高中数学必修一 函数的应用

函数的应用

教学目标

知识目标： 使学生能根据实际问题抽象出函数的数学模型；

使学生学会用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题；

能力目标： 培养学生数学的应用意识，提高解决实际问题的能力； 情感目标： 培养学生学习数学的兴趣和积极性。

教学重点和难点：

使学生学会从实际问题抽象出函数的数学模型，并用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题。

课前准备：学生调查桑塔纳出租车计价情况 教学过程：

一、复习

提问：我们已学的一次函数、正比例函数、常值函数都可用怎样的函数解析式表示？

y=kx+b ：当k 0≠时是一次函数；当k 0≠，b=0时是正比例函数；当k=0时是常值函数。

[说明：渗透分类的数学思想，明确函数间的关系]

二、函数的应用

1、 龟兔赛跑（动画演示）

师：兔子在醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，以每小时跑3000米的速度奋力去追，而乌龟仍以每小时500米的速度继续前进，那么谁能胜利呢？

师：你能用学过的方法直观地反映这一问题吗？ （学生讨论后回答）

若设兔子醒后追赶了t 小时，龟、兔离开兔子睡觉处的路程S （米）与时间t （小时）各是什么关系？并在同一直角坐标系内画出图象。

（学生回答）

师：（板书）兔：1S =3000t

()0≥t ；

龟：t S 50025002+=

()0≥t ；

（图象实物投影） 师：图象的交点表示什么实际意义？交点左侧表示什么意义？右侧又表示什么意义呢？

（学生回答后，老师归纳）

归纳：两图象交点表示当自变量为交点横坐标时，两函数值相等，且同为交点纵坐标；反映在龟兔赛跑中，即经过相同的时间，兔子正好追上乌龟；

交点左侧部分图象对于相同的自变量，两函数值不同，其中位于上方图象的函数值大于下方图象的相应函数值；反映在龟兔赛跑中，即乌龟跑在兔子前面，

[说明：对学生

脑海中传统的龟兔赛跑的结局提出问题，引发学生兴趣的同时也引起学生的思考，从而考虑解决问题的方法；通过对函数图象的一系列问题这一师生间的互动，使学生充分认识图象获取信息，理解图象的实际含义，直观感受到数形结合解决这类问题的价值，从学法上给学生以指导，为后面学生自主解

乌龟胜利；

交点右侧部分图象对于相同的自变量，两函数值也不同，其中位于上方图象的函数值也大于下方图象的相应函数值；反映在龟兔赛跑中，即兔子超过了乌龟，

兔子胜利；

以上是从相同的自变量即时间的角度，直观地看出函数值也就是路程的大小。我们还可以从什么角度来理解呢？

生：也可从距离来理解。

交点表示终点距离兔子睡觉处正好是交点纵坐标时，乌龟和兔子同时到达； 交点左侧表示终点距离兔子睡觉处小于交点纵坐标时，乌龟到达终点所用的时间比兔子少，乌龟胜利；

交点右侧表示终点距离兔子睡觉处大于交点纵坐标时，乌龟到达终点所用的时间比兔子多，兔子胜利。

（师生共同求出不同时间内龟、兔路程关系）

师：（板书） 当t=1时，21y y =，龟、兔同时到达； 当t ≤0<1时，21y y <，乌龟胜利；

当t>1时，21y y >，兔子胜利。

师：（小结）龟兔赛跑实质上就是比较函数值大小问题，对于这类问题，我们应该：第一根据实际建立合适的函数解析式；第二在同一直角坐标平面内画出图象；最后利用数形结合的思想方法解决函数值大小比较问题。

决出租车收费

问题作了很好的铺垫。]

（提出课题：函数的应用） 2、 出租车收费问题

原来桑塔纳出租车起步费为14.40元，最多行驶5公里，5公里以上10公里以内每公里计价1.80元。现在桑塔纳出租车计程费为起步费10元，最多行驶3公里，3公里以上10公里以内每公里计价2元。不计途中停车时间等。请分析在10公里范围内对乘客来讲哪一种收费方式更优惠？

（学生讨论回答，并画图象直观分析后准确求出路程与收费关系）

师：（板书）现在： 1y =10 （0

(5

当x=7时，21y y =，收费相同； 当0

当x>7时，21y y >，原来的优惠。

师：通过这一问题的分析，大家可以进一步去了解出租车费调价的原因。

思考：按现在的收费方式，我从出发地到目的地共20公里路程，是一辆车坐到底还是途中换车合算？为什么？（机动） 三、小结

1、学数学是为了用数学，数学在生活中所起的作用很大；

2、用函数知识解决实际问题时，应先建立函数解析式，画出图象，用数形结合

的思想方法解决实际问题，生活中有很多这类问题，如电费、信息费等，都可用这一方法来解决。

3、实际生活中的问题与理想化的数学有一定的差距。

四、作业

补充：为了加快教学的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价为每台5800元，优惠条件为购买10台以上，则从第11台开始按报价的70%计算，乙公司的报价也是每台5800元，但优惠条件是为了支持教育，每台均按报价的85%计算，假如你是学校的负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的条件下，你如何选择？

课后记

用学生耳熟能详的故事和日常经历过的事例加深学生理解函数，理解函数的实际应用价值，进行有用数学的教学，使学生初步具有用数学眼光来关注身边事物的意识；同时也是对已学正、反比例函数、一次函数知识的拓展。