(完整版)x数形结合常见例题

数形结合例题分析

实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422

一、联想图形的交点

例1. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |()

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 1个或2个或3个

分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log |出两个函数图象，易知

两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。

例2. 解不等式x x +>2 令，，则不等式的解，就是使的图象

y x y x x x y x 121222=

+=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标，

y x 2=如下图，不等式的解集为{|}

x x x x A B ≤<而可由，解得，，，

x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22

练习：设定义域为R 函数⎩⎨

⎧=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解

的充要条件是（ ） 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>>

二、联想绝对值的几何意义

例1、已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减，Q ：不等式12>++c x x 的解集为R ，如果P 与Q 有且仅有一个正确，试求c 的范围。

因为不等式12>++c x x 的几何意义为：在数轴上求一点)(x P ，使P 到)2(),0(c B A 的距离之和的最小值大于1，而P 到AB 二点的最短距离为12>=c AB ，即2

1>c 而P ：函数x c y =在R 上单调递减，即1

10≥≤

范围为

分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明

了。 设m y x x y =+-=221,54。又1y 为偶函数，由图可知51<

四、联想反函数的性质

例1、方程3log ,322=+=+x x x x 的实根分别为21,x x ，则21x x +=

解：令x y x y y x -===3,log ,23221

21,y y 互为反函数，其图象关于x y =对称，设

)3,(),3,(2211x x B x x A --213x x -=∴ 即321=+x x

六、联想斜率公式

例1. 求函数的值域。y x x =+-sin cos 22 y x x y y y x x =+-=--sin cos 222

121

的形式类似于斜率公式 y x x P P x x =+--sin cos ()(cos sin )22

220表示过两点，，，的直线斜率 221P x y +=由于点在单位圆上，如图, 显然，k y k P A P B 00≤≤

设过的圆的切线方程为P y k x 022+=-() 则有，解得±||

22114732k k k ++==-即，k k P A P B 00473473

=--=-+ ∴--≤≤-+473473y ∴函数值域为，[]---+473473

例2、实系数方程022=++b ax x 的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求1

2--a b 的取值范围。 解：数形结合由12--a b 的结构特征，联想二次函数性质及1

2--a b 的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。 令b ax x x f 2)(2++=，则由已知有⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f 得到⎪⎩

⎪⎨⎧>++<++>020210b a b a b

这个二元一次不等式组的解为ABC ∆内的点),(b a 的集合由1

2--a b 的几何意义为过点),(b a 和点)2,1(D 的直线的斜率

由此可以看出：11241=<--<=BD AD k a b k 即12--a b 的取值范围是)1,41(。 练习：如果实数、满足，则的最大值为x y x y y x

()()-+=2322 答案D A B C D (1)

23

33

23

五、联想两点间的距离公式

例1、设b a R b a x x f ≠∈+=且,,1)(2，求证：b a b f a f -<-)()(

解：,b a ≠ 不妨设b a >，

构造如图的OAP Rt ∆，其中b OB a OA OP ===,,1 则b a AB b f b PB a f a PA -==+==+=),(1),(122

在OAP Rt ∆中，有AB PB PA <-∴b a b f a f -<-)()(

六、联想点到直线的距离公式

例1、已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是012222=+--+y x y x 的两条切线，B A ,是切点，C

是圆心，求四边形PACB 面积的最小值。

解：12

1222-==⋅⋅⋅

==∆PC PA AC PA S S PAC PACB 要使面积最小，只需PC 最小，即定点C 到定直线上动点P 距离最小即可 即点C )1,1(到直线0843=++y x 的距离，

而3438

241322=++⋅+⋅=d 2213)(2m in =-=∴PACB S

七、联想函数奇偶性

例1、设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2

1=x 对称，则=++++)5()4()3()2()1(f f f f f

解：本题由于)(x f y =不明确，故)(x f 的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的

性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知0)0(=f ，又且)(x f y =的

图象关于直线2

1=x 对称，0)1(=∴f 则奇函数可得：0)1(=-f ，则又由对称性知：0)2(=f 同理：0)5()4()3(===f f f

∴=++++)5()4()3()2()1(f f f f f 0

八、其它简单方法：

例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322

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