用空间向量求距离PPT讲稿
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用空间向量求点到面的距离 PPT
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量
4、代入公式—通过公式 d
|
A
P r
n
|
代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤，n
O
为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1(共27张PPT)
4
3
D. 2
B.
答案:B
解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O
∴=(0,1,0),1 =(-1,0,1).
设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,
· = = 0,
则
解得 y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
1 · = -1 + = 0,
点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量
n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(
)
3
2
A.
B.
2
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析： 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一
点到另一个平面的距离,即点面距.
(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·μ)μ.点 P 到直线 l 的距离为
PQ= 2 -(·)2 .
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,
则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,
3
D. 2
B.
答案:B
解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O
∴=(0,1,0),1 =(-1,0,1).
设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,
· = = 0,
则
解得 y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
1 · = -1 + = 0,
点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量
n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(
)
3
2
A.
B.
2
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析： 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一
点到另一个平面的距离,即点面距.
(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·μ)μ.点 P 到直线 l 的距离为
PQ= 2 -(·)2 .
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,
则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,
空间向量解决空间距离问题PPT教学课件
取x＝1，得平面A1BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
z
D1 A1
E
C1 B1
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n2 3A来自xCyB
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，
DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示
位。
让我们走近这两位先哲，让他们思想 的光环也闪耀在我们这一代人的心中！
综合性学习
我所了解的孔子和孟子
圣人孔子
• 孔子，名丘，字仲尼， 春秋时期鲁国人。他 的祖先是宋国贵族， 大约在孔子前几世没 落了，失掉了贵族的 地位，《史记》称 “孔子贫且贱”，孔 子自己也说：“吾少 也贱，故能多鄙事。” （《论语·子罕》）
孔子十五岁立志学习，先后 做过吹鼓手、仓库和牧场管 理员、小司空(掌管工程)及 司寇(掌管刑法)，曾拜老子 为师；五十多岁后周游列国， 宣传自己的政治主张。晚年 收徒讲学，并著书立说，编 修整理了《诗》、《书》、 《礼》、《乐》、《周易》、 《春秋》等书，直至七十三 岁逝世。
孔府
亚圣孟子
战国时期伟大的思想家， 名轲，邹（今山东邹县） 人。他幼年丧父，家庭贫 困，在母亲的教导下勤奋 学习。青年时以士的身份 游说诸侯，推行自己的政 治主张，后来退居讲学。 孟子继承和发展了孔子的 思想，提出一套完整的思 想体系，对后世产生了极 大的影响，被尊奉为“亚 圣”。
n
P
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
用向量法求空间距离课件
奇异点
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
利用空间向量解决空间距离问题-PPT课件
y 2 x, 即 z 2 x,
取x＝1，得平面A1 BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
D
1
C
1
A
1
B
1
选 点 B 到 面 A B E 的 斜 向 量 为 A B 0 , 1 , 0 , 1 1 1 1 D A Bn 1 1 2 得 B 到 面 A B E 的 距 离 为 d 1 1 3A n
| AP n | n
A
O
四、异面直线的距离
d
| AP n | n
n
a
P
AP ?
b
A
n ?
n
是与
a,b
都垂直的向量
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离： 直线到平面的距离： 平面到平面的距离：
d
| AP n | n
异面直线的距离：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (1) 求B1到面A1BE的距离；
得与的 A EB D 离 d 1 1 距
D 1A 1 n n
14 14
x
z
D
A
1
1
C
1
B
D
1
A
C
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D
A11EC1B
D
1
A
C
y
x
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。 z D1 F C
取x＝1，得平面A1 BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
D
1
C
1
A
1
B
1
选 点 B 到 面 A B E 的 斜 向 量 为 A B 0 , 1 , 0 , 1 1 1 1 D A Bn 1 1 2 得 B 到 面 A B E 的 距 离 为 d 1 1 3A n
| AP n | n
A
O
四、异面直线的距离
d
| AP n | n
n
a
P
AP ?
b
A
n ?
n
是与
a,b
都垂直的向量
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离： 直线到平面的距离： 平面到平面的距离：
d
| AP n | n
异面直线的距离：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (1) 求B1到面A1BE的距离；
得与的 A EB D 离 d 1 1 距
D 1A 1 n n
14 14
x
z
D
A
1
1
C
1
B
D
1
A
C
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D
A11EC1B
D
1
A
C
y
x
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。 z D1 F C
空间向量求距离PPT课件
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n (x, y, z)x
D
C
n
EF，n
EG
2x 2y 0 2x 4 y 2
0
F
n ( 1 , 1 ,1) ,BE (2,0,0) A
M
22
解得 2 x y z ,
A
2
x
B
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
第6页/共17页
二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 GEF的距离。
.
练习5
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求
异面直线DA1与AC的距离。z
D1
C1
A1
B1
D
A x
第15页/共17页
C y
B
练习6:如图,
ABCD是正方形，SB 面ABCD，且SA与 面ABCD所成的角为45，点S到面ABCD的 距离为1，求AC与SD的距离。
z S
B
Ay
xC
D
第16页/共17页
n CE 0 即 x y 0
(
x,
y,
z).则
A1
C1
z
B1
n AB1 0
2x 2 y 4z 0
C
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
用向量方法求空间中的距离 课件
||·cos∠ABO=
||||cos∠
.
||
如果令平面 α 的法向量为 n,考虑到法向量的方向,可以得到点 B
到平面 α 的距离为|| =
|·|
.
||
因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成:(1)求出该
平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应
|·|
||
=
3 3
5
=
3 15
.
5
错因分析:错误的根本原因是忽视了求点面距时,应是用平面内
一点与该点构成的向量与平面的法向量来求.实际上本例中 O∉平面
MBC,选择求点A 到平面 MBC 的距离是错误的,应选向量(或
, ).
正解:(接错解)又 = (0,0,2 3),
则点 A 到平面 MBC 的距离 d=
解:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1).
(1)∵CM=BN=a(0<a< 2), 且四边形ABCD,ABEF 为正方形,
∴
2
2
,0,1-
2
2
2
2
, ,0
2
2
,
,
2
2
∴ = 0,
,
-1 .
2
2
∴|| = 2 - 2 + 1,
即 MN 的长为 2 - 2 + 1.
的向量;(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除
以法向量的模,即可求出点到平面的距离.因为 =n0 可以视为平面
||
的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与
从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值,即 d=| ·n0|.
||||cos∠
.
||
如果令平面 α 的法向量为 n,考虑到法向量的方向,可以得到点 B
到平面 α 的距离为|| =
|·|
.
||
因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成:(1)求出该
平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应
|·|
||
=
3 3
5
=
3 15
.
5
错因分析:错误的根本原因是忽视了求点面距时,应是用平面内
一点与该点构成的向量与平面的法向量来求.实际上本例中 O∉平面
MBC,选择求点A 到平面 MBC 的距离是错误的,应选向量(或
, ).
正解:(接错解)又 = (0,0,2 3),
则点 A 到平面 MBC 的距离 d=
解:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1).
(1)∵CM=BN=a(0<a< 2), 且四边形ABCD,ABEF 为正方形,
∴
2
2
,0,1-
2
2
2
2
, ,0
2
2
,
,
2
2
∴ = 0,
,
-1 .
2
2
∴|| = 2 - 2 + 1,
即 MN 的长为 2 - 2 + 1.
的向量;(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除
以法向量的模,即可求出点到平面的距离.因为 =n0 可以视为平面
||
的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与
从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值,即 d=| ·n0|.
用空间向量求点到面的距离精选ppt课件
用空间向量求点到面的距离
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
O
线段，再计算这个
垂线段的长度。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
向量法求点到平面的距离
d
sin u u ur
d| AP|sin
AP
P
r
u u ur r
uur
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
O
线段，再计算这个
垂线段的长度。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
向量法求点到平面的距离
d
sin u u ur
d| AP|sin
AP
P
r
u u ur r
uur
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
《空间向量求距离》课件
点到直线的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到直线的最短距离。
点到平面的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到平面的最短距离。
线段间的距离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以计算 线段间的距离。
示例演示
我们将通过具体的示 例来演示如何计算不 同情况下的空间向量 的距离。
总结
空间向量的加减法
1
减法定义
2
向量的减法是指将减去的向量的对应分
量与被减向量的对应分量相减，得到一
个新的向量。
3
加法定义
向量的加法是指将两个向量的对应分量 相加，得到一个新的向量。
示例演示
通过具体的示例演示，我们将更好地理 解向量的加减法。
空间向量的数量积
1
数量积性质
2
数量积具有交换律、分配律和结合律等
空间向量基础知识
通过本课件，您已经掌握了 空间向量的基础概念和性质。
空间向量的运算和性质
您已经学会了空间向量的加 减法、数量积和向量积等运 算。
空间向量求距离的方法
通过向量的数量积和叉积， 您可以计算点到直线、点到 平面和线段间的距离。
Q&A
在本节中，您可以向我们提问，并得到关于空间向量的解答。
性质。
3
数量积定义
数量积是指两个向量的对应分量相乘再 相加的结果。
示例演示
我们将通过一些实例来展示数量积的具 体应用。
空间向量的向量积
向量积的定义
向量积是指两个向量 通过向量积公式计算 而得到的另一个向量。
向量积的性质
向量积具有垂直于原 向量的性质，可用于 求平面的法向量。
向量积的意义
向量积在物理学、几 何学等领域中有广泛 的应用。
用向量法求空间距离ppt课件
9.8 距离 用向量法求空间距离
1
上节课，我们学习了用立几的方法求距离，我
们来简单回忆一下：
点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离
两个平行平面的距离 异面直线的距离
2
如何用向量法求解点到平面的距离呢？
已知点P和面ABCD， 用向量法求解就得构造向量，比如说 AP
过P点作PH垂直平面并交平面于点H，则PH的长为所求
A x x
A
Cy B
B
1200
y C
接下来我们要求面SBC的法向量了
SB (a, 3a, 3a), SC (0, 2 3a, 3a)
n (x, y, z), n SB, n SC
ax 3ay 3az 0, 2 3ay 3az 0
一个平面的法向量有很多，只要满足 上面的这个等式即可，为了计算的方 便，我们通常会要相对简洁的数字组 成的法向量，可以令z=1，则得到平 面SBC的一个法向量了：
首先我们建立空间直角坐标系，求出两异面直线的法向量
A D
A1
D1
B C
B1
AC (1,1, 0), A1D (1, 0,1) n (1, 1, 1)
则两异面直线间的距离d为：
C1
d A1A n (0, 0,1) (1, 1, 1) 3
n
3
3
经过了上面几道例题，我们已经熟悉并掌握了用向量法求空间距
P
我们发现，PH 垂直平面ABCD，
我们可以理解成面ABCD的法向量 n
AP, PH
AP, n
PH AP COS AP, PH
A
B AP COS AP, n
AP n
H
AP AP n
1
上节课，我们学习了用立几的方法求距离，我
们来简单回忆一下：
点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离
两个平行平面的距离 异面直线的距离
2
如何用向量法求解点到平面的距离呢？
已知点P和面ABCD， 用向量法求解就得构造向量，比如说 AP
过P点作PH垂直平面并交平面于点H，则PH的长为所求
A x x
A
Cy B
B
1200
y C
接下来我们要求面SBC的法向量了
SB (a, 3a, 3a), SC (0, 2 3a, 3a)
n (x, y, z), n SB, n SC
ax 3ay 3az 0, 2 3ay 3az 0
一个平面的法向量有很多，只要满足 上面的这个等式即可，为了计算的方 便，我们通常会要相对简洁的数字组 成的法向量，可以令z=1，则得到平 面SBC的一个法向量了：
首先我们建立空间直角坐标系，求出两异面直线的法向量
A D
A1
D1
B C
B1
AC (1,1, 0), A1D (1, 0,1) n (1, 1, 1)
则两异面直线间的距离d为：
C1
d A1A n (0, 0,1) (1, 1, 1) 3
n
3
3
经过了上面几道例题，我们已经熟悉并掌握了用向量法求空间距
P
我们发现，PH 垂直平面ABCD，
我们可以理解成面ABCD的法向量 n
AP, PH
AP, n
PH AP COS AP, PH
A
B AP COS AP, n
AP n
H
AP AP n
人教A版选择性必修时用空间向量研究距离问题课件
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为
点到平面的距离.
[针对训练] (2022·云南民族大学附中高二月考)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥
平面 BB1C1C,AB=BB1=2BC=2,BC1= ,点 E 为 A1C1 的中点.
(1)求证:C1B⊥平面ABC;
求点B到直线A′C的距离.
解:因为 AB=1,BC=2,AA′=3,所以 A′(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0),
→
→
→
所以′=(1,2,-3).取 a==(0,2,0),u=
′
→
|′|
=(
,
,-
所以点 B 到直线 A′C 的距离为 -(·) = - =
→
→
解:(2)因为=(0, ,-1), =(0,- ,1),所以∥ ,所以 AE∥B1F.
同理可得 FC∥EC1,又 B1F∩FC=F,AE∩EC1=E,
所以平面 AEC1∥平面 FB1C,
所以点 F 到平面 AEC1 的距离即为两平行平面的距离.
→
设平面 AEC1 的法向量为 m=(x,y,z), =(-1,1,-1),
知识探究
1.空间中的距离
(1)直线l外一点P到直线l的距离.
→
如图,直线 l 的单位方向向量为 u,A 是直线 l 上的定点,P 是直线 l 外一点.设=a,
→
→
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·u)u.在 Rt△APQ 中,由勾股定理,得点 P
→
→
到直线 l 的距离为 PQ= || -|| =
点到平面的距离.
[针对训练] (2022·云南民族大学附中高二月考)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥
平面 BB1C1C,AB=BB1=2BC=2,BC1= ,点 E 为 A1C1 的中点.
(1)求证:C1B⊥平面ABC;
求点B到直线A′C的距离.
解:因为 AB=1,BC=2,AA′=3,所以 A′(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0),
→
→
→
所以′=(1,2,-3).取 a==(0,2,0),u=
′
→
|′|
=(
,
,-
所以点 B 到直线 A′C 的距离为 -(·) = - =
→
→
解:(2)因为=(0, ,-1), =(0,- ,1),所以∥ ,所以 AE∥B1F.
同理可得 FC∥EC1,又 B1F∩FC=F,AE∩EC1=E,
所以平面 AEC1∥平面 FB1C,
所以点 F 到平面 AEC1 的距离即为两平行平面的距离.
→
设平面 AEC1 的法向量为 m=(x,y,z), =(-1,1,-1),
知识探究
1.空间中的距离
(1)直线l外一点P到直线l的距离.
→
如图,直线 l 的单位方向向量为 u,A 是直线 l 上的定点,P 是直线 l 外一点.设=a,
→
→
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·u)u.在 Rt△APQ 中,由勾股定理,得点 P
→
→
到直线 l 的距离为 PQ= || -|| =
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解:
A1E=(-1,
1 2
,0),
A1B=(0,1,-1)
z
设n (x, y, z)为面A1BE的法向量,则
n
A1E
0,
n A1B 0,
x y z
1 2
y 0,
0即, zy
2x, 2x,
A1
D1
E
C1
B1
取x＝1，得平面A1BE的一个法向量n (1, 2, 2)
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
z
P
A x
F Cy Q
E
B
C
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2),
F
BE (2, 0, 0)
设平面 EFG 的一个法向量 A
为 n ( x, y, z) n EF，n EG
2x 2y 2x 4
0 y 2z
0
n
(
1 3
,
1 3
,1)
E
B
y
d | n BE| 2 11
n
11
例4 .如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1,E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离；
用空间向量求距离课件
空间中的距离主要有: 点点、点线、点面、线线、线面、面面
空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式
a
a
2
或
a
x2 y2 z2
(其中
a
(
x,
y,
z)
)
，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
解:
A1E=(-1,
1 2
,0),
A1B=(0,1,-1)
z
设n (x, y, z)为面A1BE的法向量,则
n
A1E
0,
n A1B 0,
x y z
1 2
y 0,
0即, zy
2x, 2x,
A1
D1
E
C1
B1
取x＝1，得平面A1BE的一个法向量n (1, 2, 2)
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3
Ax
C
y
B
例3.如图,正四棱锥S ABCD的高SO 2,底边长 AB 2,求异面直线BD与SC之间的距离.
S
D
C
O
A
B
例4.如图,已知边长为4的正三角形ABC中, E、F分别为 BC和AC的中点, PA 2,且PA 平面ABC，设Q是CE 的中点. (1)求证 : AE // 平面PFQ (2)求AE与平面PFQ间的距离.
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
例1.如图所示,在平行四边形ABCD中, AB AC 1, ACD 900 ,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成 600角,求B、D间的距离.
A
D
B
C
例2.已知正方形ABCD的边长为4,CG 平面ABCD, CG 2, E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面 GEF的距离.
n A1B 0,
x y z
1 2
y 0,
0即, zy
2x, 2x,
A1
D1
E
C1
B1
取x＝1，得平面A1BE的一个法向量n (1, 2, 2)
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3
Ax
C
y
B
例4 .如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1,E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离；
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3
Ax
C
y
B
例4 .如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1,E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离；
解:
A1E=(-1,
1 2
,0),
A1B=(0,1,-1)
z
设n (x, y, z)为面A1BE的法向量,则
n
A1E
0,
线段，再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
d
P
sin
AP
d | AP | sin
n
| AP n |
sin
AP n
d
O
AP 为斜向量，n 为法向量。
注:点到平面的距离等于点和这个平面的任何一点所组成 向量与此平面法向量的数量积的绝对值除于法向量的模.
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
例 3: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别
是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求
点 B 到平面 EFG 的距离.
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0)，
D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2)x．D
二、直线到平面的距离
l
d | AP n | n
P
n
d
O A
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
n
P
d O
四、异面直线的距离
d | AP n |
a
n
n
P
AP ?
b
n?
A
A、P分别是直线a、b上的任意两点;
n 是与 a, b 都垂直的向量
四种距离的统一向量形式：