幂指对函数复习专题讲座
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幂指对函数复习专题讲座
一．幂函数
1.定义形如αx y =的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形.
2.根据幂函数在第一象限内图像的特点分析幂函数q p
y x =的性质.
（1）图像必过(1,1)点.
（2） 1q
p
>时，过(0,0)点，且随x 的增大，函数图像向y 轴方向延伸.在第一象限是
增函数.
（3） 1q
p
=时，图像是直线y=x 。在第一象限内是增函数.（在整个定义域内都是增函
数.）
（4）10q
p >>时,随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸.在第一象限是增函数.
（5）0q
p
<时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交。在第一象
限是减函数.
二．指数函数和对数函数
1.幂的有关概念：
(1)规定：① ∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *
);② )0(10≠=a a ;
n 个 ③∈=-p a
a
p p
(1Q ）;④m a a a n m n m
,0(>=、∈n N *
且)1>n (2)指数运算性质： ①r a a
a a s
r s
r
,0(>=⋅+、∈s Q ）;②),,0(Q s r a a a
a s r s r
∈>=-；
③r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）;④∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）;
⑤),0,0(Q s b a b a b a s s s
∈>>=⎪⎭⎫
⎝⎛.（注）上述性质对r 、∈s R 均适用.
2．对数的概念：
(1)定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数.
①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，
②以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln (2)基本性质：
①真数N 为正数（负数和零无对数）; ② 01log =a ; ③1log =a a ;④对数恒等式：N a N a =log . (3)运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则
①N M MN a a a log log )(log +=;②N M N
M
a a a
log log log -=; ③M n M a n a log log =;④n a n a =log ; ⑤N n
N a a n log 1
log =
⑥换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a
⑦1log log =⋅a b b a ，⑧ N m
n
N a n a m log log =
3.指数函数
（1）指数函数的定义
一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象
O
x
y
O
x
y
y =a x 1
1
a > ）
1y =a x (
(0＜a ＜1)
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.
（3）指数函数的性质 ①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1.
④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数. 4. 对数函数
（1）对数函数的定义
函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数. （2）对数函数的图象
O x y
y = l o g x a > O x
y