(完整版)一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题

一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式恒成立问题的两种解法

(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.

(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.

例1. 设函数22)(2+-=x ax x f ，对于满足10，求实数a 的 取值范围.

【解析】法一：当a>0时，a

a x a x f 12)1

()(2-+-=，由x ∈(1,4)，f(x)>0得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≤022)1(11a f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<012)1(411a a

f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≥02816)4(41a f a 所以⎩⎨⎧≥≥01a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<21141a a 或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥≤83

41a a ，所以1≥a 或121<a 。 当a<0时，⎩⎨⎧≥+-=≥+-=0

2816)4(022)1(a f a f ，解得a ∈∅;

当a=0时，22)(+-=x x f , f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.

综上可得，实数a 的取值范围是2

1>

a 。 . 法二：由f(x)>0, 即0222>+-x ax ,x ∈(1,4)， 则有x

x a 222+-

>在(1，4)上恒成立. 令21)211(222)(22+--=+-=x x x x g ，)1,4

1(1∈x 21)2()(max ==∴g x g ， 所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要21>a 即可. 故a 的取值范围为21>a . 针对性练习：

1.已知不等式2

mx －2x －m ＋1<0.

(1)若对所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；

(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．

解析 (1)不等式2mx －2x －m ＋1<0恒成立，

即函数f(x)＝2mx －2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方.

（i) 当m ＝0时，1－2x<0不恒成立；

（ii) 当m ≠0时，函数f(x)＝mx2－2x －m ＋1为二次函数，需满足图象开口向下且

方程mx2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，

Δ＝4－4m (1－m )<0，

则m 无解. 综上，不存在这样的m ，使不等式恒成立.

(2) 设f(m)＝(2x －1)m ＋(1－2x)，

当2x －1＝0时，即x ＝±1时，检验得x ＝1时符合题意，

当2x ≠1时，则f(m)是以m 为自变量的一次函数，其图象是一条直线，由题意知该 直线当－2≤m ≤2时的线段在x 轴下方，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)<0，f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧

－2x 2－2x ＋3<0， ①2x 2－2x －1<0， ② 解①，得x <－1－72或x >－1＋72， 解②，得1－32

. 由①②，得－1＋72

，且x ≠1. 综上，x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪

－1＋72

(1)求f(x)的表达式；

(2)设0

解析 (1)由题意知x ＝－2是该函数的一个极值点.

∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴f ′(－2)＝0，即12－4b ＋c ＝0.

又f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－2,2]上恒有f ′(x )≤0. ∴f ′(2)≤0，即12＋4b ＋c ≤0. ∴12＋4b ＋4b －12≤0.

∴b ≤0，又b ≥0，∴b ＝0，c ＝－12，f (x )＝x 3－12x ＋1.

(2)∵f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．

0

∴f ′(x )≤0，x ∈[m －2，m ]. 因此f (x )为[m －2，m ]上的减函数，

∴对任意x 1，x 2∈[m －2，m ]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝f (m －2)－f (m )

＝－6m 2＋12m ＋16≤16m ， ∴m ≥43，即m min ＝43

.