专题02(第二篇)-备战2121年高考满分秘籍之数学压轴题天天练(解析版)

，
，
，
.
故其分布列为
0
1
2
3
∴
.
（2）按“年龄是否达到 35 岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车
偶尔使用单车
未达到 35 岁
125
75
达到 35 岁
55
45
合计
180
120
时，由（1）中的列联表，可求得 的观测值
.
时，按“年龄是否达到 25 岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车
∴a≥ ．
故选：B
第十三题
【河南省洛阳市 2019 届高三第二次】已知直线
与圆 ：
为圆周上一点，线段 的中点 在线段 上，且
【答案】 【解析】 依据题意作出如下图象，其中
，垂足为 ，
，则 ______．
相交于 ， 两点，
所以点 为线段 的中点，
由题可得：原点到直线 的距离
，
不妨令 则：
在
中，有
，由 ，
时， 有两个极值点.
（2）当 时，设
，
则在 显然函数
上有且只有一个零点. 与 的单调性是一致的.
①当 时，由（1）知函数 在区间 上递减， 上递增，
所以 在 上的最小值为
，
由于
，要使 在 上有且只有一个零点，
需满足 ②当 ∵
或
，解得
或
.
时，因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
，∴当
(2)
或
或
【解析】
（1） 的定义域为
，
.
由
得或.
当 时，由
得 ，由
得
，
∴在
上单调递增，
在 上单调递减， 在 处取得极小值，无极大值；
当
，即
时，由
得 ，或
，
由
得
，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，
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在 处取得极小值，在 处取得极大值.
综上，当 时， 有一个极值点；当
可得：
，
，
，
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在
中，有
，
联立方程组（1）（2），解得：
第十四题
【河南省许昌市、洛阳市 2019 届高三第三次检测】某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的
经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座
谈会三个阶段.在随机问卷阶段， ， 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶
），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大
A．20 【答案】B 【解析】
B．27
C．54
设大正方体的边长为 ，则小正方体的边长为
，
设落在小正方形内的米粒数大约为 ，
D．64
则 故选：B
，解得：
第二题
【河南省许昌市、洛阳市 2019 届高三第三次】在四面体
中， 平面 ，
，
，
若四面体
的外接球的表面积为 ，则四面体
的简图如下：
要使得 整理得： 故选：D
有两个不同的实数根，则 .
，即：
，
第七题
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【河北省衡水中学 2019 届高三下学期一调】已知抛物线
的焦点为 ，
，
是抛物线
上的两个动点，若
，则 的最大值为（ ）
A．
B．
【答案】B 【解析】
因为
，
所以
，
在 中，由余弦定理得：
C．
D．
，
，
又 所以
， ，
.
（2）设
，
.
∵
是弦 的中点，∴直线 的斜率存在，设斜率为 ，
则直线 的方程为：
，即
.
由
联立，整理得：
，
因为直线与椭圆相交，所以 成立.
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴直线 的方程为：
，
，
，
∴
.
要使 的面积最大值，而 是定值，需 点到 的距离最大即可.
设与直线 平行的直线方程为：
，
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由方程组
联立，得
，则椭圆的离心率为__________．
【答案】 【解析】 因为 是等腰三角形且
，所以
.
设
，因为
，所以
，
得
，
,又 Q 在椭圆上，
所以
，
，又
，
所以
，
，
，
,
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故答案为 .
第十一题
【河南省洛阳市 2019 届高三第二次】正四面体
中， 是 的中点， 是棱 上一动点，
小值为 ，则该四面体内切球的体积为_____.
∴f（x）+ ﹣ ≥f（1﹣x）+x﹣ ， 即 F（x）≥F（1﹣x）， ∴x≤1﹣x， x0≤ ，
∵ 为函数 的一个不动点 ∴g（x0）=x0，
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即 h（x）=
=0 在（﹣∞， ]有解．
∵h′（x）=ex-
，
∴h（x）在 R 上单调递减．
∴h（x）min=h（ ）=
﹣a 即可，
，
令
，得
∵ 是椭圆 上一点，
∴ 点到 的最大距离，即直线
而
，
. 到直线 的距离 .
此时
.
因此， 的面积最大值为
.
第十七题
【河南省许昌市、洛阳市 2019 届高三第三次检测】已知函数
.
（1）讨论 的极值点的个数；
（2）若方程
在 上有且只有一个实根，求 的取值范围.
【答案】(1)
时， 有一个极值点；当
时， 有两个极值点.
定义域为 ，偶函数，在
上，
D．3
，在
上，
， .四选项中函数
的定义域都为 且都为偶函数，单调性也与
保持一致，
显然在
上递增，又
，
，
函数的 值都趋向于 .故选 B.
递增，当
，除
第四题
（显然
）外，其他
【河南省许昌市、洛阳市 2019 届高三三模】已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且
，
，
，若
恒成立，则 的最小值为（ ）
【答案】
【解析】 如下图，正方体中作出一个正四面体
的最
将正三角形 和正三角形 沿 边展开后使它们在同一平面内，如下图：
要使得
最小，则
三点共线，即：
，
设正四面体的边长为 ，在三角形 中，由余弦定理可得：
，解得：
，
所以正方体的边长为 2，正四面体的体积为：
，
设四正面体内切球的半径为 ，由等体积法可得：
，
的图象存在公切线，则实数
的取值范围是（ ）
ຫໍສະໝຸດ BaiduA．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设公切线与函数 ， 分别切于点
，
，则过 ， 的切线分别为：
、
，两切线重合，则有：
代入
得：
，构造函数：
，
，
，
，
.
，
，，
只须
. 第十题
【河南省许昌市、洛阳市 2019 届高三第三次检测】已知过椭圆
，∴ ，
.欲合题意，
的左顶点
作
直线 交 轴于点 ，交椭圆于点 ，若 是等腰三角形，且
时，总有
.
∵
，
∴
，又
∴ 在 上必有零点. ∵ 在 上单调递增，
∴当
时， 在 上有且只有一个零点.
综上，当
或
或
时，方程
第十八题
【湖南省衡阳市 2019 届高三二模理】已知函数
.
（1）求函数 的单调区间；
（2）解关于 的不等式
整理得：
，解得：
，
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所以该四面体内切球的体积为
. 第十二题
【河北省衡水中学 2018 届高三十五模】若存在一个实数 ，使得
成立，则称 为函数 的一个不
动点.设函数
（ ， 为自然对数的底数），定义在 上的连续函数 满足
，且当 时，
.若存在
一个不动点，则实数 的取值范围为（ ）
A．
B．
.
（1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 ， 关于直线
对称，当
面积最大时，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）若 ， 关于坐标原点 对称，设
，
，依题：
，故椭圆 的标准方程为
.
（2）设
，
，依题：
，设直线 ：
，
，
.
同理
，
.
设直线 ：
，
，
.（
取等）
故直线的 方程为
.
第十六题
【河南省洛阳市 2019 届高三第二次】已知椭圆 ：
专题 02
高考满分秘籍之高考数学压轴试题天天练 02
第一题
【河南省洛阳市 2019 届高三第二次】如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股
定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为 ，
若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取 约为（ ）
A．24 【答案】C 【解析】
B．12
C．8
的体积为（ ） D．4
取 BC 的中点 E，由 AB=AC= ，BC=2，所以
为等腰三角形，
，AE=3，CE=1，所以
外接圆的圆心 在 AE 上.设 外接圆半径为 r，则在直角三角形 中
面体
的外接球球心为 O，连接 ,
， ，设四
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则
平面 ABC,又 平面 ，所以 ∥ ,又 OA=OB=OC=OD，所以
段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对 15 至 45 岁的人群，按比例随机抽取了 300 份，进行了数
据统计，具体情况如下表：
组别 年龄
组统计结果 经常使用单车
偶尔使用单车
组统计结果 经常使用单车
偶尔使用单车
27 人
13 人
40 人
20 人
23 人
17 人
35 人
25 人
20 人
20 人
35 人
第六题
A．
B．
C．
【答案】D 【解析】
. D．
恰有两个极值点，则
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由题可得： 因为函数 所以函数
， 恰有两个极值点，
有两个不同的零点.
令
，等价转化成
有两个不同的实数根，
记： 当 当 当 作出
，所以
，
时，
，此时函数 在此区间上递增，
时，
，此时函数 在此区间上递增，
时，
，此时函数 在此区间上递减，
25 人
（1）先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60 人的样本，再用分层 抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去. ①求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数； ②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人员召开座 谈会.会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人，每人 1 份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员 中有且只有 4 人来自 组，求 组这 4 人中得到礼品的人数 的分布列和数学期望； （2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作 岁）有关”的结论.在用独立性检验的方 法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄 应取 25 还是 35？请通过比较 的观测值的大 小加以说明.
偶尔使用单车
未达到 25 岁
67
33
达到 25 岁
113
87
合计
180
可求得 的观测值
120 .
合计 200 100 300
合计 100 200 300
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∴
，
欲使犯错误的概率尽可能小，需取
. 第十五题
【湖南省衡阳市 2019 届高三二模理】已知椭圆 ：
上点
，过 作两直线分别交
于点 ， ，当点 ， 关于坐标原点 对称且直线 ， 斜率存在时，有
A．
【答案】B 【解析】 当 时， 相减并化简得
B．
C．49
D．
，解得
.当 时，由
，得
，由于
，所以
，两式 ，故 是
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首项为 ，公差为 的等差数列，所以
.则
，故
，由于 是单调递增数列，
，故 的最小值为 ，故选 B.
第五题
【河南省许昌市、洛阳市 2019 届高三第三次】已知 ，曲线
与
，
，
， 为坐标原点，
为椭
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圆 的左焦点，离心率为 ，直线 与椭圆相交于 ， 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若
是弦 的中点， 是椭圆 上一点，求
的面积最大值.
【答案】（1） 【解析】 ∵
；（2）
.
，
为椭圆 的左焦点，
设椭圆 的焦距为 ，所以
，
∵离心率为 ，∴ ，又
，所以
，
∴椭圆 的方程为：
所以
，
所以 的最大值为 ，
故选 B.
第八题
【河南省许昌市、洛阳市 2019 届高三第三次】已知 ，
__________． 【答案】 【解析】
因为
，所以
，
，且
，则
=
（当且仅当
即
，
时取等号），
所以
的最小值为
，
的最小值为
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故答案为
.
第九题
【湖南省衡阳市 2019 届高三二模理】若函数
与函数
设四面体
的外接球的半径为 R，则
，
,在直角三角形 中
,
,
,
所以
,
故选 C. 第三题
【湖南省衡阳市 2019 届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数
为“亲密函数”.下列三个函数
，
，
中，与函数
不．是．亲密函数
的个数为（ ） A．0 【答案】B 【解析】
B．1
C．2
易知幂函数
共点，且在公共点处的切线相同，则实数 的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】
由
，
设两曲线的公共点 P
，
，由
，
.
因为两曲线在公共点处的切线相同，
有公
所以
，由
，
，
，又 ，所以
，消去 得
，
设
，
，
令
， 此时
，又 ，
时，
，所以 时 取极小值即
故选 B.
【河南省洛阳市 2019 届高三第二次】若函数 实数 的取值范围为（ ）
参考公式：
，其中
.
【答案】(1) ①9 人 ②见解析；(2) 【解析】
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（1）①从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁”的有
人，再将这 20 人用分层抽样法按“是
否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数为
.
② 组这 4 人中得到礼品的人数 的可能取值为 0，1，2，3，相应概率为：
C．
【答案】B 【解析】 ∵f（﹣x）+f（x）=x2 ∴令 F（x）=f（x）﹣ ，
，且 为函数 的 D．
∴f（x）﹣ =﹣f（﹣x）+ x2
∴F（x）=﹣F（﹣x），即 F（x）为奇函数， ∵F′（x）=f′（x）﹣x， 且当 x 0 时，f′（x）＜x， ∴F′（x）＜0 对 x＜0 恒成立， ∵F（x）为奇函数， ∴F（x）在 R 上单调递减， ∵f（x）+ ≥f（1﹣x）+x，