线性代数讲义

5.6 线性变换的标准形•方阵的相似标准形 5.6.1 弗罗贝尼乌斯标准形 5.6.2 贾柯勃逊标准形 5.6.3 若尔当标准形及其应用 一、若尔当标准形 二、中心化子的维数 三、最小多项式 四、幂的相似标准形与方阵的开方 5.6.4 实相似标准形 5.6.5 通用标准形 习题 5.6
5.7 线性变换的不变子空间 5.7.1 不变子空间的概念 5.7.2 线性变换的不变子空间与表示方阵化简 一、单个不变子空间与准上三角矩阵表示 二、不变子空间直和分解与准对角矩阵表示 5.7.3 不变子空间的类型
因式、完全相同的最大公因式；
(1′) 若[ f1(), f2 (), , fs ()]T 有限次初等行变换[g1(), g2 (), , gs ()]T ，则多 项式组(I)与(II)有完全相同的公因式、完全相同的最大公因式；
(2) [ f1(), f2 (), , fs ()] 可经过有限次初等列变换化为[d (), 0, , 0] 的形式， 其中 d () 是多项式组(I)的一个最大公因式；
一、 A 的值域 二、 A 的核 三、 B C( A ) 的值域 四、 B C( A ) 的核
五、特征子空间 六、根子空间 七、若尔当子空间 八、贾柯勃逊子空间 九、弗罗贝尼乌斯子空间 5.7.4 不变子空间的若干重要结论 一、不变子空间的维数 二、非减次线性变换的全体不变子空间
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若 A() 经过有限次初等列变换变成 B() ，则称 A() 与 B() 列相抵.
若 A() 经过有限次初等变换变成 B() ，则称 A() 与 B() 相抵，记作 A() B() .
矩阵之间的相抵关系、行相抵关系、列相抵关系均满足反身性、对称性、传递性，
都是等价关系.
例 2 设 f1(), f2 (), , fs () [] . (1) 若[ f1(), f2 (), , fs ()] 有限次初等列变换[g1(), g2 (), , gs ()] ，则多项 式组(I) { f1(), f2 (), , fs ()} 与(II) {g1(), g2 (), , gs ()} 有完全相同的公
也可以表为
1 2 2
A(
)
2 3 2
3 2 2
4 5 2
2 7
1 2
1 A() 2
3 2
4 1
7
3
0 1
5
0
2
A0
A1
A2 2
，
1
其中 A0 , A1, A2 32 分别为 0, 1, 2 次项系数矩阵. 也可由 A2 O ，得知 deg A() 2 . 注 数域 上的全体 m n 的 矩阵形成的集合可以表为以下两种形式：
的矩形表格
a11() a12 () a1n ()
A(
)
a21 (
)
a22 ()
a2n
(
)
，
am1
(
)
am2 ()
amn
(
)
则称 A() 为一个 m n 的 矩阵，称 m n 为 A() 的型，称 aij () 为 A() 的 (i, j) 元素
(i
1,
2, ,
m
;
j
1,
|
Ann () | .
矩阵与数字矩阵有相同的运算规律，如
Em Amn ()
Amn ()En
Amn () ，[ Amn ()Bns ()]T
BT ns
(
)
AT mn
(
)
，
|
AT nn
(
)
|
|
Ann ()
|，|
Ann ()Bnn
()
|
|
Ann ()
||
Bnn ()
|
.
例 1 数域 上的 3 2 的 矩阵
3.5 一元多项式矩阵
3.5 一元多项式矩阵
以数为元素的矩阵称为数字矩阵，以多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵，以函数为元
素的矩阵称为函数矩阵. 本节将系统研究一元多项式矩阵.
3.5.1 矩阵的基本概念 一、 矩阵的概念及运算 定义 1 设 是一个数域， 是一个文字，由 m n 个取自 [] 的多项式排成的 m 行 n 列
2, ,
n )，称 deg
A( )
max
1≤i≤m , 1≤
j≤n
deg
aij
(
)
为
A() 的次数.
可以仿照数字矩阵的运算，如
Amn
Bmn ,
kAmn ,
AT mn
,
Amn Bns ,
|
Ann
| ，类似定义
矩阵的运算：Amn ()
Bmn (),
k() Amn (),
AT mn
(
),
Amn ()Bns (),
[]mn {[aij ()]mn | aij () [], i 1, 2, , m; j 1, 2, , n} ，
mn[] {A0 A1 As s | s ; A0 , A1, , As mn}. □
二、 矩阵的初等变换与初等 矩阵
定义 2 矩阵的以下三种变换：
(1) 对调第 i 行与第 j 行( i j )，记作 ri rj ；
(2) 第 i 行乘以非零数 k ，记作 ri k ； (3) 第 i 行加上第 j 行的 l() 倍( i j )，记作 ri l()rj ，
第 3 章 矩阵
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分别称为 矩阵的第 1、2、3 类初等行变换.
类似地有三类初等列变换： ci c j (i j) ， ci k (数 k 0 )， ci l()c j (i j) . 初等行变换与初等列变换统称为 矩阵的初等变换. 若 A() 经过有限次初等行变换变成 B() ，则称 A() 与 B() 行相抵.
(2′) [ f1(), f2 (), , fs ()]T 可经过有限次初等行变换化为[d (), 0, , 0]T 的形 式，其中 d () 是多项式组(I)的一个最大公因式.
例 3 (1) A() []mn 可经过有限次初等行变换化为
b11() b12 () b1n ()
0
0
形式，其中 b11() 是 A() 的第一列中各多项式的最大公因式； (2) A() 可经过有限次初等行变换化为行阶梯形 矩阵；
第 3 章 矩阵 3.5 一元多项式矩阵
3.5.1 矩阵的基本概念 一、 矩阵的概念及运算 二、 矩阵的初等变换与初等 矩阵 三、可逆 矩阵 四、 矩阵的秩与行列式因子组
3.5.2 矩阵的相抵标准形与不变因子组 3.5.3 矩阵的初等因子组
习题 3.5 第 5 章 线性变换