数据结构(C++版)第5章 树和二叉树.ppt
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数据结构第6章树和二叉树基本概念和二叉树ppt课件
§6.2 二叉树
❖二叉树的定义
或者是空树，或者是由一个根结点加上两棵 分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树 组成。
二叉树的结点的子树要区分左子树和右子树， 即使在结点只有一棵子树的情况下也要明确指出 该子树是左子树还是右子树。
§6.2 二叉树
❖二叉树的定义
逻辑结构： 一对二（1：2） 基本特征: ① 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点） ② 左子树和右子树次序不能颠倒（有序树）。 基本形态：
§6.1 树的基本概念
❖树的基本术语
结点 ——即树的数据元素 结点的度 ——结点挂接的子树数
（有几个直接后继就是几度， 亦称“次数”） 结点的层次 ——从根到该结点的层数（根结点算第一层） 终端结点 ——即度为0的结点，即叶子 分支结点 ——即度不为0的结点（也称为内部结点） 树的度 ——所有结点度中的最大值（Max{各结点的度}） 树的深度 ——指所有结点中最大的层数（Max{各结点的层次}） (或高度)
二叉树的运算仍然是插入、删除、修改、查找、排序等，但这些操 作必须建立在对树结点能够“遍历”的基础上！ （遍历——指每个结点都被访问且仅访问一次，不遗漏不重复）。
§6.2 二叉树
❖二叉树的性质
讨论1：第i层的结点数至多是多少？ 2i-1个
1
2
3
（二进制性质）
4
5
6
7
8 9 10 11 12 13 14 15
特点：每层都“充满”了结点
§6.2 二叉树
❖两种特殊形式的二叉树
完全二叉树：树中所含的n个结点和满二叉树中编号 为1至n的结点一一对应
(例如删除A后的子树个数) 有序树 ——结点各子树从左至右有序，不能互换（左为第一） 无序树 ——结点各子树可互换位置。
精品课件-数据结构实用教程(C语言版)-第五章 树和二叉树
先序(根)遍历二叉树、 中序(根)遍历二叉树、 后序(根)遍历二叉树。
TElemType
data;
struct TriTNode *lchild, *rchild;
// 左右孩子指针
struct TriTNode *parent; //双亲指针
} TriTNode, *TriTree;
TriTree
parent lchild data 结点结构:
A
rchild
B
D
C
G
G
A (a()aB)一一棵棵C二二叉叉∧树树 D E ∧ ∧ ∧ F(b) 改∧造后∧(的b)完改全G造二叉后树的完全二叉树
A
B
C(c) 改∧造后完全D二叉树E顺序存∧储状态∧ ∧
F
∧∧ G
A B C ∧ D E ∧∧∧ F ∧∧G
(c) 改造后完全二叉树顺序存储状态
(c) 改造后完全二叉树顺序存储状态
任何一棵非空树的逻辑结构：
是一个二元组 Tree = （root，F）
其中：root 被称为根结点， F 被称为子树森林
叶子：K，L，F，G，M，I，J
结点A的孩子：B，C，D 结点B的孩子：E，F
结点I的双亲：D 结点L的双亲：E
结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0
A
B
C
结点A的层次：1 D 结点M的层次：4
例如，B,C,D为A的子树的根，则B,C,D是A的孩子， 而A则是B,C,D的双亲。
同一个双亲的孩子之间互称兄弟。将这些关系进一步 推广，结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点 。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点 的子孙。如B的子孙为E、F、K和L 。
TElemType
data;
struct TriTNode *lchild, *rchild;
// 左右孩子指针
struct TriTNode *parent; //双亲指针
} TriTNode, *TriTree;
TriTree
parent lchild data 结点结构:
A
rchild
B
D
C
G
G
A (a()aB)一一棵棵C二二叉叉∧树树 D E ∧ ∧ ∧ F(b) 改∧造后∧(的b)完改全G造二叉后树的完全二叉树
A
B
C(c) 改∧造后完全D二叉树E顺序存∧储状态∧ ∧
F
∧∧ G
A B C ∧ D E ∧∧∧ F ∧∧G
(c) 改造后完全二叉树顺序存储状态
(c) 改造后完全二叉树顺序存储状态
任何一棵非空树的逻辑结构：
是一个二元组 Tree = （root，F）
其中：root 被称为根结点， F 被称为子树森林
叶子：K，L，F，G，M，I，J
结点A的孩子：B，C，D 结点B的孩子：E，F
结点I的双亲：D 结点L的双亲：E
结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0
A
B
C
结点A的层次：1 D 结点M的层次：4
例如，B,C,D为A的子树的根，则B,C,D是A的孩子， 而A则是B,C,D的双亲。
同一个双亲的孩子之间互称兄弟。将这些关系进一步 推广，结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点 。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点 的子孙。如B的子孙为E、F、K和L 。
数据结构 (C语言版)课件：第6章_树和二叉树
Data Structure
第
章
树和二叉树
树结构是一类非常重要的非线 性结构，它可以很好地反映客观世 界中广泛存在的具有分支关系或层 次特性的对象，因此在计算机领域 里有着广泛应用，比如操作系统中 的文件管理、编译程序中的语法结 构和数据库系统信息组织形式等。
2020/9/30
1
6.1 树的逻辑结构
2020/9/30
树中最基本的操作是遍历。树的遍历 是指按某种次序访问树中所有结点，使得 每个结点均被访问且仅被访问一次。
(1) 有且仅有一个特定的称为根的结点； (2) 当 n>1 时，除根结点之外的其余结点被分成 m（m＞0）个互不相交 的有限集合 T1、T2、…、Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点 的子树。
树的定义是一个递归定义，刻画了树的固有特性：一 棵非空树是由根结点及若干棵子树构成的，而子树又可以 由其根结点和若干棵更小的子树构成。
2020/9/30
6
6.1 树的逻辑结构
6.1.1 树的定义
● 相关概念 路径、路径长度
Data Structure
● 路径：如果树的结点序列 {n1, n2, …, nk} 满足如下关系：结点 ni 是结 点 ni+1 的双亲（其中，1≤i＜k），则把 n1、n2、…、nk 称为一条由 n1 至 nk 的路径 。
嵌套图
广义表
13
6.1 树的逻辑结构
6.1.1 树的定义 ● 逻辑特征
Data Structure
● 树中的任何一个结点都可以有零个或多个后继（即孩子），但至多 只能有一个前驱（即双亲）。
● 树中只有根而没有前驱的结点是开始结点；叶子没有后继，它们是终 端结点。
第
章
树和二叉树
树结构是一类非常重要的非线 性结构，它可以很好地反映客观世 界中广泛存在的具有分支关系或层 次特性的对象，因此在计算机领域 里有着广泛应用，比如操作系统中 的文件管理、编译程序中的语法结 构和数据库系统信息组织形式等。
2020/9/30
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6.1 树的逻辑结构
2020/9/30
树中最基本的操作是遍历。树的遍历 是指按某种次序访问树中所有结点，使得 每个结点均被访问且仅被访问一次。
(1) 有且仅有一个特定的称为根的结点； (2) 当 n>1 时，除根结点之外的其余结点被分成 m（m＞0）个互不相交 的有限集合 T1、T2、…、Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点 的子树。
树的定义是一个递归定义，刻画了树的固有特性：一 棵非空树是由根结点及若干棵子树构成的，而子树又可以 由其根结点和若干棵更小的子树构成。
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6.1 树的逻辑结构
6.1.1 树的定义
● 相关概念 路径、路径长度
Data Structure
● 路径：如果树的结点序列 {n1, n2, …, nk} 满足如下关系：结点 ni 是结 点 ni+1 的双亲（其中，1≤i＜k），则把 n1、n2、…、nk 称为一条由 n1 至 nk 的路径 。
嵌套图
广义表
13
6.1 树的逻辑结构
6.1.1 树的定义 ● 逻辑特征
Data Structure
● 树中的任何一个结点都可以有零个或多个后继（即孩子），但至多 只能有一个前驱（即双亲）。
● 树中只有根而没有前驱的结点是开始结点；叶子没有后继，它们是终 端结点。
数据结构C语言树和二叉树PPT学习教案
第14页/共74页
二叉树的存储结构
顺序存储结构
实现：按满二叉树的结点层次编号，依次 存放二叉树中的数据元素
特点：
结点间关系蕴含在其存储位置中
a
浪费空间，适于存满二叉树和完全二
叉树
b
c
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
abcde0000fg
d
e
f
g
第15页/共74页
链式存储结构
特点：
树中至少有一个结点——根
只有根结点的树 A
有子树的树
A
根
B
C
D
E
F GH I J
KL
M
子 树
第2页/共74页
基本术语
结点(node)——表示树中的元素，包括 数据项及若干指向其子树的分支
结点的度(degree)——结点拥有的子树 数
叶子(leaf)——度为0的结点 孩子(child)——结点子树的根称为该结
p=NULL
(14)
A
i 访问：C B E G D F A
B
CD
EF i
G (15)
访问：C B E G D F A
后序遍历非递归算法
第28页/共74页
•
遍历算法应用
–
按先序遍历序列建立二叉树的二叉链 表，已 知先序 序列为 ：
A BC D E G F
A
B CD
–
统计二叉树中叶子结点个数算法
EF
第31页/共74页
typedef struct node { int data;
int ltag, rtag; struct node *lchild, *rchild; }JD;
二叉树的存储结构
顺序存储结构
实现：按满二叉树的结点层次编号，依次 存放二叉树中的数据元素
特点：
结点间关系蕴含在其存储位置中
a
浪费空间，适于存满二叉树和完全二
叉树
b
c
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
abcde0000fg
d
e
f
g
第15页/共74页
链式存储结构
特点：
树中至少有一个结点——根
只有根结点的树 A
有子树的树
A
根
B
C
D
E
F GH I J
KL
M
子 树
第2页/共74页
基本术语
结点(node)——表示树中的元素，包括 数据项及若干指向其子树的分支
结点的度(degree)——结点拥有的子树 数
叶子(leaf)——度为0的结点 孩子(child)——结点子树的根称为该结
p=NULL
(14)
A
i 访问：C B E G D F A
B
CD
EF i
G (15)
访问：C B E G D F A
后序遍历非递归算法
第28页/共74页
•
遍历算法应用
–
按先序遍历序列建立二叉树的二叉链 表，已 知先序 序列为 ：
A BC D E G F
A
B CD
–
统计二叉树中叶子结点个数算法
EF
第31页/共74页
typedef struct node { int data;
int ltag, rtag; struct node *lchild, *rchild; }JD;
数据结构C++版第5章 树和二叉树 ppt课件
A
B
C
D
E
A
DEF G
GBF C
16
5.1 树的逻辑结构
树结构和线性结构的比较
线性结构
树结构
第一个数据元素
根结点（只有一个）
无前驱
无双亲
最后一个数据元素 无后继
叶子结点(可以有多个) 无孩子
其它数据元素
其它结点
一个前驱,一个后继
一对一
一个双亲,多个孩子
一对多
17
5.1 树的逻辑结构
树的遍历操作
树的遍历：从根结点出发，按照某种次序访问树中所有结点 ，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。 Nhomakorabea……
……
6
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
结点的度：结点所拥有的子树的个数。 树的度：树中各结点度的最大值。
A
BC
D
E F GH I J
KL
M
7
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
叶子结点：度为0的结点，也称为终端结点。 分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点。
A
BC
D
E F GH I J
KL
M
下标 data 0A
B
C
1B 2C
3D
DEF G H
第 5 章 树和二叉树
本章的主要内容是
➢树的逻辑结构 ➢树的存储结构 ➢二叉树的逻辑结构 ➢二叉树的存储结构及实现 ➢树、森林与二叉树的转换
1
5.1 树的逻辑结构
树的定义
树：n（n≥0）个结点的有限集合。 当n＝0时，称为空树； 任意一棵非空树满足以下条件： ⑴ 有且仅有一个特定的称为根的结点； ⑵ 当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互 不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合又是一棵树， 并称为这个根结点的子树。
数据结构树和二叉树C
对任一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点， n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式：
n0 = n2+1
1
证明：
设二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 又二叉树上分支总数 B = n1 + 2n2 而 B = n - 1 = n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12
性质5：
若2i > n，则该结点无左孩子，否则，编号 为2i的结点为其左孩子结点；
若2i+1 > n，则该结点无右孩子结点，否则 ，编号为2i+1的结点为其右孩子结点。
1 2
4
5
6
8 9 10 11 12
3 7
6.2.3 二叉树的存储结构
（1）二叉树的顺序存储表示 （2）二叉树的链式存储表示
完全二叉树的特点
(1) 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现； (2) 对任一结点，若其右分支下的子孙的最大层
次为 L，则其左分支下的子孙的最大层次必 为 L 或 L+1。
性质4：具有n个结点的完全二叉树的高度为
└ log2n ┘ + 1
证明： 设完全二叉树的高度为h，则有
(2h-1 -1 ) < n (2h -1) 或 2h-1 n < 2h
} TriTNode, *TriTree;
在不同的存储结构中，实现二叉树的操作方 法亦不同，如找结点 x 的双亲 PARENT(T，e)， 在三叉链表中很容易实现，而在二叉链表中则需 从根指针出发巡查。
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A
BC
D
E F GH I J
KL
M
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结 点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点； 兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。
A
BC
D
E F GHI J
KL
M
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是 ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为一条由n1至nk的 路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。
data
parent
data：存储树中结点的数据信息 parent：存储该结点的双亲在数组中的下标
5.2 树的存储结构
双亲表示法中结点数据类型的定义
data parent
template <class T> struct PNode{
T data; //数据域 int parent; //指针域，双亲在数组中的下标 };
ABCDEF NhomakorabeaG前序遍历序列： ABDEHIFCG
HI
5.1 树的逻辑结构
后序遍历
树的后序遍历操作定义为： 若树为空，则空操作返回；否则 ⑴ 按照从左到右的顺序后序遍历 根结点的每一棵子树； ⑵ 访问根结点。
A
B
C
DEF G
后序遍历序列： DHIEFBGCA
HI
5.1 树的逻辑结构
层序遍历
树的层序遍历操作定义为： 从树的第一层（即根结点）开始 ，自上而下逐层遍历，在同一层 中，按从左到右的顺序对结点逐 个访问。
etc
……
Music …… Picture
……
……
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
结点的度：结点所拥有的子树的个数。 树的度：树中各结点度的最大值。
A
BC
D
E F GH I J
KL
M
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
叶子结点：度为0的结点，也称为终端结点。 分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点。
A
B
C
DEF G
层序遍历序列： ABCDEFGHI
HI
5.2 树的存储结构
实现树的存储结构，关键是什么? 如何表示树中结点之间的逻辑关系。
树中结点之间的逻辑关系是什么? 一对多的关系 存储结构的关键：如何表示结点的双亲和孩子
5.2 树的存储结构
双亲表示法 基本思想： 用一维数组来存储树的各个结点（一般按层序存储）， 数组中的一个元素对应树中的一个结点， 每个结点记录两类信息：结点的数据信息以及该结点的双亲 在数组中的下标。
A
A
B
C
C
B
DEF G
GD E F
数据结构中讨论的一般都是有序树
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
森林：m (m≥0)棵互不相交的树的集合。
A
BC
D
EF
H
J
KL
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
同构：对两棵树，若通过对结点适当地重命名，就可以使 这两棵树完全相等（结点对应相等，结点对应关系也相等 ），则称这两棵树同构。
C
BC
D
E F GH I J
KL
M
1层
2层 高度＝4
3层
4层
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
层序编号：将树中结点按照从上层到下层、同层从左 到右的次序依次给他们编以从1开始的连续自然数。
1A
2
B
3C
4
D
5 E F 6 7H
J8
9
K
10
L
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左 到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为 无序树。
A
B
C
D
E
A
DEF G
GBF C
5.1 树的逻辑结构
树结构和线性结构的比较
线性结构
树结构
第一个数据元素
根结点（只有一个）
无前驱
无双亲
最后一个数据元素 无后继
叶子结点(可以有多个) 无孩子
其它数据元素
其它结点
一个前驱,一个后继
一对一
一个双亲,多个孩子
一对多
5.1 树的逻辑结构
树的遍历操作
树的遍历：从根结点出发，按照某种次序访问树中所有结点 ，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
树的双亲表示法实质上是一个静态链表。
5.2 树的存储结构
双亲表示法 A
下标 data 0A
B
C
1B 2C
3D
DEF G H
4E
5F
I
6G
7H
8 如何查找双亲结点？时间性能？
I
parent -1 0 0 1 1 1 2 2 4
5.2 树的存储结构
双亲表示法
下标 data parent firstchild
A
BC
D
E F GH I J
KL
M
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点x到结 点y，那么x就称为y的祖先，而y称为x的子孙。
A
BC
D
E F GH I J
KL
M
5.1 树的逻辑结构
树的基本术语
结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点， 若某结点在第k层，则其孩子结点在第k+1层。 树的深度：树中所有结点的最大层数，也称高度。
如何理解访问?
抽象操作，可以是对结点进行的各种处理，这里简化为输出 结点的数据。
遍历的实质?
树结构（非线性结构）→线性结构。 如何理解次序?
树通常有前序（根）遍历、后序（根）遍历和层序（次） 遍历三种方式。
5.1 树的逻辑结构
前序遍历
树的前序遍历操作定义为： 若树为空，则空操作返回；否则 ⑴ 访问根结点； ⑵ 按照从左到右的顺序前序遍历 根结点的每一棵子树。
A
0A
-1
1
1B
0
3
B
C
2C
0
3D
1
6 -1
4E
1
8
DEF G H 5 F
1
-1
6G
2
-1
I
7H
2
-1
8
I
4
-1
如何查找孩子结点？时间性能？
5.2 树的存储结构
双亲表示法
下标 data parent rightsib
第 5 章 树和二叉树
本章的主要内容是
➢树的逻辑结构 ➢树的存储结构 ➢二叉树的逻辑结构 ➢二叉树的存储结构及实现 ➢树、森林与二叉树的转换 ➢哈夫曼树
5.1 树的逻辑结构
树的定义
树：n（n≥0）个结点的有限集合。 当n＝0时，称为空树； 任意一棵非空树满足以下条件： ⑴ 有且仅有一个特定的称为根的结点； ⑵ 当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个 互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合又是一棵 树，并称为这个根结点的子树。
树的定义是采用递归方法
5.1 树的逻辑结构
树的定义
A
A
B
C
B
C
A B EC
DEF G D
F
G
D FG
HI
(a) 一棵树结构
(b)一个非树结构
(c)一个非树结构
5.1 树的逻辑结构
树的应用举例——文件结构
My Computer
C:
D:
……
WINDOWS …… Program Files
……
……
E: