利用matlab设计巴特沃斯低通滤波器

三峡大学

课程设计报告

专业班级 20091421

课程数字信号处理课程设计

学号 2009142116 学生姓名姜祥奔

指导教师王露

2012年 5 月

平时成绩（20%）

报告成绩（40%）

答辩成绩（40%）

总成绩

数字信号处理课程设计

实验一：用双线性变换法和脉冲响应不变法设计IIR 数字滤波器

采用双线性变换法设计一个巴特沃斯数字低通滤波器，要求：通带截止频率

100Hz ，阻带截止频率200Hz ，通带衰减指标Rp 小于2dB ，阻带衰减Rs 大于15dB ，滤波器采样频率Fs=500Hz 。绘制频率响应曲线。

理论部分：（原理及设计过程）

第一步：论ω和f 的关系及数字域性能的公式表示。模拟频率与数字频率之间为线性关系，T f T fT T s

,101,24-===Ω=πω为抽样周期，故 ππω4.0500110021=⨯

⨯==c c kHz f 对应于 修正后

)2

t a n (21c T ω=Ω ππω8.0500120021=⨯

⨯==st st kHz f 对应于 修正后

)2

tan(21st T ω=

Ω 按衰减的定义

2)

()(log 204.0010≤πj j e H e H 15)()(log 208.0010

≥πj j e H e H 设0=ω处频率响应幅度归一化为1,即1)(0=j e H ，则上两式变成

2)(log 204.010-≥πj e H (1)

15)(log 208.010-≤πj e H (2)

这就是数字滤波器的性能指标的表达式。

2 下面把数字低通滤波器的性能要求转变为“样本”模拟低通滤波器的性能

要求。由T Ω=ω，按修正式)()(T j

H e H a j ωω≈，设没有混叠效应（即混叠效应设计完成后再进行校验）

则有

πωω

ω≤Ω==),()()(j H T j H e H a a j (3)

利用（3）式，由（1）、（2）式可写出模拟低通滤波器的指标为

2)102(log 20)4.0(log 2021010-≥⨯=ππj H T

j H a a …….（4） 15)104(log 20)8.0(log 2021010-≤⨯=ππj H T j

H a a …（5） 3 计算“样本”模拟低通滤波器所需的阶数N 及3dB 截止频率C Ω。巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数是

N C a j H 22)(11)(ΩΩ+=Ω

以分贝形式表示上式，即

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ΩΩ+-=ΩN C a j H 21010)(1log 10)(log 20 ……………（6） 把求出的性能指标关系（4）式、(5)式代入(6)式得

2)(1log 102110-≥⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ΩΩ+-N C 15)(1log 102210-≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ΩΩ+-N C 先用等号来满足指标，可得

N C

21)(1ΩΩ+＝2.010 N C

22)(1ΩΩ+＝5.110 解此两方程，得N=1.3709, N 是滤波器阶次，必须取整数，为了满足或超过给定

指标，故应选取比求出的N 大一点的整数，故取N ＝2,代入通带条件（6-118a ）式，得C Ω＝1.038310⨯,即

N ＝2, C Ω＝1.038310⨯ (7)

显然，利用（7）式的N 和C Ω，阻带指标正好满足，而通带指标则低于2dB ，

这正好对减少冲激响应不变法造成的频谱混叠效应是有利的。

程序部分：

wp=100*2*pi; %数字滤波器的通带截

止频率

ws=200*2*pi; %数字滤波器的阻带截止频率

Rp=2;As=15; %输入滤波器的通阻带衰减指

标

%转换为模拟滤波器指标

Fs=500;T=1/Fs;

wp1=wp*T;

ws1=ws*T;

Omgp=(2/T)*tan(wp1/2); %原型通带频率预修正

Omgs=(2/T)*tan(ws1/2); %原型通阻频率预修正

%模拟原型滤波器计算

[n, Omgc]=buttord(Omgp, Omgs,Rp,As,'s'); %计算阶数n 和截止频率

[z0,p0,k0]=buttap(n); %归一化原型设计

[ba,aa]=zp2tf(z0,p0,k0); %把滤波器零极点转化为传递函数模型

[ba1,aa1]=lp2lp(ba,aa, Omgc); %变换为模拟低通滤波器系数b,a

%或者[ba1,aa1]=butter(n, Omgc,’s ’);

%用双线性变换法计算数字滤波器系数

[bd,ad]=bilinear(ba1,aa1,Fs) ; %用双线性变换法求数字滤波器系数b,a

%求数字系统的频率特性

[H,w]=freqz(bd,ad);

plot(w*Fs/(2*pi),20*log10(abs(H)));

ylabel('增益/dB');xlabel('频率（Hz ）');title('数字滤波器幅度响应');grid on;

数字滤波器的频率响应图：

实验二：用窗函数法设计FIR 数字滤波器

选择合适的窗函数设计一个FIR 数字低通滤波器，要求：带通截止频率为

Wp=0.2π，阻带截止频率Ws=0.3π，阻带衰减不小于40dB ，通带衰减不大于3dB 。描绘滤波器的幅频响应曲线。

理论部分：（原理及设计过程）

1．数字频率。

通带截止频率：π2.0=p w

阻带截止频率：π3.0=s w

阻带衰减：dB 402=δ

2．求)(n h d 。设)(jw d e H 为理想线性相位滤波器

⎪⎩⎪⎨⎧≤-其它,0,)(c jw jw

d w w

e e H τ 首先由所需低通滤波器的过渡带求理想低通滤波器的截止频率c Ω（由于c Ω为两