分析力学第二章
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第一章分析力学的基本概念
1 x 2 x 2
C点的坐标 ： xC
C点的速度： 则约束方程为：
C x
x1 x 2 2
y1 y 2 2 y 2 y C 1 y 2 yC
1 y 2 y 2 y1 y 或 1 x 2 x x2 x1
1 y 2 x2 x1 x 1 x 2 y2 y1 y
力学模型 模型的分类 分析力学的研究对象
分析力学的研究方法
分析力学的两大特点
分析力学的发展史
分析力学在一般力学学科的地位
分析力学的研究对象__
力学模型
质点：只有质量、没有大小的物体。 质点系：由若干质点组成的、有内在联系的集合。
刚体：特殊的质点系，任意两点的距离保持不变。
分析力学的研究对象是质点系
几何约束&运动约束 运动约束
可积分的运动约束
约束方程可变为某个函数的全微分或满足可积分的条件，这种约束 方程称为可积分的运动约束 例：半径为r的圆柱在粗糙的平直轨道上滚动而不滑动
y
yC r
x
几何约束
C
C x
0 运动约束 C r vA x
yC
O
xC
A
dt 0 C dt r x
分 析 力 学
参考资料
1.叶敏、肖龙翔，分析力学，天津大学出版社 2. 王振发，分析力学，科学出版社 3.陈滨，分析动力学，北京大学出版社 4.老大中，变分法基础（第二版），国防工业出版社 5.梅凤翔，分析力学（上下卷），北京理工大学出版社
6.赵跃宇、梅凤翔，力学系统的对称性与不变量，科学出版社
第一章 分析力学的基本概念 第二章 虚位移原理和达朗伯原理
C点的坐标 ： xC
C点的速度： 则约束方程为：
C x
x1 x 2 2
y1 y 2 2 y 2 y C 1 y 2 yC
1 y 2 y 2 y1 y 或 1 x 2 x x2 x1
1 y 2 x2 x1 x 1 x 2 y2 y1 y
力学模型 模型的分类 分析力学的研究对象
分析力学的研究方法
分析力学的两大特点
分析力学的发展史
分析力学在一般力学学科的地位
分析力学的研究对象__
力学模型
质点：只有质量、没有大小的物体。 质点系：由若干质点组成的、有内在联系的集合。
刚体：特殊的质点系，任意两点的距离保持不变。
分析力学的研究对象是质点系
几何约束&运动约束 运动约束
可积分的运动约束
约束方程可变为某个函数的全微分或满足可积分的条件，这种约束 方程称为可积分的运动约束 例：半径为r的圆柱在粗糙的平直轨道上滚动而不滑动
y
yC r
x
几何约束
C
C x
0 运动约束 C r vA x
yC
O
xC
A
dt 0 C dt r x
分 析 力 学
参考资料
1.叶敏、肖龙翔，分析力学，天津大学出版社 2. 王振发，分析力学，科学出版社 3.陈滨，分析动力学，北京大学出版社 4.老大中，变分法基础（第二版），国防工业出版社 5.梅凤翔，分析力学（上下卷），北京理工大学出版社
6.赵跃宇、梅凤翔，力学系统的对称性与不变量，科学出版社
第一章 分析力学的基本概念 第二章 虚位移原理和达朗伯原理
武大王波分析力学讲义
W Fi ri 0 (i 1.2......N )
ri W Fi q 0 (i 1.2......N 1.2....S) q
r 定义: Q Fi i (i 1.2....N) q
W Fi ri 0 (i 1.2......n)
求：广义力
z
r
Fr
r r
F
解：
Q ( r ,sin r , ) F
Q rF 取广义坐标分别为
Q r Fr 用虚功方法求
F
x
y
w Qr r Q Q
r sin
w Fr r rF r sin F
§2.虚功原理(Principle of Virtual Work) 表述: 完整的理想约束系统处 于平衡的充要条件是
W Fi ri 0 (i 1.2......n)
证明： 必要性
N i ri 0
Fi N i 0
Fi ri 0 (i 1.2......n)
W Qq 0
Q 0
保守系
广义力
虚功原理
q 0 !!!
( 1.2....S) ( 1.2....S)
ri r V Q Fi i V 0 (i 1.2....N) q ri q q
Attention:
求：广义力
z
r
Fr
r r
F
F
解：
用虚功方法求 取广义坐标分别为
(r , , ) w Qr r Q Q
分析力学一二
(s:几何路程)
光的实际传播路径
一个函数
任务：确定这一函数。
办法：定义光程
其中：
—(x,y,z)点处的折射率
显然：不同的
不同的l
l的值决定于
的函数形式，称l为
的泛函——“函数的函数”。
记为：
由于：不同的
不同的l值
所以：在l值中有一个值是极值(极大值、极小值或常
数)，和这个l值对应的函数
描述光的
实际传播路径———费马原理。
对于平衡系统： 则
(虚功原理的特例)
若系统为刚体，当平衡时，其所受重力虚功的处理
对于保守系统，势能U为 作用在第a个质点上的主动力 由虚功原理得到
比较前面单个无约束质点的相应公式： 结论：无约束时，实位移；有约束时，虚位移。
现在由
推导有约束情况下N个质点组成的系统的拉格朗日方程。
对
求微分，得到
等式表示。 约束的例子： (1) 阿特伍得机 力学系统：物块1 + 物块2 约束：光滑槽、轻绳、圆盘 系统自由度：1
m1的坐标： 约束方程：
；m2的坐标： —— 共6个直角坐标
(显示屏所在平面)
—— 5个方程。(自由度=6-5 =1)
(2) 单摆 描述m的坐标： 约束方程： 系统自由度： 1
(不独立) (一个独立)
则：F、m、a 都是不变量 牛顿运动定律的形式也就 不会改变，即力学规律具有相同的形式。 K 系： F=ma K' 系：
说明：
1.伽利略变换中包含了绝对时空观； 2.狭义相对论：爱因斯坦相对性原理取代
伽利略相对性原理；狭义相对论时空观 取代绝对时空观；洛仑兹变换取代伽利
略变换。
四、自由质点的拉格朗日函数 力学系统的拉格朗日函数决定此系统的力学性质。
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系
分析力学课件、答案 chap2
Байду номын сангаас
α
1 M 1 m 2 1 ɺ ɺ ɺ m aα cos α + m ( aα sin α ) + M aα cos α 2 m+M 2 m+M 2
化解可得
M + m sin 2 α 2 ɺ ( aα ) = 2 ga ( cos α − cos α 0 ) (m + M )
3.质量为 m 的质点在三维空间中运动，势能是
z>0 0 U = −U 0 z ≤ 0 证明之一质点由 z > 0 区域经过分界面进入 z < 0 区域的运动轨迹 等同于光线从空气入射到折射率为 n = 1 + U 0 / E 的介质所受到的折 E 射。 其中， = mυ12 / 2 是质点在 z > 0 区域中的动能。
2
代入可得
ɺ m (V + aα cos α ) + MV = 0
1 1 1 2 2 ɺ ɺ m (V + aα cos α ) + m ( aα sin α ) + MV 2 2 2 2 = mga ( cos α − cos α 0 )
由第一式得 V = −
m ɺ aα cos α ，代入第二式得 m+M
质量为 M 半径为 a的半球形碗，放在光滑的水平桌面上，如图1 。 有一个质量为 m 的滑块沿碗的内壁无摩擦的滑下。用α 表示滑块位 置与球心连线和竖直方向的夹角。这个系统起始时静止且 α = α 0 。 ɺ 求滑块滑到 α = α1时 α 的值。
解：由于系统在水平方向不受力，所以系统在水平方向上的动量守恒：
那么
∂L ɺ ɺ ɺ = m( X + aα cos α ) + MX ɺ ∂X ∂L =0 ∂X ∂L ɺ ɺ = maX cos α + ma 2α ɺ ∂α ∂L ɺ ɺ = − maX α sin α − mga sin α ∂α
《分析力学》大学笔记
《分析力学》大学笔记第一章引言1.1 学科背景介绍分析力学，作为物理学领域的一股重要力量，其诞生可追溯到对经典力学体系的深度反思与根本性重构。
在经典力学的框架内，力被视为描述物体运动状态改变的核心概念。
分析力学的出现，对这一传统观念进行了革命性的颠覆。
它不再将力作为最基本的物理量，而是转而聚焦于能量、动量等更为本质、更为普遍的物理属性。
这一转变并非凭空而来，而是基于现代数学工具的不断发展与完善，尤其是变分法和哈密顿原理的引入，为分析力学提供了坚实的数学基础。
通过这些高级数学手段，分析力学得以对力学系统进行更为精确、更为全面的描述。
它不仅极大地简化了复杂力学问题的求解过程，更在深层次上揭示了物理现象之间的内在联系与规律。
分析力学的兴起，不仅仅是对经典力学的一次重大革新，更是对整个物理学、数学乃至工程学领域产生了深远的影响。
在物理学的范畴内，分析力学的出现为后续的量子力学、相对论等前沿理论的发展奠定了坚实的基础。
在数学领域，分析力学所运用的高级数学方法推动了数学本身的进步与创新。
而在工程学实践中，分析力学的理论与方法被广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等诸多领域，为现代工程技术的飞速发展提供了有力的支撑。
分析力学的诞生与发展并非一帆风顺。
在其演进过程中，曾遭遇过诸多质疑与挑战。
但正是这些不断的争论与探索，使得分析力学得以不断完善与成熟，最终成为物理学领域中一门不可或缺的重要学科。
分析力学还与其他学科之间保持着密切的交叉与融合。
例如，在控制论中，分析力学的理论与方法被广泛应用于系统的稳定性分析与优化控制设计；而在生物学领域，分析力学的原理也被用于描述生物体的运动规律与能量转换过程。
这些跨学科的应用不仅展示了分析力学的广泛适用性，也进一步推动了相关学科的发展与创新。
分析力学作为物理学的一个重要分支，其背景深厚、影响深远。
它不仅在理论层面上对经典力学进行了深刻的反思与重构，更在实践层面上为众多领域的发展提供了强有力的支持。
分析力学答案
V klq 4 T mg lt Cosa R
K FV
m 448浒 421122 - Ík 4- 4 行mg crank
代入⻮ 器 器 - 0中 可得
mki zmisinzeuttkicq 4.1 mg2Sin4 0 mEsin244 0 4 0 运动微分方程 miii miisiuqcose mg2siuqtkRi9-线 0
C2
0 时零解渐近稳定
1.8 试利用李雅普诺夫直接方法讨论系数在取不同值时判断
系统的零解稳定性
X X2
X十 a 3 加
解 选择正定李雅诺夫函数 比吅 二 水 水
计算 治 方程解曲线的全导数 V 荪义 器加二 zxixztzxzEXitlaih I
E 2 G 37 X22
则当 以 3时 V为负定 零解渐近稳定 a 3 时 V为零 零解稳定 a 3时 V为正定 零解不稳定
讨论是否存在初积分
i
䚡 取摇杆0A的转⻆为0 则系统的动能
T 士 加 以 04 Ìmi 旰士 Ìmhyo
二 Gmt Ém EG
取系统平衡位置为零势能 则运动时系统势能为
V kid 4 Ütmlglsin0
6 -sins
则L T V
且出售了一
是
tmtimtEG 二日 mini
zkdkcitmlgl sino tkdtimsglll cme
则 fm2以g外3tmlzmxitomtmiiiomy
f 去㗊㗊 a
i riiig 二his
3 8 质量为 m的均质摇杆0A 铰接 质量为 以的匀质圆盘A 在13 处联结刚度系数为人的弹簧 当系统平衡时 以处于水平位置 弹
簧处于铝垂位置如图所示 已知 非1.013 a 若圆盘沿固定圆弧形
K FV
m 448浒 421122 - Ík 4- 4 行mg crank
代入⻮ 器 器 - 0中 可得
mki zmisinzeuttkicq 4.1 mg2Sin4 0 mEsin244 0 4 0 运动微分方程 miii miisiuqcose mg2siuqtkRi9-线 0
C2
0 时零解渐近稳定
1.8 试利用李雅普诺夫直接方法讨论系数在取不同值时判断
系统的零解稳定性
X X2
X十 a 3 加
解 选择正定李雅诺夫函数 比吅 二 水 水
计算 治 方程解曲线的全导数 V 荪义 器加二 zxixztzxzEXitlaih I
E 2 G 37 X22
则当 以 3时 V为负定 零解渐近稳定 a 3 时 V为零 零解稳定 a 3时 V为正定 零解不稳定
讨论是否存在初积分
i
䚡 取摇杆0A的转⻆为0 则系统的动能
T 士 加 以 04 Ìmi 旰士 Ìmhyo
二 Gmt Ém EG
取系统平衡位置为零势能 则运动时系统势能为
V kid 4 Ütmlglsin0
6 -sins
则L T V
且出售了一
是
tmtimtEG 二日 mini
zkdkcitmlgl sino tkdtimsglll cme
则 fm2以g外3tmlzmxitomtmiiiomy
f 去㗊㗊 a
i riiig 二his
3 8 质量为 m的均质摇杆0A 铰接 质量为 以的匀质圆盘A 在13 处联结刚度系数为人的弹簧 当系统平衡时 以处于水平位置 弹
簧处于铝垂位置如图所示 已知 非1.013 a 若圆盘沿固定圆弧形
2009分析力学讲义
当2kl mg
取如图所示X 为广义坐标
xx y 2 2 l x
2 2 2 2
A
y
T 1 m( x y ) 1 mx (1 2 x 2 ) 2 2 l x 2 2 ml x 2 2 2(l x )
B
x
V mg l x kx
2 2
杆作刚体一般运动
T2 T2c T ......(2)
' 2
质心动能
) 2 (a sin ) 2 V (a
2 c
1 ma2 2 1 ma2 sin 2 2 ......(3) T2c 2 2
相对质心运动为三维转动
1 ma2 I I 0 x cos Ix z y 3 y sin T ' 1 ( I 2 I 2 I 2 ) 2 x x y y z z 2 z 1 ma 2 ( 2 2 cos 2 )......( 4) 6 1 ma2 2 1 ma2 sin 2 2 1 ma2 2 T2c T1 2 2 2
p 2 2 H kl sin mgl cos 2 2ml
2
p 2 2 H kl sin mgl cos 2 2ml
2
H p p ml 2 H 2kl2 sin cos mgl sin p p 2 ml
L T V
1 ml 2 2 mgl cos 2
kl sin
2 2
L T V kl sin L mgl sin 2kl 2 sin cos d ( L ) ml 2 L ml 2 dt
取如图所示X 为广义坐标
xx y 2 2 l x
2 2 2 2
A
y
T 1 m( x y ) 1 mx (1 2 x 2 ) 2 2 l x 2 2 ml x 2 2 2(l x )
B
x
V mg l x kx
2 2
杆作刚体一般运动
T2 T2c T ......(2)
' 2
质心动能
) 2 (a sin ) 2 V (a
2 c
1 ma2 2 1 ma2 sin 2 2 ......(3) T2c 2 2
相对质心运动为三维转动
1 ma2 I I 0 x cos Ix z y 3 y sin T ' 1 ( I 2 I 2 I 2 ) 2 x x y y z z 2 z 1 ma 2 ( 2 2 cos 2 )......( 4) 6 1 ma2 2 1 ma2 sin 2 2 1 ma2 2 T2c T1 2 2 2
p 2 2 H kl sin mgl cos 2 2ml
2
p 2 2 H kl sin mgl cos 2 2ml
2
H p p ml 2 H 2kl2 sin cos mgl sin p p 2 ml
L T V
1 ml 2 2 mgl cos 2
kl sin
2 2
L T V kl sin L mgl sin 2kl 2 sin cos d ( L ) ml 2 L ml 2 dt
分析力学讲义-第二章
将（d）(e)带人（c）得到 (e)
{T1l1 cos ϕ1 − m1 gs1 sin ϕ1 + T2l1 cos ϕ1 − m2 gs1 sin ϕ1 + T3l cos ϕ1 − m3 gl1 sin ϕ1}δϕ1 + {T2l2 cos ϕ2 − m2 gs2 sin ϕ 2 +
(f) T3l2 cos ϕ2 − m3 gl2 sin ϕ 2 }δϕ 2 + {T3l3 cos ϕ3 − m3 gs3 sin ϕ3}δϕ3 = 0 因 δϕ1 , δϕ 2 , δϕ3 彼此独立，由式(f)的系数为零，得到
T3 = m3 g
s3 tan ϕ3 。 l3
§2.2 广义力表示的虚位移原理
对于有 N 个质点的质点系，其自由度为 k，可以选取 n=k 个广义坐标 qj (j=1,2,…,k)，以 Fi 表示作用于质点 Pi 上的主动力合力，δri 为质点的任意虚位移。这时质点系各个质点位置 的矢径可表示为：
ri = ri (q1 , q2 ,..., qn , t )
将（2.10）代人（2.8）有：
N ∂V ∂xi ∂V ∂yi ∂V ∂zi − − − Qj = ∑ ∂x ∂q ∂yi ∂q j ∂zi ∂q j i =1 i j
(2.10)
(2.11)
当采用广义坐标时， xi，yi，zi， （i=1,2,…,N）均为广义坐标 qj (j=1,2,…,k)的函数，势能 V=V(xi，yi，zi，t)（i=1,2,…,N）也是广义坐标 qj (j=1,2,…,k)的函数，则其对 qj 的偏导为：
(2.9)
（3） 若力系{Fi}（i=1,2,…,N）中所有力均为有势力，即系统处于势力场中，相应的势 能为 V=V（xi，yi，zi，t） （i=1,2,…,N） ，则各个质点合力 Fi 的分量可以表示为：
{T1l1 cos ϕ1 − m1 gs1 sin ϕ1 + T2l1 cos ϕ1 − m2 gs1 sin ϕ1 + T3l cos ϕ1 − m3 gl1 sin ϕ1}δϕ1 + {T2l2 cos ϕ2 − m2 gs2 sin ϕ 2 +
(f) T3l2 cos ϕ2 − m3 gl2 sin ϕ 2 }δϕ 2 + {T3l3 cos ϕ3 − m3 gs3 sin ϕ3}δϕ3 = 0 因 δϕ1 , δϕ 2 , δϕ3 彼此独立，由式(f)的系数为零，得到
T3 = m3 g
s3 tan ϕ3 。 l3
§2.2 广义力表示的虚位移原理
对于有 N 个质点的质点系，其自由度为 k，可以选取 n=k 个广义坐标 qj (j=1,2,…,k)，以 Fi 表示作用于质点 Pi 上的主动力合力，δri 为质点的任意虚位移。这时质点系各个质点位置 的矢径可表示为：
ri = ri (q1 , q2 ,..., qn , t )
将（2.10）代人（2.8）有：
N ∂V ∂xi ∂V ∂yi ∂V ∂zi − − − Qj = ∑ ∂x ∂q ∂yi ∂q j ∂zi ∂q j i =1 i j
(2.10)
(2.11)
当采用广义坐标时， xi，yi，zi， （i=1,2,…,N）均为广义坐标 qj (j=1,2,…,k)的函数，势能 V=V(xi，yi，zi，t)（i=1,2,…,N）也是广义坐标 qj (j=1,2,…,k)的函数，则其对 qj 的偏导为：
(2.9)
（3） 若力系{Fi}（i=1,2,…,N）中所有力均为有势力，即系统处于势力场中，相应的势 能为 V=V（xi，yi，zi，t） （i=1,2,…,N） ，则各个质点合力 Fi 的分量可以表示为：
第二章 泛函极值及变分法(补充内容)
第二章 泛函极值及变分法（补充内容）2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。
例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：dx dx dy J BAx x ⎰+=2)/(1 （2.1.1）显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。
设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：dsv dt ==其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：dt =设重力加速度为g ，则gy v 2=。
因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：1[()]x x J y x =⎰211/2211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭⎰（2.1.2）则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。
回顾函数的微分：对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ （2.1.3） 其中A （x ）与∆x 无关，且有∆x →0时ρ（x ,∆x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆，函数的微分就是函数增量的主部。
第二章 运动的守恒量和守恒定律 总结
F 对空间积累
W，E
动量、冲量 、动量定理、动量守恒 动能、功、动能定理、机械能守恒
3
三、主要内容：
1、冲量 质点的动量定理
➢ 动量 p mv
➢ 冲量（矢量）
I
t2
Fdt
t1
I
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
动量定理 在给定的时间间隔内，外力作用在 质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量．
i
i
i
5
——动量守恒定律
讨论 动量守恒时
(1) 系统的总动量不变，但系统内任一质点的
动量是可变的．
(2)
守恒条件：合外力为零．
F ex
➢
当
F ex
F时in，可近似地认为
i
Fiexiex ， 0但满足
Fxex 0
i
有 px mi vix Cx
第二章 运动的守恒量和守恒定律 总结
一 理解动量、冲量概念，掌握动量定 理和动量守恒定律．
二 掌握功的概念, 能计算变力的功， 理解保守力作功的特点及势能的概念，会计 算万有引力、重力和弹性力的势能．
1
三 掌握动能定理、功能原理和机械 能守恒定律，掌握运用动量和能量守恒定 律分析力学问题的思想和方法．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
保守力所作的功与路径无关，仅决定
于始、末位置．
9
7、势能 与质点位置有关的能量．
定义：保守力的功 W (Ep2 Ep1) EP
讨论
——保守力作正功，势能减少．
势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关．
3 完全非弹性碰撞 系统内动量守恒，机械能不守恒
分析力学教学课件
v0
drr
dr M'
dr = dre + drr = MM‘ dre = v0dt ---牵连位移 drr ---物块相对斜面的位移
dre
δr2
M
δr1
物块M的虚位移可以是沿斜面向下的 δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因为 δr1，δr2都是约束所容许的。
f(x,y,z)0 ——约束方程
f(x x ,y y ,z z ) 0
因此: 平面图形上任意一点B的运动可用合成运动的概念进行
分析，其速度可用速度合成定理求解。
2. 速度投影定理
定理: 同一瞬时，平面图形上任意两点的 速度在这两点连线上的投影相等。
反映了刚体不变形的特性：
因刚体上任意两点间的距离应保持不变，所以刚体上任意两点的速度在 这两点连线上的投影应该相等，否则，这两点间的距离不是伸长，就要缩短， 这将与刚体的性质相矛盾。因此，速度投影定理不仅适用于刚体作平面运动， 而且也适用于刚体的一般运动。
• 实现这些约束条件的物体称为约束体。 受到约束条件限制的物体叫做被约束体。习惯
上，把约束体简称为约束,将被约束体简称为物体 。
• 主动力和约束力（或约束反力）
• 约束力（或约束反力）——把约束对物体的作用 力称为约束力。
• 主动力——作用于被约束物体上的除了约束以外的 力统称为主动力，如重力，结构承受的风力和水压 力、机械结构中的弹簧力以及电磁力等等。
l2 cos2 l2 sin2
对于有n个质点的质点系，若有s个完整约束组成，则其自由
度N = 3n－ s，可选N个广义坐标 q1， q2 ，…，qN。
则各质点的坐标可由广义坐标表示为：
xi yi
xyii((qq11,,qq22,, ,,qqNN))
2.Lagrange力学(中科大) 拉格朗日力学
③伺服系统等控制问题中，非线性非完整约束很普遍；但是这里对速度的约束和对变分的约束， 需要根据具体问题而定，一般没有确定的关系，没有必要满足 Chetaev 条件、Vacco 条件或者其 它什么事先假定的条件。
关于非线性非完整系统力学，后面不再讨论。感兴趣的同学可以参考专著，例如
《非完整动力学研究》，梅凤翔著，北京工业学院出版社，1987。
虚位移为（Jourdain 变分）
⃗ ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( ⃗ ( ) ⃗ ( ))
⃗
注意这里的 ⃗ 不需要是无穷小量， ⃗ 的物理意义也不是速度 ⃗̇ 。
(2) 约束条件 完整约束和线性非完整约束对 Jourdain 变分的限制分别为
(⃗ ) ⃗ ⃗̇ 注意到 ⃗ 也是可能位移，可得
⃗⃗ ⃗⃗
《非完整系统的运动方程和力学的变分原理——新一类控制问题》，C. A. 杰格日达, Ш. X. 索尔塔哈诺夫, M. П. 尤士科夫著，北京理工大学出版社，2007。
(6) 例题 例 单摆垂直平面中运动，用 d’Alembert 原理推导运动方程。
解 建立坐标系：以向下为 轴，水平为 轴。
设绳长为 ，约束条件是
̇
每一个完整约束减少一个位形自由度，非完整约束减少一个独立变分（即运动自由度）。
非线性非完整约束： 力学中没有找到实例。 在伺服控制问题中，需分析具体模型。位形的约束条件与变分的约束条件之间，没有固定
的关系。
关于非完整系统的说明*
①线性非完整约束在力学范围内没有歧义，这种约束一般来自滚动问题（以及冰刀）。这时从物
������
������ 可以取摆线与垂直方向的夹角 为独立广义坐标，
̇
̇
̇
̇
̈
̈
̇
̈
̈
̇
分析力学第二章虚功原理及应用
均不计，套筒的尺寸和系统摩擦也不计。AD=BC=b，OC=OD=a，在铅直轴
上作用一力偶，其力偶矩为M。若取调速器转角为 及杆AD和BC与铅直线 间的夹角 为广义坐标，求对应的广Q义力Q和 。
解：建如图直角坐标系, 系统所做虚功为：
DC
x
O
A
B
δW=Pδy1+Pδy2 +Mδ -2Pbsinαδα+Mδ P =Qαδα+Q δ
是从力的观点来研究平衡的。 (3). 当系统有较多约束时，利用分析静力学的方法解静力学问题比几何
静力学简单得多。 (4). 虚功原理与达朗伯原理联合而构成动力学普遍方程，因此虚功原理
是分析力学的一个基本原理。
§2、 虚位移原理的应用 1. 用虚功原理解静力学问题
例1. 离心调速器如图，已知小球AB的重量都是P，套筒C 和各杆的重量
s=1.设Ａ、Ｂ、C三点坐标分别为
y
x x
2 A
2 B
+y
2 A
=R
2
+y2B =R 2
(xA -xB )2 +(yA -yB )2 =a2
o
x B
A CP
(xA +xB )2 +(yA +yB )2 =4R 2 -a2
y
x
C
y
C
= =
1 2 1 2
(x A (yA
因此必有某一虚位移与实位移重和，即
。因此
但在理想约束下，
； 于是有
显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足
质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。
2. 虚位移原理的各种形式
上作用一力偶，其力偶矩为M。若取调速器转角为 及杆AD和BC与铅直线 间的夹角 为广义坐标，求对应的广Q义力Q和 。
解：建如图直角坐标系, 系统所做虚功为：
DC
x
O
A
B
δW=Pδy1+Pδy2 +Mδ -2Pbsinαδα+Mδ P =Qαδα+Q δ
是从力的观点来研究平衡的。 (3). 当系统有较多约束时，利用分析静力学的方法解静力学问题比几何
静力学简单得多。 (4). 虚功原理与达朗伯原理联合而构成动力学普遍方程，因此虚功原理
是分析力学的一个基本原理。
§2、 虚位移原理的应用 1. 用虚功原理解静力学问题
例1. 离心调速器如图，已知小球AB的重量都是P，套筒C 和各杆的重量
s=1.设Ａ、Ｂ、C三点坐标分别为
y
x x
2 A
2 B
+y
2 A
=R
2
+y2B =R 2
(xA -xB )2 +(yA -yB )2 =a2
o
x B
A CP
(xA +xB )2 +(yA +yB )2 =4R 2 -a2
y
x
C
y
C
= =
1 2 1 2
(x A (yA
因此必有某一虚位移与实位移重和，即
。因此
但在理想约束下，
； 于是有
显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足
质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。
2. 虚位移原理的各种形式
王振发版分析力学第2章动力学普遍方程和拉格朗日方程
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡 力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n ）
解得
a((22m m11m m22))rr22si2nJ g
(a) (b)
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉 格朗日方程。
m
j &x&j x j
m
j &y&j
Fyj
k i1
i
fi y j
m j &z&j
Fzj
N i1
ri qk
δqk
n
n
动力学普遍方程可写成
Fiδri miaiδri 0
其中
i1
i1
i n1miaiδri i n1mi r ikN 1qrikδqk
Nn
k1 i1
mi ri qrik
δqk
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
分析力学(1~4章)
かみ Crucis
第一章 低速宏观运动：牛顿第二定律的解析表达形式 拉格朗日形式：巧妙消除约束，减少未知量个数 哈密顿形式：整齐对称 约束：限制物体运动的位置，位置坐标不再相互独立 无约束：自由度等于坐标数目。 保守力场：力做功与路径无关。 约束反力：受外界物作用力。 拉格朗日方程：(保守系) m������ = ������ = − ������ ������������ ������������ − =0 ������������ ������������������ ������������������ 有心力场—— 笛卡尔坐标系：������ = 柱坐标系：������ = 球坐标系：������ =
������
δU =
������ =1
������������ ������������ ������������������ ������
最小作用量原理： 一个物理系统实际发生的真实运动状态是所对应的 作用量具有最小值的那个状态。 δS = δ =
������ 2 ������ 1
������ ������ ������ , ������ ������ , ������ ������������ = 0
第二项为零
������ =
′ ′ ������������ × ������������ ������������ + ������������ ×
′ ������������ ������������ +
������������ ������������ × ������
′
������ =0 ������ ′ 系为质心系
かみ Crucis
������离心
2 ������������ = 2������������ 2
第一章 低速宏观运动：牛顿第二定律的解析表达形式 拉格朗日形式：巧妙消除约束，减少未知量个数 哈密顿形式：整齐对称 约束：限制物体运动的位置，位置坐标不再相互独立 无约束：自由度等于坐标数目。 保守力场：力做功与路径无关。 约束反力：受外界物作用力。 拉格朗日方程：(保守系) m������ = ������ = − ������ ������������ ������������ − =0 ������������ ������������������ ������������������ 有心力场—— 笛卡尔坐标系：������ = 柱坐标系：������ = 球坐标系：������ =
������
δU =
������ =1
������������ ������������ ������������������ ������
最小作用量原理： 一个物理系统实际发生的真实运动状态是所对应的 作用量具有最小值的那个状态。 δS = δ =
������ 2 ������ 1
������ ������ ������ , ������ ������ , ������ ������������ = 0
第二项为零
������ =
′ ′ ������������ × ������������ ������������ + ������������ ×
′ ������������ ������������ +
������������ ������������ × ������
′
������ =0 ������ ′ 系为质心系
かみ Crucis
������离心
2 ������������ = 2������������ 2
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qk
ri t
其r中i 和：qrki称是之广为义广坐义标速和度时间的函数与广义速度无关
qk t
ri
ri
qk qk
证明（2）
d dt
ri qk
ri qk
d dt
ri qk
q1
ri qk
q1
q2
ri qk
q2
qN
ri qk
qN
t
ri qk
qk
ri q1
q1
ri q2
i 1
k 1
n
i 1
mi ai
• ri
n i 1
mi ai
•
N k 1
ri qk
qk
N k 1
n
mi
ai
i1
•
ri qk
qk
mi ai
•
ri qk
d dt
mi vi
•
ri qk
mi
vi
d dt
ri qk
d dt
mi
vi
•
ri qk
mi
vi
ri qk
d dt
q2
ri qN
qN
ri t
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
ri qN
qN
ri t
N k 1
ri qk
qk
ri t
d dt
ri qk
ri qk
由动力学普遍方程：
n
Fi
•
ri
n
mi
ai
•
ri
0
i 1
i 1
将系统主动力所做虚功 用广义力形式描述：
n N
Fi • ri Qkqk
m2gfs m2x m1g m1x r 0
m1
g
m1
x
r
1 2
m1r
2
0
x
a2
m1 3 fsm2 m1 3m2
g
a1
x
r
2
fs m2
m1 3m2
m1
g
例题 图所示，水平杆AB两端各系一根 绳索，绳索绕过定滑轮C,D,在自由端分 别悬挂重物E（m2)和F(m1),令系统无初 速度释放，试求重物F的初加速度。已 知杠杆臂长比：AO:OB=k，杠杆初时 水平，杆与滑轮质量忽略不计
qk
1 2
mi
vi
2
qk
1 2
mi
vi
2
N
k 1
n
mi
ai
i1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
ri qk
qk
N k 1
n
mi
ai
i1
•
ri qk
qk
N k 1
d dt
T qk
T qk
qk
N
k 1
d dt
T qk
T qk
Qk qk
0
d dt
T qk
T qk
Qk k
1
N Lagrangri方程
它是N个二阶常微分方程，初始条件为 t=0时刻的广义坐标和广义初速度
举例：如图所示，轮系，已知r2=1.5r1，曲柄 OA质量m，齿轮的质量分别为m1和m2，齿轮 视为匀质圆盘，在曲柄上作用一力矩M1，求 系统的运动方程。 该系统为单自由度系统，取广义坐标 系统动能：
T T杆 T轮1 T轮2
Fi FNi Fgi 0
假设质点虚位移ri，由虚功原理：
Fi FNi Fgi •ri 0
对于理想约束： FNi •ri 0
因此：
Fi Fgi
• ri
0或：
Fi
mai
• ri
0
写成标量形式：
X
i
mi
..
xi
xi
Yi
mi
..
yi
yi
Zi
mi
..
zi
zi
0
上式称之为动力学普遍方程。在理想约束 下，作用在质点系上的主动力和惯性力在 任意虚位移上所作虚功之和为零
由于 0
m1 • AO m2BO m1 • AO2 m2BO 2
g
AO k;初始时， 0； 0
BO
a1 s1 AO cos sin 2
AO
•
m1k 2 m2k m1 • k 2 m2
kg
2.2 拉格朗日方程
设质点系有n个质点，受s个完整非定长
约束，系统有N=3n-s个自由度，用N个
该系统为两
自由度系统：
广义坐标：x,
物体B的质心速度x
物体A的质心速度s x r
系统所受主动力：m1g, m2 gfs ,
系统所受惯性力：Fg1 m1s m1x r;
Fg 2
m2x; M g1
1 2
m1r 2
由动力学普遍方程：
m2
gf s
m2 xx
m1g
m1x
rs
1 2
m1r 2
0
s x r代入：
FA FB kl sin 60 sin 30 1345N FgA FgB m e l sin 60 2 3.7 2
由动力学普遍方程：
FA FgA xA FB FgB xB PCyC 0
本系统为单自由度系统：
xA e l sin
xA l cos
xB e l sin
广义坐标 q1, q2 , qN 表示质点系位
置，则质点系位置可表示为：
ri
ri q1, q2
, qN
;t
下面来推导拉格朗日方程：
证明（1）
ri
ri
qk qk
对下式两边求导：
ri
ri q1
,q2
,qN ;t
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
ri qN
qN
ri t
N k 1
ri qk
该系统为单自由度系统，广义坐标 重物F的下降距离S1 AO • sin 重物E的上升距离S2 BO • sin
系统虚位移：S1 AO cos;S2 BO cos
a1 s1 AO cos sin 2 a2 s2 BO cos sin 2
系统动力学普遍方程：
m1g m1a1 S1 m2 g m2a2 S2 0
1 2
J曲柄2
1 2
J 轮112
1 2
yC
h 2
l
cos
xB l cos yC l sin
2 3.7 2l cos 21345l cos mc gl sin 0
0
19.65rad / s
例题：如图所示，质量m1的匀质圆柱A与质 量为m2的物体B相连，物体B与水平面间 的摩擦系数fs，忽略滑轮质量，开始式系 统处于静止状态，求A,B两物体质心的加 速度a1,a2
第二章：动力学普遍方程和拉格 朗日方程
达朗伯原理：用静力学平衡问题的方法 解决动力学问题
拉格朗日方程：用虚位移描述的动力学 普遍方程，不出现约束反力，但虚位移 之间不独立，将动力学普遍方程用广义 坐标来表示，就可推出拉格朗日方程。
2.1 动力学普遍方程
设一质点系由n各质点组成，第i个质点的 质量mi，作用在其上的主动力Fi，约反力 合力FNi，惯性力Fgi=-miai,由达朗伯原理：
例题：离心调速器如图所示，
已知mA=mB=m=15kg,套筒
mC=10kg，杆长l=0.25m，
e=0.03m,弹簧刚度k=
14700N/m，正常角速度时=30°，弹簧 不受力。试求 =60 °时的角速度。
系统上的主动力：
重力：PA, PB , PC ,弹性力： FA , FB ;惯性力：FgA, FgB