统计计算课件 第二章 正态分布教学内容
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正态分布的分布函数 和分位数的计算
概述
正态分布是概率论中最重要的分布。一 方面，正态分布是自然界中最常见的一种分 布，例如测量的误差、炮弹弹落点的分布、 人的身高体重、农作物的收获量、工厂产品 的尺寸等都近似服从正态分布；一般来说， 若影响某一数量指标的随机因素很多，而每 个因素所起的作用不太大，则这个指标服从 正态分布，这点可由概率论的极限定理证明。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
(2)用二阶展开的迭代求根 法
(3)利用分位数展开式的算 法
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
由分位数的定义，u p满足：(up ) p.
令u u1 , u 称为上侧分位数。对给定
的 (0,0.5),u 0,且p分位数与上侧分
k x2
(x)
2
1 3 5 (1)k (2k 1) (1)k1
(x)x 1 2 k
(x) 1
x xx x
其中：(x)
1
e
x2 2
。
2
n
一、连分式逼近法
截有限节连分式作为(x）的近似值：
(x)
1 2
(x)x
1
x2 3
2x2 5
nx2 (2n 1)
1
(x) x
x
1 x
2 x
n x
(0 x 3) (x 3)
概述
另一方面，正态分布具有许多良好 的性质，许多分布可用正态分布来近似， 另外一些分布又可以通过正态分布来导 出，因此在理论研究中，正态分布十分 重要 。
概述
由于正态分布在概率计算中的重要 性，利用计算机进行有关正态分布的计 算问题时，经常涉及到其分布函数或分 位数的计算。最好的办法是利用分布函 数或分位数的计算公式进行计算。
由(x)与erf (x)的关系，计算(x)的
近似值。
n
三、利用误差函数的 近似公式计算
导出误差函数的近似计算公式的方法很多， 下面介绍两个常用的计算公式：
6
erf (x) 1 (1 ai xi )16 (1) i 1
其中a1 0.0705230784, a2 0.0422820123， a3 0.0092705272，a4 0.0001520143， a5 0.0002765672，a6 0.0000430638 以上近似公式的最大绝对误差是1.3107。
u
y
10
bi
y
i
1
2
,
y
ln4 (1 )
i0
其中b0 0.157079628810,b1 0.3706987906101,
b2 0.8364353589103, b3 0.2250947176103,
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似
p
计算
公式
②Toda近似公式（1967年）
n
正态分布分布函数和分位数计算
设X ~ N (, 2 ),则X的分布函数为：
F (x) ( x );(x）是标准正态分
布分布函数。
X的p分位数为：x p
u p
,
u
是
p
标准正态分布的p分位数。
故仅讨论标准正态分布分布函数
(
x）和分位数u
的计算方法
p
。
n
标准正态分布分布函数的计算
因为(x）是对称函数，只需给出 x 0时，(x）的计算方法；当 x 0时，(x） 1 (x）计算。 (x）有三种计算方法。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n
三、利用误差函数的 近似公式计算
erf (
x 2
)
1
(1
4 i 1
bi xi )4
(2)
其中b1 0.196854, b2 0.115194,
b3 0.000344, b4 0.019527, 以上近似公式的最大绝对误差是2.5 104。
(1)与(2)是最简单且实用的近似公式，
在精度要求不高时使用起来比较方便。
以上近似值，当n 28时，精度可达1012。
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
误差函数erf (x)的定义：
称函数erf (x) 2 x et2 dt(x 0)
0
为误差函数；erfc(x) 1 erf (x)
2 et2 dt为余误差函数。
x
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
(x)与误差函数erf (x)有以下关系：
(
x)
0.（5 1
erf
(
0.（5 1 erf (
x )， 2 x )， 2
x0 x0
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
利用分部积分法可得出误差函数erf (x)的幂级数展开式：
erf (x) 2 ex2 [x 2 x3 22 x5 2k x2k1
b4 0.6841218299105, b5 0.5824238515105, b6 0.1045274970105, b7 0.8360937017107 , b8 0.3231081277108, b9 0.36577630361010 , b8 0.69362339821012. 以上公式的最大绝对误差是1.2 108。
n
基本公式
利用分部积分法可以得到 (x) 的两
个级数展开式
(x)
1 2
(x)x
x3 3
x5 35
x2k1 (2k 1)!!
(x)
1
( x)
1 x
1 x3
1 x5
(1)k
(2k x
1)!!
2k 1
(x)
1
x2
e2
2
n
一、连分式逼近法
( x）的两个连分式展开式为：
1 (x)x x2 2x2
3 35
(2k 1)!!
2
ex2
2k
x2k 1
k0 (2k 1)!!
1 ex2 [1 (1)k (2k 1)!!]
x k 1
(2x2 )k
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
取以上展开式的前n项，得：
erf
(x)
1
ex2 [1
x
n
(1)k
k 1
(2k 1)!! (2x2)k ]
由以上近似值可计算erf (x)的值。再
,
y
2
ln
1 2
i0
i1
其中c0 2.515517, d1 1.432788,
c1 0.802853, d2 0.189269,
c2 0.010328, d3 0.001308.
以上公式的最大绝对误差是4.4 104。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
②Toda近似公式（1967年）
位数有以下关系：
u
,
u p 0,
u ,
当0 p 0.5, p
当p 0.5
当0.5 p 1, 1 p
以下仅给出0 0.5时，u的近似计算公式。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
①Hastings有理近似式（1955年）
2
u y ci yi
3
di
yi
1
概述
正态分布是概率论中最重要的分布。一 方面，正态分布是自然界中最常见的一种分 布，例如测量的误差、炮弹弹落点的分布、 人的身高体重、农作物的收获量、工厂产品 的尺寸等都近似服从正态分布；一般来说， 若影响某一数量指标的随机因素很多，而每 个因素所起的作用不太大，则这个指标服从 正态分布，这点可由概率论的极限定理证明。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
(2)用二阶展开的迭代求根 法
(3)利用分位数展开式的算 法
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
由分位数的定义，u p满足：(up ) p.
令u u1 , u 称为上侧分位数。对给定
的 (0,0.5),u 0,且p分位数与上侧分
k x2
(x)
2
1 3 5 (1)k (2k 1) (1)k1
(x)x 1 2 k
(x) 1
x xx x
其中：(x)
1
e
x2 2
。
2
n
一、连分式逼近法
截有限节连分式作为(x）的近似值：
(x)
1 2
(x)x
1
x2 3
2x2 5
nx2 (2n 1)
1
(x) x
x
1 x
2 x
n x
(0 x 3) (x 3)
概述
另一方面，正态分布具有许多良好 的性质，许多分布可用正态分布来近似， 另外一些分布又可以通过正态分布来导 出，因此在理论研究中，正态分布十分 重要 。
概述
由于正态分布在概率计算中的重要 性，利用计算机进行有关正态分布的计 算问题时，经常涉及到其分布函数或分 位数的计算。最好的办法是利用分布函 数或分位数的计算公式进行计算。
由(x)与erf (x)的关系，计算(x)的
近似值。
n
三、利用误差函数的 近似公式计算
导出误差函数的近似计算公式的方法很多， 下面介绍两个常用的计算公式：
6
erf (x) 1 (1 ai xi )16 (1) i 1
其中a1 0.0705230784, a2 0.0422820123， a3 0.0092705272，a4 0.0001520143， a5 0.0002765672，a6 0.0000430638 以上近似公式的最大绝对误差是1.3107。
u
y
10
bi
y
i
1
2
,
y
ln4 (1 )
i0
其中b0 0.157079628810,b1 0.3706987906101,
b2 0.8364353589103, b3 0.2250947176103,
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似
p
计算
公式
②Toda近似公式（1967年）
n
正态分布分布函数和分位数计算
设X ~ N (, 2 ),则X的分布函数为：
F (x) ( x );(x）是标准正态分
布分布函数。
X的p分位数为：x p
u p
,
u
是
p
标准正态分布的p分位数。
故仅讨论标准正态分布分布函数
(
x）和分位数u
的计算方法
p
。
n
标准正态分布分布函数的计算
因为(x）是对称函数，只需给出 x 0时，(x）的计算方法；当 x 0时，(x） 1 (x）计算。 (x）有三种计算方法。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n
三、利用误差函数的 近似公式计算
erf (
x 2
)
1
(1
4 i 1
bi xi )4
(2)
其中b1 0.196854, b2 0.115194,
b3 0.000344, b4 0.019527, 以上近似公式的最大绝对误差是2.5 104。
(1)与(2)是最简单且实用的近似公式，
在精度要求不高时使用起来比较方便。
以上近似值，当n 28时，精度可达1012。
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
误差函数erf (x)的定义：
称函数erf (x) 2 x et2 dt(x 0)
0
为误差函数；erfc(x) 1 erf (x)
2 et2 dt为余误差函数。
x
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
(x)与误差函数erf (x)有以下关系：
(
x)
0.（5 1
erf
(
0.（5 1 erf (
x )， 2 x )， 2
x0 x0
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
利用分部积分法可得出误差函数erf (x)的幂级数展开式：
erf (x) 2 ex2 [x 2 x3 22 x5 2k x2k1
b4 0.6841218299105, b5 0.5824238515105, b6 0.1045274970105, b7 0.8360937017107 , b8 0.3231081277108, b9 0.36577630361010 , b8 0.69362339821012. 以上公式的最大绝对误差是1.2 108。
n
基本公式
利用分部积分法可以得到 (x) 的两
个级数展开式
(x)
1 2
(x)x
x3 3
x5 35
x2k1 (2k 1)!!
(x)
1
( x)
1 x
1 x3
1 x5
(1)k
(2k x
1)!!
2k 1
(x)
1
x2
e2
2
n
一、连分式逼近法
( x）的两个连分式展开式为：
1 (x)x x2 2x2
3 35
(2k 1)!!
2
ex2
2k
x2k 1
k0 (2k 1)!!
1 ex2 [1 (1)k (2k 1)!!]
x k 1
(2x2 )k
n
二、利用误差函数的幂级数 近似式计算
取以上展开式的前n项，得：
erf
(x)
1
ex2 [1
x
n
(1)k
k 1
(2k 1)!! (2x2)k ]
由以上近似值可计算erf (x)的值。再
,
y
2
ln
1 2
i0
i1
其中c0 2.515517, d1 1.432788,
c1 0.802853, d2 0.189269,
c2 0.010328, d3 0.001308.
以上公式的最大绝对误差是4.4 104。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
②Toda近似公式（1967年）
位数有以下关系：
u
,
u p 0,
u ,
当0 p 0.5, p
当p 0.5
当0.5 p 1, 1 p
以下仅给出0 0.5时，u的近似计算公式。
n
标准正态分布分位数的计算
(1)用u
的近似计算公式
p
①Hastings有理近似式（1955年）
2
u y ci yi
3
di
yi
1