2020高考文科数学二轮课件：专题10圆锥曲线

2020高二数学精品课件圆锥曲线——课件 [Repaired]

将②③代入(*)式，得41＋k2－4k12－1＋3k42k2＝1k＋2－4k42＝0，
解得k＝±2，所以存在直线l满足条件，且直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.
热点分类突破 ➢ 热点三圆锥曲线中的探索性问题
解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型.解
决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
热点分类突破
➢ 热点二圆锥曲线中的定值、定点问题 (2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.
圆锥曲线中的热点问题
目录
1 2 3
第一部分
主干知识梳理
考情解读：
1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.
2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．
解：容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意. 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点为M(x1，y1)，
N(x2，y2). 由x42＋y2＝1
y＝kx－1
消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，
热点分类突破
➢ 热点三圆锥曲线中的探索性问题
(2)是否存在直线 l 满足条件：①过 C2 的焦点 F；②与 C1 交于不同的两点 M，N，且满足O→M⊥O→N？若存在，求

高三数二轮专题复习课件圆锥曲线

|PF2| ＝ |PF2|| ＝点 F 不在直线 l 上，
2a(2a>|F1 2a(2a<|F1 P 到 l 距离为 d，|PF|
F2|)
F2|)
＝d
高三数二轮专题复习课件圆锥曲线
专题五
第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
椭圆
标准方程
焦点在x轴上 ax22＋by22＝1
(a>b>0)
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专题五
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高频考点
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专题五
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圆锥曲线的定义与标准方程已知直线l1：x－y＋5＝0，和l2：x＋4＝0，抛
物线C：y2＝16x，P是C上一动点，则P到l1与l2距离之和的最小值为________．
专题五
第二讲
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疑难误区警示 1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c2＝a2＋b2，双曲线中c2＝a2－b2的区别． 2．注意焦点在x轴上与y轴上的双曲线的渐近线方程的区别． 3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．
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考向聚焦
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专题五
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考向分析 (1)考查椭圆的定义、性质、标准方程、离心率的计算等． (2)考查双曲线的定义、性质、标准方程、离心率、渐近线． (3)考查抛物线的定义、性质、标准方程． (4)考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线相交弦长等．

2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版课件：7.4.1 直线与圆及圆锥曲线

��-��
=
��+�� ,p-t=��+��,
所以 p-t=t,t=��2��,则 T 为原点 O.
-12-
4.圆锥曲线的弦长 (1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为yy0=k(x-x0),若已知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0),设直线方程为x=ty+a; (2)弦长公式,斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,
∴��1-��2
��1-��2
=
2�� 1+��2
=
��0,即
kAB=��0.
-15-
6.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切; 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和另一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和另一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直线.
-18-
2.圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法
(1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最
值时与之相关的一些问题.
(2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条

高考二轮复习圆锥曲线专题(共88张PPT)

xR＝m＋2
m2＋3
3
.
所以||PPQR||＝xxQR＝22
11＋＋mm3322－＋11＝1＋2
2 1＋m32－1.
基础知识
题型分类第18页，共88页。思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
此时 1＋m32>1，且 1＋m32≠2，
所以 1<1＋ 2
1＋2 m32－1<3，且
1＋ 2
1＋2 m32－1≠53，
【例 2】已知椭圆 C 经过点 A1，32，两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程；
思维启迪
解析
探究提高
可设直线 AE 的斜率来计算直线 EF 的斜率，通过推理计算消参．
(2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点，
如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率
互为相反数，证明直线 EF 的斜率
圆锥曲线中的探索性问题
难圆点锥正曲本线P中1的(疑x函点1数清，思源想y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
圆锥曲线中的探索性问题
1＋k |x －x | ＝圆数直锥学线曲和线圆R 中锥A（的曲文探线）索问性题问解题法的2一般1规律
2
圆锥曲线中的范围、最值问题
1 圆锥曲线中的范围、最值问题
p y0.
2.“点差法”的常见题型
求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是 “点差法”具有不等价性，即要考虑判别式 Δ>0 是否成立．
基础知识
题型分类第6页，共88页。思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4
答案

人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(基础)：圆锥曲线第二章常见条件翻译转化

第二章常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为()22221212121141AB k x x k x x x x k A∆=+-=++-=+ ,即弦长公式,弦长公式也可以写成关于y 的形式()()2221212121140AB k y y k y y y y k =+-=++-≠三、三角形面积求法方法12⨯底高 C ab sin 211212121211:,22S F F y y S F F x x ∆∆=-=-拆分适合题型一切题型边角已知的题过定点的题备注不一定简单简单简单【例1】.设12F F ，分别是椭圆22210+1y E x b b=：（＜＜）的左、右焦点,过1F 的直线l 与E 相交于A B 、两点,且22||||||AF AB BF ，，成等差数列. (1)求||AB ;(2)若直线l 的斜率1为,求b 的值.【解答】解:(1)由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB|=43(2)L 的方程式为y=x +c,其中c =√1−b 2设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则A,B 两点坐标满足方程组{y =x +cx 2+y 2b2=1.,化简得(1+b 2)x 2+2cx +1﹣2b 2=0.则x1+x 2=−2c 1+b 2,x 1x 2=1−2b21+b2. 因为直线AB 的斜率为1,所以|AB|=√2|x 2−x 1|即43=√2|x 2−x 1|.则89=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4(1−b 2)(1+b 2)2−4(1−2b 2)1+b 2=8b 4(1+b 2)2.解得b =√22.【例2】.如图,12F F ，分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=10a b （＞＞）的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ∠=︒. (1)求椭圆C 的离心率;(2)已知1AF B V 的面积为403,求a b ，的值.【解答】解:(1)∠F 1AF 2=60°⇔a=2c ⇔e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a ﹣m,在三角形BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|BF 2||F 1F 2|cos120°⇔(2a ﹣m)2=m 2+a 2+am.⇔m=35a .△AF 1B 面积S=12|BA ||F 1A |sin60°⇔12×a ×(a +35a)×√32=40√3⇔a=10,∴c=5,b=5√3. 【例3】.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于,A B 两点,若线段AB 的长为8,则p =_____.解析设过焦点(,0)2p F 且倾斜角为45°的直线方程为2py x =-,联立直线方程与抛物线方程得222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消y 得22304p x px -+=.xyOP设A ,B 两点的坐标为11(,)x y ,22(,)x y ,则121234x x p px x +=⎧⎪⎨=⎪⎩, 故21211AB x x =+-=212122()4x x x x ⋅+-＝222(3)p p ⋅-＝222p ⋅＝4p ＝8,则p ＝2.【例4】.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为22, 直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N . (1)求椭圆C 的方程(2)当AMN ∆的面积为103时,求k 的值. 解析:(1)由题意得,,解得,,所以椭圆的方程为.(2)由,得.设点,,则,. 因为直线恒过椭圆内一点,所以恒成立.由根与系数的关系得:,.所以,又因为点到直线的距离,所以的面积为,即,解得.【例5】.圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图). (1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:+3l y x =交于A,B 两点,若PAB ∆的面积为2,求C 的标准方程.解析:(1)设切点坐标为00(x ,y )00(x 0,y 0)>>.则切线斜率为0x y -.切线方程为0000y (x x )x y y -=--.即004x x y y +=.此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时,00x y 有最大值.即S 有最小值.因此点P 的坐标为(2,2).(2)设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>.点1122A(x ,y ),B(x ,y ).由点P 在C 上知22221a b+=.并由22221,3,x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22243620b x x b ++-=.又12,x x 是方程的根,因此12221224362x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,由113y x =+,223y x =+,得241224824822b b AB x x b -+=-=⋅.由点P 到直线l 的距离为32及13222PAB S AB ∆==得429180b b -+=.解得26b =或3.因此26b =,23a =(舍)或23b =,26a =.从而所求C 的方程为22163x y +=.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B两点,直线l 的倾斜角为60°,AF →=2FB →. (1)求椭圆C 的离心率;(2)如果|AB|=154,求椭圆C 的方程.【解答】解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知y 1>0,y 2＜0. (1)直线l 的方程为y =√3(x +c),其中c =√a 2−b 2.联立{y =√3(x +c)x 2a 2+y 2b 2=1 得 (3a 2+b 2)y 2−2√3b 2cy −3b 4=0.解得y 1=√3b2(c+2a)3a 2+b2,y 2=√3b2(c−2a)3a 2+b2. 因为AF →=2FB →,所以﹣y 1=2y 2.即﹣√3b 2(c+2a)3a 2+b 2=2 √3b 2(c−2a)3a 2+b 2,解得离心率e =c a =23.(6分)(2)因为|AB|=√1+1k2⋅|y 2−y 1|,∴154=√1+13•4√3ab 23a 2+b2.由c a =23 得b =√53a ,所以54a =154,解得a=3,b =√5. 故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1.(12分)【例2】.已知椭圆1C ：x 2421y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(1)求椭圆2C 的方程;(2)设O 为坐标原点,点A B ，分别在椭圆1C 和2C 上,OB →=2OA →,求直线AB 的方程.【解答】解:(1)椭圆C 1:x 24+y 2=1的长轴长为4,离心率为e =c a =√32∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率∴椭圆C 2的焦点在y 轴上,2b=4,为e =c a =√32∴b=2,a=4∴椭圆C 2的方程为y 216+x 24=1;(2)设A,B 的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ), ∵OB →=2OA →∴O,A,B 三点共线,当斜率不存在时,OB →=2OA →不成立,∴点A,B 不在y 轴上当斜率存在时,设AB 的方程为y=kx将y=kx 代入x 24+y 2=1,消元可得(1+4k 2)x 2=4,∴x A 2=41+4k 2 将y=kx 代入y 216+x 24=1,消元可得(4+k 2)x 2=16,∴x B 2=164+k2 ∵OB →=2OA →,∴x B 2=4x A 2∴164+k 2=161+4k 2,解得k=±1,∴AB 的方程为y=±x【例3】.已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A B ，两点,线段AB 的中点为(1)(0)M m m ，＞. (1)证明:k <−12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+FA →+FB →=0→.证明:|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差.【解答】解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)∵线段AB 的中点为M(1,m)∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=2m将A,B 代入椭圆C:x 24+y 23=1中,可得{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12两式相减可得, 3(x 1+x 2)(x 1﹣x 2)+4(y 1+y 2)(y 1﹣y 2)=0, 即6(x 1﹣x 2)+8m(y 1﹣y 2)=0∴k=y 1−y 2x 1−x 2=﹣68m =﹣34m点M(1,m)在椭圆内,即14+m 23＜1,(m >0)解得0＜m ＜32∴k =−34m ＜−12.①(2)由题意得F(1,0),设P(x 3,y 3),则x 1﹣1+x 2﹣1+x 3﹣1=0,y 1+y 2+y 3=0, 由(1)及题设得x 3=3﹣(x 1+x 2)=1,y 3=﹣(y 1+y 2)=﹣2m ＜0.又点P 在C 上,所以m=34,从而P(1,﹣32),|FP →|=32.于是|FA →|=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2﹣x 12.同理|FB →|=2﹣x 22.所以|FA →|+|FB →|=4﹣12(x 1+x 2)=3,故|FA →|+|FB →|=2|FP →|,即|FA →|,|FP →|,|FP →|成等差数列.设改数列的公差为d,则2|d |=||FB →|−|FA →||=12|x 1﹣x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2②将m=34代入①得k=﹣1.所以l 的方程为y=﹣x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=1,x 1x 2=128,代入②解得|d |=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或﹣3√2128.第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】.如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点112212P A x y B x y （，），（，），（，）均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y 的值及直线AB 的斜率.【解答】解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2px∵点P(1,2)在抛物线上∴22=2p ×1,得p=2，故所求抛物线的方程是y 2=4x 准线方程是x=﹣1(II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB则k PA =y 1−2x 1−1(x 1≠1),k PB =y 2−2x 2−1(x 2≠1)∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补∴k PA =﹣k PB 由A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在抛物线上,得y 12=4x 1(1)y 22=4x 2(2) ∴y 1−214y 12−1=−y 2−214y 22−1∴y 1+2=﹣(y 2+2) ∴y 1+y 2=﹣4由(1)﹣(2)得直线AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4y 1+y 2=−44=−1(x 1≠x 2)【例2】.设A B ，为曲线C:y =x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 【解答】解:(1)设A(x 1,x 124),B(x 2,x 224)为曲线C:y=x 24上两点,则直线AB 的斜率为k=x 124−x 224x 1−x 2=14(x 1+x 2)=14×4=1;(2)设直线AB 的方程为y=x +t,代入曲线C:y=x 24,可得x 2﹣4x ﹣4t=0,即有x 1+x 2=4,x 1x 2=﹣4t,再由y=x 24的导数为y ′=12x,设M(m,m 24),可得M 处切线的斜率为12m,由C 在M 处的切线与直线AB 平行,可得12m=1,解得m=2,即M(2,1),由AM ⊥BM 可得,k AM •k BM =﹣1,即为x 124−1x 1−2•x 224−1x 2−2=﹣1,化为x 1x 2+2(x 1+x 2)+20=0,即为﹣4t +8+20=0, 解得t=7.则直线AB 的方程为y=x +7。

2020高考文科数学二轮课件：专题10圆锥曲线

所以
(和比定理)
(4)椭圆的通径长
过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径．设点
P(x0，y0)是椭圆通径的一个端点，将径公式，计算得，通径是最短的焦点弦．
代入相应的焦半
12
考点一椭圆
核心方法重点突破
方法1 求椭圆方程的方法 1．椭圆标准方程的求法
(1)定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方程．其中常用的关系有 ①b2＝a2－c2； ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a； ③椭圆上一短轴端点到椭圆两焦点的距离相等且等于实半轴长a.
考点一椭圆 3．椭圆的几何性质
考点一椭圆 3．椭圆的几何性质
7
考点一椭圆
3．椭圆的几何性质
(1)椭圆的焦点总在长轴上；离心率表示椭圆的扁平程度．当e 越大时，椭圆越扁；当e越小时，椭圆越圆． (2)椭圆的几何性质分类 ①椭圆本身固有的性质(与坐标系无关)，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等； ②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等．在解题时要特别注意第②类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，然后再进行求解．
②直线与椭圆相切 Δ＝0；
③直线与椭圆相离 Δ<0.
(2)当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求，
利用弦长公式
(k为直线的斜率)计算弦长；
涉及求平行弦中点的轨迹，求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在
的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、
求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点在x轴上还是在y轴上；所谓定量就是求出椭圆的a，b，c，从而写出椭圆的方程．

浙江省2020版高考数学专题10圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质课件

2
2
4 16 2 设 f(x)= x x (-2<x<2), 3 3
2 4 2 4 2 2 8 令f '(x)=4 =4 >0, 则 -2< x < . x x x x x 3 3 3 3 3 3 2 令f '(x)<0,则 <x<2. 3
x2 2 C: +y =1的左,右焦点分别是F1,F2,点P是椭圆C上除长轴端点外的任一 4
点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M(m,0). (1)求实数m的取值范围; (2)求|PF1|· |PM|的最大值.
解析
2 x0 2 y0 (1)设P(x0,y0)(y0≠0),则 + =1. 4
2
3 5 ( 5 1) 2 2 3 5 2 3 5 -e ),解得e > 或e < .因为0<e<1,则e < = ,则0<e< 2 2 2 4
2 2
5 1 ,故选B. 2
答案 B
考向二求解焦点三角形问题例2 (2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(5月),21,15分)已知椭圆
2
=
| my
2 0
0
3 y0 |
2
y ( x0
|m 3|
2
因为- 3 <m< 3 ,-2<x0<2,所以
3 x 2 0 2 m 3
.
3
2
=
x0 2 2
3m 3 2
,
x0
3 3 3 所以m= x0,因此- <m< . (8分) 4 2 2 2 3x0 3 2 2 2 3 x0 4 = x0+2. (9分) ( x0 3) y0 = (2)|PF1|= 4 2

2020年高考数学圆锥曲线中第二定义的三类用法(共10张PPT)

1
2
PF22
PF1
F1F22 ，即
PF2
1 2
(e2 x02
e2 4)
x02 1
6
注意：此题有更简单的做法，上述方法只是为了巩固焦半
径的知识
第二定义
（2）离心率问题
例2：倾斜角为
6
的直线过椭圆
x2 y2 a2 b2
1 的左焦点，交椭圆于A,B 两点，且有 | AF | 3 | B F | ，求椭圆的离心率.
，解得
PF2
5 4
PD
5
所以
|
PM
|
4 5
|
PF2
|
PM
PD
因此当P,M,D三点共线时 PM PD 取得最小值，最小
值为从 M到右准线的距离 MH, MH 6 16 14 55
第二定义
本次课重点需要注意三点：
（1）是第二定义的用法；（2）是注意例2这个题目的常规做法，此外下次课会给出这种例题的常用结论；（3）需要注意焦半径的取值范围，这个范围是求离心率取值范围题目中常用的
解析：AF, B F 为左焦点上的焦半径，所以过A,B 两点
分别作垂直于准线的直线且和准线交于D,E 两点，
从B 点作 BH AD .
因为| AF | 3| B F | ，设 BF m ，则 AF 3m
又因为 AF
AD
所以 AH
BF BE
2m
e
，则
BE
BF e
m e
,
AD
AF ,
e
3m e
为双曲线的左右焦点，
求
|
PM
|
4 5
|
PF2

2020高考数学(文科)新思维大二轮(教师课件)：第2课时圆锥曲线的定义、标准方程及性质

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考点一考点二
解析：法一：设直线 AB 的倾斜角为 α，分别过 A，B 作准线 l 的垂线 AA′，BB′，
垂足分别为 A′，B′(图略)，则|AA′|＝6，|BB′|＝3，过点 B 作 AA′的垂线 BC，
答案：C
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考点一考点二
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为 F1， F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若F→1A＝A→B，F→1B·F→2B＝0，则 C 的离心率为________．
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考点一考点二
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2， ∴△OBF2 为等边三角形．如图所示，不妨设 B 为2c，－ 23c. ∵点 B 在直线 y＝－bax 上，∴ba＝ 3， ∴离心率 e＝ac＝2.
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2．圆锥曲线以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率(y0≠0)
椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
k＝－ba22xy00
双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) k＝ba22xy2002
抛物线 y2＝2px(p＞0)
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人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(基础)：圆锥曲线第二章常见条件翻译转化

第二章常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长公式也可以写成关于y 的形式)120AB y k =-=≠三、三角形面积求法【例1】.设12F F ，分别是椭圆22210+1y E x b b=：（＜＜）的左、右焦点,过1F 的直线l 与E 相交于A B 、两点,且22||||||AF AB BF ，，成等差数列. (1)求||AB ;(2)若直线l 的斜率1为,求b 的值.【解答】解:(1)由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB|=43(2)L 的方程式为y=x +c,其中c =√1−b 2设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则A,B 两点坐标满足方程组{y =x +cx 2+y 2b2=1.,化简得(1+b 2)x 2+2cx +1﹣2b 2=0.则x1+x 2=−2c 1+b 2,x 1x 2=1−2b21+b2. 因为直线AB 的斜率为1,所以|AB|=√2|x 2−x 1|即43=√2|x 2−x 1|.则89=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4(1−b 2)(1+b 2)2−4(1−2b 2)1+b 2=8b 4(1+b 2)2.解得b =√22.【例2】.如图,12F F ，分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=10a b （＞＞）的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ∠=︒. (1)求椭圆C 的离心率;(2)已知1AF B 的面积为403求a b ，的值.【解答】解:(1)∠F 1AF 2=60°⇔a=2c ⇔e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a ﹣m,在三角形BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|BF 2||F 1F 2|cos120°⇔(2a ﹣m)2=m 2+a 2+am.⇔m=35a .△AF 1B 面积S=12|BA ||F 1A |sin60°⇔12×a ×(a +35a)×√32=40√3⇔a=10,∴c=5,b=5√3. 【例3】.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于,A B 两点,若线段AB 的长为8,则p =_____.解析设过焦点(,0)2p F 且倾斜角为45°的直线方程为2py x =-,联立直线方程与抛物线方程得222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消y 得22304p x px -+=.则p ＝2.【例4】.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2, 直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N . (1)求椭圆C 的方程(2)当AMN ∆时,求k 的值. 解析:(1)由题意得,,解得,,所以椭圆的方程为.(2)由,得.设点,,则,. 因为直线恒过椭圆内一点,所以恒成立.由根与系数的关系得:,.所以,又因为点到直线的距离,所以的面积为,即,解得.【例5】.圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:l y x =A,B 两点,若PAB ∆2,求C 的标准方程.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B两点,直线l 的倾斜角为60°,AF →=2FB →. (1)求椭圆C 的离心率;(2)如果|AB|=154,求椭圆C 的方程.【解答】解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知y 1>0,y 2＜0. (1)直线l 的方程为y =√3(x +c),其中c =√a 2−b 2.联立{y =√3(x +c)x 2a 2+y 2b 2=1 得 (3a 2+b 2)y 2−2√3b 2cy −3b 4=0.解得y 1=√3b2(c+2a)3a 2+b2,y 2=√3b2(c−2a)3a 2+b2. 因为AF →=2FB →,所以﹣y 1=2y 2.即﹣√3b 2(c+2a)3a 2+b 2=2 √3b 2(c−2a)3a 2+b 2,解得离心率e =c a =23.(6分)(2)因为|AB|=√1+1k2⋅|y 2−y 1|,∴154=√1+13•4√3ab 23a 2+b2.由ca =23 得b =√53a ,所以54a =154,解得a=3,b =√5. 故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1.(12分)【例2】.已知椭圆1C ：x 2421y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(1)求椭圆2C 的方程;(2)设O 为坐标原点,点A B ，分别在椭圆1C 和2C 上,OB →=2OA →,求直线AB 的方程.【解答】解:(1)椭圆C 1:x 24+y 2=1的长轴长为4,离心率为e =c a =√32∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率∴椭圆C 2的焦点在y 轴上,2b=4,为e =c a =√32∴b=2,a=4∴椭圆C 2的方程为y 216+x 24=1;(2)设A,B 的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ), ∵OB →=2OA →∴O,A,B 三点共线,当斜率不存在时,OB →=2OA →不成立,∴点A,B 不在y 轴上当斜率存在时,设AB 的方程为y=kx将y=kx 代入x 24+y 2=1,消元可得(1+4k 2)x 2=4,∴x A 2=41+4k 2 将y=kx 代入y 216+x 24=1,消元可得(4+k 2)x 2=16,∴x B 2=164+k2 ∵OB →=2OA →,∴x B 2=4x A 2∴164+k 2=161+4k 2,解得k=±1,∴AB 的方程为y=±x【例3】.已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A B ，两点,线段AB 的中点为(1)(0)M m m ，＞. (1)证明:k <−12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+FA →+FB →=0→.证明:|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差.【解答】解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)∵线段AB 的中点为M(1,m)∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=2m将A,B 代入椭圆C:x 24+y 23=1中,可得{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12两式相减可得, 3(x 1+x 2)(x 1﹣x 2)+4(y 1+y 2)(y 1﹣y 2)=0, 即6(x 1﹣x 2)+8m(y 1﹣y 2)=0∴k=y 1−y 2x 1−x 2=﹣68m =﹣34m点M(1,m)在椭圆内,即14+m 23＜1,(m >0)解得0＜m ＜32∴k =−34m ＜−12.①(2)由题意得F(1,0),设P(x 3,y 3),则x 1﹣1+x 2﹣1+x 3﹣1=0,y 1+y 2+y 3=0, 由(1)及题设得x 3=3﹣(x 1+x 2)=1,y 3=﹣(y 1+y 2)=﹣2m ＜0.又点P 在C 上,所以m=34,从而P(1,﹣32),|FP →|=32.于是|FA →|=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2﹣x 12.同理|FB →|=2﹣x 22.所以|FA →|+|FB →|=4﹣12(x 1+x 2)=3, 故|FA →|+|FB →|=2|FP →|,即|FA →|,|FP →|,|FP →|成等差数列.设改数列的公差为d,则2|d |=||FB →|−|FA →||=12|x 1﹣x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2②将m=34代入①得k=﹣1.所以l 的方程为y=﹣x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=1,x 1x 2=128,代入②解得|d |=3√2128.所以该数列的公差为3√2128或﹣3√2128.第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】.如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点112212P A x y B x y （，），（，），（，）均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y 的值及直线AB 的斜率.【解答】解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2px∵点P(1,2)在抛物线上∴22=2p ×1,得p=2，故所求抛物线的方程是y 2=4x 准线方程是x=﹣1(II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB则k PA =y 1−2x 1−1(x 1≠1),k PB =y 2−2x 2−1(x 2≠1)∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补∴k PA =﹣k PB 由A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在抛物线上,得y 12=4x 1(1)y 22=4x 2(2) ∴y 1−214y 12−1=−y 2−214y 22−1∴y 1+2=﹣(y 2+2) ∴y 1+y 2=﹣4由(1)﹣(2)得直线AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4y 1+y 2=−44=−1(x 1≠x 2)【例2】.设A B ，为曲线C:y =x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 【解答】解:(1)设A(x 1,x 124),B(x 2,x 224)为曲线C:y=x 24上两点,则直线AB 的斜率为k=x 124−x 224x 1−x 2=14(x 1+x 2)=14×4=1;(2)设直线AB 的方程为y=x +t,代入曲线C:y=x 24,可得x 2﹣4x ﹣4t=0,即有x 1+x 2=4,x 1x 2=﹣4t,再由y=x 24的导数为y ′=12x,设M(m,m 24),可得M 处切线的斜率为12m,由C 在M 处的切线与直线AB 平行,可得12m=1,解得m=2,即M(2,1),由AM ⊥BM 可得,k AM •k BM =﹣1,即为x 124−1x 1−2•x 224−1x 2−2=﹣1,化为x 1x 2+2(x 1+x 2)+20=0,即为﹣4t +8+20=0, 解得t=7.则直线AB 的方程为y=x +7.。

人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(中档)：圆锥曲线第二章常见条件翻译转化

第二章常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为 ()22221212121141AB k x x k x x x x k A∆=+-=++-=+ ,即弦长公式,弦长公式也可以写成关于y 的形式()()2221212121140AB k y y k y y y y k =+-=++-≠三、三角形面积求法方法12⨯底高 C ab sin 211212121211:,22S F F y y S F F x x ∆∆=-=-拆分适合题型一切题型边角已知的题过定点的题备注不一定简单简单简单【例1】.已知双曲线的两个焦点为点在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程;(2)记O 为坐标原点,过点02Q （，）的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、,若OEF 的面积为 ,求直线l 的方程.【解答】解:(1):依题意,由a 2+b 2=4,得双曲线方程为(0＜a 2＜4),将点(3, )代入上式,得.解得a 2=18(舍去)或a 2=2,故所求双曲线方程为.(2):依题意,可设直线l 的方程为y=kx +2,代入双曲线C 的方程并整理, 得(1﹣k 2)x 2﹣4kx ﹣6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F, ∴＜＜ ∴k ∈(﹣ )∪(1, ).设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),则由①式得x 1+x 2=,x 1x 2=﹣, 于是,|EF |==而原点O 到直线l 的距离d=, ∴S △OEF =.若S △OEF = ,即,解得k=± ,满足②.故满足条件的直线l 有两条,其方程分别为y= 和 .【例2】.设椭圆0a b （＞＞）的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为.已知A 是抛物线220y px p （＞）的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为.(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l 上两点P Q ，关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于A ),直线BQ 与x 轴相交于点D.若APD的面积为,求直线AP的方程.【解答】(1)解:设F的坐标为(﹣c,0).依题意可得解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2﹣c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),联立方程组,解得点P(﹣1,﹣),故Q(﹣1,).联立方程组,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣∴B().∴直线BQ的方程为(﹣)(x+1)﹣()(y﹣)=0,令y=0,解得x=,故D(,0).∴|AD|=1﹣=.又∵△APD的面积为,∴×=,整理得3m2﹣2|m|+2=0,解得|m|=,∴m=±.∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0,或3x﹣y﹣3=0.【例3】已知椭圆C:22221x ya b+=(0a b>>)的左焦点为(2,0)F-,离心率为63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线3x=-上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.(1)由已知得:63c a =,,所以6a = 又由222a b c =+,解得2b =,所以椭圆的标准方程为:. (2)设T 点的坐标为(3,)m -,则直线TF 的斜率03(2)TF m k m -==----.当0m ≠时,直线PQ 的斜率1PQ k m=,直线PQ 的方程是当0m =时,直线PQ 的方程是2x =-,也符合的形式.将代入椭圆方程得:.其判别式22168(3)0m m ∆=++>.设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以OP QT =,即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩解得1m =±.此时四边形OPTQ 的面积2122214222||||2()423233OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==⨯⋅-=-=++.【例4】.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点()焦点2c =22162x y +=2x my =-2x my =-2x my =-22(3)420m y my +--=12(30),(30)F F -，，,圆O 的直径为12F F .(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于A B ，两点.若OAB 的面积为,求直线l 的方程.【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为,∵焦点F 1(﹣ ,0),F 2( ,0),∴ . ∵∴,又a 2﹣b 2=c 2=3,解得a=2,b=1. ∴椭圆C 的方程为:,圆O 的方程为:x 2+y 2=3.(2)①可知直线l 与圆O 相切,也与椭圆C,且切点在第一象限,因此k 一定小于0, ∴可设直线l 的方程为y=kx +m,(k ＜0,m >0). 由圆心(0,0)到直线l 的距离等于圆半径 ,可得即 .由,可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0, △=(8km)2﹣4(4k 2+1)(4m 2﹣4)=0,可得m 2=4k 2+1,∴3k 2+3=4k 2+1,结合k ＜0,m >0,解得k=﹣ ,m=3. 将k=﹣ ,m=3代入可得 ,解得x= ,y=1,故点P 的坐标为( . ②设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由＜⇒k ＜﹣ .联立直线与椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0,|x 2﹣x 1|==,O 到直线l 的距离d=,|AB |=|x 2﹣x 1|=,△OAB 的面积为S===,解得k=﹣ ,(正值舍去),m=3 . ∴y=﹣ 为所求.【例5】.在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点1,1A -（）关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ,问:是否存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由. 若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等,设点P 的坐标为00(,)x y则11||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠,因为sin sin APB MPN ∠=∠,所以||||||||PA PN PM PB =所以000|1||3||3||1|x x x x +-=--即 2200(3)|1|x x -=-,解得0x 53=因为220034x y +=,所以0339y =±,故存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等,此时点P 的坐标为533(,)39±. 【例6】.已知抛物线22C y x =：的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12l l ，分别交C 于A B ，两点,交C 的准线于P Q ，两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ ;(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【解答】(1)证明:连接RF,PF,由AP=AF,BQ=BF 及AP ∥BQ,得∠AFP +∠BFQ=90°, ∴∠PFQ=90°,∵R 是PQ 的中点,∴RF=RP=RQ,∴△PAR ≌△FAR,∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,∵∠BQF +∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR, ∴∠FQB=∠PAR,∴∠PRA=∠PQF,∴AR ∥FQ. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F( ,0),准线为 x=﹣ , S △PQF = |PQ |=|y 1﹣y 2|, 设直线AB 与x 轴交点为N,∴S △ABF =|FN ||y 1﹣y 2|,∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,∴2|FN |=1,∴x N =1,即N(1,0).设AB 中点为M(x,y),由得 =2(x 1﹣x 2),又 = , ∴=,即y 2=x ﹣1.∴AB 中点轨迹方程为y 2=x ﹣1.【例7】.设椭圆0a b （＞＞）的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为,||AB = . (1)求椭圆的方程;(2)设直线0l y kx k =：（＜）与椭圆交于P Q ，两点, 与直线AB 交于点M ,且点P M ，均在第四象限.若BPM 的面积是BPQ 面积的2倍,求k 的值.【解答】解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得,又a 2=b 2+c 2, 解得a=3,b=2,∴椭圆的方程为:,(2)设点P(x 1,y 1),M(x 2,y 2),(x 2>x 1>0).则Q(﹣x 1,﹣y 1).∵△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,∴|PM |=2|PQ |,从而x 2﹣x 1=2[x 1﹣(﹣x 1)], ∴x 2=5x 1,易知直线AB 的方程为:2x +3y=6.由 ,可得0.由 ,可得,⇒ ,⇒18k 2+25k +8=0,解得k=﹣ 或k=﹣.由0.可得k ,故k=﹣,【例8】.已知椭圆C 的两个顶点分别为2020A B （-，），（，）,焦点在x 轴上,离心率为. (1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M N ，,过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:BDE 与BDN 的面积之比为45：. 【解答】解:(1)由椭圆的焦点在x 轴上,设椭圆方程:(a >b >0),则a=2,e= =,则c= ,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆C 的方程;(2)证明:设D(x 0,0),(﹣2＜x 0＜2),M(x 0,y 0),N(x 0,﹣y 0),y 0>0,由M,N 在椭圆上,则,则x 02=4﹣4y 02, 则直线AM 的斜率k AM = = ,直线DE 的斜率k DE =﹣ ,直线DE 的方程:y=﹣(x ﹣x 0),直线BN 的斜率k BN =,直线BN 的方程y=(x ﹣2),,解得:, 过E 做EH ⊥x 轴,△BHE ∽△BDN,则丨EH 丨=,则丨丨丨丨=,∴:△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5.【例9】如图7,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.(1)求,的方程;(2)设与轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线与相交于点,直线,MA MB 分别与相交与,D E .22122:1(0)x y C a b a b +=>>32x22:C y x b =-1C 1C 2C 2C y l 2C 1C(i)证明:;(ii)记,MAB MDE 的面积分别是12,S S .问:是否存在直线,使得=?请说明理由.解析:(I)由题意知32c e a ==,从而2a b =,又2b a =,解得2,1a b ==. 故,的方程分别为2221,14x y y x +==-. (II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为k ,则直线的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,x x 是上述方程的两个实根,于是1212,1x x k x x +==-.又点M 的坐标为(0,1)- 所以故,即.(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.于是由得,解得或则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.MD ME ⊥l 21S S 32171C 2C l l于是.因此.由题意知,,解得或.又由点、的坐标可知,,所以.故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.在平面直角坐标系xOy中,点到两点的距离之和等于,设点的轨迹为.(1)写出的方程;(2)设直线与交于两点.为何值时⊥？此时的值是多少？【解答】解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴,故曲线C的方程为.(4分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足消去y并整理得(k2+4)x2+2kx﹣3=0,故.(6分),即x 1x 2+y 1y 2=0.而y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1,于是.所以时,x 1x 2+y 1y 2=0,故 .(8分)当时,, 而(x 2﹣x 1)2=(x 2+x 1)2﹣4x 1x 2=,所以.(12分)【例2】.在直角坐标系中,椭圆1C ：的左、右焦点分别为12F F ，.2F 也是抛物线224C y x =：的焦点,点M 为1C 与2C 在第一象限的交点,且2||MF =.(1)求1C 的方程;(2)平面上的点N 满足,直线l M N ,且与1C 交于A B ，两点,若,求直线的方程. 【解答】解:(1)由C 2:y 2=4x 知F 2(1,0).设M(x 1,y 1),M 在C 2上,因为,所以 ,得.M 在C 1上,且椭圆C 1的半焦距c=1, 于是消去b 2并整理得9a 4﹣37a 2+4=0,解得a=2(不合题意,舍去).故椭圆C 1的方程为.(2)由知四边形MF 1NF 2是平行四边形,其中心为坐标原点O, 因为l ∥MN,所以l 与OM 的斜率相同,故l 的斜率.设l 的方程为 .由消去y 并化简得9x 2﹣16mx +8m 2﹣4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),.因为,所以x 1x 2+y 1y 2=0.x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+6(x 1﹣m)(x 2﹣m)=7x 1x 2﹣6m(x 1+x 2)+6m 2==.所以 .此时△=(16m)2﹣4×9(8m 2﹣4)>0,故所求直线l 的方程为 ,或 .【例3】.已知双曲线的离心率为 ,右准线方程为(I)求双曲线的方程;(2)设直线是圆222O x y +=：上动点0000)((0)P x y x y ≠，处的切线, 与双曲线C 交于不同的两点A B ，,证明AOB ∠的大小为定值.【解答】解:(1)由题意,,解得a=1,c= ,b 2=c 2﹣a 2=2,∴所求双曲C的方程.(2)设P(m,n)(mn ≠0)在x 2+y 2=2上,圆在点P(m,n)处的切线方程为y ﹣n=﹣(x ﹣m),化简得mx +ny=2.以及m 2+n 2=2得(3m 2﹣4)x 2﹣4mx +8﹣2m 2=0, ∵切L 与双曲线C 交于不同的两点A 、B,且0＜m 2＜2, 3m 2﹣4≠0,且△=16m 2﹣4(3m 2﹣4)(8﹣2m 2)>0, 设A 、B 两点的坐标分别(x 1,y 1),(x 2,y 2),x 1+x 2=,x 1x 2=.∵,且=x 1x 2+[4﹣2m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2]=+[4﹣+]=﹣=0. ∴∠AOB 的大小为900.【例4】.设12F F ，分别是0a b （＞＞）的左,右焦点, 是上一点且2MF 与轴垂直,直线1MF 与的另一个交点为 .(1)若直线的斜率为,求的离心率;(2)若直线在轴上的截距为 ,且15||||MN F N ,求 . 【解答】解:(1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直, ∴M 的横坐标为c,当x=c 时,y=,即M(c,),若直线MN 的斜率为 ,即tan ∠MF 1F 2=,即b 2= =a 2﹣c 2,即c 2+﹣a 2=0,则 ,即2e 2+3e ﹣2=0解得e= 或e=﹣2(舍去),即e=.(2)由题意,原点O 是F 1F 2的中点,则直线MF 1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,设M(c,y),(y >0),则,即,解得y= ,∵OD 是△MF 1F 2的中位线,∴=4,即b 2=4a,由|MN |=5|F 1N |,则|MF 1|=4|F 1N |, 解得|DF 1|=2|F 1N |, 即设N(x 1,y 1),由题意知y 1＜0,则(﹣c,﹣2)=2(x 1+c,y 1).即 ,即代入椭圆方程得 ,将b 2=4a 代入得,解得a=7,b= .【例5】.如图,设椭圆的中心为原点 ,长轴在轴上,上顶点为 ,左、右焦点分别为12F F ，,线段12OF OF ，的中点分别为12B B ，,且12AB B 是面积为的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过1B 作直线交椭圆于P Q ，两点,使22PB QB ,求2PB Q 的面积.【解答】解:(1)设椭圆的方程为,F 2(c,0)∵△AB 1B 2是的直角三角形,|AB 1|=AB 2|,∴∠B 1AB 2为直角,从而|OA |=|OB 2|,即∵c 2=a 2﹣b 2,∴a 2=5b 2,c 2=4b 2,∴在△AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,∴S= |B 1B 2||OA |=∵S=4,∴b 2=4,∴a 2=5b 2=20∴椭圆标准方程为;(2)由(1)知B 1(﹣2,0),B 2(2,0),由题意,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为x=my ﹣2代入椭圆方程,消元可得(m 2+5)y 2﹣4my ﹣16=0① 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∴∵∴=∵PB 2⊥QB 2,∴∴,∴m=±2当m=±2时,①可化为9y 2±8y ﹣16﹣0,∴|y 1﹣y 2|==∴△PB 2Q 的面积S= |B 1B 2||y 1﹣y 2|= ×4× =.【例5】.如图,抛物线E:24y x =的焦点为F ,准线与轴的交点为 .点在抛物线上,以为圆心, 为半径作圆,设圆与准线交于不同的两点 . (1)若点的纵坐标为 ,求 ;(2)若2||||||•AF AM AN =,求圆的半径.【解答】解:(I)抛物线E:y2=4x 的准线l:x=﹣1,由点C 的纵坐标为2,得C(1,2),故C 到准线的距离d=2,又|OC |= , ∴|MN |=2 = =2. (II)设C(,y 0),则圆C 的方程为(x ﹣)2+(y ﹣y 0)2=, 即x 2﹣ +y 2﹣2y 0y=0,由x=﹣1得y 2﹣2y 0y +1+=0,设M(﹣1,y 1),N(﹣1,y 2),则, 由|AF |2=|AM |•|AN |,得|y 1y 2|=4,∴1+=4,解得y 0= ,此时△>0∴圆心C 的坐标为( ),|OC |2= ,从而|OC |= .即圆C 的半径为.【例6】.如图, 为坐标原点,双曲线1C ：1100a b （＞，＞）和椭圆C 2:220a b （＞＞）均过点,且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12C C 、的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A 、B 两点,与2C 只有一个公共点,且|+|=||？证明你的结论.【解答】解:(1)设椭圆C 2的焦距为2c 2,由题意可得2a 1=2,∴a 1=1,c 2=1.由于点P( ,1)在上,∴﹣ =1, =3,∴双曲线C 1的方程为:x 2﹣=1.再由椭圆的定义可得 2a 2=+=2 ,∴a 2= ,∴= ﹣ =2,∴椭圆C 2的方程为:+=1.(2)不存在满足条件的直线l.(1)若直线l 垂直于x 轴,则由题意可得直线l 得方程为x= ,或 x=﹣ .当x=时,可得A()、B(,﹣),求得||=2,||=2,显然,|+|≠||.同理,当x=﹣时,也有|+|≠||.(2)若直线l不垂直于x轴,设直线l得方程为y=kx+m,由可得(3﹣k2)x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0,∴x1+x2=,x1•x2=.于是,y1•y2=k2x1•x2+km(x1+x2)+m2=.由可得(2k2+3)x2+4kmx+2m2﹣6=0,根据直线l和C1仅有一个交点,∴判别式△=16k2m2﹣8(2k2+3)(m2﹣3)=0,∴2k2=m2﹣3.∴=x1•x2+y1•y2=≠0,∴≠,∴|+|≠||.【例7】.双曲线2221yxb-=0b（＞）的左、右焦点分别为12F F，,直线过2F且与双曲线交于A B，两点.(1)直线的倾斜角为,1F AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设,若的斜率存在,且(+)•=0,求的斜率.【解答】解:(1)双曲线x2﹣=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,a=1,c2=1+b2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点,直线l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,可得:A(c,b2),可得:,3b4=4(a2+b2),即3b4﹣4b2﹣4=0,b>0,解得b2=2.所求双曲线方程为:x2﹣=1,其渐近线方程为y=±x.(2)b=,双曲线x2﹣=1,可得F1(﹣2,0),F2(2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),直线的斜率为:k=,直线l的方程为:y=k(x﹣2),由题意可得:,消去y可得:(3﹣k2)x2+4k2x﹣4k2﹣3=0,△=36(1+k2)>0且3﹣k2≠0,可得x1+x2=,则y1+y2=k(x1+x2﹣4)=k(﹣4)=.=(x1+2,y1),=(x2+2,y2),(+)•=0可得:(x1+x2+4,y1+y2)•(x1﹣x2,y1﹣y2)=0,可得x1+x2+4+(y1+y2)k=0,得+4+•k=0可得:k2=,解得k=±.l的斜率为:±.【例8】.设为坐标原点,动点在椭圆22:12xC y+=上,过作轴的垂线,垂足为,点满足=.(1)求点的轨迹方程;(2)设点在直线上,且•=1.证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.【解答】解:(1)设M(x0,y0),由题意可得N(x0,0),设P(x,y),由点P满足=.可得(x﹣x0,y)=(0,y0),可得x﹣x0=0,y=y0,即有x0=x,y0=,代入椭圆方程+y2=1,可得+=1,即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2;(2)证明:设Q(﹣3,m),P(cosα,sinα),(0≤α＜2π),•=1,可得(cosα,sinα)•(﹣3﹣cosα,m﹣sinα)=1,即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1,当α=0时,上式不成立,则0＜α＜2π,解得m=,即有Q(﹣3,),椭圆+y2=1的左焦点F(﹣1,0),由•=(﹣1﹣cosα,﹣sinα)•(﹣3,)=3+3cosα﹣3(1+cosα)=0.可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.另解:设Q(﹣3,t),P(m,n),由•=1,可得(m,n)•(﹣3﹣m,t ﹣n)=﹣3m ﹣m 2+nt ﹣n 2=1,又P 在圆x 2+y 2=2上,可得m 2+n 2=2,即有nt=3+3m,又椭圆的左焦点F(﹣1,0), • =(﹣1﹣m,﹣n)•(﹣3,t)=3+3m ﹣nt=3+3m ﹣3﹣3m=0,则 ⊥,可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【例9】.已知椭圆 0a b （＞＞）的离心率为 ,焦距为2 .斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点 .(1)求椭圆的方程;(2)若 ,求||AB 的最大值;(Ⅲ)设20P （-，）,直线PA 与椭圆的另一个交点为 ,直线与椭圆的另一个交点为 .若和点共线,求 .【解答】解:(1)由题意可知:2c=2 ,则c= ,椭圆的离心率e= =, 则a= ,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆的标准方程:;(2)设直线AB 的方程为:y=x +m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立,整理得:4x 2+6mx +3m 2﹣3=0,△=(6m)2﹣4×4×3(m 2﹣1)>0, 整理得:m 2＜4,x 1+x 2=﹣,x 1x 2= ,∴|AB |= =, ∴当m=0时,|AB |取最大值,最大值为 ;(Ⅲ)设直线PA 的斜率k PA = ,直线PA 的方程为:y=(x +2), 联立, 消去y 整理得:(x 12+4x 1+4+3y 12)x 2+12y 12x +(12y 12﹣3x 12﹣12x 1﹣12)=0,由代入上式得,整理得:(4x 1+7)x 2+(12﹣4x 12)x ﹣(7x 12+12x 1)=0, x 1•x C =﹣ ,x C =﹣ ,则y C = (﹣ +2)=, 则C(﹣),同理可得:D(﹣ ), 由Q(﹣ ),则 =( ), =(), 由与共线,则 × = ×, 整理得:y 2﹣x 2=y 1﹣x 1,则直线AB 的斜率k==1,∴k 的值为1. 第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】设抛物线22C y x ：,点20A （，）,20B （-，）,过点的直线与交于两点. (1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)证明:∠ ∠ .【解答】解:(1)当l与x轴垂直时,x=2,代入抛物线解得y=±2,所以M(2,2)或M(2,﹣2),直线BM的方程:y=x+1,或:y=﹣x﹣1.(2)证明:设直线l的方程为l:x=ty+2,M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线l与抛物线方程得,消x得y2﹣2ty﹣4=0,即y1+y2=2t,y1y2=﹣4,则有k BN+k BM=+===0,所以直线BN与BM的倾斜角互补,∴∠ABM=∠ABN.【例2】.设椭圆2212xC y+=：的右焦点为,过F的直线与交于两点,点的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:∠∠.【解答】解:(1)c==1,∴F(1,0),∵l与x轴垂直,∴x=1,由,解得或,∴A(1.),或(1,﹣),∴直线AM的方程为y=﹣x+,y=x﹣,证明:(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,∴∠OMA=∠OMB,当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x﹣1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＜,x2＜,直线MA,MB的斜率之和为k MA,k MB之和为k MA+k MB=+,由y1=kx1﹣k,y2=kx2﹣k得k MA+k MB=,将y=k(x﹣1)代入+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,∴x1+x2=,x1x2=,∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=(4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k)=0从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB,综上∠OMA=∠OMB.【例3】.如图,椭圆经过点,且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点(均异于点),证明:直线与斜率之和为.【解答】解:(1)由题设知,=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=,所以+y2=1;(2)证明:由题意设直线PQ的方程为y=k(x﹣1)+1(k≠0),代入椭圆方程+y2=1,可得(1+2k2)x2﹣4k(k﹣1)x+2k(k﹣2)=0,由已知得(1,1)在椭圆外,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,且△=16k2(k﹣1)2﹣8k(k﹣2)(1+2k2)>0,解得k>0或k＜﹣2.则有直线AP,AQ的斜率之和为k AP+k AQ=+=+=2k+(2﹣k)(+)=2k+(2﹣k)•=2k+(2﹣k)•=2k﹣2(k﹣1)=2.即有直线AP与AQ斜率之和为2。

高三数二轮专题复习课件圆锥曲线

理解参数方程与圆锥曲线的关联，掌握利用参数方程解决圆锥曲线问题的方法。
极坐标与圆锥曲线
理解极坐标与圆锥曲线的交汇点，掌握利用极坐标解决圆锥曲线问题的方法。
05
圆锥曲线解题技巧与策略
代数法求解圆锥曲线问题
利用代数方法进行求解
代数法是解决圆锥曲线问题的一种基本方法，主要通过将问题转化为代数方程，然后进行求解。这种方法需要掌握圆锥曲线的标准方程和相关性质，以及代数方程的求解技巧。
抛物线
离心率e为1，因为抛物线是所有点与固定点（焦点）距离相等的点的集合。
03
圆锥曲线的应用
曲线的切线问题
切线斜率
通过求导数或利用曲线的参数方程，求出切线的斜率，进而求出切线方程。
切线长
利用切线斜率和点到直线的距离公式，求出切线长。
切线与弦的关系
利用切线与弦的垂直关系，求出弦的中点坐标和长度。
THANKS
感谢观看
关于x轴和y轴都是对称的。
抛物线
只有一条对称轴，通常为 y=x或y=-x。
曲线的范围
椭圆
在x轴和y轴上都有一定的范围，确保所有点都在椭圆上。
双曲线
在x轴和y轴上都有一定的范围，确保所有点都在双曲线上。
抛物线
只关于一个轴有范围，通常为y≥0 或y≤0。
曲线的顶点和焦点
椭圆
有两个顶点和两个焦点，顶点是曲线的最高和最低点，焦点用于
确定曲线的形状。
双曲线
有一个顶点和两个焦点，顶点是曲线的最高或最低点，焦点用于
确定曲线的形状。
抛物线
有一个顶点和焦点，顶点是曲线的最高或最低点，焦点在顶点的
正上方或正下方。
曲线的离心率
椭圆

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