高一数学必修三必修五综合测试

一、选择题1．已知数列{an }中，a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an ，则a5=（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣32．在等差数列{an }中，若a2=2，a5=5，则数列{an}的通项公式为（）A．an =n B．an=2n C．an=n﹣1 D．an=2n﹣13．不等式x（1﹣3x）＞0的解集是（）A ．（﹣∞，）B．（﹣∞，0）∪（0，） C ．（，+∞）D．（0，）4．已知x，y 满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1D ．5．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB的值为（）A ．B ．C ．D ．6．已知a＜0，﹣1＜b＜0，那么（）A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞a ＞ab2D．ab＞ab2＞a7．等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200 D．2208．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1 B．3 C．6 D．99．若x，y∈R+，且2x+8y﹣xy=0，则x+y 的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．1810．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9=2a 52，a 2=2，则a 1=（ ） A ． B ．C ．D ．211．已知数列{a n } 的前n 项和S n =3n ﹣2，n∈N *，则（ ）A ．{a n }是递增的等比数列B ．{a n }是递增数列，但不是等比数列C ．{a n }是递减的等比数列D ．{a n }不是等比数列，也不单调 12．不等式x 2+2x ＜对任意a ，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A （﹣2，0）B （﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C （﹣4，2）D （﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） 二、填空题13．一个工厂有若干车间，今采用分层抽样方法从全厂某天生产的1024件产品中抽取一个容量为64的样本进行质量检查．若某车间这一天生产128件产品，则从该车间抽取的产品件数为 ． 14．S n 为等差数列a n 的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1则a 5= ． 15．设a ＞0，b ＞0，若a+b=4，则的最小值为 ．16．如图，在一个半径为3，圆心角为3的扇形内画一个内切圆，若向扇形内任投一点，则该点落在该内切圆内的概率是三、解答题17．三角形ABC 中，BC=7，AB=3，且．（Ⅰ）求AC ； （Ⅱ）求∠A． 18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1 = S n （n∈N *）．（1）求a 2，a 3，a 4的值； （2）求数列{a n }的通项公式．19．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．（1）根据频率分布直方图完成以上表格；（2）用组中值估计这10 000人月收入的平均值；（3）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作件来进行检测．（1）若6件产品中有一等品3件、二等品2件、次品1件．①抽检的2件产品全是一等品的概率是多少？②抽检的2件产品中恰有1件是二等品的概率是多少？（2）如果抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率不小于45，则6件产品中次品最多有多少件？一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，a n+2=a n+1﹣a n ，则a 5=（ ） A ．6B ．﹣6C ．3D ．﹣3【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系即可得出． 【解答】解：∵数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，a n+2=a n+1﹣a n ，∴a 3=a 2﹣a 1=3，同理可得：a 4=3﹣6=﹣3，a 5=﹣3﹣3=﹣6． 故选：B ．【点评】本题考查了递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．在等差数列{a n }中，若a 2=2，a 5=5，则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．a n =n B ．a n =2nC ．a n =n ﹣1D ．a n =2n ﹣1【考点】等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】设出等差数列的公差，由a 2=2，a 5=5列式求得公差，代入a n =a m +（n ﹣m ）d 得答案．【解答】解：在等差数列{a n }中，设公差为d ， 则a 5=a 2+3d ， ∵a 2=2，a 5=5， ∴5=2+3d，解得：d=1．∴a n =a 2+（n ﹣2）d=2+1×（n ﹣2）=n ． 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，在等差数列中，若给出任意一项a m ，则a n =a m +（n ﹣m ）d ，是基础题．3．不等式x （1﹣3x ）＞0的解集是（ ）A ．（﹣∞，）B．（﹣∞，0）∪（0，） C ．（，+∞）D．（0，）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式x（1﹣3x）＞0对应的方程以及二次函数的关系，即可写出该不等式的解集．【解答】解：不等式x（1﹣3x）＞0对应的方程x（1﹣3x）=0的两个实数根为0和，且对应二次函数y=x（1﹣3x）的图象开口向下，所以该不等式的解集为（0，）．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于基础题．4．已知x，y 满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB的值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】利用等比数列的性质，结合正弦定理可得b2=ac，再利用c=2a，可得，利用cosB=，可得结论．【解答】解：∵sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinAsinC，∴由正弦定理可得b2=ac，∵c=2a，∴，∴cosB===．故选B．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．6．已知a＜0，﹣1＜b＜0，那么（）A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞a ＞ab2D．ab＞ab2＞a【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据题意，先确定最大的数ab＞0，再确定最小的数a，从而得出正确的结论．【解答】解：∵a＜0，﹣1＜b＜0时，∴ab＞0，1＞b2＞0，∴0＞ab2＞a，∴ab＞ab2＞a．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质的应用问题，解题时应根据题意，确定每个数值的大小，也可以用特殊值法进行判断，是基础题．7．等差数列中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 18+a 19+a 20=78，则此数列前20项和等于（ ）A ．160B ．180C ．200D ．220 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题．【分析】先根据a 1+a 2+a 3=﹣24，a 18+a 19+a 20=78可得到a 1+a 20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案． 【解答】解：∵a 1+a 2+a 3=﹣24，a 18+a 19+a 20=78∴a 1+a 20+a 2+a 19+a 3+a 18=54=3（a 1+a 20） ∴a 1+a 20=18∴=180故选B【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式的应用．考查等差数列的性质． 8．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1， a 3，2a 2成等差数列，则=（ ） A ．1B ．3C ．6D ．9【考点】等差数列与等比数列的综合． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得．【解答】解：设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）由题意可得2×a3=3a 1+2a 2，即q 2﹣2q ﹣3=0，解得q=﹣1（舍去），或q=3，故==q 2=9．故选：D ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．9．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（ ）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣11【考点】等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由题意可得数列的公比q ，代入求和公式化简可得．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，（q≠0）由题意可得8a 2+a 5=8a 1q+a 1q 4=0，解得q=﹣2，故====﹣11 故选D【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题． 10．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9=2a 52，a 2=2，则a 1=（ ） A ． B ．C ．D ．2【考点】等比数列的通项公式． 【专题】计算题．【分析】设公比为q ＞0，由题意可得=2，a 1q=2，由此求得a 1的值．【解答】解：设公比为q ＞0，由题意可得=2，a 1q=2，解得 a 1==q ，故选C．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．11．已知数列{an } 的前n项和Sn=3n﹣2，n∈N*，则（）A．{an}是递增的等比数列B．{an}是递增数列，但不是等比数列C．{an}是递减的等比数列D．{an}不是等比数列，也不单调【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由数列的前n项和，分别求出a1及n≥2时的通项公式，经验证数列从第二项起构成首项是6，公比为3的等比数列，所以得到结论数列{an}是递增数列，但不是等比数列．【解答】解：由Sn=3n﹣2，当n=1时，．当n≥2时，=2?3n﹣1．n=1时上式不成立．所以．因为a1=1，a2=6，当n≥2时，．所以数列{an} 从第二项起构成首项是6，公比为3的等比数列．综上分析，数列{an}是递增数列，但不是等比数列．故选B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，对于给出了前n项和求通项的问题，一定要讨论n=1和n≥2两种情形，此题是基础题．12．不等式x2+2x ＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由已知，只需x2+2x 小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）故选C 【点评】本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，从高为米的气球（A）上测量铁桥（BC）的长，如果测得桥头B的俯角是60°，桥头C的俯角是30°，则桥BC长为400 米．【考点】解三角形．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】由已知条件求出∠DAB的大小，结合AD=200，通过解直角三角形求出AB 的长度，在等腰三角形ABC中，由腰长相等得BC的长度．【解答】解：如图，由∠EAB=60°，得∠DAB=30°，在Rt△ADB中，∵AD=200，∠DAB=30°，∴AB=400．又∠EAC=30°，∴∠ACB=30°． ∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠BAC=30°．在△ABC 中，∵∠ACB=∠BAC，∴BC=AB=400． 故答案为：400．【点评】本题考查了解三角形的实际应用，关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．14．S n 为等差数列a n 的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1则a 5= ﹣1 ．【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题；压轴题．【分析】由S 2=S 6，a 4=1，先求出首项和公差，然后再求a 5的值． 【解答】解：由题设知，∴a 1=7，d=﹣2， a 5=7+4×（﹣2）=﹣1． 故答案为：﹣1．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 15．设a ＞0，b ＞0，若a+b=4，则的最小值为．【考点】基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】由已知得=，由此利用均值定理能求出的最小值．【解答】解：∵a＞0，b ＞0，a+b=4， ∴==++≥+2=．当且仅当时取等号，∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查代数式和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．16．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，且（1﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC 周长的取值范围为（2，3] ．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】方程思想；转化思想；解三角形．【分析】a=1，（1﹣b）（sinA+sinB）=（c ﹣b）sinC ，可得（a ﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC ，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）=（c﹣b）c，利用余弦定理可得A，再利用正弦定理即可得出．【解答】解：在ABC中，∵a=1，（1﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，∴（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）=（c ﹣b）c，化为：b2+c2﹣a2=bc．∴cosA==，A∈（0，π），∴A=．由正弦定理可得：==，∴b=sinB，c=sinC，∴△ABC周长=1+b+c=1+sinB+sinC=1+=1+2，∵B∈，∴∈，∴∴△ABC周长的取值范围是（2，3]．故答案为：（2，3]．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差化积、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．三角形ABC中，BC=7，AB=3，且．（Ⅰ）求AC；（Ⅱ）求∠A．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，根据正弦值之比得到对应的边之比，把AB的值代入比例式即可求出AC的值；（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，把BC，AB及求出的AC的值代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：（Ⅰ）由AB=3，根据正弦定理得：（Ⅱ）由余弦定理得：，所以∠A=120°．【点评】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=Sn（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{an}的通项公式．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）根据an+1=Sn，分别令n=1，2，3即可求得a2，a3，a4的值；（2）由a n+1=S n ，得，两式相减可得数列递推式，由递推式可判断{a n }从第2项起，以后各项成等比数列，从而得通项公式；【解答】解：（1）∵a n+1=S n ， ∴==，∴=，∴==；（2）∵a n+1=S n ，∴， 两式相减得：=，∴，∴数列{a n }从第2项起，以后各项成等比数列，，故数列{a n }的通项公式为．【点评】本题考查由数列递推公式求数列通项公式，解决（2）问关键是明确关系式：．19．已知{a n }，是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2﹣6x+8=0的根． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和．【考点】数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）由题意列式求出a 2，a 4，代入等差数列的通项公式求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案； （Ⅱ）把等差数列的通项公式代入数列{}，然后由错位相减法求其和．【解答】解：（Ⅰ）在递增等差数列{a n }中，∵a 2，a 4是方程x 2﹣6x+8=0的根，则，解得．∴d=．∴an =a2+（n﹣2）×d=2+n﹣1=n+1；（Ⅱ）∵=，∴{}的前n项和：①，②，①﹣②得：=1+．∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．20．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c ，且=．（1）求角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，求出tanB的值，即可确定出B的度数；（2）利用余弦定理表示出cosB，将b与cosB的值代入，整理得到关系式，利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由sinB 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）已知等式=，由正弦定理得=，即tanB=，∴B=；（2）∵b=2，cosB=，∴cosB==，∴a2+c2=ac+4，又∴a2+c2≥2ac，∴ac≤4，当且仅当a=c取等号，∴S=acsinB≤，则△ABC为正三角形时，Smax=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．【解答】解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x ﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．22．已知在递增等差数列{an }中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn =，Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在实数m，使得Sn＜m对于任意的n∈N+恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由．【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）存在．由于bn==，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由{an}为等差数列，设公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，∵a3是a1和a9的等比中项，∴=a1?a9，即（2+2d）2=2（2+8d），解得d=0（舍）或d=2，∴an=2+2（n﹣1）=2n．（Ⅱ）存在．==，bn}的前n项和∴数列{bn=+…+Sn=，＜m对于任意∴存在实数m，使得Sn的n∈N恒成立．+【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。