上海交大高等代数+数学分析历届考研真题.

上海交通大学

1999年硕士研究生入学考试试题

试卷名称：高等代数

1．（10分）设P 为数域。()()[]x P x g x f ∈,令()()()()

()x g x x x f x X F 112

2

++++=；

()()()()x g x x xf x G 1++=。证明：若()x f 与()x g 互素，则()x F 与()x G 也必互素。

2．（10分）设J 为元素全为1的阶方阵。 （1） 求J 的特征多项式与最小多项式；

（2） 设()x f 为复数域上多项式。证明()J f 必相似于对角阵。 3．（10分）

（1） 设n 阶实对称矩阵()

ij x A =，其中1+=j i ij a a x 且0...21=+++n a a a ，求

A 的n 个特征值。

（2） 设A 为复数域上n 阶方阵。若A 的特征根全为零，证明：1=+E A 。此处

E 为n 阶单位阵。

4（10分）设()x f 是数域F 上的二次多项式，在F 内有互异的根21,x x ，设A 是F 上线性空间L 的一个线性变换且I x A 1≠，I x A 2≠（I 为单位变换）且满足()0=A f ，证明21,x x 为A 的特征值；且L 可以分解为A 的属于21,x x 的特征子空间的直和。 5（10分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：

3231212

3222184422x x x x x x x x x ++---

6（10分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解：

7（10分）假设A 为n m ⨯实矩阵，B 为1⨯n 实矩阵，T

A 表示A 的转置矩阵。证明： （1） AB=0的充要条件是0=A

B A T

； （2） 矩阵A A T

与矩阵A 有相同的秩。

8（10分）设p A A A ,...,,21均为n 阶矩阵且0...21=p A A A 。证明这p 个矩阵的秩之和小于等于()n p 1-，并举例说明等式可以达到。

9（10分）证明任一可逆实矩阵可分解为一个正定阵和一个正交阵之积。

10（10分）设W 为欧氏空间V 的一个子空间。W a V b ∈∈,证明若对任意W a ∈，

a

b a b -≤-则W a b ⊥-

上海交通大学

2003年硕士研究生入学考试试题

试卷名称：高等代数

1（15分）设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=121012001A ，求100A .

2（15分）以2

2⨯P 表示数域P 上的2阶矩阵的集合。假设4321,,,a a a a 为两两互异的

数

而

且

他

们

的

和

不

等

于

零

。

试

证

明

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=412

1

111

a a a A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222221a a a A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4323331

a a a A ,⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=4424441

a a a A 是P 上线性空间的一组基。

3（15分）证明：阶实对称矩阵A 的秩为r,()n r ≤，当且仅当A 可以写成T

CbC A =，其中B 为r n ⨯阶满秩矩阵，C 为r 阶可逆实对称阵。 4（15

分）假设

()()()()()

25

442033152210140x f x x f x x f x x xf x f ++++被

1234++++x x x x 整除。证明：()x f i ,()4,3,2,1,0=i 被1-x 整除。

5（15分）设A 为阶反对称实矩阵，{}n a a a diag B ,...,,21=,其中0 i a ，证明

0 B A +。

6（15分）n 阶方阵A 满足等式2

A A =，当且仅当()()A E r A r n -+=。

7（20分）设A ，B 都是n 阶实方阵，并设λ为BA 的非零特征值；以BA

V λ表示BA 关

于λ的特征子空间。（1）证明：λ也是AB 的特征值；

（1）证明：维数()

BA V λ=维数()

AB

V λ。 8（20分）设A ，B 都是n 阶正定方阵。试证明：AB 的特征值为实数。 9（20分）记n

n P

V ⨯=，P 为数域。假设V A ∈有特征值()n i i ,...,2,1=λ，但

()n i i ,...,2,1=-λ均不是A 的特征值。试证明：V 的变换X A XA X T +→:ψ为同构。

上海交通大学

1999年硕士研究生入学考试试题

试卷名称：数学分析

一 选择题（每题3分，共15分）

1．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

01sin

x x x

x x f α

在0=x 处连续但不可导，则α满足不等式

A ．0 α

B ．1 α

C ．10≤α

D ．21 α

2．若()[]b a R x f ,∈，则下列结论正确的是 A ．()[]b a C x f ,∈

B ．()x f 在()b a ,内的任一子区间内至少有一个连续点；

C ．()x f 可能在[]b a ,上每一点都不连续；

D ．()x f 可能在[]b a ,上所有无理点处都不连续。

3．若曲线b ax x y ++=2

2与123

-=xy y 在点()1,1-处相切，则系数b a ,的值为

A ．⎩⎨

⎧=-=0

3

b a

B ．⎩

⎨

⎧=-=25

b a C ．⎩⎨

⎧=-=23

b a

D ．⎩

⎨⎧-==21

b a

4．二次积分

()dy y x f dx x

x ⎰⎰10

2

,的另一积分次序为