几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何【摘要】分形几何是一门独特的数学领域，它以非整数维度的几何形状为研究对象。
本文将深入探讨分形几何的历史、基本概念和数学原理，以及在自然界中的展现和艺术中的运用。
分形几何不仅仅是一种数学理论，它还具有广泛的应用价值，在自然界的各个领域中都有着重要作用。
分形几何的未来发展也备受关注，展示着一种新颖的数学思维和艺术创意。
几何里的艺术家——分形几何，展现着独特的美学魅力，引领着无限的想象力和创造力，让我们一起探索分形几何的奥秘与魅力。
【关键词】分形几何、艺术家、几何、应用、历史、基本概念、数学原理、自然界、展现、艺术、运用、未来发展、魅力1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种研究自然和人造现象中形态结构的几何学领域，它研究的是那些不规则、复杂、自相似的图形或结构。
分形几何的研究对象不同于传统几何学中的简单几何图形，而是更接近自然界和人类创造的复杂形态。
分形几何通过数学建模和图形分析，试图揭示自然现象中隐藏的规律和结构。
在分形几何中，“分形”一词来源于拉丁文中的“fractus”，意为“破碎的”或“不规则的”。
分形几何的主要特点是自相似性和尺度不变性，即无论放大还是缩小，图形的结构都保持不变。
这种自相似性使得分形几何能够描述复杂的、非线性的系统，例如云彩、海岸线、树木等自然现象，以及数字信号处理、人工智能等人造结构。
通过分形几何的研究，人们可以更好地理解自然界中丰富多样的形态结构，探索规律和规律背后的美学。
分形几何的应用领域也越来越广泛，涵盖了物理学、生物学、经济学、艺术等多个领域。
在当今数字化时代，分形几何不仅是一门独具魅力的数学学科，更是连接自然、艺术和科学的桥梁。
1.2 分形几何的应用价值分形几何的应用价值非常广泛，涉及到许多领域，包括科学、工程、医学和艺术等。
在科学领域，分形几何被广泛应用于天文学、气象学、地质学和生物学等领域。
在天文学中，分形几何被用来研究星系和星云的形态，帮助科学家更好地理解宇宙的结构和演化过程。
分形几何概述
三、分形几何的研究方法
1、以分数维数来描述分形；
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
例如：Mandelbrot集，简称M集，是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形. 它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果．它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目．而这种放大可以无限地进行下去，无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体有某种相似的地方，但又不完全相同，仿佛里面酝藏着无穷的创造力，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。
6、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡、书签等等。
7、装点科技馆、少年宫、旅游景点等地点，美化公众环境。
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我们来看曼德勃罗的分析：
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
数学与艺术的奇妙结合用数学创作艺术作品
数学与艺术的奇妙结合用数学创作艺术作品数学与艺术的奇妙结合：用数学创作艺术作品数学和艺术似乎是两个看似截然不同的领域，前者涉及逻辑、推算和精确性，而后者则强调创造力、表达和审美。
然而，在一些令人惊叹的作品和项目中，我们可以发现数学和艺术的奇妙结合。
本文将探讨一些数学和艺术相互交织的例子，并介绍数学如何成为艺术创作的灵感源泉。
首先，让我们来看看平面图形和几何学在艺术中的应用。
几何学是数学的一个分支，研究点、线、面和体等数学对象之间的关系。
艺术家们利用几何学的原理来构造平面图形，并在设计中运用到对称性、比例和形状等元素，从而创造出令人赞叹的作品。
例如，荷兰画家埃舍尔（M.C. Escher）的作品以几何图案和错觉见长，通过精确的几何构造营造出令人难以置信的效果，深受观众的喜爱。
另一个数学与艺术结合的领域是分形艺术。
分形艺术是一种通过重复模式和自相似性来创作作品的方式。
分形艺术家使用数学的分形几何学原理，通过不断缩放和变化的过程，创造出令人惊叹的图像。
这种艺术形式常常被用来描绘大自然中的形态，如树叶的分支结构、山脉的轮廓等。
分形艺术既是数学的表达方式，也是对自然美的再现，使观众在审美的同时也对数学原理有了更深一层的理解。
除了几何学和分形艺术，数学在绘画、雕塑和音乐等艺术形式中也发挥着重要的作用。
在绘画中，艺术家们利用透视原理和色彩理论等数学原理来创造立体感和色彩的和谐。
在雕塑中，数学则帮助艺术家准确地计算出形状和比例，使作品达到更高的艺术境界。
在音乐中，数学可以帮助作曲家解决和弦、调性和节奏等问题，并塑造出动人心弦的音乐作品。
正是由于数学的参与，艺术作品得以呈现出独特的美学效果。
除了艺术作品本身，数学还可以激发艺术家的创造力，并成为他们的灵感源泉。
艺术家可以从数学的美学原理、规律和对称性中汲取灵感，并将其转化为独特的艺术形式。
数学的逻辑性和精确性能够为艺术家提供一种思考问题和解决问题的方法。
艺术创作需要的构思和设计过程中可以受到数学的指导，从而创造出令人惊艳的艺术作品。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何几何不仅仅是数学中的一个概念，它也是艺术中的一种灵感源泉。
而分形几何则将几何之美发挥到了极致，成为了一种兼具科学和艺术特质的美学形式。
在分形几何的世界里，数学的精密和艺术的想象交织在一起，勾勒出了独特的美丽景观。
本文将带领读者一起探索几何里的艺术家——分形几何。
1. 分形几何的起源分形几何一词最早由法国数学家贝诺瓦·曼德博特在1975年提出。
分形一词源于拉丁文“fractus”，意为碎片、断裂。
在数学上，分形是指一种具有自相似性的几何形态，即整体的部分在不同尺度上都与整体类似。
这种自相似性使得分形几何成为了一种富有美感和艺术感的数学形式。
分形几何得到了诸多科学和艺术领域的关注，成为了一种跨学科的研究领域。
2. 分形几何和艺术在艺术领域，分形几何为艺术家们带来了无限的灵感。
通过计算机技术和数学算法，艺术家们可以创造出种种奇妙的分形图像，这些图像既具有科学的精密性，又富有艺术的想象力。
分形艺术作品常常展现出几何的美感和图案的丰富多样性，在细节的赏析上更是令人叹为观止。
分形艺术作品已经成为了一种独特的艺术风格，吸引了众多艺术家和观众的关注。
3. 分形几何的应用除了在艺术领域中发挥重要作用之外，分形几何在科学领域中也有着广泛的应用。
在物理、生物、地质等领域，分形几何被用来研究复杂系统的形态和特性。
分形几何的自相似性和分形维度等特性，为科学家们提供了一种独特的研究方法，帮助他们理解和解释自然界中的复杂现象。
分形几何的应用范围正在不断拓展，有望成为解决复杂问题的重要工具。
4. 分形几何与人类文化分形几何不仅仅是一种数学形式，它还深刻地影响着人类文化的发展。
在建筑、绘画、音乐等领域，分形几何都留下了深远的痕迹。
建筑设计师们常常运用分形几何的原理来设计出富有美感和结构稳定性的建筑物；绘画艺术家们则通过分形几何的图案来展现出作品的纷繁多样；音乐创作家们也借助分形几何的节奏和和谐结构来创作富有艺术感的音乐作品。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
什么是分形几何？
什么是分形几何？什么是分形几何？1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。
例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。
当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入了，所以存在分维。
其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。
此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere （“破碎”、“产生无规碎片”）。
此外与英文的fraction （“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。
在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。
因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种数学理论，包括了自相似性、不规则性和复杂性等特点，它能够描述自然界和人造物体中所存在的复杂形态。
分形几何可以将复杂的形状分解为简单的结构单元，从而更好地解释和描述复杂系统的特征。
分形几何的研究对象可以是自然界中的云雾、山脉、植物等，也可以是人类创造的艺术作品、城市景观等。
通过分形几何的研究，人们能够更深入地理解形态的形成规律和演化过程，为科学研究和艺术创作提供了新的视角。
分形几何的特点在于其不规则性和自相似性。
不规则性指的是形状的复杂度和不规则程度，而自相似性则是指在不同尺度上体现相似性。
分形几何的特点使得人们可以用简单的数学模型来描述复杂的自然现象，从而更好地理解事物的本质及其演变规律。
分形几何是一种独特的数学理论，它不仅在科学领域有着广泛的应用，还在艺术领域中扮演着重要的角色。
通过分形几何的研究和应用，人们能够更好地理解世界的复杂性和多样性，从而为人类的进步和发展提供新的思路和方向。
1.2 分形几何的应用分形几何在应用领域有着广泛的用途，其独特的性质和特点使其在科学、工程、医学等领域发挥着重要作用。
分形几何在图像压缩和图像处理中有着重要的应用。
通过分形图像压缩技术，可以大大减少图像传输和存储时所需的数据量，从而提高图像的传输速度和保存效率。
分形图像处理技术还可以用于图像的放大和缩小，不会出现传统方法中所产生的模糊和失真现象。
在地理信息系统中，分形几何可以用来模拟地形特征，以实现更加逼真的地形图像。
分形几何在地震预测、金融市场分析、气象预测等领域也有着广泛的应用。
分形几何的应用领域十分广泛，不断地为各个领域带来新的发展和突破。
1.3 分形几何在艺术中的作用分形几何在艺术中的作用主要体现在其能够呈现出独特而美丽的几何形状和图案。
分形几何的特点使得它能够生成各种复杂、丰富并且具有自相似性的图像。
这种自相似性使得分形几何产生的图案看起来既具有整体性又具有细节性，给人以视觉上的愉悦和惊叹。
分形几何概述1
n
ln 4 1.26186 ln 3
英国海岸线的维数为D=1.25 (Mandelbrot)
Koch曲线：(㏑4)/ (㏑3)=1.2618 Cantor集： (㏑2)/ (㏑3)=0.6309 Sierpinski集： 垫片： (㏑3)/ (㏑2)=1.5850 地毯： (㏑8)/ (㏑3)=1.8927 海绵： (㏑20)/ (㏑3)=2.7268
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 同样的道理：长度无限、面积为零、而曲 线还有“界”。 另外，有一个特点：当取其中的一部分 展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一 个什么东西的无数次的自我复制。
定义1 如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT，则 称该集合为分形集，简称分形。
由Mandelbrot在1982年提出，四年后， 他又提出了一个更是实用的定义： 定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形 体叫分形。
分形的概念
分形看作具有如下所列性质的集合F：
F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。 F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计 意义下的。 F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的扑维数。 F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
分形几何概述
海岸线长度问题
二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著 作中讨论英国海岸线的长度。他发现，这个问题取决于测量 所使用的尺度。采用公里做单位，一些几米和几十米的曲折 会被忽略，如果采用米做单位，测得的长度会增加，但厘米 以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使测得的长度增加， 由于在自然尺度之间有许多个数量级，这种增加不会停止， 海岸线的长度会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的 定量特征。
蒙德里安简介
蒙德里安简介蒙德里安（Mandelbrot）是一位以复杂分形几何和拉格朗日电网理论而闻名的数学家，也是一位科学思维家，研究者和作家。
他最出名的成就是1982年发表的《计算复杂分形图形》。
这是一本有关数学分形几何的著作，也是首次将数学中的分形几何概念引入了计算机科学。
蒙德里安的研究着重于数学和计算机科学，他利用数学证明来发现现实世界中的规律，从而构建出有关行为的计算模型。
他发表的著作将复杂分形几何引入计算机科学，让计算机能够生成复杂的几何图形，例如蜘蛛网、海葵、柏拉图及新派图形艺术等。
蒙德里安还创造出“蒙德里安集”，这是一种新型的数学图形，它是一个经过无限折叠和扭曲以后形成的半古怪的图形，图形中充满复杂的花纹和线条，它们视觉上很有趣，但计算上却复杂无比。
蒙德里安集的研究更加深入地开启了数学分形几何的大门，对现代的科学思考影响深远。
此外，蒙德里安还研究复杂系统的奇特性，研究了拉格朗日电网，这源于18世纪法国数学家拉格朗日提出的一种数学理论。
蒙德里安在1978年发表的论文中，指出了这种理论的普遍性，从而帮助人们更深入地理解复杂制度的内在联系。
蒙德里安还是一位思想家，他曾针对近现代科学的发展进行深入讨论，并在著作中提出了许多聪明睿智的看法。
他认为，人类的行为与复杂的柏拉图相似，即小的变动将引发大的改变，这与分形几何的思想十分吻合。
蒙德里安持续不断地给世人带来惊叹，从20世纪80年代开始，到20世纪90年代末，他仍然在数学与计算机科学领域取得许多突破性的研究成果。
蒙德里安未竟之业的研究仍在持续，他已留下了自己无穷无尽的智慧，将长久影响着科学家们的思考。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一个结合了数学和艺术的领域，它研究的是自相似的图案和结构。
分形的概念最早由法国数学家勒谢德雷于20世纪70年代提出。
他认为自然界中存在着许多看似无规律的现象，如云朵的形状、山脉的轮廓、树的分枝等，但这些现象却具有某种规律性。
通过数学的方法，勒谢德雷研究了这些现象背后的规律，并将其命名为“分形”。
分形几何的一个重要特点就是自相似性。
自相似是指一个物体的一部分与整体非常相似。
树的分枝和整棵树的形状非常相似，云朵的一小块与整个云朵的形状也非常相似。
这种自相似性使得分形图案可以无限地重复下去，越往细节处观察，越能发现新的图案。
分形几何的应用非常广泛。
在科学领域，分形几何可以用来研究各种现象，如地理地貌的形成、动植物的生长规律等。
在工程领域，分形几何可以用来设计更高效的网络、建筑和交通系统等。
在艺术领域，分形几何可以用来创作各种艺术作品，如绘画、雕塑和音乐。
分形几何在艺术创作中的应用非常有意思。
艺术家可以利用分形几何的原理，创造出各种奇妙的图案和结构。
他们可以通过数学软件生成分形图案，然后再加以修改和装饰，使其更具艺术效果。
艺术家还可以利用分形几何的自相似性，创作出逐渐放大或缩小的图案，使观众感受到无限的延伸和变化。
分形几何作品可以以各种形式呈现。
在绘画中，艺术家可以使用分形图案来创造各种纹理和形状。
在雕塑中，艺术家可以使用分形几何的结构来构建复杂的雕塑作品。
在音乐中，艺术家可以利用分形几何的规律来创作出奇妙的音乐作品，如迭代曲线和分形序列。
分形几何是一个充满艺术魅力的领域。
它的研究和应用为我们揭示了自然界和人类社会中的规律和美丽。
分形几何作品以其奇妙和无限的形式给人带来了无尽的想象空间，使我们更好地了解和欣赏世界的复杂性和多样性。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何当我们谈论几何艺术家时，很少有人会将其与艺术联系起来。
通常我们将几何与数学联系在一起，认为它是一种冷冰冰的学科，只适合于公式和计算。
分形几何正是一种将数学与艺术完美结合的表现形式，它不仅仅是数学家们的领域，也是艺术家们的创作源泉。
分形几何是一种非常神奇的数学概念，它研究的对象是具有自相似性和无限重复的图形。
分形的特点在于无论从整体还是从局部来看，都可以看到它固有的形态和结构。
在我们日常的生活中，我们可以见到很多具有分形特征的事物，比如树叶、云层、山脉等自然景物，它们都具有自相似性和无限复制的特点。
分形几何正是将这些奇妙的现象进行了深入的研究和表达。
分形的美学价值在于它呈现出了一种全新的艺术观念。
分形艺术家们利用计算机和数学工具创作出神奇的分形图形，这些图形既包含自然的美，又具有数学的智慧。
分形图形中充满了无穷无尽的循环和对称，它们展示出了一种抽象的、纯粹的美感。
通过分形几何的艺术表达，人们可以看到自然界中的奥秘之美，也可以感受到数学中的灵动之美。
分形艺术家们以独特的创作方式展示了这种美感。
他们不再依赖于传统的绘画或雕塑技巧，而是利用计算机软件和数学公式来创作出具有分形特征的图形。
通过调整参数和运用算法，艺术家们创作出了千变万化的分形图像，这些图像不仅具有视觉上的冲击力，还激发了人们对于数学和自然的思考。
分形艺术家们甚至将这种美感延伸到了纺织品设计、建筑艺术、音乐创作等领域，将分形的美妙展现在了生活的方方面面。
在当代艺术领域，分形几何也越来越受到人们的关注。
许多当代艺术家将分形图形与数字艺术结合在一起，创造出了一种全新的艺术形式。
他们将分形图形投影到墙面上、建筑表面上，甚至将其呈现在虚拟现实中，给人们带来了前所未有的视觉体验。
分形艺术作品以其独特的美学观念和艺术形式引领了当代艺术的潮流，并为人们开启了一扇探索自然和数学之美的窗口。
除了在艺术领域中的创作表现，分形几何还在许多其他领域展现出了巨大的潜力。
谢尔宾斯基三角形
谢尔宾斯基三角形谢尔宾斯基三角形是一种基于分形几何学的图形，由数学家谢尔宾斯基在20世纪初提出。
它以其独特的美学和无穷细节的特点而闻名，被广泛应用于数学、计算机科学、艺术等领域。
本文将介绍谢尔宾斯基三角形的定义、性质以及与现实世界的应用。
一、定义和构造方式谢尔宾斯基三角形的构造方式非常简单，首先取一个等边三角形，然后将其分成四个等边小三角形。
接下来，去掉其中的中心小三角形，然后对剩余的三个小三角形重复进行相同的操作。
每一次操作都将生成更小的三角形，并在原来的基础上增加更多的细节。
在数学上，谢尔宾斯基三角形可以用递归的方式表示。
设T(n)为第n阶谢尔宾斯基三角形，可以通过将T(n-1)的三个副本以及一个内部的T(n-1)三角形放置在一起来构造T(n)。
其中，T(0)定义为基本的等边三角形。
二、性质1. 尺寸和面积谢尔宾斯基三角形具有无限细节的特点，它的边长会无限减小，但形状保持不变。
每一次迭代，三角形的边长减小为原来的1/3，因此第n阶谢尔宾斯基三角形的边长为(1/3)^n。
同样地，谢尔宾斯基三角形的面积也呈无限逼近于零。
每一次迭代，三角形的面积减小为原来的(1/3)^2 = 1/9，因此第n阶谢尔宾斯基三角形的面积为(1/9)^n。
2. 自相似性谢尔宾斯基三角形具有自相似性，即每一次迭代的结果都是整体图形的一个缩小版本。
这是因为每一次迭代的操作都是对整体图形应用相同的分割和剔除规则。
这种自相似性使得谢尔宾斯基三角形在数学和计算机科学中具有重要应用，特别是在分形几何的研究中。
三、应用1. 分形几何学谢尔宾斯基三角形是分形几何学的一个经典例子，它展示了分形对象的重要性质和无限细节。
它广泛应用于研究和教学分形几何学，帮助人们理解和探索复杂的自相似结构。
2. 图像压缩谢尔宾斯基三角形的自相似性和无穷细节特性被应用于图像压缩算法。
通过将图像分成多个具有自相似性的小块，并用更简单的表示方法替换这些块，可以实现图像的高效编码和压缩。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一门研究非整数维度图形的数学学科，它的核心理论是分形，分形意为“自相似的”，即一幅图形包含自身的缩小版本，且无限重复。
分形几何在物理、生物、经济、社会等领域都有着广泛的应用，也是艺术中的一个重要领域。
许多艺术家利用分形几何创建出独一无二的作品。
其中一个知名的分形艺术家是美国数学家和计算机科学家，珍妮弗·佩克。
她在20世纪80年代开始研究分形几何，使用计算机程序创建出了大量独特的艺术作品。
佩克的作品通常都是由充满规律的图案组成的，这些图案又以同样的规律进行重复和变形，从而创建出复杂优美、自然流畅的形态。
佩克研究的一个分形形态是由一条直线分割成三条相等长的线段，再将中间一条线段上放一个相似的形状，然后无限重复这个过程。
最终形成的图形看似复杂又规律，似乎有着自然的美感，这种形态被称为科赫雪花（Koch snowflake，也叫科赫曲线）。
科赫雪花虽然由简单的线段构成，但它却是一种非整数维度的图形，具有完整的分形特征。
佩克的另一种分形形态是曼德博集合（Mandelbrot set），该形态是由一组复数所构成，但这组复数所形成的图形却是非常奇妙的分形形态。
曼德博集合是由一些和其他数学公式类似的公式组成的，“mandelbrot（曼德博）”使用了自己的姓作为这个图像命名的依据。
曼德博集合的图像其形态非常多变，包含了数量无穷的分形形态，从科学角度上来看，曼德博集合也含有大量的有趣的讯息和规律。
利用分形几何的原理，现在还有许多艺术家基于计算机程序制作出优美的图案，他们往往通过自相似的不断演变的图形来展示出分形几何的神奇之处。
总之，分形几何是一门神奇的数学学科。
它的原理被广泛应用于艺术创作，成为了许多艺术家表现自己创意的手段之一。
分形几何形成的图形无论是具有几何美学的规律图案，还是含有神秘色彩的曼德博集合，都能让人们领略到分形几何的独特魅力，同时这种美学也在启示着更多创意的可能性。
分形几何学(美得令人心颤)
Fractal geometry
奇異、美麗的圖案-----超出想像！自動換片
是工藝美術大師的創作嗎？
這是數學的傑作！
20世紀70-80年代，產生了一門新的數學分支---分形幾何學
分形幾何學，英文是FRACTAL GEOMETRY
經典的歐幾裡德幾何學裡面的圖形過於簡單，難以描述自然
分形幾何學才更接近大自然
分形學繪製出的美麗圖案，自然引起了美術家的關注
分形學不僅僅提供美麗圖案，它還有許多實際應用，如大氣物理
甚至有研究者發現，古琴的旋律也是“分形”的。
對“分形”感興趣的朋友，可利用互聯網的搜索功能，搜到詳細解釋
也可以搜到大量“分形”圖形，而在僅僅幾年前，分形圖還很稀缺
有一幫美國人，已經把繪製分形圖當作嗜好，樂此不疲
分形，讓很多人著迷
人們已經開發出繪製分形的軟體，讓繪製分形變得異常方便
人們已經可以繪出三維的分形
轉貼/。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一门结合数学和艺术的学科，它研究自相似性和无限重复的图形。
分形是一种可以通过递归运算生成的图形，其每个部分都与整体具有相似的形状和属性。
分形几何广泛应用于自然界、科学、艺术和计算机图形学等领域。
分形几何的概念最早由波兰数学家曼德博勒特·曼德博勒特于20世纪70年代提出。
他通过迭代运算生成了一种被称为“曼德博集合”的分形图形，该图形具有无限复杂的细节和自相似性。
曼德博勒特的研究成果开创了分形几何的研究领域，吸引了许多科学家和艺术家的关注。
分形几何的魅力在于它展现了自然界中许多复杂的形态和规律。
分形几何可以用来描述云朵、山脉、树木、海岸线等自然景观的形状和纹理。
这些自然景观往往具有层次分明、规则重复的结构，正是分形几何的特点所能很好地解释和模拟这种现象。
在艺术领域，分形几何为艺术家们提供了一种新的创作方式和表现手法。
艺术家可以使用分形生成软件来创作出具有分形特征的艺术作品。
这些作品通常具有随机性、复杂性和自相似性，给观者带来一种与众不同的观感和感官体验。
分形艺术常常被赋予一种神秘、浪漫和超现实的风格，使人沉浸其中。
分形几何的应用还扩展到计算机图形学和图像处理领域。
分形图形可以被用来生成真实感模拟、虚拟现实和特效动画。
通过分形算法，计算机可以生成具有高度精细化和无限细节的图像，使得图像更加逼真、生动，并且可以实现无尽的变化。
除了在科学、艺术和计算机图形学中的应用，分形几何还对理解自然界的一些现象和规律具有重要意义。
分形几何揭示了许多自然界中的分形结构，如闪电、河流、植物的分枝、肺部的支气管等。
了解并研究这些自然现象的分形特征，对于深入理解它们的内在规律和运行机制具有重要意义。
分形几何是一门有着深厚学术背景和广泛应用前景的学科。
它不仅仅是一门数学理论，更是一门艺术表现和探索自然界的工具。
通过分形几何的研究和应用，人们可以更好地理解自然现象、创造艺术作品、设计复杂图形和模拟现实世界。
分形几何超级介绍
分数维
现在我们从测量的角度引入了维数概念， 将维数从整数扩大到分数。即： 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的 ｋ个图形所组成，有：ｋ= λ^D D即维数 D = logｋ/logλ 其中：（ λ 为线度的放大倍数 ｋ为“体积”的放大倍数）
Sierpinski垫圈的分数维
• 如右下角的垫圈 ，它是由原图缩小1/2的相 似的3个图形组成。 • 故其维数为D=log3/log2
分维数的多种定义
• 分数维可用于定量描述分形集的复杂性。 • 分维数已有多种定义。 • 豪斯道夫维数是基于豪斯道夫测度而建立起来的 一种分形维数，它是分形几何的维数理论的基础； • 盒维数或称盒计数维数是一个具有广泛应用的维 数，计算一个分形的盒维数是相对简单的。 • 其他分维数有：柯尔莫哥诺夫熵、熵维数、容量 维数、对数维数和信息维数等。
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自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特 征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似 的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构 与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分 与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下 自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域 放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。
分形几何
数理基础试验班 李道坚 范宇航
分形几何的起源
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特 （B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可 追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续 但处处不可微的函数，集合论创始人康托构造了有许多奇 异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺构造 了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫设计出类似 雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾 斯基设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解 决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形 几何思想的源泉。1975年，他创立了分形几何学。在此 基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形 理论。
曼德尔布罗特--奇妙的分形几何
奇妙的分形几何：噪音也可形成美丽图案(图)2010年10月21日 13:38据国外媒体报道，2010年10月14日，著名数学家、“分形几何之父”伯努瓦-曼德尔布罗特在美国因病逝世，享受85岁。
他所提出的“分形几何”理论和出版的《大自然的分形几何》一书，不仅仅为世人带来一个神奇绝妙的美丽世界，而且分形几何在数学、物理学、生物学等许多科学领域中都得到了广泛的应用，甚至对流行文化领域也产生了重要影响。
让我们通过如下这组不断放大的美丽分形几何图案来纪念这位天才数学家。
1. 曼德尔布罗特集合曼德尔布罗特集合曼德尔布罗特集合最经常被用来说明何为分形几何，它已成为分形几何的标志性图案，它可以帮助我们更好地理解我们周围不规则和粗糙的世界。
它的名称就来源于“分形几何之父”伯努瓦-曼德尔布罗特。
分形几何理论认为，许多领域(如物理学、生物学以及金融等)中的复杂现象，都可以以这种美丽的图案进行处理。
2. 伯努瓦-曼德尔布罗特伯努瓦-曼德尔布罗特伯努瓦-曼德尔布罗特在1982年的照片。
曼德尔布罗特出生于波兰华沙。
当时，为了逃避纳粹的追杀，他们全家移居法国。
曼德尔布罗特先后供职于全球多家最著名的研究机构，不过在职业生涯的大部分时间里，他都是IBM的一名研究员。
在IBM，曼德尔布罗特第一次遇到不规则问题，这一问题导致他提出了最著名的分形几何理论。
20世纪60年代，IBM科学家们被电子“噪音”所困扰，这种“噪音”可能会干扰数据传输，导致错误的发生。
尽管当时没有能够对这种“噪音”有更深入的认识，但曼德尔布罗特发现，“噪音”会形成一种图案，而且它们被检测时距离越靠近，形成的图案也更复杂。
3. 第一步靠近第一步靠近一个新词汇--“分形”(fractal)。
“fractal”来自拉丁文“fractus”，原意为“碎片”。
4. 进一步靠近曼德尔布罗特根据他的观测结果，撰写了《大自然的分形几何》一书，该书发表于1982年。
在《大自然的分形几何》一书中，他创造了进一步靠近要想理解曼德尔布罗特所观察到的奇怪现象，最好的方法就是去思考如下这个非常简单问题的答案，即“英国海岸线有多长”。
分形几何
度量Koch曲线（续）
现在，长度为１／3的无刻度的尺子来度量 Koch曲线。 此时Koch曲线的近似长度为 L1 = 4/3. 于是 Koch 的长度大于 4/3.
度量Koch曲线（续）
进一步，在每两个相邻的节点间加入三个 节点，这样用由16条长度为1/9的线段组成 的折线逼近Koch曲线。同样发现Koch曲线 的长度大于折线长度 L2 = 16/9 = (4/3)2.
分形几何的提出
由于不规则现象在自然界是普 遍存在的，因此分形几何又称 为描述大自然的几何学。分形 几何建立以后，很快就引起了 许多学科的关注，这是由于它 不仅在理论上，而且在实用上 都具有重要价值。
分形几何的提出
当你用一把固定长度的直尺(没有 刻度)来测量海岸线的长度时，对 海岸线上两点间的小于尺子尺寸的 曲线，只能用直线来近似。因此， 测得的长度是不精确的。
Ａ
则称子集类
i 1 为Ａ的一个
Ｕ
i
｛U i｝
―覆盖。
豪斯道夫(Hausdorff)维数
Hausdorff测度 d ) 设Ａ是度量空间 ( R , 的任一有界子集 ｓ≥0，对于任意的 >0，定义：
H ( A) inf{ | U i | : {U i } A的－覆盖}
分形的定义（续） 分形看作具有下列性质的集合F：
１）F具有精细结构，即在任意小 的比例尺度内着复杂的结构。 ２）F是不规则的，以致于不能用 传统的几何语言来描述。
分形的定义（续）
3）F通常具有某种自相似性，或许是 近似的或许是统计意义下的。 4）F在某种方式下定义的“分维数” 通常大于F的扑维数。 5）F的定义常常是非常简单的，或许 是递归的。
Mandelbrot集(4)
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几何里的艺术家——分形几何
分形几何是指生物学家、数学家Mandelbrot于20世纪60年代提出的一种新的几何方法。
它主要是以图形展示自然界里颇多的自相似性和重复性，我们在自然界中可以看到很多地方都能体现出分形几何的形态。
目前，分形几何的研究成果已经被广泛运用在计算机图形学、自然科学、金融、物理学等方面，并在各个领域都取得了很好的应用效果。
分形几何不同于常规的几何学，它将几何形态转换为数学符号来分析形态的特征。
分形几何的美感与特性
分形几何的美在于它具有迷人的自相似性和重复性，这个特性使得分形几何的形态无论在大小还是在宏观与微观的层次上表现出了一致性。
这种自相似性不但具有几何形态的美感，并且在自然界的很多生物和物体中都可以看到它的存在。
譬如火花、雨滴和云朵都具有分形几何的形态，对此我们可以用数学符号和计算机程序来表达和描述这些自然现象。
在分形几何中，出现的大多数形态都是基于数学方程式的操作得到，这些数学方程式需要通过反复的迭代运算才能得到最终的形态，几何学家调用的工具主要是数学符号和计算机程序。
因此，分形几何不仅展示了具有美感的自相似性和重复性，还向我们展示了无穷的变幻和生命力，在人类的审美中表现出了多姿多彩的美，可以说是几何美学中的一种绚丽多彩的表现形式。
分形几何的计算机图形学应用
分形几何在计算机图形学中的应用很广泛，计算机图像能够更加真实地表现物体的特性和微观结构，分形几何的技术能够很好地表现出物体的自相似性和重复性，因此在图像处理和计算机图形学中应用颇多。
其中一个应用场景是在动画电影中，我们常常看到很多自然界中的生物，譬如花朵、藤蔓和蘑菇等生物，它们都具有分形结构，设计师用计算机图形学的方法可以让这些生物呈现出美妙的自然形态。
另外，分形几何还被广泛运用在生成式艺术中，生成式艺术是一种基于数学或人工智能算法的艺术形式，使用分形几何的技术可以生成独特的图案和模型，比如拓扑结构和有机体结构等。
分形几何中的自相似性和重复性不仅提供了美感和独特的艺术表现形式，还为我们提供了一种模拟生命活动的方式，是数学艺术范畴中一个多功能的形式。