湖北省荆门龙泉中学、宜昌一中2020-2021学年高三2月联考数学试题

龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级2月联合考试数 学 试 题命题学校：龙泉中学 命题人：崔冬林 审题人：张建军本试卷共 2 页，共 22 题。

满分150分，考试用时120分钟。

注意事项： 1...2.2B.3..一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}11,2,3,4,|2,x A B y y x A -===∈，则A B =A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{1,2,4}D ．∅ 2．若复数z 同时满足2i z z -=，i z z =，则z =A ．1i -B ．iC ．1i --D ．1i -+ 3．关于直线:10l ax by ++=，有下列四个命题：甲：直线l 经过点()1,0； 乙：直线l 经过点()0,1-； 丙：直线l 经过点()1,1-； 丁：0ab <．若只有一个假命题，则该命题是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 4．若8x ⎛⎝的展开式中4x 的系数为7，则展开式的常数项为 A ．716 B ．12 C ．716- D ．12-5．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为 （1丈=10尺=100寸）A ．四尺五寸B ．三尺五寸C ．二尺五寸D ．一尺五寸 6．函数()||mf x x x=-（其中m R ∈）的图像不可能．．．是 A ． B ． C ． D ．7．已知O 为ABC ∆的外心，3450OA OB OC ++=，则cos ABC 的值为 A．5 B．10 C．10 D．58．已知函数()()ln xae f x x x a R x=+-∈，若[)1,x ∈+∞时，()2f x ≥-，则实数a 的取值范围为 A ．22,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}na 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），则下列结论正确的有A ．{}n a 一定是等比数列B ．当1p =时，4158S = C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+ 10．已知函数()2sin sin 2f x x x -，则下列结论正确的有A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在[],ππ-上有2个零点C ．函数()f x的图象关于(,π对称 D ．函数()f x的最小值为11．如图，在某城市中，,M N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1234,,,A A A A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网,M N 处的甲、乙两人分别要到,N M 处， 他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达,N M 处为止，则下列说法正确的有A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过3A 到达N 处的方法有9种C ．甲、乙两人在3A 处相遇的概率为9100D ．甲、乙两人相遇的概率为4110012．已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，过点1F 作渐近线b y x a=的垂线交双曲线右支于点P ，直线2PF 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQ F ∆ 内切圆圆心I 恰好落在以12F F 为直径的圆上，则下列结论正确的有 A ．122F PF π∠=B ．1PQF ∆内切圆的半径为a b -C ．5OQ OI = D三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知α是三角形的一个内角，tan 43α=，则2sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 14．已知,a b 都为正实数，则25b a++的最小值为． 15ABC16．如图，长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别83，E F 、分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当1AE EF FC ++最小时，以A 为球心，AE 的长为半径的球面与上底面1111A B C D 的交线长为 ．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，b =2a c -的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足14a =，21=b ，1222-=b a ，332a b =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合,A B ，将A B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前60项和60S ． 19．（本小题满分12分）在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC，PA PB AB ====． （Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）已知Q ，M ，N 分别为线段PB 、P A 、BC 的中点，求直线MN 与平面QAC 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛（其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁判），设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为12，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时受体力影响，胜的概率均变为25，第一局甲当裁判． （Ⅰ）求第三局甲当裁判的概率；（Ⅱ）设X 表示前四局乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望．21．（本小题满分12分）已知抛物线2:2E x y =，过抛物线上第一象限的点A 作抛物线的切线，与x 轴交于点M ．过M 作OA的垂线，交抛物线于B ，C 两点，交OA 于点D ． （Ⅰ）求证：直线BC 过定点；（Ⅱ）若5MB MC ⋅≥，求||||AD AO ⋅的最小值． 22．（本小题满分12分） 已知函数()ln 1af x x x=-+有两个不同的零点()1212,x x x x <． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）记()f x 的极值点为0x ，求证：()012112ef x x x +>．2月月考数学第3页 共2页龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级2月数学试题参考答案一、单项选择题： 1-4 CDCA 5-8 BCAB一、多项选择题：9．BC 10．BC 11．BD 12．ABD三、填空题 1314． 1516．2π 四．解答题17．解：（Ⅰ）由已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，结合正弦定理，得222a c b ac +=+．再由余弦定理，得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又(0,)B π∈，则3B π=．………………4分（Ⅱ）由,3B b π=224sin 2sin 4sin 2sin 3a c A C C C C π⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭．……………………………7分因为ABC ∆为锐角三角形，则62C ππ<<，则0cos C <………………………………9分所以2a c -的取值范围为()0,3．…………………………………………………………………10分18．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由2242214542221d q d q d q d q +=⋅-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=⋅+=-⎩⎩………………………………………………………………2分 2,3q d ∴==…………………………………………………………………………………………4分 31,2n n n a n b ∴=+=．……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前6项时，令71273121283n n +<=⇒<此时至多有41748+=项（不符）…………………………………………………………………7分当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项时，令831225685n n +<=⇒<且2462,2,2是{}n a 和{}n b 的公共项，则{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项且含有{}n a 的前56项，再减去公共的三项………………………………………………………………………………9分35760565556432222484417050142S ⨯⎛⎫∴=⨯+⨯++++=+= ⎪⎝⎭．……………………12分19．解：（Ⅰ）证明：取AB 中点D ，连接PD ，DC∵PA PB =，AC BC =，则AB PD ⊥，AB DC ⊥．又PD DC D =，∴AB ⊥平面PDC ，故AB PC ⊥．……….…………………….………………….……….….2分 在ABC △中，AB ，∴BC AC ⊥．………….………………….………3分 又∵平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴BC ⊥平面ABC ，故BC PC ⊥． ……….4分 又AB PC ⊥，AB BC B =∴PC ⊥平面ABC ．………………………………………….5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设1AC =，则(0,1,0)A ，(1,0,0)B ，(0,0,1)P ，11,0,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，110,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．……………………….……….………………..6分 设平面QAC 的一个法向量为(,,)n x y z =，∵(0,1,0)CA =，11,0,22CQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由00n CA n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得(1,0,1)n =-，…………….……….…….…….8分又111,,222MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴16cos ,3||||324n MN n MN n MN⋅〈〉===⋅⋅….………….…….11分 所以直线MN 与平面QAC ………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）第三局甲当裁判则前两局有两种情形：前两场都是乙胜，前两场都是丙胜，故所求概率为1212225255P =⨯+⨯=．………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由于不能连续两局都当裁判，第一局由甲当裁判，故X 的可能取值为0，1，2，………6分当0X =时，则前三局乙均胜，故()212202525P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，………………………………7分当2X =时，乙只能在第2、4局中当裁判，故乙在第一局中输掉，在第三局中也输掉，则第一局丙胜乙败；第二局无论甲丙谁胜，在第三局中甲或丙是连胜概率变为25，故()1212255P X ==⨯=，……………………………………………………………………………9分()21181125525P X ==--=，………………………………………………………………………10分 其分布列为2181280122525525EX =⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………………12分21．解：（Ⅰ）y x '=，设点()22,2(0)A t tt >，则2AMx t ky t ='==，………………………2分∴直线AM 的方程为：222(2)y t t x t -=-，即222y tx t =-，∴(),0M t ，又OA k t =，∴1BC k t=-，……………………………………………………………4分∴直线BC 的方程：()111y x t x t t=--=-+经过定点()0,1．…………………………………5分 （Ⅱ）直线BC 与抛物线22x y =联立得2220x x t +-=，………………………………………6分设()()1122,,,B x y C x y ，则122x x t+=-，122x x ⋅=-，()()()22121212121215MB MC x t x t y y x x t x x t y y t ⋅=--+=-+++=+≥解得2t ，…………………………………………………………………………………………8分∵||AD t ==，………………………………………………………9分||2AO ==…………………………………………………………………10分∴()22||||222172AD AO t t t ⋅==+，当2t =时，min (||||)72AD AO ⋅=．…………………………………………………………12分22.解：（Ⅰ）由()ln 1a f x x x =-+得x x a x f 1)(2--='2xxa +-=()0>x …………………1分函数()ln 1af x x x=-+有两个不同的零点12,x x ∴)(x f 在()∞+，0上不单调， 0a ∴<，…………………………………………………………………………………………2分 令0)(>'x f 得a x -<<0， 0)(<'x f 得a x ->， 故)(x f 在()a -，0上单调递增，在()∞+-，a 上单调递减，…………………………………3分 则()f x 的极大值为ln (())0f a a -=-->，10<-<∴a 01<<-∴a ． +→0x 时0)(<x f ，+∞→x 时0)(<x f ，∴a 的取值范围是01<<-a ．………………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0()ln f x a =--，)()(21x f x f = 1ln 11+-∴x x a 1ln 22+-=x x a212111ln ln x x x x a --=∴2112111ln 1ln x x x x --=．…………………………………………………………6分令121211,t t x x ==，则2112ln ln a t t t t --=，且22112121t t x x +=+，……………………………7分 要证012112()ef x x x +>，只需证()12ln()2t t e a +>--．下面先证明112221ln ln 2t t t t t t ->-+，……………………………………………………………8分这只要证明1121222(1)ln 1t t t t t t -<+，设1201tm t <=<，所以只要证明2(1)ln 01m m m --<+，设2(1)()ln 1m g m m m -=-+， 则22214(1)()0(1)(1)m g m m m m m -'=-=≥++，所以()g m 递增， 则()(1)0g m g <=成立．于是得到1122211l 2n ln t t t t at t ->=--+，……………………………10分因此只要证明1ln()e a a -≥--(10)a -<< ，构造函数1()ln()h a e a a =-+-，则2211()e ea h a a a a +'=+=，故()h a 在1(1,)e --上递减，在1(,0)e -上递增， 则1()()0h a h e ≥-=，即1ln()e a a-≥--成立．……………………………………………12分。