2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算 文
高考数学一轮复习第4章 第5节 数系的扩充与复数的引入
答案：5
5．已知复数 z＝1－3＋3ii2，则|z|＝________. 解析：z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i 3i ＝－2－3＋2 i3－i2－＋22＋23i3i＝－ 43＋14i，
答案：8
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解析：由题意知xx2－－11≠＝00， 得 x＝－1.
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解析：当 m»＝第1 五时级，z1＝3－2i，故 z1＝z2；反之当 z1＝z2 时， 有mm22＋ ＋mm＋ －14＝ ＝－ 3，2， 解得 m＝1 或 m＝－2.所以 m＝1 是 z1＝ z2 的充分不必要条件．
以 1 为半径的圆上.yx表示圆上的点与原点连线的斜率．
设过原点的直线为 y＝kx，由直线与圆相切，得 k|22＋k| 1＝1，
解得
k＝±
3 3.
故所求yx的取值范围为－ 33， 33.
答案：A
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2015届高考数学总复习第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算精讲课件 文
(2)(2013· 陕西卷 ) 设 z1 ， z2 是复数，则下列命题中的假 命题是( ) A．若|z1－z2|＝0，则 Z 1 = Z 2
B．若z1＝ Z 2 ，则 Z 1 ＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1· Z Z ＝z2·
1 2
D．若|z1|＝|z2|，则
解析：(1)设z＝a＋bi，a，b∈R，
变式探究
3．(1)(2013· 四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，
则图中表示z的共轭复数的点( A．A C．C B．B D．D )
(2)若复数z＝(x－5)＋(3－x)i在复平面
内对应的点位于第三象限，则实数x的
取值范围是( A．(－∞，5) C．(3,5) ) B．(3，＋∞) D．(5，＋∞)
(2)z1z2＝(1－i)(2＋i)＝2＋i－2i－i2＝2＋1－i＝3－i.故选A.
(3)z2＋
2＝பைடு நூலகம்cos
θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2＝2cos 2θ＝
1⇒sin 2θ＝
.
点评： 复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本
思路就是应用运算法则进行计算．复数的加减运算类似于实 数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复
变式探究
1 ． (1) 设 a ， b∈R ， i 是虚数单位，则“ ab ＝ 0” 是“复数 a ＋ 为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件 (2)下面是关于复数z＝ p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件 的四个命题：
p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1，
运算转化为实数运算，体现了化归与转化思想；
【解密高考】2015届高考数学(人教)大一轮课件：5-4数系的扩充与复数的引入
.
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特别提醒：注意复数 a＋bi 是实数、虚数、纯虚数及两复数 相等的充要条件，注意实数与复数的区别与联系．特别注意 a＝ 0 是 a＋bi(a、b∈R)为纯虚数的必要不充分条件．
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(4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴 叫做 实轴，y轴 叫做虚轴．实轴上的点都表示实数 ；除原点外，虚轴 上的点都表示 纯虚数 ；各象限内的点都表示 复数 ． (5)复数的模 → 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z| 或 |a＋bi| ， 向量OZ
答案：D
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2．(2013· 山东)复数 z 满足(z－3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 为( A．2＋i C．5＋i ) B．2－i D．5－i
52＋i 5 解析：由(z－3)(2－i)＝5，得 z＝3＋ ＝3＋ ＝ 2－i 2－i2＋i 3＋2＋i＝5＋i，所以 z ＝5－i.
答案：D
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3．(2013· 四川)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表 示 z 的共轭复数的点是( A．A C．C ) B．B D．D
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算 理
第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算知识梳理一、复数的有关概念 1．复数的概念．形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若________，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________(a ，b ，c ，d ∈R ).3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔________(a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复平面．建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________．5．复数的模．向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，即|z |＝|a ＋b i|＝________.6．复数的几何意义．(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.答案：1.实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 2.a ＝c 且b ＝d 3.a ＝c ，b ＝－d4.x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数5.|z | |a ＋b i| \r(a 2＋b 2)二、复数代数形式的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 1．z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. 2．z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 3.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． 三、常见运算规律1．i 的幂运算：i4n ＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i(其中n ∈N )．2．(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.3．(1±i)2＝±2i. 4.1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i. 5．1的立方根是1，－12＋32i ，－12－32i ；－1的立方根是－1，12＋32i ，12－32i.6．设ω＝－12＋32i ，则ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.四、复数运算所满足的运算律 1．加法交换律： z 1＋z 2＝z 2＋z 1.2．加法结合律： (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．3．乘法运算律：(1)z 1(z 2z 3)＝(z 1z 2)z 3 ；(2)z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3；(3)(z 1＋z 2)z 3＝z 1z 3＋z 2z 3.五、复数加减法的几何意义1．复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量OP 1→，OP 2→，那么，以OP 1，OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量 OS →就是z 1＋z 2的和所对应的向量． 2．复数减法的几何意义：两个复数的差z 1－z 2与连接向量Oz 1→，Oz 2→的终点，并指向被减数的向量z 2z 1→对应．六、几个重要的结论1．|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)．2．z ·z ＝|z |2＝|z |2. 3．若z 为虚数，则|z |2≠z 2.基础自测1．(2013·潮州二模)设i 为虚数单位，则复数i2＋i等于( )A.15＋25i B ．－15＋25i C.15－25i D ．－15－25i 解析：i 2＋i ＝－＋－＝1＋2i 5＝15＋25i.故选A.答案：A2．(2013·广州一模)已知a1－i＝1＋b i ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则a ＋b i＝( )A ．1＋2iB ．2＋IC ．2－ID ．1－2i 解析：由a 1－i ＝1＋b i ，即a 2＋a2i ＝1＋b i ，得a ＝2，b ＝1.故选B.答案：B3．设i 为虚数单位，则1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝________.解析：根据i n (n ∈N *)的周期性知，－i ＋i 2－i 3＋i 4＝－i 5＋i 6－i 7＋i 8＝ 0∴1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝1. 答案：14．若(1－2i)i ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝________.解析：由(1－2i)i ＝i －2i 2＝2＋i ＝a ＋b i ，根据复数相等的条件可得a ＝2，b ＝1，∴ab ＝2.答案：21．(2013·江西卷)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i＝－4i.答案：C2．(2013·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．(2013·梅州二模)复数z ＝11－i(i 为虚数单位)的共轭复数z －是( )A ．1－iB ．1＋i C.12＋12i D.12－12i解析：因为复数z ＝11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i.所以z －＝12－12i.故选D.答案：D2．(2013·江门一模)在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2－i(其中，i 是虚数单位)，如果点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数是( )A ．－2－IB ．－2＋iC ．2＋iD ．1－2i解析：由题意可得点A 的坐标为(2，－1)，点A 关于实轴的对称点为点B (2,1)，则向量OB →对应的复数是2＋i ，故选C.答案：C。
【全程复习方略】(福建专版)高考数学 第四章 第五节数系的扩充与复数课件 理
(a+c)+(b+d)i ①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_____________;
(a-c)+(b-d)i ②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_____________;
(ac-bd)+(ad+bc)i ③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=_________________;
(2)(2012·江西高考)若复数z=1+i(i为虚数单位), z 是z的共
轭复数，则 z2 z2 的虚部为( )
(A)0
(B)-1
(C)1
(D)-2
1 ai 1 ai 2 i 2 a 1 2a i， 【规范解答】(1)选A. 2 i 2 i 2 i 5 5 又 1 ai 是纯虚数， 2i
其中|z|=|OP|.
(4)复数的加法和减法的几何意义复数 的加、减法可以转化为其对应的向量的 加、减法,即满足平行四边形法则或三 角形法则.如图所示,设复数z=a+bi, ω =c+di,分别用向量 OA,OB 表示,则①z+ω = OC ,其中OC是以 OA,OB为邻边的平行四边形的对角线；②z-ω = BA OD ;③kz对 应的向量 OM k OA.
第五节 数系的扩充与复数
1.复数的有关概念 (1)复数的定义
高中数学《数系的扩充和复数的概念 》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
解析 对于复数 a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 且 b≠0 时为纯虚数． 在①中，若 a＝－1，则(a＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误； 在③中，若 x＝－1，x2＋3x＋2≠0 不成立，故③错误； ④正确．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
解析
探究2 复数的分类 例 2 当实数 m 为何值时，复数 z＝m2＋mm－6＋(m2－2m)i 为：(1)实数？ (2)虚数？(3)纯虚数？ [解] (1)当mm≠2－02，m＝0， 即 m＝2 时，复数 z 是实数； (2)当 m2－2m≠0，即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数；
集合 C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}中的数，即形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做
□03 复数 ，其中 i 叫做 □04 虚数单位 ．全体复数的集合 C 叫做 □05 复数集 ．
复数通用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做
□06 复数的代数形式 ．其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的 □07 实部与虚部 ．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．( × ) (2)若 z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当 m＝0，n≠0 时，z 为纯虚数．( × ) (3)bi 是纯虚数．( × ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相 等．( √ )
(3)当m2＋mm－6＝0， 即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数． m2－2m≠0，
2015高考数学一轮复习配套课件：4-4数系的扩充与复数的引入
抓住3个必备考点
突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
第四章 平面向量、数系的扩充与复数 的引入
第四章 第4讲
第1页
第一页，编辑于星期五：十二点 二十七分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学 理
抓住3个必备考点
突破3个热点考向
抓住3个必备考点
突破3个热点考向
破译5类高考密码
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[解析]
(1)11＋－2ii2＝
1＋2i －2i
＝
1＋2ii －2ii
＝
－2＋i 2
＝－1＋
1 2
i，故
选B.
(2)由已知可得
3＋bi＝(a＋bi)(1－i)＝a＋b＋(b－a)i，
∴a＋b＝3.
[答案] (1)B (2)3
第四章 第4讲
第7页
第七页，编辑于星期五：十二点 二十七分。
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抓住3个必备考点
突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
01抓住3个必备考点
第四章 第4讲
第8页
第八页，编辑于星期五：十二点 二十七分。
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∴z＝3－5 4i＝3－543i＋34＋i 4i＝35＋45i.
故z的虚部为45，选D.
[答案] (1)C (2)D
第四章 第4讲
第19页
第十九页，编辑于星期五：十二点 二十七分。
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2015高考数学一轮总复习课件：4.4数系的扩充与复数的引入
特点及熟练应用运算技巧．
(2)一般先乘方、再乘除、最后为加减，有括号者可先算括号 里面的．
第二十一页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
聚焦考向透析
梳理自测1
1．(教材改编)复数1－＋i2i(i 是虚数单位)的实部是( D )
A.15
B．－15
C．－15i
D．－25
2．(课本精选)已知1＋z i＝3－i，则复数 z 的实部为( A )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
第四页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
基础知识梳理 梳 理 一 复数的概念与运算
11
11
A．－2－2i B．－2＋2i
C.12－12i
D.12＋12i
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)先利用i的性质，再进行除法
运算．
第十六页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
聚焦考向透析
考向二 复数的代数运算
例题精编
(1)(2014·重庆质检) i2＋i3＋i4
复数 1－i ＝( C )
单位)在复平面内对应的点在直线 x＋y＝0 上，
则实数 a 的值是( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
第二十五页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
聚焦考向透析
考向三 复数的几何意义
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(2014·豫东、豫北十校联考) 设 a 是实数，若复数1－a i＋1－2 i(i 为虚数
No ◆以上题目主要考查了以下内容：
2015届高考数学总复习配套课件：4-4 数系的扩充与复数的引入
能力
提 升 部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z＝a＋
提素能
高效 训练
bi(a，b∈R)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数z与点Z(a，b)相对
应．
山
东
2．z＝ z ⇔z∈R.
金
太
3．若z≠0且z＋ z ＝0，则z为纯虚数，利用这个性质可证明一个复 阳 书
数为纯虚数．
业
有
限
公
司
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向
要点
探究
第四节 数系的扩充与复数的引入
悟典题
能力
提升
提素能
[最新考纲展示]
高效
训练
1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 3.了解
复数的代数表示形式及其几何意义． 4.会进行复数代数形式的四则运
山 东
算． 5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义．
抓主干 考点 解密 研考向 要点 探究 悟典题 能力 提升 提素能 高效 训练
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（文）
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
第十七页，编辑于星期五：十点 十三分。
抓主干 考点 解密
研考向
要点
探究 悟典题
解析：由a－3－a i
能力
提升 提素能
＝a－a31＋0 i＝a－310a－1a0i
(1)(1±i)2＝±2i；(2)11＋ －ii＝i；(3)11＋－ii＝－i；
山 东 金
太
(4)a＋i bi＝b－ai.
阳 书 业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第二十二页，编辑于星期五：十点 十三分。
2015届高考数学(文)一轮复习讲义：11.4数系的扩充与复数的引入(人教A版)(1)
第四节 数系的扩充与复数的引入[考情展望] 以客观题的形式考查复数的有关概念、复数相等的充要条件及复数代数形式的运算．有时与集合、充分必要条件等知识结合命题，考查对复数基本概念的理解．一、复数的有关概念 1．定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) 2．3.⇔a ＝c ，b ＝d (4．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 5．模：向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．三、复数的运算1．运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R图11－4－12．几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图11－4－1给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i 【解析】 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i. 【答案】 C2．复数i1＋2i (i 是虚数单位)的实部是( )A.25 B ．－25 C.15 D ．－15【解析】 i1＋2i ＝i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋i 5＝25＋15i ，故选A.【答案】 A3．若z ＝1＋2ii，则复数z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i【解析】 ∵z ＝1＋2i i ＝(1＋2i )i－1＝2－i ，∴z ＝2＋i.【答案】 D4．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1 【解析】 (a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，故应有a ＝1，b ＝－1. 【答案】 D5．(2013·山东高考)复数z ＝(2－i )2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25 B.41 C ．5 D. 5【解析】 z ＝(2－i )2i ＝4－4i ＋i 2i ＝3－4ii ＝－4－3i ，∴|z |＝(－4)2＋(－3)2＝25＝5.【答案】 C6．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3【解析】 因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.【答案】 D考向一 [173] 复数的有关概念(1)(2013·陕西高考)设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0(2)(2012·课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2； p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4【思路点拨】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，结合选项逐一判断．(2)把复数z 化成m ＋n i(m ，n ∈R )的形式，然后根据复数的相关概念判断命题是否正确． 【尝试解答】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确． 选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确． 选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ， 由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．(2)∵z ＝2－1＋i＝－1－i ，∴|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴p 1是假命题； ∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题； ∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题；∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题． 其中的真命题共有2个：p 2，p 4. 【答案】 (1)C (2)C规律方法1 1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可.2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解.考向二 [174] 复数的代数运算(1)(2013·广东高考)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5(2)(2014·武汉模拟)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 015＝( ) A ．－i B ．－1 C ．i D ．1【思路点拨】 (1)先求x ＋y i ，再求模；也可直接求模．(2)先化简1＋i1－i，再根据i n 的周期性求值．【尝试解答】 (1)法一 因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以x ＋y i ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )i (－i )＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.法二 因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以－y ＋x i ＝3＋4i ，所以x ＝4，y ＝－3，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.法三 因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以(－i)i(x ＋y i)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i ，即x ＋y i ＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.法四 ∵|i(x ＋y i)|＝|3＋4i|， ∴|x ＋y i|＝5.故选D.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 3＝－i. 【答案】 (1)D (2)A规律方法2 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式.2.记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i )2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i1＋i＝－i ；3.熟知“i n ”的周期性.,i n 的周期性,i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i (n ∈N ＋).对点训练 (2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i【解析】 由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3＝5(2＋i )5＋3＝5＋i ，∴z＝5－i.故选D.【答案】 D考向三 [175] 复数及其运算的几何意义如图11－4－2，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：图11－4－2(1)AO →对应的复数，BC →对应的复数； (2)CA →对应的复数．【思路点拨】 (1)AO →＝－OA →，BC →＝AO →，然后根据复数的几何意义求解；(2)根据复数减法的几何意义及CA →＝OA →－OC →求解．【尝试解答】 (1)AO →＝－OA →， ∴AO →对应的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →对应的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →， ∴CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.规律方法3 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.对点训练 (1)图11－4－3若i 为虚数单位，图中11－4－3复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H (2)(2013·湖北高考)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.【解析】 (1)由图可得z ＝3＋i ，∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i.对应的点为(2，－1)，即点H .(2)(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z 2＝－2＋3i. 【答案】 (1)D (2)－2＋3i思想方法之二十二 解决复数问题的根本方法——实数化复数集是实数集的推广和发展，在解决复数问题时，将复数问题转化为熟悉的实数问题，有助于解决问题．复数问题向实数问题的转化，主要用于求实数、虚数、纯虚数、对应点在复平面的某一位置等，其转化的关键在于利用复数相等的条件解题．复数转化为实数化的有效途径有以下四种： (1)复数的概念及分类； (2)复数的相等； (3)复数的模；(4)z 与z 的关系：z ·z ∈R .————[1个示范例]————[1个对点练]————(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.【解析】 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 可得(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ，因此a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，故a ＋b i ＝1＋2i.(2012·湖北高考)若3＋b i1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.【解析】 3＋b i 1－i＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b2i.∴⎩⎨⎧a ＝3－b 2，3＋b2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.【答案】 3。
2015高中数学北师大版选修2-2课件：《数系的扩充和复数的概念》
虚数时,a=0.所以答案为B.
2 复数z=-3-10i的实部是( B ).
【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.
3 若复数 z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则 z1=z2 的充要条件是 a=c 且 b2=d2(或写成 a=c 且|b|=|d|) .
【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等, 即 a=c 且|b|=|d|.
件 过程中的作用,感受人类理性思维在数系扩充
3.了解复数的代数表示法及其几何意义 中的作用以及数与现实世界的联系,了解数系
能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代 扩充的过程以及引入复数的必要性,了解复数
数形式的加、减运算的几何意义
的一些基础知识
第1课时 数系的扩充和复数的概念
1.在问题的情境中了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际 需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程 中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
它们的 与
分别相等,即a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔
=, = .
问题4
1 “a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的( ). B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】a=0时,a+bi(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+bi为纯
x=±i 或 x=1 都是方程 x3-x2+x-1=0 的根,故(4)为假命题.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对复数概念的理解
已知下列命题: ①复数 a+bi 一定不是实数; ②两个复数不能比较大小; ③若(x2-4)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,其中 x∈R,则 x=±2; ④若复数 z=a+bi,则当且仅当 b≠0 时,z 为虚数; ⑤若 a+bi=c+di,则 a=c 且 b=d. 其中真命题的个数是( A ).
高考高考数学总复习 第四章 第5节 数系的扩充与复数的引入课件
[答案] 3
A
16
考向 1 复数的有关概念
【典例 1】 (1)设 i 是虚数单位，若复数 a－31－0 i(a∈R)是纯虚
数，则 a 的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
()
A．A
B．B
C．C
D．D
图 4-5-2
A
10
[解析] 共轭复数对应的点关于实轴对称．
[答案] B
A
11
3．(2014·江西高考)若复数 z 满足 z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)， 则|z|＝( )
A．1
B．2
C. 2
D. 3
A
12
[解析] ∵z(1＋i)＝2i， ∴z＝12＋i i＝2i（12－i）＝1＋i， ∴|z|＝ 12＋12＝ 2.
[答案] C
A
13
4．(2014·江苏高考)已知复数 z＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则 z 的实部为________．
A
14
[解析] ∵z＝(5＋2i)2＝21＋20i， ∴z 的实部为 21.
[答案] 21
A
15
5．若 3＋bi＝(1－i)(a＋bi)(a，b 为实数，i 为虚数单位)，则 a ＋b＝________．
(1)点 A 所在的象限； (2)向量O→B对应的复数．
A
29
[解] (1)z＝12＋i i＝（12＋i（i）1－（i1）－i）＝1＋i，
所以 z 的共轭复数－z ＝1－i， 所以点 A(1，－1)位于第四象限． (2)又点 A，B 关于原点 O 对称． ∴点 B 的坐标为 B(－1，1)． 因此向量O→B对应的复数为－1＋i.
2015年高考数学一轮总复习配套课件：10.4数系的扩充与复数的引入
=1
= -1.
= 1 + i,
= -1 + i,
= -1-i,
= 1-i,
故所求复数为
或
或
或
= 1-i
= 1+i
= -1-i
= -1 + i.
考点一
考点二
考点三
考点四
第二十五页，编辑于星期五：十一点 十二分。
(-2)
= 0,
-1
2 + 2m-3 ≠ 0.
解得 m=0 或 m=2.∴当 m=0 或 m=2 时,z 为纯虚数.
(3)当 z 对应的点位于复平面的第二象限时,则有
(-2)
< 0,
-1
解得 m<-3 或
2 + 2m-3 > 0,
1<m<2.故当 m<-3 或 1<m<2 时,z 对应的点位于复平面的第二象限.
对应点分别在实轴和虚轴上.若实部为正且虚部为正,则复数对应点在第一
象限;若实部为负且虚部为正,则复数对应点在第二象限;若实部为负且虚部
为负,则复数对应点在第三象限;若实部为正且虚部为负,则复数对应点在第
四象限.此外,若复数的对应点在某些曲线上,还可写出代数形式的一般表达
式.如:若复数 z 的对应点在直线 x=1 上,则 z=1+bi(b∈R);若复数 z 的对应点
1
i
5.i 为虚数单位, +
A.0
1
1
i
i
3+
1
i
5 + 7=(
)
B.2i
C.-2i
D.4i
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2015届高考数学(文)基础知识总复习精讲课件：第4章 第5节 数系的扩充、复数的概念与四则运算
高考总复习•数学（文科）
∴m＜－3或－2＜m＜3.
点评：本题考查复数集中各数集的分类及复数的 几何意义，本题中给出的复数采用的是标准的代数形式， 若不然，则应先化为代数形式后再依据概念求解．
第四页，编辑于星期五：十点变式探究
1．(1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋ 为纯虚 数”的( )
分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解．
自主解答：
第二页，编辑于星期五：十点 二十分。
高考总复习•数学（文科） 解析：(1)若z为实数，则
(2)若z为虚数，则m2＋5m＋6≠0，得m≠－2，且m≠－3且m∈R. (3)若z为纯虚数，则
得m＝3. (4)若复数z对应点在第二象限，则
限，∴m2－4m<0且m2－m－6>0. ∴0<m<4且m>3或m<－2. ∴m∈(3,4)．故选D.
答案：D
点评：复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面 内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几 何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角 形法则解决问题．
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高考总复习•数学（文科）
第四章
第五节 数系的扩充、复数的概念 与四则运算
第一页，编辑于星期五：十点 二十分。
高考总复习•数学（文科）
数的概念的理解与应用
【例1】 当实数m为何值时，z＝
＋(m2＋5m＋6)i.
(1)为实数；(2)为虚数；(3)是纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面的 第二象限内．
思路点拨：根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部
【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)数系的扩充与复数的引入 理 北师
提示：不一定成立．比如z1＝1，z2＝i满足z ＋z ＝0.但z1≠0，z2≠0.
1．(2013·某某高考)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(3)复数的几何表示
复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量 .
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
2．解决此类问题的关键是抓住新定义或新运算的特征，对所给的新信息进行分析，并将所给信息与所学相关知识结合．
[典例](2014·某某模拟)在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，z1>z2当且仅当“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2”．
3个结论——复数代数运算中常用的三个结论
(1)(1±i)2＝±2i； ＝i； ＝－i；
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
前沿热点(六)
与复数有关的新定义问题
1．复数的定义及运算的考查多以客观题的方式呈现，也常从与实数的一些性质类比的角度命制新定义问题．
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第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算
1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示形式及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
知识梳理 一、复数的有关概念 1．复数的概念．
形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若________，则a ＋b i 为纯虚数．
2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________(a ，b ，c ，d ∈R ). 3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔________(a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复平面．
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________．
5．复数的模．
向量OZ →
的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，即|z |＝|a ＋b i|＝________.
6．复数的几何意义．
(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应
复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →. 二、复数代数形式的运算法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
1．z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 2．z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 3.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 三、常见运算规律
1．i 的幂运算：i4n ＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i(其中n ∈N )． 2．(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2. 3．(1±i)2＝±2i. 4.
1＋i 1－i ＝i ，1－i
1＋i
＝－i. 5．1的立方根是1；－12＋32i ，－12－32i ，－1的立方根是－1，12＋32i ，12－32i.
6．设ω＝－12＋3
2i ，则ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.
四、复数运算所满足的运算律 1．加法交换律： z 1＋z 2＝z 2＋z 1.
2．加法结合律： (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．
3．乘法运算律：(1)z 1(z 2z 3)＝(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3；(3)(z 1＋z 2)z 3＝z 1z 3＋z 2z 3. 五、复数的几何意义
1．复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量OP 1→，OP 2→
，那么，以OP 1，
OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS →
就是z 1＋z 2的和所对应的向量． 2．复数减法的几何意义：两个复数的差z 1－z 2与连接向量Oz 1→，Oz 2→
的终点，并指向被
减数的向量z 2z 1→
对应．
六、几个重要的结论
1．|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)． 2．z ·z ＝|z |2＝|z |2. 3．若z 为虚数，则|z |2≠z 2.
一、1.实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 2.a ＝c 且b ＝d 3.a ＝c ，b ＝－d 4.x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 5.|z | |a ＋b i|
基础自测
1．(2013·汕头二模)已知i 为虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12
C ．－12
D ．－2
解析：因为复数(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧
2－a ＝0，
1＋2a ≠0，
解得a ＝
2.故选A.
答案：A
2．(2013·广州一模)已知a
1－i
＝1＋b i ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则a ＋b i ＝( ) A ．1＋2i B ．2＋i C ．2－i
D ．1－2i
解析：由a 1－i ＝1＋b i ，即a 2＋a
2i ＝1＋b i ，得a ＝2，b ＝1.故选B.
答案：B
3．(2012·荆州质检)设i 为虚数单位，则1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝________.
解析：根据i n (n ∈N *)的周期性知，－i ＋i 2－i 3＋i 4＝－i 5＋i 6－i 7＋i 8＝…＝0， ∴1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝1. 答案：1
4．(2013·湖北卷)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1
＝2－3i ，则z 2＝________.
解析：依题意z 1＋z 2＝0，所以z 2＝－z 1＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
1．(2013·广东卷)若i(x ＋y i)＝3＋4i ， x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
解析：根据复数相等的充要条件可得x ＝4，y ＝－3，易得x ＋y i 的模为5，故选D. 答案：D
2．(2013·安徽卷)设i 是虚数单位．若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
解析：a －10
3－i ＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且a －10
3－i
为纯虚数知a ＝3.故选D. 答案：D
1．(2013·梅州二模)复数z ＝11－i (i 为虚数单位)的共轭复数z －
是( )
A ．1－i
B ．1＋i
C.12＋1
2
i
D.12－12
i
解析：因为复数z ＝1
1－i ＝1＋i
(1－i )(1＋i )＝12＋1
2i.
所以z －＝12－1
2i.故选D.
答案：D
2．(2013·江门一模)在复平面内，O 是原点，向量OA →
对应的复数是2－i(其中，i 是虚数
单位)，如果点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →
对应的复数是( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2＋i
D ．1－2i
解析：由题意可得点A 的坐标为(2，－1)，点A 关于实轴的对称点为点B (2,1)，则向量OB →
对应的复数是2＋i ，故选C.
答案：C。