牛顿微积分
牛顿积分公式
牛顿积分公式摘要：一、牛顿积分公式的背景与定义二、牛顿积分公式的性质与特点三、牛顿积分公式的应用领域四、牛顿积分公式与其他积分公式的关系五、总结正文：一、牛顿积分公式的背景与定义牛顿积分公式，又称牛顿-莱布尼茨公式，是微积分学中的一个重要公式。
它是由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）和德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）在十七世纪独立发现的。
这个公式描述了函数的不定积分与原函数之间的关系，为微积分学的发展奠定了基础。
牛顿积分公式的定义如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么它的不定积分F(x)可以表示为：F(x) = ∫f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + C其中，C为积分常数。
二、牛顿积分公式的性质与特点牛顿积分公式具有以下性质和特点：1.线性性：对于任意常数k，有∫kf(x)dx = k∫f(x)dx。
2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上为正，那么∫[a, b]f(x)dx也为正；如果f(x)在区间[a, b]上为负，那么∫[a, b]f(x)dx也为负。
3.可积函数的有界性：如果f(x)在区间[a, b]上可积，那么它的原函数F(x)在区间[a, b]上连续。
三、牛顿积分公式的应用领域牛顿积分公式在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来求解质点的位移、速度、加速度等；在工程学中，它可以用来求解梁的弯曲、轴的扭转等；在经济学中，它可以用来求解成本、收益、需求等。
四、牛顿积分公式与其他积分公式的关系牛顿积分公式是莱布尼茨积分的特例。
对于可积函数f(x)，如果它的原函数F(x)在区间[a, b]上连续，那么我们可以用牛顿积分公式计算它的不定积分。
然而，如果f(x)不是可积函数，我们仍然可以使用莱布尼茨积分公式计算它的不定积分，但需要引入黎曼和（Riemann sum）的概念。
微积分产生的背景
微积分的创立者是牛顿和莱布尼兹严格微积分的奠基者是柯西和威尔斯特拉斯关于微积分的故事，曾经一度迷惑着我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。
微积分的萌芽可以追溯到古代的希腊、中国和印度，酝酿于17世纪的欧洲。
1.牛顿和莱布尼兹创立了微积分1.1 牛顿的“流数术”牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。
1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。
笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。
1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。
在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。
这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。
正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。
牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。
1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。
而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。
1.2 莱布尼茨的微积分工作莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。
1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。
这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。
牛顿莱布尼茨公式 零点定理
牛顿莱布尼茨公式零点定理牛顿-莱布尼茨公式（newton-leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式取值分数提供更多了一个有效率而方便快捷的计算方法，大大简化的定分数的排序过程。
定理意义牛顿-莱布尼茨公式的辨认出，并使人们找出了化解曲线的长度，曲线围起的面积和曲面围起的体积这些问题的通常方法。
它精简的定分数的排序，只要晓得被内积函数的原函数，总可以谋出定分数的准确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式就是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明的定开卡元公式，分数第一中值定理和分数型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推展至二重积分与曲线分数，从一维推展至多维。
公式应用牛顿-莱布尼茨公式精简的定分数的排序，利用该公式可以排序曲线的弧长，平面曲线围起的面积以及空间曲面围起的立体体积，这在实际问题中存有广为的应用领域，比如排序坝体的围垦方量。
牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。
牛顿-莱布尼茨公式推动了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶转换，概率论，微分函数等数学分支中都存有彰显。
微积分牛顿莱布尼茨公式
微积分牛顿莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，也称为微积分基本定理或者牛莱公式。
该公式是微积分的重要工具，用于求解定积分和微分方程等问题。
下面我将为您详细介绍和解释这一公式。
牛顿－莱布尼茨公式可以用以下方式表述：设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导（即f'(x)存在），则该函数在[a,b]上的定积分可以被表示为：∫[a to b] f'(x) dx = f(b) - f(a)其中，∫ 符号表示积分，[a to b] 表示积分的区间，f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。
该公式的物理含义是：函数曲线下方的面积等于函数在区间[a,b]上的两个端点所对应的函数值之差。
让我们来看一个具体的例子来理解牛顿－莱布尼茨公式的应用。
假设有一个函数 f(x) = 2x，在区间 [1, 3] 上。
我们可以求这个函数在该区间上的定积分，即∫[1 to 3] f'(x) dx。
首先，我们需要求出函数f'(x)，即函数f(x)的导数。
对于f(x)=2x，它的导数f'(x)=2接下来，我们将导数 f'(x) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2 dx。
将上限 3 和下限 1 代入函数 f(x) = 2x，得到 f(3) = 2 * 3 = 6和 f(1) = 2 * 1 = 2然后，我们将 f(3) - f(1) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2dx = 6 - 2 = 4所以，函数f(x)=2x在区间[1,3]上的定积分是4这个例子展示了牛顿－莱布尼茨公式的应用。
通过求解函数的导数，并将导数代入定积分公式，可以得到函数在给定区间上的定积分值。
当对复杂函数进行定积分时，牛顿－莱布尼茨公式可以极大地简化计算。
我们可以通过求函数的导数来得到原函数，然后将原函数代入定积分公式来求解定积分。
这种方法比直接计算定积分更加方便且高效。
需要注意的是，牛顿－莱布尼茨公式只适用于连续可导的函数。
牛顿微积分
牛顿微积分微积分不是牛顿发明的，他只是对微积分进行了发展。
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前~前）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
牛顿微积分的特点牛顿微积分，确切的说，应该叫做牛顿-莱布尼兹微积分，它的最大特点，就是广泛运用哲学中的从有限到无限的思想，大量使用流数，就是变化率。
用微分和反微分（也就是积分）来解决运动，变化的问题。
另外其符号是莱布尼兹首创。
后来引用为一体。
总体来说。
微积分是17世纪由英国的牛顿(Newton)和德国的莱布尼茨(Leibniz)在前人成果的基础上创立起来的.在以后的两个世纪里，它以惊人的速度飞快地发展，在许多领域中得到了广泛的应用，取得了空前辉煌的成就.作为显示数学理论无比威力的例证之一是海王星的发现.年德国的威廉·赫歇尔通过观察，发现了天王星.年天文学家发现天王星的运行轨道的观测位置与理论计算位置不符，因而推测在天王星之外可能还有一颗未知的行星在影响它的运动.英国天文学家与几何学家亚当斯(和法国天文学家勒维利(LeVerrier)于，年先后按三体运动的推测，用严格的数学方法算出了这颗未知行星的运行轨道.年9月23日晚上在柏林天文台工作的加勒(Galle)，将望远镜指向秋夜的星空，对准了勒维利预报的方位，果然找到了这颗新的行星，这就是海王星.微积分之所以有如此神奇的力量，是因为通过这种方法，能找到“无限短”时间内物理运动规律的所谓“微分形式”，然后进行“积分”，从而合乎逻辑地得到适合于表示物体运动规律的函数关系.正如爱因斯坦所说：“微分定律的明晰概念是牛顿最伟大的理智成就之一”.从更一般的角度看：用微积分方法研究实际问题的过程大致是这样的，在自变量的无限小变化过程中，考察函数的对应变化，并通过确定变化趋势的数学过程，即所谓“极限过程”，找出函数所满足的“微分规律”，然后“积分”，从而找出函数关系.这里的关键就在于，如何在数学上理解并阐述清楚什么是“无限小变化”？什么是“极限过程”？牛顿及莱布尼茨等微积分的创立者，当时是用现实直观与数学理性相结合的方法，大胆而机智地解决了大量实际问题.他们的思想今天仍然在许多学科中被广泛使用.当然，这种方法有其不足之处，主要是作为一般的数学概念和方法，缺乏精确的数学描述，因而造成了一些混乱.在当时，牛顿也为其困惑，他想了许多方法来解决，终因受当时数学发展水平所限而没能完成.对于这种状况，18世纪的许多大数学家，如高斯(Gauss)，达朗贝尔(d’Alembert)等都意识到了这一问题的所在：微积分原理的严格理性基础，不能依赖于物理或几何的直观，而只能依靠自身合理的数学概念和方法.当时挪威数学家阿贝尔(明确地指出：“人们在今天的分析中无可争辩地发现了多得惊人的含混之处”，“最糟糕的是它还没有得到严格处理，高等分析中只有少数命题得到完全严格的证明.人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方法”.正是在这种形势下，法国数学家柯西(Cauchy)在他年至年相继编写的几本教材：《分析教程第一编·代数分析》()、《微积分概要》()、《微积分在几何中的应用教程》()和《微分学教程》()中，首次成功地为微积分奠定了比较严格的基础，其中最核心的是给“极限”以比较精确的数学定义，使微积分从此走出了混乱的阶段.今天我们来回顾微积分发展的这两个阶段，对于牛顿的直观微积分与柯西的理性微积分，应该给两者一个全面的评述.首先，这两个阶段是微积分发展历史中的两个必然阶段，前者是后者的基础，后者是前者的发展.更为重要的是，这两个阶段的微积分从方法上讲各有其特点，两者不是互相否定的，而是互为补充的.从应用上讲，牛顿的方法易于理解，贴近实际，激发创意，生动而充满活力，所以为许多非数学的学者所喜爱与沿用.但存在的问题是缺乏严格的数学理论基础，导致一些重要概念上的混乱.柯西的理性微积分，基本上排除了混乱的概念，给微积分以完整的理论体系，为分析学科的发展奠定了坚实的理论基础.但另一方面，它也有用严格而形式的语言，掩盖牛顿方法的许多鲜活和源于实际的思想等问题，使学习者难以较快地理解极限的实质.这套严格的形式处理，对于初学者，有一种难以接受的感觉.。
微积分中的牛顿法
牛顿法，也被称为牛顿-拉夫逊法，是一种用于求解方程的迭代算法。
它是由英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿在17世纪中期开发的，以他的名字命名的。
牛顿法的核心思想是利用函数的一阶和二阶导数来近似解方程，并通过迭代逼近精确解。
牛顿法在微积分中有着广泛的应用，特别是在数值计算、优化问题以及数学建模中。
它的基本思路是通过线性逼近来确定函数的根或者极值点。
首先，我们选取一个初始的近似解，然后通过迭代计算出更精确的解。
具体而言，牛顿法的算法思路如下。
首先，我们选择一个初值x0，并对目标函数求导，得到函数在该点的切线方程，即：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)接下来，我们将切线方程等于零，得到近似解x1：f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) = 0然后，我们继续迭代此过程，通过计算x2、x3、x4，直到满足某个停止准则为止。
停止准则可以是近似解的精确度达到某个要求，或者是迭代次数达到一定的次数。
牛顿法的收敛性是相当迅速的，尤其是在初始值选择恰当的情况下。
它的收敛速度通常是二阶的，意味着每次迭代精确度翻倍。
然而，牛顿法也存在一些局限性。
首先，它对初始值敏感，不同的初始值可能会导致不同的近似解。
其次，对于复杂的非线性函数，牛顿法可能会陷入局部最小值或者发散。
牛顿法的应用非常广泛。
在微积分中，我们可以使用牛顿法来求解方程，寻找函数的根。
它也可以用于求解优化问题，例如最小化一个函数，找到函数的极小值。
此外，牛顿法还在数学建模中被广泛使用，例如在物理学和工程学中的求解某些非线性方程和方程组。
总结起来，牛顿法是微积分中一种重要的数值计算方法。
它通过利用函数的一阶和二阶导数来近似求解方程，具有快速收敛、高精度等优点。
然而，牛顿法也存在一些局限性，必须注意初始值的选择以及特定函数的性质。
但是，在实践中，牛顿法仍然是解决许多数值问题的强大工具，为我们解决复杂问题提供了更多的可能性。
牛顿与微积分的发展
牛顿与微积分的发展牛顿（1642~1727），英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。
牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。
传记作家理查德·威斯法说，伊萨克·牛顿是“塑造了人类才智诸领域的寥寥无几的超级天才之一，一个无法归结为我们用以理解同类的标准的人”，因为微积分仅仅是他对我们理解周围世界作出重大贡献的许多领域中的一个。
在17世纪60年代的短短几年里牛顿成功地将他17世纪的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。
牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。
牛顿在通过自学掌握了17世纪的全部成就后，从1664年后期到1666年后期花费了两年时间理出了他关于微积分的基本思想。
就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
他对微积分的研究大致可分三个阶段: 第一阶段是静态的无穷小量方法，象费尔马那样把变量看作是无穷小元素的集合; 第二阶段是变量流动生成法，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此他把变量称为“流”，变量的变化率称为“流数”; 第三阶段是牛顿称之为最初比和最后比的方法，这种方法又是牛顿对第一阶段无穷小量方法的彻底否定．第一阶段：1667年牛顿完成了他的第一篇微积分论文: 《运用无穷多次方程的分析学》，正式发表于1711年．这篇论文是牛顿第一阶段工作的具体体现．在这篇文章中他总结了前人各种求积方法．给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且证明了: 求积运算是求变化率的逆过程．这就揭示了微积分的基本性质，即得到现在成为微积分学基本定理的牛顿——莱布尼茨公式．这篇文章是牛顿创立微积分的标志．但其中还有不少含混的地方．第二阶段：牛顿第二阶段的工作，主要体现在1671年的《流数法和无穷级数》中，在这篇论文中牛顿主要解决了两个问题:(1) 已知变量的关系y = f(x)，求它们流数比(牛顿用表示y的流数);(2) 已知一个含流数的方程，求变量之间的关系，这是问题(1)的逆问题，相当于求积分或解微分方程．当时牛顿把微积分叫做流数法，并明确指出流数法的普遍意义: 流数法“不仅可以用来做出任何曲线的切线，而且还可以用来处理其他关于曲度(即曲率)、面积、曲线的长度、重心等深奥的问题”．这个认识远远超过了费尔马等所有的前期微积分学者．牛顿的《流数法》写于1671年，直到1736年才发表。
牛顿布莱尼公式推导
1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
牛顿发明微积分的故事
牛顿发明微积分的故事众所周知，牛顿是一位具有卓越才华的科学家和数学家。
他在数学领域的杰出成就之一就是发明了微积分。
微积分是现代数学和物理学的基石，对于我们理解自然界和解决实际问题有着重要的作用。
本文将向您讲述牛顿发明微积分的故事。
1. 牛顿的求导理论牛顿发明微积分的起点是他对变化率的研究。
在物理学中，变化率指的是物体运动的速度、物质的流动速度等概念。
牛顿深入研究了这一问题，并提出了求导的理论。
他首次引入了“流量”的概念，即单位时间内通过一定面积的流体量。
通过求解流量的极限，牛顿定义了导数的概念，并成功地解释了物体运动的加速度和速度之间的关系。
2. 牛顿的积分理论在对变化率进行深入研究后，牛顿对积分进行了探索。
他观察到许多实际问题可以通过累积过程的描述来解决。
他引入了“累计量”的概念，即通过对连续变量的数量进行累积得到的总量。
牛顿通过求解累积量的极限，提出了积分的概念。
他成功地将积分应用于实际问题的求解，为后来的科学研究奠定了基础。
3. 牛顿的微积分基本定理牛顿发现了微积分的基本定理，即导数与积分之间的关系。
他指出，如果一个函数在某一区间内的导数存在，那么该函数在该区间内的积分也存在，并且两者之间存在着简单的关系。
这一发现揭示了微积分的内在联系，使得微积分在数学领域的地位更加巩固。
4. 牛顿对微积分应用的贡献牛顿对微积分的发明不仅仅停留在理论层面，他还将微积分应用于实际问题的解决中。
例如，他利用微积分的方法解决了行星运动的问题，提出了著名的万有引力定律。
牛顿的这一贡献不仅在当时引起了轰动，也为后来的科学家提供了重要的启示和研究方向。
5. 牛顿与莱布尼茨的争议在牛顿发明微积分的同时，德国数学家莱布尼茨也独立地发明了微积分。
由于两人在发明过程中使用的符号和术语略有不同，因此引发了争议。
不过，历史学家普遍认为牛顿和莱布尼茨都在微积分的发展中做出了不可磨灭的贡献，并将其共同归功于微积分的发明。
总结：通过对牛顿发明微积分的故事的讲述，我们可以看到牛顿的天才和创造力。
微积分牛顿
微积分牛顿
嘿，朋友们！今天咱来聊聊微积分牛顿这档子事儿。
你说这牛顿啊，那可真是个超级厉害的人物！就好像武侠小说里的绝世高手一样，一出手就震惊江湖。
微积分就像是他手中的宝剑，那威力可别提了。
咱平常生活中也有类似微积分的东西呢。
比如说，你吃包子，一口咬下去，那就是一个瞬间的变化，这多像微积分里的微小增量啊！牛顿可不就是那个发现了怎么去研究这些微小变化背后规律的人嘛。
想想看，要是没有牛顿和他的微积分，那我们的世界会变成啥样？很多科学研究恐怕都没法进行下去啦。
就好像没有了指南针，在大海上航行就容易迷失方向一样。
牛顿研究微积分可不是一蹴而就的，那得花费多少心血啊！这就好比爬山，要一步一步地往上爬，遇到困难也不能退缩。
他就这么坚持着，不断探索，最终才让微积分展现在世人面前。
你再想想，我们现在用的好多高科技产品，背后不都有微积分的功劳吗？从手机到电脑，从汽车到飞机，哪一个离得开微积分的支撑？这就好像盖房子，微积分就是那坚固的基石呀。
而且啊，牛顿的发现可不仅仅影响了科学领域，对我们的思维方式也是一种巨大的冲击呢。
他让我们知道，原来世界上还有这么奇妙的东西等待我们去发现。
咱平常遇到问题的时候，是不是也可以学学牛顿，多思考思考，从那些微小的地方入手，说不定就能找到解决问题的办法呢。
总之，微积分牛顿那可真是太重要啦！他们就像是夜空中最亮的星，照亮了我们前进的道路。
我们可得好好珍惜他们的成果，继续在科学的道路上奋勇前进呀！这可不是开玩笑的，要是我们不努力，怎么对得起牛顿他们的付出呢？所以呀，大家都加油吧！让我们一起在微积分牛顿的指引下，创造更美好的未来！。
牛顿和莱布尼茨微积分的异同
牛顿和莱布尼茨微积分的异同
牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的共同创始人，他们分别独立地发展了微积分的基本原理和方法。
尽管两位学者在这个领域的贡献是不可否认的，但他们的方法和记法存在一些异同之处。
首先，牛顿的微积分方法被称为'流数法'（fluxions），他将物体的
运动描述为变化的量，并引入了“导数”的概念。
牛顿的方法强调对变化率的研究，他使用了微分符号（dy/dx）来表示变化率。
而莱布
尼茨则使用了“微分”的概念，并用dx和dy表示微小的变化量。
他的方法更加注重对微小量之间的关系进行研究。
其次，牛顿和莱布尼茨对于积分的处理方法也存在差异。
牛顿使用了“不定积分”的概念，他将积分看作是导数的逆运算。
他使用了积分符号（∫）来表示积分操作。
莱布尼茨则引入了“定积分”的概念，他将积分看作是一个区间上的求和过程。
莱布尼茨使用了积分符号（∫）和上下限来表示积分操作。
此外，牛顿和莱布尼茨的微积分方法在实际应用中也有一些差异。
牛顿的方法更加适用于物理学领域的研究，特别是在描述物体运动和力学问题时。
而莱布尼茨的方法更加适用于几何学和工程学领域的研究，特别是在解决曲线和曲面的问题时。
总的来说，牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献是互补的。
牛顿注重于变化率和动力学，而莱布尼茨注重于微小量和几何学。
两位学者的方法和记法虽然存在一些差异，但在微积分的发展中都起到了重要作用。
他们的成就不仅对数学领域有着深远的影响，也为其他科学领域的研究提供了重要的工具和方法。
牛顿微积分
第二节牛顿的微积分一、牛顿传略1643年1月4日牛顿生于英国林肯郡的沃尔索普(Woo l sthorpe)村，父亲是一个农民，在牛顿出生前就死了．虽然母亲也希望他务农，但幼年的牛顿却在做机械模型和实验上显示了他的爱好和才能．例如，他做了一个玩具式的以老鼠为动力的磨和一架靠水推动的木钟．14岁时，由于生活所迫，牛顿停学务农，以后在舅父的帮助下又入学读书．1661年，不满19岁的牛顿考入剑桥大学的三一学院．1665年初，他在毕业前夕发现了二项式定理，同年获文学学士学位，并当了研究生．但不久便由于在伦敦流行鼠疫，剑桥大学关闭，牛顿只好回农村居住．在沃尔索普村的18个月里，牛顿发明了微积分，提出了万有引力定律，还研究了光的性质．牛顿一生的重大成就大都发韧于这期间．后来，他在追忆这段峥嵘的青春岁月时说：“当年我正值发明创造能力最强的年华，比以后任何时期更专心致志于数学和哲学(科学)．”我们特别注意到，他于1666年10月写成的《流数后人加的)是世界上第一篇微积分论文，它标志着这一学科的诞生．虽然论文直到本世纪才公开发表，但当时有抄本流传，牛顿的不少朋友和同事都看到过．1667年，瘟疫过去，牛顿又回到剑桥大学．第二年，他制成世界上第一架反射望远镜．由于他在科学上的出色成就，他的老师巴罗认为他的学识已超过自己，便于1669年10月主动把数学教授的职位让给他，于是牛顿开始了他三十年的大学教授生活．他在1669年写成《运用无穷多项方程的分析学》(De Ana l ysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，1711年发表)，又于1671年写成《流数法和无穷级数(De Me－thodis Serierum et F l uxionum，1736年发表)．这两篇论文同《流数简论》一起，奠定了微积分的理论基础．1672年，他当选为皇家学会会员，并第一次发表论文，内容是关于白色光的组成，引起广泛的兴趣和讨论．1675年，他将关于光的粒子说的论文送交皇家学会．1685年，他开始撰写《自然哲学的数学原理》(Phi l osophiaeNatura l is Principia Mathematiˉca)．1687年，这部伟大著作刚刚写完，便由哈雷(E．Ha ll ey，1656—1742)出资发表，立即对整个欧洲产生了巨大影响．著名的牛顿力学三定律、万有引力定律及牛顿的微积分成果都载于此书．它成为科学史上的一个里程碑．1689年，牛顿代表剑桥大学进入议会．不久，牛顿的母亲病重，他彻夜不眠地守着她，但并没有能挽留母亲的生命．由于长简论》(The October 1666 Tract on F l uxions，题目是期的紧张工作及母亲病逝的精神打击，牛顿得了精神衰竭症，大约一年后才复原．1693年，牛顿写成他的最后一部微积分专著《曲线求积术》(De Ouadratura Curvarum)．1696年，牛顿被任命为造币厂督办，三年后当了厂长．从1665年到1696年，牛顿纯粹是一个科学家，为科学事业做出了许多卓越贡献．这以后的三十一年中，他一方面在官场服务，另一方面作为英国科学界的领袖而发挥作用．1703年，牛顿开始担任皇家学会会长，1704年发表了他的名著《光学》(Op－ticks，《曲线求积术》作为《光学》的附录同时发表，获得巨大成功．1705年被女皇封为爵士，得到了一生的最高荣誉．但他的研究重心却逐渐由科学转移到神学，晚年写了大量关于神学的文字．1727年3月31日，牛顿病逝于英国的肯辛顿．纵观牛顿的一生，他在科学上的最重要成就有三个：发明微积分、建立经典力学体系、提出光的性质的理论．其中任何一项成就都足以使他列入世界上的大科学家行列．但牛顿并不认为自己发现了真理的海洋，他在逝世前不久给朋友写的信中说：“我不知道世人怎样看待我；但我自己觉得，我不过像在一个海滨玩耍的小孩，为时而拾到一片比寻常更为莹洁的卵石，时而拾到一片更为美丽的贝壳而雀跃欢欣，而对于我面前的真理的海洋，却茫然无知．”二、《流数简论》《流数简论》表明，牛顿微积分的来源是运动学．1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键．牛顿把曲线f(x，y)＝0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f(x，y)＝0的切线斜率所以牛顿便在后来称它们为流数，实际上就是x和y对t的导数：而它们的比就是y对x的导数布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便．牛顿考虑的第一个问题是：给定x和y的关系f(x，y)＝0，求的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度(流数)之间的关系．若用子表示，则为它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法则．实际上，这个式子牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明(1)式的．他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y＋yo代替f(x，y)＝0中的x和y，于是有按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的项，得除以o后便得到(1)式．作为一个实例，可把y＝x n写成f(x，y)＝y－x n的形式，由(1)式推出的代数式)．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：其中A表示曲线y=f(x)下的面积．从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：设y表示曲线f(x)下的面积abc(图11．13)，并把它看作垂平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和bc，”显然，be＝1而bc=f(x)．因此，牛顿认为面积y随时间的变化率是这显然等价于(2)式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程，即把y看作f(x)的积分(不定积分)．牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法，它变量z＝1＋x n，其流数比为这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的著作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商的微分法则．设y=u(x)·v(x)，则由计算流数之比的基本法则得到至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出．由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的．三、《运用无穷多项方程的分析学》(下简称《分析学》)在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为z＝ax m，其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示．由曲线、x轴、y轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示(图11．14)，其中oy是面积的瞬，于是有z+oy＝a(x＋o)m．根据二项式定理考虑到z＝ax m，并用o去除等式两边，得略去仍然含o的项，得xy=max m-1．这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式，或者说是面积z在点的变化率线为y=max m-1；反之，若曲线是y＝max m-1，则它下面的面积是z=ax m．在这里，牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法，而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用现代符号表出)(ax m)′＝max m-1；在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：∫[f1(x)+f2(x)＋…+f n(x)]dx=∫f1(x)dx＋∫f2(x)dx+…+∫f n(x)dx．他对如下的积分性质也有明确认识：∫af(x)dx ＝a∫f(x)dx．他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题．在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如然后对这个无穷级数逐项积分，得他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了．y＝1-x2＋x4－x6＋x8－ (1)y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋ (2)他说，当x很小时，应该用(1)式，若x较大就必须用(2)式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．同《流数简论》相比，《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和，这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的面积即定积分，牛顿提出如下方法：先求出原函数，再将上下限分别代入原函数而取其差．这就是著名的牛顿—莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号，该公式可表述为：若F(x)是f(x)在区间[a，b]中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题，所以它是十分重要的．《分析学》中还有其他一些出色的成果，例如，书中给出求高次方程近似根的方法(即牛顿法)，导出正弦级数及余弦级数，等等．到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法．不过他在概念上仍有不清楚的地方．第一，他的无穷小增量o是不是0？牛顿认为不是．既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？牛顿没有给出合乎逻辑的论证．第二，牛顿虽然提出变化率的概念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象成“流动的”速度．牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念，他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”牛顿的态度是实事求是的．四、《流数法和无穷级数》(下简称《流数法》)这是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿在数学方面的代表作．在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论．从书中可以看出，牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段．他把随时间变化的量，即以时间为自变量的函数称为流量，以字母表的后几个字母v，x，y，z来表示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表保留，并且仍用o表示．他在书中明确表述了他的流数法的理论依据，说：“流数法赖以建立的主要原理，乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的．”又说：“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以(至少在理论上说)使之连续减小，直至……比任何一个指定的量都小．”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题．第一类：已知流量的关系求它们的流数之比，即已知y＝f(x)或例如书中的问题1：如果流量x和y之间的关系是x3－ax2+axy－y3=0，求它们的流数之比．程中的x和y，得展开后利用x3－ax2＋axy－y3＝0这一事实再把余下的项除以o，得至此牛顿说：“我们已假定o是无限微小，它可以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有．因此我把它们丢掉，而剩下从表面看，这种方法与《流数简论》中的方法一致．所不同的是，数．《简论》中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义．例如，假定y=x n，牛顿首先建立然后用二项式定理展开右边，消去y＝x n，用o除两边，略去仍含o 的项，结果得当然，在对具体函数微分时，不必采用无穷小而可直接代入公式．第二类：已知一个含流数的方程，求流量，即积分．(x)，则数简论》中，牛顿在具体积分中已经采用了这种方法，只是到这时才明确总结出公式．从《简论》及《流数法》两书来看，他推导此式的思路大致如下：由(2)，(3)得由微积分基本定理，得牛顿在书中还推出分部积分公式，即∫uv′dx=uv-∫vu′dx．其中u和v都是x的函数．若求∫uv′dx有困难而求∫vu′dx 比较容易时，就可利用分部积分公式求积分．牛顿总结了他的积分研究成果，列成两个积分表，一个是“与直线图形有关的曲线一览表”，另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”．这两个表为积分工作提供了许多方便．至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法，他当时统称为流数法．他充分认识到这种方法的意义，说流数法(即微积分)是一种“普遍方法”，它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题．”《流数法》一书便充分体现了微积分的用途，下面略举几例．例1，在“问题3——极大值和极小值的确定”中，牛顿给出了通过解方程f′(x)＝0来求f(x)极值的方法．他写道：“当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明它的流数还是较小的，并且即将变大；反之，如果减少，则情况恰好相反．所以求出它的流数，并且令这个流数等于0．”他用这种方法解出了九个问题．其中之一是求方程x3－ax2＋axy－y3=0中x的最大值．他先求出x和y的流数之比，得即 3y2＝ax．把上式代入原方程后，就很容易求得相应的x值和y值了．例2，已知曲线方程为x3－ax2＋axy y3＝0，AB和BD分别为曲线上D 点的横、纵坐标，求作过D点的切线(图11．15)．牛顿先求得流数之间的关系由此得出因BD＝y，所以牛顿说：“给定D点后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的长度也就给定，由此可确定切线TD．”例3，在“问题12——曲线长度的确定”中，牛顿采用流数法计算弧长．设QR是给定曲线，RN⊥MN，牛顿分别记MN＝s．NR＝t，QR＝v(图11．16)，它们的流数分别为s，t，v，然后“想象直线NR向右移动到最接近的可能位置nr，由R向nr引垂线RS，则MN，NR和QR分别增加RS，Sr和Rr．”牛顿说：“因为RS，Sr和Rr相互之比是这些线段的流数之间的若换成现在通用的坐标x，y和弧长s，则牛顿的结果为只要对t积分，就可求出弧长s了．综上所述，《流数法》不仅在基本思想上比《分析学》有了发展，而且提供了更加有效的计算方法．但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小，因而同《分析学》一样出现逻辑困难．他尝试建立没有无穷小的微积分，于是有《曲线求积术》(下简称《求积术》)之作．五、牛顿的极限理论牛顿的四部微积分专著中，《曲线求积术》是最后写成(1693)但最早出版(1704)的一部．在书中，导数概念已被引出，而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数．牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了，他算出许多复杂图形的面积．阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)称赞说，该书“论述的有理函数积分法，几乎不亚于目前的水平．”值得注意的是，在《求积术》中，牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分．他在序言中明确指出：“数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．直线不是一部分一部分的连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的流动生成的．”在这种思想指导下，他放弃了无穷小的概念，代之以最初比和最后比的新概念．为了求函数y=x n的导数，牛顿让x“由流动”而成为x＋o，于是x n变为的最后比等于1比nx n-1．所以量x的流数与量x n的流数之比等于1比nx n-1．”牛顿认为这个比即增量的最初比，可见最初比与最后比的实质是一样的，都表示y关于x的导数，或者说是y对于x的变化率．用现在的符号可写成y′=nx n-1．牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释：如图11．17，假定bc移向BC，使得c和C重合，那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于△CET的各边之比，即把这些增量看作初生量的最初比．”他说，“只有点C与c 完全重合了，直线CK才会与切线(CH)重合，而CE、Ec、Cc的最后比才能求出．”显然，他是把切线CH当作割线CK的极限位置．实际上，早在《自然哲学的数学原理》(下简称《原理》)一书中，牛顿就表述了明确的极限思想．他说：“消失量的最后比严格地说并不是最后量的比，而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限．它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小，但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它．”在这部最早发表的包含微积分成果的书(当然不是最早写成的)中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念．例如，他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合．牛顿指出，当这些平行四边形(相当于今天讲定积分几何意义时的长条矩形)的最大宽度无限减小时，就成为“消失的平行四边形”，而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了．牛顿在《原理》中阐发的极限思想，成为他撰写《求积术》的理论基础．当然，他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义．。
牛顿散步的故事微积分
牛顿散步的故事微积分
牛顿，这位伟大的科学家，不仅在物理学、数学等领域取得了卓越成就，还留下了许多充满智慧的故事。
本文将为您讲述一个关于牛顿散步时发现微积分的故事。
有一天，牛顿在剑桥大学的校园里散步。
当时，阳光明媚，和风轻拂，牛顿沉浸在这美好的自然景色中。
突然，他注意到一个苹果从树上掉落，正好落在了他的脚边。
牛顿不禁陷入了思考：为什么苹果总是垂直地掉落，而不是沿着其他方向呢？
牛顿联想到，地球上的任何物体似乎都受到一种神秘的力量，使得它们朝向地心方向运动。
这种力量就是后来被称为“重力”的概念。
牛顿开始思考，如果能够测量和计算这种力量，那么人们就能预测物体运动的轨迹。
在进一步的研究中，牛顿发现了一种数学工具，可以用来描述和计算物体的运动。
这就是微积分。
通过微积分，牛顿成功地建立了经典力学的体系，揭示了物体运动的规律。
具体来说，微积分主要由两个部分组成：微分和积分。
微分用于研究物体在某一瞬间的变化率，而积分则用于研究物体在一段时间内的累积变化。
牛顿利用微积分，证明了重力是导致物体运动的根本原因，并推导出了著名的万有引力定律。
这个故事告诉我们，牛顿在散步时偶然发现微积分的过程，其实是他长期深入思考、探索自然规律的结果。
微积分的发现，不仅为物理学的发展奠定了基础，还对整个科学领域产生了深远的影响。
如今，微积分已成为现代科学技术不可或缺的数学工具。
从航天飞行、建筑设计，到经济学、生物学等领域，微积分都在发挥着重要作用。
牛顿莱布尼茨微积分
牛顿-莱布尼茨微积分定理，也称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
具体来说，这个定理的内容是：一个连续函数在区间[ a, b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a, b ]上的增量。
这个定理是微积分学的基础，它的证明涉及到的关键概念包括差分、原函数、不定积分等。
首先，对于给定的一个数列u=(u_n )，如果可以找到另一个数列v=(v_n )，使得u_n=v_(n+1)-v_n，那么就有∑_(n=a)^b u_n=v_(b+1)-v_a，其中a,b∈N 且a<b。
这个定理被称为差和分基本定理。
然后，考虑面积函数y=F(x),x∈[a,b]。
作[a,b] 的有限分割：a=x_1<x_2<⋯<x_n<x_(n+1)=b, 由差和分基本定理知：ΔF(x)=F(x_2)-F(x_1)ΔF(x)=F(x_3)-F(x_2)⋯ΔF(x)=F(x_{n+1})-F(x_n)=f(x)dx.因此，函数F(x) 在[ a, b ] 上的增量等于它的原函数f(x) 在区间[ a, b ] 上的定积分。
这就是牛顿-莱布尼茨微积分定理的详细内容。
这个定理是微积分学的基础，它揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系，为微积分的进一步发展提供了重要的理论基础。
牛顿迭代法在微积分中的应用
牛顿迭代法在微积分中的应用牛顿迭代法是一种求解实函数零点的迭代方法，其基本思想是：假设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有一个零点，可以使用其斜率和函数值得到近似值并不断迭代，直到满足所需精度。
牛顿迭代法能够在多种数值分析和微积分应用中发挥重要作用，下面将介绍其在微积分中的应用。
一、解方程在微积分中，牛顿迭代法在求函数的零点时经常用到。
以求解函数 $f(x)$ 的零点为例，迭代公式如下：$$ x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$其中 $f'(x_n)$ 是 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的导数。
牛顿迭代法得到的 $x_{n+1}$ 是 $f(x)$ 的一个根的近似值，并且随着迭代次数的增加，近似值的精度逐渐提高，最终的解可能非常接近实际的根。
二、求解极值在微积分中，牛顿迭代法在求解极值时也经常用到。
以求解函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的最小值为例，迭代公式如下：$$ x_{n+1}=x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} $$其中 $f''(x_n)$ 是 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的二阶导数。
通过不断迭代，得到的 $x_n$ 就是函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的最小值。
三、求解微分方程初值问题在微积分中，牛顿迭代法在求解微分方程初值问题时也经常用到。
以一阶线性微分方程为例，其形式为：$$ \frac{dy}{dx}=f(x,y) $$其中 $f(x,y)$ 是已知的函数，$y(x_0)=y_0$ 是初始条件。
牛顿迭代法可以通过不断迭代得到 $y_1,y_2,...,y_n$，最终得到$y(x_0+h)$ 的近似值。
迭代公式如下：$$ y_{n+1}=y_n+h\:f(x_n,y_n)+\frac{h^2}{2}\:f'(x_n,y_n) $$其中 $h$ 是步长，$f'(x_n,y_n)=\frac{\partial f}{\partialx}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}$ 是 $f(x,y)$ 的一阶偏导数。
牛顿与微积分的故事
牛顿与微积分的故事摘要：一、牛顿与微积分的背景知识二、牛顿与微积分的发展关系三、牛顿在微积分发展中的重要贡献四、微积分在现代科学中的应用五、总结与启示正文：自从牛顿和莱布尼茨时代以来，微积分已经成为现代科学的重要基础。
本文将探讨牛顿与微积分的故事，分析牛顿在微积分发展中的关键作用，以及微积分在现代科学中的应用。
一、牛顿与微积分的背景知识牛顿（1643-1727）是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，他对科学的贡献堪称伟大。
微积分则是一种数学工具，用于研究函数的极限、连续性、微分、积分等概念。
牛顿和莱布尼茨几乎同时独立地发展出了微积分理论。
二、牛顿与微积分的发展关系牛顿在微积分发展中的地位是不可替代的。
他对微积分的创立、发展和应用都作出了巨大贡献。
牛顿运用微积分研究物体运动规律，提出了著名的牛顿三大定律，为经典力学奠定了基础。
同时，他还利用微积分解决了许多光学问题，例如计算反射光线和折射光线的路径。
三、牛顿在微积分发展中的重要贡献1.牛顿-莱布尼茨公式：牛顿和莱布尼茨在微积分发展初期，共同发现了微积分的基本公式，即牛顿-莱布尼茨公式。
这一公式将积分和微分紧密联系在一起，为微积分的发展奠定了基础。
2.牛顿级数：牛顿在数学领域的研究也取得了丰硕成果。
他发现了著名的牛顿级数，即幂级数展开式。
这一级数在数学分析和数值计算等领域具有广泛应用。
3.牛顿在微积分中的应用：牛顿将微积分应用于物理和天文学研究，揭示了许多自然现象的规律。
例如，他利用微积分研究地球的引力，提出了万有引力定律。
这一定律成为了现代天文学和力学的基础。
四、微积分在现代科学中的应用随着科学技术的不断发展，微积分已经成为现代科学的重要基础。
它在各个领域都有着广泛应用，如物理、化学、生物学、经济学等。
微积分可以帮助科学家更好地理解复杂现象，为解决实际问题提供理论依据。
五、总结与启示牛顿与微积分的故事展示了科学发展的内在联系。
牛顿的杰出成就离不开微积分的支持，而微积分的发展也受益于牛顿等人的开创性工作。
牛顿的微积分
第二节牛顿的微积分一流数简论流数简论表明,牛顿微积分的来源是运动学．1666年,他在坐标系中通过速度分量来研究切线,既促使了流数法的产生,又提供了它的几何应用的关键．牛顿把曲线fx,y＝0看作动点的轨迹,动点的坐标x,y是时间的函数,而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线,所以曲线fx,y＝0的切线斜率所以牛顿便在后来称它们为流数,实际上就是x和y对t的导数：而它们的比就是y对x的导数布尼茨发明的,我们这里采用它们是为了叙述方便．牛顿考虑的第一个问题是：给定x和y的关系fx,y＝0,求的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度流数之间的关系．若用子表示,则为它是牛顿用来计算流数之比即求导的基本法则．实际上,这个式子牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明1式的．他认为,作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同,“因此,如果到某一时刻,它们已描绘的线段为x和y,那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y ＋yo代替fx,y＝0中的x和y,于是有按二项式展开并略去o的二次以上含二次的项,得除以o后便得到1式．作为一个实例,可把y＝x n写成fx,y＝y－x n的形式,由1式推出的代数式．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现,即：其中A表示曲线y=fx下的面积．从流数简论可以看出,他是用如下方法推导这一重要定理的：设y表示曲线fx下的面积abc图11．13,并把它看作垂平行移动,描绘出面积x和y,它们随时间而增加的速度是be和bc,”显然,be＝1而bc=fx．因此,牛顿认为面积y随时间的变化率是这显然等价于2式,就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程,即把y看作fx的积分不定积分．牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝在解决了基本的微积分问题后,牛顿又进一步提出变量代换法,它变量z＝1＋x n,其流数比为这便是我们熟知的幂函数微分公式,它的现代形式为类似地,牛顿在积分中也采用了代换法,并在稍后的着作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．流数简论中,牛顿还导出函数的积和商的微分法则．设y=ux·vx,则由计算流数之比的基本法则得到至于函数和的微分,牛顿认为是显然的,没有作为公式列出．由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念,明确提出一般性的微积分算法,特别是提出微积分基本定理,所以说他“发明”了微积分．不过,他当时只是观察到这一重要定理,至于定理的证明则是在他的第二本微积分着作中才出现的．二、运用无穷多项方程的分析学下简称分析学在这本书中,牛顿假定曲线下的面积为z＝ax m,其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬,用o表示．由曲线、x轴、y轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示图11．14,其中oy是面积的瞬,于是有z+oy＝ax＋o m．根据二项式定理考虑到z＝ax m,并用o去除等式两边,得略去仍然含o的项,得xy=max m-1．这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式,或者说是面积z在点的变化率线为y=max m-1；反之,若曲线是y＝max m-1,则它下面的面积是z=ax m．在这里,牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法,而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说,他实际上给出了两个基本的求导和积分公式用现代符号表出ax m′＝max m-1；在证明了面积的导数是y值,并断言逆过程是正确的以后,牛顿给出下面的法则：若y值是若干项的和,则面积是由每一项得到的面积的和,用现在的话来说,就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：∫f1x+f2x＋…+f n xdx=∫f1xdx＋∫f2xdx+…+∫f n xdx．他对如下的积分性质也有明确认识：∫afxdx ＝a∫fxdx．他利用上述知识得到各种曲线下的面积,解决了许多能表成和式的问题．在此基础上,牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如然后对这个无穷级数逐项积分,得他说,只要b是x的倍数,取最初几项就可以了．y＝1-x2＋x4－x6＋x8－ (1)y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋ (2)他说,当x很小时,应该用1式,若x较大就必须用2式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别,不过还没有提出收敛的概念．同流数简论相比,分析学的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和,这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的面积即定积分,牛顿提出如下方法：先求出原函数,再将上下限分别代入原函数而取其差．这就是着名的牛顿—莱布尼茨公式,是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号,该公式可表述为：若Fx是fx在区间a,b中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题,所以它是十分重要的．分析学中还有其他一些出色的成果,例如,书中给出求高次方程近似根的方法即牛顿法,导出正弦级数及余弦级数,等等．到此为止,牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法．不过他在概念上仍有不清楚的地方．第一,他的无穷小增量o是不是0牛顿认为不是．既然这样,运算中为什么可以略去含o的项呢牛顿没有给出合乎逻辑的论证．第二,牛顿虽然提出变化率的概念,但没有提出一个普遍适用的定义,只是把它想象成“流动的”速度．牛顿自己也认为,他的工作主要是建立有效的计算方法,而不是澄清概念,他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”牛顿的态度是实事求是的．三、流数法和无穷级数下简称流数法这是一部内容广泛的微积分专着,是牛顿在数学方面的代表作．在前两部书的基础上,牛顿提出了更加完整的理论．从书中可以看出,牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段．他把随时间变化的量,即以时间为自变量的函数称为流量,以字母表的后几个字母v,x,y,z来表示；把流量的变化速度,即变化率称为流数,以表保留,并且仍用o表示．他在书中明确表述了他的流数法的理论依据,说：“流数法赖以建立的主要原理,乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理,这就是：数学量,特别是外延量,都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量,都可以认为是在同样方式下产生的．”又说：“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的,这就是假定一个量可以无限分割,或者可以至少在理论上说使之连续减小,直至……比任何一个指定的量都小．”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的,他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题．第一类：已知流量的关系求它们的流数之比,即已知y＝fx或例如书中的问题1：如果流量x和y之间的关系是x3－ax2+axy－y3=0,求它们的流数之比．程中的x和y,得展开后利用x3－ax2＋axy－y3＝0这一事实再把余下的项除以o,得至此牛顿说：“我们已假定o是无限微小,它可以代表流动量的瞬,所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有．因此我把它们丢掉,而剩下从表面看,这种方法与流数简论中的方法一致．所不同的是,数．简论中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义．例如,假定y=x n,牛顿首先建立然后用二项式定理展开右边,消去y＝x n,用o除两边,略去仍含o的项,结果得当然,在对具体函数微分时,不必采用无穷小而可直接代入公式．第二类：已知一个含流数的方程,求流量,即积分．x,则数简论中,牛顿在具体积分中已经采用了这种方法,只是到这时才明确总结出公式．从简论及流数法两书来看,他推导此式的思路大致如下：由2,3得由微积分基本定理,得牛顿在书中还推出分部积分公式,即∫uv′dx=uv-∫vu′dx．其中u和v都是x的函数．若求∫uv′dx有困难而求∫vu′dx 比较容易时,就可利用分部积分公式求积分．牛顿总结了他的积分研究成果,列成两个积分表,一个是“与直线图形有关的曲线一览表”,另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”．这两个表为积分工作提供了许多方便．至此,牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法,他当时统称为流数法．他充分认识到这种方法的意义,说流数法即微积分是一种“普遍方法”,它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题．”流数法一书便充分体现了微积分的用途,下面略举几例．例1,在“问题3——极大值和极小值的确定”中,牛顿给出了通过解方程f′x＝0来求fx极值的方法．他写道：“当一个量取极大值或极小值时,它的流数既不增加也不减少,因为如果增加,就说明它的流数还是较小的,并且即将变大；反之,如果减少,则情况恰好相反．所以求出它的流数,并且令这个流数等于0．”他用这种方法解出了九个问题．其中之一是求方程x3－ax2＋axy－y3=0中x的最大值．他先求出x和y的流数之比,得即 3y2＝ax．把上式代入原方程后,就很容易求得相应的x值和y值了．例2,已知曲线方程为x3－ax2＋axy y3＝0,AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标,求作过D点的切线图11．15．牛顿先求得流数之间的关系由此得出因BD＝y,所以牛顿说：“给定D点后,便可得出DB和AB,即y和x,BT的长度也就给定,由此可确定切线TD．”例3,在“问题12——曲线长度的确定”中,牛顿采用流数法计算弧长．设QR是给定曲线,RN⊥MN,牛顿分别记MN＝s．NR＝t,QR＝v图11．16,它们的流数分别为s,t,v,然后“想象直线NR向右移动到最接近的可能位置nr,由R向nr引垂线RS,则MN,NR和QR分别增加RS,Sr和Rr．”牛顿说：“因为RS,Sr和Rr 相互之比是这些线段的流数之间的若换成现在通用的坐标x,y和弧长s,则牛顿的结果为只要对t积分,就可求出弧长s了．综上所述,流数法不仅在基本思想上比分析学有了发展,而且提供了更加有效的计算方法．但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小,因而同分析学一样出现逻辑困难．他尝试建立没有无穷小的微积分,于是有曲线求积术下简称求积术之作．四、牛顿的极限理论牛顿的四部微积分专着中,曲线求积术是最后写成1693但最早出版1704的一部．在书中,导数概念已被引出,而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数．牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了,他算出许多复杂图形的面积．阿达玛J．Hadamard,1865—1963称赞说,该书“论述的有理函数积分法,几乎不亚于目前的水平．”值得注意的是,在求积术中,牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分．他在序言中明确指出：“数学的量并不是由非常小的部分组成的,而是用连续的运动来描述的．直线不是一部分一部分的连接,而是由点的连续运动画出的,因而是这样生成的；面是由线的运动,体是由面的运动,角是由边的旋转,时间段落是由连续的流动生成的．”在这种思想指导下,他放弃了无穷小的概念,代之以最初比和最后比的新概念．为了求函数y=x n的导数,牛顿让x“由流动”而成为x＋o,于是x n变为的最后比等于1比nx n-1．所以量x的流数与量x n的流数之比等于1比nx n-1．”牛顿认为这个比即增量的最初比,可见最初比与最后比的实质是一样的,都表示y关于x的导数,或者说是y对于x的变化率．用现在的符号可写成y′=nx n-1．牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释：如图11．17,假定bc移向BC,使得c和C重合,那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于△CET的各边之比,即把这些增量看作初生量的最初比．”他说,“只有点C与c 完全重合了,直线CK才会与切线CH重合,而CE、Ec、Cc的最后比才能求出．”显然,他是把切线CH当作割线CK的极限位置．实际上,早在自然哲学的数学原理下简称原理一书中,牛顿就表述了明确的极限思想．他说：“消失量的最后比严格地说并不是最后量的比,而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限．它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小,但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它．”在这部最早发表的包含微积分成果的书当然不是最早写成的中,牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上,他用极限观点解释了微积分中的许多概念．例如,他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合．牛顿指出,当这些平行四边形相当于今天讲定积分几何意义时的长条矩形的最大宽度无限减小时,就成为“消失的平行四边形”,而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了．牛顿在原理中阐发的极限思想,成为他撰写求积术的理论基础．当然,他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义．。
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17世纪以来，随着生产实践的深入和对自然现象的深刻 认识，对数学提出了大量的问题，主要集中在： （1）由距离和时间的关系，求物体在任意时刻的瞬时 速度和加速度； （2）确定运动物体在其轨道上任一点的运动方向，以 及研究光线通过透镜而提出的切线问题； （3）求函数的最大值和最小值（极值问题）； （4）求曲线的长度、曲线围成的面积、体积，物体的 重心等等。
（4）开普勒与旋转体积
开普勒第二定律：行星与太阳之间的半径 在相等的时间里扫过的面积相等。他将椭 圆分割成许多小三角形相加，进而利用积 分的方法粗略地求出椭圆的面积。
《求酒桶体积之新法》
(Nova stereometria doliorum vinariorum,Linz,1615) 注意：封面标题中“stereometriae Archimedeae Supplementum”
PM PR = TM QR
y a = t e
a Q e R P
巴罗的方法实质上是把切线看 做是a和e趋于零时割线PQ的极 限位置。 O T
N M
这时，微积分的诞生正处于一个突破口，需要的任务是： （1）澄清概念:比如何为“变化率”?何为“瞬时速度”？ （2）提炼方法:建立具有普遍意义的一般方法； （3）改变形式:将几何形式变为解析形式，从而摆脱对具体问题的依赖； （4）建立微分与积分的联系：这是最重要、也是最关键的。
x 0
x0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
对任意的x
0都存在，则称极限为f (x)在点x=x0处的导数，记作
f'
( x0 )
即为求导的过程
积分
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 （1）分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间:
设旋转体是由连续曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b),及x轴所围成的曲边 梯形绕x轴旋转而成，求其体积v。 在区间[a,b]上点x处垂直x轴的截面积为
A( x) = f 2 ( x)
在x的变化区间[a,b]内积分，得旋转体体积为
V = f 2 ( x)dx
a
b
y
O
A(x) a
b
m
将右边运用二项式定理展开，与原式相减，用ο除方程的两边，略去仍然含有 ο的项，得到
y = max
m1
（2）求瞬时速度
伽利略早已提出了物体下落的距离与时间b x) ( x e)[b ( x e: )] 引入“虚拟等式”
展开得 ： bx x 2 bx be x2 2 xe e 2 消去相同的项，余项除以e,得： 2x+e≈b 舍弃含e的项，得真正等式: x=b/2
（7）巴罗的“微分三角形”（运用几何的方法）
（6）费马求极值的“虚拟等式法”
1637年，费马在一份名为《求最大值和最小值的方法》的手稿中，使 用“虚拟等式法”。比如一个传统的问题：把定长的线段b分成两段x 和 b-x.何时乘积 x (b-x) 为最大？ 费马的方法是：以x+e 代替x ，即 x+e≈x ，因为
( x e)[b ( x e)] = b( x e) ( x e) 2 = bx be x 2 2xe e2
第十五章 领悟飞逝的瞬间：微积分
一、微积分的定义 二、微积分的先驱 三、牛顿和莱布尼茨的微积分 四、微积分面临的困境
一、微积分的定义
微积分是微分和积分的总称，它是一种数学思想，“无限细分”就是微 分（求瞬时速度、曲线的切线），“无限求和”就是积分（求曲边三角 形的面积、体积等），两者是互逆的。
若f (x)在[a, b]上连续， 是[a, b]内一点，若极限
n
S f (xi )x
i =1
（4）逼近:所求曲边梯形的面积S为
x 0, ( n )
f (x )x S
i =1 i
n
O
a
x
b
x
二、微积分的先驱
（1）欧多克斯（公元前408—前355）的“穷竭法”（就是指某个图形 （如圆）被另一个图形（如内接多边形）所逐步“穷竭”，即填满） 在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量 变得任意小。
a, x1 , x1, x2 , xi1, xi ,, xn1, b,
ba = n
每个小区间宽度⊿x
（2）以直代曲:任取xi[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为x y 的小矩形面积f(xi)x近似地去代替。 （3）作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面 积S的近似值： y=f(x)
（2）阿基米德（公元前287-212） 在《圆的度量》中，用穷竭法求出了圆周长和面积公式，他从圆的内接 正三角形开始，变数逐步加倍，计算到正96边形时得到了圆周率的近似值为，还 证明了与球的表面积和体积相关的重要结果。
设圆面积为A，三角形的面积为T，证明A>T和A<T都不 可能，所以A=T。
（3）刘徽（约320年） 他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无 所失矣。” 刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周 率的精确到小数点后二位的近似值 3.14 ，化成分数为 157 ，这就是有名 50 的“徽率”。
x
（5）卡瓦列里 ：不可分量原理
如果两个平面图形夹在同一对平行线之间，并且被任何与这两条平行线 保持等距的直线截得的线段都相等，则这两个图形的面积相等。类似的， 如果两个立体图形处于一对平行平面之间，并且被任何与这两个平行平 面保持等距的平面截得的面积都相等，则这两个立体的体积相等。
“缘幂势即同，则积不容异”---祖暅原 理
三、牛顿和莱布尼茨的微积分
（1）求曲线围成的面积
牛顿假定有一条曲线 y, 而且曲线下的面积为z （左图），已知有其中m是整数。他把x 的无 限小的增量叫做x 的瞬（moment）,并用ο表 示，由曲线、x轴、y轴和x+ο处的纵坐标围成 的面积，用z+οy表示，其中οy是面积的瞬， 那么，
z oy = a ( x o )