解三角形练习题及答案

解三角形练习题及答案
1.已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
2.△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=ccosB，则△ABC是（）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
4.在△ABC中，若•=•=•，则该三角形是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
5.在△ABC中，acosA=bcosB，则三角形的形状为（）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形
6.在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若==则△ABC的形状是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角非等腰三角形D．等腰非直角三角形
8.在△ABC中，P是BC边中点，若，则△ABC的形状是（）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形但不一定是等边三角形
9.在△ABC中，若（b﹣bcosB）sinA=a（sinB﹣sinCcosC），则这个三角形是（）
A．等腰直角三角形B．底角不等于45°的等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．锐角不等于45°的直角三角形
10.在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，则这个三角形的形状是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形
11.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）
A．直角三角形B．等边三角形C．非等边锐角三角形D．钝角三角形
12.若O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状是（）
A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形
13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=（b+c）cosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形
14.在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）
A．1或B．C．D．1或
15.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，
测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则
塔AB的高是（）（单位：m）
A．10B．10C．10D．10
16.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，
测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度
AB为（）
A．15米B．15米C．15（+1）米D．15米
17.在△ABC中，已知AB=4，cosB=，AC边上的中线BD=，则sinA=（）
A． B．C． D．
18.在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为9，当△ABC的面积最大时，AB的长为（）
A．9 B．9C．6D．6
19.在△ABC中，如果cos（B+A）+2sinAsinB=1，那么△ABC的形状是．
20.给出下列命题：①在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形；②在△ABC中，若
cosA•tanB•cotC＜0，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，若sinA•sinB＜cosA•cosB，则△ABC是钝角三角形；④在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形．其中正确的命题序号是．
21.在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2，则△ABC的面积为．
22.在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为．
23.在△ABC中，已知=，且cos（A﹣B）+cosC=1﹣cos2C．（1）试确定△ABC的形状；（2）求的范围．
24.设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．（Ⅰ）若b=2，求c边的长；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．
25.设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c，=，=若，共
线，请按以下要求作答：（1）求角A的大小；（2）当BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．
26.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC=km，当目标出现在B点时，测得∠BCD=75°，∠CDB=45°，求炮兵阵地与目标的距离．
27.在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面C和D两个建筑物的距离，作图如下，所测得的数据为AB=50米，∠DAC=75°，∠CAB=45°，∠DBA=30°，∠CBD=75°，请你帮他们计算一下，河对岸建筑物C、D的距离？
28.如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．
【答案】
1-5BDCDB 6-10CBACB 11-15BDAAB 16-18DAD 19.等腰三角形20.①②③21.222.7+
23.解：（1）由=，可得cos2C+cosC=1﹣cos（A﹣B）得cosC+cos（A﹣B）=1﹣cos2C，cos
（A﹣B）﹣cos（A+B）=2sin2C，即sinAsinB=sin2C，根据正弦定理，ab=c2，①，又由正弦定理及（b+a）（sinB﹣sinA）=asinB可知b2﹣a2=ab，②，由①②得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=90°；
（2）由正弦定理化简==sinA+sinC=sinA+cosA=sin（A+45°），
∵≤sin（A+45°）≤1，A∈（0，）即1＜sin（A+45°），则的取值范围是（1，]．24.解：（I）由正弦定理得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即a2﹣b2=c2﹣bc因为a=2且b=2，所以解得：c=2．（II）由（I）知，则A=60°因为a=2，∴b2+c2﹣bc=4≥2bc﹣bc=bc，
∴，此时三角形是正三角形
25.解：（1）∵∥，∴sinA•（sinA+cosA）﹣=0．∴+sin2A﹣=0，即sin2A﹣cos2A=1，即sin（2A﹣）=1，∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，A=．
（2）由余弦定理得：4=b2+c2﹣bc，又S△ABC=bcsinA=bc，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时取等号）∴S△ABC=bcsinA=bc≤×4=．当△ABC的面积取最大值时，b=c，又A=，
∴此时△ABC为等边三角形．
26.解：∠CBD=180°﹣∠CDB﹣∠BCD=180°﹣45°﹣75°=60°，在△BCD中，由正弦定理，得：
BD==．在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2﹣
2AD•BDcos105°=3+（）2﹣2×××=5+2．∴AB=．
27.解：在ABD中，∴，∵A+B+C=π，∴，所以a2=b2+c2﹣2bc•cosA，△ABD为为等腰三角形，即在中，∴bc=4，∴，由于∠ACB=30°，由正弦定理可得，计算得；在△ACD中，∠DAC=75°，，AD=50，根据余弦定理可得
=
28.解：（1）在△CDE中，CD==，解得CD=1，
在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1，
S△ACE===；
（2）设CD=a，在△ACE中，=，CE==（）a，
在△CED中，=，sin∠CDE===﹣1，则cos∠DAB=cos（∠CDE﹣90°）=sin∠CDE=﹣1．。