第三章一维流体动力学基础
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《工程流体力学》第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程
截面1-1和2-2：垂直于流动方向，为什么? 侧面1-2：平行于流动方向，为什么？
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
3 流体力学基础
流体动力学的基本概念
迹线:同一流体质点在连续时间内的运动轨迹称为迹线。
流线:
流管:流管是在流动空间中取出的一个微小的封闭曲
线，只要此曲线本身不是流线，则经过该密闭曲线 上每一点作流线，所构成的管状表面就称为流管。
在有限断面的流束中，与每条流线相互垂直的横 截面称为该流束的过流断面或有效断面，当流线 为互相平行的直线时，过流断面为平面；当流线 不是相互平行的直线时，过流断面是曲面。
对于非恒定流动，由于控制体内各点的参数均 随时间变化，因此在dt时间内，控制体内的动 量增量就不仅仅是流出流入控制体的动量差， 且还要加上控制体内部的动量增量，即
§2-5 流动液体的基本力学特性 五、动量方程（非恒定流动）
F d dt
u dV
V
A u un dA
6、流线：是某一瞬时液流中一条条标志其质点运动 状态的曲线，在流线上各点处的瞬时液流方向与该 点的切线方向重合。 对于恒定流动，流线形状不随时间变化。 流线不能相交，也不能转折，它是一条条光滑的曲 线。
§2-5 流动液体的基本力学特性
一、基本概念
7、流束：如果通过某截面A上所有各点画出 流线，这些流线的集合构成流束。
第二节 液体动力学
液体动力学研究液体在外力作用下运动规律， 即研究作用在液体上的力与液体运动之间的关系。 由于液体具有粘性，流动时要产生摩擦力，因此 研究液体流动问题时必须考虑粘性的影响。
描述方式：四大方程
连续方程， 运动方程 能量方程 动量方程
研究流体运动的方法
拉格朗日（Lagrange）法是从流场中
2 2g
图2-8 伯努利方程推导简图
§2-5 流动液体的基本力学特性
2、理想流体的伯努利方程
流体力学基础-第三章-一维流体动力学基础
1Q1dt 2Q2dt
1. 微小流束连续性方程
1Q1 2Q2 11dA1 22dA2
对不可压缩流体：
1 2 , Q1 Q2 1dA1 2dA2
1. 微小流束连续性方程 推而广之，在全部流动的各个断面上：
Q1 Q2 ~ Q
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法
拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象， 研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。 然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
d 2 4A d 4R d x
非圆形截面管道的当量直径 x
D 4A 4R x
R
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
二维流动→一维流动
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
工程流体力学 - 第3章 - M
2 、 水力半径 Rh ：在总流的过流断面上与流
体相接触的固体边壁周长称为湿周，用χ表 示。总流过流断面面积与湿周χ之比称为水 力半径R，即
R
A
3、当量直径de=4Rh
五、流量与平均流速
1、流量
单位时间内通过过流断面的流体量称为流量。 流体量可以用体积、质量和重量表示，其相应的流量 分别是体积流量qv (m3/s)、质量流量qm (kg/s)和重量 流量Qg(N/s)。
v1 A1 v 2 A 2 q v
上式为一维流动连续性方程。
§3.6理想流体一维稳定流动的伯努里方程 一、欧拉方程
如图,在微元流管中 取一圆柱流体微团, 考察理想流体在重 力场中的一维流动。
轴向长度：δs,
端面面积：δA,
端面⊥轴线,
侧面∥轴线。
流体微团受力分析： 方向：垂直向下
质量力：重力，大小：ρgδAδs 表面力：
一.拉格朗日方法
拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个 流体质点的运动全过程及描述运动过程中各质 点、各物理量随时间变化的规律。又称轨迹法。 设t=t0时，流体质点的坐标值是（a，b，c）。 流体质点的空间位置、密度、压强和温度 可表示为： r r a，b，c，t ＝ a，b，c，t p p a，b，c，t T T a，b，c，t
第三章 流体动力学
流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动 规律，是流体力学的一个组成部分。 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉
法），结合迹线，流线，流体线等显示流动特性 的曲线图谱研究流动特性。
掌握流体动力学的基本方程，即质量守恒方程， 能量守恒方程动量定理，动量矩定理，重点是关 于控制体的欧拉型方程。
流体静力学流体动力学基础
地位而落在后面。
有明确记载的最早的流体力学原理是在公元前250年， 希腊数学家及力学家阿基米德（Archimedes）发表
2020/1/11
12
了一篇“论浮体”的论文，提出了浮体定律，这是流体力 学的第一部著作。由于奴隶制、神权和宗教观念的束缚， 直到15世纪文艺复兴时期，尚未形成系统的理论。16世纪 以后，在欧洲由于封建制度的崩溃，资本主义开始萌芽， 生产力有了发展。在城市建设、航海和机械工业发展需要 的推动下，逐步形成近代的自然科学，流体力学也随之得 到发展。意大利的达·芬奇(Vinci，L. da)是文艺复兴时期 出类拔萃的美术家、科学家兼工程师，他倡导用实验方法 了解水流性态，并通过实验描绘和讨论了许多水力现象， 如自由射流、旋涡形成原理等等。1612年伽利略（Galilei） 提出了潜体的沉浮原理；1643年托里拆利(Torricelli，E．) 给出了孔口泄流的公式；1650年帕斯卡(Pascal，B．)提
2020/1/11
8
液体或气体界面处，不仅研究相互之间的作用力，而且还 需要研究它们之间的传热、传质规律。
工程流体力学是研究流体（液体、气体）处于平衡状 态和流动状态时的运动规律及其在工程技术领域中的应用。
流体力学的基础理论由三部分组成。一是流体处于平 衡状态时，各种作用在流体上的力之间关系的理论，称为 流体静力学；二是流体处于流动状态时，作用在流体上的 力和流动之间关系的理论，称为流体动力学；三是气体处 于高速流动状态时，气体的运动规律的理论，称为气体动 力学。工程流体力学的研究范畴是将流体流动作为宏观机 械运动进行研究，而不是研究流体的微观分子运动，因而
2020/1/11
10
流体力学作为一门独立的学科，同其他自然科学一样 是人类为了满足自身生活和生产的需要，在认识与改造自 然的斗争中，随着实践经验的不断积累，技术与知识水平 的不断提高才形成和发展起来的，有着漫长的发展历程。 其发展既依赖于科学实验和生产实践，又受到许多社会因 素的影响。我国是世界上三大文明古国之一，有着悠久的 历史和灿烂的文化，由于生产发展的需要，远在两三千年
有明确记载的最早的流体力学原理是在公元前250年， 希腊数学家及力学家阿基米德（Archimedes）发表
2020/1/11
12
了一篇“论浮体”的论文，提出了浮体定律，这是流体力 学的第一部著作。由于奴隶制、神权和宗教观念的束缚， 直到15世纪文艺复兴时期，尚未形成系统的理论。16世纪 以后，在欧洲由于封建制度的崩溃，资本主义开始萌芽， 生产力有了发展。在城市建设、航海和机械工业发展需要 的推动下，逐步形成近代的自然科学，流体力学也随之得 到发展。意大利的达·芬奇(Vinci，L. da)是文艺复兴时期 出类拔萃的美术家、科学家兼工程师，他倡导用实验方法 了解水流性态，并通过实验描绘和讨论了许多水力现象， 如自由射流、旋涡形成原理等等。1612年伽利略（Galilei） 提出了潜体的沉浮原理；1643年托里拆利(Torricelli，E．) 给出了孔口泄流的公式；1650年帕斯卡(Pascal，B．)提
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液体或气体界面处，不仅研究相互之间的作用力，而且还 需要研究它们之间的传热、传质规律。
工程流体力学是研究流体（液体、气体）处于平衡状 态和流动状态时的运动规律及其在工程技术领域中的应用。
流体力学的基础理论由三部分组成。一是流体处于平 衡状态时，各种作用在流体上的力之间关系的理论，称为 流体静力学；二是流体处于流动状态时，作用在流体上的 力和流动之间关系的理论，称为流体动力学；三是气体处 于高速流动状态时，气体的运动规律的理论，称为气体动 力学。工程流体力学的研究范畴是将流体流动作为宏观机 械运动进行研究，而不是研究流体的微观分子运动，因而
2020/1/11
10
流体力学作为一门独立的学科，同其他自然科学一样 是人类为了满足自身生活和生产的需要，在认识与改造自 然的斗争中，随着实践经验的不断积累，技术与知识水平 的不断提高才形成和发展起来的，有着漫长的发展历程。 其发展既依赖于科学实验和生产实践，又受到许多社会因 素的影响。我国是世界上三大文明古国之一，有着悠久的 历史和灿烂的文化，由于生产发展的需要，远在两三千年
工程流体力学第三章
物理量
比起流体质点本身， 比起流体质点本身，工程上我们更关心某一 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 速度、压强、温度、电流等。 速度、压强、温度、电流等。 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 流体具有的特征参量 流动参数。 也成为流动参数 量，也成为流动参数。 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 同空间位置上随时间的变化规律。 同空间位置上随时间的变化规律。
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
L M’ M
V (M , t ) V ( M ' , t + ∆t )
3.1.3随体导数 随体导数
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt 对速度的简单导数
L M’ M
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
速度的变化有两方面的原因:
一方面的原因, 质点由M 点运动至M 点时,
'
时间过去了∆t,由于场的时间非定常性引 起速度的变化
另一方面, 质点由M 点运动至M '点时, 位置 发生了变化,由于场的空间不均匀性引起 速度的变化
3.1.3随体导数 随体导数
按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
流体动力学中的一维流动模拟
流体动力学中的一维流动模拟引言流体动力学是研究流体力学和固体力学中流体的运动和力学性质的一个分支学科。
在很多实际应用中，对流体流动的模拟和分析是非常重要的。
在这方面，一维流动模拟是一个重要的工具，它可以帮助工程师和科学家更好地理解和预测流体的行为。
本文将介绍一维流动模拟的基本原理和方法。
一维流动模拟的基本原理一维流动模拟是基于一维流动方程组进行求解的。
一维流动方程组是由质量守恒方程和动量守恒方程组成的。
质量守恒方程描述了流体在流动过程中质量的守恒，动量守恒方程描述了流体在流动过程中动量的守恒。
质量守恒方程质量守恒方程可以用连续性方程来表示：$$\\frac{\\partial \\rho}{\\partial t} + \\frac{\\partial(\\rho v)}{\\partial x} = 0$$其中，$\\rho$是流体的密度，v是流体的速度，x是流体流动的坐标。
这个方程描述了流体质量随时间和空间的变化关系。
动量守恒方程动量守恒方程可以用动量守恒方程来表示：$$\\frac{\\partial (\\rho v)}{\\partial t} + \\frac{\\partial(\\rhov^2)}{\\partial x} = -\\frac{\\partial p}{\\partial x} + \\frac{\\partial}{\\partialx}\\left(\\mu \\frac{\\partial v}{\\partial x}\\right)$$其中，p是流体的压力，$\\mu$是流体的动力粘度。
这个方程描述了流体动量随时间和空间的变化关系。
一维流动模拟的方法一维流动模拟可以通过求解一维流动方程组来实现。
常用的求解方法包括有限差分法和有限元法。
有限差分法有限差分法是一种基于差分逼近的数值求解方法。
它将空间和时间离散化，将连续的一维流动方程组转化为离散的代数方程组。
第三章流体流动的基本概念和方程
第三章流体流动的基本概念和方程引言：流体流动的特点1、流体的变形运动2、描述流体运动的主要物理量流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系l 3.1研究流体运动的两种方法连续介质模型：我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。
描述流体运动的各物理量（如速度、加速度等）均应是空间点的坐标和时间的连续函数流场（flow field ）：流体质点运动的全部空间。
流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange ）方法，另一种是欧拉（Euler ）方法。
一、拉格朗日方法1、分析方法：又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。
2、位置表示：这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻t ，任一流体质点的位置可表为：（velocity ）和加速度（acceleration ）为：4、密度表示：流体的密度（density ）、压强（pressure ）和温度（temperature ) 写成a 、b 、t 的函数，即ρ= ρ( a , b , c , t ) , p = p ( a , b , c , t ) , t = t ( a , b , c , t)二、欧拉法1、分析方法：又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。
2、表示：流体质点的流动是空间点坐标（x , y , z ）和时间t 的函数，流体质点的三个速度分量表示为：流体质点密度表示：（3——6）式（ 3 一 6 ）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间t 求导就可得流体质点沿运动轨的三个速度分量根据矢量分析的点积公式间的变化而产生的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的第一项tw t v t u ∂∂∂∂∂∂、、 ○2第二部分，迁移加速度（ acceleration of transport )：是某一瞬时由于流体质点速度随空间点的变化而引起的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的后三项z u w y u v x u u ∂∂∂∂∂∂、、等 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度（ total acceleration ）5、流体质点的加速度的物理意义如图 3 一 1 所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面 2 比截面 1 小，则截面 2 的速度就要比截面 1 的速度大。
流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
流体运动学基础(new)
二、一维流动、二维流动和三维流动
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
一、基本概念
3.1 研究流体运动的方法
运动要素：表征流体运动状态的物理量 运动要素之间的规律 ① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。 场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体 运动空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状态的参量的一个确定 的值，即物理的场 场的描述方法：Largrange法和Euler法 场的分类： 矢量场 标量场 稳定场 时变场
第三章 流体运动学基础
• 第1节 研究流体运动的方法 • 第2节 基本概念
• 第3节 连续方程
• 第4节 相邻点运动描述――流体微团运动分析 • 第5节 流体质点的加速度 • 第6节 势流理论
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转向等随时间和坐标的 变化规律，不涉及力问题，但从中得出结论为流体动力学的研究奠定 基础。
均匀流有如下特征：
（1）均匀流的过水断面（有效截面）是平面，并且有效截面的形状与 尺寸沿流程不变；
（2）均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布 相同，平均流速相同； （3）均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静 压强分布规律相同，也就是在均匀流有效截面上同样存在各点静水头等于 常数的特征，即
五.流量和平均流速
3.2 基本概念
v dA v cos(v, n)dA vn dA
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
一、基本概念
3.1 研究流体运动的方法
运动要素：表征流体运动状态的物理量 运动要素之间的规律 ① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。 场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体 运动空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状态的参量的一个确定 的值，即物理的场 场的描述方法：Largrange法和Euler法 场的分类： 矢量场 标量场 稳定场 时变场
第三章 流体运动学基础
• 第1节 研究流体运动的方法 • 第2节 基本概念
• 第3节 连续方程
• 第4节 相邻点运动描述――流体微团运动分析 • 第5节 流体质点的加速度 • 第6节 势流理论
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转向等随时间和坐标的 变化规律，不涉及力问题，但从中得出结论为流体动力学的研究奠定 基础。
均匀流有如下特征：
（1）均匀流的过水断面（有效截面）是平面，并且有效截面的形状与 尺寸沿流程不变；
（2）均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布 相同，平均流速相同； （3）均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静 压强分布规律相同，也就是在均匀流有效截面上同样存在各点静水头等于 常数的特征，即
五.流量和平均流速
3.2 基本概念
v dA v cos(v, n)dA vn dA
2-流体力学-第三章-流体动力学(1)-三大方程-黄国钦
迹线
M(-1,-1)
o
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
19
dx dy dz = = vx v y vz
流线微分方程
20
3.2 几个概念 3.2.2 流线和迹线——流线
流线的性质
（1）流线彼此不能相交。 （2）流线是一条光滑的曲线，不可能出现折点。 （3）定常流动时流线形状不变（不随时间变化），迹 线与流线重合， 非定常流动时流线形状发生变化。 （4）流线簇的疏密反映了速度的大小；
求导
求导
几点说明：
1、对于某个确定的流体质点，（a，b，c）为常数，t为变量——轨迹。 2、t为常数，（a，b，c）为变量——某一时刻不同流体质点的位置分布。 3、a，b，c为Lagrange变数，是连续分布的空间坐标，是流体质点的标号，不 随时间变化。
优缺点： 优缺点 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程。 由于流体易动性，要跟踪某个点十分困难。
•
欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速 度矢量场为：
选定某一空 选定某一空 间固定点 间固定点
记录流动空间 某固定位置 处，流体运动 要素（速度、 加速度）随时 间变化规律
r r u =u (x,y,z,t)
综合流场中 许多空间点 随时间的变 化情况
(( x ,, y ,, zz )) 是 x y 是空 空间 间点 点（ （场 场 r u 点）。流速 是在 点）。流速 是在 tt 时 时 刻占据 (( x ,, y ,, zz )) 的那个流 刻占据 x y 的那个流
以质点所携带的物理量量 u(x,y,z,t)为代表
位置 速度
t 时刻 M0 (x, y, z, t) v0 (x, y, z, t) Δ t后
大学课程《工程流体力学》PPT课件：第三章
§3.1 研究流体运动的方法
➢ 欧拉法时间导数的一般表达式
d (v ) dt t
d ：称为全导数，或随体导数。
dt
：称为当地导数。
t
v
：称为迁移导数。
例如，密度的导数可表示为： d (v )
dt t
§3.1 研究流体运动的方法
3.1.2 拉格朗日法
拉格朗日法的着眼点：特定的流体质点。
lim t0
(
dV
III
)
t
t
t
CS2 vndA
单位时间内流入控制体的物理量：
z
Ⅲ
Ⅱ’
Ⅰ
y
lim
t 0
(IdV )t t t CS1vndA
x
§3.3 雷诺输运方程
➢ 雷诺输运方程
dN dt
t
CV dV
CSvndA
雷诺输运方程说明，系统物理量 N 的时间变化率，等于控 制体该种物理量的时间变化率加上单位时间内经过控制面 的净通量。
d dt
V
dV
t
CV
dV
CS
vndA
0
因此，连续性方程的一般表达形式为：
t
CV
dV
CS
vndA
0
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表现形式。
对定常流动，连续性方程简化为：
CS vndA 0
§3.4 连续性方程
对一维管流，取有效截面 A1 和 A2，及
v2
管壁 A3 组成的封闭空间为控制体：
ay
dv y dt
v y t
vx
v y x
vy
v y y
vz
v y z
az
流体力学 第3章流体动力学基础
第3章 流体动力学基础教学提示：流体力学是研究流体机械运动的一门学科，与理论力学中分析刚体运动的情况相似。
如研究的范围只限于流体运动的方式和状态，则属于流体运动学的范围。
如研究的范围除了流体运动的方式和状态以外，还联系到流体发生运动的条件，则属于流体动力学的范围。
前者研究流体运动的方式和速度、加速度、位移等随空间与时间的变化，后者研究引起运动的原因和流体作用力、力矩、动量和能量的方法。
如前所述，流体力学的研究方法是基于连续介质体系的，重点研究由流体质点所组成的连续介质体系运动所产生的宏观效果，而不讨论流体分子的运动。
与处于相对平衡状态下的情况不同，处于相对运动状态下的实际流体，粘滞性将发生作用。
由于流体具有易流动性和粘滞性的影响，因此流体力学的研究方法与固体力学有明显的区别。
教学要求：流体运动的形式虽然多种多样的，但从普遍规律来讲，都要服从质量守恒定律、动能定律和动量定律这些基本原理。
在本章中，我们将阐述研究流体流动的一些基本方法，讨论流体运动学方面的一些基本概念，应用质量守恒定律、牛顿第二运动定律、动量定理和动量矩定理等推导出理想流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、欧拉方程、伯努利方程、动量方程、动量矩方程等，并举例说明它们的应用。
3.1 流体运动的描述方法要研究流体运动的规律，就要建立描述流体运动的方法。
在流体力学中，表达流体的运动形态和方式有两种不同的基本方法：拉格朗日法和欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法是瑞士科学家欧拉首先提出的，法国科学家J. L.拉格朗日作了独立的、完整的表述和具体运用。
该方法着眼于流体内部各质点的运动情况，描述流体的运动形态。
按照这个方法，在连续的流体运动中，任意流体质点的空间位置，将是质点的起始坐标),,(c b a (即当时间t 等于起始值0t 时的坐标)以及时间t 的单值连续函数。
若以r 代表任意选择的质点在任意时间t 的矢径，则： ),,,(t c b a r r = (3-1) 式中，r 在x 、y 、z 轴上的投影为x 、y 、z ；a 、b 、c 称为拉格朗日变量。
工程流体力学 第3章 流体运动基本概念和基本方程
迹线和流线：
第四节 流管 流束 流量 水力半径
1. 流管和流束
流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线 上的所有流线组成的管状表面。
流束——充满流管的一束流体。 微元流束——截面积无穷小的流束。 总流——无限多微元流束组成总的流束。
3. 缓变流和急变流 缓变流— 流线近似平行； 急变流— 流线不平行；
缓变流
急变流
缓变流 急变流
4. 有效截面 流量 平均流速 有效截面—在流束或者总流中，与所有流线都垂直的截面。
流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。
体积流量（m3 / s） 质量流量（kg /）s
qv v dA v cos(v, n)dA vndA
A
A
A
qm v dA v cos(v, n)dA vndA
0 t
0
t
定常流动：
（1）流动过程中所有的物理量都不随时间变化而变化。 非定常流动：
（2）流动过程中任意一个物理量随时间变化而变化。
判断的唯一依据：运动参数是否随时间变化。
定常流动 （steady and unsteady flow)
非定常流动 （unsteady flow)
2. 一维流动、二维流动和三维流动
流体质点的运动方程
质点物理量： 速度： x y
x y
(a，b，c，t (a，b，c，t
)＝ )
x(a，b，c，t t
y(a，b，c，t t
) )
z
z (a，b，c，t)
z (a，b，c，t ) t
流体质点的加 速度：
ax
a
x
(a，b，c，t
)＝
x
(a，b，c，t t
第四节 流管 流束 流量 水力半径
1. 流管和流束
流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线 上的所有流线组成的管状表面。
流束——充满流管的一束流体。 微元流束——截面积无穷小的流束。 总流——无限多微元流束组成总的流束。
3. 缓变流和急变流 缓变流— 流线近似平行； 急变流— 流线不平行；
缓变流
急变流
缓变流 急变流
4. 有效截面 流量 平均流速 有效截面—在流束或者总流中，与所有流线都垂直的截面。
流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。
体积流量（m3 / s） 质量流量（kg /）s
qv v dA v cos(v, n)dA vndA
A
A
A
qm v dA v cos(v, n)dA vndA
0 t
0
t
定常流动：
（1）流动过程中所有的物理量都不随时间变化而变化。 非定常流动：
（2）流动过程中任意一个物理量随时间变化而变化。
判断的唯一依据：运动参数是否随时间变化。
定常流动 （steady and unsteady flow)
非定常流动 （unsteady flow)
2. 一维流动、二维流动和三维流动
流体质点的运动方程
质点物理量： 速度： x y
x y
(a，b，c，t (a，b，c，t
)＝ )
x(a，b，c，t t
y(a，b，c，t t
) )
z
z (a，b，c，t)
z (a，b，c，t ) t
流体质点的加 速度：
ax
a
x
(a，b，c，t
)＝
x
(a，b，c，t t
第三章一维定常流的基本方程
p2 p1 2
k 1 k
等熵膨胀，压力降低，流速增大； 反之在扩压器中，流速减小，压力增大
k RT1 k 1
p2 p1
k 1 k
c1 c2 1 2
2
3
①
能量方程
能量守恒定律
q de w
② ① ②
轴功 ws 功量变化 p2 p1 流动功 p A dx p A dx dm 2 2 2 1 1 1 表面力做功 1 2 切应力做功，为0
2
dp
1
2 c2 c12 0 2
必须知道流动的热力过程，例如对于等熵过程
p
2
dp
1
k p 2 p1 k R T2 T1 k 1 2 1 k 1 k 1 k p k 2 RT1 p1 1 k 1
Fx 2 A p V
2
2
v
v
因此，水对管子的作用力为 R Fx 2 A p V 作用力的方向沿x方向。
例题:3-3
设有水在弯曲成900的收敛形管道中流动如图 所示。在弯管进、出口截面处水流的压力分别 为4.91X105Pa、 4.19X105Pa，水的流量为 78.5kg/s。管道进出、口截面积分别为： 78.5cm2、50.24cm2。设水流为不可压缩流动， ρ=1000kg /m2,忽略水流本身的重量。试求水 流对管内壁的的作用力。
3.1 连续方程
一维定常流动是第二章所述一般流动的特殊情况，其控制方程组可直 接从一般形式的控制方程组中推导出来。 根据定义，一维定常流动包含了截面积的变化，因此必须从积分形式 的控制方程组出发进行推导。
气体动力学基础chapter3
t t y f2 (a, b, c, t) Vy = = t t
x
（3.2）
2．欧拉（Euler)法 ．欧拉（ 法 该方法着眼点是流场中的空间点或着眼于控制体。即研究运 动流体所占空间中某固定空间点流体的速度、压强和密度等物理 量随时间的变化；以及找出任意相邻空间点之间这些物理量的变 化关系，即分析由空间某一点转到另一点时流动参数的变化。从 而得出整个流体的运动情况。可见，欧拉法不需要注意各个流体 质点的运动过程，而是研究运动流体所占空间各点的流体参数的 变化。研究一切描述流体运动的物理参数在空间的分布，即研究 各流动参数的场。如速度场、压强场、密度场等向量场和标量场。
Vx 2 f1(a, b, c, t) ax = = t t 2 Vx 2 f2 (a, b, c, t) ay = = t t 2 Vz 2 f3 (a, b, c, t) az = = t t 2
z f3 (a, b, c, t) Vz = = t t
（3.3）
在欧拉法中用流体质点的空间坐标 ( x, y, z)与时间变量 t 来 表达流体的运动规律， x, y, z, t ) 叫欧拉变数，欧拉变数不是各自独 ( 立的，因为流体质点在场中的空间位置与时间 t有关，不同的时 间 t ，流体质点有不同的空间坐标 x, y, z 。因此对于任一个流体 质点的位置变量 x 、 y、 z 是时间 t 的函数，即
y
y=x
y = Cx
M(1,1)
x
3.脉线 脉线
所谓脉线是指在一段时间内，将相继通过某一空间固定点 的不同流体质点，在某一瞬时（即观察的瞬时）连成的曲线。 如果该空间固定点是释放染色的源，则在某一瞬时观察到一条 染色线，故脉线也称为染色线。染色线也是同一时刻不同流体 质点的连线。经过烟头和烟囱冒出的烟都是形成脉线的例子。
x
（3.2）
2．欧拉（Euler)法 ．欧拉（ 法 该方法着眼点是流场中的空间点或着眼于控制体。即研究运 动流体所占空间中某固定空间点流体的速度、压强和密度等物理 量随时间的变化；以及找出任意相邻空间点之间这些物理量的变 化关系，即分析由空间某一点转到另一点时流动参数的变化。从 而得出整个流体的运动情况。可见，欧拉法不需要注意各个流体 质点的运动过程，而是研究运动流体所占空间各点的流体参数的 变化。研究一切描述流体运动的物理参数在空间的分布，即研究 各流动参数的场。如速度场、压强场、密度场等向量场和标量场。
Vx 2 f1(a, b, c, t) ax = = t t 2 Vx 2 f2 (a, b, c, t) ay = = t t 2 Vz 2 f3 (a, b, c, t) az = = t t 2
z f3 (a, b, c, t) Vz = = t t
（3.3）
在欧拉法中用流体质点的空间坐标 ( x, y, z)与时间变量 t 来 表达流体的运动规律， x, y, z, t ) 叫欧拉变数，欧拉变数不是各自独 ( 立的，因为流体质点在场中的空间位置与时间 t有关，不同的时 间 t ，流体质点有不同的空间坐标 x, y, z 。因此对于任一个流体 质点的位置变量 x 、 y、 z 是时间 t 的函数，即
y
y=x
y = Cx
M(1,1)
x
3.脉线 脉线
所谓脉线是指在一段时间内，将相继通过某一空间固定点 的不同流体质点，在某一瞬时（即观察的瞬时）连成的曲线。 如果该空间固定点是释放染色的源，则在某一瞬时观察到一条 染色线，故脉线也称为染色线。染色线也是同一时刻不同流体 质点的连线。经过烟头和烟囱冒出的烟都是形成脉线的例子。
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2.元流 — 流管中的液流称为元流或微小流束元流的极限是 一条流线。
元流性质：
流体做定常流动时，元流的形状不随时间变化。 流体不能从元流的侧面流入和流出，流体只能沿元流端
面流入或流出。 元流横断面积无限小，其断面流速、压强等参数可以认
为是相等的。
3.流束—过流管横截面上各点作流线，则得到充满 流管的一束流线簇，称为流束。
四.过水断面 湿周 水力半径
1.过水断面—即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
2.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
于微小流束的表面是由流线围成的，所以没有流体穿入
或穿出流束表面，只有两端面dA1 和dA2有流体的流入
和流出。
则有 d M 1 u 1 d A 12 u 2d A 2
❖ 由于流体做定常流动，则根据质量守恒定律得
dM=0 则
1u1dA12u2dA2
——可压缩流体微小流束的连续性方程。
对不可压缩流体的定常流动， 1 2
第三章 一维流体动力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 概述
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体质 点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研 欧拉法：着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动
特性的各种物理量的矢量场与标量场
t u x , u y , u z 三者都等于 0 t t t
非定常流—又称非定常流,是指流场中的流体流动空
间点上各水力运动要素中, 只要有任何一个随时间的变 化而变化的流动。
即：u ux, y, z
p 0
p px,y,z
t
ux , uy , uz 三者中至少一个 t t t
不等于0
二 流线与迹线
体积流量（m3）/ s： q vvd Avco v,n s )d( AvndA
A
A
A
质量流量：
q m v d A v co v ,n )s d( A v n d A
A
A
A
第三节 流体运动的连续方程
一、元流的连续性方程
如图所示，在总流上取一微小流束，过水断面分别为dA1 和dA2 ，相应的速度分别为u1和u2 ，密度ρ1 和ρ2 。由
三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
对于工程实际问题，在满足精度要求的情 况下，将三维流动简化为二维、甚至一维 流动，可以使得求解过程尽可能简化。
二维流动→一维流 动
三维流动→二维流动
六、流量与平均流速
平均流速——体积流量与有效截面积之比值,用 v 表示。 流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。
→ Q0＝Q１＋3Q
Q0＝Q２＋2Q
Q0＝Q3＋3Q
各断面流速
根据连续性方程
Q１＝Q0－Q＝3Q＝2.4m3/s Q２＝Q0－2Q＝2Q＝1.6m3/s Q3＝Q0－3Q＝0.8m3/s
12
3
V1
Q1 A
2.4 0.5 0.5
9.6 m s
Q0
a bc d
12
3
V2
Q 2
A
1.6 0.5 0.5
6.4
m s
V3
Q3 A
0.8 0.5 0.5
3.2 m s
第四节 流体定常流能量方程
一、理想流体元流能量方程
从功能原理出发，取不可 压缩无黏性流体恒定流动 这样的力学模型，可以推 出元流的能量方程式：
1 1'
u1dt
p1
dA1
在dt时间内压力作的功：
pO
图3-10
p 1 d1 u 1 A d tp 2 d2 u A 2 d t(p 1 p 2 )dQdt
ux uy uz
展开后得到： dx dy dz ——流线方程 ux uy uz
或用它们余弦相等推得：
c o s u xd,c x o s u yd,c yo u szdz u ds u ds u ds
2.迹线
1）迹线的定义
迹线—某一质点在某
一时段内的运动轨迹线。
图中烟火的轨迹为迹线。
2）迹线的微分方程
A1 1u1dA1A2 2u2dA2
上式整理后可写成 1mv1A1 2mv2A2
1压缩流体做定常流动时，
总流的质量流量保持不变。
Q 1Q 2;v1A 1v2A 2
其物理意义是：不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流量 保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比，即过 水断面积↑处，流速↓；而过水断面面积↓处，流速↑。
在水位变化的情况下：
(1) A→A′存在时变加速度,但不存在位变加速度。 (2) B→B′既存在时变加速度,又存在位变加速度。
第二节 流体运动的基本概念
一、定常流和非定常流 定常流—又称定常流，是指流场中的流体流动，空间
点 上各水力运动要素均不随时间而变化即：
u 0 u ux, y, z
t
p 0 p px, y, z
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。 R A x
圆形截面管道的几何直径
非圆形截面管道的当量直径
dd2 4A4R d x
D 4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数；
二维流动： 流动参数是两个坐标的函数；
下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就 是某时刻的流线。
流线的性质
a.同一时刻的不同流线,不能相交.
b.流线不能是折线，而是一条光 滑的曲线。
c.流线的形状和位置，在定常流 动时不随时间变化；而在不定 常流动时，随时间变化。
u1 交点 u2
s1
s2
u1
u2
折点
s
d.流线簇的疏密反映了速度的大小 （流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
dx dy dz dtux,dtuy,d tuz 代入上式得：
a d d u t u t u x u x u y u y u z u z
ax
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
duy dt
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
流段所获得的动能： dQ(u d2 2 tu12)dQu2 2 dtu12
g 22
2g
Z1 Z2
2
dA2 2'
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
究 方 法 拉格朗日法：着 点眼 的于 运个 动别 后流 便体 可质 得点 到的 整运个动流，体综的合运所动有规流律体质
一、拉格朗日法
拉格朗日方法：是以流场中每一流体质点作为描述流 体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基 础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整 个流动。——质点系法
解：(1)由欧拉迹线方程式，迹线方程组为
dx d t
t1
d
y
d t
1
由上两式分别积分可得
x
1 2
t2
t
c1
y t c2
t = 0时质点A 位于x =y =0，得c1= c2= 0。
质点A的迹线方程为:
t t
x
1 2
2
y t
消去参数t得A点的迹线方程为：
x1y2y1(y1)21
dx dy dz dt
ux uy uz
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。 注意：流线和迹线微分方程的异同点。
dx dy dz ux uy uz
——流线方程
【例2】已知：设速度场为 ux = t+1 ,vy = 1，t = 0时刻流 体 质点A位于原点。
求：（1）质点A的迹线方程； （2）t = 0时刻过原点的流线方程；
2
2
2
（2）由流线微分方程：
dx dy t 1 1
积分可得： x y c
t 1
在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得C = 0，相 应的流线方程为：
xy
三.元流与总流
1.流管—在流场中取任一封闭曲线
（不是流线），通过该封闭曲线的每一 点作流线，这些流线所组成的管状空间 称为流管。
流线的方程
根据流线的定义，可以求得流 线的微分方程：
设ds为流线上A处一微元弧长: ds di x d j ydk z
u为流体质点在A点的流速:
u uxi uy juzk
因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速
分量，u 和ds重合。所以 ds u0
即
i jk
dx dy dz 0
例： 断面为50×50cm2的送风管，通过abcd四 个40×40cm2的送风口向室内输送空气，送风口 气流平均速度均为5m/s，
求：通过送风管1-1，2-2，3-3各断面的流速 和流量。
元流性质：
流体做定常流动时，元流的形状不随时间变化。 流体不能从元流的侧面流入和流出，流体只能沿元流端
面流入或流出。 元流横断面积无限小，其断面流速、压强等参数可以认
为是相等的。
3.流束—过流管横截面上各点作流线，则得到充满 流管的一束流线簇，称为流束。
四.过水断面 湿周 水力半径
1.过水断面—即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
2.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
于微小流束的表面是由流线围成的，所以没有流体穿入
或穿出流束表面，只有两端面dA1 和dA2有流体的流入
和流出。
则有 d M 1 u 1 d A 12 u 2d A 2
❖ 由于流体做定常流动，则根据质量守恒定律得
dM=0 则
1u1dA12u2dA2
——可压缩流体微小流束的连续性方程。
对不可压缩流体的定常流动， 1 2
第三章 一维流体动力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 概述
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体质 点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研 欧拉法：着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动
特性的各种物理量的矢量场与标量场
t u x , u y , u z 三者都等于 0 t t t
非定常流—又称非定常流,是指流场中的流体流动空
间点上各水力运动要素中, 只要有任何一个随时间的变 化而变化的流动。
即：u ux, y, z
p 0
p px,y,z
t
ux , uy , uz 三者中至少一个 t t t
不等于0
二 流线与迹线
体积流量（m3）/ s： q vvd Avco v,n s )d( AvndA
A
A
A
质量流量：
q m v d A v co v ,n )s d( A v n d A
A
A
A
第三节 流体运动的连续方程
一、元流的连续性方程
如图所示，在总流上取一微小流束，过水断面分别为dA1 和dA2 ，相应的速度分别为u1和u2 ，密度ρ1 和ρ2 。由
三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
对于工程实际问题，在满足精度要求的情 况下，将三维流动简化为二维、甚至一维 流动，可以使得求解过程尽可能简化。
二维流动→一维流 动
三维流动→二维流动
六、流量与平均流速
平均流速——体积流量与有效截面积之比值,用 v 表示。 流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。
→ Q0＝Q１＋3Q
Q0＝Q２＋2Q
Q0＝Q3＋3Q
各断面流速
根据连续性方程
Q１＝Q0－Q＝3Q＝2.4m3/s Q２＝Q0－2Q＝2Q＝1.6m3/s Q3＝Q0－3Q＝0.8m3/s
12
3
V1
Q1 A
2.4 0.5 0.5
9.6 m s
Q0
a bc d
12
3
V2
Q 2
A
1.6 0.5 0.5
6.4
m s
V3
Q3 A
0.8 0.5 0.5
3.2 m s
第四节 流体定常流能量方程
一、理想流体元流能量方程
从功能原理出发，取不可 压缩无黏性流体恒定流动 这样的力学模型，可以推 出元流的能量方程式：
1 1'
u1dt
p1
dA1
在dt时间内压力作的功：
pO
图3-10
p 1 d1 u 1 A d tp 2 d2 u A 2 d t(p 1 p 2 )dQdt
ux uy uz
展开后得到： dx dy dz ——流线方程 ux uy uz
或用它们余弦相等推得：
c o s u xd,c x o s u yd,c yo u szdz u ds u ds u ds
2.迹线
1）迹线的定义
迹线—某一质点在某
一时段内的运动轨迹线。
图中烟火的轨迹为迹线。
2）迹线的微分方程
A1 1u1dA1A2 2u2dA2
上式整理后可写成 1mv1A1 2mv2A2
1压缩流体做定常流动时，
总流的质量流量保持不变。
Q 1Q 2;v1A 1v2A 2
其物理意义是：不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流量 保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比，即过 水断面积↑处，流速↓；而过水断面面积↓处，流速↑。
在水位变化的情况下：
(1) A→A′存在时变加速度,但不存在位变加速度。 (2) B→B′既存在时变加速度,又存在位变加速度。
第二节 流体运动的基本概念
一、定常流和非定常流 定常流—又称定常流，是指流场中的流体流动，空间
点 上各水力运动要素均不随时间而变化即：
u 0 u ux, y, z
t
p 0 p px, y, z
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。 R A x
圆形截面管道的几何直径
非圆形截面管道的当量直径
dd2 4A4R d x
D 4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数；
二维流动： 流动参数是两个坐标的函数；
下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就 是某时刻的流线。
流线的性质
a.同一时刻的不同流线,不能相交.
b.流线不能是折线，而是一条光 滑的曲线。
c.流线的形状和位置，在定常流 动时不随时间变化；而在不定 常流动时，随时间变化。
u1 交点 u2
s1
s2
u1
u2
折点
s
d.流线簇的疏密反映了速度的大小 （流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
dx dy dz dtux,dtuy,d tuz 代入上式得：
a d d u t u t u x u x u y u y u z u z
ax
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
duy dt
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
流段所获得的动能： dQ(u d2 2 tu12)dQu2 2 dtu12
g 22
2g
Z1 Z2
2
dA2 2'
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
究 方 法 拉格朗日法：着 点眼 的于 运个 动别 后流 便体 可质 得点 到的 整运个动流，体综的合运所动有规流律体质
一、拉格朗日法
拉格朗日方法：是以流场中每一流体质点作为描述流 体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基 础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整 个流动。——质点系法
解：(1)由欧拉迹线方程式，迹线方程组为
dx d t
t1
d
y
d t
1
由上两式分别积分可得
x
1 2
t2
t
c1
y t c2
t = 0时质点A 位于x =y =0，得c1= c2= 0。
质点A的迹线方程为:
t t
x
1 2
2
y t
消去参数t得A点的迹线方程为：
x1y2y1(y1)21
dx dy dz dt
ux uy uz
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。 注意：流线和迹线微分方程的异同点。
dx dy dz ux uy uz
——流线方程
【例2】已知：设速度场为 ux = t+1 ,vy = 1，t = 0时刻流 体 质点A位于原点。
求：（1）质点A的迹线方程； （2）t = 0时刻过原点的流线方程；
2
2
2
（2）由流线微分方程：
dx dy t 1 1
积分可得： x y c
t 1
在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得C = 0，相 应的流线方程为：
xy
三.元流与总流
1.流管—在流场中取任一封闭曲线
（不是流线），通过该封闭曲线的每一 点作流线，这些流线所组成的管状空间 称为流管。
流线的方程
根据流线的定义，可以求得流 线的微分方程：
设ds为流线上A处一微元弧长: ds di x d j ydk z
u为流体质点在A点的流速:
u uxi uy juzk
因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速
分量，u 和ds重合。所以 ds u0
即
i jk
dx dy dz 0
例： 断面为50×50cm2的送风管，通过abcd四 个40×40cm2的送风口向室内输送空气，送风口 气流平均速度均为5m/s，
求：通过送风管1-1，2-2，3-3各断面的流速 和流量。