高等数学(上册)-第3章第1讲(微分中值定理)[16页]
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微分中值定理【高等数学PPT课件】
可导，且
证：设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广： 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.
时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
《微分中值定理》课件
傅里叶级数：描述周期函数 可以分解为无穷多个正弦函 数的和
积分中值定理的应用：求解 定积分、证明不等式等
积分中值定理：描述函数在 某区间上的平均值与该区间 内函数值的关系
傅里叶级数的应用：信号处 理、图像处理、数据分析等
06
微分中值定理的习题和 解析
基础题目解析
题目：求函数f(x)=x^2+2x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值 题目：求函数f(x)=x^3-2x^2+3x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值
解决实际问题：微分中值定理在物理、工程等领域的实际问题中有广泛应用。
优化算法：微分中值定理在优化算法中有重要应用，如梯度下降法、牛顿法等。
证明不等式：微分中值定理在证明不等式方面有广泛应用，如拉格朗日中值定理、柯西 中值定理等。
解决微分方程：微分中值定理在解决微分方程方面有重要应用，如欧拉-拉格朗日方程、 庞加莱方程等。
提高题目解析
分析题目：分析题目中的已 知条件和未知条件，找出题 目中的关键信息
理解题目：明确题目要求， 理解题目中的关键词和条件
解题步骤：列出解题步骤， 每一步都要有明确的依据和
理由
解题技巧：总结解题技巧， 如使用公式、定理、图形等
工具进行解题
综合题目解析
题目类型：微 分中值定理的
综合题目
题目来源：教 材、习题集、
03
微分中值定理的基本概 念和性质
导数的定义和性质
导数的定义：函数在某一点的切线 斜率
导数的计算方法：极限法、导数公 式、导数表
积分中值定理的应用：求解 定积分、证明不等式等
积分中值定理：描述函数在 某区间上的平均值与该区间 内函数值的关系
傅里叶级数的应用：信号处 理、图像处理、数据分析等
06
微分中值定理的习题和 解析
基础题目解析
题目：求函数f(x)=x^2+2x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值 题目：求函数f(x)=x^3-2x^2+3x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值
解决实际问题：微分中值定理在物理、工程等领域的实际问题中有广泛应用。
优化算法：微分中值定理在优化算法中有重要应用，如梯度下降法、牛顿法等。
证明不等式：微分中值定理在证明不等式方面有广泛应用，如拉格朗日中值定理、柯西 中值定理等。
解决微分方程：微分中值定理在解决微分方程方面有重要应用，如欧拉-拉格朗日方程、 庞加莱方程等。
提高题目解析
分析题目：分析题目中的已 知条件和未知条件，找出题 目中的关键信息
理解题目：明确题目要求， 理解题目中的关键词和条件
解题步骤：列出解题步骤， 每一步都要有明确的依据和
理由
解题技巧：总结解题技巧， 如使用公式、定理、图形等
工具进行解题
综合题目解析
题目类型：微 分中值定理的
综合题目
题目来源：教 材、习题集、
03
微分中值定理的基本概 念和性质
导数的定义和性质
导数的定义：函数在某一点的切线 斜率
导数的计算方法：极限法、导数公 式、导数表
高数3_1微分中值定理.ppt
例4. 设
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
设
则
在 [0, 1] 上满足柯西中值
定理条件,
因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,
使
即
证明
例5. 试证至少存在一点
使
证:
法1 用柯西中值定理 .
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,
令
因此
即
且
由介值定理知存在
使
即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
至少存在一点
但
矛盾,
故假设不真!
设
二、拉格朗日中值定理
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续
满足:
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点
使
思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
至少存在一点
使
满足 :
问题转化为证
构造辅助函数
证: 作辅助函数
且
使
即
由罗尔定理知, 至少存在一点
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
两个 不 一定相同
错!
上面两式相比即得结论.
柯西定理的几何意义:
注意:
弦的斜率
切线斜率
令
则
例2. 证明等式
证: 设
由推论可知
(常数)
令 x = 0 , 得
又
故所证等式在定义域 上成立.
自证:
经验:
高等数学第三版第三章课件(每页16张幻灯片)
A
∃ x 0 ∈ (0,1), 使 f ( x 0 ) = 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 ∈ (0,1), x1 ≠ x 0 , 使 f ( x1 ) = 0.
ξ ，使等式
线平行于弦 AB .
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
f ( b ) − f ( a ) = f ' ( ξ )( b − a ) 成立.
= lim
x →0
原式 = lim e
x →0
1 ln x 1− x 1 ln x
=e
1 lim x x → 1 −1
=e .
−1
例11 求 lim+ (cot x )
(∞ )
0
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 取对数得 (cot x )
1 ln x
1 1 − ⋅ 2 1 = lim+ cot x sin x ∵ lim+ ⋅ ln(cot x ) 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
+
解
原式 = lim+ e x ln x = e x → 0+ x →0
lim x ln x
=e
x →0+
1 x
=e
x →0+ −
lim
1 x 1
x2
= e 0 = 1.
20
例10 解
求 lim x
x →1 x →1
1 1− x
.
(1 )
=e
.
=e
ln x x → 11− x lim
高等数学课件--D3_1微分中值定理
同济高等数学课件
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例5. 试证至少存在一点
证: 法1 用柯西中值定理 . 令
使
f ( x) sin ln x ,
F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e) f (1) f ( ) , ( 1, e ) 因此 F (e) F (1) F ( ) 1 cos ln 即
罗尔定理条件.
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4. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f ( x) f (0) f ( )( x 0) ,
即
(0 , x )
1 1 x 2 sin 1 ( 2 sin cos ) x, (0 , x) x
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柯西定理的几何意义:
弦的斜率
切线斜率
x F (t Hale Waihona Puke y f (t )注意:
y f (b)
d y f (t ) d x F (t )
f (a) O F (a)F ( )
同济高等数学课件
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F (b) x
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y
y f (x)
O a
b x
在( a , b ) 内至少存在一点
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
使 f ( ) 0.
故在[ a , b ]上取得最大值
因此
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 使 则至少存在一点 不妨设
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例5. 试证至少存在一点
证: 法1 用柯西中值定理 . 令
使
f ( x) sin ln x ,
F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e) f (1) f ( ) , ( 1, e ) 因此 F (e) F (1) F ( ) 1 cos ln 即
罗尔定理条件.
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4. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f ( x) f (0) f ( )( x 0) ,
即
(0 , x )
1 1 x 2 sin 1 ( 2 sin cos ) x, (0 , x) x
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柯西定理的几何意义:
弦的斜率
切线斜率
x F (t Hale Waihona Puke y f (t )注意:
y f (b)
d y f (t ) d x F (t )
f (a) O F (a)F ( )
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F (b) x
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y
y f (x)
O a
b x
在( a , b ) 内至少存在一点
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
使 f ( ) 0.
故在[ a , b ]上取得最大值
因此
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 使 则至少存在一点 不妨设
§3.1-微分中值定理PPT课件
1 x2
1 x2
f ( x) C , x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 ,
即
C
.
arcsin
x
arccos
x
2
.
2
2
2
说明 欲证x I , f ( x) C0 ,只需证在 I上
f ( x) 0,且 x0 自证 arctan x arc
则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
广义微分中值定理
20
微分中值定理
柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影 响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
0
由条件,则 f ( x1 ) f ( x2 ), 即在区间I中任意两
点的函数值都相等,所以, f ( x) C.
17
微分中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x0) arcsin x0 arccos 0x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0.由推论
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
x1
1 (4 3
37),
大一高数上_1完整_第三章ppt课件
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx
《微分学中值定理》课件
a. 证明f(x)在区间[a,b]上连续 b. 证明f(x)在(a,b)内可导 c. 利用极限的定义证明柯西定理
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解
《微分中值定理》课件
2
高阶导数的定义
解释高阶导数的概念和意义，以及它在微分中值定理中的应用。
3
集中型与散布型表述
用集中型表述和散布型表述两种方式来理解高阶微分中值定理。
4
示例
通过具体的案例，演示高阶微分中值定理的应用和实际意义。
应用
最值问题
通过微分中值定理，我们可以解决一些与最值有关的问题，如寻找函数在某个区间内的最大 值或最小值。
《微分中值定理》PPT课 件
微分中值定理是微积分的重要定理之一，它揭示了函数在一定条件下的平均 变化率？
微分中值定理是用来研究函数在某个区间内的平均变化率和瞬时变化率之间 的关系的定理。
通过微分中值定理，我们可以推导出很多重要的结论，从而更好地理解函数 的性质和行为。
函数增减性及局部极值
微分中值定理可以帮助我们研究函数的增减性和局部极值点的存在性和位置。
平均值定理
微分中值定理中的平均值定理是函数平均变化率与瞬时变化率之间的关系的重要推论。
总结
微分中值定理的意义和 应用
微分中值定理是理解函数性 质和行为的重要工具，它帮 助我们研究函数的变化规律 和特性。
注意事项
一阶微分中值定理
1
集中型与散布型表述
2
一阶微分中值定理可以用集中型表述和
散布型表述两种不同的方式来描述。
3
公式推导
利用一阶导数的性质，推导出一阶微分 中值定理的公式。
示例
通过实际的例子，展示一阶微分中值定 理的应用和意义。
高阶微分中值定理
1
公式推导
通过对高阶导数进行推导，得到高阶微分中值定理的公式。
使用微分中值定理时需要注 意条件的限制和推导过程的 合理性，以确保结果的准确 性和可靠性。
高等数学-第3章课件
第二节 洛必达法则
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数 f (x) 与 F(x) 都趋于零或都趋于无穷大,那么 极限 lim f (x) 可能存在,也可能不存在.通常
xa F(x)
( x )
把这种极限称为 0 或 型未定式. 0
一、0 型未定式 0
定理3.2.1 (洛必达法则)
(1) lim f (x) lim g(x) 0 ;
第三节 函数单调性的判定法
定理3.3. 1 (函数单调性的判别法) 设函数 y=f (x)在开区间(a,b)的内可导，则 (1) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) >0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调增加; (2) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) <0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调减少.
第五节 函数曲线 y=f(x)在区间(a,b)内各点均有切线. 如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凹弧或凹的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凹区间. 如果曲线弧总位于切线的下方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凸弧或凸的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凸区间.
函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与 极小值点统称为极值点.
定理3.4.1 (极值存在的必要条件) 若函数 f(x) 在点 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则 必有 f'(x0) =0 . 定义3.4.2 使导数 f'(x)等于零的点 x0 ,称为函数 f(x)的驻点.
定理3.4.2 (极值存在的第一充分条件)
二、拉格朗日中值定理
定理3.1.2 (拉格朗日中值定理) 若函数 f(x) 满足: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; 则在(a,b)的内至少存在一点 ξ ,使得 f(b) - f(a)= f'(ξ )(b-a)
《微分中值定理》课件
《微分中值定理》ppt课件
目录
• 微分中值定理的概述 • 罗尔定理 • 拉格朗日中值定理 • 柯西中值定理 • 泰勒中值定理
01
微分中值定理的概述
微分中值定理的定义
微分中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可导， 则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
罗尔定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可 导，且$f(a) = f(b)$，则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = 0$。
拉格朗日中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可导， 则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
详细描述
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内 至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理的证明
总结词
详细介绍了拉格朗日中值定理的证明 过程。
详细描述
通过构造辅助函数g(x)=f(x)-f(a)[f(b)-f(a)]*(x-a)/(b-a)，利用罗尔定 理证明存在ξ属于(a, b)，使得g'(ξ)=0 ，从而得到拉格朗日中值定理的结论 。
应用三
研究极值问题。柯西中值定理可以用于研究函数的极值问题，通过分 析导数的符号变化，可以判断函数在某点是否存在极值。
05
泰勒中值定理
泰勒中值定理的表述
目录
• 微分中值定理的概述 • 罗尔定理 • 拉格朗日中值定理 • 柯西中值定理 • 泰勒中值定理
01
微分中值定理的概述
微分中值定理的定义
微分中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可导， 则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
罗尔定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可 导，且$f(a) = f(b)$，则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = 0$。
拉格朗日中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可导， 则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
详细描述
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内 至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理的证明
总结词
详细介绍了拉格朗日中值定理的证明 过程。
详细描述
通过构造辅助函数g(x)=f(x)-f(a)[f(b)-f(a)]*(x-a)/(b-a)，利用罗尔定 理证明存在ξ属于(a, b)，使得g'(ξ)=0 ，从而得到拉格朗日中值定理的结论 。
应用三
研究极值问题。柯西中值定理可以用于研究函数的极值问题，通过分 析导数的符号变化，可以判断函数在某点是否存在极值。
05
泰勒中值定理
泰勒中值定理的表述
高等数学：第3章 第一节：微分中值定理
证明：任取 x1, x2 I , 不妨设 x1 x2 , 在[ x1, x2 ]上, f ( x)满足拉格朗日定理条件,
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ), x1 x2 又 f ( ) 0 , f ( x2 ) f ( x1 ) 0
即 f ( x2 ) f ( x1 ) 所以 f ( x)在区间I 上恒等于一个常数.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M .
由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0.
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x) （1）在闭区间 [a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导,
（3）在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b),
f ( x)在[1,2] , [2, 3]上分别满足 Rolle定理条件,
1 (1,2), 使 f (1 ) 0. 2 (2,3), 使 f (2 ) 0.
显然 1 2 ,且它们都是 f ( x) 0的根.
又 f ( x) 是一个二次多项式, 最多只有两个根.
f ( x)有且仅有两个根1 和2 ,
即C .
arcsin
x
2 arccos
x
.
2
书129例题 例4 证明当x 0时, x ln(1 x) x.
1 x 证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
又 f ( x0 ) 存在, f( x0 ) f( x0 ) f ( x0 )
费马（Fermat）引理 设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, 并且在 x0处可导,如果 x U( x0 ),有
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ), x1 x2 又 f ( ) 0 , f ( x2 ) f ( x1 ) 0
即 f ( x2 ) f ( x1 ) 所以 f ( x)在区间I 上恒等于一个常数.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M .
由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0.
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x) （1）在闭区间 [a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导,
（3）在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b),
f ( x)在[1,2] , [2, 3]上分别满足 Rolle定理条件,
1 (1,2), 使 f (1 ) 0. 2 (2,3), 使 f (2 ) 0.
显然 1 2 ,且它们都是 f ( x) 0的根.
又 f ( x) 是一个二次多项式, 最多只有两个根.
f ( x)有且仅有两个根1 和2 ,
即C .
arcsin
x
2 arccos
x
.
2
书129例题 例4 证明当x 0时, x ln(1 x) x.
1 x 证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
又 f ( x0 ) 存在, f( x0 ) f( x0 ) f ( x0 )
费马（Fermat）引理 设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, 并且在 x0处可导,如果 x U( x0 ),有
高等数学3_1
所以g (b)–g(a)≠0. 以下过程与拉格朗日定理的证明类似, 考 虑辅助函数：
ϕ (x) =f (x)–λ g (x), (λ为待定常数)
为使ϕ (x) 满足罗尔定理条件, 令ϕ(a) =ϕ (b), 则
f (b) − f (a ) λ= , g (b) − g (a )
对ϕ (x)使用罗尔定理，则至少存在一点ξ∈(a, b), 使ϕ′ (ξ)=0, 即
任取x∈(a, b), 由于M为f (x)在区间[a, b] 上的最大值, 故有f (x)≤f (ξ) = M, 于是
f ( x) − f (ξ ) f − (ξ ) = lim ≥ 0, − x →ξ x −ξ f ( x) − f (ξ ) ′ f + (ξ ) = lim+ ≤ 0. x →ξ x −ξ ′
f (b) − f ( a ) = f ′(ξ )(b − a ).
证：过原点作射线OL 平 等 于 弦 AB ， 任 取 x∈[a, b], 作x轴的垂线分别交射 线OL与曲线弧AB于M、N 两点，则有向线段MN的 数值是x的函数，且当x=a 与x=b时，MN的数值相等.
o a A M x b x y N B L
在(2, 3)内至少存在一点ξ2, 使f ′(ξ2)=0,
ξ2也是方程f ′(x)=0的一个实根.
因为 f ′(x)是二次多项式, 所以二次方程 f ′(x)=0只能有两个实根, 分别在区间(1, 2)及 (2, 3) 内.
二、拉格朗日(Lagrange)定理 拉格朗日(Lagrange) (Lagrange)定理
由假定f (x)在I上的导数处处为零, 所以 f ′(ξ)=0, 于是 f (x2)–f (x1)=0, 即f (x2)=f (x1). 由x1, x2的任意性可知, 函数f (x)在区间I 上为一常数.
ϕ (x) =f (x)–λ g (x), (λ为待定常数)
为使ϕ (x) 满足罗尔定理条件, 令ϕ(a) =ϕ (b), 则
f (b) − f (a ) λ= , g (b) − g (a )
对ϕ (x)使用罗尔定理，则至少存在一点ξ∈(a, b), 使ϕ′ (ξ)=0, 即
任取x∈(a, b), 由于M为f (x)在区间[a, b] 上的最大值, 故有f (x)≤f (ξ) = M, 于是
f ( x) − f (ξ ) f − (ξ ) = lim ≥ 0, − x →ξ x −ξ f ( x) − f (ξ ) ′ f + (ξ ) = lim+ ≤ 0. x →ξ x −ξ ′
f (b) − f ( a ) = f ′(ξ )(b − a ).
证：过原点作射线OL 平 等 于 弦 AB ， 任 取 x∈[a, b], 作x轴的垂线分别交射 线OL与曲线弧AB于M、N 两点，则有向线段MN的 数值是x的函数，且当x=a 与x=b时，MN的数值相等.
o a A M x b x y N B L
在(2, 3)内至少存在一点ξ2, 使f ′(ξ2)=0,
ξ2也是方程f ′(x)=0的一个实根.
因为 f ′(x)是二次多项式, 所以二次方程 f ′(x)=0只能有两个实根, 分别在区间(1, 2)及 (2, 3) 内.
二、拉格朗日(Lagrange)定理 拉格朗日(Lagrange) (Lagrange)定理
由假定f (x)在I上的导数处处为零, 所以 f ′(ξ)=0, 于是 f (x2)–f (x1)=0, 即f (x2)=f (x1). 由x1, x2的任意性可知, 函数f (x)在区间I 上为一常数.
高等数学上3.1中值定理
注意: 结论亦可写成
y f (b ) − f (a ) = f ′(ξ ). b−a 思考: 思考 f (b) − f (a ) 表示什么? A b−a
C
y = f (x)
B D
表示直线AB的斜率 表示直线 的斜率. o a 的斜率
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ξ1
下页 结束
ξ2 b
x
几何解释:
y
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB .
y
几何解释: 几何解释:
在曲线弧 AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
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C
y = f ( x)
A
o a
下页
B
ξ1
结束
ξ2 b
x
物理解释: 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 折返点处 瞬时速 度等于零. 度等于零
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例2. 证明方程 正实根 .
有且仅有一个小于1 有且仅有一个小于 的
证: 1) 存在性 . 存在 x0 ∈(0,1) , 使 f ( x0 ) = 0, 2) 唯一性 . 假设另有
使f ( x1 ) = 0,
为端点的区间满足罗尔定理 罗尔定理条件 ∵ f (x)在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
证毕
x < ln(1 + x ) < x . P132例4P132-1 证明当 x > 0时, 1+ x 证 设 f ( x ) = ln(1 + x ),
f ( x )在[0, x ]上满足拉格朗日定理的 条件 ,
高等数学 高数上第三章1微分中值定理CH3-1
首要问题：
f ( x)
联系
？
f ( x )
已知：当 |Δx | 很小时
y dy f x x
可是近似关系，在理论分析与实际应用中很难发挥作用。 微分中值定理则是沟通二者之间的桥梁，是应用导数的局部 性研究函数在区间上整体性的重要工具。微分中值定理为将 导数应用于实践打开了方便之门。
则
2 a a n2 a n 2 n ＜ arctan arctan ＜ 2 2 n n 1 nn 1 nn 1 2 1 2 1 1 a 1 a n n 1
问题 定理结论中的 唯一吗？
想一想
定理中的 只是个理论值，且不唯 一；
问题 定理的条件是充分条件？还是必要条件？
定理的条件是充分条件 ！ 并非必要条件！
y A
y=f(x)
B
问题 定理的条件能否再放宽些呢？
则结论不一定成立！
y y y
0
aξ
b
x
如果定理的三个条件之 一被破坏，
在 (b, a ) 内 f ( x ) 1 存在，则由拉氏定理 x f (a ) f (b ) 1 ， ba ab
有
1 1 1 1 f (a ) f (b ) 1 由于 从而 a b a ab b
2 不等式得证。 综合1，
#
练习3 证明方程 x5 x 1＝0 有唯一正根.
则至少存在一个 a ， b ，使 f (b)－ f ( a ) f ( ) ＝ 成立。 F (b)－F ( a ) F ( )
和拉格朗日中值定理关系？
证明中构造的辅助函数: f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) F ( x) F (b) F (a )
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证 要证明f ( ) f (b) f (a) ，令k f (b) f (a) ，则
ba
ba
f (b) f (a) kb ka，即 f (b) kb f (a) ka
构造辅助函数：令(x) f (x) kx，则有
(a) f (a) ka,(b) f (b) kb, 即(a) (b)
高等数学（上册）（慕课版）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一讲 微分中值定理
主讲教师 |
本讲内容
01 罗尔定理 02 拉格朗日中值定理 03 柯西中值定理
一、罗尔定理
定理3.1 若函数 y f (x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) f (a) f (b).
三、柯西中值定理
定理3.3 若函数 f (x)、F (x) 满足 : (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导，且 F(x) 0;
则至少有一点 (a,b)，使得 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F( )
12
三、柯西中值定理
证 由定理的条件可知f (x)、F (x)都满足拉格朗日定理的条件
则至少有一点 (a,b)，使得 f 0.
注意： (1)条件并非缺一不可； (2)罗尔定理的条件充分而非必要.
证明的关键是： 是区间的内点 (3) 不唯一.
y
C
A
B
O a
bxyaO。 bx3一、罗尔定理
证 因为函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则f (x) 在[a,b]上必有最大值M 和最小值m.于是
ba
ba
且有F (a) F (b) bf (a) af (b) , F x 满足罗尔定理的条件
ba
则至少 (a,b),使得 F f f b f a 0
ba
即
f
f
b
f
a
.
ba
9
二、拉格朗日中值定理
例1
证明当x 0 时， x ln 1 x x.
1 x
证 设 f (x) ln(1 x)，显然，函数 f x 在0, x上
满足拉格朗日中值定理，故存在 (0, x)，使得
f (x) f (0) f ( )(x 0)，
即ln(1 x) x (0, x)， 1
当 (0, x)且x 0时，有
x x x，
1 x 1
因此 x ln(1 x) x. 1 x
10
本讲内容
01 罗尔定理 02 拉格朗日中值定理 03 柯西中值定理
故 (a,b)使得 f (b) f (a) f ( )(b a) F (b) F (a) F( )(b a)
两式相除得到定理的结论. 错误原因：
不能保证两个函数由拉格朗日定理得到的是同一个点 .
13
三、柯西中值定理
证 要证明 f (b) f (a) f ( ) ，只需令 f (b) f (a) k，
4
一、罗尔定理
例1
若方程a0 xn a1xn1 an1x 0有一个正根x x0 , 证明方程a0nxn1 a1(n 1)xn2 an1 0必有一个小于x0的正根.
解 令f (x) a0 xn a1xn1 an1x， 由条件f (x0 ) f (0) 0，且x0 0， 显然f (x)在区间[0, x0 ]上满足罗尔定理的条件，
显然 (a) (b) 0，
x 满足罗尔定理的条件，则至少 (a,b),使得
f L f f b f a 0
ba
即
f
f
b
f
a
.
ba
8
二、拉格朗日中值定理
证法二
设 F (x) f (x) f (b) f (a) x, F(x) f (x) f (b) f (a)
故存在 (0, x0 )，使得f ( ) 0， 即a0n n1 a1(n 1) n2 an1 0
所以方程a0nxn1 a1(n 1)xn2 an1 0 必有一个小于x0的正根.
5
本讲内容
01 罗尔定理 02 拉格朗日中值定理 03 柯西中值定理
二、拉格朗日中值定理
定理3.2 若函数 y f (x) 满足 : (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导;
F (b) F (a) F( )
F (b) F (a)
则有f (b) f (a) kF (b) kF (a)，即 f (b) kF (b) f (a) kF (a)
构造辅助函数：令(x) f (x) kF (x)，则有 (a) f (a) kF (a),(b) f (b) kF (b), 即(a) (b)
取 x [a, b]，因为f ( ) M 是f (x)在[a, b]上的最大值，则f ( x) f ( ) 0.
因为f (x)在(a,b)内可导，所以f (x)在点处可导，即f ( )存在，而
f+(
)
lim
x0
f ( x)
x
f
(
)
0，f(
)
lim
x0
f ( x)
x
f ( ) 0， 所以f 0.
所以函数(x) f (x) kF (x)在区间[a,b]上满足罗尔定理， 故至少存在一点 (a,b)，使得( ) 0，即 f ( ) kF( ) 0, f ( ) f (b) f (a) F( ) 0 从而结论得证.
F (b) F (a)
14
三、柯西中值定理 利用这个方法证明拉格朗日中值定理也非常简单
则 至少有一点 (a,b)，使得 f ( ) f (b) f (a) .
ba
或 f (b) f (a) f ( )(b a).
y
C y f x
y Lx
A
O a
B f (b) f (a) bx
7
二、拉格朗日中值定理
证法一
构造函数： x
f
x Lx
f
x
f
a
f
b
f
a
(x a)
ba
(1)若M m，则f (x)在[a,b]上恒为常数，故在(a,b) 内处处有f '(x) 0. (2)若M m，因 f (a) f (b)，则m与M中至少有一个不等于端点的函数值，
不妨设M f (a)，即最大值不在两个端点处取得，则在(a,b) 内至少存在一点， 使得f ( ) M .下证f ( ) 0.