幂指对函数复习专题讲座
高考数学一轮复习 第8讲 幂函数、指数与指数函数课件 理 (浙江专)
【点评】进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数 幂的运算性质，并能灵活运用．一般进行分数指数幂运算 时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为 分数运算，同时要特别注意运算顺序问题．
素材1
化简：
(1)(235)0＋2－2×(241)－12－(0.01)0.5＝
16 15
；
3 (2)
3 a2·
(1)求 m 和 k 的值； (2)求满足(a＋1)－m3 <(3－2a)－13的 a 的取值范 围．
【解析】(1)因为函数 y＝(k2－2k－2)xm2－2m－3 为幂
函数，
所以 k2－2k－2＝1，即(k－3)(k＋1)＝0，
所以 k＝3 或 k＝－1，又函数在(0，＋∞)上递减，
m2－2m－3<0
素材4
已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0,1)时，f(x) ＝4x2＋x 1.
(1)求 f(x)在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．
【解析】(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以当 x＝0 时，f(x)＝0. 设 x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)， 所以 f(x)＝－f(－x)＝－4－2x－ ＋x 1＝－4x2＋x 1，
2x 4x＋1
0<x<1
所以 f(x)＝0 x＝0
.
－4x2＋x 1 －1<x<0
(2)证明：设 0<x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝4x21x＋1 1－4x22x＋2 1 ＝2x1＋2x42＋x1＋2x11－42x22x＋1＋1x2－2x2 ＝2x1－4x12＋x211－4x22＋x1＋1 x2. 因为 0<x1<x2<1，所以 2x1<2x2，2x1＋x2>1， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 故 f(x)在(0,1)上是减函数．
人教高中数学必修一A版《幂函数》函数的概念与性质教学说课复习课件
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所以250.5>130.5. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－23<－35，所以－23－1>－35－1.
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比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若 底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是 “0”或“1”.
的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2
底数为自变量；3系数为 1.
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1．(1)在函数y＝x1 ，y＝2x ，y＝x ＋x，y＝1中，幂函数的个数为 2
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2
2
() A．0
B．1
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幂函数的概念
【例 1】 值．
已知 y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3 是幂函数，求 m，n 的
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幂函数、指函数与对函数PPT课件
D. b > a > 1 O
思路二:
1b a
x
数形结合
26
题型三：幂函数性质的应用
3.比较下列各组数的大小：
< 1
1
(1)1.32 ____ 1.4 2
解后反思 两个数比较
(2)0.261
_>____
0.271
大小，何时 用幂函数模
(3)(5.2)2 _<____(5.3)2
型，何时用 指数函数模
即 log2 a log2 b 0 log2 1
a b 1 所以答案选C． 25
能力提升
变②：若0 < loga 2 < logb 2,则
C
()
A. 0 < a < b < 1 y
B. 0 < b < a < 1
1
C. a > b > 1
x=2
y= logb x
y= loga x
解析式 y = a x ( a > 0, a≠1)
y
图 象 0<a<1
y a>1
1
（描点）
1
0
x
0
x
y = log a x ( a > 0, a≠1)
y 0<a<1
y a>1
01
x
01
x
定义域
R
(0 , +∞)
值域
(0 , +∞)
R
定点
都过点(0,1)
都过点(1,0)
范围
x<0时,y>1；x>0时,y>10；<x<1时 x>0时 x<0时 y>0
指数幂与指数函数课件-2023届高考数学一轮复习
(3)(ab)r= arbr
r s
(a>0,r,s∈Q);
(a>0,r,s∈Q);
(a>0,b>0,r∈Q).
例1 （1）下列运算结果正确的是(
A. =|a|
2
C. 3
a
a a2
).
B.(a2-a+1)0=1
4
3
a ( a 0)
1
2
3
4
D.
1
6
6
a2 a
（2)( 7 4 3 ) 16 27 (0.125 )
若 f(1-a)=f(a-1),则实数 a 的值
2 ,x < 0,
为
.
（2）若偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0),则不等式 f(x-2)>0 的解集为
(3)解关于 x的不等式 a
x2 2 x
1 x2
( ) (a 0, 且a 1)
a
.
例6.已知f ( x) 2 x 2 x , 若2 x f (2 x) mf ( x) 0对任意x (0,)恒成立，
2.5 指数幂与指数函数
一、根式
1.根式的概念
若
xn=a
,则 x 叫作 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*. 叫作根式,这里 n
叫作根指数,a 叫作被开方数.
2.a 的 n 次方根的表示
xn=a⇒
=
,为奇数且∈ * ,
= ± ,为偶数且∈ * .
二、有理数指数幂
求实数m的取值范围
(3)若关于t的不等式f(t2 2t ) f (2t 2 k ) 0在[-1,1]上有解,
幂函数指数函数对数函数比较大小 ppt课件
（1）定义域：R （2）值域：（0， +）
（3）单调性：当01时，指数函数在定义域上是减函数 当1时，指数函数在定义域上是增函数
（4）奇偶性：非奇非偶
幂函数指数函数对数函数比较大小
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• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
2019-2020年高考数学一轮复习专题2.9幂函数指数函数与对数函数讲
2019-2020年高考数学一轮复习专题2.9幂函数指数函数与对数函数讲【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 如果3x＝4，则x ＝________．【解析】 由指数式与对数式的互化规则，得x ＝log 34. 2．[教材改编] 2log 510＋log 50.25＝________．【解析】 2log 510＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 3．[教材改编] 函数y ＝log 2(x 2－1)的单调递增区间是________．【解析】 由x 2－1>0得x <－1或x >1.又函数y ＝log 2x 在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，＋∞)． 题组二 常错题4．函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为________．【解析】 由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＞1或x ＜12，易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >1或x <12在(1，＋∞)上是增函数，所以原函数的单调递减区间为(1，＋∞)．5．设a ＝14，b ＝log 985，c ＝log 83，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝14＝log 949＝log 93<log 83＝c ，a ＝log 93>log 985＝b ，所以c >a >b .题组三 常考题6． lg 52＋2lg 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－1＝________． 【解析】 原式＝lg 5－lg 2＋2lg 2＋5＝lg 5＋lg 2＋5＝1＋5＝6.7．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________________．8． 设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1x 2＋2，若f (x )>f (2x －1)，则x 的取值范围为________． 【解析】 由f (x )＝ln(1＋|x |)－12＋x2可知f(x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，即|x |>|2x －1|，解得13<x <1.【知识清单】1 幂函数的概念、图象与性质 常用幂函数的图象与性质2指数函数的概念、图象与性质【考点深度剖析】1.与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．2.关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．3.从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．【重点难点突破】考点1 幂函数的概念、图象与性质【1-1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？【答案】【1-2】若幂函数y＝(m2－3m＋3)的图象不经过原点，则实数m的值为________．【答案】 1或2【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合.【1-3】设424999244(),(),()999a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】【解析】∵函数是增函数，∴，又∵函数是减函数，∴，∴. 【思想方法】1.判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂系数为1.2..幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 【温馨提醒】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 考点2 指数函数的概念、图象与性质【2-1】若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 【答案】 3【2-2】设f (x )＝|3x－1|，c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )，由在关系式①3c>3b ；②3b >3a ；③3c＋3a >2；④3c ＋3a<2中一定成立的是 . 【答案】④【解析】作f (x )＝|3x－1|的图象如图所示，由图可知，要使c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )成立，需有c <0且a >0，所以3c<1<3a，所以f (c )＝1－3c，f (a )＝3a－1.又f (c )>f (a )，所以1－3c>3a－1，即3a＋3c <2，故填④.【思想方法】指数函数的底数中若含有参数，一般需分类讨论．指数函数与其他函数构成的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【温馨提醒】一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解．考点3 对数函数的概念、图象与性质【3-1】已知f(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)，若当x∈(－1，0)时，f(x)<0，则f(x)在定义域上单调性是.【答案】增函数【解析】由于，即时，所以，因而在上是增函数．【3-2】已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性．【答案】（1）时，定义域为，时，定义域为；（2）时，增函数，时，减函数．【解析】(1)由a x－1>0得a x>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)．∴f(x1)<f(x2)．故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．【3-3】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)；（2）存在，．【基础知识】【思想方法】利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决． 【温馨提醒】解决对数型函数、对数型不等式问题,一定要注意定义域优先原则.【易错试题常警惕】由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到． 如：若，则的取值范围是 ．【分析】由的图象关于轴对称知，函数在上是减函数，在上是增函数．因为，所以32010321a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩或32010321a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩或 ()32010321a a a a ⎧->⎪+<⎨⎪->-+⎩或()32010321a a a a ⎧-<⎪+>⎨⎪-->+⎩，解得或或或，所以的取值范围是()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．【易错点】本题容易只考虑到，在同一单调区间的情况，不全面而致误． 【练一练】已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N ＋)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围。
幂指对函数复习专题讲座
.幂指对函数复习专题讲座一．幂函数1.定义形如αx y =的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形.2.幂函数互质）q p pqn Q n x y n ,,,(=∈=的性质如表1-1.3.根据幂函数在第一象限内图像的特点分析幂函数q py x =的性质.（1）图的增大，函数图像向y 轴方向延伸.（2）在第一象限是增函数.（3） 1qp=时，图像是直线y=x 。
在第一象限内是增函数.（在整个定义域内都是增函数.）（4）10qp >>时,随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸.在第一象限是增函数.（5）0qp<时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交。
在第一象限是减函数.二．指数函数和对数函数1.幂的有关概念：(1)规定：① ∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *);② )0(10≠=a a ; n 个 ③∈=-p aap p(1Q ）;④m a a a n m n m,0(>=、∈n N *且)1>n (2)指数运算性质： ①r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）;②),,0(Q s r a a aa s r s r∈>=-；③r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）;④∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）;⑤),0,0(Q s b a b a b a s s s∈>>=⎪⎭⎫⎝⎛.（注）上述性质对r 、∈s R 均适用.2．对数的概念：(1)定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数.①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，②以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln (2)基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）; ② 01log =a ;.③1log =a a ;④对数恒等式：N a N a =log . (3)运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则①N M MN a a a log log )(log +=;②N M NMa a alog log log -=; ③M n M a n a log log =;④n a n a =log ; ⑤N nN a a n log 1log =⑥换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a ⑦1log log =⋅a b b a ，⑧ N mnN a n a m log log =3.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象a > ）1(0底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（3）指数函数的性质 ①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1.④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数. 4.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数. （2）对数函数的图象a <11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.5.指数函数y=a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y=log a x(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质如表1-2．(注)指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数． 6.抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子（等式（方程）或不等式等）的一类函数。
幂函数专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件
一、幂函数
函数 y=xm （m 是常数）叫做幂函数． 幂函数定义域：与常数m 相关，
但函数在（0，）内总有定义． 最常见幂函数：
y
y=x
y=x2
y= x
1
O1
x
y
y=x3
1
y=x-1
O1
x
第2页
二、指数函数与对数函数
1．指数函数
函数 y=ax (a是常数，且a>0，a 1)叫做指数函数．
指数函数定义域：D=（- ，+ ）．
ch2 x - sh2 x=1;
sh 2x=2sh x ch x; ch 2x=ch2 x+sh2 x.
第16页
2．反双曲函数 双曲函数 y=sh x， y=ch x， y=th x反函数依次记为 反双曲正弦： y=arsh x， 反双曲余弦： y=arch x， 反双曲正切： y=arth x．
§1．2 初等函数
一、幂函数 二、指数函数与对数函数
指数函数、 对数函数
三、三角函数与反三角函数
正弦和余弦函数、正切和余切函数、正割和余割函数、 反正弦和反余弦函数、 反正切函数、 反余切函数
四、复合函数 初等函数
复合函数、基本初等函数与初等函数
五、双曲函数与反双曲函数
双曲函数、 双曲函数性质、 反双曲函数
能够证实
arsh x= ln(x+ x 2 1 )
arch x= ln(x+ x 2 - 1 )
1 1 x arth x= ln
2 1- x
第17页
arsh x= ln(x+ x2 1)证实：
y=arsh x是x=sh y反函数，因此满足
x=
2024高考数学基础知识综合复习第5讲幂函数课件
,+∞)内是增函数,在(
函数.
(2)飘带函数
y=ax+ (a>0,b<0)
性质:函数是奇函数;在(-∞,0),(0,+∞)内是增函数.
(3)一次分式函数
+
y=
(a≠0,c≠0)
+
性质:曲线是双曲线,对称中心是(- , ).
,0),(0,
)内是减
问题详解·释疑惑
2
D.
考向4
典例 7 函数
与幂函数相关的函数
2+1
[3,5]
y= -1 ,x∈[2,4]的值域为____________;函数
(3,+∞)
域为____________,若函数
1
(0,
]∪[2,+∞)
____________________.
2
解析
2+1
3
∵ -1 =2+-1,∴函数
2 2 +1
使
1
k-1< -3x
则
1
1
1
h(x1)-h(x2)= -3x1- +3x2=(x2-x1)( +3),因为
1
2
1 2
成立,令
1
h(x)= -3x,x∈[1,2],则
1
1
x1>0,
>0,所以(x2-x1)(
+3)>0,即
12
12
成立,所以∃x∈[1,2],
k-1<h(x)max,∀x1,x2∈[1,2]且 x1<x2,
第06节+指对幂函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
2a
0,3 2b
2a
，则 2ab
3, a
b
log2
3
1，
显然与 a
b 矛盾；所以
a b
1时，a
b
0, log2
a b
0 ，所以 3 2b
2a
0, 2ab
3, a
b
log2
3
2
，即 b
a
b
2，
故选项 B 符合要求；此时令 a 5,b 4 ，则选项 C 错误.故选：B.
2．甲､乙两人解关于
x
的方程
考点二 指对幂函数图象
【例
1】（1）函数
f
x
1 2
e2x
知识梳理
3.指数函数及其性质
(1)函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点(0，1)，即 x＝0 时，y＝1
当 x>0 时，y>1；
当 x<0 时，y>1；
只在第
知识梳理
10.幂函数
• 幂函数的定义
• 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
11.幂函数的图象与性质
知识梳理
函数 定义域
值域 奇偶性
单调性
y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y x2
y＝x－1
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
R
{y|y≥0}
《幂函数》指数函数、对数函数与幂函数课件-高中数学B版必修二PPT课件
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问题导学
预习教材 P33－P36 的内容，思考以下问题： 1．幂函数是如何定义的？ 2．幂函数的解析式具有什么特点？ 3．常见幂函数的图像是什么？它具有哪些性质？
栏目 导引
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
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1．一般地，函数 y＝xα 称为幂函数，其中 α 为常数．
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指对幂函数复习ppt课件
(1,1) y=x-1
2
4
2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数; 6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
3、α为奇数时,幂函数为奇函 数,
α为偶数时,幂函数为偶函 数.
12
4
(2,4)
3
y=x
2
1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
2020/3/29
-3
11
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
2020/3/29
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1
y=x 2
(4,2)
1、所有幂函数在(0，+∞) 上都有定义，并且图象 都通过点(1,1).
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数指数函Leabharlann 2020/3/29幂函数 8
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，
-1时1 的情形。
2
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
2020/3/29
高三指对幂函数讲义(供参考)
幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数图像与性质二、对数与对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （5）对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．四、例题分析例1 已知函数223nn y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2230n n --=为偶数； 当2n =时，2233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3． 此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．在幂函数()f x 的图象上，例2 已知点点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．解：设()m f x x =，则由题意，得2m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <． 例3、已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式． 分析：函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式． 解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<． 又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．练习、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围． 正解（分类讨论）： （1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<； （2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞．现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何． 练习、若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4、关于x 的不等式232255|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是 。
2025届高考数学一轮复习讲义函数之 幂函数、指数与指数函数
C. 当x＞1时，f(x)＞1
[解析]
D.
(1 )＋(2 )
1 ＋2
当0＜x1＜x2时，
＜f(
)
2
2
1
α
α
因为幂函数 f ( x )＝ x 的图象经过点(16，4)，所以16 ＝4，α＝ ，所以 f ( x )
2
1
2
＝ ＝ ，由其图象可知，A错误，B正确；当 x ＞1时， f ( x )＞ f (1)＝1，故C正
(2)指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞1)
y＝ax(0＜a＜1)
图象
函数的定义域为R；值域为⑲ (0，＋∞) .
函数图象过定点⑳ (0，1) ，即当x＝0时，y＝1.
性质
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.
y＞1.
函数在R上单调递㉑ 增 .
函数在R上单调递㉒ 减 .
确；由 f ( x )＝
(1 )＋(2 )
1 ＋2
的图象可知
＜f(
)，故D正确.故选BCD.
2
2
)
3. 函数 f ( x )＝ ax －1＋2( a ＞0，且 a ≠1)的图象恒过定点 (1，3) .
4. 已知函数 f ( x )＝ ax ＋ b ( a ＞0，且 a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a ＋ b
＝⑭
( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).
1
( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3)有理数指数幂的运算性质
高考数学复习考点题型专题讲解1 幂指对三角函数值比较大小
高考数学复习考点题型专题讲解 第1讲 幂指对三角函数值比较大小【题型一】临界值比较：0、1临界 【典例分析】 设0.2515log 4,log 4,0.5a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性和对数的运算可得到01a <<，10b -<<；根据指数函数的单调性得到1c >，从而可得出答案. 【详解】因为5550log 1log 4log 51=<<=，所以01a <<；因为11555log 4log 4log 4b -===-，所以10b -<<； 又0.200.50.51c -=>=，所以b a c <<.故选：B. 【变式演练】 1.已知120212022202212022,log 2021,log 2021a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b【答案】A【分析】利用指数函数及对数函数的性质即得.【详解】∵102021202221022a >==，2022202220220log 1log 2021log 20221b =<=<=，202220221log log 102021c =<=， ∴a b c >>.故选：A.2.若0.3220.32,log 0.3,0.3,log 2a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（） A ．a <b <c <d B ．d <b <c <a C ．b <d <c <a D ．d <c <b <a【答案】C 【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得； 解：0.30221>=，2000.30.31<<=，即1a >，01c <<；因为2221142log log 0.3log <<，所以12222log log 0.3g 2lo 2--<<，即221log 0.3<<--，即21b -<<-，又.2031log 2log 0.3=，所以0.311log 22-<<-，即112d -<<-，即a c d b >>>，故选：C3.9.01.17.01.1,9.0log ,8.0log ===c b a 的大小关系是（）A. c a b >>B. a b c >>C. b c a >>D.c b a >> 【答案】A试题分析：0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=，而1.11.1l o g 0.9l o g 10<=，对于0.901.1 1.11>=所以c a b >>，故选A【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点） 【典例分析】已知3422,log e a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】B 【分析】首先求出4a 、4b ，即可判断a b >，再利用作差法判断4432b ⎛>⎫⎪⎝⎭，即可得到32b >，再判断32c <，即可得解； 【详解】解：由342a b ==，所以449,8==a b ，可知a b >，又由44381478021616⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭b ，有32b >，又由28e <，有322e <=，可得23log 2<e ，即32c <，故有a b c >>.故选：B【变式演练】1.已知6ln a π=，3ln 2b π=，4ln1.5c π=，则a b c 、、大小关系为（） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】A 【分析】根据幂函数()0y x αα=>在()0,∞+上是增函数，对数函数ln y x =在()0,∞+上是增函数可得答案. 【详解】66ln ln a ππ==，33ln 2ln 2b ππ==，44ln1.5ln1.5c ππ==，因为3428 1.5 5.0625ππππ=>=，所以3ln 24ln1.5b c ππ=>=，即b c >，因为6666π=>=，66683.26635222222ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，66>，所以632ππ>，所以6ln 3ln 2a b ππ=>=，即a b >，所以c b a <<.故选：A. 2.已知0.350.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【分析】利用10,,0.712，等中间值区分各个数值的大小． 【详解】∵55l o g 1l o g2g 5<<，∴ 102a <<，∵ 0.70.11=l o g 0.1l o g 0.7b =，0.70.7log 0.1log 0.7>， ∴ 1b >，10.300.70.70.7<<，故0.71c <<，所以a c b <<．故选：A ． 3.若0.60.590.5,0.6,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性分别比较0.60.50.5,0.5和0.50.50.5,0.6的大小，即可比较,a b ，再根据91log 32c ==，即可得出答案. 【详解】解：因为函数0.5x y =是减函数，所以0.60.50.50.50.5<<，又函数0.5y x =在()0,∞+上是增函数，所以0.50.50.50.6<，所以0.60.50.50.6<，即12a b <<，91log 32c ==，所以c a b <<.故选：B.【题型三】差比法与商比法 【典例分析】已知实数a b c ､､满足13266,log 3log 4,51213b b c a b ==++=，则a b c ､､的关系是（） A ．b a c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】C 【分析】利用幂函数的性质知2a <，利用对数的运算性质及作差法可得20b ->，再构造1313c b -，根据指数的性质判断其符号，即可知,b c 的大小. 【详解】1133682a =<=；()2226222log 3log 312log 3log 4log 3201log 31log 3b b ⋅-=+=+-=>++，，2b >；2221351251213c b b =+>+=，2c >；222222222222131351213551212131351212121313c b b b b b b b b b b -------=+-=⋅+⋅-⋅<⋅+⋅-⋅2222222212(512)131313(1213)0b b b b ----=+-⋅=-<，∴b c >，综上，b c a >>.故选：C【变式演练】1.已知0.40.8a -=，5log 3b =，8log 5c =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B 【分析】应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得222ln 3ln8(ln 3ln8)ln 54ln 5b c ⋅+=<可知b 、c 的大小，再结合指对数的性质可知a 、c 的大小. 【详解】25228log 3ln 3ln 8(ln 3ln 8)1log 5ln 54ln 5b c ⋅+==<=<，即b c <， ∵0.410.8c a -<<=，∴综上，b c a <<.故选：B2.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【详解】因为310log 35c =，又24log 3.41,log 3.61><，231010lg3.4lg3lg 2lglg 6.8lg3-lg 2lg3lg 2lg 10lg 6.8lg3lg 233log 3.4log =03lg 2lg3lg 2lg3lg 2lg3----==>（），所以23410log 3.4log 1log 3.6,3>>>324log 0.3log 3.4log 3.61555⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即a c b >>3.已知3610a b ==，则2，ab ，a b +的大小关系是（） A ．2ab a b <+< B ．2ab a b <<+ C ．2a b ab <+< D ．2ab a b <<+【答案】D 【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项. 【详解】33log 1029log a =>=，6log 101b =>，∴2ab >；又11lg3lg6lg181a b ab a b+=+=+=>∴ a b ab +>，∴2a b ab +>>.故选：D. 【题型四】利用对数运算分离常数比大小 【典例分析】已知m ＝log 4ππ，n ＝log 4e e ，p ＝e 13-，则m ，n ，p 的大小关系是（其中e 为自然对数的底数）（ ） A ．p ＜n ＜m B ．m ＜n ＜p C ．n ＜m ＜p D ．n ＜p ＜m【答案】C 【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m ，n ，12的大小关系，再由指数的性质有p ＝e 1312->，即知m ，n ，p 的大小关系.【详解】由题意得，m ＝log 4ππlg lg lg 41lg 4lg 4lg lg 4lg πππππ===-++，4lg lg lg 4log 1lg 4lg 4lg lg 4lg e e e n e e e e====-++， ∵lg4＞lgπ＞lg e ＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lg e ，∴lg 4lg 4lg 4111lg 4lg 4lg 4lg lg 4lg eπ->->-+++，∴12n m <<，而p ＝e 1312-=>，∴n ＜m ＜p ．故选：C ．【变式演练】1.2log 3､8log 12､lg15的大小关系为（） A ．28log 3log 12lg15<< B ．82log 12lg15log 3<< C ．28log 3log 12lg15>> D ．82log 12log 3lg15<< 【答案】C 【分析】应用对数的运算性质可得2321log 31log 2=+、8321log 121log 8=+、321lg151log 10=+，进而比较大小关系. 【详解】22232331log 3log (2)1log 122log 2=⋅=+=+，88832331log 12log (8)1log 122log 8=⋅=+=+，32331lg15lg(10)1lg 122log 10=⋅=+=+，∵3332220log 2log 8log 10<<<， ∴28log 3log 12lg15>>，故选：C. 2.已知b 0,b 1a a >>=，若()21,log ,2a b x y a b z a b ==+=+，则()log 3x x ，()log 3y y ，()log 3z z 的大小关系为（）A ．()()()log 3log 3log 3x y z x y z >>B ．()()()log 3log 3log 3y x z y x z >>C ．()()()log 3log 3log 3x z y x z y >>D ．()()()log 3log 3log 3y z x y z x >>【答案】D 【分析】先化简33333log (3)111log (3)1,log (3)1,log (3)1log log log log x y z x x y z x x y z ==+=+=+，再根据,,x y z 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系． 【详解】 因为33333log (3)111log (3)1,log (3)1,log (3)1log log log log x y z x x y z x x y z==+=+=+， 函数31log y x =在(0,1)和(1,)+∞上均单调递减，又b 0,b 1a a >>=，所以1,0 1.a b ><<而21,log (),2a b x y a b z a b==+=+, 所以0x <1,1,22y z <>>，即,y x z x >>，可知log (3)x x 最小．由于222221log ()log ,2log 2log 4a ay a b a z a a⎛⎫=+=+=== ⎪⎝⎭，所以比较真数1a a +与4a 的大小关系.当1a >时，14aa a+<，所以1z y >>, 即331111log log y z+>+. 综上,log (3)log (3)log (3)y z x y z x >>．故选：D ．3.已知3log 15a =，4log 40b =，23c =，则（） A ．a c b ＞＞ B ．c a b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞【答案】C 【分析】把c 用对数表示，根据式子结构，转化为比较10323log 5log 4log 2、、的大小，分别与1和32比较即可. 【详解】3333log 15=log 3log 5=1log 5a =++，4444log 40=log 4log 10=1log 10b =++，由23c =得，223log 31log 2c ==+. 因为353,104,22>><，所以323log 51log 2>>，423log 101log 2>>，即,a c b c ＞＞. 下面比较a 、b 的大小关系：32333log 5log 32<=（其中323 5.2≈），324443l og 10l o g 8=l o g 4=2>，所以34log 5log 10< 所以b a ＞所以b a c ＞＞.故选：C.【题型五】构造函数：lnx/x 型函数 【典例分析】 设24ln 4e a -=，1e b =，ln 22c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】B 【分析】设()ln xf x x =，利用导数判断单调性，利用对数化简2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e b f =，()()24c f f ==，再根据单调性即可比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】设()ln x f x x =，则()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x， 当()1,e x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当()e,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()222222e ln 2ln e ln 24ln 4e 2e e e 22a f -⎛⎫-==== ⎪⎝⎭，()1ln e e e eb f ===，()ln 222c f ==，所以()e b f =最大，又因为()()24c f f ==，2e e 42<<，所以()2e 42a f f c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以b a c >>，故选：B.【变式演练】1.已知a=3ln2π，b=2ln3π，c=3lnπ2，则下列选项正确的是（ ） A ． cB ．cC ．cD ． c【答案】D 对 同除 ，转化为之间的比较，构造函数 =，利用导数研究函数的单调性，得到答案. 【详解】===， ， ， 的大小比较可以转化为的大小比较． 设 =ln，则 =ln，当 = 时， = ，当 时， ，当时，在 上单调递减， 3lnlnln=ln， ，故选：D ．2.以下四个数中，最大的是（ ）A ．B ．1eC ．ln ππD 【答案】B 【详解】由题意，令()ln x f x x=，则()21xf x x-'=，所以e x >时，()0f x '<，∴()f x 在(,)e +∞上递减，又由315e π<<<，∴()()()3(15)f e f f f π>>>，则111113315ln ln3ln ln ln15ee πππ>>>>>，即1ln e ππ>>>，故选：B ． 3.下列命题为真命题的个数是ln3 3ln ； lnπ； ； 3 ln A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 本题首先可以构造函数 =，然后通过导数计算出函数 =的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数 =的单调性即可比较出大小。
专题复习幂函数、指数函数、对数函数.ppt
y=x
当n<0
1
x
O
1
(1) 图象必经过点（1 , 1）；
(2) 在第一象限内，函数值随着 x 的增大而减小 ;
(3) 在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近，
图象向右与 x 轴无限地接近 。
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性， 因函数式中α的不同而各异.
• ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 并且函数图象都通过点(1,1).
高三数学第二轮复习课件
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx R
R
奇函数 增函数 (0,0),(1,1)
y x2 R
y x3 R
1
y x2
y0
R
偶函数 奇函数
(0,0),(1,1)
增函数 (0,0),(1,1)
y 0 非奇非偶 增函数 (0,0),(1,1)
10.设f (x) lg(10 x 1) ax是偶函数， g(x) 4x b 是奇函数， 2x
那么a b的值是 ( D )
A. 1
B. -1
C.
1 2
1 D. 2
11.函数f (x) loga (x 1 x2 )是 ( A )
A.是奇函数，但不是偶函数 B. 是偶函数，但不是奇函数 C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 既不是奇函数，又不是偶函数
(3)y log2 (3 x2 2x) (,2]
(4)已知x [3，2]，求函数f (x)
1 4x
1 2x
1
的值域
(5)已知x [1,8]，求函数g(x)
幂函数与指对数运算课件-2025届高三数学一轮复习
基本知识点：幂函数及指对运算性质
4 对数的概念
一般地，如果 = ( > 0, ≠ 0)，那么数叫做以为底的对数，记作 = log .
5 对数的性质与运算性质
)
D．＞＞
)
指数与对数运算
2.大小比较：
分参构造新函数，然后再手单调性。
4.若＝－1，＝ 2，3＝3，则，， 的大小关系为( )
A．＞＞
5.已知＝
B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞ln 2源自12 ln 3，＝ ，＝
，则，，
2
9
A．＞＞
B．＞＞
= =
为奇数
=
为偶数
为偶数时，()为偶函数
为奇数时，()为奇函数
为偶数时，()为偶函数
为奇数时，()非奇非偶
基本知识点：幂函数及指对运算性质
3 分数指数幂及其运算性质
④
∙
=
+
= −
= =
4 对数的概念
A．＞＞
B．＞＞
C．＞＞
2. 设＝26，＝515，＝721，则(
A．＞＞
B．＞＞
C．＞＞
D．＞＞
)
D．＞＞
3.设＝23，＝812，＝15，则，， 的大小关系为(
A．＞＞
B．＞＞
C．＞＞
5.对任意的实数 > 0 ,不等式 2 2 − ln + ln ≥ 0 恒成立,则实数 的最小值为
A.
2
串讲06幂函数指数函数和对数函数-高一数学上学期期末考点大串讲(2019)
常用技巧/结论
数的大小比较常用方法： (1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂 函数、指数函数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法 的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法. (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个幂函 数、指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较. (3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于 0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利 用函数的性质比较大小.
典型例题
题型13：指对幂比较大小
典型例题
题型14：幂函数、指数函数、对数函数综合问题
典型例题
题型14：幂函数14：幂函数、指数函数、对数函数综合问题
在(0，＋∞)上是_增__函__数__
在(0，＋∞)上是_减__函__数__
知识串讲
4.反函数 指 数 函 数 y ＝ ax(a>0 且 a≠1) 与 对 数 函 数 _y_＝__l_o_g_ax__(a>0 且 a≠1) 互 为 反 函 数 ， 它 们 的 图 象 关 于 直 线 __y_＝__x_对称.
高一苏教版数学上册期末大串讲 串讲06 幂函数、指数函数和对数函数
思维 导图
知识
常用
典型
串讲
技巧/结论
例题
思维导图
知识串讲
1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数_y_＝__x_α_叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象
知识串讲
(3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点_(_1_,1_)_和_(_0_,0_)_，且在(0，＋∞)上单调 递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点_(_1_,1_)_，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为_奇__函__数__；当α为偶数时，y＝xα为_偶__函__数__.
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幂指对函数复习专题讲座一．幂函数1.定义形如αx y =的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形.2.根据幂函数在第一象限内图像的特点分析幂函数q py x =的性质.（1）图像必过(1,1)点.（2） 1qp>时，过(0,0)点，且随x 的增大，函数图像向y 轴方向延伸.在第一象限是增函数.（3） 1qp=时，图像是直线y=x 。
在第一象限内是增函数.（在整个定义域内都是增函数.）（4）10qp >>时,随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸.在第一象限是增函数.（5）0qp<时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交。
在第一象限是减函数.二．指数函数和对数函数1.幂的有关概念：(1)规定：① ∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *);② )0(10≠=a a ;n 个 ③∈=-p aap p(1Q ）;④m a a a n m n m,0(>=、∈n N *且)1>n (2)指数运算性质： ①r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）;②),,0(Q s r a a aa s r s r∈>=-；③r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）;④∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）;⑤),0,0(Q s b a b a b a s s s∈>>=⎪⎭⎫⎝⎛.（注）上述性质对r 、∈s R 均适用.2．对数的概念：(1)定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数.①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，②以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln (2)基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）; ② 01log =a ; ③1log =a a ;④对数恒等式：N a N a =log . (3)运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则①N M MN a a a log log )(log +=;②N M NMa a alog log log -=; ③M n M a n a log log =;④n a n a =log ; ⑤N nN a a n log 1log =⑥换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a⑦1log log =⋅a b b a ，⑧ N mnN a n a m log log =3.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象OxyOxyy =a x 11a > ）1y =a x ((0＜a ＜1)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（3）指数函数的性质 ①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1.④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数. 4. 对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数. （2）对数函数的图象O x yy = l o g x a > O xy<a <a y = l o g x a 11110( ( )) 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.5.指数函数y=a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y=log a x(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质如表1-2．(注)指数函数y=a x与对数函数y=log a x 互为反函数． 6.抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子（等式（方程）或不等式等）的一类函数。
中学阶段遇到的抽象函数大多是如下几种以常见初等函数为模型的抽象函数： （1） ()()()()()();()22x y f x f y f x ax b f x y f x f y b f ++=+→+=+-=（2()()()()();()()x f x f x a f x y f x f y f x y f y =→+=-=（3()log ()()();()()()a xf x x f xy f x f y f f x f y y=→=+=-（4()()()()();()()n x f x f x x f xy f x f y f y f y =→==三．典型例题【例1】 图中曲线是幂函数n x y =在第一象限的图象，已知n 取±2、±21四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为（ ）（A ） -2，-21，21，2. （B ） 2, 21, -21,-2. （C ） -21,-2, 2, 21. （D ） 2, 21, -2，-21. 【例2】 在下列图形中找出所给函数的大致图象（1）23x y = ；（2）x1y = ；（3）32x y = ；（4）2x y -= ；（5） y = x 1/2 ；（6） y = x 1/3 ；（7） y = x 4/3 ； （8） y = x –1/2 ； （9） y = x 5/3 . y y y 0 x 0 x 0 x y y y 0 x 0 x 0 x（ ） （ ） （ ） yyy0 x 0 x 0 x（ ） （ ） （ ）【例3】解答下述问题：（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---（2）计算1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅.（3）化简：.)2(2485332332323323134aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--（4）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 【例4】已知函数2log (1)(0,1)a y x mx aa =++≠.(1)若定义域为R ，求m 的取值范围；(2)若值域为R ，求m 的取值范围. 【例5】 函数||(1)x y a a =的图象是（ ）【例6】若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）.（1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）.1o1yxC 1 C 2C 3C 4幂指对函数练习题 一．选择题：1.若210,5100==b a ，则b a +2= （ ）A 、0B 、1C 、2D 、32.若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ）A 、0,0>>y xB 、0,0<>y xC 、0,0><y xD 、0,0<<y x 3.已知ab >0，下面四个等式中，正确命题的个数为（ ）①lg （ab ）=lg a +lg b ②lg b a =lg a －lg b ③bab a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．34.已知x =2+1，则lo g 4（x 3－x －6）等于（ ）A ．23 B ．45 C ．0 D ．21 5.已知m >0时10x =lg （10m ）+lg m1，则x 的值为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 6.若log a b ·log 3a =5，则b 等于( )A ．a 3B ．a 5C ．35D ．537. 若(10)x f x =，则(5)f = （ ）A 、510B 、105C 、lg10D 、lg 5 8. 已知0,1a a >≠，下列说法中，正确的是 （ ）①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a a M N =。
A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 9. 已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+D 、 231a a --10. 若21025x =，则10x -等于 （ ）A 、15B 、15-C 、150D 、162511.给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y 12.下列函数一定是指数函数的是（ ）A.12+=x yB.3x y =C.x y -=3D.x y 23⋅= 13.若函数x a a a y ⋅+-=)33(2是指数函数，则有（ ）A 、21==a a 或B 、1=aC 、2=aD 、10≠>a a 且 14.已知c a b 212121log log log <<，则( )A ． 2b >2a >2cB ．2a >2b >2cC ．2c >2b >2aD ．2c >2a >2b15.设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ）A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >> 16.函数43)21(--=x y 的定义域为 （ ）A 、R x ∈B 、21≠x C 、21>x D 、21<x 17.函数y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．（21，+∞）B ．［1，+∞)C ．（ 21，1]D ．（－∞，1）18.函数x y -=1)21(的单调递增区间是 （ ）A 、),(+∞-∞B 、),0(+∞C 、),1(+∞D 、)1,0( 19.下列等式中成立的是 （ ）A 、 x x x 5.055<<-B 、 x x x -<<55.05C 、x x x 5.055<<-D 、 x x x 555.0<<- 20.若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ）A 、24 B 、22 C 、14 D 、1221.下列图像正确的是 （ ）22.若函数)1,0(1≠>-+=a a m a y x 的图象在第一、三、四象限内，则（ ）A 、1>aB 、1>a 且0<mC 、010><<m a 且D 、10<<a23.函数y =lg （x+12－1）的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y =x 对称24.已知031log 31log >>b a ，则a 、b 的关系是（ ）A ．1＜b ＜aB ．1＜a ＜bC ．0＜a ＜b ＜1D ．0＜b ＜a ＜125.已知f （x ）=a x ，g （x ）=－log b x ，且lg a +lg b =0，a ≠1，b ≠1，则y =f （x ）与y =g （x ）的图象（ ） A.关于直线x +y =0对称 B.关于直线x －y =0对称 C.关于y 轴对称 D.关于原点对称 26.当x∈(1,+∞)时,函数y=x a 的图像恒在直线y=x 的下方,则a 的取值范围是 (A)a ＜1 (B)0＜a ＜1 (C)a ＞0 (D)a ＜027.下图中曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 取4313,,,3510四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A ．101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34 D ．53,101,3,3428.函数34x y =的图象是（ ）29.下列命题中正确的是 （ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 30.如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<< 31.下列函数中既是偶函数又是（ ）A ．34x y =B ．23x y = C ．2-=x y D ．32.函数f (x )=a 2+log a (x +1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为A ．41B ．21C ．2D ．433.已知a>0，a 0，函数y=a x 与y=log a (-x)的图象只能是 ( )34.若函数1()21xf x =+, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( )1α3α4α2α(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值35.函数f(x)的图像沿x 轴向左平移一个单位,再沿y 轴翻折180o ,得到y=lgx 的图像,则f(x)的解析式为( ) (A)f(x)=lg(1+x) (B)f(x)=lg[－(x+1)](C)f(x)=lg(1－x) (D)f(x)=－lg(1－x) 36. 下图中三条对数函数图像,若a＞1,则x 1、x 2、x 3的大小关系是(A)x 1＞x 2＞x 3 (B)x 3＞x 2＞x 1 (C)x 3＞x 1＞x 2 (D)x 2＞x 1＞x 3 37.函数f(x)=a x－b －1(a ＞0,a≠1)图像只在第一、三、四象限.则 ( ) (A)a ＞1,b∈R (B)0＜a ＜1,b ＞0 (C)0＜a ＜1,b∈R (D)a ＞1,b ＞0 38.函数y=2x 的图像向左平移一个单位得图像C 1,再将C 1向上平移一个单位得到图像C 2,作出C 2关于直线y=x 的对称图像C 3,则C 3的解析式是 ( )(A)y=log 2(x+1)+1(B)y=log 2(x+1)－1(C)y=log 2(x －1)+1(D)y=log 2(x －1)－1 39.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（ ）A 、减少7.84%B 、增加7.84%C 、减少9.5%D 、不增不减40.定义在区间（－∞,＋∞)的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,＋∞)的图像与f(x)的图像重合,设a ＞b ＞0,给出下列各式： ①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b); ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b); ③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a); ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a). 其中正确的是 ( ) (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④二、填空题：1.化简22log (123)log (123)+= .2.[]643log log (log 81)的值为 .3.某企业生产总值的月平均增长率为p ，则年平均增长为 .4.若)log 211x=-，则x = .5.设1052==b a ,则=+ba 11_________. 6. 函数11+=-x a y )10(≠>a a 且的图象必经过定点________;函数y=log a (4x-7)对a ＞0且a ≠1的所有实数,必过定点__________.7.)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为 ;函数y=)1(log 5.0-x 的定义域是 .8.函数y=x121⎪⎭⎫⎝⎛的值域是_________.9.若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是 . 10.若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是 .11.方程2lg lg(2)0x x -+=的解集是 . 方程2log 2x+3log x 2=7的解集是____. 12.函数y =（21）222+-x x的递增区间是___________;函数y=log 2(x 2-4x+3)的递增区间是__________.13.f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为_ .14.设函数x x x f -+=11ln )(，则函数)1()2()(x f x f x g +=的定义域为_ .15.函数y=lg(5x+7)的反函数是_____，反函数的值域是_____.16.函数y=x·的最大值是________.17.已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，则f （x ）的值域为 ,单调增区间为 ,单调减区间为 .18.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为19.若直线y =2a 与函数y =|a x－1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______________.20.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1＝在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 . 21.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若[][]8)(1)(111=+•+--b fa f，则f（a +b ）的值为 .22.满足等式lg （x －1）+lg （x －2）=lg2的x 集合为______________。