材料力学第2章-杆件的内力与内力图
杆件的内力图课件
ห้องสมุดไป่ตู้2
杆件内力图的绘制方法
截面法
定义截面
在杆件上选择一个截面， 该截面可以是垂直于杆件 轴线的平面，也可以是与
杆件轴线平行的平面。
计算截面内力
通过计算或实验得到截面 上的内力，包括轴力、剪
力、弯矩等。
绘制内力图
将截面内力按照一定的比 例尺绘制成图，通常采用 直角坐标系或极坐标系。
积分法
01
02
03
04
杆件内力图的实际应用案例
桥梁结构中的内力图分析
桥梁是内力图分析的重要对象之一，通 过对桥梁结构进行内力图分析，可以确 定桥梁的承载能力、刚度和稳定性等性
能指标。
在进行桥梁内力图分析时，通常需要考 虑多种荷载工况，例如车辆荷载、风荷 载和地震荷载等，以便全面评估桥梁的
安全性和可靠性。
内力图分析在桥梁结构优化设计和维护 保养方面也具有重要意义，可以通过对 桥梁结构进行内力图分析，发现潜在的 结构缺陷和安全隐患，及时采取相应的
内力图与外力图的关系
总结词
内力图和外力图是相互关联的，它们共 同反映了杆件的受力情况。
VS
详细描述
外力图表示杆件所受到的外力的大小和方 向，而内力图则表示杆件内部受力分布情 况。两者之间存在一定的关系，通常情况 下，外力图和内力图是相互匹配的，以确 保杆件在给定边界条件下达到平衡状态。 在分析过程中，需要综合考虑外力、约束 和惯性等影响因素。
定义积分域
选择杆件上的一段或多段 作为积分域，该积分域可 以是直线段、圆弧段或复 杂曲线段。
计算应力分布
根据材料力学和弹性力学 知识，计算出积分域内各 点的应力分布情况。
积分得到内力
将积分域内的应力分布乘 以面积元，并对整个积分 域进行积分，得到整个杆 件的内力。
杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
材料力学基本第二章 内力与内力图
CB段： BA段：
FN x1 0
FQ x1 F
M x1 Fx1
FN x2 F
FQ x2 0
M x2 F a
0 x1 a
0 x1 a
0 x1 a 0 x2 l
0 x2 l
0 x2 l
2.绘制剪力图和弯矩图
五、平面曲杆的内力图
平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力的符号规定为：弯矩以使曲杆轴线曲率增加者为正，轴力和剪力的符 号规定与前面的相同。
2.6 结论与讨论
结
结论
论 与
• 一个重要概念
讨 论
• 三个微分方程
结
• 一套方法
论
讨论
结
论
与
比较前面三个梁的受力、剪力
讨 论
和弯矩图的相同 之处和不同
之处，从中能得到什么重要结
讨
论？
论
FQ
结
论
与
讨
FQ
论
讨
FQ
论
确定控
结 论 与 讨
制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎
论 样确定弯矩
图上极值点
讨 处的弯矩数
4. 在梁的某一截面上剪力为零，则在这一截面上弯矩有极值。
5. 在梁的某一截面上若作用有集中力，则此处剪力图有突变，突变的值 恰好等于集中力的数值。
6. 在梁的某一截面上若作用有集中力偶，则剪力图不发生变化，但此处 弯矩图会发生突变，突变的值恰好等于集中力偶的数值。
二、剪力、弯矩与载荷集度之间的积分关系
AD段 MeD T3 0
C
d) T3
D
T /Nm
T3 MeD 1018.6 N m e)
1018.6 (+)
材料力学--第2章杆件的内力与内力图
轴力图的画法
画轴力图的步骤：求约束反力、求控制截面上的轴 力、画轴力图。 求任一横截面轴力的简便方法：任一横截面上的轴 力等于该截面一侧杆件上所有外力（包括反力）的代数和； 外力背离截面产生拉力，外力指向截面产生压力。 在分布轴向外力作用下，轴力图为斜直线或曲线。 没有分布轴向外力作用时，整个杆件轴力图为平行于杆件
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上 的内力──扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截 面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心 的合力矩，称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
Me Me
Me
Mx
n
－ 右手螺旋定则
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线 方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在 轴上的外力偶矩。 当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴
D
E
2
FA
40kN
FN2
F
x
0， FN2 FA 40 0， FN2 50kN(拉)
第2章 杆件的内力和内力图
求CD段内的轴力
◎ 轴力与轴力图
FA
A
40kN B
55kN
25kN
20kN
C
3
D
E
FN3
25kN
20kN
F
x
0， FN3 25 20 0， FN3 5kN(压)
第2章 杆件的内力和内力图
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： FN2 B FB FN3 C FC C FC FN4 FN 2F 5F
◎ 轴力与轴力图
杆件的内力与内力图轴向拉压杆的内力轴力图轴向拉压杆的内力轴
Fθθ34轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力为轴力，用F N 表示轴力的大小：由平衡方程求解PN ,0F F F x ==∑轴力的正负：拉力为正；压力为负轴力的单位：N ；kN6轴向拉压杆的内力轴力图解：应用截面法，在F N1，由∑F x ＝0kN5.21P 1N ==F F kN5.13P 2P 1P 2N -=-=-=F F F F 在2－2截面截开，画出正向的F N2，由∑F x ＝089= 6 kN = -4 kN轴力图画在受力图正下方；10轴向拉压杆的内力轴力图例2 图示一砖柱，柱高3.5m ，截面尺寸370×370mm 2，柱顶承受轴向力F P ＝60 kN ，砖砌体容重ρ.g ＝18 kN/m 3。
试绘柱的轴力图。
11轴力图应用截面法，由平衡方程求得：kN46.260P y y A g F --=⋅⋅⋅-ρ,kN 6.68)5.3(,kN 60)0N -=-=F ㈠F N /kNy68.66012轴向拉压杆的内力轴力图等截面直杆在上端A 处固定，其受力如图试绘制杆件的轴力图。
kN,10kN,5P2=F l(a)Cl（b）机械传动轴杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动ϕ1720扭矩沿轴线的变化规律e21221. 外力偶矩的计算m N ⋅=1146AmN ⋅=3509549n PB m N ⋅=446n D23扭矩的计算m N 350e ⋅-=-=B M m N 700e e ⋅-=--B C M M mN 446e ⋅=D M 扭矩图问题：如将轮A 与轮C 互换，扭矩图如何？哪种布置受力更合理？mN 700max ⋅=轴力图剪力图和弯矩图组合变形杆件的内力与内力图25梁的外力和内力均可仅由静力平衡方程求解27纵向对称面内时，梁的轴线由位于纵向对称面内的直28单跨静定梁的三种基本形式由静力平衡方程无法全部确定梁所有外力和内力29平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图：剪力F S 和弯矩M 求内力的方法：截面法A F R =M MaF A R =30平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图单位；kNN ·m ；kN ·m31截面，并取右段研究221qa -33平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图剪力方程剪力沿梁轴线的变化规律，即F S =F S (x )弯矩方程弯矩沿梁轴线的变化规律，即M=M (x )按比例绘出F S (x )的图线按比例绘出M (x )的图线剪力图和弯矩图受力分析，画受力图，由平衡方程求支座约束力分段列出剪力方程和弯矩方程，标出变量x 的取值根据剪力方程，求各控制面的剪力值，按比例绘剪力图。
材料力学M2
内力图
q(x) q(x) q(x)
q(x) q(x) q(x)
FQ FQ FQ QQ F
qa/2 qa/2
x x x
例 题 一
M
内力图
q(x) q(x) q(x) q(x) q(x) q(x)
FQ FQ FQ FQ
qa
qa2/2
qa2 x x
例 题 二
x x
M M
内力图
q(x)
q(x)
q(x)
q(x)
FQ
q(x) q(x)
比较三种情形下梁的 受力、剪力和弯矩图的 相同 之处和不同之处
q(x)
FQ
q(x)
FQ
从中能得到什么 重要结论？
结论与讨论
q(x)
确定控 制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎 样确定弯矩 图上极值点 处的弯矩数 值？
q(x)
FQ
结论与讨论
确定控制面上剪力和弯矩有几种 方法？怎样确定弯矩图上极值点处的 弯矩数值？
结论与讨论
力系简化方法应用于确定控制面上剪力和弯矩 FP
a FP FP
a FQ= FP
FP a
FQ= FP
M= FP a M= FP a
结论与讨论
通过平衡微分方程的积分确定弯矩图上 极值点处的弯矩数值。
q(x) q(x)
dM FQ dM FQ dx dx
a e a
dM
FP2
FQ
FQ y
M
x
FQ
z
FN
Mx
z
平衡微分方程
总体平衡与局部平衡的概 念
平衡微分方程
总体平衡与局部平衡的概念
第二章 杆件的内力分析
3 3
B 6 kN
2 2
C 3 kN 1
解： 1.分段求轴力
D
6 kN
FN 1
3 kN 3 kN
1
10 kN 10 kN 10 kN
1 、CD段
F
x
0, 10 FN1 0
FN 2
FN 1 10(kN) 2、BC 段
6 kN
3 kN 3 kN
F
x
0, 10 2 3 FN 2 0
若有单位需写上单位。
9
试作图示杆在均布荷载q作用下的轴力图。
B
x
ql
●
q
l
x
A
●
FN
FN ( x) qx
10
2、T及T图
(轴：发生扭转变形的杆件）
功率：P
单位：kW, PS
转速：n
外力偶矩：
单位：rpm
r/min
P kW m N m 9549 n rpm
P (PS) m (N m) 7024 n (rpm)
FN FN
FN为正
FN为负
扭矩T ：外法线方向为正，内法线方向为负
T T
T为正
T为负
4
剪力（FS）：顺时针为正，逆时针为负
FS FS
FS为正
FS为负
弯矩（M）：下凸上凹为正,上凸下凹为负
M为正
M为负
5
2. 内力分量的确定 利用研究对象的静力平衡条件：
F M
x
0 0
F
y
0
y
F
z
0
z
FN 3
6 kN
3 kN
10 kN
(参考资料)材料力学72-必做题
第二章杆件内力与内力图２－２（b）、（d）、（g）试作图示各杆的轴力图，并确定最大轴力| F N |max 。
２－３（b）试求图示桁架各指定杆件的轴力。
２－4（c）试作图示各杆的扭矩图，并确定最大扭矩| T |max 。
２－5图示一传动轴，转速n ＝200 r/min ，轮C为主动轮，输入功率P＝60 kW ，轮A、B、D均为从动轮，输出功率为20 kW，15 kW，25 kW。
（1）试绘该轴的扭矩图。
（2）若将轮C与轮D对调，试分析对轴的受力是否有利。
2－8（a）、（c）、（e）、（g）、（h）试列出图示各梁的剪力方程和弯矩方程。
作剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值。
2－9（a）、（c）、（d）、（f）、（g）、（i）、（k）、（l）、（m）试用简易法作图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值，并用微分关系对图形进行校核。
2－10设梁的剪力图如图（a）(d)所示(见教材p39)。
试作弯矩图和荷载图。
已知梁上无集中力偶。
2－11（b）试用叠加法绘出图示梁的弯矩图。
2－6一钻探机的功率为10 kW，转速n =180 r/min。
钻杆钻入土层的深度l= 40m。
若土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m，并作钻杆的扭矩图。
2－14图示起重机横梁AB承受的最大吊重F P＝12kN，试绘出横梁AB的内力图。
第三章轴向拉压杆件的强度与变形计算3－1图示圆截面阶梯杆，承受轴向荷载F1＝50kN与F2的作用，AB与BC段的直径分别为d1＝20mm与d2＝30mm，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求荷载F2之值。
3－5变截面直杆如图所示。
已知A1＝8cm2，A2＝4cm2，E＝200GPa 。
求杆的总伸长量。
3－7图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，其弹性模量E＝210GPa ，已知l ＝1m，A1＝A2＝100mm2，A3＝150mm2，F P＝20kN 。
2章-杆件的内力与内力图-拉压、扭转
§ 2.1 基本概念
2.1.1 内力的概念
《物理学》：指微粒之间的相互作用力，由于这 个作用力的不同，使物体呈现出不同的形态。
《静力学》中：物体之间的相互约束力，称为内约 束力。
此处讲解的内力：在物理学内力的基础上， 变形体在外因的作用下（荷载、温度变化……）， 发生变形，体内各点发生相对位移，从而产生抵 抗变形的相互作用的附加内力，简称内力
4. 建立FN－x坐标系，画轴力图
FN－x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方 向，FN坐标轴垂直于x轴。
将所求得的各控制面上的轴力标在FN－x坐标 系中，得到a、和c四点。因为在A、之间以及 、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的 轴力分别与A（或）截面以及C（或）截面相同 。这表明a点与点心”之间以及c点之间的轴力 图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力 图。
Mx
z Mz
FR M FNx FQy FQz Mx My Mz
FNx——轴力 FQy、 FQz——剪力 Mx——扭矩
My、MZ——弯矩
2.1.2 内力与外力的关系——截面法 1 弹性变形体的平衡原理 2 求内力的方法——截面法
应用平衡的概念，不仅可以确定 构件的支座反力，而且还可以确定构件 上任意横截面上的受力-内力及其沿构 件轴线方向的变化规律，以找出最危险 的截面。
面上的轴力均为正方向（拉力）， 并考察截开后下面部分的平衡。
3. 应用截面法求控制面上的轴力
用 假 想 截面 分 别 从 控 制 面 A、 B'
、B"、 C处将杆截开，假设横截面
FA
FNA 上的轴力均为正方向（拉力），并考
察截开后下面部分的平衡，求得各截
A
A 面上的轴力：
内力与内力图
常见载荷作用下剪力图和弯矩图的特点
若一段梁上无载荷（即q=0），则剪力图为水平直线，弯 矩图为倾斜直线。剪力为正时，弯矩图为向右上方倾斜的 直线，剪力为负时则弯矩图向右下方倾斜，剪力为零时弯 矩图成为水平直线。 若一段梁上作用着均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图 为二次抛物线。若均布力方向向下，则剪力图为向右下方 倾斜的直线，弯矩图为开口向下的抛物线，抛物线的顶点 的剪力等于零的截面。 在集中力作用的截面上，剪力图有突变，变化值等于该集 中力的大小，弯矩图上由出现折角。 在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图上有突 变，变化值等于该集中力偶的力偶矩的大小。
2
ql
五 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
在例3中，将弯矩方程对x求一阶导数，得
dM qx F Q dx
将剪力方程对x求一阶导数，得
dF Q dx
q
也就是说，弯矩方程对x的一阶导数等于剪力方程；剪力方程对x的一阶导数 等于载荷集度。这一关系并非只存在于该问题中，而是普遍成立的一个规律。 根据导数的几何意义，以上关系表明：弯矩图上某点的切线的斜率，等于对 应截面上的剪力；剪力图上某点切线的斜率等于对应截面上的载荷集度。根 据这一规律，还可得到常见载荷下剪力图和弯矩图的特点。
例4
例4 外伸梁受力如图所示，试画出其剪力图和弯矩图。
解：（1）根据梁的平衡条件求出梁的支座反力。
FA
qa 4
FB
3qa 4
例1 杆件受力如图所示,求指定截面上的轴力并画出轴力图。
• • • • • • • • • • • • • • 解：（1）用截面法求内力。 沿截面1-1截开，由左侧一段的平衡，有 FN1+10=0 所以 FN1=-10（kN） 沿截面2-2截开，由左侧一段的平衡，有 FN2-40+10=0 所以 FN2=40-10=30（kN） 沿截面3-3截开，由右侧一段的平衡，有 -FN3+20=0 所以 FN3=20（ kN ） （2）根据计算结果作出轴力图。 （3）讨论：由以上计算过程可以看出，将 平衡方程中的外力都移至等号右端，则有 FN=ΣFie 也就是说，横截面上的轴力，等于其左侧 （或右侧）一段杆上所有外力的代数和。掌 握这一关系，有利于快速计算轴力并画出轴 力图。
材料力学第02章 拉伸、压缩与剪切
⊕
Ⅰ － ○ 20 kN
⊕
F
x
0
FN1
Ⅰ 80kN Ⅱ
FN2 60 80 0
FN2 20kN
FN2 第三段:
Ⅲ
30kN
60kN
F
x
0
Ⅱ
FN3 30 0
FN3 30kN
FN3
Ⅲ
例2
3kN
画图示杆的轴力图
2kN 2kN 10 kN 4kN 8kN
A
3kN
B
C
D
脆性材料 u （ bc） bt
u
n
n —安全因数 —许用应力
塑性材料的许用应力
脆性材料的许用应力
s
ns
bt
nb
p 0.2 n s bc n b
§2-6
§2-7 失效、安全因数和强度计算
解： A 轴力图
A1 B
○ －
A2 60kN 20 kN C D 20 kN ⊕
AB
BC
CD
FN AB 40 103 20MPa A1 2000 FN BC 40 103 40MPa A2 1000 FN CD 20 103 20MPa A2 1000
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
0 FN F 0 FN F
F
§2-2
x
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
目录
例1
60kN
画图示杆的轴力图
Ⅰ
80kN
Ⅱ
Ⅲ 50kN
30kN
第一段:
杆件的内力分析--材料力学
取3-3截面右侧分析 列方程
M
x
0
M x 3 TD 0
M x 3 TD 2859 N m
由上述计算得到扭矩 值
M x1 4300 N m M x 2 6690 N m M x 3 2859 N m
画扭矩图
课堂练习（时间 3分钟） 试画出下面轴的扭矩图
力矩矢方向
力矩旋转方向
根据平衡，截面上有内力矩Mx—扭矩 由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向
扭矩的正负号规定 按照右手螺旋法则， 扭矩矢量的指向与截 面外法线方向一致为 正，反之为负。
力矩矢方向
扭矩矢量 Mx n
力矩旋转方向
截面
截面外法线
1、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）； 2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢； 3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正 方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小； 4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出 扭矩图。
将外力矩转换为力矩 矢量
取1-1截面左侧分析 将截面上的扭矩设为 正 列方程
M
x
0
TB M x1 0
M x1 TB 4300 N m
取2-2截面左侧分析 列方程
M
x
0
TB TC M x 2 0
M x 2 TB TC 6690 N m
• 2-2直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力 图
工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：
一些机器和结构中所 用的各种紧固螺栓，在紧 固时，要对螺栓施加预紧 力，螺栓承受轴向拉力， 将发生伸长变形。
这些杆件所受的外力特征可以描述为： 作用在杆上的外力的合力作用线与杆的轴线重合
材料力学PPT第二章
Q235钢的主要强度指标：s = 240 MPa，
b = 390 MPa
低碳钢拉伸试件图片
试件拉伸破坏断口图片
结合压缩曲线得到结论：颈缩过程，材 料的力学性质发生变化
塑性指标
1.延伸率
l1 l 100%
l
2.断面收缩率
A A1 A
100%
l1----试件拉断后的长度
A1----试件拉断后断口处的最小 横截面面积
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 FN1 cos 45 FN 2 0
x
Fy 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
A
FN1 28.3kN FN 2 20kN
1
2、计算各杆件的应力。
45° B
C
2
FN1
F
y
FN 2 45° B x
F
a
c
b
d
F FN dA
bd
A
dA A
A
FN
A
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
例题2.2
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
≥5%—塑性材料 ＜5%—脆性材料 σ
Q235钢： 20% ~ 30% ≈60%
冷作硬化
O
应力-应变（σ-ε）图
注意：
(1) 低碳钢的s，b都还是以相应的抗力除以试
第二章 杆件的内力
活塞杆其计算简图为压杆压杆号规定为：拉伸时，轴力F N 为正；压缩时，轴力F N 为负。
外力不能沿作用线移动。
因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性不成立。
对变形体而言，力是定位矢量。
2、轴力图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图。
将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。
例2-1 求如图所示杆件的内力，并作轴力图。
解:1)AB 段：以截面1-1将杆分为两段，取左段（图（b ）），由平衡方程,0=∑x F 061N =-F 得kN 61N =F2)BC 段：以截面2-2将杆分为两段，取左段（图(c)），由平衡方程,0=∑x F 01862N =+-F 得kN 122N -=F2N F 的方向与图中所示方向相反。
2)CD 段：以截面3-3将杆分为两段，取右段（图(d)），由平衡方程,0=∑x F 043N =--F 得 kN 43N -=F3N F 的方向与图中所示方向相反。
画在x 轴下方。
例功率分别为P B ＝P C解：1=M A =M B =M D 2BC 段：以截面分（图(b)）得负号说明1T 同理，在CA 段内，02=++B C M M Tm N 7002⋅-=--=B C M M T在AD 段内，03=-D M T m N 4463⋅==D M T3）以横坐标x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘出扭矩图。
正的扭矩画在x 轴上侧，负的扭矩画在x 轴下侧。
或具有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯曲。
⎪⎭⎪⎬⎫=⋅-⋅==-+=∑∑03,0)(0,0l F l FF M F FF F B ABAy，得F F F F B A 31,32==2.求截面1－1上的内力F F F A D 32S == Fa a F M A D 32=⋅=同理,对于C 左截面：Fl l F M F F F C A C 92332,32S =⋅==＝左左对于C右截面：3S FF F F A C -=-=右Fl l F M A C 923=⋅=右负号表示假设方向与实际方向相反。
材料力学 第2章
第二章杆件的内力分析第一节杆件拉伸或压缩的内力一、轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩：由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的，沿杆件长度发生的伸长或缩短。
二、工程实例三、轴力轴力图1、轴力与杆轴线重合的内力合力。
轴力符号：拉伸为正，压缩为负。
∑=0X0122=-+F F N kNF F N 242212-=-=-= ∑=0X34=-N FkNF N143==任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向载荷的代数和，轴向载荷矢量离开该截面者取正，指向该截面者取负。
2、轴力图正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为x 轴，并称为基线，垂直于x 轴的N 轴为纵坐标。
正值绘在基线的上方，负值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面轴力的大小。
注意：轴力图与基线形成一闭合曲线。
轴力图必须与杆件对齐。
在轴向集中力作用的截面上，轴力图将发生突变，其突变的绝对值等于轴向集中力的大小，而突变方向：集中力箭头向左时向上突变，集中力箭头向右时向下突变（图是从左向右画）。
例2-10第二节剪切的内力一、剪切的概念剪切：由一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力引起的横截面沿外力作用方向发生的相对错动。
剪切面或受剪面 m-m二、工程实例三、剪力第三节杆件扭转的内力一、扭转的概念扭转：由一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的力偶引起的杆的任意两个横截面绕杆轴线的相对转动。
ϕ：扭转角；γ：剪切角二、工程实例三、扭矩某一截面上的扭矩等于其一侧各外力偶矩的代数和。
外力偶矩矢量指向该截面的取负，离开该截面的取正。
四、 扭矩图在外力偶作用的截面上，扭矩图将发生突变，其突变的的绝对值等于该外力偶矩的大小，而突变方向：外力偶矩矢量方向向左的向上突变，向右则向下突变。
外力偶矩的计算公式：)(9550m N nP Mk ⋅=注意：kP 单位为kw ；n 单位为min r ；M 单位为m N ⋅第四节 梁弯曲时的内力一、 弯曲 变形的基本概念弯曲变形：由一对大小相等、方向相反，位于杆的纵向平面内的力偶引起的，杆件的轴线由直线变为曲线。
2杆件内力分析
做图示杆件的内力图
FA=10kN
FA=10kN
2m FN
FA=10kN
20kN
5kN/m
x
2m
2m
20kN FN
FN 10kN (0 x 2m) FN 10kN (2m x 4m)
FA=10kN
20kN
5kN/m FN
FN 20 10 5(x 4) 0
FN 30 5x(kN) (4m x 6m)
FN
max
FN
2
P
内力图
PR
--
R
P
M图
M PRsin （ ）
M
max
M
2
PR
弯矩符号规定：使曲率增加为正；反之为负。
P
FS Pcos
R
-
P
P
FS图
FS max FS 0 FS P
qa 极值条件:FS=0 M图
3qa 4
qa2 4
9qa2 32
3qa2 4
qa2
用叠加法作内力图
做梁的弯矩图
q
A
a
P qa
B
a
a
A
B
C
qa2
8
1 qa2
2
q
qa 2
MP
a 2
qa2
A
B
C
1 qa2
2
Mq
P qa
C
多跨静定梁、刚架及曲杆的内力图
多跨静定梁 —— 带“中间铰”的连续静定梁。
第二章 杆件的内力分析
第二章杆件的内力分析要想对杆件进行强度、刚度和稳定性方面的分析计算，首先必须知道杆件横截面上的内力，因此，本章主要对此作分析讨论。
首先引入了内力的基本概念和求内力的基本方法——截面法，然后讨论了各种变形情况下截面上的内力及求解和内力图的绘制，这是材料力学最基本的知识。
第一节内力与截面法杆件因受到外力的作用而变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。
这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关。
为了研究杆件在外力作用下任一截面m-m上的内力，可用一平面假想地把杆件分成两部分，如图2-1a。
取其中任一部分为研究对象，弃去另一部分。
由于杆件原来处于平衡状态，截开后各部分仍应保持平衡，弃去部分必然有力作用于研究对象的m-m截面上。
由连续性假设，在m-m截面上各处都有内力，所以内力实际上是分布于截面上的一个分布力系（图2-1b）。
把该分布内力系向截面上某一点简化后得到内力的主矢和主矩，以后就称之为该截面上的内力。
但在工程实际中更有意义的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量，如图2-1c，这六个内力分量分别对应着四种基本变形形式，依其所对应的基本变形，把这六个内力分量分别称为轴力、剪力、扭矩和弯矩。
（1）轴力。
沿杆件轴线方向（x轴方向）的内力分量FN，它垂直于杆件的横截面，使杆件产生轴向变形（伸长或缩短）。
（2）剪力。
与截面相切（沿y轴和z轴方向）的内力分量FQy、FQz ，使杆件产生剪切变形。
（3）扭矩。
绕x轴的主矩分量Mx，它是一个力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形。
（4）弯矩。
绕y轴和z轴的主矩分量My、Mz，它们也是力偶，使杆件产生弯曲变形。
为了求出这些内力分量，只需对所研究部分列出平衡方程就可。
这种计算截面上内力的方法通常称为截面法。
其步骤可归纳为：(1) 沿需要计算内力的截面假想地把构件分成两部分，取其中的任一部分作为研究对象, 弃去另一部分。
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第3章 最简单的 材料力学
问题
第4章 弹性杆件 横截面上的 正应力分析
第5章 弹性杆件 横截面上的 切应力分析
第6章 应力状态分析
第7章 一般应力状态下的 强度失效分析与设计准则
第9章 弹性杆件 的位移分析 与刚度设计
第10章 压杆的弹性 稳定性分析 与稳定性
材料力学
ΣFy=0:
FQ+q dx- FQ－d FQ =0
ΣMC=0: -M+(M+dM)- FQ dx-q dx ·dx /2=0
略去高阶项，得到
dFQ q dx
dM dx FQ
d2M q dx 2
此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。
根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ 、M 的变化规律。
解方程得：FRA＝-0.89 kN , FRB＝-1.11 kN
材料力学
例题2-3
1kN.m
A
C
FRA
1.5m
1.5m
D
2kN
1.5m
B FRB
简支梁受力的大小和方向如图示。试画 出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯 矩绝对值的最大值。
解：1、求支反力
列平衡方程： M A 0, FRB 4.5 2 3 1 0 M B 0, FRA 4.5 1 21.5 0
试画出：杆件的轴力图。
解：1 求约束反力 FRA F2 F1 5kN
2 求AB段轴力
FAB FRA 5kN 3 求BC段轴力
FBC FRA F1 5 5 10kN
l
l
FRA A
B F1
C F2
FRA
FRA
FAB F1 FBC
材料力学 4 画轴力图
l
FRA A
B F1
C F2
FRA
材料力学
剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图大体相似，但略有差 异。主要步骤如下： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。 建立FQ——x和M——x坐标系，并将控制面上的剪力 和弯矩值标在相应的坐标系中。 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩 图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
材料力学
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必 然是平衡的。
材料力学
C
截面法
用假想截面从所要 求的截面处将杆截为 两部分 考察其中任意一部 分的平衡 由平衡方程求得横 截面的内力分量
Fx＝0， Fy＝0， M C＝0，
材料力学
例题2-4（P32)
例题2-5(P34)
q
材料力学
梁(杆件)弯曲变形时 外力与内力之间的关系
材料力学
平衡微分方程
y
O
x
x
dx
考察 dx 微段的受力与平衡
q(x)
M
M+d M
FQ
FQ+ dFQ
材料力学
考察 dx 微段的受力与平衡
y
q(x)
M
M+d M
O
C
x
FQ
FQ+ dFQ
ΣFy=0:
FQ+q dx- FQ－d FQ =0
ΣMC=0: -M+(M+dM)- FQ dx-q dx ·dx /2=0
向上凹的变形
⊕ Mz Mz
⊕ Mx
Mx
材料力学
杆件拉压变形时的内力图
材料力学
轴力图
当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的横截面 上只有轴力FN一种内力分量。表示轴力沿杆轴线方 向变化的图形，称为轴力图（diagram of normal forces）。
材料力学
例题2-1
直杆，A端固定，在B、C两处 作 用 有 集 中 载 荷 F1 和 F2 ， 其 中 F1＝5 kN，F2＝10 kN。
F1
分布内力
F
F1
3
FR
内力主矢与主矩
F3
M
材料力学
内力分量
FQ
FR
FN
Mx
MB
M
FN——轴力：产生轴向的伸长或缩短变形； FQ——剪力：产生剪切变形； Mx——扭矩：产生扭转变形； MB（ My或Mz)——弯矩:产生弯曲变形。
材料力学
内力分量的正负号规则
左上右下的剪切变形
⊕ FNx FNx ⊕ FQy FQy
变截面传动轴受外加扭力矩作用，如下图所示。试画出扭矩图。
2M e
5M e
3M e
解： 2M e
l
l
M x 2M e
Mx
M x 3M e
Mx
Mx
3M e
＋
－
2Me
3M e x
材料力学
梁(杆件)弯曲变形时的内力
材料力学
弹性体的平衡原理
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必 然是平衡的。
q
A
B
C
C
q
A
B
D
qa
FRA
FRB
4a
a
l
FRA l
FRB
FQ 9qa/4
＋
M
81qa2/32
x
－
qa 7qa/4
＋
qa2
x
FQ
ql
＋
x
－
ql
ql2/2
M
＋
x
材料力学
杆件内力变化的一般规律
在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变 化（函数连续）。
材料力学
控制面
外力规律发生变化截面——集中力、集中力偶作用 点、分布荷载的起点和终点处的横截面。
材料力学
杆件扭转变形时的内力图
材料力学
扭矩图
{M e}Nm
9549
{P}kW {n}r / min
{M e}Nm
7024
{P}马力 {n}r / min
当所有外力均沿杆的轴线方向作用的力偶时，杆的 横截面上只有扭矩Mx一种内力分量。表示扭矩沿杆 轴线方向变化的图形，称为扭矩图。
材料力学
例题2-2
FRA
FAB F1 FBC
l
FN/kN
＋5
＋ 10
x
材料力学
根据以上分析，绘制轴力图的方法
确定约束力； 根据杆件上作用的载荷以及约束力的作用点，将杆分成 若干段； 应用截面法，用假想截面从每段的某处将杆件截开， 在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开 的部分杆件建立平衡方程，确定轴力大小； 建立FN—x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中， 画出轴力图。
设计
第8章 复杂情况下的强度设计
材料力学
内力与内力分量
材料力学
弹性体在外力作用下产生的附加内力
F1
F2
F3 F1
假想截面
F
3
Fn
F
2
Fn
材料力学
弹性体内力的特征:
F1 F
2
F Fn
3
(1)连续分布力系 (2)与外力组成平衡力系(特殊情形下内力本身形成自 相平衡力系)
材料力学
内力主矢与内力主矩
材料力学
梁(杆件)弯曲变形时的内力图
材料力学
剪力图与弯矩图
作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时梁 的横截面上只有剪力FQ和弯矩M两种内力分量。表 示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分别称为 剪力图（diagram of shearing forces）和弯矩图 （diagram of bending moment）。