完全平方公式标准

2
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a 2ab b
2
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初 识 完全平方 公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a+b)2= a2+2ab+b2 几 b 何 解 释: a
(a−b)2 = a2− 2ab+b2 .
结构特征: 左边是 二项式 (两数和 (差)) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.
形式不同．
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随堂练习 随堂练习
2、运用完全平方公式计算：
(1) ( x − 2y)2 ；
1 2
(2) (2xy+ (3) (-2x+5)2
(4) (n
1 2 5x)
;
2− +1)
2. n
学一学

(2)
2 99
例2:运用完全平方公式计算:
(1)
2 102
解: (1) 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4=10404
自己做
减去 第一数与第二数 乘积 的2倍, 加上 第二数 的平方.
(2) (3) .
随堂练习
1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？ (1). (a+b)2=a2+b2
(2). (a-b)2=a2-b2
纠
错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
(2) 992=(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1 =9801
(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(2) (a-b)2与(b-a)2相等吗? (3) (a-b)2与a2-b2相等吗?
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同：
完全平方公式的结果 是三项， 2 2 2 结果不同： 即 (a b) ＝a 2ab+b ; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2. 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不 丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方 时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键
目标导航
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平公式的几何理解.
计算:
(1) (a+b)2 (2) (a-b)2
解: (1) (a+b)2 = (a+b) (a+b)
= a2 +ab+ab+b2 = a2 +2ab +b2 (2) (a-b)2 =(a-b) (a+b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2 ;
注意
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b. 做题时要边念边写： 第一数 的平方,
2x −3 解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12x + 9 ;
拓 展 练 习
下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立 (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； 不成立． (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
a
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同。 首平方，尾平方，
积的2倍在中央
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。
学一学
例题解析
(3) (mn−a)2
初二数学组
复习: 1.叙述平方差公式的内容并用字母表示.
2.用简便方法计算 （1）103×97
（2）99 × 101
1.叙述平方差公式的内容并用字母表示. 两个数的和与这两个数的差的积,
等于这两个数的平方差. 公式表示: (a+b) (a-b)=a2 –b2 2.（1）103× 97=(100+3)(100-3) =1002-32 =9991 （2） 99 ×101=(100-1)(100+1) =1002-12 =9999
你能用面 积的方法 得出上式 吗？
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab a
b²
ab b
2 2
(a+b)²
a²
a
2
( a b) a +2ab +b
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b a
ab
b²
a² ab
(a-b)²
( a b) a ab ab b
2
a b
ab
b2 ab
b
a2
a
(a−b)2 = a2−2ab+b2 b a−b
用自己的语 语言表述: 言叙述上面 a−b (a−b)2 b(a−b) 两数和(差) 的平方 的公式 a 等于 这两数的平方和 ab b 加上 (减去) −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 . (a−b)2 = a2 这两数乘积的两倍.
理由: (1) 由加法交换律 4a+l＝l−4a。 (2) ∵ 4a−1＝(4a+1)， ∴(4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2.
(3) ∵ (1−4a)＝−(1+4a) ＝(4a−1)， 即 (1−4a)＝(4a−1) ∴ (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)· [(4a−1)] ＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2。 (4) 右边应为: (4a−1)(4a+1)。