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三角形提高培优经典题

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三角形培优精选题---思维能力提升

三角形培优精选题---思维能力提升
11.在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12CM和15CM两部分,求三角形的各边长?
12.五种基本图形(必会)：写出∠BOC与∠A之间的数量关系。
(1)如图1,∠BOC=____________ (2)如图2,八字形的结论______________
(3)如图3若OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,则∠BOC=___________
A、0 B、 C、 D、
37.若a、b、c是△ABC的三边，化简 + + =( )
A、a+b-c B. a-b+c C. a+b+c D. a-b-c
41.如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边
上的高，并且CD、BE交于，点P，若∠A=500，则∠BPC等于（）
A、90°B、130°C、270°D、315°
(4)如图4若OB,OC分别平分∠CBF,∠ECB,则∠BOC=____________
(5)如图5若OB,OC分别平分∠ABC,∠ACD,则∠BOC=_____________
13.已知等腰三角形的两个内角的度数比为1:2,求这个等腰三角形的顶角是多少度?
14.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=?
BE与CE交于G，若∠BDC=140O,∠BGC=110O,则∠A的
度数为（）
A.50OB.55OC.800D.700
23、如图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.
如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：
问题(3)：若点 是内角∠ 、外角∠ 的平分线的交点，试探索：∠ 与∠ 的数量关系，并说明理由．

三角形培优专题 - 参考答案

三角形培优专题 - 参考答案

《三角形培优专题》参考答案【例题讲解】例题1．已知等腰三角形的周长为24，试求腰长x 的取值范围和底边长y 的取值范围．【解答】解：依题意有2x +y = 24 ；对于腰长，有：y < 2x < 24 ，即：24 - 2x < 2x < 24 ，解得：6 <x < 12 ；对于底长，有：0 <y < 2x ，即：0 <y < 24 -y ，解得：0 <y < 12 ．故腰长x 的取值范围是 6 <x < 12 ，底边长y 的取值范围是0 <y < 12 ．例题2．如图，已知∠B =∠C =∠BAD ，∠ADC =∠DAC ，AE ⊥BC ，求∠DAE 的度数．【解答】解： ∠ADC =∠B +∠BAD ，∠B =∠C =∠BAD ，∠ADC =∠DAC ，∴∠B +∠C +∠BAD +∠DAC = 180︒，∴ 5∠B = 180︒，解得∠B = 36︒，∴∠ADC = 72︒．AE ⊥BC ，∴∠DAE = 90︒-∠ADE = 90︒- 72︒= 18︒．例题3．（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B 向右移动到AC 上，那么还能求出∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E 的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点 B 向右移动到AC 的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B 、E 移动到∠CAD 的内部时，结论又如何？根据图3 或图4，说明你计算的理由．【解答】解：（1）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C=∠1，∠B+∠D=∠2，∠1 +∠2 +∠E = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒；（2）如图，由三角形的外角性质，∠A +∠D =∠1 ，∠1 +∠DBE +∠C +∠E = 180︒，∴∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E = 180︒；（3）如图，由三角形的外角性质，∠A +∠C =∠1，∠B +∠D =∠2 ，∠1 +∠2 +∠E = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒；（4）如图，延长CE 与AD 相交，由三角形的外角性质，∠A +∠C =∠1，∠B +∠E =∠2 ， ∠1 +∠2 +∠D = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒．例题4．Rt∆ABC 中，∠C = 90︒，点D 、E 分别是∆ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令∠PDA =∠1，∠PEB =∠2 ，∠DPE =∠α．（1）若点 P 在线段 AB 上，如图（1）所示，且∠α= 50︒，则∠1 +∠2 =140 ︒；（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？（3）若点P 在Rt∆ABC 斜边BA 的延长线上运动(CE <CD) ，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？猜想并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接PC ，由三角形的外角性质，∠1 =∠PCD +∠CPD ，∠2 =∠PCE +∠CPE ，∴∠1+∠2 =∠PCD +∠CPD +∠PCE +∠CPE =∠DPE +∠C ，∠DPE =∠α= 50︒，∠C = 90︒，∴∠1+∠2 = 50︒+ 90︒=140︒，故答案为：140︒；（2）连接PC ，由三角形的外角性质，∠1 =∠PCD +∠CPD ，∠2 =∠PCE +∠CPE ，∴∠1+∠2 =∠PCD +∠CPD +∠PCE +∠CPE =∠DPE +∠C ，∠C = 90︒，∠DPE =∠α，∴∠1+∠2 = 90︒+∠α；（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2 =∠C +∠1+∠α，∴∠2 -∠1 = 90︒+∠α；如图2，∠α= 0︒，∠2 =∠1+ 90︒；如图3，∠2 =∠1-∠α+∠C ，∴∠1-∠2 =∠α- 90︒．例题 5．如图 1，在 ∆ABC 中， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，若∠A = 82︒，则∠BEC = 131︒；若∠A =a︒，则∠BEC = ．【探究】（1）如图2，在∆ABC 中，B D ，B E 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分∠ACB ，若∠A =a︒，则∠BEC = ；（2）如图3，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 和∠A 有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．【解答】解： ∠A = 82︒，∴∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A = 180︒- 82︒= 98︒， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠EBC =1∠ABC ，∠ECB =1∠ACB ，2 2∴∠EBC +∠ECB =1(∠ABC +∠ACB) =1⨯ 98︒= 49︒，2 2∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- 49︒= 131︒；由三角形的内角和定理得，∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A = 180︒-a︒， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠EBC =1∠ABC ，∠ECB =1∠ACB ，2 2∴∠EBC +∠ECB =1(∠ABC +∠ACB) =1⨯ (180︒-a︒) = 90︒-1a︒，2 2 2∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- (90︒-1a︒) = 90︒+1a︒；2 2故答案为：131︒，90︒+1a︒；2探究：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180︒-∠A=180︒-a︒， BD ，BE 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分∠ACB ，∴∠EBC =2∠ABC ，∠ECB =2∠ACB ，3 3∴∠EBC +∠ECB =2(∠ABC +∠ACB) =2⨯ (180︒-a︒) = 120︒-2a︒，3 3 3∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- (120︒-2a︒) = 60︒+2a︒；3 3故答案为：60︒+2a︒；3（2）∠BOC =1∠A ．2理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD =∠A +∠ABC ，∠OCD =∠BOC +∠OBC ，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠ABC = 2∠OBC ，∠ACD = 2∠OCD ，∴∠A +∠ABC = 2(∠BOC +∠OBC ) ，∴∠A = 2∠BOC ，∴∠BOC =1∠A ；2（3）∠BOC = 90︒-1∠A ．2理由如下： O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠OBC =1(180︒-∠ABC) = 90︒-1∠ABC ，∠OCB =1(180︒-∠ACB) = 90︒-1∠ACB ，2 2 2 2在∆OBC 中，∠BOC =180︒-∠OBC -∠OCB =180︒- (90︒-1∠ABC) - (90︒-1∠ACB) =1(∠ABC +∠ACB) 2 2 2，由三角形的内角和定理得，∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A ，∴∠BOC =1(180︒-∠A) = 90︒-1∠A ．2 2【巩固练习】1．已知线段AB = 3cm ，BC =1cm ，则线段AC 的长度为( )A ．一定是4cmB ．一定是2cmC ．一定是2cm 或4cmD ．以上都不对【解答】选：D．2．如图，∠ABC =∠ACB ，AD ，BD ，CD 分别平分∆ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF ．以下结论：①AD / / B C ；②∠ACB = 2∠ADB ；③DB 平分∠ADC ；④∠ADC = 90︒-∠ABD ；⑤∠BDC =1∠BAC ．其中正确的结论有( ) 2A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解： AD 平分∠EAC ，∴∠EAC = 2∠EAD ，∠EAC =∠ABC +∠ACB ，∠ABC =∠ACB ，∴∠EAD =∠ABC ，∴AD / / BC ，∴①正确；AD / / BC ，∴∠ADB =∠DBC ，BD 平分∠ABC ，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ACB = 2∠DBC ，∴∠ACB = 2∠ADB ，∴②正确；BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∠ADB =∠DBC ，∠ADC = 90︒-1∠ABC ，2∴∠ADB 不等于∠CDB ，∴③错误； AD 平分∠EAC ，CD 平分∠ACF ，∴∠DAC =1∠EAC ，∠DCA =1∠ACF ，2 2∠EAC =∠ACB +∠ACB ，∠ACF =∠ABC +∠BAC ，∠ABC +∠ACB +∠BAC = 180︒，∴∠ADC = 180︒- (∠DAC +∠ACD)= 180︒-1(∠EAC +∠ACF ) 2= 180︒-1(∠ABC +∠ACB +∠ABC +∠BAC) 2= 180︒-1(180︒+∠ABC) 2= 90︒-1∠ABC ，∴④正确；2∠BDC =∠DCF -∠DBF =1∠ACF -1∠ABC =1∠BAC ，∴⑤正确，2 2 2故选：D ．3．如图，要使六边形木架（用六根木条钉成）不变形，至少要再钉上木条的根数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6 - 3 = 3 条对角线， 所以至少要钉上 3 根木条． 故选： C ．4．如图，在 ∆ABC 中， ∠ABC 的平分线与 ∠ACD 的平分线交于点 A 1 ， ∠A 1BC 的平分线与∠A CD 的平分线交于点 A ，依此类推 ．已知∠A = α，则∠A 的度数为α（用含12n 、α的代数式表示）．n2n【解答】解： ∆ABC 中， ∠A = ∠ACD - ∠ABC ， A 1 是 ∠ABC 角平分与 ∠ACD 的平分线的交点， ∠A = α，∴∠A = ∠A CD - ∠A BC = 1 (∠ACD - ∠ABC ) = 1∠A ；1 1 12 2同理可得， ∠A = 1 ∠A = 1∠A ，22 1 22∠A = 1 ∠A = 1∠A ， 32 2 23依此类推， ∠A = 1∠A ，即∠A = α ．n 2n 故答案为： α．2nn2n5．如图，线段 AB 、CP 相交于点O ，连接 AD 、CB ， ∠DAB 、∠BCD 的平分线 AP 、CP 相交于点 P ，并且为CD 、 AB 分别相交于 M 、N 两点，若∠D = 40︒ ，∠B = 30︒ ，则∠P 的度数为 35︒ ．【解答】解：在∆AOD 中，∠AOD =180︒-∠OAD -∠D ，在∆BOC 中，∠BOC = 180︒-∠B -∠OCB ，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），∴180︒-∠OAD -∠D = 180︒-∠B -∠OCB ，∴∠OAD +∠D =∠B +∠OCB ，∠D = 40︒，∠B = 30︒，∴∠OAD + 40︒=∠OCB + 30︒，∴∠OCB -∠OAD = 10︒，AP 、CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的角平分线，∴∠1 =1∠OAD ，∠3 =1∠OCB ，2 2又 ∠1 +∠D =∠3 +∠P ，∴∠P =∠1 +∠D -∠3 =1(∠OAD -∠OCB) +∠D =1⨯ (-10︒) + 40︒= 35︒．2 2故答案为：35︒．6．在∆ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线BD 把三角形ABC 的周长分为9cm 和12cm 的两部分，求三角形各边的长．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设等腰三角形的腰长AB =AC = 2x ，BC =y ，BD 是腰上的中线，∴AD =DC =x ，若AB +AD 的长为12，则2x +x = 12 ，解得x = 4cm ，则x +y = 9 ，即 4 +y = 9 ，解得y = 5cm ；若AB +AD 的长为9，则2x +x = 9 ，解得x = 3cm ，则x +y = 12 ，即3 +y = 12 ，解得y = 9cm ；所以等腰三角形的腰长为8 厘米，底边长为 5 厘米．或腰长为6cm ，底长为9cm ．7．已知a，b，c 是△ABC 的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x．（1）直接写出c 及x 的取值范围；（2）若x 是小于18 的偶数①求c 的长；②判断△ABC 的形状．【解答】解：（1）因为a=4，b=6，所以2＜c＜10．故周长x 的范围为12＜x＜20．（2）①因为周长为小于18 的偶数，所以x=16 或x=14．当x 为16 时，c=6；当x 为14 时，c=4．②当c=6 时，b=c，△ABC 为等腰三角形；当c=4 时，a=c，△ABC 为等腰三角形．综上，△ABC 是等腰三角形．8．如图，四边形ABCD 中，BE 、CF 分别是∠B 、∠D 的平分线．且∠A =∠C = 90︒，试猜想BE 与DF 有何位置关系？请说明理由．【解答】解：BE / / DF ，理由是： 四边形内角和等于360︒，∠A =∠C = 90︒，∴∠ABC +∠ADC = 180︒，BE 、CF 分别是∠B 、∠D 的平分线，∴∠1 =1∠ABC ，∠2 =1∠ADC ，2 2∴∠1 +∠2 = 90︒，在Rt∆DCF 中，∠3 +∠2 = 90︒，∴∠1 =∠3 ，∴BE / / DF ．9．如图，∆ABC 中，三条内角平分线AD 、BE 、CF 相交于点O ，OG ⊥BC 于点G ．（1）若∠ABC = 40︒，∠BAC = 60︒，求∠BOD 和∠COG 的度数．（2）若∠ABC =α，∠BAC =β，则∠BOD 和∠COG 相等吗？请说明理由．【解答】解：（1）∠BOD=∠OAB+∠OBA=1∠BAC +1∠ABC = 50︒2 2∠COG = 90︒-∠OCG= 90︒-1(180︒-∠ABC -∠BAC) 2= 90︒- 40︒= 50︒；（2）∠BOD 和∠COG相等． 理由： ∠BOD =∠OAB +∠OBA=1∠BAC +1∠ABC 2 2=1(α+β) 2=1(180︒-∠ACB) 2= 90︒-1∠ACB 2= 90︒-∠OCG =∠COG ．10．如图1 ，在∆ABC 中，∠B = 90︒，分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点 E ．（1）∠E = 45 ︒；（2）分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点F ．①依题意在图1 中补全图形；②求∠AFC 的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM 在∠AFC 的内部且∠AFM =1∠AFC ，设3EC 与AB 的交点为H ，射线HN 在∠AHC 的内部且∠AHN =1∠AHC ，射线3HN 与 FM 交于点 P ，若∠FAH ，∠FPH 和∠FCH 满足的数量关系为∠FCH =m∠FAH +n∠FPH ，请直接写出m ，n 的值．【解答】解：（1）如图 1 ， EA平分∠DAC ，EC 平分∠ACB ，∴∠CAF =1∠DAC ，∠ACE =1∠ACB ，2 2设∠CAF =x ，∠ACE =y ，∠B = 90︒，∴∠ACB +∠BAC = 90︒，∴ 2 y +180 - 2x = 90，x -y = 45，∠CAF =∠E +∠ACE ，∴∠E =∠CAF -∠ACE =x -y = 45︒，故答案为： 45 ；（2）①如图 2 所示，②如图 2 ， CF 平分∠ECB ，∴∠ECF = 1 y ， 2∠E + ∠EAF = ∠F + ∠ECF ，∴ 45︒ + ∠EAF = ∠F + 1 y ①， 2同理可得： ∠E + ∠EAB = ∠B + ∠ECB ， ∴ 45︒ + 2∠EAF = 90︒ + y ，∴∠EAF = 45 + y ②，2把②代入①得： 45︒ + 45 + y = ∠F + 1 y ，2 2∴∠F = 67.5︒，即∠AFC = 67.5︒ ；（3） 如图 3 ，设∠FAH =α，AF 平分∠EAB ，∴∠FAH = ∠EAF =α，∠AFM = 1∠AFC = 1⨯ 67.5︒ = 22.5︒ ，3 3 ∠E + ∠EAF = ∠AFC + ∠FCH ，∴45 +α= 67.5 + ∠FCH ，∴∠FCH =α- 22.5①，∠AHN = 1 ∠AHC = 1 (∠B + ∠BCH ) = 1 (90 + 2∠FCH ) = 30 + 2∠FCH ， 3 3 3 3 ∠FAH + ∠AFM = ∠AHN + ∠FPH ，∴α+ 22.5 = 30 + 2∠FCH + ∠FPH ，②3 把①代入②得： ∠FPH = α+ 22.5 ，3∠FCH = m ∠FAH+ n ∠FPH ，α- 22.5 = m α+ n α+ 22.5 ，3解得： m = 2 ， n = -3．。

八年级数学上册第十一章【三角形】提高练习(培优专题)

八年级数学上册第十一章【三角形】提高练习(培优专题)

一、选择题1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，不能用它们搭成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，3cmB ．2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ，4cm ，5cmD ．5cm ，6cm ，7cm2．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（ ）A ．5边形B ．6边形C ．7边形D ．8边形3．若过六边形的一个顶点可以画n 条对角线，则n 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ）A ．12B ．10C ．9D ．65．已知长度分别为3cm ，4cm ，xcm 的三根小棒可以摆成一个三角形，则x 的值不可能是（ ）A ．2.4B ．3C ．5D ．8.56．如图，在ABC ∆中，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AC ⊥，若40,60B C ︒︒∠=∠=，则ADE ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒7．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）A ．4cm, 5cm,9cmB ．4cm, 5cm, 6cmC ．5cm,12cm,6cmD ．4cm,2cm,2cm8．现有两根木棒，长度分别为5cm 和13cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A ．20cm 的木棒B ．18cm 的木棒C ．12cm 的木棒D ．8cm 的木棒 9．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，6cmB ．3cm ，4cm ，8cmC ．5cm ，6cm ，10cmD ．5cm ，6cm ，11cm10．下列四个图形中，线段CE 是ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题12．如图1，△ABC 中，有一块直角三角板PMN 放置在△ABC 上（P 点在△ABC 内），使三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 恰好分别经过点B 和点C .若∠A ＝52°，则∠1＋∠2＝__________；13．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147∠=︒，220∠=︒，那么3∠= __________．14．如图，在ABC 中，CE AB ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，且3AB =，6BC =，5CE =，则AD =_________．15．一个正多边形的每个内角为108°，则这个正多边形所有对角线的条数为_____． 16．已知ABC 的高为AD ，65BAD ∠=︒，25CAD ∠=︒，则BAC ∠的度数是_______． 17．如图，在ABC 中，已知66ABC ∠=︒，54ACB ∠=︒，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，EHF ∠的度数是________．18．已知等腰三角形的一边长等于11cm ，一边长等于5cm ，它的周长为______． 19．已知//AB CD ，点P 是平面内一点，若30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，则CDP ∠=___________度．20．如图，把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若150,222∠=︒∠=︒，则3∠=_______．21．如图，在ABC 中，E 、D 、F 分别是AD 、BF 、CE 的中点，若DEF 的面积是1，则ABC S =______．三、解答题22．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．23．已知，a ，b ，c 为ABC 的三边，化简|a ﹣b ﹣c|﹣2|b ﹣c ﹣a|+|a+b ﹣c|． 24．如图，//AE DF ，BE DF ⊥于点G ，190B ∠+∠=︒．（1）判断CD 与AB 的位置关系，并说明理由．（2）若50A ∠=︒，求出DEG ∠的度数．25．如图，ABC 中，AD 是高，,AE BF 是角平分线，它们相交于点,80O CAB ∠=︒，60C ∠=°，求DAE ∠和BOA ∠的度数．一、选择题1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（ ）A ．三角形两边之和大于第三边B ．三角形具有稳定性C ．三角形的内角和是180D ．直角三角形两个锐角互余2．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（ ）A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．175︒3．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（ ）A ．18B ．19C ．20D ．215．如图，D 是ABC 的边BC 上任意一点，E 、F 分别是线段AD CE 、的中点，且ABC 的面积为220cm ，则BEF 的面积是（ ）2cmA ．5B ．6C ．7D ．86．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90°7．如图，△ABC 中AC 边上的高是哪条垂线段．（ ）A ．AEB ．CDC ．BFD ．AF8．如图，直线//BC AE ，CD AB ⊥于点D ，若150∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°9．现有两根木棒，长度分别为5cm 和13cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A ．20cm 的木棒B ．18cm 的木棒C ．12cm 的木棒D ．8cm 的木棒 10．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．3，5，6B ．3，2，1C ．2，2，4D ．3，6，10 11．下列说法正确的个数为（ ）①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若ax ay =，则x y =；④若A 、B 、C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点；⑤各边相等的多边形是正多边形． A ．①②④ B ．①②③ C ．①④⑤ D ．②④⑤二、填空题12．如图，已知//,AB CD E 是直线AB 上方一点，G 为直线AB 下方一点，F 为直线CD 上一点，148EAF ︒∠=，3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，则E ∠和G ∠的数量关系为___________．13．如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，过点C 作CD ∥OB 交∠AOB 的平分线OE 于点F ，作CH ⊥OB 交BO 的延长线于点H ，若∠EFD ＝α，现有以下结论：①∠COF ＝α；②∠AOH ＝180°﹣2α；③CH ⊥CD ；④∠OCH ＝2α﹣90°．其中正确的是__（填序号）．14．如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________．15．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147∠=︒，220∠=︒，那么3∠= __________．16．如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H 的度数为___________．17．如图，△ABC 的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB ，BC ，CA 得到△A 1B 1C 1，再分别倍长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1得到△A 2B 2C 2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A 2020B 2020C 2020的面积为_____．18．多边形每一个内角都等于90︒，则从此多边形一个顶点出发的对角线有____条． 19．如图，△ABC 中，D 为BC 边上的一点，BD ：DC=2：3，△ABC 的面积为10，则△ABD 的面积是_________________20．如图，AB BE ,分别是ABC 中,BC AC 边上的高，6cm BC ，4cm AC =，若3cm =AD ，则BE 的长为__________cm ．21．一个三角形的三个内角度数之比为2:3:5，那这个三角形一定是三角形__________．三、解答题22．如图，已知在ABC 中，CE 是外角ACD ∠的平分线，BE 是ABC ∠的平分线．（1）求证：2A E ∠=∠．（2）若A ABC ∠=∠，求证：//AB CE ．23．题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？ 问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示：继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格： 内部点的个数1 2 3 n 得到三角形个数 3 5拓展联系：当纸片是四边形时，探究此时内部所取点的个数与得到三角心个数的关系，完成表格：内部点的个数1 2 3 n 得到三角形个数概括提升：设纸片的边数为m ，内部点的个数为n ，得到三角形的个数是x ，请直接写出x 与m 、n 的关系：______________．24．如图BC 平分∠ABE ，DC 平分∠ADE ，求证：∠E+∠A=2∠C25．已知：180,BDG EFG B DEF ∠+∠=︒∠=∠．（1）如图1，求证：//DE BC ．（2）如图2，当90A EFG ∠=∠=︒时，请直接写出与C ∠互余的角．一、选择题1．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（ ）A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．175︒ 2．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．不确定 3．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（ ） A ．5边形 B ．6边形 C ．7边形 D ．8边形 4．下列长度（单位：cm ）的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．13，11，12B ．3，2，1C ．5，12，7D ．5，13，5 5．如图，D 是ABC 的边BC 上任意一点，E 、F 分别是线段AD CE 、的中点，且ABC 的面积为220cm ，则BEF 的面积是（ ）2cmA ．5B ．6C ．7D ．86．下列长度的线段能组成三角形的是（ ）A ．2，3，5B ．4，6，11C ．5，8，10D ．4，8，4 7．在下列长度的四根木棒中，能与2m 、5m 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A ．2m B ．3m C ．5m D ．7m8．如图，直线//BC AE ，CD AB ⊥于点D ，若150∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°9．设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是（ ）． A ．a b = B ．180a b =+° C ．180b a =+︒ D ．360b a =+︒ 10．下列说法正确的个数为（ ）①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若ax ay =，则x y =；④若A 、B 、C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点；⑤各边相等的多边形是正多边形． A ．①②④ B ．①②③ C ．①④⑤ D ．②④⑤ 11．如图，105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．50°二、填空题12．从n 边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n 边形分割成17个三角形，则n ＝______．13．在△ABC 中，∠A 是钝角，∠B =30°， 设∠C 的度数是α，则α的取值范围是___________14．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．15．若,,a b c 是△ABC 的三边长,试化简a b c a c b +-+--= __________． 16．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L 的取值范围是________17．如果点G 是ABC ∆的重心，6AG =，那么BC 边上的中线长为_______________________．18．如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．19．如图，在一个四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，且∠ABC=80°，∠BCD=70°，则∠AED=_________．20．如图中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，AD 、AF 分别是ABC 的角平分线和高，DAF ∠=________．21．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，13AE AD =，12BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．三、解答题22．如图，在ABC ∆中，48,A CE ∠=︒是ACB ∠的平分线， B C D 、、在同一直线上，,40.BEC BFD D ∠=∠∠=︒（1）求BCE ∠的度数；（2）求B 的度数． 23．如图，BM 是ABC 的中线，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，那么ABM 与BCM 的周长的差是多少？24．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的对角线的总条数．25．平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC．。

培优专题02 与三角形有关的线段和角的问题-解析版

培优专题02 与三角形有关的线段和角的问题-解析版

培优专题02 与三角形有关的线段和角的问题1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，20AB =，18AC =，AD 为中线．则ABD △与ACD △的周长之差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．【详解】Q 在ABC V 中，AD 为中线,BD CD \=．ABD C AB BD AD =++Q △，ACD C AC CD AD =++△，20182ABD ACD C C AB AC \-=-=-=V V ．故选：B ．【点睛】本题考查三角形的中线的理解与运用能力．三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．明确三角形的中线的定义，运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，ABC V 的面积是2，AD 是ABC V 的中线，13AF AD =，12CE EF =，则CDE △的面积为（ ）A ．29B ．16C ．23D ．49【答案】A【分析】根据中线的性质即可求出S △ACD ，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出3．（2022·四川成都·七年级期中）如图，ABC V 中，12Ð=Ð，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点，且CF AD ^于H ，下列判断，其中正确的个数是（ ）①BG 是ABD V 中边AD 上的中线；②AD 既是ABC V 中BAC Ð的角平分线，也是ABE V 中BAE Ð的角平分线；③CH 既是ACD V 中AD 边上的高线，也是ACH V 中AH 边上的高线．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．【详解】解：①G 为AD 中点，所以BG 是ABD △边AD 上的中线，故正确；②因为12Ð=Ð，所以AD 是ABC V 中BAC Ð的角平分线，AG 是ABE △中BAE Ð的角平分线，故错误；③因为CF AD ^于H ，所以CH 既是ACD △中AD 边上的高线，也是ACH V 中AH 边上的高线，故正确．故选：C ．【点睛】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．4．（2018·江苏省江阴市第一中学七年级期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B 两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C 个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【分析】据三角形ABC 的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．【详解】解：C 点所有的情况如图所示：由图可得共有6个，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．5．（2022·江苏·七年级专题练习）如图， D 、E 分别在∆ABC 的边 BC 、AC 上，13CD BC =，13CE AC =，CD = 1 ，CE = 1 ，AC ， AD 与 BE 交于点O ，已知∆ABC 的面积为 12，则∆ABO 的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．76．（2019·天津市静海区第二中学八年级期中）如图，在△ABC 中，∠B=70°,∠C=40°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，则∠DAE 的度数是（）A ．15°B ．16°C ．70°D ．18°7．（2021·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF Ð=Ð=°，45E Ð=°，30C Ð=°，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD Ð的大小为（ ）A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．82.5°【答案】C 【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F Ð=Ð=°，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F Ð=°Ð=°，，∵//BC EF ，∴45FDB F Ð=Ð=°，∴180180456075BMD FDB B Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．8．（2022·广西贵港·七年级期末）如图7，AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2＝90°，M ，N 分别是BA ，CD 延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ．下列结论：①AB ∥CD ；②∠AEB +∠ADC ＝180°；③DE 平分∠ADC ；④∠F ＝135°，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】先根据AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：标注角度如图所示：∵AB ⊥BC ，AE ⊥DE ，∴∠1+∠AEB =90°，∠DEC +∠AEB =90°，∴∠1=∠DEC ，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC +∠2=90°，∴∠C =90°，∴∠B +∠C =180°，9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将ABC V 沿DH HG EF 、、翻折，三个顶点恰好落在点O 处．若140Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A ．12B ．60°C ．90°D ．140°【答案】D【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B =∠EOF ，∠A =∠DOH ，∠C =∠HOG ，∠1+∠2+∠HOD +∠EOF +∠HOG =360°，进而求出∠1+∠2的度数．【详解】解：∵将△ABC 三个角分别沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处，∴∠B =∠EOF ，∠A =∠DOH ，∠C =∠HOG ，∠1+∠2+∠HOD +∠EOF +∠HOG =360°，∵∠HOD +∠EOF +∠HOG =∠A +∠B +∠C =180°，∴∠1+∠2=360°-180°=180°，∵∠1=40°，∴∠2=140°，故选：D ．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD +∠EOF +∠HOG =∠A +∠B +∠C =180°是解题关键．10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，a b ∥，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b 上，若15854¢Ð=°，则∠2的度数为（ ）A ．1036¢°B ．1046¢°C ．10354¢°D ．10454¢°【答案】C 【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，∵直角三角板含一个45°的锐角，∴该三角板为等腰三角形，∴∠4=45°，∵∠1=58°54′，又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，∵∠3+∠5=180°，∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，∵a b ∥，∴∠2=∠3，∴∠2=103°54′，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．11．（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期中）如图，AD 是ABC V 的高，45BAD Ð=°，65C =°∠，则BAC Ð=________．【答案】70°【分析】先由直角三角形的性质求得∠DAC ，然后再根据线段的和差求解即可．【详解】解：AD Q 是ABC V 的高，90ADC °\Ð=，∵65C =°∠=9025DAC C °\Ð-Ð=o ，254570BAC DAC BAD °°°\Ð=Ð+Ð=+=．故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了角的和差、直角三角形的性质、三角形高的性质等知识点，掌握直角三角形两锐角互余是解答本题的关键．12．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，点E 、F 在AB 上，点G 在DF 的延长线上，且∠B ＝∠DFB ，∠G ＝∠DEG ，若29BEG Ð=°，则∠BDE 的度数为_____．【答案】58°【分析】设BED x Ð=，则29G DEG x Ð=Ð=+°，再根据三角形的内角和定理可得1222EDG x Ð=°-，根据三角形的外角性质可得122B DFB x Ð=Ð=°-，然后在BDE V 中，根据三角形的内角和定理即可得．【详解】解：设BED x Ð=，29BEG Ð=°Q ，29BED G DEG BEG x Ð=Ð=Ð=++\а，1801222EDG G DEG x \Ð=°-Ð-Ð=°-，122BED B DFB EDG x \Ð=Ð=Ð=а-+，()()180********BED BDE B x x Ð+=\Ð=°-а-°-=+°，故答案为：58°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．13．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）如图，∠A ＝45°，∠BCD ＝135°，∠AEB 与∠AFD 的平分线交于点P ．下列结论：①EP ⊥FP ；②∠AEB ＋∠AFD ＝∠P ；③∠A ＝∠PEB ＋∠PFD ．其中正确的结论是______．∵∠AEB与∠AFD的平分线交于点∴12BEPAEP AEB=Ð=ÐÐ∵∠BCD=135°，∴∠BCF=180°-∠BCD=45°14．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AM是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高线．猜想∠MAD、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由．15．（2022·全国·八年级单元测试）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．【答案】(1)8(2)17【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是△ABC的中线得AD＝CD，根据△ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝9，即可求解．（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整数，∴AC＝8；（2）如图所示：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为10，∴AB+AD+BD＝10，∵AB＝1，∴AD+BD＝9，∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．16．（2022·河南周口·七年级期末）如图．AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，EF⊥BC于点F．(1)在△BEF中，请指出边EF上的高；(2)若BD＝5，EF＝2，求△ACD的面积；(3)若AB＝m，AC＝n，若△ACD的周长为a，请用含m，n，a的式子表示△ABD的周长．【答案】(1)边EF上的高是BF；(2)S△ACD=10；(3)△ABD的周长为m+a-n．【分析】（1）根据三角形高的定义即可得出边EF上的高是BF；（2）先求得△BDE的面积，然后根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△ABE=S△BDE=5，进一步得到S△ACD=S△ABD=10；（3）利用三角形周长公式即可求得．（1）解：∵EF⊥BC于点F，17．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，点A 在CB 的延长线上，点F 在DE 的延长线上，连接AF ，分别与BD 、CE 交于点G 、H ．已知∠1＝52°，∠2＝128°．(1)探索BD 与CE 的位置关系，并说明理由；(2)若∠C ＝78°，求∠A 的度数．【答案】(1)BD CE ∥，理由见解析(2)50°【分析】（1）由152DGF Ð=Ð=°，∠2＝128°，得到∠DGF ＋∠2＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出BD CE ∥；（2）由BD CE ∥得到78ABD C Ð=Ð=°，由三角形内角和定理求解即可．（1）BD CE ∥，理由：∵152DGF Ð=Ð=°，∠2＝128°，∴252128180DGF Ð+Ð=°+°=°，∴BD CE ∥．（2）∵BD CE ∥，∵78ABD C Ð=Ð=°，∴1801180785250A ABD Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关性质和定理．18．（2022·江苏·兴化市乐吾实验学校七年级阶段练习）(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明A B C D Ð+Ð=Ð+Ð；(2)【简单应用】如图2，AP 、CP 分别平分BAD Ð、BCD Ð，若35ABC Ð=°，15ADC Ð=°，求P Ð的度数；(3)【问题探究】如图3，直线AP 平分BAD Ð的外角FAD Ð，CP 平分BCD Ð的外角BCE Ð，若35ABC Ð=°，29ADC Ð=°，请猜想P Ð的度数，并说明理由；(4)【拓展延伸】在图4中，若设C a Ð=，B b Ð=，13CAP CAB Ð=Ð，13CDP CDB Ð=Ð，试问P Ð与C Ð、B Ð之间的数量关系为：___．（用a 、b 表示P Ð，不必说明理由）【答案】(1)见解析(2)25P Ð=°(3)32P Ð=°；理由见解析。

培优专题2：巧用三角形的外角解决问题

培优专题2：巧用三角形的外角解决问题
＝107°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°－107°＝73°.
大小为 75° . ⁠来自9. [推理能力]如图， D ， E ， F 分别是△ ABC 三边延长线上的点，∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＝107°，求∠1＋∠2＋∠3的度数.
◉答案 解：易知∠ D ＋∠3＝∠ CAB ，∠ E ＋∠1＝∠ ABC ，∠ F ＋∠2＝∠ ACB ，∴∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＋∠1＋∠2＋∠3＝∠ CAB ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°.∵∠ D ＋∠ E ＋∠ F
⁠
第6题图
7. [一题多解]如图，直线 AB ∥ EF ，点 C 是直线 AB 上一点，点 D 是直线 AB 外一
点，若∠ BCD ＝95°，∠ CDE ＝25°，则∠ DEF 的度数是
120° . ⁠
第7题图
8. [一题多解]如图，△ EFG 的三个顶点 E ， F 和 G 分别在平行线 AB ， CD 上， FH 平分∠ EFG ，交线段 EG 于点 H ，若∠ AEF ＝36°，∠ BEG ＝57°，则∠ EHF 的
第一章 三角形
培优专题2：巧用三角形的外角解决问题
1. （贺州校级一模）如图，∠ A ，∠1，∠2的大小关系是（ BB ）
A. ∠ A ＞∠1＞∠2
B. ∠2＞∠1＞∠ A
C. ∠ A ＞∠2＞∠1
D. ∠2＞∠ A ＞∠1
第1题图
2. 如图，在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， BE ∥ AC ，连接 ED . 若∠ A ＝56°， ∠ E ＝48°，则∠ ADE ＝（ D ）D
A. 94°
B. 98°
第2题图 C. 102°
D. 104°
3. 图①是一路灯的实物图，图②是该路灯的平面示意图，则图②中∠ CBN 的度数

中国人民大学附属中学八年级数学上册第十一章【三角形】经典练习(培优提高)

中国人民大学附属中学八年级数学上册第十一章【三角形】经典练习(培优提高)

一、选择题1．如图，在ABC 中，AB 边上的高为（ ）A ．CGB ．BFC ．BED ．AD2．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°3．如图，AB 和CD 相交于点O ，A C ∠=∠，则下列结论中不正确的是（ ）．A ．B D ∠=∠B ．1A D ∠=∠+∠C ．2D ∠>∠ D ．C D ∠=∠4．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．115．将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形，则原多边形的边数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．以上均有可能 6．若一个三角形的三个内角的度数之比为11:13:24，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 7．若多边形的边数由3增加到n （n 为大于3的正整数），则其外角和的度数（ ） A ．不变 B ．减少 C ．增加 D ．不能确定 8．如图，已知,,90,//AD BC FG BC BAC DE AC ⊥⊥∠=︒．则结论①//FG AD ；②DE 平分ADB ；③B ADE ∠=∠；④CFG BDE ∠+∠90=︒．正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 9．设四边形的内角和等于,a 五边形的外角和等于,b 则a 与b 的关系是（ ）A ．a b =B ．120a b =+C ．180b a =+︒D ．360b a =+︒ 10．设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是（ ）． A ．a b = B ．180a b =+° C ．180b a =+︒ D ．360b a =+︒ 11．如图，105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．50°二、填空题12．从n 边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n 边形分割成17个三角形，则n ＝______．13．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．14．若,,a b c 是△ABC 的三边长,试化简a b c a c b +-+--= __________．15．过n 边形的一个顶点有9条对角线，则n 边形的内角和为______．16．如图，ACD ∠是ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，设=A θ∠，则2=A ∠___________，=n A ∠___________．17．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．18．如图中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，AD 、AF 分别是ABC 的角平分线和高，DAF ∠=________．19．如图，∠BAK ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＋∠E ＋∠F ＋∠MGN ＋∠H ＋∠K ＝________．20．如图，线段AD ，BE ，CF 两两相交于点H ，I ，G ，分别连接AB ，CD ，EF ．则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____．21．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，13AE AD =，12BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．三、解答题22．若a ，b ，c 是ABC 的三边的长，化简|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|．23．如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系： ；(2)如图2，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与CD 、AB 分别相交于点M 、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB”，请直接写出∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系．24．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的对角线的总条数．25．（问题引入）（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A=40°，请求出∠BOC的度数．（深入探究）（2）如图2，在四边形ABDC中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D=110°，请求出∠AOC的度数．（类比猜想）（3）如图3，在△ABC中，∠CBO=13∠DBC，∠BCO= 13∠ECB，∠A=α，则∠BOC=___（用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．（4）如果BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠1n DBC∠BCO=1n∠ECB，则∠BOC=___（用n、a的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．一、选择题1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ）A ．1，2，4B ．5，6，11C ．3，3，3D ．4，8，12 2．小李同学将10,12,16,22cm cm cm cm 的四根木棒首尾相接，组成一个凸四边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为（ ）A ．25cmB ．27cmC ．28cmD ．31cm3．已知两条线段15cm a =，8cm b =，下列线段能和a ，b 首尾相接组成三角形的是（ ） A ．20cm B ．7cm C ．5cm D ．2cm4．如果一个三角形的三边长分别为5,8,a ．那么a 的值可能是（ ）A ．2B ．9C ．13D ．155．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．下列每组数分别三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）A ．3,4,8cm cm cmB ．7,8,15cm cm cmC ．12,13,22cm cm cmD ．10,10,20cm cm cm7．正十边形每个外角等于（ ）A ．36°B ．72°C ．108°D ．150° 8．小红有两根长度分别为4cm 和8cm 的木棒，他想摆一个三角形，现有长度分别为3cm ，4cm ，8cm ，15cm 四根木棒，则他应选择的木棒长度为（ ）．A ．3cmB ．4cmC ．8cmD ．15cm9．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，6cmB ．3cm ，4cm ，8cmC ．5cm ，6cm ，10cmD ．5cm ，6cm ，11cm10．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．3，5，6B ．3，2，1C ．2，2，4D ．3，6，10 11．如图，在ABC 中，48BAC ∠=︒，点 I 是ABC ∠、ACB ∠的平分线的交点．点D 是ABC ∠、 ACB ∠的两条外角平分线的交点，点E 是内角ABC ∠、外角ACG ∠的平分线的交点，则下列结论 不正确．．．的是（ ）A ．180BDC BIC ∠+∠=︒B ．85ICE ∠=︒C ．24E ∠=︒D ．90DBE ∠=︒二、填空题12．如图，BF 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD ，BF 与CE 交于G ，若130,90BDC BGC ∠=︒∠=︒，则∠A 的度数为_________．13．如图，已知//,AB CD E 是直线AB 上方一点，G 为直线AB 下方一点，F 为直线CD 上一点，148EAF ︒∠=，3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，则E ∠和G ∠的数量关系为___________．14．已知三角形三边长分别为m ，n ，k ，且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=，则这个三角形最长边k 的取值范围是________．15．如图，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为________．16．如图，将纸片ABC 沿DE 折叠，点A 落在点P 处，已知12124+∠=∠︒，A ∠=___________．17．如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________．18．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．19．AD 为ABC 的中线，AE 为ABC 的高，ABD △的面积为14，7,2AE CE ==则DE 的长为_________． 20．一个三角形的三个内角的度数的比是1∶2∶3，这个三角形是_________________三角形．（填锐角、直角或钝角）21．如图，ABC 面积为1，第一次操作：分别延长,,AB BC CA 至点111,,A B C 使111,,A B AB B C BC C A CA ===顺次结111,,A B C ，得到111A B C △，第二次操作：分别延长111111,,A B B C C A 至点222A B C ，使211121112111,,A B A B B C B C C A C A ===，顺次连结222,,A B C ，得到222A B C △…，按此规律，则333A B C △的面积为_______．三、解答题22．如图，已知点D ，E 分别在ABC 的边AB ，AC 上，//DE BC ．（1若80ABC ∠=︒，40AED ∠=︒，求A ∠的度数：（2）若180BFD CEF ∠+∠=︒，求证：EDF C ∠=∠．23．如图，PB 和PC 是ABC 的两条外角平分线． 求证：1902BPC BAC ∠=︒-∠．24．如图，有一块直角三角板XYZ 置在ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．ABC 中，30A ∠=︒．（1）ABC ACB ∠+∠=________．（2）ABX ACX ∠+∠=________．（说明理由）25．（1）已知△ABC 中，∠B=5∠A ，∠C-∠B=15°，求∠A ，∠B ，∠C 的度数． （2）在△ABC 中，∠A=50°，BD ，CE 为高，直线BD ，CE 交于点H ，求∠BHC 的度数．一、选择题1．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（ ）①13∠=∠；②180BAE CAD ∠+∠=︒；③若//BC AD ，则230∠=︒；④若150CAD ∠=︒，则4C ∠=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知两条线段15cm a =，8cm b =，下列线段能和a ，b 首尾相接组成三角形的是（ ） A ．20cm B ．7cm C ．5cm D ．2cm3．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，D 为BC 边上的一点，点E 在AC 边上，ADE AED ∠=∠，若10CDE ∠=︒，则BAD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．15°C ．10°D ．30°4．已知，D 是ABC ∠的边BC 上一点，//DE BA ，CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，若F α∠=，则ABE ∠的大小为（ ）A ．αB ．52α C ．2α D ．32α 5．在ABC 中，若B 与C ∠互余，则ABC 是（ ）三角形A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 6．长度分别为2，3，4，5的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）A ．8B ．5C ．6D ．77．如图，直线//BC AE ，CD AB ⊥于点D ，若150∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°8．如图，已知,,90,//AD BC FG BC BAC DE AC ⊥⊥∠=︒．则结论①//FG AD ；②DE 平分ADB ；③B ADE ∠=∠；④CFG BDE ∠+∠90=︒．正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 9．如图，在ABC ∆中，80,BAC ∠=︒点D 在BC 边上，将ABD △沿AD 折叠，点B 恰好落在AC 边上的点'B 处，若'20B DC ∠=．则C ∠的度数为（ ）A ．20B ．25C ．35D ．4010．如图，在ABC 中，48BAC ∠=︒，点 I 是ABC ∠、ACB ∠的平分线的交点．点D 是ABC ∠、 ACB ∠的两条外角平分线的交点，点E 是内角ABC ∠、外角ACG ∠的平分线的交点，则下列结论 不正确．．．的是（ ）A ．180BDC BIC ∠+∠=︒B ．85ICE ∠=︒C ．24E ∠=︒D ．90DBE ∠=︒11．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）A ．3cm,2cm,1cmB ．3cm,4cm,5cmC ．6cm,6cm,12cmD ．5cm,12cm,6cm二、填空题12．如图，BF 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD ，BF 与CE 交于G ，若130,90BDC BGC ∠=︒∠=︒，则∠A 的度数为_________．13．如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1=______°．14．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．15．过n 边形的一个顶点有9条对角线，则n 边形的内角和为______．16．如图，ABC 的三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且21AG GD =：：．若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是________．17．如图，在ABC ∆中，4ACB A ∠=∠，点D 在边AC 上，将BDA ∆沿BD 折叠，点A 落在点A '处，恰好BA AC '⊥于点E 且//BC DA '，则BDC ∠的度数为__________度．18．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95︒，王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ，一直到F 时，他在行程中共转过了_____度．19．如图，把ABC 折叠，点B 落在P 点位置，若12120∠+∠=︒，则B ∠=______．20．如图，已知AE 是ABC 的边BC 上的中线，若8AB cm =，ACE △的周长比AEB △的周长多2cm ，则AC =______cm ．21．一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则BFD ∠的度数是______．三、解答题22．在ABC ∆中， ,AB AC CG BA =⊥交BA 的延长线于点G ，点D 是线段BC 上的一个动点．特例研究：()1当点D 与点B 重合时，过B 作BF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，如图①所示，通过观察﹑测量BF 与CG 的长度，得到BF CC =．请给予证明．猜想证明：()2当点D 由点B 向点C 移动到如图②所示的位置时，过D 作DF AC ⊥交CA 的延长线于点F ，过D 作DE BA ⊥交BA 于点E ，此时请你通过观察，测量DE DF 、与CG 的长度，猜想并写出DE DF 、与CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．拓展延伸：()3当点D 由点B 向点C 继续移动时（不与C 重合） ，过D 作DF AC ⊥交AC 于点F ，过D 作 DF BA ⊥交BA （或BA 的延长线）于点E ，如图③，图④所示，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立?（不用证明）23．若a ，b ，c 是ABC 的三边的长，化简|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|．24．如图，∠CBF ，∠ACG 是△ABC 的外角，∠ACG 的平分线所在的直线分别与∠ABC ，∠CBF 的平分线BD ，BE 交于点D ，E ．（1）若∠A=70°，求∠D 的度数；（2）若∠A=a ，求∠E ；（3）连接AD ，若∠ACB=β，则∠ADB= ． 25．已知：180,BDG EFG B DEF ∠+∠=︒∠=∠．（1）如图1，求证：//DE BC ．（2）如图2，当90A EFG ∠=∠=︒时，请直接写出与C ∠互余的角．。

《三角形》培优专题

《三角形》培优专题

第三周培优专题《三角形》1出题人：陈乐宇 审题人：刘凯迪班级： 姓名： 学号：一、热身题1、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3个D. 不确定2. △ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于点D ，若BC=a ，则AD 等于（ ）A a B a C a D a (1232323)3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A. 对顶角相等B. 若a=b ，则|a|=|b|C. 末位是零的整数能被5整除D. 直角三角形的两个锐角互余4. 如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°二、渐入佳境1. 等腰三角形的腰长为2cm ，面积等于1平方cm ，则它的顶角的度数为________。

2. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=10cm ，则△ODE 的周长________。

3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交于D 点，则∠BCD 的度数是________。

第2题 第3题 第4题4. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 的长为________。

三、思维大考验1、如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD、CD的长。

2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。

求证：AD垂直平分EF。

3、如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，BM、CN相交于点F.图1 图2（1）求证：AN=BM；（2）求证：△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立。

湘潭市第一中学八年级数学上册第十一章【三角形】经典复习题(提高培优)

湘潭市第一中学八年级数学上册第十一章【三角形】经典复习题(提高培优)

一、选择题1．如图，//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则E ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒2．如图，AB 和CD 相交于点O ，A C ∠=∠，则下列结论中不正确的是（ ）．A ．B D ∠=∠B ．1A D ∠=∠+∠C ．2D ∠>∠ D ．C D ∠=∠3．若过六边形的一个顶点可以画n 条对角线，则n 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）A ．1,2,3B ．5,12,13C ．4,5,10D ．3,3,65．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（ ）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90°6．在ABC 中，若B 与C ∠互余，则ABC 是（ ）三角形A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 7．如图，直线//,65,30AB CD AE ∠=︒∠=︒，则C ∠等于（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°8．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝135°，∠C＝60°，∠D＝150°，则∠E的大小为（）A．60°B．65°C．70°D．75°9．下列四个图形中，线段CE是ABC的高的是（）A．B．C．D．10．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，5，6 B．3，2，1 C．2，2，4 D．3，6，1011．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，5，8 D．6，3，3二、填空题--+--+-+=______．12．已知ABC的三边长分别为a，b，c，则a b c b c a c a b13．如图，BD是ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若AEF的面积为23cm，则ABC的面积是______2cm．14．如图，点D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若图中阴影部分的面积为3，则ABC 的面积是________．15．多边形每一个内角都等于108°，多边形一个顶点可引的对角线的条数是________条． 16．如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________．17．过n 边形的一个顶点有9条对角线，则n 边形的内角和为______．18．如图，在ABC ∆中，4ACB A ∠=∠，点D 在边AC 上，将BDA ∆沿BD 折叠，点A 落在点A '处，恰好BA AC '⊥于点E 且//BC DA '，则BDC ∠的度数为__________度．19．如图所示，△ABC 中，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的四等分线相交于D 、E 、F （其中∠CAD＝3∠BAD ，∠ABE ＝3∠CBE ，∠BCF ＝3∠ACF ），且△DFE 的三个内角分别为∠DFE ＝60°、∠FDE ＝53°、∠FED ＝67°，则∠BAC 的度数为_________°．20．多边形每一个内角都等于90︒，则从此多边形一个顶点出发的对角线有____条． 21．一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则BFD ∠的度数是______．三、解答题22．如图，直线//PQ MN ，点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ，MN 上）的一个动点．（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C 与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由． （2）把Rt △ABC 如图2摆放，直角顶点C 在两条平行线之间，CB 与PQ 交于点D ，CA 与MN 交于点E ，BA 与PQ 交于点F ，点G 在线段CE 上，连接DG ，有∠BDF ＝∠GDF ，求AEN CDG∠∠的值．（3）如图3，若点D 是MN 下方一点，BC 平分∠PBD ，AM 平分∠CAD ，已知∠PBC ＝25°，求∠ACB +∠ADB 的度数．23．如图①，ABC 中，BD 平分ABC ∠，且与ABC 的外角ACE ∠的角平分线交于点D ．（1）若75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，求D ∠的度数；（2）若把A ∠截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想D ∠、M ∠、N ∠的关系，并说明理由．24．如图，在ABC 中，AD 为高，AE 为BAC ∠的平分线，若28B ∠=︒，52ACD ∠=°，求EAD ∠的度数．25．如图，在ABC 中，40B ∠=，80C ∠=．（1）求BAC ∠的度数；（2）AE 平分BAC ∠交BC 于E ，AD BC ⊥于D ，求EAD ∠的度数．一、选择题1．将一副三角板和一张对边平行的纸条按图中方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1∠的度数是（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°2．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，D 为BC 边上的一点，点E 在AC 边上，ADE AED ∠=∠，若10CDE ∠=︒，则BAD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．15°C ．10°D ．30°3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．3，3，4B ．7，4，2C ．3，4，8D ．2，3，5 4．若一个三角形的三个内角的度数之比为11:13:24，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 5．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90°6．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝47°，则∠β的度数是（ ）A ．43°B ．47°C ．30°D ．60°7．下列说法正确的有（ ）个①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C 、D 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形．A ．3B ．2C ．1D ．08．如图，直线//BC AE ，CD AB ⊥于点D ，若150∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°9．现有两根木棒，长度分别为5cm 和13cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A ．20cm 的木棒B ．18cm 的木棒C ．12cm 的木棒D ．8cm 的木棒 10．下列四个图形中，线段CE 是ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．如图，105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．50°二、填空题12．多边形每一个内角都等于108°，多边形一个顶点可引的对角线的条数是________条． 13．设三角形三内角的度数分别为,,x y z ︒︒︒，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对(,)()y z y z <是x 的和谐数对，当150x =时，对应的和谐数对有一个，它为(10,20)；当66x =时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对(,)y z 有三个时，请写出此时x 的范围_______．14．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．15．从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度．16．如果点G 是ABC ∆的重心，6AG =，那么BC 边上的中线长为_______________________．17．如图，点P 是三角形三条角平分线的交点，若∠BPC=100︒，则∠BAC=_________．18．如图，在ABC 中，CE AB ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，且3AB =，6BC =，5CE =，则AD =_________．19．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是___________，最小值是___________．20．如图，把ABC 折叠，点B 落在P 点位置，若12120∠+∠=︒，则B ∠=______．21．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中90C =∠，90F ∠=，30D ∠=，45A ∠=，则12∠+∠等于___________度．三、解答题22．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为AD 延长线上一点，PE BC ⊥于E ，已知80ACB ∠=︒，24B ∠=︒，求P ∠的度数．23．如图，已知点D ，E 分别在ABC 的边AB ，AC 上，//DE BC ．（1若80ABC ∠=︒，40AED ∠=︒，求A ∠的度数：（2）若180BFD CEF ∠+∠=︒，求证：EDF C ∠=∠．24．()1若n 边形的内角和等于它外角和的3倍，求边数n ．()2已知a ，b ，c 为三角形三边的长，化简：a b c b c a --+--． 25．如图，已知直线//AB CD ，直线EF 分别交直线AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于一点P ．试说明：90P ∠=︒．一、选择题1．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（ ）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90°3．在△ABC 中，∠A ＝x °，∠B ＝(2x ＋10)°，∠C 的外角大小(x ＋40)°，则x 的值等于（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．404．如图，,AD CE 分别是ABC 的中线与角平分线，若,40B ACB BAC ∠=∠∠=︒，则ACE ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．35︒C ．40︒D ．70︒5．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90°6．已知直线//a b ，含30角的直角三角板按如图所示放置，顶点A 在直线a 上，斜边BC 与直线b 交于点D ，若135∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．75︒7．内角和与外角和相等的多边形是（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形 8．如图，在ABC ∆中，80,BAC ∠=︒点D 在BC 边上，将ABD △沿AD 折叠，点B 恰好落在AC 边上的点'B 处，若'20B DC ∠=．则C ∠的度数为（ ）A ．20B ．25C ．35D ．409．如图所示，ABC ∆的边AC 上的高是（ ）A ．线段AEB ．线段BAC ．线段BD D ．线段DA 10．下列说法正确的个数为（ ）①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若ax ay =，则x y =；④若A 、B 、C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点；⑤各边相等的多边形是正多边形． A ．①②④ B ．①②③ C ．①④⑤ D ．②④⑤ 11．具备下列条件的三角形中，不是．．直角三角形的是（ ） A ．A B C ∠+∠=∠B ．12A BC ∠=∠=∠ C ．3A B C ∠=∠=∠ D ．1123A B C ∠=∠=∠ 二、填空题12．如图1，△ABC 中，有一块直角三角板PMN 放置在△ABC 上（P 点在△ABC 内），使三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 恰好分别经过点B 和点C .若∠A ＝52°，则∠1＋∠2＝__________；13．如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1=______°．14．设三角形三内角的度数分别为,,x y z ︒︒︒，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对(,)()y z y z <是x 的和谐数对，当150x =时，对应的和谐数对有一个，它为(10,20)；当66x =时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对(,)y z 有三个时，请写出此时x 的范围_______．15．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．16．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是___________，最小值是___________．17．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95︒，王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ，一直到F 时，他在行程中共转过了_____度．18．如图，ABC 面积为1，第一次操作：分别延长,,AB BC CA 至点111,,A B C 使111,,A B AB B C BC C A CA ===顺次结111,,A B C ，得到111A B C △，第二次操作：分别延长111111,,A B B C C A 至点222A B C ，使211121112111,,A B A B B C B C C A C A ===，顺次连结222,,A B C ，得到222A B C △…，按此规律，则333A B C △的面积为_______．19．如图，若//AB CD ，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，90BED ∠=，则BFD ∠=______．20．如图，已知ABC 的角平分线BD ，CE 相交于点O ，∠A=60°，则∠BOC=__________．21．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，13AE AD =，12BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．三、解答题22．如图，四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ．（1）如果130A ∠=︒，110D ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）请直接写出BOC ∠与A D ∠+∠的数量关系．23．如图，在ABC 中，点E 在AC 边上，连结BE ，过点E 作//DF BC ，交AB 与点D ．若BE 平分ABC ∠，EC 平分BEF ∠．设AED β∠=．（1）当80β=︒时，求DEB ∠的度数．（2）试用含α的代数式表示β．（3）若=k βα（k 为常数），求α的度数（用含k 的代数式表示）．24．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线．（1）已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；（2）设∠B ＝α，∠C ＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE 的关系式 ．25．如图，CAD ∠与CBD ∠的角平分线交于点P ．（1）若35C ∠=︒，29D ∠=︒，求P ∠的度数； （2）猜想D ∠，C ∠，P ∠的等量关系．。

全等三角形经典培优题型(含标准答案)

全等三角形经典培优题型(含标准答案)

三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C78.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABCDBA BC DEF 2 1ADBCA B CD ABACDF2 1 E9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F点在AM 上，BE∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。

求证：BE =CD ．14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

安徽师范大学附属中学八年级数学上册第十一章《三角形》经典测试题(培优提高)

安徽师范大学附属中学八年级数学上册第十一章《三角形》经典测试题(培优提高)

一、选择题1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（）A．三角形两边之和大于第三边B．三角形具有稳定性C．三角形的内角和是180D．直角三角形两个锐角互余B解析：B【分析】根据三角形的稳定性可以解决．【详解】因为三角形具有稳定性，手机支架与桌面形成了一个三角形，所以是利用了三角形的稳定性．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．2．将一副三角板和一张对边平行的纸条按图中方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边 的度数是（）上，则1A．10°B．15°C．20°D．25°B解析：B【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，由平行线的性质可得∠2=30°，∠1=∠3-∠2=45°-30°=15°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．3．如果一个三角形的三边长分别为5,8,a ．那么a 的值可能是（ ）A ．2B ．9C ．13D ．15B 解析：B【分析】根据三角形三边关系得出a 的取值范围，即可得出答案．【详解】解：8-5＜a ＜8+53＜a ＜13，故a 的值可能是9，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握知识点是解题关键．4．如果一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长可能是（ ）A ．3B ．4C ．11D ．12B 解析：B【分析】根据三角形的三边关系定理可得7-4＜x ＜7+4，计算出不等式的解集，再确定x 的值即可．【详解】设第三边长为x ，则7-4＜x ＜7+4，3＜x ＜11，∴A 、C 、D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握第三边的范围：大于已知的两边的差，而小于两边的和．5．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板（60B ∠=）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果75BDE ∠=，那么AMD ∠的度数是（ ）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°D解析：D【分析】 由题意得：∠A=30°，∠FDE=45°，利用平角等于180°，可得到∠ADF 的度数，在△AMD 中，利用三角形内角和为180°，可以求出∠AMD 的度数．【详解】解：∵∠B=60°，∴∠A=30°，∵∠BDE=75°，∠FDE=45°，∴∠ADF=180°-75°-45°=60°，∴∠AMD=180°-30°-60°=90°，故选D ．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理的应用，题目比较简单，关键是要注意角之间的关系．6．如图，直线//,65,30AB CD A E ∠=︒∠=︒，则C ∠等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°B解析：B【分析】根据平行线和三角形外角的性质即可求出C ∠的大小．【详解】如图，设AE 和CD 交于点F ，∵//AB CD ，∴65A DFE ∠=∠=︒（两直线平行同位角相等），∵DFE ∠是CEF △的外角，∴653035C DFE E ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线和三角形外角的性质．熟练利用两个性质证明和求解是解答本题的关键． 7．设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是（ ）． A ．a b =B ．180a b =+°C ．180b a =+︒D ．360b a =+︒A解析：A【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．【详解】∵四边形的内角和等于a ，∴a=(4-2)•180°=360°；∵五边形的外角和等于b ，∴b=360°，∴a=b ．故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键． 8．如图所示，ABC ∆的边AC 上的高是（ ）A ．线段AEB ．线段BAC ．线段BD D ．线段DA C解析：C【分析】 根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高．【详解】A.线段AE 是△ABC 的边BC 上的高，故不符合题意；B.线段BA 不是任何边上的高，故不符合题意；C.线段BD 是△ABC 的边AC 边上的高，故符合题意；D.线段DA 是△ABD 的边BD 上的高，故不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键．9．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）A ．两点之间线段最短B ．长方形的对称性C ．长方形四个角都是直角D ．三角形的稳定性D解析：D【分析】 在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断是利用了三角形的稳定性．【详解】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性，D 正确．故答案选D ．【点睛】本题比较简单主要考查三角形稳定性的实际应用，通常要使一些图形具有稳定的结构，往往是将其转化为三角形而获得．10．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8D解析：D【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．【详解】解：根据题意，得：（n-2）×180=360×3，解得n=8．故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数． 二、填空题11．如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD 、CE 的中点，若AEF 的面积为23cm ，则ABC 的面积是______2cm ．12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可【详解】∵F 是CE 的中点∴∵E 是BD 的中点∴∴∴△ABC 的面积=故答案为：12【点睛】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形的中线解析：12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】∵ F 是CE 的中点，23AEF S cm ∆=∴ 226ACE AEF S S cm ∆∆== ，∵ E 是BD 的中点，∴ ADE ABE S S ∆∆= ，CDE BCE S S ∆∆= ， ∴12ACE ABC S S ∆∆= ， ∴△ABC 的面积=212cm ．故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．12．如图1，ABC 纸片面积为24，G 为ABC 纸片的重心，D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）连结CG ，DG ，并将纸片剪去GDC ，则剩下纸片（如图2）的面积为__________．18【分析】连接BG 根据重心的性质得到△BGC 的面积再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积故可求解【详解】连接BG ∵G 为纸片的重心∴S △BGC=S △ABC=8∵D 为边上的一个四等分点（）∴S △解析：18【分析】连接BG ，根据重心的性质得到△BGC 的面积，再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积，故可求解．【详解】连接BG ，∵G 为ABC 纸片的重心，∴S △BGC =13S △ABC =8 ∵D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <） ∴S △DGC =34S △BGC =6 ∴剪去GDC ，则剩下纸片的面积为24-6=18故答案为：18．【点睛】此题主要考查重心的性质，解题的关键是熟知重心的性质及面积的换算关系．13．设三角形三内角的度数分别为,,x y z ︒︒︒，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对(,)()y z y z <是x 的和谐数对，当150x =时，对应的和谐数对有一个，它为(10,20)；当66x =时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对(,)y z 有三个时，请写出此时x 的范围_______．（3876）（3381）【分析】根据和谐数对的定义求出当x=66时的两组数对；再分当时当时当时三种情况讨论从而得出结论【详解】解：当时180-66=114则114÷3=3838×2=76此时和谐数对解析：（38，76），（33，81） 060x ︒<<︒【分析】根据“和谐数对”的定义求出当x=66时的两组数对；再分当060x ︒<<︒时，当60120x ︒<︒时，当120180x ︒<︒时，三种情况讨论，从而得出结论．【详解】解：当66x =时，180-66=114，则114÷3=38，38×2=76，此时和谐数对为（38，76），或66÷2=33，114-33=81，此时和谐数对为（33，81），若对应的和谐数对(,)y z 有三个，当060x ︒<<︒时，它的和谐数对有(1803,2)x x ︒-，3(,180)22x x ︒-，180(3x ︒-，2(180))3x ︒-； 当60120x ︒<︒时，它的和谐数对有3(,180)22x x ︒-，180(3x ︒-，2(180))3x ︒-， 当120180x ︒<︒时，它的和谐数对有180(3x ︒-，2(180))3x ︒-， ∴对应的和谐数对(,)y z 有三个时，此时x 的范围是060x ︒<<︒，故答案为：（38，76），（33，81）；060x ︒<<︒．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．14．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．5或4【分析】先设长度为412的高分别是ab 边上的边c 上的高为h △ABC 的面积是S 根据三角形面积公式可求结合三角形三边的不等关系可得关于h 的不等式组解即可【详解】解：设长度为412的高分别是ab 边上 解析：5或4．【分析】先设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，根据三角形面积公式，可求222,,412S S S a b c h===，结合三角形三边的不等关系，可得关于h 的不等式组，解即可．【详解】解：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么 222,,412S S S a b c h===， 又∵a-b ＜c ＜a+b ， ∴2222412412S S S S c -<<+， 即2233S S S h <<， 解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故答案为：5或4．【点睛】本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根据三边关系列出不等式组是解题关键．15．如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H 的度数为___________．360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和以及多边形的内角和即可求解【详解】解：∵∠1=∠A+∠B∠2=∠C+∠D∠3=∠E+∠F∠4=∠G+∠H∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F+解析：360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【详解】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．16．三角形有两条边的长度分别是5和7，则第三边a的取值范围是_____．2＜a＜12【分析】已知三角形两边的长根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边a的取值范围是：（7-5）＜a＜（解析：2＜a＜12．【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边a 的取值范围是：（7-5）＜a ＜（7+5），即2＜a ＜12．【点睛】本题考查了三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．17．如图，在ABC 中，点,,D E F 分别在三边上，点E 是AC 的中点，,,AD BE CF 交于一点,283BGD AGE G BD DC S S ===，，，则ABC 的面积是________．30【分析】根据部分三角形的高相等由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC 的面积【详解】解：在和中∵∴∴∵点是的中点∴∴∴故答案为：【点睛】本题中由于部分三角形的高相等可根据这些三角形面积的解析：30【分析】根据部分三角形的高相等，由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC 的面积．【详解】解：在BDG 和GDC 中，∵2BD DC =,∴2BDG GDC SS =，8BGD S =△，∴4GDC S =, ∵点E 是AC 的中点，3AGE S = ∴ 3.GEC AGE SS == ∴84315BEC BDG GDC GEC SS S S =++=++=， ∴230.ABC BEC S S ==故答案为：30．【点睛】本题中由于部分三角形的高相等，可根据这些三角形面积的比等于底边的比例关系来求三角形ABC 的面积是解题关键．18．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则A DB '∠=________．10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=45°再利用三角形的内角和求解【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=×90°=45°∴∠ADC解析：10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA ′D=50°，∠ACD=∠A ′CD=45°，再利用三角形的内角和求解．【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°，∠ACD=∠A′CD=12×90°=45°， ∴∠ADC=∠A′DC=180°−45°−50°=85°，∴∠A′DB=180°−85°×2=10°．故答案为：10°．【点睛】本题利用对折考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 19．如图所示，△ABC 中，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的四等分线相交于D 、E 、F （其中∠CAD ＝3∠BAD ，∠ABE ＝3∠CBE ，∠BCF ＝3∠ACF ），且△DFE 的三个内角分别为∠DFE ＝60°、∠FDE ＝53°、∠FED ＝67°，则∠BAC 的度数为_________°．72【分析】由∠CAD=3∠BAD ∠ABE=3∠CBE ∠BCF=3∠ACF 易得各角与∠ABC ∠ACB ∠BAC 之间的关系由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论【详解】解：∵∠CAD解析：72【分析】由∠CAD=3∠BAD ，∠ABE=3∠CBE ，∠BCF=3∠ACF 易得各角与∠ABC 、∠ACB 、∠BAC 之间的关系，由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论．【详解】解：∵∠CAD=3∠BAD ，∠ABE=3∠CBE ，∠BCF=3∠ACF ，∴∠CAD=34∠BAC ，∠BAD=14∠BAC ，∠ABE=34∠ABC ，∠CBE=14∠ABC ，∠BCF=34∠ACB ，∠ACF=14∠ACB ． ∵∠DFE ＝60°、∠FDE ＝53°、∠FED ＝67°，∴136********4136744BAC ABC ABC ACB ACB BAC ⎧∠+∠=⎪⎪⎪∠+∠=⎨⎪⎪∠+∠=⎪⎩， 解得∠BAC=72°，∠ABC=56°，∠ACB=52°， 故答案为：72．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，以及三角形外角的性质．解题的关键是由外角的性质列出方程组．本题属于中档题，难度不大，但在角的变化上稍显繁琐，一不注意就易失分，做形如此类题型时，牢牢把握等量关系是关键．20．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则DAE ∠的度数为_________．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°∠CAD=54°进而得出∠DAE 的度数进而得出答案【详解】∵ADAE 分别是△ABC 的高和角平分线且∠B=76°∠C=36°∴∠B解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE 的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180763668︒-︒-︒=︒，∠BAD=9076︒-︒=14°，∠CAD=9036︒-︒=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故答案为：20°．【点睛】 本题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAD 和∠CAD 的度数是解题关键．三、解答题21．如图，直线//PQ MN ，点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ，MN 上）的一个动点．（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C 与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．（2）把Rt △ABC 如图2摆放，直角顶点C 在两条平行线之间，CB 与PQ 交于点D ，CA 与MN 交于点E ，BA 与PQ 交于点F ，点G 在线段CE 上，连接DG ，有∠BDF ＝∠GDF ，求AEN CDG ∠∠的值． （3）如图3，若点D 是MN 下方一点，BC 平分∠PBD ，AM 平分∠CAD ，已知∠PBC ＝25°，求∠ACB +∠ADB 的度数．解析：（1）12C ∠=∠+∠，理由见解析；（2）12；（3）75︒． 【分析】（1）过C 作//l MN ，标注字母，如图1所示，根据平行线公理证明//l PQ ，再根据平行线的性质即可求解．（2）先证明∠GDF ＝∠PDC ，可得∠CDG +2∠PDC ＝180°，即∠PDC ＝1902CDG ︒-∠，再证明∠AEN ＝∠CEM 90PDC =︒-∠，再代入AEN CDG∠∠计算即可得到答案； （3）利用角平分线的定义与平行线的性质求解：∠ADB ＝50BKA MAD CAM ∠-∠=︒-∠，再利用（1）的结论可得，∠ACB ＝∠PBC +∠CAM ，从而可得答案．【详解】解：（1）∠C ＝∠1+∠2，证明：过C 作//l MN ，标注字母，如图1所示，∵//l MN ，∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），∵//l MN ，//PQ MN ，∴//l PQ ，∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等），∴∠3+∠4＝∠1+∠2，∴12DCE ∠=∠+∠；（2）如图2，∵∠BDF ＝∠GDF ，∠BDF ＝∠PDC ，∴∠GDF ＝∠PDC ，∵∠PDC +∠CDG +∠GDF ＝180°，∴∠CDG +2∠PDC ＝180°，∴∠PDC ＝1902CDG ︒-∠， 由（1）可得，∠PDC +∠CEM ＝∠C ＝90°，∠AEN ＝∠CEM ，1909090122CDG AEN CEM PDC CDG CDG CDG CDG ⎛⎫︒-︒-∠ ⎪∠∠︒-∠⎝⎭∴====∠∠∠∠； （3）如图3，标注字母，∵BC 平分∠PBD ，AM 平分∠CAD ，∠PBC ＝25°，∴∠PBD ＝2∠PBC ＝50°，∠CAM ＝∠MAD ，∵//PQ MN ，∴BKA ∠＝∠PBD ＝50°，∴∠ADB ＝5050BKA MAD MAD CAM ∠-∠=︒-∠=︒-∠，由（1）可得，∠ACB ＝∠PBC +∠CAM ，∴∠ACB +∠ADB ＝∠PBC +∠CAM 50255075CAM +︒-∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．22．如图，已知在ABC 中，CE 是外角ACD ∠的平分线，BE 是ABC ∠的平分线．（1）求证：2A E ∠=∠．（2）若A ABC ∠=∠，求证：//AB CE ．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证；（2）由∠A=2∠E ，∠A=∠ABC ，∠ABC=2∠ABE 得∠ABE=∠E ，从而AB ∥CE ．【详解】证明：（1）∵ACD ∠是ABC 的一个外角，2∠是BCE 的一个外角，∴ACD ABC A ∠=∠+∠，21E ∠=∠+∠，∴A ACD ABC ∠=∠-∠，21E ∠=∠-∠．∵CE 是外角ACD ∠的平分线，BE 是ABC ∠的平分线，∴22ACD ∠=∠，21ABC ∠=∠，∴2221A ∠=∠-∠2(21)=∠-∠2E =∠．（2）由（1）可知2A E ∠=∠．∵A ABC ∠=∠，2ABC ABE ∠=∠，∴22E ABE ∠=∠，即E ABE ∠=∠，∴//AB CE ．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．23．在ABC ∆中，已知3,7AB AC ==，若第三边BC 的长为偶数，求ABC ∆的周长． 解析：周长为16或18．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边BC 的长为偶数求出符合条件的BC 值，即可求出周长．【详解】 解：在ABC ∆中，3,7AB AC ==，∴第三边BC 的取值范围是：410,BC <<∴符合条件的偶数是6或8，∴当6BC =时，ABC ∆的周长为：36716++=；当8BC =时，ABC ∆的周长为：37818++=．ABC ∆∴的周长为16或18．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．24．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F ．（1）若∠DCB=48°，求∠CEF 的度数；（2）求证：∠CEF=∠CFE ．解析：（1）66°；（2）见解析【分析】（1）依据CD 是高，∠DCB=48°，即可得到∠B=42°，进而得出∠BAC=48°，再根据AE 是角平分线，即可得到∠BAE=12∠BAC=24°，进而得出∠CEF 的度数； （2）根据已知条件可得∠ACD=∠B ，∠BAE=∠CAE ，再根据三角形外角性质，即可得到∠CFE=∠CEF ．【详解】（1）∵CD 是高，∠DCB=48°，∴∠B=42°，又∵∠ACB=90°，∴∠BAC=48°，又∵AE 是角平分线，∴∠BAE=12∠BAC=24°， ∴∠CEF=∠B+∠BAE=42°+24°=66°；（2）∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，∴∠ACD=∠B ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠CAE ，∵∠CFE 是△ACF 的外角，∠CEF 是△ABE 的外角，∴∠CFE=∠ACD+∠CAE ，∠CEF=∠B+∠BAE ，∴∠CFE=∠CEF ． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形的外角性质的运用，解题时注意：同角的余角相等．25．如图，ABC 中，AD 是高，,AE BF 是角平分线，它们相交于点,80O CAB ∠=︒，60C ∠=°，求DAE ∠和BOA ∠的度数．解析：10DAE ∠=︒，120BOA ∠=︒【分析】根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理及三角形的外角性质计算即可．【详解】解：80,CAB ∠=︒且AE 平分,CAB ∠1402CAE CAB ∴∠=∠=︒， 又60,C AD BC ∠=︒⊥，9030,CAD C ∴∠=︒-∠=︒10DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒；60,40C CAE ∠=︒∠=︒，100BEO C CAE ∴∠=∠+∠=︒，又180,ABC C CAB ∠+∠+∠=︒40,ABC ∴∠=︒BF 平分,ABC ∠ 120,2OBE ABC ∴∠=∠=︒ 120BOA OBE BEO ∴∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义以及三角形的外角性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．26．如图，有一块直角三角板XYZ 置在ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．ABC 中，30A ∠=︒．（1）ABC ACB ∠+∠=________．（2）ABX ACX ∠+∠=________．（说明理由）解析：（1）150︒ （2）60︒；理由见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求得答案；（2）先求得XBC XCB ∠+∠=90°，再根据ABX ACX ∠+∠()()ABC ACB XBC XCB =∠+∠-∠+∠即可求得答案．【详解】解：（1）∵180ABC ACB A ∠+∠+∠=︒，30A ∠=︒，∴180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠18030=︒-︒150=︒，故答案为：150°；（2）60ABX ACX ∠+∠=︒，理由如下：∵180XBC XCB X ∠+∠+∠=︒，90X ∠=︒，∴180XBC XCB X ∠+∠=︒-∠18090=︒-︒90=︒，∴ABX ACX ∠+∠ABC XBC ACB XCB =∠-∠+∠-∠()()ABC ACB XBC XCB =∠+∠-∠+∠15090=︒-︒故答案为：60°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键． 27．（1）已知△ABC 中，∠B=5∠A ，∠C-∠B=15°，求∠A ，∠B ，∠C 的度数． （2）在△ABC 中，∠A=50°，BD ，CE 为高，直线BD ，CE 交于点H ，求∠BHC 的度数． 解析：（1）∠A=15°，∠B=75°，∠C =90°；（2）130°【分析】（1）将∠C 用∠A 表示，然后利用三角形内角和即可求解∠A ，然后在依次求出∠B ，∠C 即可；（2）根据题意作出示意图，然后根据四边形内角和即可求出∠DHE ，根据对顶角相等即可求解∠BHC ．【详解】（1）∵∠C-∠B=15°，即∠C =15°+∠B又∵∠B=5∠A∴∠C =15°+5∠A∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+5∠A +15°+5∠A =180°解得∠A=15°∴∠B=75°，∠C =90°∴∠A=15°，∠B=75°，∠C =90°（2）根据题意作出下图，∵BD AC ⊥，CE AB ⊥∴∠BDA =90°，∠CEA=90°∵在四边形AEHD 中，∠A+∠HDA+∠HEA+∠DHE =360°∴∠DHE=360°-∠A-∠HAD-∠HEA=360°-50°-90°-90°=130°∴∠BHC=∠DHE=130°∴∠BHC =130°．【点睛】本题考查了三角形的内角和和四边形内角和，重点是熟记多边形内角和公式． 28．已知在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠的邻补角，请写出BE 与DF 的位置关（2）如图2，若BF 、DE 分别平分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，判断DE 与BF 位置关系并证明；（3）如图3，若BE 、DE 分别五等分ABC ∠、ADC ∠的邻补角（即11,55CDE CDN CBE CBM ∠=∠∠=∠），求E ∠度数．解析：（1）BE DF ⊥，证明见解析；（2）//DE BF ，证明见解析；（3）54°【分析】（1）结论：BE ⊥DF ，如图1中，延长BE 交FD 的延长线于H ，证明∠DEG+∠EDG=90°即可；（2）结论：DE//BF ，如图2中，连接BD ，只要证明∠EDB+∠FBD=180°即可；（3）延长DC 交BE 于H ．由（1）得：180CDN CBM ∠+∠=︒，利用五等分线的定义可求36CDE CBE ∠+∠=︒，由三角形的外角性质得BCD CBE CDE E ∠=∠+∠+∠，代入数值计算即可．【详解】（1）BE DF ⊥．证明：延长BE 、FD 交于G ．在四边形ABCD 中，360A ABC C ADC ，90A C ∠=∠=︒，180ABC ADC ∴∠+∠=︒．180ADC CDN ∠+∠=︒，ABC CDN ∴∠=∠． BE 平分ABC ∠，DF 平分CDN ∠，12ABE ABC ∴∠=∠，12FDN CDN ∠=∠， ABE FDN ∴∠=∠，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG ，∠FDN=∠EDG ，∴∠DEG+∠EDG=90°，∴∠EGD=90°，即BE ⊥DF ．（2）//DE BF ．证明：连接DB ．180ABC MBC ∠+∠=︒，180ADC CDN ∠+∠=︒．又180ABC ADC ∠+∠=︒，180MBC CDN ∴∠+∠=︒． BF 、DF 平分ABC ∠、ADC ∠的邻补角， 12CBF MBC ∴∠=∠，12CDE CDN ∠=∠， 90CBF CDE ∴∠+∠=︒．在Rt BDC 中，90CDB DBC ∠+∠=︒，180CDB DBC CBF CDE ∴∠+∠+∠+∠=︒，180EDB DBF ∴∠+∠=︒，//DE BF ∴．（3）延长DC 交BE 于H ．由（1）得：180CDN CBM ∠+∠=︒．BE 、DE 分别五等分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，1180365CDE CBE ∴∠+∠=⨯︒=︒， 由三角形的外角性质得，BHD CDE E ∠=∠+∠，BCD BHD CBE ∠=∠+∠，BCD CBE CDE E ∴∠=∠+∠+∠，903654E ∴∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查多边形内角和，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．。

三角形培优训练100题集锦(一)2024

三角形培优训练100题集锦(一)2024

三角形培优训练100题集锦（一）【引言概述】三角形是数学中的一个重要几何概念，对于学生的数学培优训练具有重要意义。

本文整理了一份包含一百道三角形相关题目的训练集锦，旨在帮助学生系统地掌握三角形的性质、定理和计算方法，提高解题能力。

以下将从五个大点来阐述这份题集的内容。

【大点1：三角形基础知识】1. 三角形的定义及分类2. 三角形内角和的性质3. 三角形边长关系：三角不等式定理4. 三角形的周长和面积计算公式5. 三角形的特殊点：重心、垂心、外心、内心、费马点等【大点2：三角形的相似与全等】1. 相似三角形的性质2. 判定三角形相似的方法3. 三角形的全等的条件4. 利用相似三角形或全等三角形解题的方法5. 实际问题中的应用：测量、定位、相似比例等【大点3：三角形的角与线段关系】1. 角的平分线与垂直平分线的特点2. 三角形的角平分线定理3. 三垂线定理与垂心定理4. 外角与内角的关系5. 角与弧的关系及其应用：圆周角、弦切角、弧度制等【大点4：三角形的特殊性质与定理】1. 等腰三角形的性质与判定2. 直角三角形的性质与判定3. 正三角形的性质及计算4. 等边三角形的性质及计算5. 锐角三角形和钝角三角形的性质及判定【大点5：三角形的应用问题】1. 三角形的角度测量与边长测量2. 三角形在建筑工程中的应用：测量高度、角度与距离3. 三角形在地理学中的应用：测量地底深度、地图测量等4. 三角形在航空航天领域的应用：导航、角度计算等5. 三角形在日常生活中的应用：地理问题、旅行导航、地震角度计算等【总结】通过对本文中所整理的三角形培优训练100题集锦的学习，同学们将能够掌握三角形的基础知识，灵活运用三角形的相似与全等等性质和定理，熟练解决三角形的角与线段关系问题，理解各种特殊三角形的性质，并能够应用三角形的知识解决实际问题。

这将为学生的数学学习和思维能力的提高提供坚实的基础。

相似三角形培优训练(含答案)

相似三角形培优训练(含答案)

相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形的提高拓展训练全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．全等三角形证明经典题1已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD2已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC4已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA5已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E 在AD上。

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形经典培优题型(含答案)1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，求AD的长度。

解：由题意可得AD=AB-DB，又BD=DC=AC/2=1，故AB=AD+DB=AD+1，代入AB=4得AD=3.2.已知四边形BCDE中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD的中点，证明∠1=∠2.解：由于BC=DE，且∠B=∠E，所以△BCE≌△EDC，从而∠1=∠BCE=∠EDC=∠2.3.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，证明EF=AC。

解：由于EF//AB，所以△EFC∼△ABC，从而EF/AC=FC/BC，而CD=DE，所以FC=CD，代入得EF/AC=CD/BC，又由于∠1=∠2，所以△BCD∼△ECD，从而CD/BC=ED/AC，代入得EF/AC=ED/AC，即EF=AC。

4.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，证明∠B=2∠C。

解：由于AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，从而∠B=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD，又由于AC=AB+BD，所以BD=AC-AB，代入得∠B=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC，又由于∠CAD=∠CAB，所以∠B=∠CAB+∠ABC=2∠C。

5.已知三角形ABC中，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，证明AE=AD+BE。

解：由于AC平分∠BAD，所以∠CAD=∠CAB，从而△ABE∼△DCE，所以AE/AD=BE/CD，又由于∠B+∠D=180°，所以CD=AB，代入得AE/AD=BE/AB，即AE=AD·(BE/AB)，又由于CE⊥AB，所以△CEB为直角三角形，从而BE/AB=CE/AC，代入得AE=AD·(CE/AC)，又由于AC平分∠BAD，所以△ACD∼△ABC，从而CE/AC=CD/AB，代入得AE=AD·(CD/AB)，又由于CD=AB-BD，所以AE=AD·((AB-BD)/AB)，即AE=AD+BE·(AB/AD-1)，又由于AB>AD，所以AB/AD-1<AB/AD，从而AE<AD+BE·(AB/AD)，即AE<AD+BE。

(必考题)初中八年级数学上册第十一章《三角形》经典练习(提高培优)

(必考题)初中八年级数学上册第十一章《三角形》经典练习(提高培优)

一、选择题1．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．不确定D 解析：D【分析】根据多边形的外角和等于360°判定即可．【详解】∵多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数不能确定．故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．2．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（ ）A ．4，5，6B ．1.5，2，2.5C ．13，14，15D ．1，3D 解析：D【分析】计算较小两边的和，与最大的边比较，大于最大的边时三角形存在，依此判断即可.【详解】∵4+5＞6，∴能构成三角形；∵1.5+2＞2.5，∴能构成三角形； ∵14+15＞13， ∴能构成三角形；∵＜1+2=3，∴不能构成三角形；故选D.【点睛】本题考查了已知线段长判断三角形的存在，熟记三角形存在的条件是解题的关键. 3．如图，AD 是ABC 的外角CAE ∠的平分线，35B ∠=︒，60=︒∠DAC ，则ACD ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．85︒C ．60︒D ．95︒D解析：D【分析】 根据角平分线的定义可得∠DAC ＝∠DAE ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵AD 是∠CAE 的平分线，60=︒∠DAC ，∴∠DAC ＝∠DAE ＝60°，又∵35B ∠=︒由三角形的外角性质得，∠D ＝∠DAE−∠B ＝60°−35°＝25°，∴在△ACD 中，∠ACD ＝180°−∠DAC －∠D ＝180°−60°−25°＝95°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．4．将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形，则原多边形的边数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．以上均有可能D解析：D【分析】将一个多边形纸片剪去一个内角可以多三种情况比原多边形边数少1，不变，多1，利用内角和公式求出内角的和与外角关系即可求出．【详解】如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF 后，多边形的边数和原多边形边数相同为n ， ()21804360n -⨯︒=⨯︒，n=10，如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF后，多边形的边数比原多边形边数少1为n-1，()n--⨯︒=⨯︒，121804360n=11，如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠GCF后，多边形的边数比原多边形边数多1为n+1，()n-⨯︒=⨯︒，+121804360n=9，原多边形的边数为9,10,11．故选择：D．【点睛】本题考查多边形剪去一个角问题，掌握剪去一个角后对多边形的边数分类讨论是解题关键．5．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，6，10C解析：C【分析】根据三角形三边关系逐一进行判断即可．【详解】A、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；B、1+3=4＜5，不能构成三角形，故不符合题意；C、2+3=5>4，可以构成三角形，故符合题意；D、2+6=8＜10，不能构成三角形，故不符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键．6．在下列长度的四根木棒中，能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形的是（）A．2m B．3m C．5m D．7m C解析：C【分析】判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】解：设三角形的第三边为x m，则5-2＜x＜5+2即3＜x＜7，∴当x=5时，能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．7．三角形的两条边长为3和7，那么第三边长可能是（）A．1B．4C．7D．10C解析：C【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，确定第三边的取值范围即可．【详解】解：三角形的两条边长为3和7，设第三边为x，则第三边的取值范围是：7-3＜x＜7+3，解得，4＜x＜10，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据两边长确定第三边的取值范围是解题关键．8．长度分别为2，3，4，5的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．8 B．5 C．6 D．7C【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．【详解】解：①长度分别为5、4、5，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、7、5，不能构成三角形；③长度分别为2、3、9，不能构成三角形；④长度分别为7、3、4，不能构成三角形；⑤长度分别为3、5、6，能构成三角形，且最长边为6；⑥长度分别为2、4、8，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为6．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．9．如图，△ABC中AC边上的高是哪条垂线段．（）A．AE B．CD C．BF D．AF C解析：C【分析】根据三角形的高的定义，△ABC中AC边上的高是过B点向AC作的垂线段，即为BF．【详解】解：∵BF⊥AC于F，∴△ABC中AC边上的高是垂线段BF．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．10．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8D解析：D【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．解：根据题意，得：（n-2）×180=360×3，解得n=8．故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．二、填空题11．七边形的外角和为________．360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解；【详解】∵多边形的外角和都是360°∴七边形的外角和为360°故答案为：360°【点睛】本题考查了多边形的外角的性质掌握多边形的外角和等于36 解析：360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解；【详解】∵ 多边形的外角和都是360°，∴七边形的外角和为360°，故答案为：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角的性质，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键； 12．三角形有两条边的长度分别是5和7，则第三边a 的取值范围是_____．2＜a ＜12【分析】已知三角形两边的长根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边a 的取值范围是：（7-5）＜a ＜（解析：2＜a ＜12．【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边a 的取值范围是：（7-5）＜a ＜（7+5），即2＜a ＜12．【点睛】本题考查了三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．13．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可【详解】解：∵BD=DC∴S△ABD=S△ADC=×6=3（cm2）∵AE=DE∴S△AEB=S△AEC=×3=（cm2）∴S△BEC解析：3 2【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可．【详解】解：∵BD=DC，∴S△ABD=S△ADC=12×6=3（cm2），∵AE=DE，∴S△AEB=S△AEC=12×3=32（cm2），∴S△BEC=6-3=3（cm2），∵EF=FC，∴S△BEF=12×3=32（cm2），故答案为32．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．如图所示，△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB的四等分线相交于D、E、F（其中∠CAD＝3∠BAD，∠ABE＝3∠CBE，∠BCF＝3∠ACF），且△DFE的三个内角分别为∠DFE ＝60°、∠FDE＝53°、∠FED＝67°，则∠BAC的度数为_________°．72【分析】由∠CAD=3∠BAD∠ABE=3∠CBE∠BCF=3∠ACF易得各角与∠ABC∠ACB∠BAC之间的关系由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论【详解】解：∵∠CAD【分析】由∠CAD=3∠BAD ，∠ABE=3∠CBE ，∠BCF=3∠ACF 易得各角与∠ABC 、∠ACB 、∠BAC 之间的关系，由三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程组求解即可得出结论．【详解】解：∵∠CAD=3∠BAD ，∠ABE=3∠CBE ，∠BCF=3∠ACF ，∴∠CAD=34∠BAC ，∠BAD=14∠BAC ，∠ABE=34∠ABC ，∠CBE=14∠ABC ，∠BCF=34∠ACB ，∠ACF=14∠ACB ． ∵∠DFE ＝60°、∠FDE ＝53°、∠FED ＝67°，∴136********4136744BAC ABC ABC ACB ACB BAC ⎧∠+∠=⎪⎪⎪∠+∠=⎨⎪⎪∠+∠=⎪⎩， 解得∠BAC=72°，∠ABC=56°，∠ACB=52°，故答案为：72．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，以及三角形外角的性质．解题的关键是由外角的性质列出方程组．本题属于中档题，难度不大，但在角的变化上稍显繁琐，一不注意就易失分，做形如此类题型时，牢牢把握等量关系是关键．15．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95︒，王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ，一直到F 时，他在行程中共转过了_____度．275【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数由多边形的外角和即可求解【详解】解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数∵多边形的外角和为360°∴解析：275【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，由多边形的外角和即可求解．解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，∵多边形的外角和为360°，∴他在行程中共转过了()36018095275︒-︒-︒=︒，故答案为：275．【点睛】本题考查多边形的外角和，明确王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数是解题的关键．16．多边形每一个内角都等于90︒，则从此多边形一个顶点出发的对角线有____条．1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形就可以得到结果【详解】解：设这个多边形是n 边形解得∴是四边形∴从一个顶点出发的对角线有1条故答案是：1【点睛】本题考查多边形内角和公式解题的关键是掌握多 解析：1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形，就可以得到结果．【详解】解：设这个多边形是n 边形，()180290n n ︒-=︒，解得4n =，∴是四边形，∴从一个顶点出发的对角线有1条．故答案是：1．【点睛】本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．17．一个三角形的三个内角度数之比为2:3:5，那这个三角形一定是三角形__________．直角【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°可求出三个内角分别是36°54°90°则这个三角形一定是直角三角形【详解】解：设三角分别为2x3x5解析：直角【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．【详解】解：设三角分别为2x ，3x ，5x ，依题意得2x +3x +5x ＝180°，解得x ＝18°．故三个角的度数分别为36°，54°，90°．故答案为：直角．此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．18．如图，已知ABC 的角平分线BD ，CE 相交于点O ，∠A=60°，则∠BOC=__________．【分析】根据三角形的内角和定理角平分线的定义即可得【详解】BDCE 是的角平分线故答案为：【点睛】本题考查了三角形的内角和定理角平分线的定义熟练掌握角平分线的定义是解题关键解析：120︒【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线的定义即可得．【详解】60A ∠=︒，180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，BD 、CE 是ABC 的角平分线，11,22OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ()1602OBC OCB ABC ACB +=∠+∠∴=∠∠︒， ()180********OBC OCB BOC ∠=︒-︒∴∠+∠=︒=-︒，故答案为：120︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．19．如图，线段AD ，BE ，CF 两两相交于点H ，I ，G ，分别连接AB ，CD ，EF ．则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____．360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可【详解】解：∵∠BHI=∠A+∠B ∠DIF=∠C+∠D ∠FGH=∠E+∠F ∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B +∠C+∠D+∠E+∠解析：360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可．【详解】解：∵∠BHI=∠A+∠B ，∠DIF=∠C+∠D ，∠FGH=∠E+∠F ，∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ，∵∠BHI+∠DIF+∠FGH=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，故答案为：360°．【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，三角形的外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的外角和等于360°．20．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，13AE AD =，12BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．【分析】直接根据高相等的三角形面积之比等于底之比【详解】解：∵是边上的中线∴BD=DC 又∵的面积是2和的高相等∴∵和的高相等∴∴又∴同理：故答案为：【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形面积之比等于解析：49【分析】直接根据高相等的三角形，面积之比等于底之比．【详解】解：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=DC又∵ABC ∆的面积是2，D AB ∆和D A C ∆的高相等∴D DC S =S =1AB A ∆∆ ∵13AE AD = E AB ∆和BDE ∆的高相等∴E BDE ABD 11S =S =S 23AB ∆∆∆ ∴BDE 2S =3∆ 又12BF EF =，∴1B 3BF E =，同理： DEF BFD BDE 24S =2S =S =39∆∆∆ 故答案为：49． 【点睛】 此题主要考查根据高相等的三角形，面积之比等于底之比求三角形的面积，解题的关键是正确理解高相等的三角形之间的关系．三、解答题21．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC 的顶点都在方格纸格点上．将△ABC 向左平移2格，再向上平移4格．（1）请在图中画出平移后的△A ′B ′C ′；（2）在图中画出△ABC 的高CD ，中线BE ；（3）在图中能使S △ABC ＝S △PBC 的格点P 的个数有 个（点P 异于点A ）．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）4．【分析】（1）利用网格特点和平移的性质，分别画出点A 、B 、C 的对应点A '、B '、C '即可； （2）利用网格特点，作CD ⊥AB 于D ，找出AC 的中点可得到BE ；（3）利用平行线的性质过点A 作出BC 的平行线进而得出符合题意的点．【详解】（1）如图所示：△A ′B ′C ′即为所求；（2）如图所示：CD 即为所求；（3）如图所示：能使S △PBC ＝S △ABC 的格点P 的个数有4个．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P 点位置是解题关键．22．如图，在ABC ∆中，48,A CE ∠=︒是ACB ∠的平分线， B C D 、、在同一直线上，,40.BEC BFD D ∠=∠∠=︒（1）求BCE ∠的度数；（2）求B 的度数．解析：（1）40∠=︒ECB ；（2）52B ︒∠=【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行判定//DF CE ，然后再根据平行线的性质求解； （2）根据角平分线的定义求得80ACB ︒∠=，然后利用三角形内角和求解．【详解】解：（1）BEC BFD ∠=∠，//DF CE ∴，ECB D ∴∠=∠． 40D ︒∠=，40ECB ∴∠=︒．（2）CE 是ACB ∠的平分线．40ECB ACE ︒∴∠=∠=，80ACB ︒∴∠=．180A B ACB ︒∠+∠+∠=，180180488052B A ACB ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=．【点睛】本题考查平行线的判定和性质以及三角形内角和，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．23．如图，已知长方形ABCD 中，10cm AD =，6cm DC =，点F 是DC 的中点，点E 从A 点出发在AD 上以每秒1cm 的速度向D 点运动，运动时间设为t 秒．（假定0t 10<<）（1）当5t =秒时，求阴影部分（即三角形BEF ）的面积；（2）用含t 的式子表示阴影部分的面积；并求出当三角形EDF 的面积等于3时，阴影部分的面积是多少？（3）过点E 作//EG AB 交BF 于点G ，过点F 作//FH BC 交BE 于点H ，请直接写出在E 点运动过程中，EG 和FH 的数量关系．解析：（1）4522cm ；（2）23302t cm ⎛⎫- ⎪⎝⎭；218cm ；（3）53EG FH = 【分析】（1）由长方形的性质得出10cm BC AD ==，6cm AB DC ==，由5t =得AE=5，DE=10-5=5，根据ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形即可求解；（2）由题意得AE=t ，DE=10-t ，根据ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形表示出阴影部分的面积；由12EDF S DE DF =⋅△求出t 的值，代入计算即可； （3）由长方形ABCD 得AD CD ⊥，根据平行线的性质得EG HF ⊥，根据平行线间的距离相等可得DE ，AE ，DF ，CF 分别等于,,,EGF EGB EHF BHF △△△△的高，由BEF S的面积即可得出结论．【详解】解：（1）∵长方形ABCD 中，10cm AD =，6cm DC =，∴10cm BC AD ==，6cm AB DC ==，∵点F 是DC 的中点，∴3cm DF CF ==，当5t =秒时，AE=5cm ，DE=10-5=5 cm ，∵ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形 =()()()1111066510353222⨯-⨯-⨯-⨯ =156015152--- =4522cm ； （2）由题意得AE=t ，DE=10-t ， ∵ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形 =()()1111066103310222t t ⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =360315152t t ---+=3302t -， ∴用含t 的式子表示阴影部分的面积为：23302t cm ⎛⎫-⎪⎝⎭； 当三角形EDF 的面积等于3时，12EDF S DE DF =⋅△=()13102t ⨯⨯-=3， 解得：8t =， 8t =时，38=30=182S ⨯-阴影2cm ； （3）∵长方形ABCD∴AD CD ⊥，//,//AB CD AD BC ， ∵//EG AB ，//FH BC ，∴EG HF ⊥，,AD EG CD HF ⊥⊥，∴DE ，AE 分别等于,EGF EGB △△的EG 边上的高，DF ，CF 分别等于,EHF BHF △△的FH 边上的高， ∴11112222BEF S EG DE EG AE HF DF HF CF =⋅+⋅=⋅+⋅△， ∴()()1122EG DE AE HF DF CF +=+，即EG AD HF CD ⋅=⋅， ∵10cm AD =，6cm DC =，∴106EG HF =，即53EG FH =．【点睛】本题是一个动点问题，考查了平行线间的距离，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形面积的计算方法．24．如图①，ABC 中，BD 平分ABC ∠，且与ABC 的外角ACE ∠的角平分线交于点D ．（1）若75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，求D ∠的度数；（2）若把A ∠截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想D ∠、M ∠、N ∠的关系，并说明理由．解析：（1）30D ∠=︒；（2）()11802D M N ∠=∠+∠-︒，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线定义，先求出∠D 、∠A 的等式，推出∠A=2∠D ，最后代入求出即可；（2）根据（1）中的结论即可得到结论．【详解】解：ACE A ABC ∠=∠+∠， ACD ECD A ABD DBE ∴∠+∠=∠+∠+∠，DCE D DBC ∠=∠+∠，又∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACE ∠，ABD DBE ∴∠=∠，ACD ECD ∠=∠，()2A DCE DBC ∴∠=∠-∠，D DCE DBC ∠=∠-∠，2A D ∴∠=∠，75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，60A ∴∠=︒，30D ∴∠=︒；（2）()11802D M N ∠=∠+∠-︒； 理由：延长BM 、CN 交于点A ，则180A BMN CNM ∠=∠+∠-︒，由（1）知，12D A ∠=∠， ()11802D M N ∴∠=∠+∠-︒．【点睛】此题考查三角形内角和定理以及角平分线的定义的综合运用，解此题的关键是求出∠A=2∠D．25．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB= ，则∠ADB= ．解析：（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=12∠A=35°；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A，∠A=α，∴∠D=12α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-12α；（3）如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∴∠DAM=12∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．26．已知一个n 边形的每一个内角都等于120°．（1）求n 的值；（2）求这个n 边形的内角和；（3）这个n 边形内一共可以画出几条对角线？解析：（1）6；（2）720°；（3）9条【分析】（1）分别用两个式子表示多边形的内角和，列出方程，求解即可；（2）根据多边形内角和公式即可求解；（3）根据对角线的定义求出每个顶点的对角线条数，再求解即可．【详解】解：（1）由题意得()2180120n n -︒=︒，解得 6n =．（2）()62180720-⨯︒=︒，所以这个多边形的内角和为720°．（3）六边形每个顶点可以引6-3=3条对角线， 所以一共可画6392⨯=条对角线． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形对角线的定义，熟记多边形的内角和公式，理解对角线的定义是解题关键．27．如图，在BCD △中，D 为BC 上一点，12∠=∠，34∠=∠，60BAC ∠=︒，求DAC ∠，ADC ∠的度数．解析：∠DAC=20°，∠ADC=80°【分析】设∠1＝∠2＝x ，再用x 表示出∠3的度数，由三角形内角和定理得出∠2＋∠4的度数，进而可得出x 的值，由此得出结论．【详解】设∠1=∠2=x ，则∠3=∠4=2x ，∵∠BAC=60°，∴∠2+∠4=180°-60°=120°，即x+2x=120°，∴x=40°，即∠ADC=80°，∴∠DAC=∠BAC-∠1=60°-40°=20°．【点睛】本题考查的是三角形内角和外角的相关知识，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．28．如图，是A 、B 、C 三个村庄的平面图，已知B 村在A 村的南偏西65°方向，C 村在A 村的南偏东15°方向，C 村在B 村的北偏东85°方向，求从C 村观测A 、B 两村的视角ACB ∠的度数．解析：80ACB ∠=︒【分析】根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可得到结论.【详解】解：由已知，265∠=︒，315∠=︒，85DBC ∠=︒∵//BD AE∴1265∠=∠=︒∴41856520DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒在ABC 中18018065152080ACB ABC BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查的是方向角的概念，平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和是解答此题的关键．。

八年级数学上册第十一章【三角形】经典练习卷(培优提高)

八年级数学上册第十一章【三角形】经典练习卷(培优提高)

一、选择题1．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（ ）A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．175︒2．下列说法正确的是（ ）A ．射线AB 和射线BA 是同一条射线B ．连接两点的线段叫两点间的距离C ．两点之间，直线最短D ．七边形的对角线一共有14条3．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）A ．1,2,3B ．5,12,13C ．4,5,10D ．3,3,64．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）A ．4cm, 5cm,9cmB ．4cm, 5cm, 6cmC ．5cm,12cm,6cmD ．4cm,2cm,2cm6．如图，为估计池塘岸边A 、B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得OA ＝15米，OB=10米，A 、B 间的距离不可能是（ ）A ．20米B ．15米C ．10米D ．5米7．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板（60B ∠=）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果75BDE ∠=，那么AMD ∠的度数是（ ）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°8．如图所示，ABC ∆的边AC 上的高是（ ）A ．线段AEB ．线段BAC ．线段BD D ．线段DA 9．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）A ．两点之间线段最短B ．长方形的对称性C ．长方形四个角都是直角D ．三角形的稳定性10．如图，在七边形ABCDEFG 中，AB ，ED 的延长线交于点O ．若1,2,3,4∠∠∠∠的外角和于210°，则BOD ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°11．如图，105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．50°二、填空题12．若等腰三角形两边的长分别为3cm 和6cm ，则此三角形的周长是______________cm ． 13．如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1=______°．14．已知三角形三边长分别为m ，n ，k ，且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=，则这个三角形最长边k 的取值范围是________．15．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．16．如图，在ABC 中，点,,D E F 分别在三边上，点E 是AC 的中点，,,AD BE CF 交于一点,283BGD AGE G BD DC S S ===，，，则ABC 的面积是________．17．如图，在ABC 中，80B ∠=︒，BAC ∠和BCD ∠的平分线交于点E ，则E ∠的度数是______．18．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95︒，王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ，一直到F 时，他在行程中共转过了_____度．19．一副直角，三角板有一个角的顶点如图所示重合，则下列说法中正确的有_________．①如图 1，若 AB ⊥AE ，则∠BFC=75°；②图 2 中 BD 过点C ，则有∠DAE+∠DCE=45°；③图 3中∠DAE+∠DFC 等于 135°；④保持重合的顶点不变，改变三角板BAD 的摆放位置，使得D 在边AC 上，则∠BAE=105°． 20．一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则BFD ∠的度数是______．21．如图，线段AD ，BE ，CF 两两相交于点H ，I ，G ，分别连接AB ，CD ，EF ．则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____．三、解答题22．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．23．如图，在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=310°，CF 平分∠DCB ，FC 的延长线与五边形ABCDE 外角平分线相交于点P ，求∠P 的度数24．如图，A 、O 、B 三点在同一直线上，OE ，OF 分别是∠BOC 与∠AOC 的平分线．求：（1）当∠BOC=30°时，∠EOF 的度数；（2）当∠BOC=60°时，∠EOF等于多少度？（3）当∠BOC=n°时，∠EOF等于多少度？（4）观察图形特点，你能发现什么规律？25．观察探究及应用．（1）如图，观察图形并填空：一个四边形有_______条对角线；一个五边形有_______条对角线；一个六边形有_______条对角线；（2）分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可作_______条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作_______条对角线；（3）结论：一个凸n边形有_______条对角线；（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？一、选择题1．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（ ）A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．175︒2．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（ ）A ．4，5，6B ．1.5，2，2.5C ．13，14，15D ．1，2，3 3．若一个三角形的三边长分别为3，7，x ，则x 的值可能是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．114．如图，在ABC 中，55A ∠=︒，65C =︒∠，BD 平分ABC ∠，//DE BC ，则BDE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．25°C ．30°D ．35°5．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（ ）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90°6．三角形的两条边长为3和7，那么第三边长可能是（ ）A ．1B ．4C ．7D ．107．正十边形每个外角等于（ ）A ．36°B ．72°C ．108°D ．150°8．现有两根木棒，长度分别为5cm 和13cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A ．20cm 的木棒B ．18cm 的木棒C ．12cm 的木棒D ．8cm 的木棒 9．设四边形的内角和等于,a 五边形的外角和等于,b 则a 与b 的关系是（ ） A ．a b = B ．120a b =+ C ．180b a =+︒ D ．360b a =+︒ 10．如图，已知AE 交CD 于点O ，AB ∥CD ，∠A ＝50°，∠E ＝15°，则∠C 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．35°D ．15°11．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题12．如图，BF 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD ，BF 与CE 交于G ，若130,90BDC BGC ∠=︒∠=︒，则∠A 的度数为_________．13．如图，五边形ABCDE 中，//AE BC ，则C D E ∠+∠+∠的度数为__________．14．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，25A ∠=︒，D 是AB 上一点，将Rt ABC ∆沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于_______．15．多边形每一个内角都等于108°，多边形一个顶点可引的对角线的条数是________条． 16．设三角形三内角的度数分别为,,x y z ︒︒︒，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对(,)()y z y z <是x 的和谐数对，当150x =时，对应的和谐数对有一个，它为(10,20)；当66x =时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对(,)y z 有三个时，请写出此时x 的范围_______．17．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147∠=︒，220∠=︒，那么3∠= __________．18．如图，点P 是三角形三条角平分线的交点，若∠BPC=100︒，则∠BAC=_________．19．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．20．如图，在一个四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，且∠ABC=80°，∠BCD=70°，则∠AED=_________．21．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．（填写度数）．三、解答题22．在ABC ∆中， ,AB AC CG BA =⊥交BA 的延长线于点G ，点D 是线段BC 上的一个动点．特例研究：()1当点D 与点B 重合时，过B 作BF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，如图①所示，通过观察﹑测量BF 与CG 的长度，得到BF CC =．请给予证明．猜想证明：()2当点D 由点B 向点C 移动到如图②所示的位置时，过D 作DF AC ⊥交CA 的延长线于点F ，过D 作DE BA ⊥交BA 于点E ，此时请你通过观察，测量DE DF 、与CG 的长度，猜想并写出DE DF 、与CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．拓展延伸：()3当点D 由点B 向点C 继续移动时（不与C 重合） ，过D 作DF AC ⊥交AC 于点F ，过D 作 DF BA ⊥交BA （或BA 的延长线）于点E ，如图③，图④所示，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立（不用证明）23．如图，在ABC 中，A ACB ∠=∠，CD 为ABC 的角平分线，CE 是ABC 的高．（1）若15DCB ∠=︒，求CBD ∠的度数；（2）若36DCE ∠=︒，求ACB ∠的度数．24．在ABC 中，,20A B C A B ∠+∠=∠∠-∠=︒，（1）求A ∠，B ，C ∠的度数；（2）ABC 按角分类，属于什么三角形ABC 按边分类，属于什么三角形？25．如图，有一块直角三角板XYZ 置在ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．ABC 中，30A ∠=︒．（1）ABC ACB ∠+∠=________．（2）ABX ACX ∠+∠=________．（说明理由）一、选择题1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（ ）A ．三角形两边之和大于第三边B ．三角形具有稳定性C ．三角形的内角和是180D ．直角三角形两个锐角互余2．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°3．如图，ABC 中，BC 边上的高是（ ）A ．AEB ．ADC ．CD D ．CF4．如图，在ABC 中，55A ∠=︒，65C =︒∠，BD 平分ABC ∠，//DE BC ，则BDE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．25°C ．30°D ．35°5．如图，//AB CD ，40C ∠=︒，60A ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°6．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（ ）A ．18B ．19C ．20D ．217．若一个三角形的三个内角的度数之比为11:13:24，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 8．下列说法正确的有（ ）个①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C 、D 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形．A ．3B ．2C ．1D ．09．现有两根木棒，长度分别为5cm 和13cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A ．20cm 的木棒B ．18cm 的木棒C ．12cm 的木棒D ．8cm 的木棒 10．如图，小明从点A 出发沿直线前进9米到达点,B 向左转45后又沿直线前进9米到达点C ，再向左转45后沿直线前进9米到达点D ……照这样走下去，小明第一次回到出发点A 时所走的路程为（ ）A ．72米B ．80米C ．100米D ．64米11．如图，在七边形ABCDEFG 中，AB ，ED 的延长线交于点O ．若1,2,3,4∠∠∠∠的外角和于210°，则BOD ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°二、填空题12．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．13．如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，过点C 作CD ∥OB 交∠AOB 的平分线OE 于点F ，作CH ⊥OB 交BO 的延长线于点H ，若∠EFD ＝α，现有以下结论：①∠COF ＝α；②∠AOH ＝180°﹣2α；③CH ⊥CD ；④∠OCH ＝2α﹣90°．其中正确的是__（填序号）．14．已知三角形三边长分别为m ，n ，k ，且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=，则这个三角形最长边k 的取值范围是________．15．过n 边形的一个顶点有9条对角线，则n 边形的内角和为______．16．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则A DB '∠=________．17．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95︒，王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ，一直到F 时，他在行程中共转过了_____度．18．如图，在ABC 中，已知66ABC ∠=︒，54ACB ∠=︒，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，EHF ∠的度数是________．19．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则DAE ∠的度数为_________．20．如图，P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点，过点P 作PQ //BC ，交DE 于点Q ，则∠EPQ 的度数为_____．21．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，AE BD ⊥．若30ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CAE ∠的度数为_______︒．三、解答题22．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A 、B 、C 均在格点上．（1）过点A 画线段BC 的垂线，垂足为E ；（2）过点A 画线段AB 的垂线，交线段CB 的延长线于点F ；（3）线段BE 的长度是点 到直线 的距离；（4）线段AE 、BF 、AF 的大小关系是 ．（用“＜”连接）23．如图，AF ，AD 分别是ABC 的高和角平分线，且34B ∠=︒，76C ∠=︒，求DAF ∠的度数．24．已知：180,BDG EFG B DEF ∠+∠=︒∠=∠．（1）如图1，求证：//DE BC ．（2）如图2，当90A EFG ∠=∠=︒时，请直接写出与C ∠互余的角．25．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC ∠=︒，70C ∠=︒．求EAD ∠和∠BOE 的度数．。

成都石室天府中学八年级数学上册第十一章《三角形》经典习题(提高培优)

成都石室天府中学八年级数学上册第十一章《三角形》经典习题(提高培优)

一、选择题1．如图，//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则E ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒ 2．下列说法正确的是（ ）A ．射线AB 和射线BA 是同一条射线B ．连接两点的线段叫两点间的距离C ．两点之间，直线最短D ．七边形的对角线一共有14条 3．如图，ABC 中，BC 边上的高是（ ）A ．AEB ．ADC ．CD D ．CF4．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ）A ．12B ．10C ．9D ．6 5．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（ ）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90° 6．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21 7．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A ．1，2，3B ．1，3，5C ．2，3，4D ．2，6，10 8．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A ．2,2,4 B ．3,4,5 C ．1,2,3 D ．2,3,6 9．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90° 10．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4 11．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板（60B ∠=）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果75BDE ∠=，那么AMD ∠的度数是（ ）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°12．如图，在ABC ∆中，80,BAC ∠=︒点D 在BC 边上，将ABD △沿AD 折叠，点B 恰好落在AC 边上的点'B 处，若'20B DC ∠=．则C ∠的度数为（ ）A ．20B ．25C ．35D ．4013．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）A ．两点之间线段最短B ．长方形的对称性C ．长方形四个角都是直角D ．三角形的稳定性 14．如图，在ABC 中，70B ∠=，D 为BC 上的一点，若ADC x ∠=，则x 的度数可能为（ ）A ．30°B ．60°C ．70°D ．80°15．如图，105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．50°二、填空题16．2016年2月6日凌晨，宝岛高雄发生6.7级地震，得知消息后，中国派出武警部队探测队，探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上的,A B 两处，用仪器探测生命迹象C ，已知探测线与地面的夹角分别是30︒和60︒（如图)，则C ∠的度数是_________．17．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线18．将一副直角三角尺所示放置，已知//AE BC ，则AFD ∠的度数是__________．19．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．20．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．21．如图，在一个四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，且∠ABC=80°，∠BCD=70°，则∠AED=_________．22．一块含45°角的直角三角板如图放置，其中，直线//a b ，185∠=︒，则2∠=______度．23．如图，∠BAK ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＋∠E ＋∠F ＋∠MGN ＋∠H ＋∠K ＝________．24．如图，△ABC 中，D 为BC 边上的一点，BD ：DC=2：3，△ABC 的面积为10，则△ABD 的面积是_________________25．如图，若//AB CD ，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，90BED ∠=，则BFD ∠=______．26．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______．三、解答题27．已知：在RT △ABC 中，∠ACB ═90°，CD ⊥AB ，AE 是∠CAB 的角平分线，AE 与CD 交于点F ．（1）如图1，求证：∠CEF ＝∠CFE ．（2）如图2，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，请直接写出图中与∠CAE 互余的所有角．28．如图所示，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B=20°，∠C=80°， 求∠EAD 的度数．29．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．30．一个多边形的每个外角都等于40°，求这个多边形的内角和．。

第1章《三角形的初步知识》培优提升卷含答案

第1章《三角形的初步知识》培优提升卷含答案

第1章《三角形的初步认识》培优提升卷班级______ 姓名_______一、选择题（每题3分，共30分）1.现有四根木棒，长度分别为4cm ，6cm ，8cm ，10cm ，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠+∠12 的度数为（ ）A.120°B. 180°C. 240°D. 300°第2题 第4题 第5题 3.根据下列已知条件，能惟一画出△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，AB ＝64.如图，A ，B ，C ，D ，E ，F 是平面上的6个点，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数是（ ） A. 180° B.360° C.540° D.720°5.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ） A ． 15°B ． 25°C ． 30°D ． 10°6.下列命题:(1)无限小数是无理数 (2)绝对值等于它本身的数是非负数 (3) 垂直于同一直线的两条直线互相平行 (4) 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等, (5)面积相等的两个三角形全等，是真命题的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2160°7.如图，在△ABC 和△DEB 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）A.BC=EC ，∠B=∠EB. BC=ECC. BC=DC ，∠A=∠DD.∠B=∠E，∠A=∠D8.如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠BAC =2∠B ，∠B =2∠DAE ，那么∠ACB 为（ ）A. 80°B. 72°C. 48°D. 36°第7题 第8题 第10题9.若三角形的周长为18，且三边都是整数，则满足条件的三角形的个数有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个10.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）A.△ACE ≌△BCDB.△BGC ≌△AFCC.△DCG ≌△ECFD.△ADB ≌△CEA 二、填空题（每题4分，共24分）11.已知三角形的三边长分别是3、x 、9，则化简135-+-x x =12.如图，长方形ABCD 中(AD>AB)，M 为CD 上一点，若沿着AM 折叠，点N 恰落在BC 上，则∠ANB+∠MNC=___________13.如图，在△ABC 中，∠B =47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC =______°BFDE ACDCBAE第12题 第13题 第16题14.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD 的取值范围是15.已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥C．其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号)16.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图,∠B=∠C=900，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______。

上海 华东师范大学第四附属中学八年级数学上册第十一章《三角形》经典练习卷(培优提高)

上海 华东师范大学第四附属中学八年级数学上册第十一章《三角形》经典练习卷(培优提高)

一、选择题1．若过六边形的一个顶点可以画n 条对角线，则n 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C 解析：C【分析】根据从一个n 边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3进行计算即可．【详解】解：6-3=3（条）．答：从六边形的一个顶点可引出3条对角线．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n 边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3．2．内角和为720°的多边形是（ ）．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 D解析：D【分析】 根据多边形内角和的计算方法（n-2）•180°，即可求出边数．【详解】解：依题意有（n-2）•180°=720°，解得n=6．该多边形为六边形，故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和计算公式正确计算是解题关键． 3．如图，ABC 中，55,B D ∠=︒是BC 延长线上一点，且130ACD ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A．50︒B．65︒C．75︒D．85︒C解析：C【分析】根据三角形的外角性质求解．【详解】解：由三角形的外角性质可得：∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=∠ACD-∠B=130°-55°=75°，故选C．【点睛】本题考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质定理并能灵活运用是解题关键．4．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．11B解析：B【分析】逐一探究在三角形，四边形，五边形一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，得到分割成的三角形的数量，再总结规律，运用规律列方程即可得到答案．【详解】解：如图，探究规律：在三角形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与三角形的各顶点连接起来，可以将三角形分割成2个三角形，在四边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与四边形的各顶点连接起来，可以将四边形分割成3个三角形，在五边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与五边形的各顶点连接起来，可以将五边形分割成4个三角形，总结规律：在n 边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n 边形的各顶点连接起来，可以将n 边形分割成()1n -个三角形，应用规律：由题意得：18,n -=9.n ∴=故选：.B【点睛】本题考查的是规律探究及规律运用，探究“在n 边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n 边形的各顶点连接起来，把n 边形分割成的三角形的数量”是解题的关键． 5．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，D 为BC 边上的一点，点E 在AC 边上，ADE AED ∠=∠，若10CDE ∠=︒，则BAD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．15°C ．10°D ．30°A解析：A【分析】 先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EDC ，再根据∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 即可得出结论．【详解】解：∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+∠BAD-∠CDE∵∠AED 是△CDE 的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC ，∵∠ADE=∠AED ，∴∠B+∠BAD-∠CDE=∠C+∠EDC ，∵∠B=∠C ，∴∠BAD=2∠EDC ，∵10CDE ∠=︒∴∠BAD=20°；故选：A【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．3，3，4B ．7，4，2C ．3，4，8D ．2，3，5A解析：A【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【详解】解：A 、3+3＞4，能构成三角形，故此选项正确；B 、4+2＜7，不能构成三角形，故此选项错误；C 、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误；D 、2+3=5，不能构成三角形，故此选项错误．故选：A ．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．7．如图，在ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知2BAC B ∠=∠，2B DAE ∠=∠，那么C ∠的度数为（ ）A ．72°B ．75°C ．70°D ．60°A解析：A【分析】 利用角平分线的定义和三角形内角和定理，余角即可计算．【详解】由图可知DAE DAC EAC ∠=∠-∠，∵AD 是角平分线． ∴12DAC BAC ∠=∠， ∴12DAE BAC EAC ∠=∠-∠， ∵90EAC C ∠=︒-∠， ∴1(90)2DAE BAC C ∠=∠-︒-∠ ∵2BAC B ∠=∠，2B DAE ∠=∠，∴14(90)2DAE DAE C ∠=⨯∠-︒-∠， ∴90DAE C ∠=︒-∠∵180C B BAC ∠=︒-∠-∠， ∴18024C DAE DAE ∠=︒-∠-∠，∴1802(90)4(90)C C C ∠=︒-︒-∠-︒-∠，∴72C ∠=︒．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和三角形的内角和定理以及余角．根据题意找到角之间的数量关系是解答本题的关键．8．若多边形的边数由3增加到n （n 为大于3的正整数），则其外角和的度数（ ） A ．不变B ．减少C ．增加D ．不能确定A解析：A【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题．【详解】解：因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的度数是不变的．故选：A ．【点睛】此题考查多边形内角与外角的性质，容易受误导，注意多边形外角和等于360°． 9．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4A 解析：A【分析】设这个多边形的边数为n ，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，则该多边形的内角和为（n-2）×180°，依题意得：（n-2）×180°=360°×4，解得：n=10，∴这个多边形的边数是10．故选：A【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程（n-2）×180°=360°×4．10．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（ ）A．2 B．3 C．4 D．5B解析：B【分析】根据三角形的稳定性，要使它不变形，只需每一条边都分别在一个三角形之中即可【详解】解：要使六边形木框不变形，则需每一条边都分别在一个三角形之中，观察图形可得，至少还需要再钉上3根木条故选：B【点睛】本题考查了三角形的稳定性，观察图形如何使每一条边都分别在一个三角形之中是解决本题的关键二、填空题11．如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若130,90∠=︒∠=︒，则∠A的度数为_________．BDC BGC50°【分析】连接BC根据三角形内角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度数再利用三角形内角和定理及角平分线的定义可求得∠ABC ＋∠ACB的度数即可求得∠A的度数【详解】解：连接BC∵∠BDC＝130°解析：50°【分析】连接BC，根据三角形内角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度数，再利用三角形内角和定理及角平分线的定义可求得∠ABC＋∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．【详解】解：连接BC，∵∠BDC ＝130°，∴∠DBC ＋∠DCB ＝180°−∠BDC ＝50°，∵∠BGC ＝90°，∴∠GBC ＋∠GCB ＝180°−∠BGC ＝90°，∴∠GBD ＋∠GCD ＝（∠GBC ＋∠GCB ）−（∠DBC ＋∠DCB ）＝40°，∵BF 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD ，∴∠ABD ＋∠ACD ＝2∠GBD ＋2∠GCD ＝80°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝（∠ABD ＋∠ACD ）＋（∠DBC ＋∠DCB ）＝130°，∴∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−130°＝50°．故答案为：50°．【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．12．如图，五边形ABCDE 中，//AE BC ，则C D E ∠+∠+∠的度数为__________．【分析】根据求出根据多边形内角和公式求出五边形的内角和即可得到答案【详解】∵∴∵五边形内角和=∴==故答案为：【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补多边形内角和公式熟记多边形内角和计算公式是解题的关键解析：360︒【分析】根据//AE BC 求出180A B ∠+∠=︒，根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE 的内角和，即可得到答案．【详解】∵//AE BC ，∴180A B ∠+∠=︒，∵五边形内角和=5218540(0)-⨯︒=︒，∴C D E ∠+∠+∠=540180︒-︒=360︒，故答案为：360︒．【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．13．如果三角形的三边长分别为5，8，a ，那么a 的取值范围为__．3<a<13【分析】根据三角形的三边关系解答【详解】由题意得：8-5<a<8+5∴3<a<13故答案为：3<a<13【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边 解析：3<a<13【分析】根据三角形的三边关系解答．【详解】由题意得：8-5<a<8+5，∴3<a<13，故答案为：3<a<13．【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．14．已知三角形三边长分别为m ，n ，k ，且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=，则这个三角形最长边k 的取值范围是________．【分析】根据求出mn 的长根据三角形三边关系求出k 的取值范围再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值【详解】解：由题意得n-9=0m-5=0解得m=5n=9∵mnk 为三角形的三边长∴∵k 为三角形的最长边解析：914k ≤<【分析】根据2|9|(5)0n m -+-=求出m 、n 的长，根据三角形三边关系求出k 的取值范围，再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值．【详解】解：由题意得n-9=0，m-5=0，解得 m=5，n=9，∵m ，n ，k ，为三角形的三边长，∴414k ≤<，∵k 为三角形的最长边，∴914k ≤<．故答案为：914k ≤<【点睛】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的三边关系，根据题意求出m 、n 的长是解题关键，确定k 的取值范围时要注意k 为最长边这一条件．15．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．25°【分析】先求出∠A 的度数再根据折叠的性质可得∠E 的度数根据平行线的性质求出∠ADE 的度数进而即可求解【详解】∵∴∠A=40°∵沿折叠后点B 落在点E 处∴∠E=∠B=50°∵∴∠ADE=∠E=50解析：25°【分析】先求出∠A 的度数，再根据折叠的性质可得∠E 的度数，根据平行线的性质求出∠ADE 的度数，进而即可求解．【详解】∵90,50ACB B ︒︒∠=∠=， ∴∠A=40°，∵BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，∴∠E=∠B=50°，∵//CE AB ，∴∠ADE=∠E=50°，∴∠BDC=∠EDC=（180°-50°）÷2=65°，∴∠ACD=∠BDC-∠A=65°-40°=25°，故答案是：25°．【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握平行线的性质以及三角形外角的性质，是解题的关键．16．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147∠=︒，220∠=︒，那么3∠= __________．35°【分析】先求出等边三角形正方形正五边形的内角度数再根据三角形的外角和为360°即可求解【详解】∵等边三角形的内角度数是60°正方形的度数是90°正五边形的度数是∴∠3=360°-60°-90°解析：35°【分析】先求出等边三角形，正方形，正五边形的内角度数，再根据三角形的外角和为360°，即可求解．【详解】∵等边三角形的内角度数是60°，正方形的度数是90°，正五边形的度数是(52)1801085-⨯︒=︒， ∴∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=360°-60°-90°-108°-47°-20°=35°，故答案是：35°【点睛】本题主要考查正多边形的内角和以及外角和定理，准确分析图形中角的数量关系，是解题的关键．17．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DC ，∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF 、∠AFE 、∠FED 、∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4＝_____．180°【分析】根据多边形的外角和减去∠B 和∠C 的外角的和即可确定四个外角的和【详解】解：∵AB ∥DC ∴∠B+∠C ＝180°∴∠B 的外角与∠C 的外角的和为180°∵六边形ABCDEF 的外角和为360解析：180°【分析】根据多边形的外角和减去∠B 和∠C 的外角的和即可确定四个外角的和．【详解】解：∵AB ∥DC ，∴∠B +∠C ＝180°，∴∠B 的外角与∠C 的外角的和为180°，∵六边形ABCDEF 的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，故答案为：180°．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，解题的关键是发现∠B 和∠C 的外角的和为180° 18．如图，在ABC 中，已知66ABC ∠=︒，54ACB ∠=︒，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，EHF ∠的度数是________．120°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数再根据CF是AB 上的高得出∠ACF 的度数再由三角形外角的性质即可得出结论【详解】解：∵∠ABC=66°∠ACB=54°∴∠A=60°∵CF 是AB 上解析：120°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数，再根据CF 是AB 上的高得出∠ACF 的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=60°，∵CF 是AB 上的高，∴在△ACF 中，∠ACF=180°-∠AFC-∠A=30°，在△CEH 中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°．故答案为120°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质、三角形的高线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．一副直角，三角板有一个角的顶点如图所示重合，则下列说法中正确的有_________．①如图 1，若 AB ⊥AE ，则∠BFC=75°；②图 2 中 BD 过点C ，则有∠DAE+∠DCE=45°；③图 3中∠DAE+∠DFC 等于 135°；④保持重合的顶点不变，改变三角板BAD 的摆放位置，使得D 在边AC 上，则∠BAE=105°．①②③④【分析】由可得：再结合：从而可求解于是可得可判断①；由可得：再利用：求解可判断②；由再利用角的和差可得：可判断③；由图4可得：可判断④【详解】解：如图1故①正确；如图2故②正确；如图3故③正解析：①②③④．【分析】由,AB AE ⊥可得：90BAC CAD DAE ∠+∠+∠=︒，再结合：2105BAC CAD DAE ∠+∠+∠=︒，从而可求解CAD ∠，于是可得BFC ∠，可判断①；由90ADB ，∠=︒可得：90DAC ACD ∠+∠=︒，再利用：180CAE E ACE ∠+∠+∠=︒， 45E ∠=°，求解DAE DCE ∠+∠，可判断②；由,DFC D DAF ∠=∠+∠再利用角的和差可得：135DFC DAE D CAE ∠+∠=∠+∠=︒，可判断③；由图4可得：105BAE BAC CAE ∠=∠+∠=︒，可判断④． 【详解】解：如图1，,AB AE ⊥90BAC CAD DAE ∴∠+∠+∠=︒，60BAD BAC CAD ∠=∠+∠=︒，45CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒，2105BAC CAD DAE ∴∠+∠+∠=︒，15CAD ∴∠=︒，90ADB ∠=︒，901575BFC AFD ∴∠=∠=︒-︒=︒，故①正确； 如图2，90ADB ∠=︒，90DAC ACD ∴∠+∠=︒，180CAE E ACE ∠+∠+∠=︒， 45E ∠=°，90ACE ∠=︒， 180CAD DAE ACD DCE E ∴∠+∠+∠+∠+∠=︒，()()180180904545DAE DCE CAD ACD E ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒-︒+︒=︒， 故②正确；如图3，,DFC D DAF ∠=∠+∠9045135DFC DAE D DAF DAE D CAE ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，故③正确；如图4，6045BAD CAE ∠=︒∠=︒，，6045105BAE ∴∠=︒+︒=︒，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角的和差，掌握以上知识是解题的关键．20．如图，线段AD ，BE ，CF 两两相交于点H ，I ，G ，分别连接AB ，CD ，EF ．则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____．360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可【详解】解：∵∠BHI=∠A+∠B∠DIF=∠C+∠D∠FGH=∠E+∠F∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B +∠C+∠D+∠E+∠解析：360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可．【详解】解：∵∠BHI=∠A+∠B，∠DIF=∠C+∠D，∠FGH=∠E+∠F，∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，∵∠BHI+∠DIF+∠FGH=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，故答案为：360°．【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，三角形的外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的外角和等于360°．三、解答题21．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．（1）在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；（2）在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、CE，使△BCE是△ABC面积的14．（3）在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的18．解析：（1）见解析图；（2）见解析图；（3）见解析图【分析】（1）根据三角形中线的性质可知，当CD为△ABC在AB边上的中线时，可将其面积平分，即找到AB的中点，连接AE即可；（2）可按照△BCE与△ABC都以BC为底边进行分析，当都以BC为底边时，△ABC 的高为4，从而使得△BCE的高为1即可；（3）延续（2）的解题思路，都以BC为底边，要使得构成的三角形的面积是△ABC的1 8，则让构成的三角形的高为12即可，则在BC下方12个单位处作平行于BC的直线即为所求．【详解】如图所示：（1）D在格点上，也为AB的中点，故CD即为所求；（2）当点E在直线m上，且三角形内部时，均满足题意，如图△BCE，此时答案不唯一，符合要求即可；（3）如图，直线l即为所求．【点睛】本题主要考查作图－应用与设计作图，充分理解三角形中线的性质，以及灵活运用底相等时，面积之比等于高之比进行图形构造是解题关键．22．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．（1）过点A 画线段BC 的垂线，垂足为E ；（2）过点A 画线段AB 的垂线，交线段CB 的延长线于点F ；（3）线段BE 的长度是点 到直线 的距离；（4）线段AE 、BF 、AF 的大小关系是 ．（用“＜”连接）解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）B ，AE ；（4）AE ＜AF ＜BF【分析】（1）根据垂线的做法画出图象；（2）根据垂线的做法画出图象；（3）根据点到直线距离的定义填空；（4）利用直角三角形的斜边和直角边的大小关系，得出结果．【详解】(1)如图所示；(2)如图所示；(3) ∵BE AE ⊥，∴线段BE 的长度是点B 到直线AE 的距离，故答案是：B ，AE ；(4)∵AE 是直角三角形AEF 的直角边，AF 是直角三角形AEF 的斜边，∴AE AF <，∵BF 是直角三角形ABF 的斜边，AF 是直角三角形ABF 的直角边，∴AF BF <，∴AE AF BF <<，故答案是：AE AF BF <<．【点睛】本题考查作垂线和直角三角形的性质，解题的关键是掌握作垂线的方法和直角三角形的直角边和斜边的大小关系．23．在ABC ∆中，已知3,7AB AC ==，若第三边BC 的长为偶数，求ABC ∆的周长． 解析：周长为16或18．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边BC 的长为偶数求出符合条件的BC 值，即可求出周长．【详解】 解：在ABC ∆中，3,7AB AC ==，∴第三边BC 的取值范围是：410,BC <<∴符合条件的偶数是6或8，∴当6BC =时，ABC ∆的周长为：36716++=；当8BC =时，ABC ∆的周长为：37818++=．ABC ∆∴的周长为16或18．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．24．如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，且AD AC =，连结CD ．请在下面空格中用“>”，“<”或“=”填空．（1）AB________AC BC +；（2）2AD________CD ；（3）BDC ∠________A ∠．解析：（1）<；（2）>；（3）>【分析】（1）根据三角形的三边关系解答；（2）根据三角形的三边关系解答；（3）根据三角形的外角性质解答．【详解】（1）在△ABC 中，AB<AC+BC ，故答案为：<；（2）在△ACD 中，AD+AC>CD,∵AD AC =,∴2AD>CD ，故答案为：>；（3）∵∠BDC 是△ACD 的外角，∴∠BDC>∠A ，故答案为：>．【点睛】此题考查三角形的三边关系：两边之和大于第三边，三角形的外角性质三角形的外角大于每一个与它不相邻的内角．25．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB”，请直接写出∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系．解析：（1）∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）①3，4；②110°；③3∠P=∠B+2∠C．【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；（2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个；②根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=12（∠C+∠B），然后把∠C=120°，∠B=100°代入计算即可；③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C．【详解】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C=180°-∠AOC，∠B+∠D=180°-∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：以点O 为交点的“8字型”有4个：故答案为：3，4；②以M 为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP ，以N 为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP ，∵AP 、DP 分别平分∠CAB 和∠BDC ，∴∠BAP=∠CAP ，∠CDP=∠BDP ，∴2∠P=∠B+∠C ，∵∠B=100°，∠C=120°，∴∠P=12（∠B+∠C ）=12（100°+120°）=110°； ③3∠P=∠B+2∠C ，其理由是：∵∠CAP=13∠CAB ，∠CDP=13∠CDB ， ∴∠BAP=23∠CAB ，∠BDP=23∠CDB ， 以M 为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP ，以N 为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=13（∠CDB-∠CAB ）， ∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=23（∠CDB-∠CAB ）． ∴2（∠C-∠P ）=∠P-∠B ，∴3∠P=∠B+2∠C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义． 26．如图，四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ．（1）如果130A ∠=︒，110D ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）请直接写出BOC ∠与A D ∠+∠的数量关系．解析：（1）120°；（2）1()2BOC A D ∠=∠+∠ 【分析】 （1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；（2）方法同（1）【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D ）=360°-240°=120°，∵OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠OBC+∠OCB=111(221)1206220AB ABC DC C BCD B ∠+∠=⨯+∠︒=∠=︒ ， ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-60°=120°； （2）1()2BOC A D ∠=∠+∠ 证明：在四边形ABCD 中，360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒∴360()ABC DCB A D ∠+∠=︒-∠+∠∵OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠OBC+∠OCB=1111((222)180)2ABC BCD AB D A C D CB ∠+∠=︒-∠∠=+∠∠+ ∴180(1)()2O BOC BC OCB A D ∠+∠=︒-∠=∠+∠ 【点睛】 此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．27．如图BC 平分∠ABE ，DC 平分∠ADE ，求证：∠E+∠A=2∠C解析：证明见解析．【分析】如图（见解析），先根据角平分线的定义可得12,34∠=∠∠=∠，再根据三角形的外角性质可得13,42A C E C ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，然后两式相加化简即可得．【详解】 如图，BC 平分ABE ∠，DC 平分ADE ∠，12,34∴∠=∠∠=∠，由三角形的外角性质得：153462A C E C ∠+∠=∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠=∠+∠⎩， 即1342A C E C ∠+∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠+∠⎩， 两式相加得：14223A E C ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠，14214A E C ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠，2E A C ∴∠+∠=∠．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．28．阅读材料在平面中，我们把大于180︒且小于360︒的角称为优角．如果两个角相加等于360︒，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若1∠，2∠互为组角，且1135∠=︒，则2∠=______．习惯上，我们把有一个内角大于180︒的四边形俗称为镖形．（2）如图，在镖形ABCD 中，优角BCD ∠与钝角BCD ∠互为组角，试探索内角A ∠，B ，D ∠与钝角BCD ∠之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由． 解析：（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D ，理由见解析．【分析】（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可；（2）理由①：根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角∠BCD=360°´，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；理由②：连接AC并延长，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，∴∠2=360°-∠1=225°，故答案为：225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．理由如下：理由①：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°´，∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；理由②：如下图，连接AC并延长，∵∠BAC+∠B=∠BCE，∠DAC+∠D=∠DCE（三角形外角的性质），∴钝角∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D=∠A+∠B+∠D．【点睛】本题考查三角形的外角，四边形内角和．能正确作出辅助线，将四边形分成两个三角形是理由②的关键．。

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三角形提高培优经典题题
(1)/1与/2有何关系，为什么？
(2)BE与DF有何关系？请说明理由.
2. 已知：/ A=/ C=9C° .
⑴如图，若DE平分/ ADC,BF平分/ ABC的外
角，问DE与BF的位置关系，并证明；
⑵如图，若BF、DE分别平分/ ABC / ADC的外角，问BF与DE的位置关系并证明.
3. 如图，AC BD相交于点O,BE、CE分别平分/ ABD / ACD且交于点E,求证：
/ E=1/2( / A+/ D)
5. 在△ ABC中,/ ABC的平分线与/ ACB的平分线相交于点P,求证：
1
/ P= 90° +丄/ A
2
6. 如图，/ ACD是△ ABC的外角，BP平分/ ABC CP平分/ ACD且BP CP交于1. 如图，四边形ABCD中，/ A=A C= 90BE DF分别是/ ABC / ADC的平分4. 如图，/ AEB / AFD的平分线相交于O点，求证：/ EOF=1/2(/ DAB/ BCD).
点
P. 求证：Z P=丄Z A
2
(1)如图，PB P0分别平分/ ABO / AOB, / A=70 ,则/ BPO=
⑵如图，将△ ABO皆x轴向右平移后可得△ COD,PBPD分别平分/ ABO / CDO.
Z A=a ,求Z BPD,
⑶如图，直线0A与直线ED交于C, MA MB分别平分/ OAB / OBA,NC ND分别平分/ OCD Z ODE试探究/ AMB^Z CND有何确定的数量关系，并说明理由.
8.在平面直角坐标系中，B为x轴负半轴上点，A为第二象限内的点.
9如图，三角形ABC内任一点P,连接PA PB PC,
求证：1/2 (AB+BC+ACvAP+BP+CPvAB+AC+BC
/ A=52?,三条高所在直线的交点为H,求/ BCH的度数。

11如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I , IH 丄BC于H,求证
12。

1｝一个等腰三角形的一个外角等于110?,则这个三角形的三个角应该
2} 在/ ABC中, AB = AC 周长为20cm D 是AC上一点,
/ ABD与/ BCD面积相等且周长差为3cm , / ABC各边的长为 ____________________ 。

13、如图，已知△ ABC中, / C=90 , AC=1.5BC 在AC上取点D,使得
AD=0.5BC 量得BD=1cm求厶ABD的面积。

14. 如图，在七星形ABCDEF中，求/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+ZG 的度数。

/ CIH>Z CAD
D
为
6、如图，△ ABC中，/ OZ B, AE为角平分线，ADI BC于D。

1
(1)求证：Z EAD =-( Z C-Z B);
2
(2)当垂足D点在直线BC上运动时(不与点E重全),垂线交直线AE于A , 其它条件不变，画出相应的图形，并指出与(1)相应的结论是什么？是否仍成立？
15、如图，△ ABC中, AD是高，AE, BF是角平分线，它们相交于点0,Z CAB=
50°,Z C= 60°，求Z DAC及Z BOA
16•观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。

(1)如图①，△ ABC中, P为边BC上一点，试观察比较BP + PC与AB + AC的
大小，并说明理由。

C
(2)将(1)中点P移至△ ABC内，得图②,
的周长与厶ABC勺周长的大小，并说明理由
图②
（3）将（2）中点P变为两个点R、P2得图③，试观察比较四边形BRRC的周长与厶ABC的周长的大小，并说明理由。

（4）将（3）中的点P i、R移至△ ABC外,并使点P i、P2与点A在边BC的异侧，且/ P i BC XZ ABC / P2CB<Z ACB得图④，试观察比较四边形BPP2C的周长与△ ABC的周长的大小，并说明理由。

（5）若将（3）中的四边形BPRC的顶点B、C移至△ ABC内，得四边形
B1P1P2G, 如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C的周长与厶ABC的周长的大小，并说明理由。

A
合）
①在图1中，若/ 1=50°,/ 3=30。

，求/ 2的度数
②在图1中，当点P在射线FC上移动时，/ 2+/ 3=/ 1成立吗？请说明理由；
③在图2中，当点P在射线FD上移动时，/ 4+/ 5与/ 1有什么关系？说明理由
18、四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等•你能证明这个结论吗？试试看.
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点.（如图①）
求证：S A OB C?S\OAE=S\OA?S A OC；
（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由.。

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