统计计算课件 第二章 正态分布教学内容
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《正态分布》课件
(3)当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降。并 向它无限靠近。
且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线，
性质：
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
(2)曲线关于直线x 对称，且在x 时位于最高点； (3)当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降。并
向它无限靠近。
2. 正态分布的意义 正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量
误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常
情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度; 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小
的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般
且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线，
(4)当一定时，曲线的形状由 确定。 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分 散； 越小,曲线越“瘦高”，表示 总体的分布越集中；
（4）服从正态分布的总体特征 产品尺寸这一典型总体，它服从正态布。 它的特征：生产条件正常稳定，即工艺、 设备、技术、操作、原料、环境等可以 控制的条件都相对稳定，而且不存在产 生系统误差的明显因素。 一般地，当一随机变量是大量微小的独 立随机因素共同作用的结果，而每一种因 素都不能起到压倒其他因素的作用时，这 个随机变量就被认为服从正态分布。
是一个正态随机变量.
上述计算结果可用下表和图来表示：
区间 , 2 , 2 取值概率
68.3 o o 95.4 o o 99.7 o o
3 , 3
（7）假设检验方法的基本思想 ①小概率事件的含义：
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3 以外 取值的概率只有0.3 ％。
且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线，
性质：
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
(2)曲线关于直线x 对称，且在x 时位于最高点； (3)当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降。并
向它无限靠近。
2. 正态分布的意义 正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量
误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常
情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度; 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小
的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般
且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线，
(4)当一定时，曲线的形状由 确定。 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分 散； 越小,曲线越“瘦高”，表示 总体的分布越集中；
（4）服从正态分布的总体特征 产品尺寸这一典型总体，它服从正态布。 它的特征：生产条件正常稳定，即工艺、 设备、技术、操作、原料、环境等可以 控制的条件都相对稳定，而且不存在产 生系统误差的明显因素。 一般地，当一随机变量是大量微小的独 立随机因素共同作用的结果，而每一种因 素都不能起到压倒其他因素的作用时，这 个随机变量就被认为服从正态分布。
是一个正态随机变量.
上述计算结果可用下表和图来表示：
区间 , 2 , 2 取值概率
68.3 o o 95.4 o o 99.7 o o
3 , 3
（7）假设检验方法的基本思想 ①小概率事件的含义：
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3 以外 取值的概率只有0.3 ％。
正态分布ppt课件统计学
详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布ppt课件
1.已知某地区中学生的身高 X 近似服从正态分布 N 164, 2 ，若 P X 170 0.3 ，
则 P158 X 1706
D.0.8
解析： P158 X 170 2P164 X 170 2 0.5 P X 170 0.4 .
2. 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N 1, 2 ， 若 P(X 0) P(X 3) 11 ， 则 10 P(2 X 3) ( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N 1, 2 ，
所以随机变量 X 的均值 1 ，
所以随机变量 X 的密度曲线关于 x 1 对称， 所以 P(X 0) P(X 2) ， 又 P(X 0) P(X 3) 11 ，
10
所以 P(X 2) P X 2 P(2 X 3) 11 ，
为“可用产品”，则在这批产品中任取 1 件，抽到“可用产品”的概率约为 _____________.
参考数据：若 X N , 2 ，则 P X 0.6827 ，
P 2 X 2 0.9545， P 3 X 3 0.9973
解析：由题意知，该产品服从 X N(25,0.16) ，则 25, 0.4 ，
10
因为 P(X 2) P X 2 1，所以 P(2 X 3) 0.1
3.已知随机变量 X ~ N , 2 ，Y ~ B6, p ,且 P X 3 1 ， E X E Y ,则 2
p ( )
1
1
1
1
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
解析：由于 X 服从正态分布 N , 2 ,且 P X 3 1 ,故其均值 E X 3 . 2
正态分布分布ppt课件
通过样本数据可以估计总体的均值、方差等 参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某 个理论分布的差异，中心极限定理提供了理 论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定 理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布 正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况， 如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度 确定t分布的临界值，进 而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与 拒绝域进行比较，若t统 计量落在拒绝域内，则拒 绝原假设，否则接受原假 设。
配对样本t检验原理及步骤
01
02
03
04
05
原理：配对样本t检验是 提出假设：设立原假设 用于比较同一组受试者 （H0）和备择假设 在两个不同条件下的测 （H1），原假设通常为 量值是否存在显著差异 两个测量值的均值相等。 的统计方法。它基于正 态分布假设和配对设计， 通过计算t统计量来推断 两个测量值的差异是否 显著。
设立原假设（H0）和备择假 设（H1），原假设通常为样 本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样 本均值-总体均值)/标准误， 其中标准误=样本标准差/根 号n。
根据显著性水平和自由度确 定t分布的临界值，进而确 定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒 绝域进行比较，若t统计量 落在拒绝域内，则拒绝原假 设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据 时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总 体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。
正态分布课件课件_2
主页
§2.4正态分布(选修2-3)
人的身高高低不等，但中等身材的占大 多数，特高和特矮的只是少数，而且较 高和较矮的人数大致相近，这从一个方 面反映了服从正态分布的随机变量的特 点。
主页
§2.4正态分布(选修2-3)
除了我们在前面遇到过的年降雨量和 身高外,在正常条件下各种产品的质量指标， 如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作 物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差， 射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等 等，都服从或近似服从正态分布.
1 , 2
变式训练1 若一个正态分布的密度函数是一个偶函数且该函数与y 轴交于点 (0, 1 ) ，求该函数的解析式。
4 2
说明：当0 , 1时，X 服从标准正态分布 记为X~N (0 , 1)
1 ( x) e 4 2
x2 32
, x (, )
主页
§2.4正态分布(选修2-3)
主页
§2.4正态分布(选修2-3)
例4.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态 分布X～N(90,100).(1)求考试成绩X位于区间 (70,110)上的概率是多少?(2)若此次考试共有 2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的 考生大约有多少人? 解:依题意,X～N(90,100), 90, 10. P(70 X 110) P( 2 X 2 ) 0.9544. P(80 X 100) P( X ) 0.6826. 即考试成绩在(80,100)间的概率为0.6826. 考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2000 0.6826 1365.
P(| | 1.96) =（ C ）
A．0.025 C．0.950 B．0.050 D．0.975
《正态分布》ppt课件
《正态分布》ppt课件
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
《正态分布》教学课件(32张PPT)
x (,) 标准正态曲线 10
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5
《正态分布》PPT课件(安徽省市级优课)
其中实数和(>0)为参数
备注：当=0， =1时的正态曲线，叫做标准正态曲线
2、正态曲线的图象特征
正态分布几何画板.gsp
y
正态曲线
O
x
x=
2、正态曲线的图象特征
y μ= -1
σ=0.5
y
μ= 0 σ=1
y μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
(2)已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）， 且P(X<4)=0.84则P(X<0) = 0.16 ,
21
练习：
1．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1) ＝P(X<c－1)，则c＝ ___2__.
2.设随机变量X服从正态分布N (0，1),则P(1 X 2) 0_._1_3_5_9
一：创设情境 引入新课 高尔顿板试验
二：正态曲线的探究 正态分布密度曲线 简称正态曲线
o
“中间高，两头低， 左右对称”
1、正态曲线的定义 y 正态曲线
这条曲线就是(或近似 是)下列函数的图象
( x)
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
O
x
我们称,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线
三：正态分布的探究 正态分布的定义
b
P(a X b) a , ( x)dx
1、正态分布的定义 0
ab
一般地，如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足:
b
P (a X b) a , ( x)dx
则称随机变量X服从正态分布. 正态分布常记作 N(μ，σ2 )
备注：当=0， =1时的正态曲线，叫做标准正态曲线
2、正态曲线的图象特征
正态分布几何画板.gsp
y
正态曲线
O
x
x=
2、正态曲线的图象特征
y μ= -1
σ=0.5
y
μ= 0 σ=1
y μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
(2)已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）， 且P(X<4)=0.84则P(X<0) = 0.16 ,
21
练习：
1．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1) ＝P(X<c－1)，则c＝ ___2__.
2.设随机变量X服从正态分布N (0，1),则P(1 X 2) 0_._1_3_5_9
一：创设情境 引入新课 高尔顿板试验
二：正态曲线的探究 正态分布密度曲线 简称正态曲线
o
“中间高，两头低， 左右对称”
1、正态曲线的定义 y 正态曲线
这条曲线就是(或近似 是)下列函数的图象
( x)
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
O
x
我们称,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线
三：正态分布的探究 正态分布的定义
b
P(a X b) a , ( x)dx
1、正态分布的定义 0
ab
一般地，如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足:
b
P (a X b) a , ( x)dx
则称随机变量X服从正态分布. 正态分布常记作 N(μ，σ2 )
正态分布ppt课件
收集数据
从实际问题中收集相关数据，如某产品的质量指 标数据。
数据拟合
使用正态分布函数对数据进行拟合，判断数据是 否符合正态分布特征。
参数估计
采用最大似然估计等方法，估计出正态分布的均 值和标准差等参数值。
案例分析：某产品质量指标服从正态分布检验
案例背景介绍
介绍某产品的质量指标数据及其背景信息。
正态性检验
选举结果预测 在政治学中，选举结果的预测也往往基于正态分布模型， 通过分析选民的支持率和投票行为来预测选举结果。
经济金融数据中正态分布检验
在金融市场中，股票价格的波动往往呈现出正态分布 的特点，即大部分价格波动都集中在平均值附近，而
极端波动出现的概率很小。
输入 收益标率题分布
在投资组合理论和风险管理中，收益率的分布也往往 假设为正态分布，以便进行风险度量和资产配置。
连续型随机变量及其性质
均匀分布
均匀分布是描述在某一区间内取值的随机变量，其取值具有等可能性。
指数分布
指数分布是描述无记忆性的随机变量的概率分布，常用于可靠性分析 和排队论中。
正态分布
正态分布是描述连续型随机变量的最重要的一种分布，具有对称性和 集中性等特点，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
其他连续型随机变量
概率分布的概念
概率分布用于描述随机变量取不同值 的概率规律，包括离散型概率分布和 连续型概率分布。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量取值为有限个或可数 个，其概率分布通常用分布列表示。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量取值充满某个区间， 其概率分布用概率密度函数表示。
期望与方差
期望的概念
方差的概念
利用正态分布性质，识别 并处理回归模型中的异常 值。
从实际问题中收集相关数据，如某产品的质量指 标数据。
数据拟合
使用正态分布函数对数据进行拟合，判断数据是 否符合正态分布特征。
参数估计
采用最大似然估计等方法，估计出正态分布的均 值和标准差等参数值。
案例分析：某产品质量指标服从正态分布检验
案例背景介绍
介绍某产品的质量指标数据及其背景信息。
正态性检验
选举结果预测 在政治学中，选举结果的预测也往往基于正态分布模型， 通过分析选民的支持率和投票行为来预测选举结果。
经济金融数据中正态分布检验
在金融市场中，股票价格的波动往往呈现出正态分布 的特点，即大部分价格波动都集中在平均值附近，而
极端波动出现的概率很小。
输入 收益标率题分布
在投资组合理论和风险管理中，收益率的分布也往往 假设为正态分布，以便进行风险度量和资产配置。
连续型随机变量及其性质
均匀分布
均匀分布是描述在某一区间内取值的随机变量，其取值具有等可能性。
指数分布
指数分布是描述无记忆性的随机变量的概率分布，常用于可靠性分析 和排队论中。
正态分布
正态分布是描述连续型随机变量的最重要的一种分布，具有对称性和 集中性等特点，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
其他连续型随机变量
概率分布的概念
概率分布用于描述随机变量取不同值 的概率规律，包括离散型概率分布和 连续型概率分布。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量取值为有限个或可数 个，其概率分布通常用分布列表示。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量取值充满某个区间， 其概率分布用概率密度函数表示。
期望与方差
期望的概念
方差的概念
利用正态分布性质，识别 并处理回归模型中的异常 值。
《正态分布》课件
1
定义标准正态分布
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
2
概率密度函数
标准正态分布的概率密度函数是标准形式的正态分布。
3
转化为标准正态分布
通过标准化方法，可以将任意正态分布转化为标准正态分布。
正态分布的应用
1 股票市场
正态分布被广泛应用于股票市场的波动性分析和预测。
2 IQ 测试
正态分布在智商测评中用于解释测试结果的分布情况。
平均数和标准差
在正态分布中，平均数和标准差决定了分布的位置和形状。
对称性
正态分布以均值为对称中心，左右两侧呈对称分布。
正态分布的概率密度函数
概率密度函数
正态分布的概率密度函数描述了不同取值的概率分 布情况。
图形表示
概率密度函数可在图形上呈现出钟形曲线的形状， 帮助理解正态分布的特点。
标准正态分布
结论
正态分布是统计学中的重要概念，具有广泛的应用领域。深入理解正态分布有助于我们在实践中进行数据分析 和预测。
《正态分布》PPT课件
# 正态分布 PPT 课件大纲 正态分布是一种常见的概率分布，广泛应用于统计学和科学研究中。
引言
正态分布是一种对称分布，具有许多重要的性质和应用。通过本节课件，我 们将了解正态分布的基本概念和实际应用。
正态分布的定义和性质
定义正态分布
正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线。
正态分布专题教育课件
图一：
图二： 图三：
图四：
✓ 当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某
一区间（x1,x2）旳曲线与横轴围成旳面积时，不必利 用积分学知识求从x1移到x2所相应区域旳面积大小来得 到这一区间所相应旳面积。此时，我们能够经过变量 变换，把X转变成u，即把一般旳正态分布变换为原则 正态分布，经过求原则正态分布区间(u1,u2)所相应旳面 积来间接求得一般正态分布区间（x1,x2）所相应旳面 积。
✓ 函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。
✓ 在σ不变旳情况下，函数曲线形状不变，若μ变大 时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。
✓ 在μ不变旳情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变旳越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变旳越来越“瘦”和“高”。
✓ 若某一随机变量X，其总体均数μ=0,总体原则差σ=1， 即X～N（0,1）,则称变量X服从原则正态分布。习惯 把服从原则正态分布旳变量用字母U或Z表达，此时，
进行标准化变换：
U x
求服从标准正态分布 N （０，１）的随机变量 U 在区间（u1,u2）所对 应的面积。
通过查标准正态分布 面积分布表，分别求 Ф(u２) 、Ф(u１)的 大 小。
Ф(u２) －Ф(u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
Ф(u２) －Ф(u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
例题参见教科书。
百分位数法： 适用于资料服从偏态分布时。 公式：
双侧 1-α参考值范围： P100 2 ～P1001 2
单侧 1-α参考值范围：>P100 或<P1001
例题参见教科书。
图二： 图三：
图四：
✓ 当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某
一区间（x1,x2）旳曲线与横轴围成旳面积时，不必利 用积分学知识求从x1移到x2所相应区域旳面积大小来得 到这一区间所相应旳面积。此时，我们能够经过变量 变换，把X转变成u，即把一般旳正态分布变换为原则 正态分布，经过求原则正态分布区间(u1,u2)所相应旳面 积来间接求得一般正态分布区间（x1,x2）所相应旳面 积。
✓ 函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。
✓ 在σ不变旳情况下，函数曲线形状不变，若μ变大 时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。
✓ 在μ不变旳情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变旳越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变旳越来越“瘦”和“高”。
✓ 若某一随机变量X，其总体均数μ=0,总体原则差σ=1， 即X～N（0,1）,则称变量X服从原则正态分布。习惯 把服从原则正态分布旳变量用字母U或Z表达，此时，
进行标准化变换：
U x
求服从标准正态分布 N （０，１）的随机变量 U 在区间（u1,u2）所对 应的面积。
通过查标准正态分布 面积分布表，分别求 Ф(u２) 、Ф(u１)的 大 小。
Ф(u２) －Ф(u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
Ф(u２) －Ф(u１)即 为 该随机变量 U 在区间 （ u1,u2 ） 所 对 应的 面 积。
例题参见教科书。
百分位数法： 适用于资料服从偏态分布时。 公式：
双侧 1-α参考值范围： P100 2 ～P1001 2
单侧 1-α参考值范围：>P100 或<P1001
例题参见教科书。
(课件)概率论与数理统计：正态分布
CONTENTS
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 曲线关于 x μ 对称;
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 曲线关于 x μ 对称;
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
正态分布课件
矩估计
定义
矩估计法是利用样本矩估计总体矩的一种方法。
原理
基于概率论中的矩理论，通过样本矩来估计总体 矩。
方法
首先需要计算样本的一阶矩（均值）和二阶矩（ 方差），然后用样本矩来估计总体矩。
贝叶斯估计
定义
01
贝叶斯估计法是通过贝叶斯定理来估计参数的方法。
原理
02
基于概率论中的贝叶斯定理，通过已知的先验概率和样本信息
应用
累积分布函数在统计学中 有广泛应用，如概率模拟 、置信区间的计算等。
正态分布的分位数函数
定义
正态分布的分位数函数是Φ(x) = (1/2) * [1 + erf(x / (√(2) * σ))] ，其中erf是误差函数。
解释
分位数函数描述了随机变量取值大于等于x的概率，即Φ(x) = P(X >= x)。
预测
正态分布还被用于时间 序列数据的预测，例如 在ARIMA模型中，差分 项通常假定服从正态分 布。
状态空间模型
在状态空间模型中，正 态分布被用于描述系统 扰动项的分布，以确保 模型的有效性和准确性 。
在金融风险管理中的应用
风险度量
正态分布被广泛用于金融风险度量，例如在计算VaR（风险价值 ）时，通常假定回报率服从正态分布。
率密度函数为f(x)
=
(1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-
μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ
为标准差。
正态分布的特点
钟形曲线
正态分布的曲线呈钟形，左右对 称，最高点位于均值μ处，而标准 差σ则决定了曲线的宽度和扁平程
度。
连续性
正态分布是一种连续型概率分布， 其概率密度函数在全实数域上定义 。
《数学正态分布》PPT课件
A.f (x)
1
( x )2
e 22
2
C.f (x)
1
( x 1)2
e4
2 2
B.f (x)
2
e
x2 2
2
D.f (x)
1
x2
e2
2
2.设随机变量 ~ N (2,2),则 D( 1 )的值为( C ).
2
A. 1 B. 2 C. 1 D. 4 2
2。正态分布的图像
当时 0, 1，正态总体称为标准正态总体，相应的函数
F( 2 ) F( 2 ) (2) (2) 0.954 正态总体 N(, 2 )在( 3 , 3 )内取值的概率是
F( 3 ) F( 3 ) (3) (3) 0.997
上述计算结果可用下表来表示:
区间
取值概率
( , )
( 2 , 2 )
图
( 3 , 3 )
解:(Ⅰ）设此次参加竞赛得人数为N，竞赛成绩为x， 则x服从N（70，100）
设
z
x70 10
，则z服从标准正态分布N（0，1）
∴P（x≥90）=1-P（x＜90）191 0700=1-Φ(2)
查正态分布表知Φ(2)=
∴P（x≥90）=
12 ∴N=526 N
（Ⅱ）设设奖的分数线约为a分
p(xa)1p(xa)1 (a1 70)0
5 52 0 60.095 1a1 7000.9049
查正态分布表知Φ
a17001.31
∴a=
∴设奖的分数线约为分
4。标准正态分布 ~ N(0,1) 在标准正态分布表中相应于x0的值 ( x0 )是
指总体取值小于x0的概率，即 ( x0 ) P( x x0 )
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u
y
10
bi
y
i
1
2
,
y
ln4 (1 )
i0
其中b0 0.157079628810,b1 0.3706987906101,
b2 0.8364353589103, b3 0.2250947176103,
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似
p
计算
公式
②Toda近似公式（1967年）
n
三、利用误差函数的 近似公式计算
erf (
x 2
)
1
(1
4 i 1
bi xi )4
(2)
其中b1 0.196854, b2 0.115194,
b3 0.000344, b4 0.019527, 以上近似公式的最大绝对误差是2.5 104。
(1)与(2)是最简单且实用的近似公式，
在精度要求不高时使用起来比较方便。
n
基本公式
利用分部积分法可以得到 (x) 的两
个级数展x
x3 3
x5 35
x2k1 (2k 1)!!
(x)
1
( x)
1 x
1 x3
1 x5
(1)k
(2k x
1)!!
2k 1
(x)
1
x2
e2
2
n
一、连分式逼近法
( x）的两个连分式展开式为：
1 (x)x x2 2x2
正态分布的分布函数 和分位数的计算
概述
正态分布是概率论中最重要的分布。一 方面，正态分布是自然界中最常见的一种分 布，例如测量的误差、炮弹弹落点的分布、 人的身高体重、农作物的收获量、工厂产品 的尺寸等都近似服从正态分布；一般来说， 若影响某一数量指标的随机因素很多，而每 个因素所起的作用不太大，则这个指标服从 正态分布，这点可由概率论的极限定理证明。
n
正态分布分布函数和分位数计算
设X ~ N (, 2 ),则X的分布函数为：
F (x) ( x );(x）是标准正态分
布分布函数。
X的p分位数为：x p
u p
,
u
是
p
标准正态分布的p分位数。
故仅讨论标准正态分布分布函数
(
x）和分位数u
的计算方法
p
。
n
标准正态分布分布函数的计算
因为(x）是对称函数，只需给出 x 0时，(x）的计算方法；当 x 0时，(x） 1 (x）计算。 (x）有三种计算方法。
3 35
(2k 1)!!
2
ex2
2k
x2k 1
k0 (2k 1)!!
1 ex2 [1 (1)k (2k 1)!!]
x k 1
(2x2 )k
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
取以上展开式的前n项，得：
erf
(x)
1
ex2 [1
x
n
(1)k
k 1
(2k 1)!! (2x2)k ]
由以上近似值可计算erf (x)的值。再
由(x)与erf (x)的关系，计算(x)的
近似值。
n
三、利用误差函数的 近似公式计算
导出误差函数的近似计算公式的方法很多， 下面介绍两个常用的计算公式：
6
erf (x) 1 (1 ai xi )16 (1) i 1
其中a1 0.0705230784, a2 0.0422820123， a3 0.0092705272，a4 0.0001520143， a5 0.0002765672，a6 0.0000430638 以上近似公式的最大绝对误差是1.3107。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
(2)用二阶展开的迭代求根 法
(3)利用分位数展开式的算 法
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
由分位数的定义，u p满足：(up ) p.
令u u1 , u 称为上侧分位数。对给定
的 (0,0.5),u 0,且p分位数与上侧分
位数有以下关系：
u
,
u p 0,
u ,
当0 p 0.5, p
当p 0.5
当0.5 p 1, 1 p
以下仅给出0 0.5时，u的近似计算公式。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
①Hastings有理近似式（1955年）
2
u y ci yi
3
di
yi
1
(x)与误差函数erf (x)有以下关系：
(
x)
0.（5 1
erf
(
0.（5 1 erf (
x )， 2 x )， 2
x0 x0
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
利用分部积分法可得出误差函数erf (x)的幂级数展开式：
erf (x) 2 ex2 [x 2 x3 22 x5 2k x2k1
,
y
2
ln
1 2
i0
i1
其中c0 2.515517, d1 1.432788,
c1 0.802853, d2 0.189269,
c2 0.010328, d3 0.001308.
以上公式的最大绝对误差是4.4 104。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
②Toda近似公式（1967年）
k x2
(x)
2
1 3 5 (1)k (2k 1) (1)k1
(x)x 1 2 k
(x) 1
x xx x
其中：(x)
1
e
x2 2
。
2
n
一、连分式逼近法
截有限节连分式作为(x）的近似值：
(x)
1 2
(x)x
1
x2 3
2x2 5
nx2 (2n 1)
1
(x) x
x
1 x
2 x
n x
(0 x 3) (x 3)
以上近似值，当n 28时，精度可达1012。
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
误差函数erf (x)的定义：
称函数erf (x) 2 x et2 dt(x 0)
0
为误差函数；erfc(x) 1 erf (x)
2 et2 dt为余误差函数。
x
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
概述
另一方面，正态分布具有许多良好 的性质，许多分布可用正态分布来近似， 另外一些分布又可以通过正态分布来导 出，因此在理论研究中，正态分布十分 重要 。
概述
由于正态分布在概率计算中的重要 性，利用计算机进行有关正态分布的计 算问题时，经常涉及到其分布函数或分 位数的计算。最好的办法是利用分布函 数或分位数的计算公式进行计算。
b4 0.6841218299105, b5 0.5824238515105, b6 0.1045274970105, b7 0.8360937017107 , b8 0.3231081277108, b9 0.36577630361010 , b8 0.69362339821012. 以上公式的最大绝对误差是1.2 108。