数的和1～100的和：1＋2＋3＋…＋100＝50509的倍数的和〔等产数列求和〕：9＋18＋27＋…＋99＝〔9＋99〕×11÷2＝594 不是9的倍数的数的和：5050-594=44563、〔1〕填入第1个数字使得1234□是6的倍数，6＝2×3,且〔2,3〕＝1所以1234□是2，3的公倍数，□中可能是2或8；〔2〕填入第2个数字使得1234□是10的倍数，10＝2×5,且〔2,5〕＝1所以1234□是2，5的公倍数，□中只能是0；〔3〕填入第3个数字使得1234□是15的倍数，15＝3×5,且〔3,5〕＝1所以1234□是3，5的公倍数，□中填5；李老师先后填入的3个数字的和可能是：2＋0＋5＝7或8＋0＋5＝134、因为7A是6的倍数，所以A＝2或A＝8假设A＝2，那么8A87A为82872,8＋2＋8＋7＋2＝27，满足条件；假设A＝8，那么8A87A为88878,8＋8＋8＋7＋8＝39，不满足条件；所以这个五位数是82872。
青岛版六三制小学五年级上册数学第六单元 因数与倍数 教案 1 因数和倍数
1 因数和倍数⏹教学内容教材第88-91页，因数与倍数。
⏹教学提示在这节课先揭示整数的概念，再利用整数认识因数和倍数，而是让学生根据实际情境列出乘法算式，利用乘法来认识倍数与因数。
在找一个数的倍数时，也是让学生运用除法的知识，探索找一个数的倍数的方法。
教材提出“可以怎样排队”的问题。
利用整数乘法认识倍数与因数，以整数乘法算式为例说明倍数与因数的含义，让学生通过小组合作，探究不同的解题方法，指导学生利用原有的乘除法知识，探究找一个倍数的方法，总结出一个数的倍数最小的是本身，没有最大的倍数，并提醒学生，在探究因数和倍数的时候，一般不讨论0。
引导学生体会一般可以用乘法算式来找一个数的倍数，要注意引导学生的有序思考，并逐步让学生领会到一个数的倍数的个数是无限的。
⏹教学目标知识与能力结合具体情境，利用乘法认识倍数和因数。
过程与方法探索找一个数的倍数的方法，能在1-100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数。
情感、态度与价值观培养学生综合应用的意识和能力。
⏹重点、难点重点、难点了解倍数和因数的意义。
⏹教学准备教师准备：多媒体课件学生准备：练习本⏹教学过程（一）新课导入：创设情境1、谈话引人师：同学们喜欢开运动会吗？运动会上的团体操表演非常好看，那么接下来我们一起来看看运动会上团体操排练时，队型排列出现了一些问题，想让同学们帮忙解决这个问题。
2、出示情境图（1）学生活动：仔细观察情境图，获取图中信息。
全班进行交流（2）学生活动：分一分。
你能提出什么问题？学生先单独活动，教师帮助有困难的学生。
全班进行交流（3）学生汇报，提出问题。
教师引导学生对队形如何排列进行提问。
设计意图：通过讨论学生感兴趣的话题引入本课的例题，吸引学生的注意力，调动学生的学习兴趣。
（二）探究新知：1.解决：可以怎样排队2.学生列算式说明倍数和因数的含义2 x 6 = 123 x4 = 12 1 x 12 = 12（1）说明含义，2和6是12的因数；12是2和6的倍数。
因数与倍数的概念
因数与倍数的概念因数与倍数的概念引言：因数和倍数是初中数学中非常基础的概念，它们在日常生活和工作中也有着广泛的应用。
本文将详细介绍因数和倍数的含义、性质、求解方法以及应用场景。
一、因数的概念1.1 定义在整数a中，如果存在一个整数b，使得a能够被b整除，则称b是a的因数，a是b的倍数。
例如，2是4的因数，4是2的倍数。
1.2 性质（1）任何一个正整数都有1和它本身两个因数。
（2）如果一个正整数有除了1和它本身以外的其他因子，则称该正整数为合数；否则称为质数。
（3）如果一个正整数a能够被b整除，则a一定可以被b的所有因子整除。
（4）如果一个正整数同时是另外两个不同正整数的因子，则这个正整数一定小于等于这两个正整数之间较小的那个。
1.3 求解方法（1）列举法：将一个正整数分解成若干个质因素相乘，然后从这些质因素中选取若干个进行组合，得到该正整数所有的因数。
（2）分解质因数法：将一个正整数分解成若干个质因素相乘，然后根据质因数分解式得到该正整数的所有因数。
二、倍数的概念2.1 定义在整数a和b中，如果存在一个整数k，使得a=k*b，则称a是b的倍数，b是a的约数。
例如，6是3的倍数，3是6的约数。
2.2 性质（1）任何一个正整数都是1的倍数。
（2）如果一个正整数同时是另外两个不同正整数的倍数，则这个正整数一定大于等于这两个正整数之间较大的那个。
（3）如果一个正整数能够同时被两个不同的正整数整除，则这个正整数一定是这两个正整数的公倍数。
2.3 求解方法（1）列举法：将一个正整数分别乘以1、2、3、4……得到它所有的倍数。
（2）公式法：设a为某一正整数，b为它的倍数，则有b=a*k(k 为自然数组成)，即k=b/a。
根据此公式可以求出任意正整数的倍数。
三、应用场景3.1 因式分解因式分解是将一个多项式或整数分解成若干个因式的乘积。
因为每个整数都可以唯一地分解成若干个质因子相乘的形式，所以对于任意一个整数，我们都可以将它分解成若干个质因子的乘积，从而得到它所有的因数。
《因数倍数》课件课件1
２４， ２的倍数的数（ １０，２，２４，１６ 的倍数的数（ １０， 的倍数的数（ １５，２４， ３的倍数的数（ １５，２４，３，２１，２７ ２１， 的倍数的数（ １０，１５， ５的倍数的数（ １０，１５，５
） ） ）
不用计算判断结果是奇数还是偶数： 不用计算判断结果是奇数还是偶数： １０２３＋２０３３＝（ 偶
因数 合数 自然数 整数 偶数 倍数 奇数 质数
奇数
是否是2的倍数 是否是 的倍数
偶数
2,3,5的 的 倍数
整数{自然数 整数 自然数} 自然数 质数 合数 1 0
因数的个数
因 数
思考
观察下面的数字
１０,１５ ２ ２４ ２４,１ ３ ０ ２１,５ ２７ ２７,１６ １０ １５,２,２４ １,３,０，２１ ５,２７ １６ １５ －６,⅓，⅝,0.5,－９ － １０， ２４,１ ２７,１６ １０ 整数有（ １５， ２４ ３ ０ ２１,５ ２７ １６,－ － 整数有（ ，１５，２,２４ １,３,０，２１ ５,２７ １６ －６,－９ ） １０,１５ ２４,１ ２７,１６ １０ 自然数有（ １５,２ ２４ ３ ０ ２１,５ ２７ 自然数有（ １５ ２,２４ １,３,０，２１ ５,２７ １６ ） ２１， 奇数有（ １５， 奇数有（ １５，１，３，２１，５，２７ ） 偶数有（ １０， ２４， 偶数有（ １０，２，２４，０，１６ ） 质数有（ 质数有（ ２，３，５ ） 合数有（ １０，１５，２４,２１ ２７,１６ 合数有（ １０，１５，２４ ２１,２７ １６ ） ２１ ２７
五年级上册数学学案- 第三单元 倍数与因数1 北师大版 (含答案)
五年级上册数学学案- 第三单元倍数与因数1 北师大版 (含答案）一、学习目标1. 理解因数和倍数的概念，掌握找一个数的因数和倍数的方法。
2. 掌握找一个数的最大因数和最小倍数的方法。
3. 理解公倍数和最小公倍数的概念，掌握求两个数的最小公倍数的方法。
4. 理解公因数和最大公因数的概念，掌握求两个数的最大公因数的方法。
二、学习内容1. 因数和倍数2. 最大因数和最小倍数3. 公倍数和最小公倍数4. 公因数和最大公因数三、学习过程1. 因数和倍数因数：一个数a能被另一个数b整除（b≠0），那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
倍数：一个数a能被另一个数b整除（b≠0），那么a就是b的倍数。
例1：找出18的因数和倍数。
解：18的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。
18的倍数有：18, 36, 54, 72, 90, 108, ...2. 最大因数和最小倍数最大因数：一个数的最大因数是它本身。
最小倍数：一个数的最小倍数是它本身。
例2：找出18的最大因数和最小倍数。
解：18的最大因数是18，18的最小倍数是18。
3. 公倍数和最小公倍数公倍数：两个或多个数共有的倍数。
最小公倍数：两个或多个数共有的倍数中最小的一个。
例3：求12和18的最小公倍数。
解：12的倍数有：12, 24, 36, 48, 60, ...18的倍数有：18, 36, 54, 72, 90, ...12和18的最小公倍数是36。
4. 公因数和最大公因数公因数：两个或多个数共有的因数。
最大公因数：两个或多个数共有的因数中最大的一个。
例4：求12和18的最大公因数。
解：12的因数有：1, 2, 3, 4, 6, 12。
18的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。
12和18的最大公因数是6。
四、练习题1. 找出20的因数和倍数。
2. 求24和36的最小公倍数。
3. 求30和45的最大公因数。
4. 判断下列说法是否正确：（1）一个数的因数一定比这个数小。
倍数与因数 概念总结
《倍数与因数》概念总结1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
（一般不包括0）。
2、整除：被除数、除数、商都是整数，没有余数。
除尽：没有余数，但被除数、除数、商可以是小数、分数或整数。
3、求一个因数的方法：⑴列乘法算式⑵列除法算式4、一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，1的因数是1，它是所有非零自然数的因数。
5、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数它本身，没有最大的倍数。
6、如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和也是这个数的倍数。
7、整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
8、0是最小的偶数，没有最大的偶数；1是最小的奇数，没有最大的奇数。
9、①个位上是0或5的数都是5的倍数。
②个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
③一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
④个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。
⑤个位上是0且各位数字的和是3的倍数，那么这个数既是2的倍数又是3和5的倍数。
⑥能被2和3同时整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字之和是3的倍数。
⑦能被3和5同时整除数的特征：个位上是0或5，且各个数位上的数字之和是3的倍数。
10、各位数位上数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
是9的倍数一定是3的倍数。
但是3的倍数不一定是9的倍数。
11、偶数＋偶数=偶数偶数－偶数=偶数偶数×偶数=偶数偶数＋奇数=奇数偶数－奇数=奇数偶数×奇数=偶数奇数＋奇数=偶数奇数－偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数－奇数=偶数无论多少个偶数相加都是偶数偶数个奇数相加是偶数奇数个奇数相加是奇数12、1个数，如果只有1和它本身两个因数，叫质数。
13、1个数，如果除了1和它本身还有别的因数，叫合数。
14、1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。
因数和倍数知识点归纳
因数和倍数知识点归纳一、因数：1.定义：若整数a除以整数b，商为整数而没有余数，那么b就是a 的因数，同时a也是b的倍数。
2.性质：每个整数都有1和它本身作为因数，这两个因数称为它的“平凡因数”。
3.因数的表示：a.用数学符号表达：记作a，b（a能整除b），读作“a整除b”或“b能被a整除”。
b.用集合表示：将a的所有因数放在一对括号中，如{1,a}表示a的因数集合。
4.因数的判断：若a能整除b，则b是a的因数；若a能被b整除，则a是b的因数。
5.因数的个数：a.若n是一个合数（非素数），则它的因数个数一定大于2个。
b.若n是一个素数，它的因数只有1和它本身两个。
6.因数的性质：a.因数是整数，可以是正数、负数或零。
b.若x是y的因数，y是z的因数，则x也是z的因数。
7.因数的求法：a.可以通过试除法来求一个数的因数。
从2开始逐个试除，直到试除到该数的平方根为止。
b.可以通过质因数分解来求一个数的因数。
将该数分解为若干个质数的乘积，再根据乘法的交换律将质数分解表示的因数重新排列组合。
二、倍数：1.定义：若整数a除以整数b，商为整数，则a是b的倍数，b是a的约数。
2. 性质：对于任何整数a和正整数b，ab都是a的倍数，且ab/a=b。
3.倍数的表示：a.用数学符号表达：记作a∣b（a是b的倍数）。
b.用集合表示：将a的所有倍数放在一对括号中，如{a,2a,3a,...}表示a的倍数集合。
4.倍数的判断：若a是b的倍数，则b是a的因数。
5.最小公倍数（LCM）：表示两个或多个数共有的最小倍数。
6.最大公约数（GCD）：表示两个或多个数共有的最大因数。
三、公约数和公倍数：1.公约数：两个或多个数同时能够整除的因数，称为公约数。
a.公约数的求法：通过分别求出两个或多个数的因数集合，找出它们的交集即为它们的公约数。
b.公约数的性质：若a是b的公约数，而b是c的公约数，则a也是c的公约数。
2.公倍数：两个或多个数同时是另一个数的倍数，称为公倍数。
2-1 因数与倍数
第二章分數的運算§2-1因數與倍數(1)三個整數甲、乙、丙，如果甲÷乙=丙，且乙不為0，那麼甲=乙⨯丙。
這時甲能被乙整除，而且乙是甲的因數，甲是乙的倍數。
(2)1是任何整數的因數。
(3)2、3、5、11的倍數的判別方法如下述：2的倍數：個位數字是0、2、4、6、8。
3的倍數：數字和是3的倍數。
5的倍數：個位數字是0或5。
11的倍數：奇數位數字和與偶數位數字和之差是0或11的倍數。
(4)一個大於1的整數，如果除了1和它自己之外再也沒有其他的因數，這個整數就叫做質數。
例：2、3、5、7-----(5)如果一整數的因數是質數，我們稱此因數是這個整數的質因數。
(6)大於1且不是質數的整數都可以分解成質因數的乘積。
在乘積中，通常我們把較小的質數寫在前，較大的質數寫在後，並將相同的質數的乘積寫成幾次方的形式。
這種式子稱為這個整數的標準分解式。
(這個表示法是唯一的)(7)如果甲數同時為某幾個整數的因數時，甲數就是這些整數的公因數。
公因數中最大的一個就是這幾個整數的最大公因數。
(8)如果甲數同時為某幾個整數的倍數時，甲數就是這些整數的公倍數。
公倍數中最小的一個正整數就是這幾個整數的最小公倍數。
(9)如果兩個整數的最大公因數是1，這兩個整數稱做互質。
例1.下列各整數何者是2的倍數？3的倍數？5的倍數？11的倍數？1546、1983、217481、31475。
解：【答：1546；1983；31475；217481】例2.求756標準分解式及其質因數。
解：【答：22×33×7；2、3、7】例3.求360與432的最大公因數及最小公倍數。
解：【答：72；2160】例4.(1)求標準分解式：480、540 (2)求(480,540 )及[480 , 540]。
解：【答：(1)25×3×5；22×33×5 (2) 60；4320】例5.求(23×3×5 , 22×33×7)及[23×3×5 , 22×33×7]。
倍数与因数知识点总结(全)
一．自然数自然数：像0、1、2、3、4、5、6……这样的数是自然数。
最小的自然数是0，没有最大的自然数。
二．倍数和因数的特征1．我们只在自然数（0除外）范围内研究倍数和因数。
2．倍数与因数是相互依存的。
没有倍数就不存在因数，没有因数就不存在倍数。
不能单独说一个数是倍数或因数。
3．一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
4．一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
5．倍和倍数的区别：“倍”和倍数”不一样，“倍”可以适用于小数，分数，整数；而倍数相对因数而言，只能适用于（不为0）的自然数。
6．口诀：因数和倍数，单独不存在。
互相来依靠，永远不分开。
列举找因数，相乘找倍数。
因数能数清，倍数数不清。
例：（1）请找出12的全部因数。
（2）请写出20以内6的倍数。
12＝1×12 1×6＝612＝2×6 2×6＝1212＝3×4 3×6＝1812的全部因数是：1,2,3,4,6,12。
20以内6的倍数有：6,12,18...三．倍数特征2的倍数特征：个位上是0,2,4,6或8的数。
5的倍数的特征：个位上是0或5的数。
3（或9）的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3（或9）的倍数。
2和5的倍数特征：个位上是0的数。
2和3的倍数特征：个位上是0,2,4,6或8且各个数位上的数字之和是3的倍数的数。
3和5的倍数特征：个位上是0或5且各个数位上的数字之和是3的倍数的数。
2，3和5的倍数特征：个位上是0且各个数位上的数字之和是3的倍数的数。
同时是2、3的倍数的最小两位数是102.同时是2、3、5的倍数的最小两位数是30，最大两位数是90，最小三位数是120，最大三位数是990四．质数与合数的意义自然数按因数的个数分为：质数、合数、1、0四类。
质数：一个数只有1和它本身两个因数的数。
合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数的数。
因数与倍数 基本概念
二、因数与倍数基本概念【知识点1】关于倍数因数的一些概念性问题一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。
一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。
1是任一自然数（0除外）的因数。
也是任一自然数（0除外）的最小因数。
一个数的因数最少有1个，这个数是1。
除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。
一个数的因数都小于或等于他本身，一个数的倍数都大于或等于他本身。
一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数注意：为了方便，在研究因数和倍数时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）【知识点2】2、3、5的倍数特征个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，是5的倍数。
例如：5、30、405都能被5整除。
一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
例如：12、108、204都能被3整除。
（个位上是0的数）既是2的倍数又是5的倍数。
例如：80、20、70、130等。
个位上是0且各位数字的和是3的倍数，那么这个数既是2的倍数又是3和5的倍数。
例如：120、90、180、270等。
自然数按是否是2的倍数的特征可分为奇数和偶数。
也就是说是2的倍数的数也叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数也叫做奇数。
（因此在自然数中，除了奇数就是偶数）偶数＋偶数=偶数偶数－偶数=偶数偶数×偶数=偶数偶数＋奇数=奇数偶数－奇数=奇数偶数×奇数=偶数奇数＋奇数=偶数奇数－偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数－奇数=偶数无论多少个偶数相加都是偶数偶数个奇数相加是偶数奇数个奇数相加是奇数【知识点3】一些特殊数的倍数的特征一个数各位数上的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
但是，9的倍数是3的倍数。
但3的倍数不一定是9的倍数。
6的倍数是3的倍数。
但3的倍数不一定是6的倍数。
一个数的末两位数能被4整除，这个数就是4的倍数。
什么是倍数,什么是因数
定义：
因数：两个正整数相乘，那么这两个数都<span data-bjh-target="
叫做积的因数，或成为约数。
定义：假如a*b=c（a、b、c都是整数)，那么我们称a和b就是c 的因数。
需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。
倍数：是指一个数和一整数的乘积。
换句话说，针对两个数a和b，若存在一整数n使得b = na，则b 是a的倍数，若a不为零，也就表示b/a为一整数，其除法可以整除，没有余数。
在研究因数和倍数时，小学数学不考虑0。
关系补充：
1、因数和倍数的研究范围是：非零自然数
2、因数和倍数的关系是：相互依存的关系，没有倍数就不存在因数，没有因数也不存在倍数。
只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
不可以说谁是因数，谁是倍数。
3、因数和倍数的辨别：在乘法里，积是乘数的倍数，乘数是积的因数。
因数和倍数(例1、2、3)
组织活动
在组织活动时，我们需要考虑时间、地点、人数等因素，因数和倍数的概念可以帮助我们 更好地安排时间和地点，以满足所有人的需求。
在计算机科学中的应用
数据压缩
在计算机科学中，数据压缩是一种常见的技术，它可以通过减少数据所占用的存储空间来提高存储效 率和传输效率。因数和倍数的概念在数据压缩中有着重要的应用，例如通过找出数据的因数来减少存 储空间占用。
例如，在数字12中，因数有1、 2、3、4、6和12。
因数定义还可以表述为：如果 整数a能够被整数b整除，并且 余数为0，那么b就是a的因数。
倍数的定义
倍数是某个数的整数倍。 例如，4是2的2倍，10是5的2倍。
倍数定义还可以表述为：如果整数a能够被整数b整除，那么a就是b的倍数。
因数和倍数的关系
数字的倍数
一个数的倍数是该数与一个整数 相乘的结果。例如，数字12的倍 数有12、2形状的因数和倍数
几何形状的因数
一个几何形状的因数是能够整除该形 状的相似形状。例如，正方形可以由 两个相同的长方形组成，因此长方形 是正方形的因数。
几何形状的倍数
一个几何形状的倍数是该形状与一个 相同形状相乘的结果。例如，两个相 同的长方形可以组成一个更大的长方 形，因此长方形是自身的倍数。
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任何数都有唯一的倍数。例如，6是1、2、3、6的倍数，这 些是唯一的倍数，因为任何其他数都不能整除给定的数。
倍数的唯一性意味着一个数的倍数集合中不存在重复的倍数。 例如，4的倍数集合为{4, 8, 12, 16, 20, ...}，其中每个倍数都是 唯一的。
1、倍数和因数
1、倍数与因数教学内容：倍数与因数。
(教材第31~32页)教学目标：1.结合具体情境,联系乘法认识倍数和因数。
2.探索判断一个数的倍数的方法。
重点难点：重点:结合具体情境,认识倍数和因数。
难点:准确判断一个数的倍数的方法。
教具学具：多媒体课件。
教学过程：一、情境导入：师:上课之前,老师先来做个小调查,哪些同学知道爸爸的名字?哪些同学知道爷爷的名字?哪些同学既知道爸爸的名字,又知道爷爷的名字?(板书:我爸爸爷爷)引导说出“谁是谁的爸爸”“谁是谁的儿子”。
师:我们人与人之间有各种各样的关系,比如我们刚刚说到的“父子关系”。
父子关系是一种互相依存的关系,表述时一定要说完整才行。
其实数与数之间也有这样的关系,这节课我们就来学习有关的知识。
二、自主探究：1.出示教材上的队形图。
从解决书上提出的问题的过程中引出算式。
9×4=36(人)5×7=35(人)说说在算式中每个数字的名称及所表达的意义。
2.认一认。
以9×4=36这个乘法算式为例说明倍数和因数的含义,即36是9和4的倍数,9和4是36的因数。
这里出现了两个新的概念:倍数和因数,今天我们就来学习倍数和因数。
(板书课题:倍数与因数)引导学生认识倍数和因数,体会倍数和因数的含义。
学生第一次接触,教师要让学生多说一说。
师:根据5×7=35,你能说出哪个数是哪个数的倍数,哪个数是哪个数的因数吗?在利用乘法算式说明倍数和因数的含义的基础上,出示一个除法算式,如18÷2=9,启发学生思考:根据整数除法算式能不能确定两个数之间的倍数关系。
说明:在研究倍数和因数时,范围限制为不是零的自然数。
3.根据算式说一说。
出示25×3=75,20×5=100。
师:25和3是75的什么?75是3的什么,也是25的什么?生:25和3是75的因数。
75是3的倍数,也是25的倍数。
师:如果我说25是因数,75是倍数对吗?生1:不对,应该说25是谁的因数,75是谁的倍数。
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青龙山学区中心校（数学）学科导学方案
找看18的因数有哪些？
学生尝试完成：汇报
（18的因数有：1，2，3，6，9，18）
师：说说看你是怎么找的？（生：用整除的方法，18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，18÷4＝…；用乘法一对一对找，如1×18＝18，2×9＝18…）
师：18的因数中，最小的是几？最大的是几？我们在写的时候一般都是从小到大排列的。
2、用这样的方法，请你再找一找36的因数有那些？
汇报36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36
师：你是怎么找的？
举错例（1，2，3，4，6，6，9，12，18，36）
师：这样写可以吗？为什么？（不可以，因为重复的因数只要写一个就可以了，所以不需要写两个6）
仔细看看，36的因数中，最小的是几，最大的是几？
看来，任何一个数的因数，最小的一定是（），而最大的一定是（）。
3、你还想找哪个数的因数？（18、5、42……）请你选择其中的一个在自练本上写一写，然后汇报。
4、其实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示：如
18的因数
小结：我们找了这么多数的因数，你觉得怎样找才不容易漏掉？
从最小的自然数1找起，也就是从最小的因数找起，一直找到它的本身，找的过程中一对一对找，写的时候从小到大写。
（二）找倍数：
1、我们一起找到了18的因数，那2的倍数你能找出来吗？
汇报：2、4、6、8、10、16、……
师：为什么找不完?
你是怎么找到这些倍数的? (生：只要用2去乘1、乘2、乘3、乘4、…)。