高一数学对数与对数运算2
高一数学：“对数与对数运算”课件
例2:求下列各式中x的值 ：
2 (1) log 64 x 3 (3) lg100 x
(2) log x 8 6
2
(4) ln e x 2 （1）解： ∵ log 64 x 3 2 2 2 3 3 64 3 =x x 64 3Βιβλιοθήκη ( ) 4求真数
2
2. 设 loga2 = m, loga3 = n, 求a2m+3n 的值(a>0, a≠1).
课堂小结
= N b = logaN 其中, a>0, a≠1, N>0, b∈R
b a
负数和零没有对数
求下列各式中 x的范围. (1) log2 ( x 10); (2) log2 x 1 ( x 2); (3) log( x 1) ( x 1) .
2
对数的性质
计算下列各式的值，尝试归纳一些结论： (1) log0.1 0.1 ( 2) log (3) l g1 (5) log3 9 (7 )3
对 数 x loga N , (a 0; a 1);
（不能，这是因为a>0,ax=N>0）
结论：对数式中真数要大于零。
（也就是说零和负数没有对数！）
真数大于零
两个重要对数：
1、常用对数： 以10为底的对数
log10 N
简记为
lg N
(e≈2.71828…) 你记住了吗？
2、自然对数： 以e为底的对数
问题剖析
上述有关国民生产总值的实际问题，其本质就 是从方程1.08x=2中求出未知数“x”的值.
即已知“底数”和“幂”的值，求“指数”.
而这个过程，就是“对数”定义产生的依据.
高一数学 对数与对数运算
对数与对数运算第1课时 对 数学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.知识点一 对数的概念思考 解指数方程：3x ＝ 3.可化为3x ＝123，所以x ＝12.那么你会解3x ＝2吗？ 答案 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.梳理 对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .知识点二 对数与指数的关系思考 log a 1(a >0，且a ≠1)等于？答案 设log a 1＝t ，化为指数式a t ＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0.梳理 一般地，有对数与指数的关系：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：log a N a＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1).对数的性质：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数.类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )A.b <2或b >5B.2<b <5C.4<b <5D.2<b <5且b ≠4 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域. 类型二 应用对数的基本性质求值例2 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1.解 (1)∵log 2(log 5x )＝0.∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记.跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A.9B.8C.7D.6类型三 对数式与指数式的互化命题角度1 指数式化为对数式例3 将下列指数式写成对数式：(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6； (3)log 327＝a ；(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)如果a ＝b 2 (b >0，b ≠1)，则有( )A.log 2a ＝bB.log 2b ＝aC.log b a ＝2D.log b 2＝a (2)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式. (3)解方程：⎝⎛⎭⎫13m ＝5.命题角度2 对数式化为指数式例4 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ； (4)－ln e 2＝x ；(5))1log13＋22＝x . 解 (1)x ＝2364-＝()2334-＝4－2＝116. (2)因为x 6＝8，所以x ＝()()1111636266822x ===＝ 2. (3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2.(5)因为)1log 13＋22＝x ， 所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1. 反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解. 跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)；(3)625.命题角度3 对数恒等式log a N a＝N 的应用 例5 (1)求33log 3x +＝2中的x . (2)求log log log a b c b c N a⋅⋅的值(a ，b ，c 均为正实数且不等于1，N ＞0).跟踪训练5 设()5log 2125x -＝9，则x ＝ .1.log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是( )A.a b ＝NB.b a ＝NC.a N ＝bD.b N ＝a 2.若log a x ＝1，则( )A.x ＝1B.a ＝1C.x ＝aD.x ＝103.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A.e 0＝1与ln 1＝0B.138-＝12与log 812＝－13C.log 39＝2与129＝3D.log 77＝1与71＝74.已知log x 16＝2，则x 等于( )A.±4B.4C.256D.25.设10lg x ＝100，则x 的值等于( )A.10B.0.01C.100D.1 0001.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a N a ＝N .2.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.课时作业一、选择题1.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.42.已知b ＝log (a －2)(5－a )，则实数a 的取值范围是( )A.a >5或a <2B.2<a <5C.2<a <3或3<a <5D.3<a <4 3.方程3log 2x ＝14的解是( ) A.x ＝19B.x ＝33C.x ＝ 3D.x ＝94.下列四个等式： ①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④ 5.(12)－1＋log 0.54的值为( ) A.6 B.72C.0D.37 6.若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m＋n 的值是( ) A.15B.75C.45D.225二、填空题 7.已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝ . 8.＝ .9.已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x-＝ . .10.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝ .三、解答题11.(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值.①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式.①log 68；②log 62；③log 26.12.求22＋log 23＋32log 93-的值.13.设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}?四、探究与拓展14.log(n ＋1＋n )等于( ) A.1B.－1C.2D.－215.若集合{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }，求log 2(x 2＋y 2)的值.对数的运算知识点一 对数运算性质思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算.那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案 有.例如，设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，∴MN ＝a m ·a n ＝a m ＋n ，∴log a (MN )＝m ＋n ＝log a M ＋log a N .得到的结论log a (MN )＝log a M ＋log a N 可以当公式直接进行对数运算.梳理 一般地，如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R ).知识点二 换底公式思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式.而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e 为底)，可以查表求对数值.那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？答案 设法换为同底.思考2 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，再化为对数式可得到什么结论？ 答案 把3x ＝5化为对数式为：log 35＝x ，又因为x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论. 梳理 一般地，对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1).类型一 具体数字的化简求值例1 计算：(1)log 345－log 35；(2)log 2(23×45)； (3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2； (4)log 29·log 38.解 (1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2log 33＝2. (2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213)＝13log 22＝13.(3)原式＝)32lg 8lg1012lg 10-＝33322lg 321012lg 10⎛⎫⨯÷ ⎪⎝⎭ ＝3234lg 1012lg 10⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝32lg 1210lg 1210＝32. (4)log 29·log 38＝log 2(32)·log 3(23)＝2log 23·3log 32＝6·log 23·1log 23＝6.反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循2个原则.(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式.(2)不同底化为同底.跟踪训练1 计算：(1)2log 63＋log 64；(2)(lg 25－lg 14)÷12100-； (3)log 43·log 98；(4)log 2.56.25＋ln e －130.064.类型二 代数式的化简命题角度1 代数式恒等变换例2 化简log a x 2y 3z. 解 ∵x 2y 3z>0且x 2>0，y >0，∴y >0，z >0. log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z＝2log a |x |＋12log a y －13log a z . 反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lg x 2不一定等于2 lg x ，反例：log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的.要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N .跟踪训练2 已知y >0，化简log ax yz .命题角度2 用代数式表示对数例3 已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.解 方法一 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 方法二 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a. 方法三 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9 ＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a. 反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元.跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.1.log 513＋log 53等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.log 51032.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A.log a b ·log c b ＝log c aB.log a b ·log c a ＝log c bC.log a (bc )＝log a b ·log a cD.log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3.log 29×log 34等于( )A.14B.12C.2D.4 4.lg 0.01＋log 216的值是 .1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ，③log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).课时作业一、选择题1.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a (M －N )＝log a M log a N ；③nm a ＝1m a n ；④(a m )n ＝am n ；⑤log an b ＝－n log a b . A.2 B.3 C.4 D.52.4等于( )A.12B.14C.2D.4 3.化简log 58log 52等于( ) A.log 54 B.3log 52 C.2 D.34.已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 表示lg 15为( )A.b －a ＋1B.b (a －1)C.b －a －1D.b (1－a )5.若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A.9B.19C.25D.1256.计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值是( ) A.log 26B.log 36C.2D.1 二、填空题7.(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝ .8.(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝ .9.已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，则x y＝ . 10.若3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y＝ . 三、解答题11.若x ·log 32 016＝1，求2 016x ＋2 016－x 的值.12.计算： (1)2123log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭＋log 0.2514＋9log 55－log 31； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8.13.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p 的值；(2)求证：1z －1x ＝12y.四、探究与拓展14.计算⎝⎛⎭⎫－278－23＋log 827log 23＋(2－3)0－log 31＋2lg 5＋lg 4－5log 52＝ .。
高一数学对数与对数运算2(新编201910)
4．指数运算法则
4．指数运算法则
a m a n a mn (m, n R), (am )n amn (m, n R), (ab)n a n bn (n R).
讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则：
讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
loga (MN ) loga M loga N (1)
讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
loga (MN ) loga M loga N (1)
log aM Nຫໍສະໝຸດ log aM
loga
N
(2)
讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
loga (MN ) loga M loga N (1)
log a
M N
log a
M
loga
N
(2)
log a M n n log a M (n R) (3)
说 明： ①简易语言表达：
“积的对数＝对数的和”……
说 明： ①简易语言表达：
“积的对数＝对数的和”……
②有时逆向运用公式：
如：log10 5 log10 2 log10 10 1.
说 明： ①简易语言表达：
2．指数式与对数式的互化
2．指数式与对数式的互化
ab N loga N b (a 0且a 1)
2．指数式与对数式的互化
高一数学对数的概念及运算2
高中数学 2.2.2对数与对数运算(二)练习 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
【金版学案】2015-2016高中数学 对数与对数运算（二）练习 新人教A 版必修1 基础梳理1．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和．(2)log a MN＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差．(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 例如：①lg (3×5)＝______；②lg 5＋lg 2＝______；③ln e 2＝______.2．几点注意：(1)对数的真数是多项式时，需将真数部分加括号，如lg(x ＋y )与lg x ＋y 的含义不同．(2)(lg M )n 与lg M n 的含义不同．(3)log 2(－3)(－5)＝log 2(－3)＋log 2(－5)是不成立的．(4)log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的．(5)当心记忆错误：log a (MN )≠log a M ·log a N ；log a (M ±N )≠log a M ±log a N .3．对数的换底公式log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．例如：log 35＝________，其中a ＞0，且a ≠1.4．关于对数换底公式的证明方法有很多，可借助指数式证明对数换底公式．例如：设a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0.求证：log a b ＝log c b log c a.5．设a ，b ＞0，且均不为1，由换底公式可加以求证：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b .例如：①log 23·log 32＝____；②log 89＝________ .基础梳理1．①lg 3＋lg 5 ②1 ③2 3.log a 5log a 34．证明：设log a b ＝x ，则b ＝a x ，于是log c b ＝log c a x ，即x log c a ＝log c b ，∴x ＝log c b log c a ，∴log a b ＝log c b log c a. 5．证明：(1)log a b ·log b a ＝lg b lg a ·lg a lg b＝1. (2)log am b n ＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝n mlog a b . 答案：1 23log 23 ,思考应用1．log a (M ＋N )＝log a (MN )对吗？1．错2．log a (M －N )＝log a M N 对吗？2错 自测自评1．若a >0，a ≠1，x >y >0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2．设9a ＝45，log 95＝b ，则( )A ．a ＝b ＋9B ．a －b ＝1C ．a ＝9bD ．a ÷b ＝13．求值：log 274log 32＝____. 1．解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．故选A.答案：A2．解析：由9a ＝45得a ＝log 945＝log 99＋log 95＝1＋b ，即a －b ＝1，故选B. 答案：B3．解析：log 274log 32＝lg 4lg 27lg 2lg 3＝2lg 23lg 3lg 2lg 3＝23. 答案：23►基础达标1．lg a 与lg b 互为相反数，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝1 D.a b＝11．C2．在log (a －2)2中，a 的取值X 围是____________．2.(2，3)∪(3，＋∞)3．已知log 5[log 4(log 3x )]＝0，则x ＝____.3.814．化简12log 612－2log 62的结果为( ) A ．6 2 B ．12 2C ．log 6 3 D.124．解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.故选C.答案：C5．(log 29)·(log 34)＝( )A.14B.12C ．2D ．4 5．解析：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4. 答案：D6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a6．解析：log 512＝lg 12lg 5＝lg 3＋2lg 2lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝ b ＋2a 1－a. 答案：C►巩固提高7．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2 lg 5的值是( )A ．4B ．1C ．6D ．37．B8．(2014·某某卷)已知a ＝2－13，b ＝log 2，c ＝log 1213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a8．解析：0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜0，a ＝log 1213＝log 23＞1，所以c ＞a ＞b ，故选C.答案：C9．求值：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.9．解析：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.10．求值：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．10．解析：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝⎝⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38 ＝32log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32 ＝34＋12＝54.1．条件代数式的求值问题包括以下三个方面：①若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手；②若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化成结论的形式；③若条件与结论的复杂程度相差无几时，可同时对它们进行化简，直到找出它们之间的联系为止．2．利用换底公式统一对数的底数，即化异为同是处理含不同底的对数的常用方法．3．在化简、求值、证明等问题中，要把换底公式与对数的运算性质结合起来．4．有时需将对数式log a 5log a 3写成log 35后解决有关问题．。
2.2.1对数与对数运算(必修一优秀课件)
课 堂 互 动 探 究
【解析】选B.由对数定义可知(1)(2)(4)均正确，而(3)中
对数的底数不等于1.
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 前 新 知 初 探
2.(2011·海口高一检测)设a>0,a≠1,x∈R,下列结论错误的 是( ) (B)logax2=2logax (D)logaa=1
2
(3)lg 0.01 2
1 4 解：(1)( ) 16 2
(4)ln10 2.303
(2)27 128
(3)10 0.01
2
(4)e2.303 10
求下列各式的值 （1）log0.5 1 （4） log3 243 （5） lg 4 64 （6）log
2
log （2） 9 81
是2010年的2倍？
a 1 8%
x=
x
2a
x 2 即 1.08
小结：
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题。
这里( a 0且a 1 ）
你能看得出来吗？怎样求呢？
对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对
特的方法构造出对数方法。1614年6月在爱丁堡出版的
第一本对数专著》《奇妙的对数表的描述》中阐明了 对数原理，后人称为纳皮尔对数。
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年 平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
是2010年的2倍？
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年
平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
（3）log25 625 解： （1）log0.5 1
2023-2024学年高一上数学必修一：对数的运算(2)
11．若 lgx－lgy＝a，则 lgx23－lgy23＝ 3a .(用含有 a 的式子表示) 解析：∵lgx－lgy＝a，∴lgxy＝a，∴lgx23－lgy23＝lg22yx33＝lgxy3 ＝3lgxy＝3a.
6．若 log2x·log34·log59＝8，则 x 等于( B ) A．8 B．25 C．16 D．4
解析：∵log2x·log34·log59＝llgg2x ×llgg43×llgg95＝llgg2x ×2llgg32×2llgg53 ＝8， ∴lgx＝2lg5，∴x＝25.
7．已知 ab>0，给出下面四个等式： ①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgab＝lga－lgb； ③12lgab2＝lgab；④lg(ab)＝log1ab10. 其中正确的个数为( B ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：当 a<0，b<0 时，lg(ab)＝lg(－a)＋lg(－b)，lgab＝lg(－a)－lg(－ b)，故①②错误；当 ab>0 时，ab>0，12lg(ab)2＝lgab，③正确；当 ab＝1 时，④错误．因此只有一个正确，故选 B.
三、解答题(共 20 分) 12．(10 分)计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋eln2＋log 22 2；
(2)log2 478＋log212－12log242＋12log23； (3)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)．
13．(10 分)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某 种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度 v(单位：m·s－1)与其耗氧量 Q 之间的关系为 v＝a＋blog31Q0(其中 a，b 是常数)．据统计，该种鸟类在 静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，飞行速度为 1 m·s－1.若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m·s－1，求其耗氧 量至少要多少个单位．
高一数学对数的概念及运算2
3) lg 2 lg 5
4)
log3
27 5
log3
2 3
log3
6 5
5) log2
7 48
log2 12
1 2
log 2
42
1
6)(lg 2)2 lg 2 lg 50 lg 25
例3：已知 loga 18 m, loga 24 n ,求loga 24 n ?
拓展
科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地
↓a↓b =↓N log↓a ↓ N＝↓b
底数 指数 幂
底数 真数 对数
证明：②设 loga M p, loga N q,
由对数的定义可以得：M a p , N aq
∴ M ap N aq
a pq
loga
M N
pq
即证得
log a
M N
log a M
logaN
(2)
↓a↓b =↓N log↓a ↓ N＝↓b
(a m )n a mn (m, n R)
(ab)n a n b n (n R)
证明：①设 loga M p, loga N q,
由对数的定义可以得：M a p , N aq ∴MN= a p aq a pq loga MN p q
即证得
loga (MN) logaM logaN (1)
对数的运算
• 完成下表，观察结果：
M
N log10 (MN )
log10
M N
log10 M log10 N log10 M log10 N
2001 1449
2008 3.2
2.36 10.89 0.07 6.8
• 猜测：
loga (MN ) loga M loga N
高一数学对数的概念及运算2(PPT)3-3
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1)
loga
M N
loga M
Hale Waihona Puke loga N(2)
loga Mn nloga M(n R) (3)
为了证明以上公式，请同学们 回顾一下指数运算法则 ：
a m a n a mn (m, n R)
(a m )n a mn (m, n R)
(ab)n a n bn (n R)
• 完成下表，观察结果：
M
N log10 (MN )
log10
M N
log10 M log10 N log10 M log10 N
2001 1449
2008 3.2
2.36 10.89 0.07 6.8
或者吃发绿的马铃薯。致死的事件也不是突发的，当事人在食用后往往是起初虚弱无力，而后陷入昏迷。不用担心偶尔吃到的绿色马铃薯片，但一定要把长 了绿芽或表皮变绿了的马铃薯扔掉，不要再去烧煮食用，特别要小心别给儿童吃。 [] 马铃薯含有一些有毒的生物碱，主要是茄碱和毛壳霉碱，但一般经过℃ 的高温烹调，有毒物质；炒股入门 炒股入门 ； 就会分解。野生的马铃薯毒性较高，茄碱中毒会导致头痛、腹泻、抽搐，昏迷，甚至会导致死亡。 但一般栽培的马铃薯毒性很低，很少有马铃薯中毒事件发生。栽培马铃薯一般含生物碱低于.毫克/克，一般超过毫克才会导致中毒现象，相当于一次吃掉.公 斤生马铃薯。马铃薯储存时如果暴露在光线下，会变绿，同时有毒物质会增加；发芽马铃薯芽眼部分变紫也会使有毒物质积累，容易发生中毒事件，食用时 要特别注意。 [] 马铃薯（土豆）发芽后可产生较高的有毒生物碱——龙葵素（Solanine），食后可引起中毒。马铃薯中龙葵素的一般含量为～mg/g，如发芽、 皮变绿后可达～mg/g，能引起中毒。龙葵素在幼芽及芽其部的含量最多。当食入.～.g龙葵素时，就能发生严重中毒。 [] 孕妇经常食用生物碱含量较高的薯 类，蓄积在体内就可能导致胎儿畸形。当然，人的个体差异相当大，并非每个人食用了薯类都会发生异常，但是孕妇还是以不吃或少吃薯类为好，特别是不 吃长期贮存、发芽的薯类，这一点对处于妊娠早期的妇女来说尤其重要。 [] 中毒原因 引起发芽马铃薯中毒的主要原因是由于马铃薯贮藏不当，使其发芽或 部分变黑绿色，烹调时又未能除去或破坏龙葵素，食后便发生中毒。 [] 中毒症状 症状因服用量的多少表现轻重不一。主要表现如下，食后几小时内发病。 口腔内有烧灼和痒感、畏光、头痛、头晕、发热、呕吐、腹痛、腹泻、耳鸣等，进一步加重可能出现血压下降、烦躁不安、抽搐、呼吸困难、昏迷、瞳孔散 大等。 [] 急救措施 ①用筷子等刺激咽部催吐。多饮白水或糖水。 [] ②可服浓茶或喝些醋以分解龙葵素。 [] ③口服诸如：硫酸钠、硫酸镁等泻导泻。 [] ④ 病情严重者，急送医院。 [] 预防措施 ①不吃未成熟的青皮马铃薯。对于马铃薯上已经出现发芽、发青的部位或腐烂的部分要彻底清除。如果马铃薯的发青 面积较大，发芽部位也很多，就不能够再食用了。 [] ②去皮后的马铃薯要切成块、片或丝，放在冷水中浸泡，要泡半小时以上，能够使残存的茄碱充分溶解
高一(人教A版)第二章数学课件：2.2.1对数与对数运算(第2课时对数及运算)
x loga|x| (3)loga|xy|＝loga|x|· loga|y|；(4)log y＝ . loga|y|
a
A．1 C．3
B．2 D．4
2014-6-4
研修班
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【错解】 D
【错因】 产生错解的主要原因是没有准确掌握对数的运算性质．
(1)logax2＝2logax，不能保证x>0； (3)(4)虽保证了真数大于零，但是公式应用有误．
在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (3)关于换底公式的另外两个结论： ①logac·logca＝1；②logab·logbc·logca＝1.
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设x，y为非零实数，a>0，a≠1，则下列式子中正确的个数为(
)
(1)logax2＝2logax；(2)logax2＝2loga|x|；
(1) (2) (3) loga(MN)＝logaM＋log .aN loga(M/N)＝
logaM－.logaN
logaMn＝ nlogaM (n∈R).
2.对数换底公式 logcb logab＝log a (a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1)； c 特别地：logab· logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．
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(1)本例的解法均利用了换底公式，关于换底公式： ①换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对 数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题． ②换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法． 解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、 自然对数． (2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的 对数式，进行求值；也可从结论入手，转化成能使用条件的形式； 还可同时化简条件和结论，直到找到它们之间的联系．
高一数学《2.2.1对数与对数运算(二)》
2.2.1对数与对数运算（二）教学目标（一） 教学知识点对数的运算性质．（二） 能力训练要求1．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质； 2. 理解对数运算性质的推倒过程；3．熟悉对数运算性质的内容； 4．熟练运用对数的运算性质进行化简求值；5．明确对数运算性质与幂的运算性质的区别．（三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题．教学重点证明对数的运算性质．教学难点对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．教学过程一、复习引入：1．对数的定义 b N a =l o g 其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ),0(+∞∈N2．指数式与对数式的互化)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，1log =a a ⑶对数恒等式N a N a =log4．指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m a a R n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、新授内容：1．积、商、幂的对数运算法则：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 证明：①设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =p a ，N =q a ．∴MN = p a q a =q p a + ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．②设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =p a ，N =q a ．∴q p q pa aa N M -== ∴q p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设a log M =P 由对数定义可以得M =pa ,∴n M ＝np a ∴a log n M =np ， 即证得a log n M =n a log M ． 说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式．①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+．③真数的取值范围必须是),0(+∞：)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的．)10(log 2)10(log 10210-=-是不成立的．④对公式容易错误记忆，要特别注意：N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±．2．讲授范例：例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log z y x zxy a a ． 解：（1）zxy a log =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）32log zy x a =a log （2x 3log )z y a - = a log 2x +alog 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-． 例2． 计算 （1）25log 5， （2）1log 4.0， （3）)24(log 572⨯， （4）5100lg解：（1）5log 25= 5log 25=2 （2）4.0log 1=0． （3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19． （4）lg 5100=52lg1052log10512==． 例3．计算： (1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg 214lg -+- 说明：此例题可讲练结合.解：(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；(2) 25log 20lg 100+＝5lg 20lg +＝100lg ＝2；(3)解法一：lg14-2lg 37+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(23×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．解法二： lg14-2lg 37+lg7-lg18=lg14-lg 2)37(+lg7-lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯ 评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.例4．已知3010.02lg =，4771.03lg =， 求45lg例5．课本P66面例5.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为 M ＝lg A －lg A 0.其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).例6．已知a =9log 18，518=b ，求45log 36 （备用题）评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.3．课堂练习：教材第68页练习题1、2、3题．4．课堂小结对数的运算法则，公式的逆向使用．5、课后作业：（1）阅读教材第64～65页；（2）《习案》作业二十一．。
高一数学对数与对数函数
§2.6对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(2)对数的性质①负数和零没有对数；②log a 1＝0，log a a ＝1(a >0，且a ≠1)；③log a Na＝N (a >0，a ≠1，且N >0)；④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0；(5)当x >1时，y <0；当0<x <1时，y <0当0<x <1时，y >0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？②化简log m na b .提示①log a b ·log b a ＝1；②logm na b ＝n mlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示0<c <d <1<a <b .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．(√)(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)一、四象限．(√)题组二教材改编2．log 29·log 34·log 45·log 52＝________.答案23．已知a ＝1-32，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案c >a >b解析∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1.∴c >a >b .4．函数y的定义域是______．答案1解析由23log (21)x -≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1.∴函数y1.题组三易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是()A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c答案B6．(多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1答案BC解析由图象可知函数为减函数，所以0<a <1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c .由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案(1，＋∞)解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a (1，＋∞).对数式的运算1．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．答案3解析由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.2．设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝________.答案6解析∵函数f (x )＝3x ＋9x ，∴f (log 32)＝339log 2log 2log 43929＋＝＋＝2＋4＝6.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案A解析两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7，lgE 1E 2＝25·(m 2－m 1)＝25(－1.45＋26.7)＝10.1，E 1E 2＝1010.1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1答案A解析由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)方程4x＝log a x ，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．答案，22解析若方程4x ＝log a x ，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x ，12上有交点，a<1，a12≤2，解得0<a≤22.4x<log a x，12上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案解析当0<x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方．又当x＝12时，124＝2，即函数y＝4x y＝log a x，得a＝22.若函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方，则需22<a<1(如图所示)．当a>1时，不符合题意，舍去．所以实数a思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1(1)(2019·河北冀州中学月考)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()答案B解析由函数值域为R，可以排除C，D，当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A，选B.(2)若不等式x 2－log a x <0对xa 的取值范围是________．答案116，解析只需f 1(x )＝x 2f 2(x )＝log a x图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<loga x 在x只需ff所以有≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是116，对数函数的性质及应用命题点1解对数方程、不等式例2(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．答案x ＝5解析原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝5.(2)设f (x )2x ，x >0，12(－x )，x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．答案{－1,1}解析当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝121log a ⎛⎫⎪⎝⎭＝f (－a )＝12log a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝12log ()a-＝logf (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1.∴方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}．本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．答案(－1,0)∪(1，＋∞)解析>0，log 2a >12a<0，12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.命题点2对数函数性质的综合应用例3(2020·湛江质检)已知函数f (x )＝12log (x 2－2ax ＋3)．(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解(1)由f (－1)＝－3，得12log (4＋2a )＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2.则f (x )＝12log (x 2－4x ＋3)，由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令μ＝x 2－4x ＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．又y ＝12log μ在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.≥2，(2)≥0，即≥2，－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2(1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为()A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1](1)>0，≥1，－a >0，≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴a >4，且a<4，故不存在．综上可知，实数a比较指数式、对数式的大小例4(1)(2019·天津市河西区模拟)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则()A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a .又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则()A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(3)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝fc ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案c <a <b解析易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f |log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f f (4)，所以c <a <b .思维升华(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.跟踪训练3(1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案B解析因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(2)(2019·天津市滨海新区模拟)已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f b ＝f c ＝f (2－1)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <c <bB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案A解析ln 32<ln e ＝12，log 23>12，∴log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴ff f (log 23)＝f ∴a <c <b .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c <b <a <1.故选C.1．(2019·泸州诊断)2lg 2－lg 125的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析2lg 2－lg 125＝2lg 100＝2，故选B.2．设0<a <1，则()A ．log 2a >B ．>C ．log 2a <D ．log 2a <答案B解析∵0<a <1，∴0<a 2<a <a <1，∴在A 中，log 2a ＝，故A 错误；在B 中，>，故B 正确；在C 中，log 2a >，故C 错误；在D 中，log 2a >，故D 错误．3．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为()答案A解析易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，所以选A.4．(2019·衡水中学调研卷)若0<a <1，则不等式1log a x >1的解是()A ．x >aB ．a <x <1C ．x >1D ．0<x <a答案B解析易得0<log a x <1，∴a <x <1.5．函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间为()A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案D解析函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝12log t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝12log t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．6．(2020·长沙期末)已知函数f (x )2x ，x >0，x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围为()A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(0，＋∞)答案A解析作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，欲使y ＝f (x )和直线y ＝a 有两个交点，则0<a ≤1.7．(多选)关于函数f (x )＝ln1－x1＋x，下列说法中正确的有()A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f 答案BD解析函数f (x )＝ln 1－x1＋x＝其定义域满足(1－x )(1＋x )＞0，解得－1＜x ＜1，∴定义域为{x |－1＜x ＜1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x1－x＝1＝－ln1－x1＋x＝－f (x )，是奇函数，∴B 对．函数y ＝21＋x －1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对．f (x 1)＋f (x 2)＝ln1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2＝f ∴D 对．8．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的说法为()A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1,1)上单调递增答案BC解析函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，∴f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数，∴A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；∵1－|x |≤1，∴h (x )≤log 21＝0，故C 正确．9．函数f (x )＝log 2x ·(2x )的最小值为________．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x 2x －14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.10．(2020·深圳月考)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案(0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点(如图)，∴ab＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间0，32上的最大值．解(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.＋x >0，－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12．是否存在实数a ，使得f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解设t＝ax2－x＝－1 4a.若f(x)在[2,4]上是增函数，<1，4，－4>0，2，2>0，解得a>1.∴存在实数a满足题意，即当a∈(1，＋∞)时，f(x)在[2,4]上是增函数．13．已知函数f(x)＝ln e xe－x，若fff1010(a＋b)，则a2＋b2的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵f(x)＋f(e－x)＝2，∴ff…＋f2020，∴1010(a＋b)＝2020，∴a＋b＝2.∴a2＋b2≥(a＋b)22＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．14．若函数f(x)＝log a(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.答案2解析令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝74.当a>1时，y＝log a u是增函数，f(x)max＝log a4＝2，得a＝2；当0<a<1时，y＝log a u是减函数，f(x)max＝log a74＝2，得a＝72(舍去)．故a＝2. 15．(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝log a(2x－a)在区间12，23上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是()B.13，D.23，答案A解析当0<a <1时，函数f (x )在区间12，23上是减函数，所以log ，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 16．已知函数f (x )＝lgx －1x ＋1.(1)计算：f (2020)＋f (－2020)；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m(x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1.∴函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝0，∴f (x )为奇函数．∴f (2020)＋f (－2020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lgm (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m(x ＋1)(7－x )恒成立．即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9.∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9.即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。
高一数学 对数的运算
解：(1)lg 2 lg 5 lg( 2 5)
lg
10
1
lg10 2
1 lg10 2
1 2
(2) log3
45
log3
5
log3
45 5
log3 9 log3 32
2log3 3 2
3、利用换底公式，计算下列各式的值； （1）log2 3 log3 4 log4 5 log5 6 log6 7 log7 8, （2）logb a loga b;
练习:用lg x,lg y,lg z 表示下列各式:
(1) lg( xyz);
(2) lg xy2 ; z
xy3 (3)lg ;
z
x (4) lg y2z .
解： (1)lg(xyz) lg x lg( yz) lg x lg y lg z
(2)lg xy2 lg(xy2 ) lg z lg x 2lg y lg z
b
lg a lg b
lg b lg a
( lg3 lg 4
lg3)(lg 2 lg8 lg3
lg 2) lg 9
(
lg 3 lg 22
lg 3 lg 23
)(
lg lg
2 3
lg 2 lg 32
)
( lg3 lg3 )(lg 2 lg 2 ) 2lg 2 3lg 2 lg3 2lg3
5lg3 3lg 2 5 . 6lg 2 2lg3 4
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; N>0)
证明：设 loga N p
由对数的定义可以得： N a p ,
logc N logc a p
logc N p logc a,
p logc N
2018高中数学必修1课件：2.2.1 对数与对数运算 第2课时 对数的运算 探究导学课型 精品
【深度思考】 结合教材P65例4，你认为应怎样利用对数的运算性质 计算对数式的值？ 第一步：_______________________________________ _______. 将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性 第质二转步化：_________________________.
利用对数的性质化简、求值
logaMn=nlogaM
主题2:换底公式
1.假设 log25 =x,则log25=xlog23，即log25=log23x， 从而有3lxo=g52 3，将其化为对数式，进一步可得到什么
结论？
提示：由3x=5知x=log35,即log35= log2 5 . log 2 3
2.同样由 提示：由
log356 log3(23 7) 3log32 log37 3b a . log314 log3(27) log32 log37 a b
【规律总结】换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同 底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常 用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变 形应用.
【规律总结】对数的运算性质在解题中的两种应用
提醒：对数的运算性质主要用于化简与求值，它只适 用于同底的对数的化简.
【巩固训练】(2016·长春高一检测)已知x，y，z都是 大于1的正数，m>0，m≠1，且logmx=24，logmy=40， logm(xyz)=80，则logmz的值为 ( )
A. 1
B.16
C. 200
D. 3
60
3
20
【解析】选B.由已知得logm(xyz)=logmx+logmy+ logmz=80， 而logmx=24，logmy=40，故logmz=80-2440=16.
高一数学对数的运算2
高中数学第四章对数运算与对数函数2对数的运算换底公式课后习题北师大版必修第一册
2.1 对数的运算性质 2.2 换底公式A级必备知识基础练1.2log510+log50.25=( )A.0B.1C.2D.42.(2022内蒙古包头高三期末(文))若x log34=1,则3(4x-4-x)=( )A.5B.7C.8D.103.1lo g1419+1lo g1513等于( )A.lg 3B.-lg 3C.1lg3D.-1lg34.已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为( )A.6B.9C.12D.185.(2022江西九江高一期末)设a=lg 2,b=lg 3,则log318=( )A.2ab +1 B.2ba+1 C.ab+2 D.ba+26.log35log46log57log68log79= .7.设a x=M,y=log a N(a>0,且a≠1,M>0,N>0).试用x,y表示log M34√N= .8.计算:(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40;(2)lg12-lg58+lg54-log92·log43;(3)已知log53=a,log54=b,用a,b表示log25144.B级关键能力提升练9.若lg x-lg y=a,则lg(x2)3-lg(y2)3=( )A.3aB.32a C.a D.a210.若2log a(P-2Q)=log a P+log a Q(a>0,且a≠1),则PQ的值为( )A.14B.4C.1D.4或111.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( )A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2 c =2a+1bD.1c=2b−1a12.设a=log36,b=log520,则log215=( )A.a+b-3 (a-1)(b-1)B.a+b-2 (a-1)(b-1)C.a+2b-3 (a-1)(b-1)D.2a+b-3 (a-1)(b-1)13.(2022江西景德镇一中高一期末(文))已知实数x,y,正数a,b满足a x=b y=2,且2x +1y=-3,则1b-a的最小值为 .14.已知log a(x2+4)+log a(y2+1)=log a5+log a(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8yx的值.C级学科素养创新练15.设正数a,b,c满足a2+b2=c2.求证:log 21+b+ca+log 21+a-cb=1.2.1 对数的运算性质2.2 换底公式1.C 原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.2.C 因为x log34=1,所以log34x=1,即4x=3,所以3(4x-4-x)=3×3-13=8.故选C.3.C 原式=lo g1914+lo g1315=log94+log35=log32+log35=log310=1lg3.4.D ∵2a=3b=k(k≠1),∴a=log2k,b=log3k,∴1 a =log k2,1b=log k3.∵2a+b=ab,∴2 b +1a=2log k3+log k2=log k9+log k2=log k18=1,∴k=18.5.C log318=lg18lg3=lg2+lg32lg3=a+2bb=ab+2,故选C.6.3 log35log46log57log68log79=lg5lg3·lg6lg4·lg7lg5·lg8lg6·lg9lg7=lg8lg9lg3lg4=3lg2·2lg3lg3·2lg2=3.7.3x-5y4 ∵a x=M,∴x=log a M,∴log a34√N log a M3-log a4√N5=3log a M-54log a N=3x-54y.8.解(1)原式=lg2×58lg5040=lg54lg54=1.(2)(方法一)原式=lg 1258+lg54−lg2lg9×lg3lg4=lg(45×54)−lg22lg3×lg32lg2=lg1-14=-14.(方法二)原式=(lg1-lg2)-(lg5-lg8)+(lg5-lg4)-lg2lg9×lg3lg4=-lg2+lg8-lg4-lg22lg3×lg32lg2=-(lg2+lg4)+lg8-14=-lg(2×4)+lg8-14=-14.(3)∵log53=a,log54=b,∴log25144=log512=log53+log54=a+b.9.A lg(x2)3-lg(y2)3=3(lg x2-lg y2)=3(lg x-lg y)=3a.10.B 由2log a(P-2Q)=log a P+log a Q,得log a(P-2Q)2=log a(PQ),P>0,Q>0,P>2Q.由对数运算法则得(P-2Q)2=PQ,即P2-5PQ+4Q2=0,所以P=Q(舍去)或P=4Q,解得PQ=4.11.AD 由题意,设4a=6b=9c=k(k>1),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,由ab+bc=2ac,可得bc +ba=2,因为bc+ba=lo g6klo g9k+lo g6klo g4k=lo gk9lo g k6+lo gk4lo g k6=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;2 a +1b=2lo g4k+1lo g6k=2log k4+log k6=log k96,2c=2lo g9k=2log k9=log k81,故2c≠2a+1b,故C错误;2 b −1a=2lo g6k−1lo g4k=2log k6-log k4=log k9,1c=1lo g9k=log k9,故1c=2b−1a,故D正确.12.D ∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52,∴log23=1a-1,log25=2b-1,∴log215=log23+log25=1a-1+2b-1=2a+b-3(a-1)(b-1).故选D.13.-132 已知实数x,y,正数a,b满足a x=b y=2,则x=log a2,y=log b2,由换底公式可得2x +1y=2log2a+log2b=log2(a2b)=-3,可得a2b=18,则1b=8a2,因为a>0,则1b-a=8a2-a=8a-1162-132≥-132,当且仅当a=116时,等号成立,因此,1b-a的最小值为-132.14.解由对数的运算法则,可将等式化为log a[(x2+4)·(y2+1)]=log a[5(2xy-1)],∴(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1).整理,得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,配方,得(xy-3)2+(x-2y)2=0,∴{xy=3, x=2y.∴yx=12.∴log8yx =log812=lo g232-1=-13log22=-13.15.证明log2(1+b+c a)+log2(1+a-c b)=log2[(1+b+c a)(1+a-c b)]=log2(a+b+c)(a+b-c)ab =log2(a+b)2-c2ab=log22=1.。
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