《导数的几何意义》教学设计
导数的几何意义教学设计
《导数的几何意义》教学设计一、教材分析:导数的几何意义是学生学习了平均变化率,瞬时变化率即导数定义之后的内容,通过这一部分的学习可以帮助学生更好的理解导数的含义与价值。
为后面利用导数研究函数的单调性,极值等内容奠定了基础.因此,导数的几何意义在本章中有承前启后的重要作用.二、教学目标【知识目标】1.通过实验探求和理解导数的几何意义,2.掌握导数几何意义简单的应用【能力目标】培养学生分析、抽象、概括等思维能力【情感态度价值观目标】1. 在导数几何意义的推导过程中,渗透逼近和以直代曲的思想,使学生了解近似与精确间的辨证关系,激发学生勇于探索、勤于思考的精神;2. 通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发学生学习数学的兴趣;培养学生合作学习和数学交流的能力。
3. 增强学生问题应用意识教育,让学生获得学习数学的兴趣与信心.三、重点、难点重点:导数的几何意义,导数的实际应用,“以直代曲”数学思想方法.难点:对导数几何意义的理解与掌握,在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解.四、教法与学法1.学情分析学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解了瞬时变化率就是导数,体会了导数的思想和实际背景,已经具备一定的微分思想,但是对于导数在研究函数性质中有什么作用还不够理解,多数同学对此有相当的兴趣和积极性。
学生在学习时可能会遇到以下困难,比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法,理解导数就是曲线上某点的斜率等等。
2.教法(1)、多媒体辅助教学借助多媒体教学手段引导学生发现切线斜率与该点导数值之间的关系,使问题变得直观,易于突破难点;利用多媒体向学生展示导数就是切线斜率的过程,体会逼近的思想方法。
(2)、探究发现法教学让学生通过动手操作课件经历“实验、探索、论证、应用”的过程,体验从特殊到一般的认识规律,通过学生“动手、动脑、讨论、演练”增加学生的参与机会,增强参与意识,教给学生获取知识的途径,思考问题的方法,使学生真正成为教学主体。
导数的几何意义课程设计
导数的几何意义课程设计一、课程目标知识目标:1. 理解导数的定义,掌握导数的计算方法;2. 掌握导数的几何意义,能够运用导数解释曲线的切线斜率和函数的增减性;3. 了解导数与函数图像之间的关系,能够分析导数对函数图像的影响。
技能目标:1. 能够准确地计算给定函数在某一点的导数;2. 能够运用导数的几何意义分析曲线的切线斜率和函数的单调性;3. 能够通过导数的符号判断函数图像的凹凸性和拐点。
情感态度价值观目标:1. 培养学生对数学学科的的兴趣,激发他们对导数几何意义的探索欲望;2. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力,使他们能够运用导数解决实际问题;3. 培养学生的团队合作意识,在小组讨论和交流中互相学习,共同提高。
课程性质:本课程为高中数学选修课程,旨在帮助学生深入理解导数的概念,掌握导数的计算方法,并运用导数的几何意义分析曲线和函数的性质。
学生特点:学生已经掌握了函数的基本概念和性质,具备一定的数学分析能力,但对导数的理解可能还不够深入。
教学要求:通过讲解、例题分析、小组讨论和课后练习等多种教学手段,使学生能够全面理解和掌握导数的几何意义,并能够灵活运用。
在教学过程中,注重培养学生的动手能力和实际问题解决能力,提高他们的数学素养。
二、教学内容本节教学内容主要包括以下几部分:1. 导数的定义及其计算方法:回顾导数的概念,强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率;讲解导数的计算规则,包括幂函数、指数函数、对数函数的导数计算。
2. 导数的几何意义:阐述导数与曲线切线斜率之间的关系,解释导数表示曲线在某一点的切线斜率;通过实例分析,让学生理解导数在几何图形中的应用。
3. 函数图像与导数的关系:介绍函数图像的凹凸性、拐点与导数之间的关系;指导学生通过导数的符号判断函数图像的凹凸性和拐点。
4. 导数在实际问题中的应用:举例说明导数在物理、经济等领域的应用,让学生了解导数在解决实际问题中的重要性。
教学内容依据教材章节进行安排,具体包括:1. 教材第二章第五节:导数的定义及其计算方法;2. 教材第二章第六节:导数的几何意义;3. 教材第二章第七节:函数图像与导数的关系;4. 教材第二章第八节:导数在实际问题中的应用。
导数的几何意义的教学设计
导数的几何意义的教学设计尊敬的教师,根据您的要求,我将为您设计一个关于导数的几何意义的教学方案。
请注意,下文将按照作文的格式来书写。
导数的几何意义的教学设计导数是微积分中的重要概念,掌握导数的几何意义可以帮助学生更好地理解该概念。
本教学设计将通过实际应用和几何推导的方式,帮助学生深入了解导数的几何意义。
一、引言与背景知识在引入导数的几何意义之前,我们先通过一个简单的例子来阐述导数的定义和计算方法。
例如,我们考虑一个物体的位移随时间变化的过程,我们可以根据位移的变化率来计算速度。
这种变化率在微积分中就是导数。
二、导数与切线关系的探究1. 实例讲解:穿插示意图,以一元函数为例说明导数与切线的关系。
引导学生观察函数曲线上某一点的切线,强调切线斜率与导数的关系。
2. 实际应用:考虑实际生活中的应用场景,如车辆行驶过程中的转弯、速度变化等。
通过实际例子来说明导数对于几何图形的分析与解释作用。
三、导数与曲线的几何性质1. 极值点的判断:逐步讲解当导数为零时,函数曲线在该点的切线水平,从而推导出导数与函数极值点的关系。
2. 凹凸性与导数:通过实例分析函数曲线的凹凸性,引导学生观察导数曲线的正负变化以及函数曲线的变化趋势。
通过这一过程,强调导数与曲线凹凸的关系。
四、高阶导数与曲线的变化1. 导数的导数:引导学生思考导数本身也可以求导的问题,讲解高阶导数的概念,并通过实例解释高阶导数与曲线的形态变化。
2. 曲线的描绘:通过二阶导数的符号来判断函数曲线的凹凸性,更进一步探究函数的拐点等重要性质。
通过这一过程,加深学生对导数几何意义的理解。
五、综合应用案例通过讲解和练习一些具体的案例问题,使学生能够应用导数的几何意义解决实际问题。
如求解最大面积、最短路径等相关应用问题,充分展示导数的几何意义在实际中的重要性。
六、小结与讨论在教学的最后,我们将对导数的几何意义进行总结,并进行相关问题的讨论,以进一步巩固学生的理解。
结束语通过以上教学设计,我们以实际应用与几何推导的方式,使学生深入理解导数的几何意义。
导数几何意义教学设计
导数的几何意义教学设计导数的几何意义一、 教材分析:本节课是在学生学习了平均变化率、瞬时变化率,以及用极限定义导数的基础上,进一步从几何意义上理解导数的含义与价值. 导数的几何意义的学习为常见函数导数的计算、导数的应用奠定了基础. 因此,导数的几何意义有着承前启后的作用,是本节的重要概念.根据上述教材分析,制定了如下教学目标和重点难点.二、教学目标知识与技能:通过观察探究,理解导数的几何意义;体会导数在刻画函数性质中的作用;过程与方法:培养学生分析、抽象、概括等思维能力;通过“以直代曲”思想的具体运用,使学生达到思维方式的迁移,了解科学的思维方法.情感态度与价值观:渗透逼近和以直代曲思想,激发学生学习兴趣,培养学生不断发现、探索新知识的精神,引导学生从有限中认识无限,体会量变和质变的辩证关系,感受数学思想方法的魅力.教学重点:导数的几何意义.教学难点:发现和理解导数的几何意义;运用导数的几何意义解决实际问题.三、教法分析1.学情分析:从知识上看,学生通过学习平均变化率,特别是函数的瞬时变化率及导数的概念,对导数概念有一定的理解与认识,也在思考导数的另外一种体现方式——形,学生对曲线的切线有一定的认识,特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的了解与认识.从学习能力上看,经过一年多的学习实践,学生掌握了一定的探究问题的经验,具备了一定的想象能力和研究问题的能力.2.教法分析:“教有法而教无定法”只有方法得当才会有效. 根据新课标的“自主——合作——探究”的教学要求,本节课将采用开放式探究、启发式引导、小组合作讨论、反馈式评价等教学方法. 采用“问题驱动”的教学模式,增强课堂的时效性.3.教学手段:由于本节课几何特点强,采用多媒体辅助教学,为学生提供直观感性的材料,激发学生的学习兴趣.四、学法指导“授人以鱼,不如授人以渔”最有价值的知识是关于方法的知识,学生作为教学活动的主体. 在学习过程中的参与度是影响教学效果最重要的因素. 在学法上,主要采用:自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结的学习方法.五、教学过程为了打造和谐高效课堂,这节课采用了我校推行的五环节教学法. 如图所示,为本节课的教学过程和结构设计.第一个环节,创设情境,导入新课首先,通过3个问题作为引入和切入点. 问题是数学的灵魂,提出问题,解决问题,能够激发学生探究新知的欲望,变被动学习为主动探究. 设计意图是:通过类比,构建认知冲突. 接着提问学生,复习回顾,求()0'x f 的步骤. 设计意图:从“数”的角度描述导数,为探求导数的几何意义做好准备.第二个环节,自主探究,合作学习要研究导数的几何意义,就要结合导数的概念,探究△x →0时图像的变化情况.所以第二个环节是组织学生带着需要探究的问题,小组探究,合作交流.观察下面的动画,通过flash 动画,从数和形两个角度生动形象展示,使学生感受到由割线到切线的变化过程,消除学生对极限的神秘感.通过小组合作讨论,启发引导学生回答,探究1:平均变化率表示割线的斜率.探究2:让学生分别从“数”和“形”的角度描述△x →0的变化过程,引导出一般曲线的切线定义.同时给出探究3:引入问题的合理解释.强化切线的真实直观本质.探究4:从上述过程中引导学生概括出()0'x f 的几何意义,即切线PT 的斜率. 设计意图:借助多媒体教学手段引导学生发现导数的几何意义,使问题变得直观,易于突破难点,突出重点.学生在探究过程中,可以体会逼近的思想方法,能够同时从数与形两个角度强化学生对导数概念的理解.第三个环节,成果展示,汇报交流在小组合作讨论之后,进入第三个环节,以学习小组为单位,展示探究成果. 通过板演问答,给出切线的定义和导数的几何意义. 师生合作共同对这两个知识点进行理解、分析、阐述.适时引导、讨论,即时评价. 通过师生互动,实现提出问题,解决问题的能力提升. 同时介绍微积分中重要思想方法——以直代曲.在前面的讨论交流过程中,意识到学生对切线的概念还有一些模糊,为此特地设计了下面的思考题,让学生根据切线的概念讨论y=x 3在0x =0处的切线是否存在. 从形的角度,发现它的位置. 转而思考,从数的角度,如何求解这条切线方程,需要哪些条件?引出了几何意义中最常见的题型,求切线方程,恰到好处的实现由形到数的自然过渡. 进入第四环节.第四个环节,归纳总结,提升拓展通过例1.发现求切线方程的条件是切线的斜率和一个点的坐标,引导学生自主归纳总结解题步骤. 通过例2让学生动手练习,巩固做题步骤,突出导数几何意义的应用这一难点.关于求切线方程问题有一个常见的易错点——“曲线在P 点处的切线”与“曲线过点P 处的切线”的区别,为了解决这个问题,要求学生合作交流,积极探索,结合课件的动画展示,共同发现,找出本质区别. 在P 点处的切线,P 一定是切点,直接由例1总结方法求解. 过P 点的切线,分点P 在曲线上和点P 不在曲线上.点P 不在曲线上,就一定不是切点. 点P 在曲线上,也未必就是切点.因此解决这类问题的关键就是设出切点. 利用切点处的导数值等于点P 与切点共同确定的切线斜率.来求出切点坐标,从而得到切线方程. 进一步突出了导数的几何意义这一重点.通过例3对探究成果,实战演练,并引导学生归纳总结,求曲线过点P 的切线方程的分析思路,轻松解决易错点,强化这节课的重点.第五个环节,反馈练习,巩固落实为了掌握和巩固知识的多样化、多元化,提高学生的解题能力和应变技巧,最后一环节设计了4道反馈练习.当堂完成,即时点评纠错,使教学更有针对性,同时提高了教学效率.借着高涨的学习气氛,对本节课的内容进行总结反思.采取一名同学总结,其他同学补充,教师完善的方式进行. 最后布置作业,专题专练. 以下是板书设计和时间安排. 六、评价与感悟本节课设计为一节“科学探究——合作学习”的活动课,在整个教学过程中,学生以研究者的身份学习,在问题解决的过程中,通过自身的体验,对知识的认识从模糊到清晰,从直观感悟到精确掌握.力求使学生体会微积分的基本思想,感受近似与精确的统一,运动与静止的统一,感受量变到质变的转化. 教师在这个过程中始终扮演学生学习的协助者和指导者. 学生通过自身的情感体验,能够很快的形成知识结构,转化为数学能力.。
人教A版选修2《导数的几何意义》教案及教学反思
人教A版选修2《导数的几何意义》教案及教学反思一、教师教学设计1.1 教学目标1.理解导数的定义及几何意义;2.掌握导数的概念、符号和实质;3.能够利用导数求一元函数的单调性和极值;4.能够应用导数求解相关最值问题。
1.2 教学内容导数的概念及几何意义1.3 教学重点1.导数的概念的理解;2.导数的几何意义的掌握。
1.4 教学难点1.导数的符号的理解;2.导数的实质的理解。
1.5 教学方法1.讲授法:讲解导数的定义及几何意义,并通过实例演示导数的计算方法;2.案例法:通过一些简单的案例,帮助学生理解导数的概念;3.组织讨论法:通过讨论和合作,帮助学生更好地掌握导数的概念和几何意义。
1.6 教学过程第一步:导入导数的概念1.在黑板上写出导数的定义;2.带领学生探讨“速度”和“斜率”之间的关系。
第二步:导数的符号及实质1.介绍导数的符号及意义;2.帮助学生理解导数的实质。
第三步:导数的几何意义1.通过实际图形,帮助学生理解导数的几何意义;2.分组讨论,让学生自己发现导数的几何意义。
第四步:导数的应用1.通过实例演示如何应用导数求解单调性和极值问题;2.让学生结合实际应用场景,自己解决相关最值问题。
1.7 教学评价1.通过讨论和合作,学生能够更好地掌握导数的概念和几何意义;2.学生能够熟练地运用导数,求解一元函数的单调性和极值;3.学生能够应用导数求解相关最值问题。
二、教学反思本节课使用了讲授法、案例法和组织讨论法,让学生更好地理解了导数的概念和几何意义。
在实践中,我发现不同的学生适合不同的教学方法。
一些学生更适合案例法,因为这可以让他们通过具体案例更深入地理解导数的概念。
另一些学生更适合组织讨论法,因为他们更喜欢合作学习,并通过讨论和交流来理解概念。
此外,通过案例和实例分析的模式,学生的学习兴趣得到了增强。
在处理实际问题时,学生能够更快地反应和解决问题。
另外,导数的公式计算也是学生较难掌握的部分。
为了更好地帮助学生掌握计算步骤,我在教学过程中设计了许多具体例子,并兼顾训练学生的能力,即教师既要根据学生的实际情况进行启发式讲解,也要有目的地培养学生的计算能力。
导数的几何意义优秀教学设计
《导数的几何意义》教学设计【教材分析】本节课选自高中数学人教A版选修1-1第三章《导数及其应用》中的3.1.3《导数的几何意义》第一课时。
导数是微积分的核心概念之一,它为研究函数提供了有效的方法。
教材从形的角度即割线入手,用形象直观的“逼近”方法,通过观察发现、思考归纳的方式定义了切线,获得导数的几何意义。
通过本节的学习,可以帮助学生进一步理解导数的定义,渗透数形结合、以直代曲的思想方法,体会导数是研究函数的单调性、函数值变化快慢等性质的有效工具。
【教学目标】知识与技能:了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系,通过函数的图象理解并掌握导数的几何意义。
利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。
过程与方法:通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结,发现问题,解决问题,从而达到培养学生的学习能力,思维能力,应用能力和创新能力的目的。
情感态度与价值观:通过分组讨论、合作探究、各组积分制等多种教学形式,培养学生的合作意识及竞争意识,提高学生的积极性。
体会类比、数形结合、以直代曲、从特殊到一般的思想方法。
【教学重点与难点】教学重点:导数的几何意义及利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。
教学难点:发现、理解导数的几何意义,进一步理解导数的概念,渗透以直代曲的思想方法。
【指导思想】树立以学生发展为本的思想。
通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境,为学生提供自主探索和动手操作的机会,鼓励他们创新思考,亲身参与知识的形成过程,从而解决问题。
【教学方法】本节课以一个物体做直线运动为主线,对具体的由浅入深的问题进行分析引导,依据建构主义教学原理,从数的角度即平均变化率与瞬时变化率的关系和形的角度即割线与切线的关系,用形象直观的“逼近”方法,通过类比、从特殊到一般,逐步渗透从有限到无限,量变到质变,把新的知识化归到学生原有的认知结构中去。
【学法指导】在本节课中,学生对具体的问题进行逐步解决,经过探索、观察几何画板的动态演示、对比分析、自己发现结论的学习方法,以培养学生逻辑思维能力、自学能力、动手实践能力和探索精神,并渗透了辩证唯物主义认识论和方法论的教育。
《导数的几何意义》教学设计
《导数的几何意义》教学设计一、教学内容分析:《导数的几何意义》选自普通高中课程标准实验教科书人教B 版选修2-2第一章《导数及其应用》1.1.3,是在学生学习了函数的平均变化率、瞬时变化率的基础上,进一步从形和数的角度即割线入手,用形象直观的“逼近”思想重新定义了曲线的切线,获得导数的几何意义。
在本模块中,通过极限思想的渗透,让学生体会导数的思想及其丰富内涵,进一步感受导数在解决实际问题中的作用,并了解微积分的文化价值。
二、教学对象分析:学生对于本节课的理解难点有两个:一是曲线的切线定义出现认知冲突—学生在初中以及高中的必修2教科书中学习了直线与圆相切的定义(内容是直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切),而本节课运用曲线的割线无限接近于一条确定位置的直线,叫做曲线的切线,学生对此知识点的理解存在难度;二是导数的几何意义的得来运用极限的“逼近”思想,对此知识在第二节导数的定义环节中有所渗透,但由于较抽象难懂,学生理解上存在难度。
因此,采用“优秀传承,资源共享”的模式(即上一届优秀毕业生解读此内容),通俗易懂,同时起到激励作用.本节课高考考查题型设置分为两类:“在点P”的切线方程和“过点P”的切线方程的求法。
结合往年的教学经验,对于第二种类型题,部分学生存在理解偏差以及化简中的计算障碍!因此,题型设置环节采用先“小试身手”,再进行“优秀传承,资源共享”的模式,让优秀毕业生根据自己的学习体验设置题目,学生更会快乐思考、快乐学习,进而快乐收获.三、教学目标及教学重难点:(一)教学目标:1.知识与技能:理解并记住导数的几何意义,初步体会“以直代曲”的辩证思想;会求求在(过)曲线上一点处的切线的斜率及方程2.过程与方法:通过对曲线的切线定义和导数几何意义的探讨,培养学生观察、分析、比较、合作交流和归纳的能力,并通过对问题的探究体会“逼近”、“以直代曲”思想和从已知探讨未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3.情感态度与价值观:通过优秀毕业生的传承,增强学生之间的爱校情怀;通过课前QQ群作业预评估环节,体会信息技术对于学习的重要性;学生通过观察、交流、探索,培养合作精神和创新意识;通过对导数的几何意义的应用的探索过程,增强学生问题应用意识教育;通过学生展示环节,让其充分获得学习数学的兴趣与信心。
5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计
5.1.2《导数的几何意义》教学设计一、教材分析:本节课是《普通高中教科书数学》(人民教育出版社、课程教材研究所A 版教材)选择性必修第二册中第5章5.1.2节,它是学习了平均变化率,瞬时变化率基础上,进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值,是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容,导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。
因此,导数的几何意义有承前启后的重要作用。
本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念,并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具,是本章的关键内容. 二、教学目标:1. 知识与技能:(1)使学生了解导数的几何意义;(2)体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
2. 过程与方法:渗透“逼近”思想,激发学生的学习兴趣,培养学生不断发现、探究新知识的精神.3. 情感与价值:通过揭示割线与切线之间的内在联系,对学生进行辩证唯物主义教育,引导学生从有限中认识无限. 三、教学重点、难点:重点:导数的概念,导数的几何意义. 难点:导数的概念,曲线切线概念.三、教学过程设计 (一)旧知回顾1. 高台跳水运动员的速度设高台跳水运动员起跳高度h 与时间t 的函数为)(t h s =,则0t 到t 的平均速度为,t t h t t h v ∆-∆+=)()(00而在0t 时刻的瞬时速度为.)()(000lim t t h t t h t ∆-∆+→∆2. 抛物线的切线的斜率 设抛物线解析式为)(x f y =,,,))((000x f x P ,,))((00x x f x x P ∆+∆+则割线P P 0的斜率为,x x f x x f k ∆-∆+=)()(00而在,,))((000x fx P 处切线的斜率为.)()(000limx x f x x f x ∆-∆+→∆3. 导数的概念对于函数)(x f y = ,设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ,相应地,函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+,x 的变化量为x ∆,y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+,我们把比值xy ∆∆,即,x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时,平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值,即xy∆∆有极限,则称 )(x f y =在0x x =处可导,并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率),记作:)('0x f 或0|'x x y = ,即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆(二)新知学习Δx )-f (x 0)导数)('0x f 表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况.那么导数)('0x f 平均变化率xy∆∆表示什么? xx f x x f x y Q P PQ ∆-∆+=∆∆=)()(000表示割线P P 0的斜率.当点 ))(,(x f x P 沿着曲线无限接近于点))(,(00x f x P 割线P P 0称为曲线 )(x f y =在 0x x =的切线.割线P P 0的斜率00)()(x x x f x f k --=当 0→-=∆x x x在0x x =的导数)('0x f ,x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)('00000导数的几何意义:)('x f 是)(x f y =函数在0x x =处切线T P 0的斜率.0P 附近的曲线,将0P 附近的曲线不.因此,在0P 附近曲线可以用点0P 处的切线T P 0近例 1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数118.49.4)(2++-=t t t h的图象.根据图象,请描述、比较曲线)(t h 在210t t t t ,,=附近的变化情况.x处的切线斜率,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当0t t= 时,曲线)(t h 在0t t =处的切线0l 平行于t 轴,0)('0=t h 在0t t =附近曲线比较平坦;(2)当1t t =时,曲线h(t)在1t t = 处的切线1l 的斜率在1t t =附近单调递减, 下降缓慢;(3)当2t t = 时,曲线h(t)在2t t= 处的切线2l 的斜率在2t t =附近单调递减,但下降迅速.例2 如图是人体血管中药物浓度)(t f c = (单位:mg/mL) 随时间t(单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计 min 8.06.04.02.0,,,=t 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解:设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度f (t )在此时刻的导数,从图象看,它表示曲线f (t )在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线,并在切线上取两点,如()0.910.7,则此刻切线的斜率,4.17.00.191.048.0-≈--=k .4.1)8.0('-≈f三、课堂总结导数的概念对于函数)(x f y = ,设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ,相应地,函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+,x 的变化量为x ∆,y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+,我们把比值xy ∆∆,即,x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时,平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值,即xy∆∆有极限,则称 )(x f y =在0x x =处可导,并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率),记作:)('0x f 或0|'x x y = ,即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆四、作业教材第70页,习题5.1复习巩固 1,2,3。
《导数的几何意义》教学设计完美版精选全文
可编辑修改精选全文完整版《导数的几何意义》教学设计海口市琼山中学郭小兰教材:人教A版选修2-2教学目标:1、知识与技能 :理解导数的几何意义;2、过程与方法:经历导数几何意义的学习过程,体会用导数的几何意义分析图象上点的变化情况的方法。
3、情感态度与价值观:体会导数与曲线的联系,初步认识数学的科学价值,发展理性思维能力。
教学重点:理解导数的几何意义;教学难点:理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率。
教具准备:多媒体课件,三角板。
教学过程:一、引入新课师:在前面的学习中,我们知道函数y=f(x)在x=x0处的导数就是函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,这是导数的物理意义,那么导数的几何意义是什么呢?我们本节课就来学习导数的几何意义。
二.讲授新课教师引导学生观察右图,回答下面问题:师:初中平面几何中我们是如何定义圆的切线和割线的?有两个交点时,直线是圆的割线。
师补充说明1.圆的切线在点P附近位于圆的一侧(为一般曲线的切线做准备);2.当点P n趋近于点P时,圆的割线PP n趋近于圆的切线PT。
当点P n与点P重合时,割线变成了切线。
师:对于一般曲线的切线和割线,它们又具有怎样的位置关系呢?探究一:观察一般曲线y =f (x )割线的变化趋势,教师引导学生给出一般曲线的切线定义。
师:过一般曲线上任一点P ,我们可以在点P 附近类似圆的切线做一条直线PT ,使得直线在点P师:同样的,我们可以在曲线上找另一 点P n ,连接PP n ,易知PP n 是曲线在点 P 处的割线。
师:我们发现,当点P n 趋近于点P 时,割线PP n 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 叫做曲线在点P探究二:割线n PP 的斜率n k 与切线PT 师:我们首先来看这样一个问题:你能借助图象说说割线PP n 的斜率是多少吗? 生:平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00。
师继续引导学生发现并说出:当0→∆x 时,割线PP n →切线PT ,所以割线PP n 的斜率→切线PT 的斜率。
3.1.3导数的几何意义教学设计
(1) 新课的引入:通过课件的展示,提出问题,激发学生的求知欲。
(2) 探索导数的几何意义:数形结合,让学生在观察,思考,发现中学习。
(3) 例题处理:始终从问题出发,引导学生在探索中获得答案。
(4) 随堂演练:深化对导数几何意义的理解与应用,巩固新知。
2
课堂教学过程结构设计(教学流程图)
开始
课件
复习回顾
课件
引导探究、获得 新知
课件
知识应用、巩固 理解
课件
思考总结,做好 笔记
思考变式 1
课件 完成例 2,例 3 学生板演变式 2,3
复习检测
讨论探究 完成例 1
教师评价
学生小结
教师补充
教学 环节
教学内容
结束
教师引领
学生活动 设计意图、依据
(1)
复 习 回 顾
<1>复习基本初等函数 的导数公式
(1) C ' ____ (C 为常 数); (2) (xn)' ________ , n ∈ N+;
2、学情分析 通过对函数平均变化率和导数定义的学习,学生对有关导数的问题已经有了初
步的认识,但是由于导数定义的抽象性,学生理解起来仍具有一定的困难。选修 1-1
是文科学生学习的内容,学生的学习能力在年级里属中等程度。虽然学生学习兴趣
较高,但独立探索,解决问题的能力稍差,数学语言的表达及数形结合的能力、对
知识灵活运用的能力仍有不足.根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水
平,制定如下教学目标和重点、难点。
二、
1、知识与技能:
教
理解导数的几何意义,掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法。
学
导数的几何意义教案(后附教学反思
导数的几何意义教案(后附教学反思)一、教学目标1. 让学生理解导数的定义,掌握导数的几何意义。
2. 能够运用导数求解曲线的切线斜率。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数与切线斜率的关系4. 求解曲线的切线斜率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点:导数的定义,导数的几何意义,求解曲线的切线斜率。
2. 难点:导数的几何意义的理解,求解曲线的切线斜率的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、案例分析法、互动讨论法等。
2. 通过图形演示、实例分析,引导学生直观理解导数的几何意义。
3. 以学生为主体,鼓励学生主动探究、积极参与,培养学生的动手能力和思考能力。
五、教学过程1. 导入:回顾初中阶段学习的函数图像,引导学生思考如何描述曲线的变化率。
2. 讲解导数的定义:引入极限的概念,讲解导数的定义,强调导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
3. 导数的几何意义:通过图形演示,解释导数表示的是曲线在某一点的切线斜率。
引导学生直观理解导数的几何意义。
4. 导数与切线斜率的关系:讲解导数与切线斜率的关系,引导学生掌握求解曲线的切线斜率的方法。
5. 应用实例:分析实际问题,运用导数求解曲线的切线斜率,巩固所学知识。
6. 课堂练习:布置练习题,让学生巩固导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
7. 总结:对本节课的内容进行总结,强调导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
8. 布置作业:布置课后作业,巩固所学知识。
教学反思:1. 讲解导数的定义时,要注重极限思想的理解,引导学生明白导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
2. 通过图形演示,让学生直观地理解导数的几何意义,强化空间想象能力。
3. 结合实际问题,让学生学会运用导数求解曲线的切线斜率,提高学生的应用能力。
4. 课堂练习环节,要注意引导学生主动思考,培养学生的解决问题能力。
5. 教学过程中,关注学生的学习反馈,及时调整教学方法和节奏,确保学生能够扎实掌握所学知识。
《导数的几何意义》优秀教学设计 比赛课优秀教案(公开课教案)
《导数的几何意义》教学设计教学内容解析1、教材分析《导数的几何意义》是人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》§1.1.3的内容,本节课为第一课时。
微积分学是人类思维的伟大成果之一,它开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法。
导数是微积分的核心概念之一,有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课,是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值,体会逼近,以直代曲和数形结合的数学思想方法。
同时,本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。
因此,导数的几何意义具有承前启后的重要作用,是本章的关键内容。
2、教学重点与难点教学重点:理解导数的几何意义及其应用。
教学难点:逼近思想,以直代曲的思想。
二、教学目标设置(一)知识与技能:(1)会描述一般曲线的切线定义;(2)会根据导数的几何意义求切线斜率,并会用其分析描述“曲线在某点附近的变化情况”。
(二)过程与方法:(1)通过观察类比,合作探究,概括出一般曲线的切线定义;(2)经历发现导数的几何意义的过程,体会逼近、类比、数形结合的思想方法。
(三)情感态度与价值观:领悟有限与无限,量变与质变的辩证关系,感受人类理性思维的作用。
三、学生学情分析从知识储备上看,学生通过了对实例的分析,经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解了导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,从数上体会了“逼近”的思想;同时,学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识。
从学习能力上看,教学对象是高二理科班的学生,思维活跃,具有一定的想象能力和研究问题的能力。
经过半年多的训练,学生逐步形成小组合作探究,代表上台解释概括总结的学习模式。
从学习心理上看,学生已经从实际意义,数值意义这些“数”的角度理解了导数,学生也渴求从几何意义,即“形”的角度来理解导数,但学生对切线认识存在一定的思维定势——“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的切线”。
导数的几何意义教案
导数的几何意义教案一、教学目标:1.知识与能力目标:*了解导数的定义和几何意义。
*了解导数与函数图像的关系,掌握导数的图像与函数图像之间的变化规律。
*了解导数的增减性和边缘点的求解方法。
2.过程与方法目标:*采用合作学习和探究学习的方法,引导学生主动参与导数的几何意义的探索。
*提供大量的实例和练习,培养学生的运算能力和解决问题的能力。
*注重培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
3.情感态度目标:*培养学生主动学习的兴趣,激发学生对数学的好奇心。
*培养学生的观察力和耐心,培养他们发现问题、分析问题和解决问题的能力。
二、教学重难点:1.导数的定义和几何意义。
2.导数与函数图像的关系。
3.导数的增减性和边缘点的求解方法。
三、教学过程:1.导入(5分钟)*老师出示一段直线的图像,问学生是否了解这个图像的特点。
*学生回答后,引导学生思考直线的斜率与直线图像之间的关系。
2.导数的定义和几何意义(15分钟)*通过图示和实例,教师解释导数的定义。
例如,可以选择一条曲线,计算不同点处的斜率并观察其变化规律。
*学生通过思考和讨论,总结出导数的几何意义是刻画函数图像上每一点处的变化率。
3.导数与函数图像的关系(20分钟)*引导学生观察函数图像与导数图像之间的变化规律。
通过对比函数图像和导数图像的变化趋势,学生可以发现二者之间的关系。
*通过实例和图示,教师解释导数图像中的波动与函数图像中的拐点、极值和凹凸点之间的对应关系。
4.导数的增减性和边缘点的求解方法(20分钟)*引导学生认识到导数的正负与函数的增减关系。
即导数大于零时,函数递增;导数小于零时,函数递减。
*引导学生通过求导数的方法来求函数的极值和凹凸点,即导数等于零和导数不存在的点。
*通过实例和练习,让学生掌握求解边缘点的方法和技巧。
5.总结与拓展(10分钟)*学生总结导数的几何意义和应用,通过小组汇报的形式分享自己的思考和体会。
*教师巩固学生的理解,提问一些综合性的问题,进行拓展讨论。
《导数的几何意义》说课稿(2篇)
《导数的几何意义》说课稿(2篇)《导数的几何意义》说课稿(篇1)一、说教材:1、教材的地位与作用导数是微积分的核心概念之一,它为研究函数提供了有效的方法、在前面几节课里学生对导数的概念已经有了充分的认识,本节课教材从形的角度即割线入手,用形象直观的“逼近”方法定义了切线,获得导数的几何意义,更有利于学生理解导数概念的本质内涵、这节课可以利用几何画板进行动画演示,让学生通过观察、思考、发现、思维、运用形成完整概念、通过本节的学习,可以帮助学生更好的体会导数是研究函数的单调性、变化快慢等性质最有效的'工具,是本章的关键内容。
2、教学的重点、难点、关键教学重点:导数的几何意义、切线方程的求法以及“数形结合,逼近”的思想方法。
教学难点:理解导数的几何意义的本质内涵1) 从割线到切线的过程中采用的逼近方法;2) 理解导数的概念,将多方面的意义联系起来,例如,导数反映了函数f(x)在点x附近的变化快慢,导数是曲线上某点切线的斜率,等等、二、说教学目标:根据新课程标准的要求、学生的认知水平,确定教学目标如下:1、知识与技能:通过实验探求理解导数的几何意义,理解曲线在一点的切线的概念,会求简单函数在某点的切线方程。
过程与方法:经历切线定义的形成过程,培养学生分析、抽象、概括等思维能力;体会导数的思想及内涵,完善对切线的认识和理解通过逼近、数形结合思想的具体运用,使学生达到思维方式的迁移,了解科学的思维方法。
3、情感态度与价值观:渗透逼近、数形结合、以直代曲等数学思想,激发学生学习兴趣,引导学生领悟特殊与一般、有限与无限,量变与质变的辩证关系,感受数学的统一美,意识到数学的应用价值三、说教法与学法对于直线来说它的导数就是它的斜率,学生会很自然的思考导数在函数图像上是不是有很特殊的几何意义。
而且刚刚学过了圆锥曲线,学生对曲线的切线的概念也有了一些认识,基于以上学情分析,我确定下列教法:教法:从圆的切线的定义引入本课,再引导学生讨论一般曲线的切线的定义,通过几何画板的动画演示,得出曲线的切线的“逼近”法的定义、同样通过几何画板的实验观察得到导数的几何意义和直观感知“逼近”的数学思想、因此,我采用实验观察法、探究性研究教学和信息技术辅助教学法相结合,以突出重点和突破难点;学法:为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,本节课采取了自主、合作、探究的学习方法。
导数的几何意义优秀教学设计
《导数的几何意义》教学设计【教材分析】本节课选自高中数学人教A版选修1-1第三章《导数及其应用》中的3.1.3《导数的几何意义》第一课时。
导数是微积分的核心概念之一,它为研究函数提供了有效的方法。
教材从形的角度即割线入手,用形象直观的“逼近”方法,通过观察发现、思考归纳的方式定义了切线,获得导数的几何意义。
通过本节的学习,可以帮助学生进一步理解导数的定义,渗透数形结合、以直代曲的思想方法,体会导数是研究函数的单调性、函数值变化快慢等性质的有效工具。
【教学目标】知识与技能:了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系,通过函数的图象理解并掌握导数的几何意义。
利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。
过程与方法:通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结,发现问题,解决问题,从而达到培养学生的学习能力,思维能力,应用能力和创新能力的目的。
情感态度与价值观:通过分组讨论、合作探究、各组积分制等多种教学形式,培养学生的合作意识及竞争意识,提高学生的积极性。
体会类比、数形结合、以直代曲、从特殊到一般的思想方法。
【教学重点与难点】教学重点:导数的几何意义及利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。
教学难点:发现、理解导数的几何意义,进一步理解导数的概念,渗透以直代曲的思想方法。
【指导思想】树立以学生发展为本的思想。
通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境,为学生提供自主探索和动手操作的机会,鼓励他们创新思考,亲身参与知识的形成过程,从而解决问题。
【教学方法】本节课以一个物体做直线运动为主线,对具体的由浅入深的问题进行分析引导,依据建构主义教学原理,从数的角度即平均变化率与瞬时变化率的关系和形的角度即割线与切线的关系,用形象直观的“逼近”方法,通过类比、从特殊到一般,逐步渗透从有限到无限,量变到质变,把新的知识化归到学生原有的认知结构中去。
【学法指导】在本节课中,学生对具体的问题进行逐步解决,经过探索、观察几何画板的动态演示、对比分析、自己发现结论的学习方法,以培养学生逻辑思维能力、自学能力、动手实践能力和探索精神,并渗透了辩证唯物主义认识论和方法论的教育。
导数的几何意义教案
导数的几何意义教案教案标题:导数的几何意义教案目标:1. 理解导数的几何意义及其在几何中的应用。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够将导数应用于解决几何问题。
教学重点:1. 导数的几何意义。
2. 导数的计算方法。
3. 导数在几何中的应用。
教学难点:1. 理解导数的几何意义。
2. 能够将导数应用于解决几何问题。
教学准备:1. 教师准备:教学课件、教学素材、导数的几何意义的示意图。
2. 学生准备:几何工具、笔记本。
教学过程:Step 1: 引入导数的概念(10分钟)1. 教师通过示意图或实际物体展示,引导学生思考两点间的斜率和变化率的概念。
2. 引导学生思考斜率和变化率的关系,并引出导数的概念。
Step 2: 导数的几何意义(20分钟)1. 教师通过示意图和实例,解释导数的几何意义是函数图像上某一点处的切线斜率。
2. 引导学生思考导数与函数图像的变化趋势之间的关系。
3. 引导学生通过观察导数的正负和零点,理解函数图像的增减性和极值点。
Step 3: 导数的计算方法(20分钟)1. 教师介绍导数的计算方法:使用极限定义或基本导数公式。
2. 通过示例演示如何计算导数,并引导学生进行练习。
Step 4: 导数在几何中的应用(20分钟)1. 教师通过几何问题的实例,展示导数在几何中的应用。
2. 引导学生通过计算导数,解决几何问题,如求切线方程、判断函数图像的凸凹性等。
Step 5: 总结与拓展(10分钟)1. 教师与学生一起总结导数的几何意义及应用。
2. 鼓励学生思考导数在其他学科中的应用,如物理、经济等领域。
教学延伸:1. 学生可以通过绘制函数图像和计算导数,进一步加深对导数的几何意义的理解。
2. 学生可以选择一个几何问题,应用导数的知识进行解决,并进行展示和分享。
教学评估:1. 教师通过课堂练习和问题解答,检查学生对导数的几何意义的理解情况。
2. 学生完成课后作业,包括计算导数和应用导数解决几何问题。
教学反思:本节课通过引入导数的概念,结合几何意义和应用,帮助学生理解导数的几何意义。
人教版高中选修(B版)1-13.1.3导数的几何意义教学设计
人教版高中选修(B版)1-13.1.3导数的几何意义教学设计一、教学目标1.掌握导数的定义和几何意义。
2.能够用导数求曲线在某一点的斜率。
3.能够解决实际问题中与导数相关的应用题。
二、教学重点1.导数的定义和几何意义。
2.曲线在某一点的斜率的求解。
3.与导数相关的应用题。
三、教学难点1.导数的几何意义的理解。
2.导数应用题的解决方法。
四、教学过程4.1 导入环节让学生回顾一下前面学过的函数极限,带着一个问题:如果一个函数在某点处的极限存在,我们能够得到什么信息呢?4.2 概念讲解•定义:导数是用极限表示的,表示函数在某一点的变化率。
•几何意义:导数是曲线在这一点处的切线斜率。
•求解:导数可通过求极限得到,也可以通过求函数的导函数得到。
4.3 实践练习1.让学生通过讨论某个函数在某点处的导数的概念理解和对该导数的计算方法,让学生理解导数的概念意义。
2.让学生通过实例练习,比如:求曲线y=x2在点(2,4)处的切线斜率,体验一下导数的计算方法。
4.4 拓展应用在现实生活中,导数有很多应用,比如:最优化问题、速度、加速度、变化率等。
这部分需要通过一些简单的例子进行讲解,让学生了解导数在现实生活中的应用。
五、教学方式及授课方法1.探究式学习。
在讲解导数的定义和几何意义时,老师提出问题,由学生分析和思考,引导学生通过实验证明导数的函数意义。
2.实践练习。
学生通过计算曲线在某一点的导数,感受导数的几何意义。
3.案例分析。
通过一些实际问题的分析,引导学生运用导数解决实际问题。
六、教学评估1.课后作业:布置导数的计算题目,检测学生掌握情况。
2.学生评价:让学生对这节课的授课讲解进行评价,发现不足、改进和加强。
七、教学反思通过这节课的授课,学生对导数的概念和几何意义有了更加深入的理解。
但是在教学实践中,发现部分学生对导数的计算方法掌握不够,需要更多的练习和巩固。
在教学中需要更加注重实践和练习,增强学生的动手能力。
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《导数的几何意义》教学设计安徽省宿州市宿州学院附属实验中学罗风云一、教材依据导数的几何意义是北京师范大学出版社出版的普通高中课程标准实验教科书选修1-1 第三章第二节的内容。
二、设计思想教材分析:导数是微积分的重要部分,是从生产技术和自然科学的需要中产生的;同时,又促进了生产技术和自然科学的发展。
它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用,而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。
本节内容分了两部分也即两个课时,一是导数的概念;二是导数的几何意义。
之前学习的瞬时变化率是为了引出导数的概念,介绍导数的几何意义,是为了加深对导数概念的理解。
教材中利用逼近方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为曲线的切线,这种定义才反映了切线的真正本质,在教学中应使学生了解“从有限中找到无限,从暂时中找到永久,并使之确定起来” (恩格斯语)的微积分思想,让学生反复通过图形(数与形的结合)去认识和感受导数的几何意义——切线的斜率,并且注重引导他们学会数学思考的一种方式——几何直观,从而加深对导数概念的认识和理解。
学情分析:设计理念:学生为本,重视思维发生的过程,重视切线定义的形成过程,激发学生的学习兴趣,有意识培养学生的学习毅力。
让学生学习有趣的数学,学习有用的数学,充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。
三、教学目标1.知识与技能目标:(1)使学生掌握切线的形成过程,理解函数f(x)在x X0处的导数f / X0的几何意义就是函数f(x)的图像在x X0处的切线的斜率。
(数形结合),即:f/ x o lim —x辿=切线的斜率;0xX(2)会利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线方程,体会“数形结合”的数学思想方法。
(3)通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结,发现问题,解决问题,从而达到培养学生的学习能力,思维能力,应用能力和创新能力的目的2.过程与方法目标:经历切线定义的形成过程,体会导数的思想及其内涵,完善对切线的认识与理解,让学生掌握从具体到抽象,特殊到一般的思维方法;领悟极限思想和函数思想;提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。
3.情感、态度与价值观目标:领悟切线定义的形成过程中所体现的量变与质变、运动与静止、有限和无限对立统一等的辩证观点,接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度,体会数形结合及“逼近”等思想和方法。
感悟数学的统一美,意识到数学的应用价值,促使学生形成正确的数学观。
四、教学重难点:重点:理解导数的几何意义及和“数形结合”的思想方法。
难点:应用导数的几何意义。
重、难点突破措施:1. 以情感人,以理醒人创设情境中:问题开题,扣人心弦;层层探究中:分类探究,步步为营,丝丝入扣。
2. 数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示切线的形成过程,突破重难点。
3. 切合实际,分层提高利用分层训练达到因材施教的效果。
五、教学手段:利用ppt、Flash、几何画板等多媒体手段辅助教学。
六、课型:新授课七、教学过程结合可接受性和可操作性原则,把教学目标的落实融入到教学过程之中,帮助学生主动建构切线的形成过程。
(一)创设情境,导入新课数学上对于函数讲究数形结合,上节课介绍了导数的概念,这是从“数”的角度来研究导数,若从“形”的角度来探索导数,我们该怎么入手呢?本节课我们就来学习如何从“形”的角度探究导数,这就是今天要学习的课题——导数的几何意义。
我们先来看一个问题:问题1:在初中我们学习过圆的切线的概念,即直线与圆有且仅有一个公共点时,叫做直线和圆相切,该直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点。
那么能否将圆这种特殊的曲线的切线定义推广为一般曲线的切线呢?即直线和曲线有且只有唯一公共点时,直线叫做曲线在该点的切线。
这种推广妥当吗?如果不妥当,你能举出反例吗?(课件展示)师:① y 轴与抛物线y x2有且仅有一个公共点(0,0),但我们不能说它们相切于点(0,0);②直线y 1与正弦曲线y sin x有无数个公共点,我们还是可以说它们是相切的。
通过上面的分析,对于一般曲线的切线该如何定义呢?下面一起来探究。
设计意图:通过推翻学生对曲线切线的定义的这种错误认识(将直线与圆的切线的定义推广到一般曲线的切线的定义),学生势必就会产生要探究一般曲线的切线定义的迫切要求,这样就可以激发学生的求知欲。
另外,通过刚才的分析,使学生能认识到曲线的切线与曲线本身可能有多个交点,也为例2中的切线与曲线本身有两个交点埋下了伏笔。
(二)新知探究,进入新课若从“形”的角度探索导数的几何意义就要用到一种重要的思想方法一一数形结合,要研究“形”,自然要结合“数”。
1.引导探究下面来看一个问题:问题2:你能借助函数f(x)图像说说平均变化率—%)f(Xo)X表示什么吗?其中A(X0, f(X o)), B(X0 X, f(X0 x))。
请在函数图像中画出来。
(课件给出函数图像)师:―x) f(Xo)在函数图像中实际表示的是PB ,在Rt ABP X AB中,tan BAP PB,而割线AB的斜率就是tan BAP,因此平均变化率AB血一X)込在图像中表示的是割线AB的斜率。
(展示课件)x均变化率与斜率的计算公式之间的联系,为平均变化率在函数图像中的表示铺平道路,另外通过课件的展示让学生立即联想到tan BAP嚣,之后立即想到斜率,让学生通过图像直观感受到平均变化率与斜率之间的关系,体会到数形结合思想的应用。
2.自主探究下面来探究一下在x 0过程中,割线AB的变化情况你能描述一下吗?请在函数图像中画出来。
(课件动画展示)师:类比数的变化:(数) x 0,B(X o X, f(x o x)) A(X o,f(X o)),当x 0,割线AB有一个无限趋近的确定位置,这个确定位置上的直线叫做曲线在x x o处的切线,(教师说明:通过逼近的方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线,适用于各种曲线。
)请把它画出来。
(课件动画展示)师:(形)x 0,割线AB 切线AD ,则割线AB 的斜率 切线AD 的斜率由数形结合,得f /x 0 lim —X f(Xo )=切线AD 的斜率(课x 0 v 件展示)设计意图:利用flash 动画展示由割线到切线的动态变化过程, 反复Y i \+3 -/E)Ax tan £BAPB通过图形(数与形的结合) 去认识和感受导数的几何意义斜率,注切线的重让学生学会数学思考的一种方式——几何直观,从而加深对导数概念的认识和理解,使学生体会数形结合及“逼近”等思想和方法。
3. 自发探究通过刚才的分析过程,我们得到了一个概念与一个结论.师:(1)一个概念:设函数y f(x)的图像是一条光滑的曲线,当x趋于0时,点B将趋于点A,割线AB将绕点A转动最后趋于直线AD,此时直线AD和曲线y f(x)在点A处相切,称直线AD为曲线y f (x)在点A处的切线;(2)一个结论:函数y f(x) 在x x0 处的导数 f / x0 就等于曲线y f(x)的图像在x x0处的切线AD的斜率。
设计意图:通过对上述两个知识点的梳理,让学生经历切线定义的形成过程,体会导数的思想及其内涵,完善对切线的认识与理解,使学生掌握从具体到抽象,特殊到一般的思维方法;提高抽象概括的能力。
(三)抽象概括,点明主题通过刚才的叙述,将结论概括如下:函数y f (x)在x X o处的导数f/ x o ,是曲线y f(x)的图像在点(x o, f(x o))处的切线的斜率。
函数f(x)在点(x o, f(x o))处的切线的斜率反映了导数的几何意义。
请同学们注意上面结论中的两点:(1)若设曲线y f(x)的图像在点(x o,f(x o))处的切线的斜率为k,则用数学语言来描述上面的结论就是k f/x o ;(2)由于切点既在曲线上又在切线上,因此切点坐标既满足曲线方程又满足切线方程。
设计意图:通过对导数的几何意义的解读,使学生抓住其中的关键要 素,为后面的例题解析与学生分层练习做好铺垫。
(四)例题探究,主题重现例1:已知函数y f (x ) x 2,x o 2.⑴ 分别对x 2,1,0.5求y x 2在区间X 0,X 0 x 的平均变化率,并 画出过点(x o , f (x o ))的相应割线;⑵ 求函数y x 2在x o 2处的导数,并画出曲线y x 2在点(-2,4)处的切线.解:⑴ 当 x 2,1,0.5时,区间 X o ,x 。
x 相应为[-2,0],[-2,-1], [-2,-1.5] o y x 2在这些区间中的平均变化率分别为2 2 f(0) f( 2) 0 ( 2)2 22 2 f( 1) f( 2) ( 1) (2)1 1 f( 1.5) f( 2) ( 1.5)2 ( 2)20.5 0.5 其相应割线,如图所示(课件展示),分别是过点(-2,4)和点 (0, 0)的直线11,过点(-2,4)和点(-1,1)的直线12,过点(-2,4)和点(-1.5,2.25 )的直线 13.(此处教师带领学生处理第一部分,剩余两部分由学生课后处理)3,3.5.⑵y x 2在区间2, 2 x 上的平均变化率为令x 趋于零,知函数y x 2在x o 2处的导数为-4.曲线y x 2在(-2,4)处的切线为I ,如图所示。
(课件演示)设计意图:主要通过此题复习一下切线的形成过程,从数与形两个 角度进一步诠释导数的几何意义。
例2:求函数y f (x) 2x 3在x 1处的切线方程。
解:先求y 2x 3在x 1处的导数,f (1 x) f (1)2(1 x)3 2 13 xx 2 3 2[1 3 x 3( x) ( x) ] 26 6 x 2 x 2 6 6 x 2 xx 令x 趋于零,知函数y 2x 3在x 1处的导数为f /(1) 6.这样,函数y 2x 3在点(1,f(1))=( 1,2)处的切线斜率为6,即该切线经过点(1,2),斜率为6.因此切线方程为(y 2) 6(x 1),即 y 6x 4.思考:通过刚才的解析过程,你能概括出利用导数的几何意义求曲线 的切线方程的解题步骤吗? 师:步骤如下:⑴ 求出函数f(x)在点x o 处的导数f /(x o )与切点坐标(x o ,y o );⑵ 根据直线的点斜式方程,得切线方程为y y o f /(x o )(x x o ).变式延伸:此时切线与y 2x 3有几个交点?怎样求解交点坐标呢?(2 x)2( 2)2 x4 x ( x)2 x 4 x .(课件演示)师:通过图像的观察,此时切线与y 2x3有两个交点,将切线方程与曲线方程联立组成方程组,解得两点坐标为(1,2),( 2, 16).设计意图:此题一个基础题型,通过此题让学生学会用导数的几何意义去求曲线的切线方程,并且通过变式训练改变原来的错误观点(切线与曲线只有一个交点)。