(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一).doc

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2020高考—圆锥曲线(解答+答案)

2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<．由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=．解得3n =-（舍去），32n =．故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2．若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）．若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =．所以C 的方程为22163x y +=．（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=．于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=，因此22022(2)p m x m+=．由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。

(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)

2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。

（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。

已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。

P为C上一点，且PF⊥x轴。

过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。

若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。

2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线

1.椭圆C 1：()22210x ya b a b+=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410.过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线l 与圆C 2：()()22240x y r r -+=>相切于点N . （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）若43AN MN =u u u r u u u u r，求直线l 的方程和圆C 2的半径r .2.已知椭圆C ：1121622=+y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ⋅λ的值；（2）求证：点Q 在一定直线上.3.已知椭圆C ：)0(12422>>=+b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ .（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切；（2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=•MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程；（2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .5.已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线1l ：2x =-的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且212d d =.直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；（3）对于直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22116x y m m +=+（m ＞0）的离心率为45，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，F 是其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点．（1）求m 的值及椭圆的准线方程；（2）设过点B 且与x 轴的垂直的直线交AP 于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．7.如图，在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭.F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点.（2）若AF FC =，求BFFD的值；（3）设直线AB ，CD 的斜率分别为12,k k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为2，且过点6(2,). （1）求椭圆E 的方程；（2）若点A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，直线l 经过点B 且垂直与轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .①设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；②设过点M 垂直于PB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.9.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于AB 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.10.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点在直线l30y --=上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为14-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线t 经过点(10)P ，，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中02x >）使得A ，B 到0l 的距离A d ，B d 满足||||A B d PA d PB =恒成立？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由.11.已知点11(,)A x y ，22(,)(D x y 其中12)x x <是曲线24(0)y x y =≥上的两点，A ，D 两点在x 轴上的射影分别为点B ，C ，且||2BC =.（I ）当点B 的坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率；（II ）记△OAD 的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：1214S S <.12.已知点C 在圆()22116x y ++=上，A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，线段BC 的垂直平分线交线段AC 于点M . （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设圆222x y r +=与点M 的轨迹E 交于不同的四个点D ，E ，F ，G ，求四边形DEFG 的面积的最大值及相应的四个点的坐标.13.已知椭圆C 1：2214x y +=，曲线C 2上的动点(),M x y 满足：16=.（1）求曲线C 2的方程；（2）设O 为坐标原点，第一象限的点A ，B 分别在C 1和C 2上，2OB OA =u u u v u u u v，求线段|AB |的长.14.已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E过点12⎫⎪⎪⎝⎭，离心率为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程.15.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）已知M ，椭圆C 的离心率为12，直线l 交直线4x =于点P ，求1F MN ∆的周长及1F MP ∆的面积；（2）当224a b +=且点M 在第一象限时，直线l 交y 轴于点Q ，11F M FQ ⊥，证明：点M 在定直线上.16.已知离心率为22的椭圆C ： 22a x +22by =1（a ＞b ＞0）过点P （﹣1，22）．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AB ：y =k （x +1）交椭圆C 于A 、B 两点，交直线l ：x =m 于点M ，设直线PA 、PB 、PM 的斜率依次为k 1、k 2、k 3，问是否存在实数t ，使得k 1+k 2=tk 3？若存在，求出实数t 的值以及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．17.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0),F 左顶点为(2,0).A -（1）求椭圆E 的方程；（2）过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆E 交于（不同于点A 的）M ,N 两点.试判断直线MN 与x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.参考答案1.（Ⅰ）由题意知，c a =，即22234a b a-=，∴224a b =，∵由椭圆1C 截直线y x =所得的弦长为5，∴弦在第一象限的端点的坐标为⎝⎭，∴2244155a b +=，将224a b =代入上式，解得2,1a b ==.∴椭圆1C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2,0A -，设()()1122,,,M x y N x y ，∵43AN MN =u u u r u u u u r ，∴14AM AN =u u u u r u u u r，∴214y y =，设直线l 的方程为()20x y =-≠λλ，联立22214x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩λ，得()22440y y +-=λλ，∴1244y =+λλ；联立()22224x y x y r=-⎧⎪⎨-+=⎪⎩λ，得()222112360y y r +-+-=λλ，∵0∆=，∴22361r =+λ，且2261y =+λλ；∴2264414=+⋅+λλλλ，解得245=λ，∴220r =，∴:5100,l x r ±+==2.（1）因为)0,2(-F ，由x BF ⊥轴，由对称轴不妨设)3,2(--B ，则直线)4(23:+-=x y AB 又左准线8:-=x l ，所以)6,8(-P ，又1λ=，所以111λλ++=同理：由2λ=，得：221λλ++=PAPQ又23=，所以11123λλ++=PQPA又//，比较系数得：12312λλ=，所以2321=•λλ（2）证明：设点),(11y x C ，),(22y x D ，),(00y x Q由CQ BC 1λ=，得101112λλ++-=x x ，11113λλ++-=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)13(4)12(321012101=++-+++-λλλλy x ，整理得：0)962412()4843(100212020=++--+λλy x y x显然01≠λ，所以48439624122020001-+++=y x y x λ 同理：由DA QD 2λ=，得：220214λλ+-=x x ，221λ+=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)1(4)14(32202220=+++-λλλyx同理可得：96244843020202+-+=x y x λ又由（1）2321=λλ，所以2396244843484396241202020202000=+-+•-+++x y x y x y x 整理得：0200=+-y x 即点Q 在定直线02=+-y x 上.3.（1）由题设)2,0(D ，)0,2(F ，)0,2(A ，又DF AP //，所以DF AP k k =，可得：2=t ，所以122:=+yx AP ，即2=+y x ，所以22|2|=-=d ，为圆222=+y x 的半径，所以直线AP 与圆222=+y x 相切.（2）设)2,(0x Q ，),(11y x E ，由OE OQ ⊥，则⊥，可得02110=+y x x ，而EQ ：0)(2)2()()2(0101011=-+-----x x x y y x x x y20121101201210101)()2(|2|)()2(|)(2)2(-|x x y x x y x x y x x x y d -+--=-+--+-=由02110=+y x x 得1102x y x -=代入上式，得42))(4(||2)2()2(||221212122121212121212121212121++=+++=++-+=x x y y x x x y y x y x x y d又422121=+y x ，212124y x -=，代入上式得：2=d所以直线EQ 与圆222=+y x 相切.4.（1）因为B A ,两点关于x 轴对称，所以AB 边所在直线与y 轴平行，设),(y x M ，由题意，得)3,(x x A ，)3,(x x B -，所以y x AM -=3||，x y MB 3||+=，因为3||||=•MB AM ，所以3)3)(3(=+-x y y x ，即1322=-y x ，所以点M 的轨迹W 的方程为1322=-y x )1(≥x （2）设),(y x M ，则22)(||y m x MP +-=，因为点M 在1322=-y x )1(≥x ，所以3322-=x y ，所以32433)(||2222-+-=-+-=m mx x x m x MP 343)4(422-+-=m m x若14<m，即4<m ，则当1=x 时，|1|||min -=m MP ；若14≥m ，即4≥m ，则当4m x =时，12321||2min -=m MP 所以，||PM 的最小值⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=4,1232140|,1|)(2m m m m m f .5.解：设()P x y ，，则1|2|d x =+，2d21d d ==，化简得：2212x y +=.∴椭圆C 的方程为：2212x y +=（2）解：∵(01)A ，，(10)F -，， ∴1010(1)AF k -==--，180OFA OFB ∠+∠=︒，∴1BF k =-，BF ：1(1)1y x x =-+=--代入2212x y +=，得：2340x x +=，∴0x =，或43x =-，代入1y x =--得01x y =⎧⎨=-⎩（舍），或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴4133B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11134203ABk -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴AB ：112y x =+ （3）证明：由于180OFA OFB ∠+∠=︒，所以B 关于x 轴的对称点B 1在直线AF 上.设11()A x y ，，22()B x y ，，122()B x y -，设直线AF 方程：(1)y k x =+，代入2212x y +=，得：222212102k x k x k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，2122212k x x k +=-+，2122112k x x k -=+，1212AB y y k x x -=-，AB ：121112()y y y y x x x x --=--，令0y =，得122112111212x x x y x y x x y y y y y --=-=--， 11(1)y k x =+，22(1)y k x =+，()22222112211212122121212212211(1)(1)22222(1)12212k k k k x y x y x k x x k x x x x x x k y y k x k x x x k -⨯-++-⨯++⨯+++=====--+++++-+∴直线l 总经过定点(20)M -，6.解：（1）因为椭圆的离心率为45．所以16161625m =+，解得9m =．所以椭圆的方程为221259x y += ……3分准线方程为254x =±……5分（2）由题可知()()()5,0,5,0,4,0A B F -，设()00,P x y ．由椭圆的对称性，不妨设00y > ①若04x =，则94,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PF 方程为4x =，AP 方程为15xy =+，()5,2D 以BD 为直径的圆的圆心(5,1)，半径为1与直线PF 相切； ……8分②若04x ≠，则AP 方程为()0055y y x x =++ 令5x =，得00105y y x =+，则00105,5y D x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭以BD 为直径的圆的圆心0055,5y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，半径为0055y x + ……11分直线PF 方程为()0044y y x x =--，即()000440y x x y y ---=圆心M到直线PF的距离d=……13分=＝()002545455x yxx-+=-＝055yx+所以圆M与直线PF相切……15分综上所述，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．…………16分7.（1）设椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>，由题意知：22121914caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解之得：2ab=⎧⎪⎨⎪⎩22143x y+=（2）若AF FC=，由椭圆对称性，知3(1,)2A，所以3(1,)2B--，此时直线BF方程为3430x y--=，由223430,1,43x yx y--=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x--=，解得137x=（1x=-舍去），故1(1)713317BFFD--==-．（3）设00,)A x y（，则00(,)B x y--，直线AF的方程为0(1)1yy xx=--，代入椭圆方程22143x y+=，得2220000(156)815240x x y x x---+=，因为x x=是该方程的一个解，所以C点的横坐标08552Cxxx-=-，又(,)c CC x y在直线0(1)1yy xx=--上，所以00003(1)152C cy yy xx x-=-=--，同理，D点坐标为085(52xx++，03)52yx+，所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =．8.解：（1）由题意椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为2，且过点，所以223221,1c a b=+=，解得2,a b ==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）①设000(,)(0)P x y y ≠，则直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，令2x =得004(2,)2y M x +，因为01022y k x =+，因为0202y k x =-，所以212202y k k x =-，因为000(,)(0)P x y y ≠在椭圆上，所以2200143x y +=，所以1232k k =-为定值， ②直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=，则直线m 的方程为1111011112242(2)(2)(1)2x x y x y x y x x y y x y ---=-+=-+=++，所以直线m 过定点(1,0)-.9.由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ P . ......5分（2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分10.解：（1）设椭圆焦距为2c （0c >），右焦点为(0)c ，，∵直线l 与x 轴的交点坐标为0)∴c =.设椭圆上任意一点()Q x y ，和关于原点对称的两点()M m n ，，()N m n --，，则有22221m n a b +=，22221x y a b +=∴2222220x m y n a b --+=又∵14y n y n x m x m -+⋅=--+即222214y n x m -=--∴2214b a = 又2223c a b =-=，∴24a =，21b =.∴椭圆的方程为2214x y +=.（2）存在04x =符合题意，理由如下：当直线t 的斜率存在时，设直线t 的方程为(1)y k x =-，设11()A x y ，，22()B x y ，联立22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=2222(8)4(41)(44)0k k k =--+->△恒成立2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+ 不妨设121x x >>，∴012021||||||1||||1|]A B d PB d PA x x x x x x -=-⋅---⋅-001212(1)()2]0x x x x x x =-+++=∴2200228(1)8(1)204141x k k x k k +--+=++，整理得0280x -=，即04x =满足条件当直线t 的斜率不存在时，显然04x =满足条件综上，04x =时符合题意.11.解：（Ⅰ）因为(1,0)B ，所以1(1,),A y 代入24y x =，得到12y = …………………1分又||2BC =，所以212x x -=，所以23x = …………………2分代入24y x =，得到123y = …………………3分所以212123231AD y y k x x --===-- …………………4分（Ⅱ）法一：设直线AD 的方程为y kx m =+.则1211|()|||.2OMD OMA S S S m x x m ∆∆=-=-=…………………6分由24y kx my x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=,所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………8分所以21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k =+-=+=+++=,…………………10分又1204kmy y =>，所以0,0k m >>，所以12124S m km S y y ==+，因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<.…………………12分法二：设直线AD 的方程为y kx m =+. 由24y kx m y x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=,所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………6分 2221212||1|1|21AD k x x k x x k =+-=+-=+点O 到直线AD 的距离为d =, 所以||||211m d AD S ==…………8分所以21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k =+-=+=+++= …………………10分又1204kmy y =>，所以0,0k m >> 因为16160km ∆=->，所以01km << 所以12124S m km S y y ==+41<…………………12分12.解：（1）由已知得：4MA MB AC +==，而24AB =<，所以点M 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长24a =的椭圆，设(,)M x y ，所以点M 的轨迹E 的方程：22143x y +=．………4分（2）由对称性可知，四边形DEFG 为矩形，不妨设()11,D x y 为椭圆E 上第一象限的点，则11=4DEFG S x y 矩形，而10x >，10y >，且2211143x y +=，所以2211111=42243DEFG x x y S x y ⎫=⋅≤+=⎪⎭矩形当且仅当12x =1x =， 1y ==”，所以矩形DEFG 的面积的最大值为四个点的坐标为：,⎭，,⎭，,⎛ ⎝⎭，,⎛- ⎝⎭．………12分13.解：（1）由已知，动点M 到点()0,-P，()0,Q 的距离之和为8，且8<PQ ，所以动点M 的轨迹为椭圆，而4=a ，=c ，所以2=b ，故椭圆2C 的方程为221164y x +=.………3分（2）解：,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ，由2OB OA =u u u v u u u v及（1）知，,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =.将y kx =代入2214x y +=中，得()22144k x +=，所以22414A x k =+，将y kx =代入221164y x +=中，得()22416k x +=，所以22164B x k =+，又由2OB OA =u u u v u u u v ，得224B A x x =，即22164414k k =++，解得21,=易得k A B ，故||==AB 分14.解：（1）设椭圆E 的方程为：22221x y a b +=(0)a b >>，由已知：222221261144⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩a b a a b 得：22a =，21b =，所以，椭圆E 的方程为：2212x y +=. ………3分（2）由已知直线l 过左焦点()1,0F -．①当直线l 与x轴垂直时，1,2A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，此时AB =则112OAB S ∆==②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：()1y k x =+由()22112=++⎧⎨⎪⎩=⎪y k x x y 得()2222124220k x k x k +++-=所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k-=+，而12121122OAB S OF y y y y ∆=⋅-=-，由已知23OAB S ∆=得1243y y -=，所以()22222441612912k k k k +=++，则4220k k +-=，所以1k =±，所以直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=．………12分15.（1）由题设知：22312b a b a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得2a =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=……2分∴1F MN ∆的周长11122148;F M MN NF F M MF F N NF a =++=+++==……………3分由12(1,0),(1,0)F F -知直线l 的方程为13x +=，得(4,33)P -， ∴1F MP ∆的面积1213(33)432F F =--=.………………………………………6分（2）【证明】设220(,),0,(0,),M x y x y Q y c a b >=-且,由题设知：12(,0),(,0)F c F c -.由2,,M F Q l ∈知22//F M F Q u u u u r u u u u r ，220(,),(,)F M x c y F Q c y =-=-u u u u r u u u u r，则有0()y x c cy -=-；由11F M FQ ⊥知11FM FQ ⊥u u u u r u u u r ，110(,),(,)FM x c y FQ c y =+=u u u u r u u u r，则有0()0c x c y y ++=； ∴两式联立消去0y 点得(,)M x y 满足2()()x c x c y +-=，即222x y c -=； ……………9分又点M 在椭圆C 上，即有12222=+by a x ，即222222b x a y a b +=，∴两式联立得44222222,a b x y a b a b ==++；又224a b +=，即22,22a b x y ==………11分 ∴点(,)M x y 满足222a b x y ++=，即点M 在定直线2x y +=上. ……………………12分16.解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=c ，b 2=a 2﹣c 2=c 2，将P 代椭圆方程：，则，解得：c=1，则a=，b=1，∴椭圆的方程：；（2）由题意可知：k 显然存在且不为0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1=k （x 1+1），y 2=k （x 2+1），则，整理得：（1+2k 2）x 2+4k 2x+2k 2﹣2=0， x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，当x=m 时，y=k （m+1），则k 1=，k 2=，则k 3=，则k 1+k 2=+===2k+，由k 1+k 2=tk 3，2k+=t×=tk ﹣，则当t=2，m=﹣2，∴当直线l ：x=﹣2，存在实数t=2，使得k 1+k 2=tk 3成立．17.解：（1）由已知得1,2,c a ==222 3.b a c =-=…………（3分）所以椭圆E 的方程为221.43x y +=…………（4分）（2）①当直线MN 与x 轴垂直时,直线AM 的方程为2,y x =+联立2223412y x x y =+⎧⎨+=⎩得271640,x x ++=解得22().7x x =-=-或舍去此时直线MN 的方程为2.7x =-直线MN 与x 轴的交点为2(,0).7- …………（6分）②当直线MN 不垂直于x 轴时,设直线MN 的方程为.y kx m =+联立223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(43)84120.k x kmx m +++-= 设1122(,),(,),M x y N x y 则2221212122228412312,,,434334km m m k x x x x y y k k k --+=-==+++ 且222(8)4(43)(412)0,km k m ∆=-+->即224 3.m k <+…………（8分）而1122(2,),(2,),AM x y AN x y =+=+u u u u r u u u r 由题意知,,AM AN ⊥u u u u r u u u r 即22121212271642()40,43m km k AM AN x x x x y y k -+⋅=++++==+u u u u r u u u r 解得27m k =或2().m k =舍去…………（10分）当27m k =时,满足224 3.m k <+直线MN 的方程为2(),7y k x =+此时与x 轴的交点为2(,0).7-故直线MN 与x 轴的交点是定点,坐标为2(,0).7-…………（12分）。

圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))

圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =．又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=，于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得k =时取等号，满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+．【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-．即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-．（2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形．考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

2019-2020年高考数学专题练习——圆锥曲线

该双曲线的离心率为（）24.已知抛物线 y 2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M ，N 两 uuur 点, 若 PF uuuur 3MF，则 MN（）16 A ． 3B ．8C ．16D ．83 35.知双曲线 2x2 a 2b y 2 1(ab0,b 0) ， A 1、A 2 是实轴顶点， F 是右焦点，B （0,b ）是虚轴端点，若在线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点 P i i 1,2 ，使得 P i A 1A 2 i 1,2 构成以 A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（）2019-2020 年高考数学专题练习圆锥曲线（一）、选择题 2 x 1.设双曲线 C: 2 a 2 y 2 1 a 0,b b 10 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 1 且斜率为3的直线与双曲线的两渐近线分别交于点 A ，B ，并且 F 2A F 2B ,则双曲线的离心率为A ． 52B ． 2 D ．2 x 2.设 F 1，F 2 分别为双曲线 C ： 2 a 2 b y 2 1(ab 0,b 0）的左、右焦点， A 为双曲线的左顶点，以 F 1F 2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、N 两点，且满足：MAN 120o ，则 7A ．3B ． 19 321 C ．3D ． 7333.双曲线 2x2a 2y2 1 a 0,bb0 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作倾斜角为 60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于 A ， B 两点，若点 A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是 A ． 3B ． 2+ 3 C. 2 D ． 2 1B ．( 2, 52 1) 51D ． ( 52 126.已知过抛物线 y 2 2px(p 0)的焦点 F 的直线与抛物线交于 A ，B 两点，且 uuur uuurAF 3FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C ， AA 1 l 于点 A 1，若四边形 AA 1CF 的面积为12 3 ，则准线 l 的方程为A ． x2 B ． x 2 2 C ． x 2 D ． x 17.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90 °的正角 .已知双曲线22 E： a x 2 b y 21(a ab0,b 0) ，当其离心率e [ 2,2] 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为( )A ．[0, 6]B ． [ , ]63C ．[ 4, 3]D ．[3, 2]8.已知直角坐标原点22xy O 为椭圆 C ： 2 2ab 1(a b 0) 的中心，F 1，F 2 为左、右焦点，在区间 (0,2)任取一个数 e ，则事件 “以 e 为离心率的椭圆 C 与圆 O ： x 2 y 2 a 2 b 2 没有交点 ”的概率为( )A ．2442 B ． 4C ．2 2 D ．22 29.已知直线 y 1x 与双曲线 ax 2 by 21(a 0， b 0 )的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为3， a则()2b23 A ．3 B ．C ． 93D ． 2327223210.过双曲线 x 22 y1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A ，B 两3点，则AB)A．4 33B．2 3 C．6 D．4 311.已知抛物线C：4x的焦点为F，过F的直线交C于A，B 两点，点A在第一象限，P（0,6），O 为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为（7 A．4 13B．4C．3D．412.若双曲线2x3m1的一条渐近线方程为2x 3y 0 ，则m 的值为（）233C．2213.已知双曲线a x2 b y2 1 的左右焦点分别为F1，F2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I 与x 轴相切于点A，过F2作直线PI 的垂线，垂足为B，若 e 为双曲线的离心率，则（）A．|OB | e|OA| C．|OB| |OA| B．|OA| e|OB|D．|OA|与|OB |关系不确定14.已知 F 是椭圆C：2y1 的左焦点，5P为C上一点，A（1,4），则|PA| |PF |的3最小值为（）10 A．3 11B．3C．4 D．13315.已知F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF2 3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A．4 3 B．2 3C．3 D．22216.双曲线x2y21（a a2b2A（. 1，2）b 0）离心率的范围是（）B（. 1，）C（. 2，）D（. 1，22）17.如图，过抛物线 y 2px（p 0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A ，B ，交其准线于点8 C ． 3为（）2x 2 2 py 的焦点，点 F 2为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点，过 F 2 作抛物线 C 的切线，切点为 A ，若点 A 恰好在以 F 1，F 2 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ▲ ）两点， MN 中点的横坐标为 1，则此椭圆的方程是（）2A ． y32 B． 2 x32 2y1 522yx C. 1 36 92 xD ． 362y1 921. 已知双曲线 C ：2 x 2 ay 2 b 21a 0,b 0 的虚轴长为 8 ，右顶点（a ，0）到双曲线的一16D ．318.已知过椭圆 2x 2a2y2 1(a b 0)b 2的左焦点且斜率为 a 的直线 l 与椭圆交于 A ，B 两点 .若椭圆上存在一点 P ，满足 OA OB OP 0 （其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率A ． 22B ．C. 321D ．219.已知点 F 1 是抛物线 C ：A ．6 22B ． 2 1C ． 2 1D ．6 2220.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为 F(0 ，3 3) ，直线 4x3y 13 0 与其相交于 M 、N34，则 p 为（条渐近线的距离为 12，则双曲线 C 的方程为（2 x A ． 9 2 y 216 x 2C. 25 y 2 16 22. 已知圆C ： x 2 y 2 2x 2 3y 线相切，则双曲线的离心率为（） A ． 2 6 3 B ．23323.设双曲线2 x 2 a 2 y b 2 1(a 0， b 0) 2x 2y2 16 92 2xy 216 2522yx2ab 243 F ，过点 B． D．1(a C ．的右焦点为0,b 0）的一条渐近D ． 7 作与 x 轴垂直的直线 l 交且与双曲线在第一象限的交点为P ，设 O 为坐标原点，若 uu ur OP uur OA uuur OB( , R)， A ． 23B ． 3 5 35 两渐近线于 A ，B 两点， 2 x 2 y3 16 ，则双曲线的离心率为（ C.3 2 2 9 D ． 8 2 24.设 F 为双曲线 C ： ab 21（a 0,b 0）的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x y a 交于 P ，Q 两点.若 PQ OF ，则 C 的离心率为（ A ． 2 B ． 3．C 2）25.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 22C ： x 2 y 21 |x| y 就是其中之一（如图） .给出下列三个结论： ① 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； ③ 曲线 C 所围成的 “心形 ”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是（） A. ① B. ② C. ①②D.①②③、填空题26.过点Mx20,1 的直线l交椭圆x81于A，B两点，F为椭圆的右焦点，当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为27.已知F1，F2 分别为双曲线2C:x242 y12 1的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I 分别为F1PF2的重心、内心，若GI∥x 轴，则F1PF2 的外接圆半径R=2 28.已知点P在离心率为2 的双曲线x2 a2y2 1(a 0,b 0) 上，F1，F2为双曲线的两个buuur 焦点，且PF1uuuurPF20 ，则PF1F2的内切圆半径r 与外接圆半径R之比为29.已知双曲线2C:x2a2yb2 1 a 0,b 0 的实轴长为16，左焦点为F，M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且OM MF ，O为坐标原点，若S OMF 16 ，则双曲线C的离心率2 x 30.设点M 是椭圆2 a 2 yb2 1(a b 0) 上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F，圆M 与y 轴相交于不同的两点P、Q，若PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为2 31. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2 a2by2 1( a b 0 )的离心率e23，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为a，过点A2 作圆A1的切线，切点为P，在x 轴的上方交椭圆于点Q.则P P A Q232.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为椭圆的右顶点和上顶点，当FB515 1，此类椭圆被称为“黄金椭圆”2算出“黄金双曲线 ”的离心率 e 等于 .22C: x 2 y 21(a b 0)33.已知椭圆 a b，A ，B 是 C 的长轴的两个端点，点 M 是 C 上的一点，满足 MAB 30 , MBA 45 ，设椭圆 C 的离心率为 e ，则 e 2 ________________________ .234.已知抛物线 y 2 2px(p 0)的焦点为 F ，O 为坐标原点，点 M ，N 为抛物线准线上相异的两点，且 M ，N 两点的纵坐标之积为 - 4，直线 OM ， ON 分别交抛物线于 A ， B 两点，若A ， F ，B 三点共线，则 p ______________ .235.已知抛物线 y 2 8x 上有一条长为 9 的动弦 AB ，则 AB 中点到36.如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率 e= .等腰三角形，则 M 的坐标为 __________22x 2y 2 139.已知椭圆 9 5 的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是 ________ .240. 设抛物线 y 2px(p 0)的焦点为 F,已知 A ， B 为抛物线上的两个动点，且满足| MN |AFB60,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 |AB| 的最大值为41. 已知 F 为抛物线 C: y 2 4x 的焦点， E 为其标准线与 x 轴的交点，过 F 的直线交抛物线37.已知双曲线 C ：2x2 a的两条渐近线分别交于2y21(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线与 C buuur uuur uuur uuuurA ，B 两点．若 F 1A AB ， F 1B F 2B 0，则C 的离心率为38.设 F 1，F 2 为椭圆1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限 .若△MF 1F2为C:36 20C 于 A ，B 两点， M 为线段 AB 的中点，且 |ME | 20，则|AB|参考答案0,易知F (1,0)，设直线AB : x my 1x my 1 2由 2y 2 4my 4 0, 所以 y 1 y 2 4 y 2y 2 4x易知 f (x) 在 0,1 上为减函数，所以当12. A22双曲线 x y1的一条渐近线方程为 2x 3y 0 ，可得3 m m 1(3 m)(m 1) 0 ，解得 m ( 1,3)，因为 m 1x 3 m y3 解得 m ，故选A.13，内切圆与 x 轴的切点是A ，∵ ，由圆切线长定理有，设内切圆的圆心横坐标为x ，则，即3y 12 4 1 2y 12( y 1 0) y1f (x) 3 x2 1 2 3x3 x 2 24 ( x 1)(3x 24x 4)2 x 2 2x 22x 2设A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)且x 1,y 1S OPABS OPASOFA SOFB32 1 2f ( x) x x (x 0)4 2 x4y 1y 1 1时， ( S OPAB )min 13,故选4B0 是双曲线的渐近线方程，所以∴ ，即 A 为右顶点，在中，由条件有，在中，有∴.设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以22e2 ，由焦点三角形面积公式得b12 3b22，即设椭圆离心率e1 ，双曲线离心率a12 3a22 4c2，即1232e12 e22 4 ，设1 12 2 m ,n 即m 3n 4 ，e1 e2由柯西不等式得m n最大值为43 3设的中点，由题意知两式相减得，而，所以所以直线的方程为，联立，解得又因为，所以所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选 A.，易得：∴此椭圆的方程是故选： C∵ |PQ| |OF | c ，∴ POQ 90o , 又|OP| |OQ | a ，∴a 2 a 2 c 2 解得 c 2，即 e 2.a由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立，令，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得.故选 C.，则该双曲线的离心率为设椭圆方程为联立方程：，整理得：，，则，即，化简得：1,0),(-1,1)六个整点,结论① 正确.22由x2y21 x y 得,x2y2, 1x y,解得x2点的距离都不超过2 . 结论② 正确.如图所示,易知A 0, 1 ,B 1,0 ,C 1,1, ,D心形”区域的面积大于3,说法③ 错误.由x2y21 x y得,y2x y 1 x2, |x|y234x2 ,1423x2 2 4厔0,x243所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C:x2y21 x y 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-4 1026.3628.229. 526230.2 , 所以曲线C 上任意一点到原0,1 ,四边形ABCD 的面积S ABCD 11 123,很明显2心形”区域的面积大于2 S ABCD ,即231.37如图所示，设，，椭圆方程为圆的方程为，直线与圆相切，则：，直线是斜率为，直线方程为：联立直线方程与椭圆方程：整理可得：即，由弦长公式可得：，在中，，故5132.2“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．如图，设“黄金双曲线”的方程为，22则，，∵， ∴， ∴， ∴，解得或（舍去），∴黄金双曲线 ”的离心率 e 等于1333. 35 35.2易知抛物线的准线方程为，设，且的中点为，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，则，由抛物线定义，得（当且仅当三点共线时取等号），即中点到轴的最短距离为 .36. 3 1OA 为中位线且 OA BF 1 ，所以 OB OF 1 ，因此 F 1OA BOA ，又根据两渐近线对uuur uuur uuur uuuur由F 1A AB, F 1B F 2B 0知 A 是 BF 1的中点， uuu r F Buuuur F 2B ，又 O 是 F 1, F 2的中点，所称， F 1OA F 2OB ，所以 F 2OB 60 ， e1 (b )21 tan2 60 2.39. 15方法 1：由题意可知 |OF|=|OM |= c = 2，由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4，设 P(x,y)可得 (x 2)2 y 2 16，2联立方程 xy 2519 可解得 x32,x 21 2 (舍)，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，1515求得 P3, ，所以 k P F 2152 2F 138. (3, 15)22已知椭圆 C ：x y36 20 1可知， a 6，c 4，由 M 为 C 上一点且在第一象限，故等腰三角形 MF 1F 2中 MF 1 F 1F 2 8，MF 2 2a MF 1 4 , sin F 1F 2M4 , y MMF 2 sin F 1F 2 M 15 ，22代入C ：3x6 2y0 1可得 x M3.故 M 的坐标为 (3, 15 ) .82方法 2：焦半径公式应用解析 1：由题意可知 |OF |=|OM |= c= 2 ，由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4 ，即 aex p 4 x p15求得 P 3, 15 ，所以 k PF215 . 2 2 PF 12F （1，0）为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，E （-1，0）为其准线与 x 轴的交点，设过F 的直线为 y=k （x-1），代入抛物线方程 y 2=4x ，可得 k 2x 2-（ 2k 2+4） x+k 2=0，设 A （ x 1， y 1）， B （x 2，y 2），解得k 2=1，则 x 1+x 2=6，由抛物线的定义可得 |AB|=x 1+x 2+2=8.。

2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一)

2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一）1.设F 1，F 2为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点.（1）求F 1，F 2的坐标；（2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值.2.已知椭圆2214x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B .（1）求△P AB 面积的最大值；（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围.3.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且21MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.4.已知椭圆C 的标准方程为2211612x y +=，点(0,1)E ．（1）经过点E 且倾斜角为3π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ．（2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率e ，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是(1)求椭圆1C 与2C 的方程；(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.6.椭圆C 一个焦点为(1,0)F ，离心率e ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程式．（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值．7.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线l 的方程为x =（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点(1,0)B 作直线l 与椭圆C 交于点,P Q （异于椭圆C 的左、右顶点12,A A ）两点，设直线1PA 与直线2QA 相交于点M .①若(4,2)M ，试求点,P Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条直线上.8.设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.9.已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心离为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =．（Ⅰ）求m 的值．（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PMF △和PNF △的面积分别为1S 、2S ，求证：12||||S PM S PN =．10.已知常数0m >，向量(0,1)a =，(,0)b m =经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ．（1）求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E ．（2）若点(1,0)C，当m =M 为轨迹E 上任意一点，求||MC 的最小值．11.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线上．Ⅰ求椭圆C 的标准方程．Ⅱ点P，(2,Q 在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．（i ）若直线AB，求四边形APBQ 面积的最大值．（ii ）当A ，B 运动时，满足APQ BPQ =∠∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．13.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b=>>+过点(0,1)A -，且离心率e ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程．（Ⅱ）若椭圆M 上存在点B 、C 关于直线1y kx =-对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上．14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b =>>+的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．若点00(,)M x y 在椭圆C上，则点00,x y N a b ⎛⎫⎪⎝⎭称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB △的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．15.已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，离心率e ，且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||3AB =，求直线l 的方程．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．16.已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点F （0,2)做两条可相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 交于A ,B 两点, l 2与曲线 C 交于C ,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，N 两点。

新版精选2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2004重庆理)已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( ) A43 B 53 C 2 D 732．（2007浙江文）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|⋅|PF 2 |＝4ab ，则双曲线的离心率是（）A B C .2 D .33．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（）()A 2()B ()C 2 ()D4．已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为________________.22154x y -= 5．过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（）A ．2aB ．a21 C ．4a D ．a4（2000全国，11）二、填空题6．已知抛物线P x y 上的点42=到抛物线的准线距离为d 1，到直线0943=+-y x 的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值是 ▲7．中心在坐标原点,一个顶点为(4,0),且以直线y 为渐近线的双曲线方程为_________．8．双曲线221416x y -=的渐近线方程为。

9．若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 (2011年高考江西卷理科14)10．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ________________．解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，∴满足题意的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，整理得 x 2＋y 2－2x ＝0.11．若直线y ＝kx ＋1(k ∈R)与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：由于直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，故点(0,1)恒在椭圆内或椭圆上，所以m ∈[1，＋ ∞)．又因为m ≠5，所以实数m 的取值范围应为[1,5)∪(5，＋∞)．12．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0，3)．点P 在抛物线上且满足→AP ＝12→PF ，则P 到该抛物线准线的距离为．13．如果椭圆191622=+y x 上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离为：关键字：已知椭圆方程；定义14．抛物线22x y -=的准线方程为______▲________15．已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率． 16．双曲线221916x y -=的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是x y 202= .17．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为__ ▲. 18．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P.若△F 1F 2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为____________．19．如图，设F 2为椭圆12222=+by a x 的右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是 ▲20．过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点的直线坐标原点)的面积为,则m 6+m 4【答案】【解析】∵直线x-my+m=0过焦点,∴m=.∴直线方程为2x+py-p=0.解方程组消去x,得y 2+p 2y-p 2=0.设A 、B 的纵坐标为y 1、y 2,y 1、y 2为方程的两根,∴｜y 1-y 2｜=.∴S=×｜y 1-y 2｜=.∴p 6+4p 4=16×8.又p=-2m, ∴26m 6+26m 4=27.∴m 6+m 4=2.21．已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，D C ,是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线BD AC ,的斜率分别为12,k k ，且12120,||||k k k k ≠+若的最小值为3，则椭圆的离心率为 .22．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1， B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ，则双曲线的离心率e ＝ ▲ .23．过点F (1,0)且与直线l ：x ＝－1相切的动圆圆心的轨迹方程是________．y 2＝4x 三、解答题24．（16分）已知椭圆具有性质：若A ，B 是椭圆C ：=1（a ＞b ＞0且a ，b 为常数）上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上的任意一点，若直线PA 和PB 的斜率都存在，并分别记为k PA ，k PB ，那么k PA 与k PB 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线=1（a ＞0，b ＞0且a ，b 为常数）写出类似的性质，并加以证明．25．（本题满分10分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （c ，0），下顶点为A (0，－b )，直线AF 与椭圆的右准线交于点B ，若F 恰好为线段AB 的中点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切，求椭圆C 的方程．26．(本小题14分)设命题p ：方程17622=-++a y a x 表示双曲线，命题q ：圆9)1(22=-+y x 与圆16)1()(22=++-y a x 相交．若“p ⌝且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，已知三点1(1,0)C -，2(1,0)C，(P -，以1C 、2C 为焦点的椭圆W 经过点P ．（1）求椭圆W 的方程；（2）设,M N 是椭圆W 上的两个不同点,且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若 122OM ON OC +=，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；（3）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线．．．l 交椭圆W 于,A B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过y 轴上的一定点（其坐标与k 无关）．28．已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，过1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，若2ABF 为正三角形，则椭圆的离心率是（第18题）29．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。

精编2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2006江西理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A ∙＝－4则点A 的坐标是（B ）A ．（2，±） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，)2．(2005江苏)抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（）A ．1617 B ．1615 C ．87 D ．0 3．（2010福建文11）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为（）A ．2 B ．3 C ．6 D ．84．（2007陕西文3）抛物线y x =2的准线方程是( )（A ）014=+x（B ）014=+y （C ）012=+x （D ）012=+y 5．已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)456．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17．1 ．（2012辽宁文）已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A 的纵坐标为（）A ．1B ．3C ．-4D ．-8二、填空题 8．点A 、B 是双曲线15422=-y x 右支上的两点，AB 中点到y 轴的距离为4，则AB 的最大值为 .9．过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________10．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为．11．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,若1222=+B F A F ，则AB =___________.12．若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，则其渐近线方程为 ▲ ．13．若动圆M 经过点(3,0)A 且与直线:3l x =-相切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是________14．动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 28y x =。

精选最新2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练考核题完整版(含标准答案)

2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．1 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心则C 的渐近线方程为（）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±2．（2010全国卷1文数）（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =（）(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =43．（2006）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（） A ．14-B ．4-C ．4D ．144．（2008海南理11）已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（） A .（41，－1） B .（41，1） C .（1，2） D .（1，－2）二、填空题5．已知圆()1222=+-y x 经过双曲线22221x y a b-=()0a b >>的一个顶点和一个焦点，则此双曲线的离心率e = 5=e6．已知圆C 经过直线240x y +-=与坐标轴的两个交点，且经过抛物线28y x =的焦点，则圆C 的方程为 ▲ ．7．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是 .8．过抛物线y 2=2px (p ＞0)的对称轴上的定点M (m ,0)(m ＞0),作直线AB 与抛物线相交于A ,B 两点.(1)试证明A ,B 两点的纵坐标之积为定值;(2)若点N 是定直线l :x =－m 上的任意一点,分别记直线AN ,MN ,BN 的斜率为k 1,k 2,k 3,试探求k 1,k 2,k 3之间的关系,并给出证明.9．如果双曲线5x 20422=-y 上的一点P 到双曲线右焦点的距离是3，那么P 点到左准线的距离是____________．10．双曲线221916x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离等于____________ 11．已知椭圆191622=+y x 的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的顶点，则点P 到x 轴的距离为_ ▲12．若椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是 ▲ ． 13．若方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆，则m 的范围是________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0，m －5>0，7－m ≠m －5，解得5<m <7，且m ≠6.14．．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=-2px (p ＞0)的准线相切，则p = ▲ ．分析: 圆方程化为16)3(22=+-y x ，垂直于x 轴的圆的切线为x =-1,x =7，由于抛物线方程是标准方程，故准线方程为x =7，解得p =14 15．如图所示，直线x=2与双曲线22:14y λΓ-=的渐近线交于1E ,2E 两点，记1122,OE e OE e ==，任取双曲线Γ上的点P ，若12,()OP ae be a b R =+∈、，则a 、b 满足的一个等式是 4ab=116．在直角坐标系xOy 中，双曲线2213y x -=的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是。

(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)

历年高考圆锥曲线2000年：（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直03422=+++x y x 线的方程是（）（A ）（B ）（C ）（D ）x y 3=x y 3-=x 33x 33-（11）过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、，则等于（）p q qp 11+（A ）（B ）（C ）（D ）a 2a21a 4a4（14）椭圆的焦点为、，点P 为其上的动点，当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时，点P 横坐标的取值范围是________。

（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。

当时，求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。

e 2004年3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（）032=+-y x A ．B ．C ．D ．12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆x 0443=++y x C 的方程为（）A ．B ．03222=--+x y x 0422=++x y x C ．D ．3222=-++x y x 0422=-+x y x 8．（理工类）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合，x y 42-= 则此椭圆方程为（）A ．B ．13422=+y x 16822=+y x C ．D ．1222=+y x 1422=+y x 22．（本小题满分14分）双曲线的焦距为2c ，直线过点（a ，0）和（0，b ），且点)0,1(12222>>=-b a by a x l （1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年：9．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为（x ）A ．B ．CD435310．设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C ．D 2121、（理工类）（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。

20192020年高考数学大题专题练习圆锥曲线一

2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一）1.设F 1，F 2为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标；（2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值.2.已知椭圆2214x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B .（1）求△P AB 面积的最大值；（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围.3.已知椭圆2222:10x y C a b a b 的离心率为5，定点2,0M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且21MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.4.已知椭圆C 的标准方程为2211612x y +=，点(0,1)E ．（1）经过点E 且倾斜角为3π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ．（2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2e ，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程；(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.6.椭圆C 一个焦点为(1,0)F ，离心率2e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程式．（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值．7.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线l 的方程为43x =，焦距为23.（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点(1,0)B 作直线l 与椭圆C 交于点,P Q （异于椭圆C 的左、右顶点12,A A ）两点，设直线1PA 与直线2QA 相交于点M .①若(4,2)M ，试求点,P Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条直线上.8.设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.9.已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心离为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =．（Ⅰ）求m 的值．（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PMF △和PNF △的面积分别为1S 、2S ，求证：12||||S PM S PN =．10.已知常数0m >，向量(0,1)a =，(,0)b m =经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ．（1）求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E ．（2）若点(1,0)C，当m =M 为轨迹E 上任意一点，求||MC 的最小值．11.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线上．Ⅰ求椭圆C 的标准方程．Ⅱ点P，(2,Q 在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．（i ）若直线AB，求四边形APBQ 面积的最大值．（ii ）当A ，B 运动时，满足APQ BPQ =∠∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．13.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b =>>+过点(0,1)A -，且离心率e ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程．（Ⅱ）若椭圆M 上存在点B 、C 关于直线1y kx =-对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上．14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b =>>+的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00,x y N a b ⎛⎫⎪⎝⎭称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB △的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．15.已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，离心率e ，且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =，求直线l 的方程．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．16.已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点F （0,2)做两条可相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 交于A ,B 两点, l 2与曲线 C 交于C ,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，N 两点。

2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一)

2019-2020年高考数学大题专题练习圆锥曲线(一)2 21设F1, F2为椭圆7吕1的左、右焦点，动点P的坐标为(一1,m)，过点F2的直线与椭圆交于A, B两点•(1 )求F1 , F2的坐标；(2)若直线PA, PF2, PB的斜率之和为有整数值•2X 22•已知椭圆y 1 , P是椭圆的上顶点•过P作斜率为4k (k M0)的直线I交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B.(1 )求厶PAB面积的最大值；(2)设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围3•已知椭圆C2 2a2+b y2=1(a>b>0)的离心率为，定点M (2,0)，椭圆短轴的端点是B , B2，且MB1 MB2•(1)求椭圆C的方程；(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A, B两点，试问x轴上是否存在定点P , 使PM平分Z APB ?若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由•2 2x_ 乂1 4•已知椭圆C的标准方程为16 12，点E(0,1).3n(1)经过点E且倾斜角为一的直线I与椭圆C交于A、B两点，求|AB| .4(2)问是否存在直线P与椭圆交于两点M、N且|ME | |NE |，若存在，求出直线P斜率的取值范围；若不存在说明理由.5•椭圆G与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率e= ，并2 且C2的短轴为G的长轴，G与C2的四个焦点构成的四边形面积是 2 2 •(1)求椭圆G与C2的方程；⑵设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆G长轴两个顶点A , B的连线PA , PB分别与椭圆G交于E , F点•(i) 求证：直线PA , PB斜率之积为常数；(ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由•6•椭圆C 一个焦点为F(1,°)，离心率(I)求椭圆C的方程式.(n )定点M(0,2) , P为椭圆C上的动点，求|MP|的最大值；并求出取最大值时P点的坐标求.(川)定直线l：x 2 , P为椭圆C上的动点，证明点P到F(1,0)的距离与到定直线I的距离的比值为常数，并求出此常数值.7•如图，已知椭圆0)的右准线I的方程为xr-，焦距为2「3. 3(1)求椭圆C的方程;(2)过定点B(1,0)作直线I与椭圆C交于点P,Q (异于椭圆C的左、右顶点A,A2)两点，设直线PA,与直线QA2相交于点M .①若M (4,2)，试求点P,Q的坐标;②求证：点M始终在一条直线上2 28•设椭圆丰专1(a 3)的右焦点为F ,右顶点为A ,已知(I)求椭圆的方程;(n)设过点 A 的直线I 与椭圆交于点 B ( B 不在x 轴上)，垂直于I 的直线与I 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ，且 MOA MAO ，求直线l 的斜率的取值范围2 2X y9•已知椭圆C:1的右焦点为F ,右顶点为A ，离心离为e ，点P(m,0)(m16 12|AP| (I)求m 的值.(n)设过点F 的直线I 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记△ PMF 和A PNF 的面积分别为r r与经过点B( m,0)，以b 4a 为方向向量的直线交于点 P ，其中 R . (1 )求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E .(2)若点C(1,0)，当m 2 2时，M 为轨迹E 上任意一点，求| MC |的最小值.1 1 |OT| foAi，其中0为原点，e 为椭圆的离心率|FA|4)满足S 、5，求证:51 | PM | 52 |PN |10•已知常数m r a尾向O\17(m,0)经过点A(m,O)，以a b 为方向向量的直线11.已知椭圆的中心在坐标原点°，焦点在X轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F与X轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点.(I )求椭圆的方程.(n)当直线I的斜率为1时，求△ POQ的面积.(川)在线段°F上是否存在点M (m,0)，使得经MP , MQ为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.12.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于2，它的一个顶点恰好在抛物线X 8y的准线上.I求椭圆C的标准方程.n点P(2,「3) , Q(2, , 3)在椭圆上，A , B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.⑴若直线AB的斜率为乜，求四边形APBQ面积的最大值.6(ii)当A , B运动时，满足/ APQ / BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.(I)求椭圆M 的方程.(H)若椭圆 M 上存在点B 、C 关于直线y kx 1对称，求k 的所有取值构成的集合 S ,并证明对于 k S ，BC 的中点恒在一条定直线上.(1 )求椭圆C 的标准方程.定值；若不为定值，说明理由.(。

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