中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)及详细答案
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中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)及详细答案
一、锐角三角函数
1.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;
(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由
(3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.
【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为62
或
23
.
【解析】
【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE;
(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.
【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,
∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,
∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,
∵△EFK是直角三角形,∴OF=1
2
EK=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,
∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,
∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,
∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;
(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,
∵|CF﹣AE|=2,3AE=CK,∴FK=2,
在Rt△EFK中,tan∠3
∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,
∴EK=2FK=4,OF=1
2
EK=2,
∵△OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2,
在Rt△PHF中,PH=1
2
PF=1,3OH=23
∴()2
2
12362
+-=
如图4中,点P 在线段OC 上,当PO=PF 时,∠POF=∠PFO=30°, ∴∠BOP=90°, ∴OP=
33OE=233
, 综上所述:OP 的长为62-或
23
3
. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.
2.如图,在△ABC 中,AB=7.5,AC=9,S △ABC =
81
4
.动点P 从A 点出发,沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动,动点Q 从C 点同时出发,以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动,当点P 运动到B 点时,P 、Q 两点同时停止运动,以PQ 为边作正△PQM (P 、Q 、M 按逆时针排序),以QC 为边在AC 上方作正△QCN ,设点P 运动时间为t 秒. (1)求cosA 的值;
(2)当△PQM 与△QCN 的面积满足S △PQM =
9
5
S △QCN 时,求t 的值; (3)当t 为何值时,△PQM 的某个顶点(Q 点除外)落在△QCN 的边上.
【答案】(1)coaA=
45;(2)当t=35时,满足S △PQM =9
5
S △QCN ;(3)当2733-或
2733+时,△PQM 的某个顶点(Q 点除外)落在△QCN 的边上.
【解析】
分析:(1)如图1中,作BE ⊥AC 于E .利用三角形的面积公式求出BE ,利用勾股定理求出AE 即可解决问题;
(2)如图2中,作PH ⊥AC 于H .利用S △PQM =
9
5
S △QCN 构建方程即可解决问题;
(3)分两种情形①如图3中,当点M 落在QN 上时,作PH ⊥AC 于H .②如图4中,当点M 在CQ 上时,作PH ⊥AC 于H .分别构建方程求解即可; 详解:(1)如图1中,作BE ⊥AC 于E .
∵S △ABC =12
•AC•BE=814,
∴BE=
9
2
, 在Rt △ABE 中,AE=22=6AB BE -,
∴coaA=
64
7.55
AE AB ==. (2)如图2中,作PH ⊥AC 于H .
∵PA=5t ,PH=3t ,AH=4t ,HQ=AC-AH-CQ=9-9t , ∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+(9-9t )2, ∵S △PQM =9
5
S △QCN , ∴
34•PQ 2=9352, ∴9t 2+(9-9t )2=9
5
×(5t )2, 整理得:5t 2-18t+9=0,
解得t=3(舍弃)或
35
.
∴当t=3
5时,满足S△PQM=
9
5
S△QCN.
(3)①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.
易知:PM∥AC,
∴∠MPQ=∠PQH=60°,
∴PH=3HQ,
∴3t=3(9-9t),
∴t=2733
-.
②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.
同法可得3,
∴39t-9),
∴27+33
综上所述,当2733
-s27+33时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN 的边上.
点睛:本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
3.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,MD∥BC,且
MD=CM,DE⊥AB于点E,连结AD、CD.