3第三章 微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章 微分中值定理与导数的应用答案

§3.1 微分中值定理

1． 填空题

（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是

π

π

-4．

（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．

2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．

A ． 必要条件

B ．充分条件

C ． 充要条件

D ． 既非充分也非必要条件

（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．

A . x

e x

f =)( B. ||)(x x f = C. 2

1)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧

=≠=0

,00

,1sin )(x x x

x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成

立（ B ）．

A ． ),()

()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ

B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间

C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ

D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ

3．证明恒等式：)(2

cot arctan ∞<<-∞=

+x x arc x π

．

证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011

11)(2

2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．

设c x f =)(，又因为(1)2

f π

=

，

故 )(2

c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x

π

．

4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<

3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．

证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．

5． 证明方程06

213

2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设6

21)(3

2x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至

少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使

0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02

1

12=++ηη，这与

02112>++ηη矛盾．故方程06

213

2=+++x x x 只有一个实根．

6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<>

于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.

证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使

0)(='ξf 成立．

7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使

()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-

证明： 只需令2

)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.

8．证明下列不等式

（１）当π<

x x

x

cos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且

t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即

0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<

因此， 当π<

x

cos sin >． （２）当 0>>b a 时，b

b

a b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有

'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<<

因为'

1()f x x =，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b

ξ<<，从而

b

b

a b a a b a -<<-ln ．