初中几何经典培优题型(三角形)

初中几何经典培优题型(三角形)
全等三角形辅助线
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可 能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
SVAOB SVBOC SVCOA
3
4。
例1
如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，且∠EAF＝45°，AH⊥EF，H 为垂足， 求证：AH＝AB。
例2
△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P 是△ABC 内的一点，且 AP＝3，CP＝2，BP＝1，求∠BPC 的度数。
A C O
B D
例2
(2007 年北京中考）如图，已知△ABC
⑴请你在 BC 边上分别取两点 D、E（BC 的中点除外），连 接 AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相
等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明 AB＋AC＞
AD＋AE。
例3
已知线段 OA、OB、OC、OD、OE、OF。 ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝60°。且 AD ＝BE＝CF＝2。 求证：S△OAB＋S△OCD ＋S△OEF ＜ 3 。
例3
已知在△ABC 中，AB＝AC，P 为三角形内一 点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC。
有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转 ⑴边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等
⑵角度能拼成的特殊角指的是 180°，90°等等
例4
已知△ABC，∠1＝∠2，AB＝2AC，AD＝BD。 求证：DC⊥AC。
旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说 将△ABC 旋转或翻折至△DEF。
1．如图，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心， 将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形
纸板的圆心方在 O 点处，并将纸板绕 O 点旋 转，其半径分别交 AB、AD 于点 M、N，求
证：正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的总 长度为定值 a。
例5
△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC＝90°， AB＝AE，∠BAE＝30°，求证：BE＝CE。
例6
在△ABC 中，E、F 为 BC 边上的点，已知∠CAE ＝∠BAF，CE＝BF，求证：AC＝AB。
出现轴对称的时候可以考虑翻折，尤其注意有角平分线，有角相等或者出 现特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。 强调：
3
B
C
4 ． 已 知 ： 在 Rt△ABC 中 ， ∠BAC=90° ，
A
ND
M
O
B
C
2．（2008 山东）在梯形 ABCD 中，AB∥CD， ∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E 是
AD 中点，试判断 EC 与 EB 的位置关系，
并写出推理过程。
D
C
E
A
B
3．如图，P 是等边△ABC 内一点，若 AP＝3，PB ＝4，PC＝5，求∠APB 的度数。
A
3
P 4
3．如图，已知△ABC 的面积为 16，BC＝8，现 将 △ABC 沿 直 线 BC 向 右 平 移 a 个 单 位 到 △DEF 的位置。
⑴当 a＝4 时，求△ABC 所扫过的面积； ⑵连接 AE、AD，设 AB＝5，当△ADE 是以 DE 为一腰的等腰三角形时，求 a 的值。
4．如图，AA′=BB′=CC′=1， ∠AOB′=∠BOC′=∠COA′=60°，求证：
例4
如图 1，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC、BD， 如果∠1＝∠2，那么∠3＝∠4。
仔细阅读以上材料，完成下面的问题。
如图 2，设 P 为□ABCD 内一点，∠PAB＝∠PCB，
求证：∠PBA＝∠PDA。
图1图2Βιβλιοθήκη ⑴集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助 线，
将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中， 便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。 ⑵平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说 将 △ABC 平移至△DEF。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性 质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等， 构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂 线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常 是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与 特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用 三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、 差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶 点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
常见辅助线写法：
⑴过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F ⑵过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D ⑶延长 AB 至 C，使 BC＝AC ⑷在 AB 上截取 AC，使 AC＝DE ⑸作∠ABC 的平分线，交 AC 于 D ⑹取 AB 中点 C，连接 CD 交 EF 于 G 点
例1
如图，AB＝CD＝1，∠AOC＝60°，证明：AC＋BD ≥1。
1．在正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是
AB、BC、CD、DA 边上的点，且 EG⊥FH，求
证：EG＝FH。
H
A
D
G
E
B
C
F
2．如图所示，P 为平行四边形 ABCD 内一点， 求证：以 AP、BP、CP、DP 为边可以构成一
个四边形，并且所构成的四边形的对角线的 长度恰好分别等于 AB 和 BC。