专题一：特殊的平行四边形

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北师大九年级上《第1章特殊平行四边形》单元测试含答案解析

《第1章特殊平行四边形》一、选择题1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（）A ．AB=BCB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015 D ．（）2014二、填空题 3．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件（只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．4．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是．5．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，第n 个正方形的边长为．6．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于度．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．8．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为．9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为．10．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD= 度．11．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是（只填一个）．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为．13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= cm ，AB= cm ．三、解答题14．如图，在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ．四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．求证：四边形BECD 是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．17．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．27．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．28．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．29．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．30．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．《第1章特殊平行四边形》参考答案与试题解析一、选择题1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（）A ．AB=BCB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A 、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；B 、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；C 、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；D 、无法判断．故选B ．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015D ．（）2014【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°=，则B 2C 2=（）1，同理可得：B 3C 3==（）2，故正方形A n B n C n D n 的边长是：（）n ﹣1．则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是：（）2014．故选：D ．方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，∴D 1E 1=B 2E 2=，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2=60°，∴B 2C 2=，同理：B 3C 3=×=…∴a 1=1，q=，∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长=1×．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．二、填空题3．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD （只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，=（）n﹣1．∴第n个正方形的边长an故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出△ABC的面积即可．【解答】解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE=DB=，∴△ABC的面积=AB•CE=×1×=，故答案为：．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长．8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 5 ．【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB，根据面积求出EM，得出BC=4，根据勾股定理求出即可．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出BC 的长，难度适中．9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为（，0）．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；规律型．【分析】设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），根据t 一次函数图象上点的坐标特征得到t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1），然后利用同样的方法可求得B 2（，），B 3（，），则A 3（，0）．【解答】解：设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1）；设正方形A 1A 2B 2C 2的边长为a ，则B 2（1+a ，a ），a=﹣（1+a ）+2，解得a=，得到B 2（，）；设正方形A 2A 3B 3C 3的边长为b ，则B 3（+b ，b ），b=﹣（+b ）+2，解得b=，得到B 3（，），所以A 3（，0）．故答案为（，0）．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．10．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 22.5 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．【解答】解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（只填一个）．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．【解答】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD ．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD ．【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可求得正方形A 1B 1C 1D 1的面积=，然后再在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理求得正方形A 2B 2C 2D 2的面积=，然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论．【解答】解：在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可知； ==，即正方形A 1B 1C 1D 1的面积=；在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理可知：==；即正方形A 2B 2C 2D 2的面积= …∴正方形A n B n C n D n 的面积=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是解题的关键．13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= 5 cm ，AB= 13 cm ．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；相似三角形的应用．【专题】综合题；压轴题．【分析】由条件易证∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°．进而可证到四边形EFMN 是矩形及∠EFM=90°，由FM=3cm ，EF=4cm 可求出EM ．易证△ADF ≌△CBN ，从而得到DF=BN ；易证△AFD ∽△AEB ，从而得到4DF=3AF ．设DF=3k ，则AF=4k ．AE=4（k+1），BE=3（k+1），从而有AD=5k ，AB=5（k+1）．由▱ABCD 的周长为42cm 可求出k ，从而求出AB 长．【解答】解：∵AE 为∠DAB 的平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠DAB ，同理：∠ABE=∠CBE=∠ABC ，∠BCM=∠DCM=∠BCD ，∠CDM=∠ADM=∠ADC ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD ，∠ABC=∠ADC ，AD=BC ．∴∠DAF=∠BCN ，∠ADF=∠CBN ．在△ADF 和△CBN 中，．∴△ADF≌△CBN（ASA）．∴DF=BN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°．∴∠EAB+∠EBA=90°．∴∠AEB=90°．同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．∴∠EFM=90°．∵FM=3，EF=4，∴ME==5（cm）．∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．∴四边形EFMN是矩形．∴EN=FM=3．∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，∴△AFD∽△AEB．∴=．∴=．∴4DF=3AF．设DF=3k，则AF=4k．∵∠AFD=90°，∴AD=5k．∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），∴AB=5（k+1）．∵2（AB+AD）=42，∴AB+AD=21．∴5（k+1）+5k=21．∴k=1.6．∴AB=13（cm）．故答案为：5；13．【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强．三、解答题14．（2015•聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC 于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．【考点】矩形的判定；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】证明题．【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．【解答】证明：作EF⊥AB于点F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相同，∴AB∥CD∥x轴，∴m﹣2=4，m=6，将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4=AB，△AEB的面积是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA=EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA）；（2）∵△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．17．（2015•义乌市）正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；命题与定理；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；（2）当α=180°时，DF=BF．（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，∴DG=BE，在△DGF和△BEF中，，∴△DGF≌△BEF（SAS），∴DF=BF；（2）解：图形（即反例）如图2，（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件．18．（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，根据正三角形的性质，可得AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据角的和差，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°∴∠BAE=∠CDE=150°在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE∴BE=CE；（2）∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，又∵∠BAE=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°，同理：∠CED=15°∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．【点评】本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∴PC=PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】分两种情况：①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，得到OA=OB=3，∠BAO=45°，根据DE⊥OA，推出DE=AE，由于四边形COED是正方形，得到OE=DE，等量代换得到OE=AE，即可得到结论；②如图2，由（1）知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，由四边形CDEF是正方形，得到EF=CF，于是得到AF=OF=2OF，求出OA=OF+2OF=3，即可得到结论．【解答】解：分两种情况；①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，∴OA=OB=3，∴∠BAO=45°，∵DE⊥OA，∴DE=AE，∵四边形COED是正方形，∴OE=DE，∴OE=AE，∴OE=OA=，∴E（，0）；②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF=OF，AF=EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF=CF，∴AF=OF=2OF，∴OA=OF+2OF=3，∴OF=1，∴F（1，0）．【点评】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．【解答】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，∵DE=CB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠BEA=∠CDA，∴∠BED=∠CDE，∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．【分析】（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四边形ADBE是平行四边形．∴平行四边形ADBE是矩形；（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S=BD•AD=3×4=12．矩形ADBE【点评】本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．24．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．【解答】证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE．∵点E是BC的中点，∴EC=BE=AD．∴四边形AECD是平行四边形．∵AB=AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形．【点评】本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，【分析】可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，。

四川省中考复习专题：特殊平行四边形

四川省中考复习专题：特殊平行四边形2021年四川中考复习专题：特殊的平行四边形一、解答题1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．（1）求证△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．2．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．3．如图，在菱形ABCD中，E、F是AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是菱形．4．如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF ＝90°．5．如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF．6．如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM ＝CN．7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．8．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE＝BF．9．如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）连接AF，若AF＝23，∠DEF＝60°，则EF的长为；菱形EFCD的面积为．10．如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O的直线交AD，BC分别于点E，F，连接CE，AF．求证：AF＝CE．11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC 到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．12．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．（1）求证四边形EMFN是平行四边形；（2）若AB⊥AC，求证▱EMFN是菱形．13．如图，在▱ABCD 中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．（1）求证：△ABF≌△DCE；（2）求证：四边形ABCD是矩形．14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AE∥BC，DE∥AB，DE与AC交于点O，连接CE．（1）求证：AD＝EC；（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCE是菱形．15．如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．16．如图，R t△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE∥BD，过B作BE∥AC，两直线相交于点E．（1）求证：四边形DBEC是菱形；（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四边形DBEC的面积．17．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF ＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．18．如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．（1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长．19．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．已知平行四边形的对角线互相平分，如图连接OE，FN相交于点M，则OE，FN是平行四边形ONEP的对角线，且OE，PN互相平分，即点M是线段OE，FN的中点．（1）如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M是线段OE中点，则点M的坐标为．（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．20．如图1，点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH ＝DE．（1）求证：DH⊥CE；（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H．求证：FH＝AH．21．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE．求证：∠AEB＝∠BFC．22．如图，在菱形ABCD 中，∠ACD＝30°，BD＝6，求AC的长．23．如图①，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE ＝PB．（1）求证：PD＝PE；（2）如图②，当∠ABC＝90°时，连接DE，则DEBP是否为定值？如果是，请求其值；如果不是，请说明理由．24．如图，在▱ABCD中，延长AB 到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．25．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值．26．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积．27．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，BD＝16．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若点P是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PE+PF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．28．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．（1）求证：△EBF≌△ABC；（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；（3）△ABC满足时，四边形AEFD是正方形．29．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E 作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．30．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）若PD＝DE，求证：BP＝BC．2021年四川中考复习专题：特殊的平行四边形参考答案与试题解析一、解答题1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．（1）求证△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵BE＝DF，∴BF＝DE，在△ADE 和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF （SAS）；（2）连接AC，交BD于点O，∵AB＝AD，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．2．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，∠BAE=∠DAFAB=AD∠B=∠D，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF．3．如图，在菱形ABCD 中，E、F是AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是菱形．证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形BEDF为菱形．4．如图，正方形ABCD的边长是4，BE ＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．证明：连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．∴BE＝CE＝2，CF＝1，DF＝3，由勾股定理得，AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20，EF2＝CE2+CF2＝22+12＝5，AF2＝AD2+DF2＝42+32＝25，又∵AE2+EF2＝AF2，∴△AEF是直角三角形，即∠AEF＝90°．5．如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF．证明：如图，连接BD，在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，在△EDB和△FDB中，DE=DF∠EDB=∠FDBBD=BD，∴△EDB≌△FDB （SAS），∴BE＝BF．6．如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM＝CN．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，∵DM⊥AB，DN⊥BC，∴∠DMA＝∠DNC＝90°，在△DAM和△DCN中，∠A=∠C∠DMA=∠DNC=90°AD=CD，∴△DAM≌△DCN （AAS），∴AM＝CN．7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC=12AC，OB ＝OD=12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝5cm，∴OA＝OB＝AB＝5cm，∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．8．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE＝BF．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点 F ∴∠AEO＝∠BFO＝90°，∵∠AOE＝∠BOF，在△AEO与△BFO中，∠AEO=∠BFO=90°∠AOE=∠BOFOA=OB，∴△AEO≌△BFO （AAS），∴AE＝BF．9．如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．（1）求证：四边形EFCD 是菱形；（2）连接AF，若AF＝23，∠DEF＝60°，则EF的长为2；菱形EFCD的面积为23．证明：（1）在▱ABCD中，BC ＝2CD，∴AD∥BC，AD＝BC＝2CD，∵E，F分别是AD，BC 的中点，∴DE＝CF＝CD，又AD∥BC，∴四边形EFCD是平行四边形，又∵CD＝DE，∴四边形EFCD是菱形；（2）如图，过点F作FH⊥AD于H，∵四边形EFCD是菱形，∴DE＝EF＝AE，∵∠DEF＝60°，∴∠EFH＝30°，∴EH=12EF，FH=3EH，∴AH＝AE+EH＝3EH，∵AF2＝AH2+HF2，∴12＝9EH2+3EH2，∴EH＝1，∴EF＝2＝DE，HF=3，∴菱形EFCD的面积＝2×3=23，故答案为：2，23．10．如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O的直线交AD，BC分别于点E，F，连接CE，AF．求证：AF＝CE．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∠DAC=∠BCAAO=CO∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF （ASA），∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE．11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE ＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，在Rt△ABE中，AE=AB2-BE2=102-62=8，在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=82+42=45，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴OE=12AC=25．12．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．（1）求证四边形EMFN是平行四边形；（2）若AB⊥AC，求证▱EMFN是菱形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAM＝∠FCN，∵E、F分别为AD、BC的中点，∴AE＝DE＝BF＝CF，在△AEM和△CFN中，AE=CF∠EAM=∠FCNAM=CN，∴△AEM≌△CFN（SAS），∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF，∴∠EMN＝∠FNM，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形；（2）连接EF交AC于O，如图所示：由（1）得：AE∥BF，AE＝BF，∴四边形AEBF是平行四边形，∴AB∥EF，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠COF＝∠BAC ＝90°，∴EF⊥MN，∴▱EMFN是菱形．13．如图，在▱ABCD 中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．（1）求证：△ABF≌△DCE；（2）求证：四边形ABCD是矩形．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝FD，∴AE+EF ＝FD+EF，即AF＝DE，在△ABF和△DCE中，AB=CDBF=CEAF=DE，∴△ABF≌△DCE（SSS）；（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴▱ABCD 为矩形．14．如图，在△A BC中，AD是边BC上的中线，AE∥BC，DE∥AB，DE与AC交于点O，连接CE．（1）求证：AD＝EC；（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCE是菱形．证明：（1）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，且AE＝BD，又∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝EC；（2）∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD ＝CD，由（1）得：四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是菱形．15．如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO，∵CE ＝AF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACD＝∠DAC，∴AD＝CD，∴AB＝AD，在△ABF和△ADF中，AB=AD∠BAF=∠DAFAF=AF，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴BF ＝DF，∴四边形BEDF是菱形．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC ＝90°，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE∥BD，过B作BE∥AC，两直线相交于点E．（1）求证：四边形DBEC是菱形；（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四边形DBEC的面积．证明：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，D是AC中点，∴BD＝DC，∴四边形DBEC是菱形；（2）∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB=3BC＝23，∴S△CDB=12S△ABC=12×12×2×23=3，∵四边形BECD是菱形∴S菱形DBEC＝2S△CDB＝23．17．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF ＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．解：（1）EF2＝AF2+BF2．理由：如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠EOF＝∠AOB＝90°，∴∠EOA＝∠FOB，在△EOA和△FOB 中，∠EOA=∠FOBOA=OB∠OAE=∠OBF，∴△EOA≌△FOB （ASA），∴AE＝BF，在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，在△OAE 和△OBH中，OA=OB∠OAE=∠OBHAE=BH ∴△OAE≌△OBH （SAS），∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，∵∠EOF＝45°，∴∠AOE+∠BOF＝45°，∴∠BOF+∠BOH＝45°，∴∠FOE＝∠FOH＝45°，在△FOE和△FOH中-，OF=OF∠FOE=∠FOHOE=OH，∴△FOE≌△FOH（SAS），∴EF ＝FH，∵∠FBH＝90°，∴FH2＝BF2+BH2，∴EF2＝BF2+AE2，18．如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．（1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长．解：（1）如图所示：∵AB＝23，BC＝3，∴AC=AB2+BC2=21，∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE，∴AF＝AB＝23，∴FC＝AC﹣AF=21-23．（2）当△FCE是直角三角形时，①当∠CFE是直角时，如（1）图所示：由题意可知点F在对角线AC上，且EF⊥AC，设BE＝x，则EF＝x，∴S△ABC=12×3×23=33，S△ABE=12×23__=3x，S△ACE=12×21__，∴33=3x+212x，解得：x＝27-4．∴BE＝27-4．②当∠FCE是直角时，如图所示：∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．∴AB＝AF，BE＝EF，在Rt△ADF中，AD＝3，AF＝23，∴DF=AF2-AD2=12-9=3，CF＝DC﹣CE＝23-3=3，设BE＝x，则EF＝x，CE＝3﹣x，∴在Rt△ADF中，EF2＝CE2+CF2，x2＝（3﹣x）2+(3)2，解得：x＝2，∴BE＝EF＝2；③当E在BC延长线上时，此时∠CEF是直角，如图所示：由题意得：BE＝AB＝EF＝23．19．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．已知平行四边形的对角线互相平分，如图连接OE，FN相交于点M，则OE，FN是平行四边形ONEP的对角线，且OE，PN互相平分，即点M是线段OE，FN的中点．（1）如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y 轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M是线段OE 中点，则点M的坐标为（2，32）．（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．解：（1）∵四边形ONEF是矩形，∴M是OE的中点，∵O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），∴M（42，32），即M（2，32）；故答案为：（2，32）；（2）如图，有三种情况：①当AC和BC为平行四边形的边时，连接对角线AB、CD1交于E，∴AE＝EB，CE＝ED1，∵A（﹣1，2），B（3，1），∴E （1，32），∵C（1，4），∴D1（1，﹣1）；②当BC和CD2为平行四边形的边时，连接对角线BD2和AC交于G，同理可得D2（﹣3，5）；③当AC和AB为平行四边形的边时，连接AD3和BC交于F，同理可得D3（5，3）；综上所述，点D的坐标为（1，﹣1）或（﹣3，5）或（5，3）．20．如图1，点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE．（1）求证：DH⊥CE；（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H．求证：FH＝AH．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠DAH ＝∠CDE＝90°，在△HAD与△EDC中，AD=CD∠DAH=∠CDEAH=DE，∴△HAD≌△EDC（SAS），∴∠ADH＝∠DCE，∵∠ADH+∠HDC＝∠DCE+∠HDC＝90°，∴∠DFC＝90°，∴CE⊥DH；（2）如图2，过F作FG⊥AD，交DA的延长线于G，∵FH⊥A O，∴∠G＝∠GAH＝∠AHF＝90°，∴四边形AGFH是矩形，∴FG＝AH＝DE，∠G＝90°，在△GFE和△DEC中，∠GEF=∠DCE∠G=∠DGF=DE，∴△GFE≌△DEC（AAS），∴EG ＝DC＝AD，∴EG﹣AE＝AD﹣AE，∴AG＝DE＝FH＝AH，∴FH ＝AH．21．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE．求证：∠AEB＝∠BFC．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，即∠AOB＝∠BOC＝90°，∴OB＝OC，在△OCF和△OBE中，∠OCF=∠OBEOC=OB∠COF=∠BOE，∴△OCF≌△OBE（ASA），∴∠OFC＝∠OEB，∴∠BFC＝∠AEB．22．如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝6，求AC的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO=12BD＝3，AO＝CO，AC⊥BD，∵∠ACD＝30°，∴CO=3DO＝33，∴AC ＝2CO＝63．23．如图①，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．（1）求证：PD＝PE；（2）如图②，当∠ABC＝90°时，连接DE，则DEBP是否为定值？如果是，请求其值；如果不是，请说明理由．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，AB∥DC，在△BCP和△DCP 中，BC=DC∠BCP=∠DCPPC=PC，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PD＝PE；（2）DEBP=2，理由如下：∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∵∠CFE＝∠DFP（对顶角相等），∴180°﹣∠DFP﹣∠CDP ＝180°﹣∠CFE﹣∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC＝90°，又∵PD＝PE，∴DE=2PE，∴DEBP=2．24．如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝40°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．25．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值．（1）证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，∴MD＝ME=12BC，∴点N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A ＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△MED是等边三角形，∴DE＝DM，有（1）知DM=12BC＝6，∴DE＝6，∵N是DE的中点，∴DN=12DE＝3，∴MN=DM2-DN2=33．26．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴CD﹣CF＝AB﹣AE，∴DF ＝BE且DC∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形BFDE是矩形；（2）解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，∴∠ADE＝30°，∴AE=12AD＝2，DE=3AE＝23，由（1）得：四边形DFBE是矩形，∴BF＝DE＝23，∠ABF＝90°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB=12∠DAB＝30°，∴AB=3BF=3×23=6，∴▱ABCD的面积＝AB×DE＝6×23=123．27．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，BD＝16．（1）求证：▱ABCD 是菱形；（2）若点P是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PE+PF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝16，AB＝10，∴AO＝CO=12AC＝6，BO＝DO=12BD＝8，∵62+82＝102，∴AO2+BO2＝AB2，∴∠AO B＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形；（2）解：是定值，连接OP，过B作BH⊥DA于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝10，S△ABD=12S菱形ABCD=12×12AC-BD=14×12×16＝48，∵S△ABD＝S△ABO+S△ADO=12AB-PE+12AD-PF=12AD（PE+PF）=12AD-BH，∴PE+PF＝BH，∵S△ABD=12AD-BH=12×10-BH＝48，∴BH=485，∴PE+PF=485．故PE+PF定值为485．28．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．（1）求证：△EBF≌△ABC；（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；（3）△ABC满足AB＝AC，∠BAC＝150°时，四边形AEFD 是正方形．（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB ＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，∴∠ABE﹣∠ABF ＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，在△EBF和△ABC中，EB=ABFBE=∠CBABF=BC，∴△EBF≌△ABC（SAS）；（2）证明：∵△EBF≌△ABC，∴EF＝AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD＝AD＝AC，∴EF＝AD＝DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴AB＝AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形；（3）解：当AB＝AC，∠BAC＝150°时，四边形ADEF是正方形．理由是：∵△ABE、△ACD为等边三角形，∴AB＝AE，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°，∵AB＝AC，∴AE＝AD，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是菱形，∵∠BAC ＝150°，∴∠EAD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，∴平行四边形ADEF是正方形，故答案为：AB＝AC，∠BAC＝150°．29．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E 作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．在△PGB和△PHE中，∠PGB=∠PHEPG=PH∠BPG=∠EPH，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．（2）解：PE的长度不变．连接BD，如图2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP ＝90°，∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE，在△BOP 和△PFE中，∠PBO=∠EPF∠BOP=∠PFEPB=PE，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC=2OB．∵BC＝2，∴OB=2，∴PF＝OB=2．∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为2．30．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）若PD＝DE，求证：BP＝BC．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP，∴△ADP≌△CDP （SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE．（2）证明：四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝∠CDE＝90°，∴∠E+∠DFE ＝90°，∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠E，由（1）知△ADP≌△CDP，∴∠PAD＝∠PCD，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴∠PCD+∠PFC＝∠E+∠DFE＝90°，∴∠CPE＝90°，∴∠BPC+∠DPE＝90°，∵PD＝DE，∴∠DPE＝∠E，∴∠DPE ＝∠PCD，∵∠BCP+∠PCD＝90°，∴∠BPC＝∠BCP，∴BP ＝BC．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/5/14 13:27:40；用户：__；邮箱：__.__；学号：__。

专题1 特殊的平行四边形章末重难点题型(举一反三)(北师大版)

A．5 cm
B．2 cm
荨 C． cm
荨 D． cm
【变式 2-1】（2020•雁塔区校级模拟）如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，对角线 BD＝8，过 BD 的中点 O 作 AD 的垂线，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 DF，则 DF 的长度为（）
第2页
荨
A．
B．
C．
D．
【变式 2-2】（2020•锦州）如图，在菱形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PE⊥BC 于点 E．PF
A．6
B．12
C．20
D．24
【考点 3 菱形的性质（求点的坐标）】
【方法点拨】掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角．
【例 3】（2020 春•临江市校级期末）如图，在菱形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（8，2），点 D
【考点 5 菱形的判定与性质（计算与证明）】【例 5】（2020 春•海淀区校级期末）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 是 AD 上一点，连
接 EO 并延长，交 BC 于点 F．连接 AF，CE，EF 平分∠AEC．（1）求证：四边形 AFCE 是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形 AFCE 的面积．
A．4
B．4
C．2+2
D．6
【变式 4-2】（2020•成都模拟）如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F 分别是边 BC 和对角线
BD 上的动点，且 BE＝DF，则 AE+AF 的最小值为
．
【变式 4-3】（2019•邹平县模拟）如图，在菱形 ABCD 中，AB＝6，∠B＝60°，点 G 是边 CD 边的中点，点 E、F 分别是 AG、AD 上的两个动点，则 EF+ED 的最小值是．

初中数学《特殊平行四边形》单元教学设计以及思维导图精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版特殊平行四边形主题单元教学设计主题单元学习目标知识与技能：理解平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形都具有这样的特征矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的特征，还分别具有各自的特征，而且它们都是轴对称图形．掌握特殊平行四边形的性质和判定，并能运用有关知识进行推理证明和计算边、角、对角线及面积；通过知识的综合应用的说理，初步培养学生的逻辑思维能力.过程与方法：通过探索、归纳几类特殊四边形的特征和识别，了解它们之间的包含关系；让学生在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的方法和技巧，获取推理的经验；通过探索，进行观察、猜想、分析、归纳、推理，培养学生发散思维能力；同时提高学生分析问题，解决问题的能力；情感态度与价值观：通过基础题和探究题体验数学活动的逻辑性和趣味性，同时增强解题的自信心；对应课标1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及他们之间的关系2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。

四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形具有矩形和菱形的一切性质主题单元问题设计1.矩形、菱形、正方形的定义2.矩形的边、角、对角线有怎样的特征？矩形有怎样的性质？3.菱形的边、角、对角线有怎样的特征？菱形有怎样的性质？怎样的性质？5. 如何判断一个平行四边形是矩形？6. 如何判断一个四边形是矩形？7. 矩形的判定？所需教学材料和资源信息化资源PPT , 几何画板课件常规资源作图工具（直尺、三角板、圆规等）教学支撑环境多媒体教室，几何画板软件其他纸笔等学习活动设计第一课时矩形的性质活动一：说说生活中的矩形【活动步骤】1.结合图，回顾矩形定义2.举出几个生活中矩形的例子．活动二：探索矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）【技术应用】在PPT中动态演示菱形活动4：认识菱形【活动步骤】教师点拨：1.菱形是中心对称图形么？是轴对称图形么？【技术应用】几何画板演示菱形的中心对称和轴对称性活动5：探究菱形性质1.菱形的边有什么特性？菱形的角有什么特性？菱形的对角线有什么特性？活动三：推导菱形判定定理【活动步骤】1．写出命题2．思考：证明命题的步骤3．推理得出菱形的判定定理【技术应用】使用专门制作的几何画板课件探究、演示．第三课时（课外）折叠菱形活动一：折一折剪一剪1.如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？2.组内交流活动二：展示成果1.作品展示交流．2.说明下面这问同学剪法的依据。

2023年中考数学几何专题：特殊的平行四边形(含答案)

2023中考数学几何专题：特殊的平行四边形（含答案）例1 矩形的性质（1）如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α=∠________度．（2）矩形边长为10和15，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A ．6和9B ．5和10C ．4和11D ．7和8（3）如图，矩形ABCD中，120AOD BC ∠=︒=，，则下列结论：①AOB △是等边三角形②130∠=︒③3cm AB =④6cm AC =⑤2ABCD S =矩形．其中正确的有（）A ．①②③B ．①②③④C ．②③④⑤D ．①②③④⑤(4) 如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点，AE BD ⊥，垂足为E．若2OD OE AE =，则DE 的长为________．【答案】（1）30；（2）B ；（3）D ；（4）3例2 矩形模型（1）如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE BD ⊥，垂足为E ，:3:1DAE BAE ∠∠=，则EAC ∠的度数为_______．α60°lm DCBAO 1DC BA第14题图E OCBDAA B（2）如图所示，矩形ABCD 内一点P 到A 、B 、C 的长分别是2、3、4，则PD 的长为_______．（3）已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，如果3AB =，4AD =，那么PE+PF=_______．【答案】（1）45︒；（2（3）125例3 矩形的判定（1）在四边形ABCD 中，AB DC =，AD BC =．请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形．你添加的条件是________．（写出一种即可）【答案】AC BD =或AB BC ⊥或90ABC =︒∠（答案不唯一）（2）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，若MA=MC ，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN 是矩形．证明：∵CN ∥AB ， ∴∠DAC=∠NCA ，在△AMD 和△CMN 中，∵∠DAC ＝∠NCA ，MA ＝MC ，∠AMD ＝∠CMN ∴△AMD ≌△CMN （ASA ）， ∴AD=CN ．又∵AD ∥CN ，∴四边形ADCN 是平行四边形．又∵∠BAN=90度，∴四边形ADCN 是矩形．（3）如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分PDCBAABCDPEF线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥，AD BC ∥∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线 ∴180BAD ABC ∠+∠=︒ ∴90QPN ∠=︒同理90PQM QMN MNP ∠=∠=∠=︒ ∴四边形PQMN 是矩形．例4 （1）如图，已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若6AC =，4BD =，则菱形ABCD 的周长是（）A ．24B ．16C．D．（2）如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为（） A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．9.6cm（3）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，则△DEF 的周长为_______（4）如图，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在BC 上的E 点处，若70B =︒∠，则AED ∠的大小为（）NMQPDCBAODC BAA ．60︒B ．55︒C ．65︒D ．70︒ （5）如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，点F 为垂足，连接DE ，则CDE ∠=（）A ．80︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒（6）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 是AB 边上的中点，则PB PE +的最小值为（）A ．2B．C． D ．4【答案】（1）C ；（2）B ；（3）（4）B ；（5）D ；（6）B能力提升例5 菱形的判定（1）已知：如图，平行四边形的对角线、相交于点，且，，求证：平行四边形是菱形；ABCDEHFABCDEABCD AC BD O 10AB =5AO =BO =ABCD【答案】∵在中，,， ∴ ∴是直角三角形∴平行四边形是菱形．AOB △10AB =5AO=BO =222AB AO BO =+AOB △AC BD ⊥ABCD（2）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．【答案】∵∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB ， ∴DC=DE ，∠CAD=∠EAD ，∠CDF+∠CAD=90°， ∵CH 是AB 边上的高， ∴CH ⊥AB ，∴CH ∥DE ，∠AFH+∠EAD=90°， ∴∠CDF=∠AFH ， ∵∠CFD=∠AFH ， ∴∠CDF=∠CFD ， ∴CF=DC ， ∴CF=DE ，∴四边形CDEF 是平行四边形， ∴四边形CDEF 是菱形．例6 （1）如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上任意一点，过E 作EF ⊥BC 于F ，作EG ⊥CD 于G ，若正方形ABCD 的周长为m ，则四边形EFCG 的周长为（2）如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，联结EB ，ED ，当126BED ∠=°时，EDA ∠的度数为（）A ．54°B ．27°C ．36°D ．18°(3)已知正方形ABCD ，以AB 为边构造等边ABP ∆，那么DCP ∠=HF DECBAEDCB A【答案】（1）2m；（2）D ；（3）15°或75° 例7 下列说法不正确的是（） A ．有一个角是直角的菱形是正方形 B ．两条对角线相等的菱形是正方形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．四条边都相等的四边形是正方形【答案】D练1 （1）如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线AC 、BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为________(2) 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是．【答案】（1）6 ；（2）10cm练2 （1）下列说法不能判定四边形是矩形的是（） A ．三个角是直角的四边形 B ．四个角都相等的四边形 C ．对角线相等的平行四边形 D ．对角线垂直且相等的四边形【答案】D（2）已知：如图，M 为▱ABCD 的AD 边上的中点，且MB=MC ，求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ．∵AM=DM ，MB=MC ， ∴△ABM ≌△DCM ． ∴∠A=∠D ． ∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°． ∴∠A=90°．∴▱ABCD 是矩形．练3 （1）如图：在菱形ABCD 中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为_______；BC 上的高为_____（2）菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较长的对角线的长度为【答案】（1）5、245；（2）练4 如图．矩形的对角线相交于点．，． ⑴ 求证：四边形是菱形；⑵ 若，菱形的面积为ABCD 的面积．【答案】⑴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是矩形∴（矩形对角线相等且互相平分）∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）⑵ABCD S练5 四边形ABCD 是正方形，延长BC 至E ，使CE AC =，连结AE 交CD 于F ，那么AFC ∠的度数为________．【答案】112.5°ABCD O DE AC ∥CE BD ∥OCED 30ACB ∠=︒OCED OEDC BADE AC ∥CE BD ∥OCED ABCD OC OD =OCED 12OCD OCED S S =△菱形FED CBA。

特殊的平行四边形专题（题型详细分类）要点

特殊的平⾏四边形专题（题型详细分类）要点特殊的平⾏四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正⽅形之间的联系如下表所⽰：四边形分类专题汇总专题⼀：特殊四边形的判定矩形菱形正⽅形性质边对边平⾏且相等对边平⾏，四边相等对边平⾏，四边相等⾓四个⾓都是直⾓对⾓相等四个⾓都是直⾓对⾓线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对⾓线平分⼀组对⾓互相垂直平分且相等,每条对⾓线平分⼀组对⾓判定 ·有三个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且有⼀个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且两条对⾓线相等. ·四边相等的四边形；·是平⾏四边形且有⼀组邻边相等；·是平⾏四边形且两条对⾓线互相垂直。

·是矩形，且有⼀组邻边相等； ·是菱形，且有⼀个⾓是直⾓。

对称性既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正⽅形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________5.等腰梯形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练⼀练】⼀．选择题1．能够判定四边形ABCD是平⾏四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平⾏四边形的为（）．A．相邻的⾓互补 B．两组对⾓分别相等C．⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等 D．对⾓线交点是两对⾓线中点3.下列条件中，能判定四边形是平⾏四边形的条件是( )A.⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等B.⼀组对边平⾏，⼀组对⾓相等C.⼀组对边平⾏，⼀组邻⾓互补D.⼀组对边相等，⼀组邻⾓相等4．如下左图所⽰，四边形ABCD的对⾓线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平⾏四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平⾏四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平⾏四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平⾏四边形5．不能判定四边形ABCD是平⾏四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD的对⾓线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD7.四边形ABCD的对⾓线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8.在四边形ABCD中，O是对⾓线的交点，下列条件能判定这个四边形是正⽅形的是（）A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC9.在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对⾓线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对⾓线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形Ｄ．两条对⾓线互相垂直且相等的四边形是正⽅形10.在下列命题中，正确的是（）11.如图，已知四边形ABCD 是平⾏四边形，下列结论中不正确的是（） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=900时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正⽅形12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（） A ．四边形AEDF 是平⾏四边形B ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正⽅形的条件是（）。

九年级数学特殊的平行四边形中考总复习

《特殊的平行四边形》专题复习学习目标：1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定在几何问题中的综合运用。

2.连平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线，能得到特殊三角形（直角三角形和等腰三角形）、全等三角形，要用心体会方程思想（直角三角形）和分类讨论思想（等腰三角形）在解决问题中的作用．知识梳理：一．矩形、菱形、正方形的性质与判定．二．矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系．（小组讨论）注意：以平行四边形为基础，从边、角、对角线等不同角度进行演变，推出特殊的四边形：矩形、菱形、正方形。

他们之间既有联系又有区别。

（1）矩形的性质与判定．注意：从矩形的图形中可以分解出：直角三角形、等腰三角形、对角线的夹角是60°时有等边三角形。

（2）矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（3）菱形的性质与判定．注意：从菱形的图形中可以分解出：直角三角形、等腰三角形或等边三角形。

（4）菱形的面积1.运用平行四边形的面积公式：．2.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.（5）正方形的性质与判定．注意：从正方形的图形中可以分解出：等腰直角三角形。

例1.如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上任一点（不与A ，C 重合），连接BP ，DP ，过P 作PE ∥CD 交AD 于E ，过P 作PF ∥AD 交CD 于F ，连接EF ．（1）求证：△ABP ≌△ADP ；（2）若BP=EF ，求证：四边形EPFD 是矩形．S =⨯平行四形底高12ABCD S AC BD =⋅菱形跟踪练习.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．例2.如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．跟踪练习.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O 的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．巩固提高：准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．总结中考这类题做题方法与注意事项：专项训练：1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB 上，EF⊥AB，OG∥EF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC 的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．4. 如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．5. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长．6. 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．7. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，求ABCD的面积？9. 如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．10. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．11. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF ⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．13. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）若菱形ABCD的周长是4，tanα=，求四边形OBEC的面积．14. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.15.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，16.延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．。

2020年中考数学复习《特殊的平行四边形》专题训练及答案解析

2020年中考数学复习《特殊的平⾏四边形》专题训练及答案解析2020年中考数学专题练习特殊的平⾏四边形⼀、选择题1. (2019·上海)已知ABCD Y ，下列条件中，不能判定这个平⾏四边形为矩形的是( )A.A B ∠=∠ B. A C ∠=∠C. AC BD =D. AB BC ⊥ 2. (2019.杭州)如图，P 是矩形ABCD 内⼀点(不含边界)，设1PAD θ∠=，2PBA θ∠=，3PCB θ∠=，4PDC θ∠=.若80APB ∠=?，50CPD ∠=?，则( )A.1423()()30θθθθ+-+=? B. 2413()()40θθθθ+-+=? C. 1234()()70θθθθ+-+=? D. 1234()()180θθθθ+++=?3. (2019·遵义)如图，P 是矩形ABCD 的对⾓线AC 上⼀点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于点,E F ，连接,PB PD .若2,8AE PF ==，则图中涂⾊部分的⾯积为( )A. 10B. 12C. 16D. 184. (2019·威海)矩形ABCD 与矩形CEFG 如图放置，点,,B C E 共线，点,,C D G 共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若2,1====，则BC EF CD CE GH的长为( )C. D.A. 1B. 235. (2019·⼗堰)菱形不具备的性质是( )A.四条边都相等B.对⾓线⼀定相等C.是轴对称图形D.是中⼼对称图形6. (2019·淮安)如图，菱形ABCD的对⾓线,AC BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A. 20B. 24C. 40D. 487. (2019·⼤连)如图，在菱形ABCD中，对⾓线,AC BD相交于点O.若5,6==，则BD的长是( )AB ACA. 8B. 7C. 4D. 38. (2019·⾈⼭)⽤尺规在⼀个平⾏四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )9. (2019·宿迁)如图，菱形ABCD的对⾓线,AC BD相交于点O，E 为边CD 的中点.若菱形ABCD 的周长为16，60BAD ∠=?，则OCE ?的⾯积是( )10.(2019·湘西州)下列说法:①对顶⾓相等;②两直线平⾏，同旁内⾓相等;③对⾓线互相垂直的四边形为菱形;④对⾓线互相垂直平分且相等的四边形为正⽅形.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.(2019·宜昌)如图，正⽅形ABCD 的边长为1，,E F 分别是对⾓线AC 上的两点，EG AB ⊥，EI AD ⊥，FH AB ⊥，FJ AD ⊥，垂⾜分别为,,,G I H J ，则图中涂⾊部分的⾯积为( )A. 1B. 12C. 13D. 1412.(2019·河南)如图①，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿B →→以1 cm/s 的速度匀速运动到点B ，图②是点F 运动时，FBC ?的⾯积y (cm 2)随时间x (s)变化的图象，则a 的值为( ) A.B. 2C. 52D.⼆、填空题13. (2019·株洲)如图，矩形ABCD的对⾓线AC与BD相交点O，AO AD的中点，则PQ的长度=分别为,10,,AC P Q为.14.(2019·成都)如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图:①分别以点A和C为圆⼼，以⼤于1AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E.若==，则矩形的对⾓线AC的长为. 2,3DE CE15. (2019·徐州)若菱形两条对⾓线的长分别是6 cm和8 cm，则其⾯积为cm 2.16. (2019·⼴州)如图，若菱形ABCD的顶点,A B的坐标分别为-，点D在y轴上，则点C的坐标是.(3,0)，(2,0)17. (2019·葫芦岛)如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A的坐标为(2,3)，则点C 的坐标为 .18.(2019·黔西南州)已知⼀个菱形的边长为2，较长的对⾓线长为，则这个菱形的⾯积是 .19.( 2019·双鸭⼭)如图，在ABCD Y 中，添加⼀个条件，使ABCD Y 是菱形.20.(2019·南通)如图，在ABC ?中，,AD CD 分别平分BAC ∠和ACB ∠，//AE CD ，//CE AD .若从三个条件:①AB AC =;②AB BC =;③AC BC =中选择⼀个作为已知条件，则能使四边形ADCE 为菱形的是 . (填序号)21. (2019·随州)如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，菱形OABC 的边长为2，点A 在第⼀象限，点C 在x 轴正半轴上，60AOC ∠=?.若将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转75o，得到四边形'''OA B C ，则点B 的对应点'B 的坐标为 .22. (2019·荆门)如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过菱形OACD 的顶点D 和边AC 的中点E .若菱形OACD 的边长为1，则k 的值为 .23. (2019·镇江)如图，点,,E F G 分别在菱形ABCD 的边,,AB BC AD 上，13AE AB =，13CF CB =，13AG AD =.已知EFG ?的⾯积等于6，则菱形ABCD 的⾯积等于 .24. (2019·乐⼭)如图，四边形ABCD 是正⽅形，延长AB 到点E ，使AE AC =，连接CE ，则BCE ∠的度数是 .25. (2019·咸宁)如图，将正⽅形OEFG 放在平⾯直⾓坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为(2,3)，则点F 的坐标为 .26. (2019·上海)对于⼀个位置确定的图形，如果它的所有点都在⼀个⽔平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都⾄少有⼀个公共点(如图①)，那么这个矩形⽔平⽅向的边长称为该图形的宽，铅垂⽅向的边长称为该矩形的⾼.如图②，菱形ABCD 的边长为1，边AB ⽔平放置.如果该菱形的⾼是宽的23，那么它的宽的值是 .27.(2019·武汉)以正⽅形ABCD 的边AD 作等边三⾓形ADE ，则BEC ∠的度数是 .28. (2019·青岛)如图，正⽅形ABCD 的边长为5，点,E F 分别在,AD DC 上，AE DF = 2=，BE 与AF 相交于点,G H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 .29. (2019·呼和浩特)如图，在正⽅形ABCD 中，M 是边BA 延长线上的动点(不与点A 重合)，且AM AB <，CBE ?由DAM ?平移得到.若过点E 作EH AC ⊥，H 为垂⾜，则有以下结论:①点M 位置变化，使得60DHC ∠=?时，2BE DM =;②⽆论点M 运动到何处，都有DM =;③⽆论点M 运动到何处，CHM ∠⼀定⼤于135o.其中正确的结论为 . (填序号)30. (2019·江西)在正⽅形ABCD 中，6AB =，连接,,AC BD P 是正⽅形边上或对⾓线上⼀点.若2PD AP =，则AP 的长为 .三、解答题31. (2019·湘西州)如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，连接,DE CE .(1)求证: ADE BCE ;(2)若6,4AB AD ==，求CDE ?的周长.32. (2019连云港)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长,CE BA 交于点F ，连接,AC DF .(1)求证:四边形ACDF 是平⾏四边形;(2)当CF 平分BCD ∠时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由.33. ( 2019·河南)如图，反⽐例函数(0)k y x x =>的图象过格点(⽹格线的交点)P .(1)反⽐例函数的解析式为 .(2)在图中⽤直尺和2B 铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满⾜下⾯两个条件:①四个顶点均在格点上.且其中两个顶点分别是,O P ;③矩形的⾯积等于k的值.34. (2019·青岛)如图，四边形ABCD是平⾏四边形，对⾓线AC 与BD相交于点,E G为AD的中点，连接,CG CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证:AB AF=;(2)若AG AB∠=?，判断四边形ACDF的形状，并证BCD=，120明你的结论.35. (2019·⼴东)如图，BD是菱形ABCD的对⾓线，75∠=?.CBD(1)请⽤尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂是为E，交AD于点F;(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，连接BF，求DBF∠的度数.36.(2019·娄底)如图，在四边形ABCD中，对⾓线, AC BD相交于点O，且AD BC于点,E F.==，过点O作EF BD,OA OC OB OD⊥，分别交,(1)求证: AOE COF;(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由.37. (2019·南京)如图，在四边形ABCD中，BC CDC BAD∠=∠.=，2==.求证: O是四边形ABCD内⼀点，且OA OB OD (1) BOD C∠=∠;(2)四边形ABCD是菱形.38. (2019·乌鲁⽊齐)如图，在四边形ABCD中，90∠=?，EBAC 是BC的中点，//⊥于点F.AE DC，EF CDAD BC，//(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若6,10==，求EF的长.AB BC39. (2019·⼴安)如图，四边形ABCD是正⽅形，M为BC上⼀点，连接AM，延长AD⾄点E，使得AE AM=，过点E作=.⊥，垂⾜为F，求证:AB EFEF AM40. (2019·盐城)如图，在正⽅形ABCD中，对⾓线BD所在的直线上有两点,E F满⾜BE DFAE AF CE CF.=，连接,,,(1)求证: ABE ADF;(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由.41. (2019·长春)在正⽅形ABCD中，E是边CD上⼀点(点E不与点,C D重合)，连接BE. [感知]如图①，过点A作AF BE⊥交BC于点F.易证.(不需要证明)ABF BCE[探究]如图②，取BE的中点M，过点M作FG BE⊥交BC于点F，交AD于点G.(1)求证:BE FG=.(2)连接CM，若1CM=，则FG的长为.[应⽤]如图③，取BE的中点M，连接CM.过点C作CG BE⊥交AD于点G，连接,EG MG.若3CM=，则四边形GMCE的⾯积为.42. (2019·潍坊)如图，M是正⽅形ABCD边CD上⼀点，连接⊥于点E，BF AM⊥于点F，连接BE.AM，作DE AM(1)求证:AE BF=;(2)已知2∠的正弦AF=，四边形ABED的⾯积为24，求EBF值.43. (2019·吉林)如图①，在ABC=，过AB上⼀点D中，AB AC作//DE AC交BC于点E，以E为顶点，ED为⼀边，作∠=∠，另⼀边EF交AC于点F. DEF A(1)求证:四边形ADEF为平⾏四边形;(2)当D为AB的中点时，ADEFY的形状为;(3)延长图①中的DE 到点G ，使EG DE =，连接,,AE AG FG ，得到图②，若AD AG =，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由.44. (2019·绍兴)⼩敏思考解决如下问题:原题:如图①，点,P Q 分别在菱形ABCD 的边,BC CD 上，PAQ B ∠=∠，求证: AP AQ =.(1)⼩敏进⾏探索，将点,P Q 的位置特殊化:把PAQ ∠绕点A旋转得到EAF ∠，使AE BC ⊥，点,E F 分别在边,BC CD 上，如图②.此时她证明了AE AF =.请你证明.(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线:如图③，作AE BC ⊥，AF CD ⊥，垂⾜分别为,E F .请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件:4AB =，60B ∠=?，如图①，请你编制⼀个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案.(根据编出的问题层次，给不同的得分)参考答案⼀、1. B 2. A 3. C 4. C 5. B 6. A 7. A 8. C 9. A 10. B 11. B 12. C⼆、15.13. 2.5 14.2416.-17. (2,3)-18.19. 答案不唯⼀，如：AB BC=20. ②21.22. 23. 27 24.22.5o 25. (1,5)- 26.1813 27. 30o或150o28. 29. ①②③30. 2或三、解答题31. (1)点拨：由AD BCA B AE BE =??∠=∠??=?，可得()ADE BCE SAS .(2) CDE ?的周长是16.32. (1) 点拨：由()FAE CDE ASA ，可得FA CD =. ⼜∵//CD AF ，∴四边形ACDF 是平⾏四边形.(2)2BC CD =33. (1)反⽐例函数的解析式为4y x= (2) 答案不唯⼀，如图，矩形OAPB ，矩形OCDP 即为所求作的图形34. (1) 点拨：由AGF DGC=.，可得AF DC∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴AB CD=，∴AB AF=.(2) 四边形ACDF是矩形点拨：由(1)可知四边形ACDF是平⾏四边形.由AGF DGCCF FG=，2=.，可得2AD AG由AG AB是∠=?，AB AF=，120BCD=，可得AFG等边三⾓形，∴AG FG=，∴AD CF=.∴四边形ACDF是矩形35. (1) 如图所⽰，直线EF即为所求(2) 45∠=?DBF36. (1)点拨：由题意得到四边形ABCD 是平⾏四边形，∴EAO FCO ∠=∠，⼜∵OA OC =，OEA COF ∠=∠，∴AOE COF(2) 四边形BEDF 是菱形37. (1)如图，延长线段AO 到点E .由题意可得，2BOD BAD ∠=∠.(2)如图，连接OC .证明OBC ODC .得到12BOC DOC BOD ∠=∠=∠，12 BCO DCO BCD ∠=∠=∠，∵BOD BCD ∠=∠，∴BOC BCO ∠=∠，∴OB CB =，∴OB CB CD OD ===，∴四边形ABCD 是菱形.38. (1)点拨：AE CE =(2)245EF=39. 点拨：EFA ABM40. (1) 点拨：AB ADABE ADF BE DF=∠=∠=(2)点拨：连接AC，交BD于点O.可知OC OA=，OE OF=，AC EF⊥，∴四边形AECF是菱形.41. [探究] (1)点拨如图，过点G作GP BC ⊥于点P.由PGF CBEPG CBFPG ECB∠=∠=∠=∠，得到PGF CBE(2) 2 [应⽤] 942. (1)点拨：由AFB DEAAB DAABF DAE∠=∠=∠=∠，可得ABF DAE(2)213sin EBF∠= 43. (1)点拨：//AD EF(2)菱形。

特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型(解析版)

特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马(即将军遛马、造桥或过桥)，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值)模型3.将军饮马(多线段和的最值模型)模型4.将军遛马、造桥(过桥)模型模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。

模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：图(1)图(2)模型(1)：如图(1)，连结AB ,根据两点之间线段最短，AP +BP 的最小值即为：线段AB 的长度。

模型(2)：如图(2)，作点A 关于定直线m 的对称点A ',连结A 'B ,根据对称得到：P A =P A '，故AP +BP =A 'P +BP ，再利用“两点之间线段最短”，得到AP +BP 的最小值即为：线段A 'B 的长度。

1.(2024·四川广安·中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =4，AD =5，∠ABC =30°，点M 为直线BC 上一动点，则MA +MD 的最小值为．【答案】41【分析】如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，再进一步结合勾股定理求解即可.【详解】解：如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，∴当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，∵AB =4，∠ABC =30°，在▱ABCD 中，∴AH =12AB =2，AD ∥BC ，∴AA =2AH =4，AA ⊥AD ，∵AD =5，∴A D =42+52=41，故答案为：41【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．2.(23-24八年级下·广东广州·期中)如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，点P 满足S △P AB =13S 矩形ABCD，则点P 到A ，B 两点距离之和P A +PB 的最小值为()A.29B.34C.52D.41【答案】D【分析】首先由S△P AB=13S矩形ABCD，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得BE的长，即得答案．【详解】设AB边上的高是h，∵S△P AB=13S矩形ABCD，∴12AB⋅h=13AB⋅AD，∴h=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=AB2+AE2=52+42=41，即P A+PB的最小值为41．故选D．【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A 关于直线l的对称点E，并得到BE的长就是所求的最短距离是解题的关键．3.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质。

中考数学《特殊平行四边形》专题复习课件(共32张PPT)

ACEF是菱形？请回答并证明你的结论. （3）四边ACEF有可能是正方形吗？请证明
你的结论。
7.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y 轴上，OA=10，OC=6。
（1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG 沿CG翻折，使点O落在BC边上，设为E，求折痕CG所在直线的解析式。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
⑵当x为何值时，⊿PBC的周长最小，并求出此时y的值
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 ❖4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
一、四边形的分类及转化
两组对边平行平行四边形
任意四边形
一组对边平行
梯形
另一组对边不平行
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
二、几种特殊四边形的性质：
项目四边形
对边
角
对角线
对称性
对角相等
平行且相等
平行四边形
邻角互补
四个角
矩形平行且相等都是直角
平行
对角相等

人教版八年级数学下册-解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法

解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．第1题图第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．变式题(1)图变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．◆类型二正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.求证：BP＋CP＝2OP.参考答案与解析1. 245解析：如图，过点Q 作QE ⊥AC 交AB 于点E ，则PQ ＝PE .∴DP ＋PQ ＝DP ＋PE .当点D ，P ，E 三点共线的时候DP ＋PQ ＝DP ＋PE ＝DE 最小，且DE 即为所求．当DE ⊥AB 时，DE 最小．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝4，OB ＝12BD ＝3，∴AB ＝5.∵S菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝AB ·DE ，∴12×8×6＝5·DE ，∴DE ＝245.∴DP ＋PQ 的最小值为245.2．6 解析：如图，设BE 与AC 交于点P ，连接BD .∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE ，即P 为AC 与BE 的交点时，PD ＋PE 最小，为BE 的长度．∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB ＝6.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝6.故所求最小值为6.故答案为6.3. 245解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OB ＝OC ＝12AC ＝5.如图，连接OP ，∵S △OBP ＋S △OCP ＝S △OBC ，∴OB ·PF 2＋OC ·PE 2＝S △OBC ，∴5·PF 2＋5·PE 2＝S △OBC .∵S △OBC ＝14S 矩形ABCD ＝14AB ·BC ＝14×6×8＝12，∴5·PF 2＋5·PE 2＝12，∴PE ＋PF ＝245.【变式题】(1)52解析：∵菱形ABCD 的周长为40，面积为25，∴AB ＝AD ＝10，S △ABD ＝252.连接AP ，则S △ABD ＝S △ABP ＋S △ADP ，∴12×10(PE ＋PF )＝252，∴PE ＋PF ＝52.(2)22解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴BE·PM2＋BC·PN2＝BC·EH2.又∵BE＝BC，∴PM2＋PN2＝EH2，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝22，∴PM＋PN＝EH＝22.4．325．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH ＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH ＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH ＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝2OP.19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。

中考数学一轮复习特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义(含答案)

特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积：设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ，求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ．【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ．【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确；设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24．【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。

第一章特殊的平行四边形专题强化训练2024-2025学年北师大版数学九年级上册

一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 与点B 重合，点C 落在点C '的位置．（1）若160∠=︒，求23∠∠，的度数；（2）若48AB AD ==，，求四边形ABFE 的面积．2．如图，矩形ABCD 的对角线BD 的垂直平分线分别交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE DF ，．（1）判断四边形BEDF 的形状，并说明理由；（2）若510AB BC ==，，求四边形BEDF 的周长．3．如图，直线经过矩形ABCD 的对角线BD 的中点O ，分别与矩形的两边相交于点E F 、．（1）求证：OE OF =；（2）若EF BD ⊥，则四边形BEDF 是形，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若8AD =，10BD =，求BDE V 的面积．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使C ，A 两点重合，点D 落在点G 处，已知48AB BC ==，．（1）求证：△AEF 是等腰三角形；（2）求线段BE 的长．2．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点C 作BD 的平行线交AB 的延长线于点E ．（1）求证：AC CE =．（2）若120BOC ∠=︒，4CE =，求AB 的长．3．如图，矩形AEBO 的对角线AB OE ，交于点F ，延长AO 到点C ，使CO AO =，延长BO 到点D ，使DO BO =，连接AD DC BC ，，．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若1016OE AC ==，，求菱形ABCD 的面积．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在矩形ABCD 中，AB BC <，将矩形沿EF 折叠，使点C 与点A 重合．（1）若20BAF ∠=︒，求GAE ∠的度数；（2）求证：△AGE ≌△ABF ；（3）若6cm AB =，8cm BC =，求BF 的长．2．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ．（1）若45OAB ∠=︒，求证：矩形ABCD 是正方形；（2）请添加一个异于（1）的条件，使矩形ABCD 成为正方形，不用说明理由．3．将矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕交BC 于E ，交AD 于F ，（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB =4，BC =8，求菱形的边长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别与AC 、BC 、AD 交于点O 、E 、F ，连接AE 和CF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB =3，BC =3，求菱形AECF 的边长．2．如图，在ABC V 中AB AC =，D 为BC 的中点，四边形ABDE 是平行四边形，AC ，D 相交于点O ．（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）若60AOE =︒∠，4AE =，求B 的长．3．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE BC ⊥交BC 边于点E ，点F 在边AD 上，且DF BE =．（1）求证：四边形AECF 是矩形；（2）若BF 平分ABC ∠，且1DF =，3AF =，求线段BF 的长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．已知：如图，菱形ABCD 对角线交于点O ，CE BD ∥，BE AC ∥．（1）求证：四边形OBEC 是矩形；（2）在矩形OBEC 中，4BE =，3CE =，求菱形ABCD 的面积．2．在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF =BE ，连接AF ，BF ．（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF =9，BF =12，DF =15，求证：AF 平分∠DAB ．3．如图所示，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）求证：OE ⊥DC ．（2）若∠AOD ＝120°，DE ＝2，求矩形ABCD 的面积．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，已知 ABCD 中，E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE ＝DF ，AC ，EF 相交于O ，连接AE ，CF ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）若∠FOC ＝2∠OCE ，求证：四边形AECF 是矩形．2．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，EO =FO ，DF ∥BE ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若AC =2OD ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．3．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若10,2,AB BD ==求OE 的长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在四边形ABCD 中，,,AB CD AD BC AB BC =∥∥，过点D 分别作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）猜想AE 与CF 的数量关系，并说明理由．2．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且BE AC ∥，AE BD ∥，连接EO ，交AB 于点F ．（1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明理由；（2）若6EB =，8AE =，求四边形AEOD 的周长．3．如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，CE ，AF 与对角线BD 分别相交于点G ，H ，连接EH 、FG ．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）如果AD BD ⊥，求证：四边形EGFH 是菱形．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD ＝60°，菱形ABCD 的周长为24．（1）求对角线BD 的长；（2）求菱形ABCD 的面积．2．如图在四边形ABEC 中，90ACB ∠=︒，点D 是BA 边的中点，点E 恰是点D 关于BC 所在直线的对称点．（1）证明：四边形CEBD 为菱形；（2）连接DE 交BC 于点O ，若8AC =，求线段OE 的长．3．如图，在ABC V 中，90BAC D ∠=︒，为BC 的中点，E 为AD 的中点．过点A 作AF BC ∥交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）若8AC =，菱形ADCF 的面积为40，求AB 的长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，2AB BC CD ==，E 为对角线AC 的中点，F 为边BC 的中点，连接DE ，EF ．（1）求证：四边形CDEF 为菱形；（2）连接DF 交EC 于G ，若6DF =，5CD =，求四边形CDEF 的面积．2．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，BE CF =，连接AF ，DE 交于点G ，求证：（1）ADF DCE ≌△△；（2）AF D E ⊥．3．如图．在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E ．（1）求证：四边形ADCE 是矩形．（2）若连接DE ，交AC 于点F ，试判断四边形ABDE 的形状（直接写出结果，不需要证明）．（3）△ABC 再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE 是正方形．并证明你的结论．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在Rt ABC △中，90C AD ∠=︒，是BAC ∠的平分线，过D 作DE AC DF AB ∥，∥分别交AB AC 、于点E 、F ．（1）求证：四边形AEDF 为菱形；（2）若84AC DC ==，，连接EF ，求EF 的长．2．如图，在ABC V 中，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，DE AB ∥，DF AC ∥．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且22AD =，求四边形AFDE 的面积．3．如图，已知在ABC V 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC V 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ，9AD =，5AE =．（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当ABC V 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并证明（3）在矩形ADCE 中内部有一动点P ，满足13CDP ADCE S S =矩形△，直接写出PD PC +的最小值．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在ABCD 中，AC 的垂直平分线分别交BC 、AD 于点E 、F ，垂足为O ，连接AE 、CF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝时，四边形AECF 为正方形．2．如图，在ABC V 中，A B BC ＝，BD 平分ABC ∠，四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．（1）求证：四边形BECD 是矩形．（2）若90BFE ∠=︒，2BE =，求矩形BECD 对角线的长．3．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在CD 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =.（1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连结HD ，求证：HD HG =.一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过A 作AF ⊥AE ，交CB 延长线于点F ．（1）求证：△ADE ≌△ABF ；（2）若DE ＝1，求△AFE 的面积．2．如图，在ABC V 中，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，DE AB ∥，DF AC ∥．（1）求证：四边形AFDE 是菱形；（2）若90BAC ∠=︒，且12AD =，求四边形AFDE 的面积．3．如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 上两点，BE 交AF 于点G ，且DE ＝CF ．（1）写出BE 与AF 之间的关系，并证明你的结论；（2）如图2，若AB ＝2，点E 为AD 的中点，求AG 的长度；（3）在（2）的条件下，连接GD ，试证明GD 是∠EGF 的角平分线，并求出GD 的长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．在菱形ABCD 中，过点B 作BE CD ⊥于点E ，点F 在边AB 上，CD AF DE -=，连接BD 、DF ．（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若25BD =，4BE =，求BC 的长．2．在矩形ABCO 中，延长AO 到D ，使DO AO =，延长CO 到E ，使EO CO =，连接AE 、ED 、DC 、AC ．（1）求证：四边形AEDC 是菱形；（2）若23CD =，120CDE ∠=︒，求菱形AEDC 的面积．3．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，过点D 作DE BC ⊥交BC 的延长线于点E ，在DA 上截取DF CE =，连接CF ．（1）求证：四边形FCED 是矩形；（2）若13BC =，10AC =，求DE 的长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM 、DN ．（1）求证：四边形BNDM 是菱形；（2）若45BD =，5MD =，求AB 的长．2．如图，四边形ABCD 中，AC BD 、交于点O ，AD BC ∥，OA OC =，若8AC =，65BD AB DE BC ==⊥，，于E ，解决下列问题：（1）求证：OB OD =；（2）求证：四边形ABCD 是菱形；（3）写出DE 的长．3．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若10,2,AB BD ==求OE 的长．特殊的平行四边形专题强化训练（1）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）260360∠=︒∠=︒，（2）16【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD BC ∥，∴2160∠=∠=︒，由折叠的性质可知，260BEF ∠=∠=︒，∴3180606060∠=︒-︒-︒=︒；（2）解：∵长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，∴BE DE DEF BEF =∠=∠，，设AE x =，则8DE BE x ==-，∵222AE AB BE +=，∴()22248x x +=-，解得3x =，∴35AE BE ==，，由（1）知BEF BFE ∠=∠，∴5BE BF ==，∴ABFE S =四边形()()113541622AE BF AB +⨯=+⨯=．2．（1）菱形，理由见解析；（2）25．【详解】（1）解：四边形BEDF 是菱形理由：由作图可知：OB OD =，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴EDO FBO ∠=∠，∵EOD FOB ∠=∠，∴()ASA EOD FOB ≌，∴ED FB =，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵EF ⊥BD ∴四边形BEDF 是菱形；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，10BC =，∴90,10A AD BC ∠=︒==，由（1）可设BE ED x ==，则10AE x =-，∵5AB =，在Rt ABE △中222AB AE BE +=，即()222510x x +-=，解得： 6.25x =，∴四边形BEDF 的周长4 6.25425BE ==⨯=．3．（1）证明见解析；（2）菱，理由见解析；（3）754．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴EDO FBO ∠=∠，∵点O 是BD 的中点，∴BO DO =，在BOF 与DOE 中，FBO EDO BO DO BOF DOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BOF DOE ≌，∴OE OF =；（2）四边形BEDF 是菱形，理由：∵OE OF =，OB OD =，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵EF BD ⊥，∴平行四边形BEDF 是菱形；故答案为：菱；（3）∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∵8AD =，10BD =，∴AB 6==，设BE DE x ==，则8AE x =-，∵222AB AE BE +=，∴()22268x x +-=，解得：254x =，∴25BE 4=，∵152BO BD ==，∴154OE =，∴BDE V 的面积1157510244=⨯⨯=．特殊的平行四边形专题强化训练（2）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）3【详解】（1）证明：由折叠性质可知，AEF CEF ∠=∠，由题意可得AD BC ∥，∴∠=∠AFE CEF ．∴AEF AFE ∠=∠．∴AE AF =．∴AEF △是等腰三角形．（2）解：由折叠可得AE CE =，设BE x =，则8AE C E x ==-．∵90B Ð=°，∴在Rt ABE △中，有222AB BE AE +=，即()22248x x +=-，解得3x =.∴3BE =．2．（1）见解析（2）【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴∥，AC BD =，BE CD ∴∥．BD CE ∥，∴四边形BDCE 是平行四边形，BD CE ∴=，AC CE ∴=．（2）解：四边形ABCD 是矩形，OA OB ∴=，90ABC ∠=︒，60OAB OBA ∴∠=∠=︒．∴30ACB ∠=︒4CE = ，4AC CE ∴==，2BC ∴=．3．（1）见解析（2）菱形ABCD 的面积为96【详解】（1）证明：∵CO AO DO BO ==，，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵四边形AEBO 是矩形，∴90AOB ∠=︒，∴BD AC ⊥，∴四边形ABCD 是菱形；（2）解：∵四边形AEBO 是矩形，∴10AB OE ==，∵四边形ABCD 是菱形，∴OB OD =，90AOB ∠=︒，1116822OA AC ==⨯=，在Rt AOB 中，由勾股定理得：6OB ===，∴22612BD OB ==⨯=，∴1116129622ABCD S AC BC =�创=菱形．特殊的平行四边形专题强化训练（3）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）20︒；（2）证明见解析；（3）74BF =．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD C D ∠=∠=∠=︒，由翻折可知:90FAG C ==︒∠∠，∴9020GAE EAF BAF ∠=︒-∠=∠=︒，∴GAE ∠度数为20︒；（2）证明：∵四边形ABCD 是矩形,∴90BAD C D ∠=∠=∠=︒，AB CD=由翻折可知:90G D ∠=∠=︒，AG CD =，∴90G B ∠=∠=︒，AG AB =，在AGE 和ABF △中，90G B AG AB GAE BAF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AGE ABF ≌；（3）解：设cm BF x =，则()8cm CF BC BF x =-=-，∵沿EF 翻折后点C 与点A 重合，∴()8cm AF CF x ==-，在Rt ABF 中，由勾股定理得222AB BF AF +=，即()22268x x +=-，解得74x =，∴74BF =．2．（1）见解析（2）AB AD =．（答案不唯一）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，∵45OAB ∠=︒，∴9045ACB OAB CAB ∠=︒-∠=︒=∠，∴AB BC =，∴矩形ABCD 是正方形；（2）解：添加的条件可以是AB AD =．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，AB AD =，∴矩形ABCD 是正方形．3．（1）证明见解析；（2）5【详解】证明：（1）∵矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕为EF ，∴OA =OC ，EF ⊥AC ，EA =EC ，∵AD ∥AC ，∴∠FAC =∠ECA ，在△AOF 和△COE 中，∵∠FAO =∠ECO ，AO =CO ，∠AOF =COE∴△AOF ≌△COE ，∴OF =OE ，∵OA =OC ，AC ⊥EF ，∴四边形AECF 为菱形；（2）设菱形的边长为x ，则BE =BC -CE =8-x ，AE =x ，在Rt △ABE 中，∵BE 2+AB 2=AE 2，∴（8-x ）2+42=x 2，解得x =5，即菱形的边长为5．特殊的平行四边形专题强化训练（4）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析；（2）2【详解】（1）证明：∵AC 的垂直平分线EF 分别与AC 、BC 、AD 交于点O 、E 、F ，∴AF ＝CF ，AE ＝CE ，OA ＝OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO ＝∠ECO ，在△AOF 和△COE 中，∵∠FAO ＝∠ECO ，OA =OC ，∠AOF ＝∠COE ，∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴AF ＝CE ，∴AE ＝EC ＝CF ＝AF ，∴四边形AECF 为菱形；（2）解：设AE ＝CE ＝x ，则BE ＝3﹣x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AB 2+BE 2＝AE 2，2+（3﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝2，即AE ＝2，∴菱形AECF 的边长是2．2．（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：∵四边形ABDE 是平行四边形，∴BD AE ∥，BD AE =，∵D 为BC 中点，∴DC AE =，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AB AC =，D 为BC 中点，∴AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒，∴平行四边形ADCE 是矩形；（2）解：∵四边形ADCE 是矩形，∴AO CO DO EO ===，DC AE =，∵60AOE =︒∠，4AE =，∴AOE △是等边三角形，∴4AO EO AE ===，∴28AC OA ==，∵90ADC ∠=︒，∴AD =3．（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，即有AF EC ∥，∵BE DF =，∴AF EC =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AE BC ⊥，∴90AEC ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．（2）解：∵BF 平分ABC ∠，AD BC ∥，∴ABF CBF AFB ∠=∠=∠，∴3AB AF ==，∴4AD BC ==，在Rt ABE △中，AE CF ===在Rt BFC △中，BF =．特殊的平行四边形专题强化训练（5）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）证明见解析（2）菱形ABCD 的面积为24【详解】（1）证明： CE BD ∥，BE AC ∥，∴CE OB ∥，BE OC ∥，即四边形OBEC 是平行四边形，菱形ABCD 对角线交于点O ，∴AC BD ⊥，∴90BOC ∠=︒，∴四边形OBEC 是矩形；（2）解：四边形OBEC 是矩形，∴4OC BE ==，3OB CE == 四边形ABCD 是菱形，∴28AC OC =⋅=，26BD OB =⋅=，即11862422ABCD S AC BD =⋅=⨯⨯=菱形．2．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，即DF ∥BE ，又∵DF =BE ，∴四边形DEBF 为平行四边形又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB =90°，∴四边形DEBF 为矩形；（2）∵四边形DEBF 为矩形，∴∠BFC =90°，RtΔBCF 中CF =9，BF =12，∴BC ，∴AD =BC =15，∴AD =DF =15，∴∠DAF =∠DFA ，∵AB ∥CD ，∴∠FAB =∠DFA ，∴∠FAB =∠DAF ，∴AF 平分∠DAB ．3．（1）证明见解析（2）【详解】（1）证明：∵DE ∥AC ,CE ∥BD∴DE ∥OC ,CE ∥OD∴四边形ODEC 是平行四边形∵四边形ODEC 是矩形∴OD =OC∴四边形ODEC 是菱形∴OE ⊥DC（2）解：∵DE =2,由（1）知，四边形ODEC 是菱形∴OD =OC =DE =2∵∠AOD =120°∴∠DOC =60°∴△ODC 是等边三角形∴DC =OD =OC =2∵四边形ABCD 是矩形∴AC =2CO =4在Rt △ADC 中，由勾股定理得AD∴S 矩形ABCD特殊的平行四边形专题强化训练（6）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）见解析【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵BE ＝DF ，∴AF ＝CE ，AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AE ＝CF ．（2）∵∠FOC ＝∠OEC ＋∠OCE ＝2∠OCE ，∴∠OEC ＝∠OCE ，∴OE ＝OC ，∵四边形AECF 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OE ＝OF ，∴AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．2．（1）见解析；（2）矩形【详解】（1）证明：∵DF ∥BE ，∴∠FDO =∠EBO ，∠DFO =∠BEO ，∵O 为AC 的中点，即OA =OC ，OE =OF ，∴OA ﹣AE =OC ﹣CF ，即AE =CF ，在△BOE 和△DOF 中，FDO EBO DFO BEO AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）若OD =AO ，四边形ABCD 是矩形，理由为：证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OB =OD ，∴OA =OB =OC =OD ，即BD =AC ，∴四边形ABCD 为矩形．3．（1）详见解析（2）3【详解】（1）证明：∵AB DC ，OAB DCA ∴∠=∠，AC 平分BAD ∠，OAB DAC ∴∠=∠，DCA DAC ∴∠=∠，CD AD AB ∴==，∵AB DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，= AD AB ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）四边形ABCD 是菱形，OA OC ∴=，BD AC ⊥，CE AB ⊥ ，12OE AC OA OC ∴===，2BD = ，112OB BD ∴==，在Rt AOB中，AB =1OB =，3OA ∴==，3OE OA ∴==．特殊的平行四边形专题强化训练（7）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）AE CF =，理由见解析【详解】（1）证明：∵,AB CD AD BC ∥∥，∴四边形ABCD 为平行四边形．又∵AB BC =，∴四边形ABCD 为菱形．（2）解：AE CF =．理由：∵四边形ABCD 为菱形，∴,AD CD A C =∠=∠．∵,DE AB DF BC ⊥⊥，∴90DEA DFC ∠=∠=︒，∴()AAS ADE CDF △≌△，∴AE CF =．2．（1）矩形，理由见解析（2）36【详解】（1）解：四边形AEBO 是矩形．理由： BE AC ∥，AE BD ∥，∴四边形AEBO 是平行四边形，又菱形ABCD 对角线交于点O ，AC BD ∴⊥，即90AOB ∠=︒，∴四边形AEBO 是矩形；（2）解：6EB = ，8AE =，10AB ∴=，四边形AEBO 是矩形，AE OB ∴=，四边形ABCD 是菱形，OB OD ∴=，AE OD ∴=，AE BD ∥，∴四边形AEOD 是平行四边形，10AD AB OE ===，∴四边形AEOD 的周长为81081036+++=．3．【详解】（1）证明：连接EF ，交BD 于点O ，如图：AB CD ，AB CD =，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，12112CDFO OD DF EO BO BE AB ∴====，FO EO ∴=，DO BO =，DH GB = ，OH OG ∴=，∴四边形EGFH 是平行四边形．（2）证明：由（1）知，四边形EGFH 是平行四边形，点E ，O 分别是AB ，BD 的中点，OE AD ∴∥，AD BD ⊥ ，EF GH ∴⊥，∴平行四边形HEGF是菱形．特殊的平行四边形专题强化训练（8）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）6（2）【详解】（1）解：菱形ABCD 的周长为24，2464AB AD BC CD ∴=====，又 ∠BAD ＝60°，ABD ∴∆是等边三角形，6BD AB AD ∴===，故对角线BD 的长为6；（2）解：由菱形的性质可知，对角线AC 与BD 互相垂直且平分，116322OB BD ∴===，90AOB ∠=︒，又 6AB =，AO ∴===，2AC AO ∴==∴菱形ABCD的面积11622AC BD =⋅=⨯=ABCD的面积是2．（1）证明见解析；（2）4．【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，点D 是AB 边的中点，∴12CD AB BD ==，∵点E 是点D 关于BC 所在直线的对称点，∴CE CD =，BE BD =，∴CD BD BE EC ===，∴四边形CEBD 为菱形；（2）解：∵四边形CEBD 为菱形；∴OB OC =，OE OD =，即O 为BC 中点，∵点D 是BA 边的中点，∴OD 是ABC 中位线，∴12DO AC =，∴4OE OD ==．3．（1）见解析（2）10【详解】（1）证明：∵AF BC ∥，∴AFE DBE ∠=∠，∵E 是AD 的中点，∴AE DE =，在AEF △和DEB 中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AEF DEB ≌；∴AF DB =，∵AD 为BC 边上的中线，∴DB DC =，∴AF CD =，∵AF BC ∥，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，∴12AD BC CD ==，∴平行四边形ADCF 是菱形；（2）解：∵D 是BC 的中点，∴2ADC ABC ADCF S S S == 菱形1184022AC AB AB =⋅==，∴10AB =．特殊的平行四边形专题强化训练（9）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）四边形CDEF 的面积为24．【详解】（1）证明：∵E 为对角线AC 的中点，F 为边BC 的中点，∴12EF AB =，EF AB ∥，12CF BC =，AE CE =，∵AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，∵2AB BC CD ==，∴EF CF CD ==，∵AB CD EF ∥∥，∴四边形DEFC 是平行四边形，∴四边形CDEF 为菱形；（2）解：如图，连接DF 与EC 交于点G ，∵四边形CDEF 为菱形，6DF =，∴DF CE ⊥，DG DF ==132，EG GC =，∵5CD =，在Rt CDG △中，4GC ==，∴28CE GC ==，∴四边形CDEF 的面积为：11862422CE DF ⋅=⨯⨯=．2．【详解】（1）四边形ABCD 是正方形，·AD CD BC ∴==，90ADC DCB ∠=∠=︒，BE CF = ，BC BE CD CF ∴-=-，即CE DF =，在ADF △和DCE △中，DF CE ADC DCB AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADF DCE ∴ ≌；（2）由（1）知ADF DCE ≌△△，DAF CDE ∴∠=∠，90ADC ∠=︒ 即90CDE EDA ∠+∠=︒，90DAF EDA ∴∠+∠=︒180()90AGD DAF EDA ∴∠=︒-∠+∠=︒，AF DE ∴⊥．3．【详解】证明：（1）∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ，∴∠ADC ＝90°，∵AN 为△ABC 的外角∠CAM 的平分线，∴∠MAN ＝∠CAN ，∴∠DAE ＝90°，∵CE ⊥AN ，∴∠AEC ＝90°，∴四边形ADCE 为矩形；（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE 为矩形，则AE ＝CD ，AC ＝DE ．又∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AB ＝DE ，AE ＝BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形；（3）当∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 是正方形，理由：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，∴AD ＝CD ＝BD ，又∵四边形ADCE 是矩形，∴四边形ADCE 是正方形．特殊的平行四边形专题强化训练（10）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）证明见解析（2）EF 的长为【详解】（1）证明：∵,DE AC DF AB ∥∥，∴四边形AEDF 是平行四边形．由AD 是BAC ∠的平分线知，∠∠EAD FAD =，由∥DE AC 知∠∠EAD ADF =，∴FAD ADF ∠=∠∴AF FD =∴四边形AEDF 是菱形．（2）解：∵9084C AC DC ∠=︒==，，∴AD =．由菱形AEDF 的对角线互相垂直平分的性质知，1122OA AD ==⨯OF AD ⊥，12OE OF EF ==．设A F DF x ==，则8CF AC x x =-=-．在Rt CDF △中，222DF CF DC =+∴()22284x x =-+解得：5x =．即5AF =．∴OF ==2EF OF ==2．（1）答案见解析（2）242【详解】（1）解：四边形AFDE 是菱形，理由是：DE AB ∥，DF AC ∥，∴四边形AFDE 是平行四边形. AD 平分BAC ∠FAD EAD ∴∠=∠．DE AB ∥，∴EDA FAD ∠=∠，EDA EAD ∴∠=∠，AE DE ∴=，∴平行四边形AFDE 是菱形．（2）90BAC =︒ ，∴四边形AFDE 是正方形，∴AF DF =.22AD = ，根据勾股定理，得222AD =，即22222AF =，解得AF =，∴四边形AFDE 的面积为∶1212242⨯=．3．【详解】（1）证明：AB AC = ，AD BC ⊥，BAD CAD ∴∠=∠，90ADC ∠=︒，AN 是ABC V 外角CAM ∠的平分线，CAE MAE \Ð=Ð，1902DAC CAE BAD MAE BAM ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，CE AN ⊥ ，90AEC ∴∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；（2）解：当ABC V 是等腰直角三角形时，四边形ADCE 是一个正方形，理由如下：由（1）知四边形ADCE 为矩形，ABC 是等腰直角三角形，AD BC ⊥，12AD BC DC ∴==，∴四边形ADCE 是正方形；（3）解：9545ADCE S =⨯=矩形，11451533CDP ADCE S S ∆∴==⨯=矩形，即15152h ⨯⨯=，解得6h =，即点P 在平行于DC 且到DC 的距离为4的直线上，如图：作点C 关于点P 所在直线的对称点F ，连接DF ，此时PD PC +的值最小为DF 的长，12CF ∴=，13DF ∴=，PD PC ∴+的最小值为13．特殊的平行四边形专题强化训练（11）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析；（2）．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵EF 垂直平分AC ，∴AF ＝CF ，AE ＝CE ，∵AE ＝CE ，EF ⊥AC ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE ＝AF ，∴AE ＝AF ＝CE ＝CF ，∴四边形AECF 是菱形．（2）解：∵四边形AECF 是菱形，∴当∠AEC ＝90°时，四边形AECF 是正方形，则∠AEB ＝90°，设AE ＝EC ＝x ，则BE ＝7－x ，AC ，在Rt △ABE 中，222AE BE AB +=，∴222(7)5x x +-=，解得13x =，24x =，∴AC ＝或2．（1）证明见解析（2）【详解】（1）证明：∵在ABC V 中，AB BC =，BD 平分ABC ∠，∴BD AC ⊥，AD DC =，∵四边形ABED 是平行四边形，∴AD BE =，AD BE ，∴DC BE =，DC BE ，∴四边形BECD 是平行四边形，又∵BD AC ⊥，∴四边形BECD 是是矩形．（2）解：∵四边形BECD 是矩形，90BFE ∠=︒即四边形BECD 的对角线互相垂直，∴四边形BECD 也是菱形，即四边形BECD 是正方形．∴90DBE ∠=︒，2BD BE ==，∴在Rt BDE △中，由勾股定理得：222DE BD BE =+，∴DE =即矩形BECD 对角线的长为3．（1）CE =12；（2）见解析.【详解】根据题意，得AD =BC =CD =1，∠BCD =90°.（1）设CE =x （0<x <1），则DE =1－x ，因为S 1=S 2，所以x 2=1－x ，解得x =512-（负根舍去），即CE =512-（2）因为点H 为BC 边的中点，所以CH =12，所以HD =52，因为CG =CE =512-，点H ，C ，G 在同一直线上，所以HG =HC +CG =12＋512-=52，所以HD =HG特殊的平行四边形专题强化训练（12）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析；（2）172【详解】（1）证明：AF AE ⊥ ，90FAB EAB ∴∠+∠=︒，90DAE EAB ∠+∠=︒ ，FAB DAE ∴∠=∠．= AD AB ，90ABF D ∠=∠=︒，ADE ABF ∴∆≅∆．（2）解：ADE ABF ∆≅∆ ，AF AE ∴=．1DE = ，4=AD ，90D Ð=°，221417AE ∴=+=．AFE ∴∆的面积为：117171722创=．2．（1）见解析（2）72【详解】（1）证明： DE AB ∥，DF AC ∥，∴四边形AFDE 是平行四边形． AD 平分BAC ∠，FAD EAD ∴∠=∠，DE AB ∥，∴EDA FAD ∠=∠，EDA EAD ∴∠=∠，AE DE ∴=，∴平行四边形AFDE 是菱形．（2）解：90BAC =︒ ，四边形AFDE 是菱形，∴四边形AFDE 是正方形，12AD =∵，22126222AF AD ∴==⨯=，∴四边形AFDE 的面积为∶626236272⨯=⨯=．3．（1）BE =AF ，BE ⊥AF ，证明见解析；（2）255AG =；（3）证明见解析；GD =2105.【详解】（1）BE =AF ，BE ⊥AF ，理由：四边形ABCD 是正方形，∴BA =AD =CD ，∠BAE =∠D =90°，∵DE =CF ，∴AE =DE ，∴△BAE ≌△ADF （SAS ），∴BE =AF ，∠ABE =∠DAF ，∵∠ABE +∠AEB =90°，∴∠DAE +∠AEB =90°，∴∠BGA =90°，∴BE ⊥AF ．（2）在Rt △ABE 中，∵AB =2，AE =1，∴BE =2222==152AB AE ++，∵S △ABE =12•AB •AE =12•BE •AG ，∴212555AB AE AG BE ⋅⨯===．（3）如图，过点D 作DN ⊥AF 于N ，DM ⊥BE 交BE 的延长线于M ，在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，AF ==∵S △ADF =12AD ×FD =12AD ×DN ，∴DN =AG AG =DN ，易证，△AEG ≌△DEM （AAS ），∴AG =DM ，∴DN =DM ，∵DM ⊥BE ，DN ⊥AF ，∴GD 平分∠MGN ，∴∠DGN =12∠MGN =45°，∴△DGN 是等腰直角三角形，∴GD 特殊的平行四边形专题强化训练（13）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）5BC =．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD AB CD ∥，=，∵CD AF DE -=，-=AB AF BF ，∴DE BF =，∴四边形BFDE 为平行四边形，又∵BE CD ⊥，∴90BED ∠=︒，∴四边形BFDE 为矩形；（2）解：在Rt BDE △中：2DE ===，设BC 的长为x ，则CD x =，2CE x =-，由勾股定理得：222BC BE CE =+，即：()22242x x =+-，解得：5x =，∴5BC =．2．（1）见解析（2）【详解】（1）证明：∵DO AO =，EO CO =，∴四边形AEDC 是平行四边形，∵四边形ABCO 是矩形，∴=90AOC ∠︒，即AD EC ⊥，∴平行四边形AEDC 是菱形．（2）解：四边形AEDC 是菱形，120CDE ∠=︒，∴18060DCA CDE ∠=︒-∠=︒，∴1302DCO DCA ∠=∠=︒，∵90COD ∠=︒，CD =12OD CD ==，∴3OC ==，∴2AD OD ==26EC OC ==，∴菱形AEDC 的面积为11622AD EC ⋅=⨯=3．（1）矩形（2）12013【详解】（1）证明：在菱形ABCD 中，AD BC ∥，∵DF CE =，∴四边形FCED 是平行四边形，又DE BC ⊥，∴平行四边形FCED 是矩形；（2）解：在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，152CO AC ==，12BO BD =，∵13BC =，∴12BO ，∴24BD =，∵12AC BD BC CF ⋅=⋅，∴11024132CF ⨯⨯=，∴12013CF =，∵四边形FCED 是矩形，∴12013DE CF ==．特殊的平行四边形专题强化训练（14）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）4AB =【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，MN 垂直平分BD ，∴AD BC ∥，90A ∠=︒，OB OD =，∴MDO NBO ∠=∠，DMO BNO ∠=∠，在DMO △和BNO 中，MDO NBO DMO BNO OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DMO BNO ≌△△，∴OM ON =，又 OB OD =，∴四边形BNDM 是平行四边形MN 垂直平分BD ，即MN BD ⊥，∴平行四边形BNDM 是菱形；（2）解：四边形BNDM 是菱形，∴5BM MD ==，设AM x =，则5AD AM MD x =+=+，在Rt ABM 和Rt ABD △中，222AB BM AM =-，222AB BD AD =-，∴(()222255x x -=-+，解得：3x =，∴4AB ==．2．（1）见解析（2）见解析（3）245【详解】（1）证明：AD BC ，OAD OCB ∠=∠∴，在AOD △和COB △中，OAD OCBOA OC AOD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)AOD COB ∴ ≌，OB OD ∴=；（2）证明：由（1）可知，OB OD =，OA OC = ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴142OA AC ==，132==OB BD ，又5AB = ，2225OA OB ∴+=，225AB =，222OA OB AB ∴+=，AOB ∴ 是直角三角形，90AOB ∠=︒，AC BD ∴⊥，∴平行四边形ABCD 是菱形；（3）解：由（2）可知，四边形ABCD 是菱形，5BC AB ∴==，DE BC ⊥ ，12ABCD S BC DE AC BD ∴=⋅=⋅菱形，即15862DE =，245DE ∴=．3．【详解】（1）证明：∵AB DC ，OAB DCA ∴∠=∠，AC 平分BAD ∠，OAB DAC ∴∠=∠，DCA DAC ∴∠=∠，CD AD AB ∴==，∵AB DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，= AD AB ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）四边形ABCD 是菱形，OA OC ∴=，BD AC ⊥，CE AB ⊥ ，12OE AC OA OC ∴===，2BD = ，112OB BD ∴==，在Rt AOB 中，AB =1OB =，3OA ∴==，3OE OA ∴==．。

特殊的平行四边形中的图形变换模型—2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型(解析版)

特殊的平行四边形中的图形变换模型之旋转模型几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。

在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。

近年来虽然关于（特殊）平行四边形旋转的考查频率高，由于之前的专题有总结过相关的旋转模型，故本专题就只对特殊的平行四边形旋转中的题型作全面的总结，方便大家学习掌握。

模型1.平行四边形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2023·浙江八年级课时练习）如图，▱ABCD 绕点A 逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B 是对应点，点C′与点C 是对应点，点D′与点D 是对应点），点B′恰好落在BC 边上，则∠C=（）A ．155°B ．170°C ．105°D ．145° 【答案】C【详解】试题分析:先根据旋转的性质得到AB=AB′，∠BAB′=30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠B=∠AB′B=75°，然后根据平行四边形的性质得AB ∥CD ，再根据平行线的性质计算得∠C=180°﹣∠B=105°．解：∵▱ABCD 绕点A 逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′′，∴AB=AB′，∠BAB′=30°，∴∠B=∠AB′B=12（180°﹣30°）=75°，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠B+∠C=180°，∴∠C=180°﹣75°=105°．故选C ．考点：旋转的性质；平行四边形的性质．例2．（2023·浙江·九年级期末）如图，在ABCD Y 中，=45ABC ∠︒，2AB =，将点B 绕点A 逆时针旋转120︒得到点E ，点E 落在线段BD 上，在线段BE 上取点F ，使BF DE =，连结AE ，CF ，则EF 的长为（）A ．2B ．2C ．2D ．3【答案】C【分析】根据已知条件利用勾股定理求得BG ，进而求得BE ，通过角度的计算可得EAD EDA ∠=∠，从而可求得DE ，根据EF BE BF BE ED =−=−即可求得【详解】过点A 作AG BD ⊥于点G ，120,BAE AB AE ∠=︒=190302ABG BAE ∴∠=︒−∠=︒2AB =112AG AB ∴==BG ∴=BE = =45ABC ∠︒∴453015DBC ABC ABD ∠=∠−∠=︒−︒=︒四边形ABCD 是平行四边形，, //AD BC ∴15ADE DBC ∴∠=∠=︒180********BAD ABC ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒120BAE ∠=︒13512015EAD BAD EAB ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒EAD EDA ∴∠=∠2ED EA AB ∴===∴EF BE BF BE ED =−=−2故选C【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟悉几何图形的性质是解题的关键．2）最值（范围）型例1．（2023·广东·九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是_____．【答案】【分析】以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT=TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF=EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．【详解】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（）2＝4，∴a＝，∴EK＝＝，∴AF的最小值为：．故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．例2．（2023·山东济南·九年级统考期末）如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是边AD上且AE＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、DG，则BG －DG的最大值为________．【答案】1【分析】如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN，GN，可证明△AEN是等边三角形，∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，从而可证明△AEF≌△NEG得到∠ENG=∠A=60°，进而推出∠GNB=60°，则点G的运动轨迹是射线NG，过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG，先求出1322NK BN==，证明四边形ANTD是平行四边形，得到NT=AD=3，DT=AN=2，然后证明△MKT≌△BKN得到MK=BK，MT=BN=3，MD=1，NT垂直平分BM，进而推出当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM．【详解】解：如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN，GN，由旋转的性质可知EF=EG，∠FEG=60°，∵AE=2DE，AD=3∴AE=2，DE=1，∵AE=AN，∵∠A=60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，∴∠AEF=∠NEG，∵EA=EN，EF=EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG=∠A=60°，∵∠ANE=60°，∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG，∴∠BKN=90°，∵∠BNK=60°，∴∠NBK=30°，∵AB=5，AN=AE=2，∴BN=3，∴1322NK BN==，∵∠BNK=∠A=60°，∴AD NK∥，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD AB∥，∴四边形ANTD是平行四边形，∠M=∠KBN，∴NT=AD=3，DT=AN=2，∴32TK NT NK=−=，∴NK=TK，又∵∠MKT=∠BKN，∴△MKT≌△BKN（AAS），∴MK=BK，MT=BN=3，∴MD=1，NT垂直平分BM，∴BG=MG，∵MG-DG≤MD，∴BG-DG≤MD，∴当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM，∴MG-DG的最大值为1，故答案为1．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形确定点G的运动轨迹是解题的关键．3）综合证明型【答案】(1)S△BCE=6；(2)①1＜BF＜5；②证明见解答；(3)BN的最小值为10-2，BN的最大值为．【分析】（1）如图1，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，根据题意求得∠EBF=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC上的高EF=2，代入面积公式算出结果；（2）①如图，在线段FG上截取FK=BF，连接EK、CK，可证得四边形BCKE是平行四边形，得出：BE=CK=BE'=4，BC=6，再运用三角形三边关系即可求得答案；②可证△EKB≌△BGA（AAS），得出BK=AG，由AG=AD-DG，即可推出结论；（3）连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，可证△ABE是等腰直角三角形，得出：，再由点P是AE的中点，可得：BP⊥AE，且，当B、Q、N三点共线时，BN的最小值=BQ-S与点E重合时，EM=0，PN=0，此时，BN的最大值【详解】（1）解：如图1，过点E 作EH ⊥BC 交CB 的延长线于点H ，∴∠EHC=90°，∵∠ABC=60°，∠EBA=90°，∴∠EBH=180°-∠EBA -∠ABC=180°-90°-60°=30°，∵点E '在BC 边上且BE '=4，将B E '绕点B 逆时针旋转α°得到BE ，∴BE=B E '=4，∴EH=12BE=12×4=2，又∵BC=6，∴S △BCE=12BC•EH=12×6×2=6；（2）解：①如图，在线段FG 上截取FK=BF ，连接EK 、CK ，∵EF=FC ，BF=FK ，∴四边形BCKE 是平行四边形，∴BE=CK=BE '=4，BC=6，在△BCK 中，BC -CK ＜BK ＜BC+CK ，∴6-4＜BK ＜6+4，即2＜2BF ＜10，∴1＜BF ＜5；②证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠ABC=60°，AB=4，∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，AD ∥BC ，AD=BC ，BE=AB ，∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°，∴∠EBK=∠A ，∵EK ∥BC ，∴EK ∥AD ，∴∠EKB=∠BGA ，在△EKB 和△BGA 中，EKB BGA EBK A BE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKB ≌△BGA （AAS ），∴BK=AG ，由①知：BK=2BF ，又∵AG=AD -DG ，∴2BF=BC -DG ；（3）解：连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，∵∠ABE=90°，AB=BE=4，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴∵点P 是AE 的中点，∴BP ⊥AE ，且，∵N 是AM 的中点，P 是AE 的中点，∴PN 是△AEM 的中位线，∴PN ∥EM ，∴∠ANP=∠AME=90°，∵点Q 是AP 的中点，∴QN=PQ=12Rt △BPQ 中，= 当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -当点S 与点E 重合时，EM=0，PN=0，此时，BN 的最大值．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．模型2.菱形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2023·江西九江·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝．若将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α（060α︒<<︒）得到四边形AEFG ，连接DE DG ，，则EDG ∠的度数为．【答案】150︒【分析】由旋转的性质得,60,AG AD AE EAD GAD αα==∠=−∠=，根据等腰三角形的性质可得出602ADE α=︒∠+，902ADG α=︒∠−，从而可得出结论．【详解】解：由题意可知AB=AD ，∠BAD=60°．由旋转知∠DAG=∠BAE=α，AE=AB ，AD=AG ，∴∠EAD=∠BAD －∠BAE=60°－α，AE=AD=AG ，∴1806022EAD ADE α−∠∠==+︒︒，1809022DAG ADG α−∠∠==−︒︒，∴∠EDG=∠ADE ＋∠ADG=150°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质以及旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．A ．()2,3B ．【答案】C 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C 在第三象限，过点A 作AE x⊥轴于点E ，延长OB 到'C 点，使'OC OA =，过点'C 作'C F x ⊥轴于点F ，再根据菱形的性质及全等三角形的性质，即可求得坐标.【详解】解：∵将菱形绕原点O 逆时针旋转，每次旋转90︒， 360904︒÷︒=，∴旋转4次后回到原来的位置，∵202345053÷=⋯⋯，∴第2023次旋转结束时，点C 在第三象限，如图：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，延长OB 到'C 点，使'OC OA =，过点'C 作'C F x ⊥轴于点F ，∴'90AEO OFC ∠=∠=︒，∴90OAE AOE ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是菱形，∴'OA OC OC AC BD ==⊥，，∴'90C OF AOE ∠+∠=︒，∴'OAE C OF ∠=∠，∴'AAS OAE C OF ≌（），∴'AE OF OE C F ==，，∵()A −， ∴2OE AE ==，∴2'OF C F ==，∴('2,C −−，故第2023次旋转结束时，点C 的坐标为(2,−−，故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质和旋转的性质，全等三角形的判定及性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键. 得到B O C ''，若A ．4B ．4【答案】C 【分析】利用菱形的性质求出OB 的长度，再利用勾股定理求出'AB 的长即可．【详解】解：∵菱形ABCD ，∴BD ⊥AC ，AB=BC ，AO=OC=1在Rt△OBC中，4OB=，∵旋转，∴OB O B''=，90O'∠=︒，在Rt△AO B''中，'5AB==，故选：C．【点睛】本题主要考查菱旋转和形的性质，能够利用勾股定理结合性质解三角形是解题关键．2）最值（范围）型例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F 是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是___________．【答案】【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA ＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE 即可解决周长最小问题．【详解】解：取AD中点G，连接，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE，∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'．在△DEF和△GEF'中DE GEDEF GEFEF EF'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形，可得A ，E 关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE ，在Rt △BCH 中，∵∠H ＝90°，BC ＝4，∠BCH ＝60°，∴12,2CH BC BH ===，在Rt △BEH 中，BE ，∴∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝．【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．例2．（2023·山西·九年级专题练习）如图，菱形ABCD 中，AB ＝12，∠ABC ＝60°，点E 在AB 边上，且BE ＝2AE ，动点P 在BC 边上，连接PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转60°至线段PF ，连接AF ，则线段AF 长的最小值为___．【答案】【分析】在BC 上取一点G ，使得BG BE =，连接,EG EF ，作直线FG 交AD 于T ，过点A 作AH GF ⊥于H ，先根据等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理证出≌BEP GEF ，根据全等三角形的性质可得60EGF B ∠=∠=︒，从而可得120BGF ∠=︒，由此可得点F 在射线GF 上运动，再根据垂线段最短可得当点F 与点H 重合时，AF 的长最小，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABGT 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得860，AT BG BE ATH B ===∠=∠=︒，最后在Rt AHT 中，解直角三角形即可得．【详解】解：在BC 上取一点G ，使得BG BE =，连接，EG EF ，作直线FG 交AD 于T ，过点A 作AH GF ⊥于H ，60，B BE BG ∠=︒=，BEG ∴△是等边三角形，60，EB EG BEG BGE ∴=∠=∠=︒，60，PE PF EPF =∠=︒，EPF ∴△是等边三角形，60，PEF EF EP ∴∠=︒=，BEG PEF ∴∠=∠，BEG PEG PEF PEG ∴∠−∠=∠−∠，即BEP GEF ∠=∠，在BEP △和GEF △中，BE GE BEP GEFPE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()≌BEP GEF SAS ∴，60EGF B ∴∠=∠=︒，120BGF BGE EGF ∴∠=∠+∠=︒，∴点F 在射线GF 上运动，由垂线段最短可知，当点F 与点H 重合时，AF 的长最小，122，AB BE AE ==，84，BE AE ∴==，60BEG EGF ∠=∠=︒，//GT AB ∴，四边形ABCD 是菱形，BG AT ∴∥，∴四边形ABGT 是平行四边形，860，AT BG BE ATH B ∴===∠=∠=︒，sin 8AH AT ATH ∴=⋅∠==AF长的最小值为【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确找出点F 的运动轨迹是解题关键．ADG S 等于（A ．2B ．3 【答案】D 【分析】当BE ⊥AE 时，∠ABE 的值最大，此时cos ∠BAE=A E A B，推出∠BAE=30°，过点G 作GT ⊥DA 交DA 延长线于点T ，求出GT ，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD ，四边形AEFG 都是菱形，∴AD=AB=2，，当BE ⊥AE 时，∠ABE 的值最大，此时cos ∠BAE=A E A B∴∠BAE=30°，∵∠DAB+∠EAG=180°，∴∠BAE+∠DAG=180°，∴∠DAG=150°，过点G 作GT ⊥DA 交DA 的延长线于点T ，如图，在Rt △AGT 中，，∠GAT=30°，∴GT=AG·sin30°= 11=··=222ADG S AD GT ⨯ 故选∶D ．【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运所学知识解决问题．3）分类讨论型的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形 A ．2或4B ．2或6C ．4或6 【答案】B【分析】过点A 作AG BC ⊥．根据等边三角形的性质可求出AG =结合AEC S=2CE =．又易证()ASA BAE CAF ≌，即得出BE CF =，从而即可得解．【详解】如图，过点A 作AG BC ⊥．∵ABC 为等边三角形，∴122CG BC ==，∴AG =∵12AEC S CE AG =⨯=12AEC S CE =⨯=∴2CE =，∴2BE BC CE =−=．∵三角尺的60︒角的顶点与点A 重合，∴BAC EAF ∠=∠，∴BAC EAC EAF EAC ∠−∠=∠−∠，即BAE CAF ∠=∠．又∵两个全等且边长为4的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形ABCD ，∴60B ACF ∠=∠=︒，AB AC =，∴()ASA BAE CAF ≌，∴2BE CF ==；如图，由（1）可知2CG =，∴12AEC S CE =⨯∴2CE =．∵BAC EAF ∠=∠，∴BAC EAC EAF EAC ∠+∠=∠+∠，即BAE CAF ∠=∠．又∵60B ACF ∠=∠=︒，AB AC =，∴()ASA BAE CAF ≌，∴6CF BE BC CE ==+=．∴CF 的长为2或6．故选B ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．把ABC 分成面积相等两部分，于称为ABC 的“完美分割线，在钝角ABC 中，点是ABC 的“完美分割线【答案】[理解应用]见解析；[问题提升]（1）①CA ＝CE ＋CF ；②见解析；（2）t=15或45【分析】[理解应用]分别表示出ABE ACE ABC S S S V V V 、、，即可证得结论；[问题提升]（1）①如图，结论：CA ＝CE ＋CF ．只要证明△ADF ≌△ACE （SAS ）即可解决问题；②由题意易得△ADF ≌△ACE ，可得：,AE AF EAC FAD =∠=∠，可推得60EAF ∠=︒，进而问题可证；（2）分射线OM 是ABC ACD 、的“完美分割线”或射线ON 是ACD 的“完美分割线”，进行讨论即可得出答案．【详解】[理解应用]如图：过A 作AH ⊥BC 于H ，∵点E 是线段BC 的中点，∴12BE CE BC ==， ∵111,,222ABE ACE ABC S BE AH S CE AH S BC AH =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯V V V ，∴12ABE ACE ABC S S S ==△△△，故射线AD 是ABC 的“完美分割线”．[问题提升](1)①结论：CA ＝CE ＋CF ．理由：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ＝AD ＝DC ＝BC ，∠BAC ＝∠DAC ＝60°，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∵∠DAC ＝∠EAF ＝60°，∴∠DAF ＝∠CAE ，∵CA ＝AD ，∠D ＝∠ACE ＝60°，∴△ADF ≌△ACE （SAS ），∴DF ＝CE ，∴CE ＋CF ＝CF ＋DF ＝CD ＝AC ，∴CA ＝CE ＋CF ；②∵△ADF ≌△ACE ，∴,AE AF EAC FAD =∠=∠，∴EAC CAF FAD CAF ∠+∠=∠+∠，∴60EAF CAD ∠=∠=︒，∵,60AE AF EAF =∠=︒,∴AEF △为等边三角形．(2)当OM 恰巧平分BC 时，此时ON 恰巧平分CD ，在等边ABC 中，OM 平分BC ，∴12ABE ACE ABC S S S ==△△△,1302BAE BAC ∠=∠=︒，故射线OM 是ABC 的“完美分割线”，∴302BAE t ∠=︒=︒，∴15t =（秒）；当ON 恰巧平分CD ，在等边ACD 中，ON 平分CD ， ∴12ACF ADF ACD S S S ==V V V ，130CAF CAD ∠==︒,∴603090BAF BAC CAF ∠=∠+∠=︒+︒=︒,故射线ON 是ACD 的“完美分割线”，∴90602BAE BAF MON t ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴15t =（秒）；当OM 恰巧平分CD 时，在等边ACD 中，OM 平分CD ，∴12ACQ ADQ ACD S S S ==V V V ,30CAQ ∠=︒，故射线OM 是ACD 的“完美分割线”，∴60302BAQ t ∠=︒+︒=︒，∴45t =（秒）．综上所述当t=15或45秒时，射线OM 或射线ON 是某个三角形的“完美分割线”．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．4）综合证明型【答案】①②③．【分析】过点B 作BH A D ''⊥于H ，BM AD ⊥于M ，BN CD ⊥于N ，利用角平分线的判定定理证明选项①、②是否正确，再利用全等三角形的性质证明DEF 的周长2DM =为定值，即可判断③ ；根据Rt △BEM ≌Rt △BEH ，Rt △BMA ≌Rt △BNC ，Rt △BFN ≌Rt △BFH ，得到S △BEM ＝S △BEH ，S △BMA ＝S △BNC ，S △BFN ＝S △BFH ，S △DEF+2S △BEF ＝S 四边形DMBN ，但是∠A 不一定为60°，即AM 不一定等于12AB ，由此判断④.【详解】如图，过点B 作BH ⊥A′D′于H ，BM ⊥AD 于M ，BN ⊥CD 于N ．∵菱形BA′D′C′是由菱形ABCD 旋转得到，菱形的每条边上的高相等，∴BM ＝BH ＝BN ，∵BH ⊥A′D′于H ，BM ⊥AD 于M ，BN ⊥CD 于N ，∴BE 平分∠AED′，BF 平分∠A′FC ，故选项①②正确，∵∠BME ＝∠NHE ＝90°，BE ＝BE ，BM ＝BH ，∴Rt △BEM ≌Rt △BEH （HL ），∴EH ＝EM ，同法可证，FH ＝FN ，∴△DEF 的周长＝DE+EF+DF ＝DE+EM+DF+FN ＝DM+DN ，∵∠BMA ＝∠BNC ＝90°，BM ＝BN ，BA ＝BC ，∴Rt △BMA ≌Rt △BNC （HL ），∴AM ＝CN ，∵DA ＝DC ，∴DM ＝DN ，∴△DEF 的周长＝2DM ＝定值，故③正确，∵Rt △BEM ≌Rt △BEH ，Rt △BMA ≌Rt △BNC ，Rt △BFN ≌Rt △BFH ，∴S △BEM ＝S △BEH ，S △BMA ＝S △BNC ，S △BFN ＝S △BFH ，∴S △DEF+2S △BEF ＝S 四边形DMBN ，∵∠A 不一定为60°，∴AM 不一定等于12AB ，∴S △DEF+2S △BEF≠12S 菱形ABCD ，故④错误；故答案：①②③ ．【点睛】旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．例2．（2023·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，菱形AEFG 的两边AE 、AG 分别在菱形ABCD 的边AB 和AD 上，且∠BAD=60°，连接CF ；（1CF =；（2）如图2，将菱形AEFG 绕点A 进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2），（1）中的结论不变．理由见解析．【分析】（1）延长EF 交CD 于M 点，证明三角形CMF 是等腰三角形，且∠EMC=120°，过点M 作MN ⊥CF ，垂足为N ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，和勾股定理，得FN=NC=2D G 即；（2）过D 做∠NDC=∠ADG,使DN=DG ，连接NC ，证明△DGN 为等腰三角形，四边形GFNC 为平行四边形即可．【详解】（1）如图１，延长EF 交CD 于M 点，∵四边形AEFG 和四边形ABCD 是菱形∴DC//GF//AB,DM//GF∴四边形GFMD 是平行四边形则∠D=∠EMC=120°，∴∠MFC=∠MCF=30°，过点M 作MN ⊥CF ，垂足为N ，∴MN=12M F ,根据勾股定理，得FN=D G ，∵MC=MF ，∴FN=NC ，∴；（2）如图2，过D 做∠NDC=∠ADG,使DN=DG ，连接NC ，∴△AGD ≌△DNC(SAS ）∴AG=NC ∠DNC=∠AGD ∴△DGN 为等腰三角形，则∠DGN=∠DNG ，∵∠NGF=360°-∠AGD -∠AGF -∠DGN=240°-∠DGA -∠DGN ∠GNC=∠DNC -∠DNG=∠DNC -∠DNG∴∠NGF+∠GNC=240°-∠DGN -∠DNG,∵∠DGN+∠DNG=180°-∠GDN=60°∴∠NGF+∠GNC=180°∴NC//GF ，∴四边形GFNC 为平行四边形∴CF=GN ，则GN=，∴，结论（1）不变．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等，等腰三角形的性质，灵活构造辅助线是解题的关键． ①CIJ 的周长是否变化？若不变，请求出CIJ 的周长；【答案】(1)BIE α∠=(2)见详解(3)①不变，CIJ 的周长为3，②6−【分析】（1）设BC 与AE 交于点H ，由旋转可知E B ∠=∠，再根据三角形的外角定理即可；（2）过点A 作AM EF ⊥于点M ，AN BC ⊥于点N ，证明AM AN =，由角平分线的判定定理即可得出结论；（3）①旋转前后的组合图形同样是轴对称图形，对称轴为直线AJ ，得到,CJ FJ =再证明(AAS)ABI AFI ≌，得到BI FI =即可；，②当0α=︒时AK 有最大值，当30α=︒时AK 有最小值，即可得出结果．【详解】（1）解：设BC 与AE 交于点H ，由旋转可知E B ∠=∠，再根据三角形的外角定理得：AHI E HIE B BAH ∠=∠+∠=∠+∠，BIE BAH α∠=∠=；（2）解：过点A 作AM EF ⊥于点M ，AN BC ⊥于点N ，90AME ANB ∴∠=∠=︒，由旋转可知E B ∠=∠，AE AB =，(AAS)AME ANB ∴≌，AM AN ∴=，AI ∴平分BIF ∠；（3）解：①不变，CIJ 的周长为3，理由如下：连接,,AJ AF AC ，根据菱形为轴对称图形，菱形对角线所在的直线为菱形的对称轴，旋转前后的组合图形同样是轴对称图形，对称轴为直线AJ ，,CJ FJ ∴=由第（2）问中AI 平分BIF ∠，AIB AIF ∴∠=∠，在菱形ABCD 中，3AB =，=60B ∠︒，ABC ∴和AEF △均为等边三角形，,60AB AE B E ∴=∠=∠=︒，(AAS)ABI AFI ∴≌，BI FI ∴=， CIJ 的周长为3CI IJ CJ FJ IJ CI BI CI BC ++=++=+==；②当0α=︒时AK 有最大值，3AK =；当30α=︒时AK 有最小值，AK =3AK ≤<．故点K 的运动路径长为236⎛=− ⎝ 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，综合运用旋转图形的性质、全等三角形的性质和判定是本题的关键．模型3.矩形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2023上·成都市·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，14CBD ∠=︒，将矩形ABCD 绕对角线BD 的中点O 旋转角度()090a α︒<<︒得到矩形A B C D ''''，当C '，D 的距离等于1时，α等于（）A ．28︒B ．42︒C ．48︒D ．56︒【答案】D 【分析】如图，连接OC C D ''，，由矩形性质可证OCB OBC ∠=∠，得28DOC ∠=︒，易知DOC DOC '≌，所以DOC DOC ∠=∠'，进而求得72C OC ∠'=︒，即旋转角度．【详解】如图，连接OC C D ''，，∵四边形ABCD 是矩形，∴1122AC BD OC AC OB OD BD ====，，，∴OB OC OD OC ==='，∴OCB OBC ∠=∠，∴228DOC OBC OCB CBD ∠=∠+∠=∠=︒．∵C '，D 的距离等于1，1AB CD ==，∴CD C D ='，∴()SSS DOC DOC '≌，∴DOC DOC ∠=∠'，∴256C OC DOC ∠'=∠=︒．故选D ．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形外角的知识；由图形的旋转变换转化为全等三角形解决问题是求解的关键．例2．（2023·江西·统考三模）如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转得到矩形AFGE ，当点F 落在边CD 上时，连接BF 、DE ，则ADEABF SS =（）A ．12B ．13C ．14D ．23 【答案】C【分析】由题意作辅助线过点E 作EH AD ⊥于点H ，并利用旋转的性质以及三角函数进行分析求解.【详解】解：如解图，过点E 作EH AD ⊥于点H ，在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，2AD ∴=，90ADC DAB ∠=∠=︒.由旋转的性质可得4AF AB ==，2AE AD ==，90EAF DAB ∠=∠=︒，1sin 2AF AD AF D ==∴.30AFD ∴∠=︒，60DAF ∠=︒.30DAE ∴∠=︒.sin DAE 12AE EH AE =⋅∠==∴，1121122ADE E A H S D ==⨯⋅⨯=，1142422ABF A A D S B ==⨯⨯⋅=，14ADEABFS S ∴=.故选C【点睛】本题考查矩形相关，综合利用旋转的性质以及三角函数相关性质进行求解.例3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，将矩形ABCD 绕点B 顺时针方向旋转后得到矩形A BC D '''，若边A B '交线段CD 于H ，且BH DH =，则DH 的值是______．【答案】254【分析】设DH 的值是x ，那么CH=8x −，BH=x，在Rt△BCH 中根据勾股定理即可列出关于x 的方程，解方程就可以求出DH ．【详解】解：设DH 的值是x ， ∵AB=8，AD=6，且BH=DH ， 8,,CH x BH x ∴=−=6BC AD ==，在Rt △BCH 中，2222DH BH CH BC ==+， ()22836x x ∴=−+，25,4x ∴= 即254=DH ．故答案为：25.4 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，解题关键是利用勾股定理列出关于所求线段的方程．2）最值（范围）型例1．（2023·广东·八年级假期作业）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，将线段AP 绕着点A 逆时针旋转60°得到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为 ___．【答案】3.5【分析】以AB 为边作等边△ABE ，D 作DH ⊥QE 于H ，利用SAS 证明△ABP ≌△AEQ ，得∠AEQ=∠ABP=90°，则点Q 在射线EQ 上运动，即求DH 的长度，再用含30°角的直角三角形性质进行解题．【详解】解：如图，以AB 为边作等边△ABE ，过点D 作DH ⊥QE 于H ，∴AB=AE ，∠BAE=60°，∵将线段AP 绕着点A 逆时针旋转60°得到AQ ，∴AP=AQ ，∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠EAQ ，在△ABP 和△AEQ 中，AB AE BAP EAQ AP AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△AEQ （SAS ），∴∠AEQ=∠ABP=90°，∴点Q 在射线EQ 上运动，当Q 与H 重合时，DQ 最小，在Rt △AEF 中，∠EAF=30°，∴EF=AE=，∴AF=2EF=，∴DF=AD -AF==，∴DH=DF=×=72，∴DQ 的最小值为72，故答案为：72．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出点Q 的运动路径是解题的关键．，设EOF 的面积为【答案】 939s ≤≤【分析】（1）当点E 落在BC 上时，由勾股定理知（2）如图，由旋转知，EF=AD=8， EOF 的面积=12×EF×EF 边上的高，故找面积最值就转化成找EF 边上高的最值．当点E 落在BD 上时，EF 边上高的最小值为EO ，此时s 最小，当点D 落在BD 的反向延长线上时，EF 边上高的最大值为OE'，此时s 最大，分别算出最大值和最小值即可．【详解】（1）AB 6==，当点E 落在BC 上时，=答案：．（2）当点E 落在BD 上时，s 最小，此时，1()32OE BD BD AD =−−=，∴192s EO EF =⨯⋅=；当点D 落在BD 的反向延长线上时，s 最大，13E O OD DE ''=+=， ∴1392s E O E F '''=⨯⋅=，∴939s ≤≤．故答案为：939s ≤≤．【点睛】此题考查了图形的旋转和勾股定理，解题的关键是要有空间想象能力，正确作出辅助线求解．3）分类讨论型例1．（2023·江西南昌·九年级校联考阶段练习）在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，将边AD 绕它的端点旋转，当另一端点恰好落在边BC 所在直线的点E 处时，线段DE 的长为．5 【分析】分两种情形：绕A 旋转或绕D 旋转，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∵四边形∴AB=CD=3，AD=BC=5，∠ABC=∠DCB=90°，当AD 绕A 旋转，AD=12AE AE ==5时，124BE BE ===，∴C 1E =1，C 2E =9，∴1DE ===2DE ===，当AD 绕D 旋转时，345D DE DE A ===，综上所述，满足条件的DE 55．【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．例2．（2023上·广东珠海·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转（旋转角小于90度）得到矩形AEFG ．(1)如图①，若在旋转过程中，点E 落在对角线AC 上，AF EF 、分别交DC 于点M ，N ，①求证：MA MC =；②求MF 的长；(2)在旋转过程中，当旋转到如图②所示的情况，若直线AE 经过线段BG 的中点P ，连接BE ，求BEG 的面积．【答案】(1)①见解析；②154(2)BEG 的面积是48−48+【分析】（1）①根据矩形的性质和旋转的性质得到DCA FAE ∠=∠，证得MA MC =；②设MA MC x ==，则8DM x =−，根据勾股定理求出x 的值，即可求出MF 的值；（2）分情况讨论，第一种情况，过点B 作BH AE ⊥于点H ，证明()AAS HBP AGP ≌，用勾股定理求出AH 的长，从而得到AP 的长，再求出PE 的长，根据2BEG GPE S S =算出BEG 的面积；第二种情况，与第一种情况的区别在于PE 的长，求出PE 长之后，一样算出BEG 的面积．【详解】（1）解：①∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，∴DCA BAC ∠=∠，∵旋转，∴=FAE BAC ∠∠，∴DCA FAE ∠∠，∴MA MC =；②设MA MC x ==，则8DM x =−，在Rt ADM △中，()22268x x +−=，解得254x =，在Rt AEF 中，10AF ==，∴154MF AF AM =−=，（2）①如图，过点B 作BH AE ⊥于点H ，则90GAP BHP ∠=∠=︒，在HBP 和AGP 中，BHP GAP APG HPA GP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS HBP AGP ≌，∴AP HP =，6BH AG ==，在Rt ABH △中，AH =∴12AP AH == ∴8PE AE AP =−=∴(12268482BEG GPE S S ==⨯⨯⨯=−；②如图所示，同①得：AH =AP ∴8PE =∴(12268482BEG GPE S S ==⨯⨯⨯=+BEG 的面积是48−48+ 【点睛】本题考查的是四边形综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，以及等腰三角形的判定，需要注意进行分类讨论．4）综合证明型例1．（2023·四川·眉山市东坡区模拟预测）如图，Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，过D 作DC ⊥BE 交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分∠HDC ；②DO=OE ；③H 是BF 的中点；④BC -CF=2CE ；⑤CD=HF ，其中正确的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【分析】根据∠B=90°，AB=BE ，△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，可得ABE AHD ≅，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，可证//AD BC ，根据DC BC ⊥，可得HDE CDE ∠=∠，根据三角形的内角和可得HDE CDE ∠=∠，即DE 平分∠HDC ，所以①正确；利用90DAB ABC BCD ∠=∠=∠=，得到四边形ABCD 是矩形，有90ADC ∠=︒，45HDC ∠=︒，由①有DE 平分∠HDC ，得22.5HDO ∠=︒，可得67.5AHB ∠=︒,22.5DHO ∠=，可证OD OH =，利用 AE AD =易证67.5AEB OHE HEO ∠=∠=∠=︒，则有OE OH =，OD OE =，所以②正确；过H 作HJ BC ⊥于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，得IJ AD ⊥，I 是AD 的中点，J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，所以③正确；根据ABE 是等腰直角三角形，JH JE ⊥，∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，得到2JH CF =，2JC BC =，JC JE CE =+，易证2BC CF CE −=，所以④正确；利用AAS 证明DHE DCE ∆≅∆，则有DH DC =，22.5HDE CDE ∠=∠=︒，易的22.5DHF ∠=︒，112.5DFH ∠=︒，则DHF△不是直角三角形，并DH HF ≠ ，即有：CD HF ≠，所以⑤不正确；【详解】解：∵Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，∴45BAE BEA ∠=∠=︒又∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，∴ABE AHD ≅，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，∴45EAD ∠=︒，AE AD = ，90AHD ∠=，∴ADE AED ∠=∠∴454590BAD BAE EAD ∠=∠+∠=+=，∴//AD BC ∴ADE DEC ∠=∠，∴AED DEC ∠=∠,又∵DC BC ⊥ ∴90DCE DHE ∠=∠=∴由三角形的内角和可得HDE CDE ∠=∠，即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；∵90DAB ABC BCD ∠=∠=∠=∴四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ∠=︒∴45HDC ∠=︒，由①有DE 平分∠HDC ，∴114522.522HDO HDC ∠=∠=⨯︒=︒ ∵45BAE ∠=︒，AB AH =∴()()111801804567.522AHB BAE ∠=︒−∠=⨯︒−︒=︒,∴9067.522.5DHO DHE FHE DHE AHB ∠=∠−∠=∠−∠=−=∴OD OH = 在AED △中，AE AD =∴()()111801804567.522AED EAD ∠=︒−∠=⨯︒−︒=︒∴67.5AEB OHE HEO ∠=∠=∠=︒∴OE ∴OD OE =，所以②正确；过H 作HJ BC ⊥于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，∵//AD BC ∴IJ AD ⊥又∵AHD 是等腰直角三角形，∴I 是AD 的中点，∵四边形ABCD 是矩形，HJ BC ⊥∴J 是BC 的中点，∴H 是BF 的中点，所以③正确；∵ABE 是等腰直角三角形，JH JE ⊥∴JH JE =又∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，∴2JH CF =，2JC BC =，JC JE CE =+，∴222222JC JE CE JH CE CF CE BC =+=+=+=即有：2BC CF CE −=，所以④正确；在DHE 和DCE △中，90DHE DCE HDE CDEDE DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DHE DCE AAS ∆≅∆，DH DC ∴=，14522.52HDE CDE ∠=∠=⨯︒=︒，∵OD OH =∴22.5DHF ∠=︒，∴1801804522.5112.5DFH HDF DHF ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒∴DHF △不是直角三角形，并DH HF ≠ 即有：CD HF ≠，所以⑤不正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．例2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图1，将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，点B 与点E 对应，点E 恰好落在AD 边上，BH CE ⊥交于点H ．(1)求证：CD BH =；(2)如图2，连接AH 并延长交CD 于点M ，交CG 于点N ，点K 在CD 的延长线上，连接EK ，若45EAH KED ∠+∠=︒，在不添加任何辅助线和字母的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)AEH △、、CNM 、ECK【分析】（1）根据旋转的性质得出CE BC =，证明()AAS BHC CDE ≌，根据全等三角形的性质即可求解；（2）根据矩形FECG 是由矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到的，直接可得AEH △、ABH 是等腰三角形，设EAH α∠=，根据三角形的外角的性质以及三角形内角和定理，得出,CMN CNM CEK K ∠=∠∠=∠，即可判断CNM 、ECK 是等腰三角形，即可求解．【详解】（1）证明：矩形FECG 是由矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到的CE BC ∴= 四边形ABCD 是矩形AD BC ∴∥，90D Ð=° DEC BCH ∴∠=∠BH CE ⊥，90BHC \Ð=°BHC D ∴∠=∠，()AAS BHC CDE ∴≌ BH CD ∴=（2）。

中考数学总复习《(特殊)平行四边形的动点问题》专题训练(附答案)

中考数学总复习《（特殊）平行四边形的动点问题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，ab ≠0），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．2．（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，PF=6，AEP △的面积为1S ，CFP 的面积为2S ，则12S S +=________；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21S S >），求PBD △的面积（用含1S 、S的代数式表示）；2（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作//EF AD，HG//AB与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为1S，四边形PGCF的面积为2S（其中21），S S求PBD△的面积（用含1S、2S的代数式表示）；（4）如图4 点A B C D把O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC BD 上）设PB PC BC围成的封闭图形的面积为1S PA PD AD围成的封闭图形的面积为2S PBD△的面积为3S PAC△的面积为4S．根据你选的点P的位置直接写出一个含有1S2S3S4S的等式（写出一种情况即可）．3．已知直线y=x＋4与x轴y轴分别交于A B两点∠ABC=60°BC与x轴交于点C．（1）试确定直线BC的解析式.（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A C重合）同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C A重合) 动点P的运动速度是每秒1个单位长度动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S P点的运动时间为t秒求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围.（3）在（2）的条件下当△APQ的面积最大时y轴上有一点M 平面内是否存在一点N 使以A Q M N为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出N点的坐标；若不存在请说明理由.4．如图在等腰梯形ABCD中AB∥DC AB＝8cm CD＝2cm AD＝6cm．点P 从点A出发以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发以1cm/s的速度沿CD DA向终点A运动（P Q两点中有一个点运动到终点时所有运动即终止）．设P Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时求t的值；（2）试问是否存在这样的t 使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在求出这样的t的值若不存在请说明理由．5．如图在平面直角坐标系中以坐标原点O为圆心2为半径画⊙O P是⊙O上一动点且P在第一象限内过点P作⊙O的切线与轴相交于点A与轴相交于点B．(1)点P在运动时线段AB的长度也在发生变化请写出线段AB长度的最小值并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q使得以Q O A P为顶点的四边形时平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由．6．如图已知长方形ABCD中AD＝6cm AB＝4cm 点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动同时点Q在线段BC上由点B向点C运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等经过1秒后△AEP与△BPQ是否全等请说明理由并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等运动时间为t秒设△PEQ的面积为Scm2请用t的代数式表示S；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点Q的运动速度为多少时能够使△AEP与△BPQ全等？7．如图长方形ABCD中5cm,8cm==现有一动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB BC----返回到点A停止设点P运动的时间为t秒．长方形的边A B C D At=时BP=___________cm；(1)当2(2)当t为何值时连接,,△是等腰三角形；CP DP CDP(3)Q为AD边上的点且6DQ=P与Q不重合当t为何值时以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与DCQ全等．8．如图平行四边形ABCD中6cmB∠︒G是CD的中点E是BC==60AB=8cm边AD上的动点EG的延长线与BC的延长线交于点F连接CE DF．(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)①AE=______时四边形CEDF是矩形；②AE=______时四边形CEDF是菱形．9．在平面直角坐标系中点A在第一象限AB⊥x轴于点B AC⊥y轴于点C已知点B（b0）C（0 c）其中b c满足|b﹣8|6+-=0．c(1)直接写出点A坐标．(2)如图2 点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动同时点E从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线BA运动过点E作GE⊥y轴于点G设运动时间为t 秒当S四边形AEGC＜S△DEG时求t的取值范围．(3)如图3 将线段BC平移使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上点C的对应点为N连接BN交y轴于点P当OM＝4OP时求点M的坐标．10．如图在平面直角坐标系中点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动同时动点C从点B出发沿12．在四边形ABCD中//,90,10cm,8cm∠=︒===点P从点A出发沿折线AB CD BCD AB AD BCABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发当一个点到达终点时另一点也停止运动设运动时间为()s t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时求四边形PBQD的周长；（3）在点P Q的运动过程中是否存在某一时刻使得BPQ的面积为220cm若存在请求出所有满足条件的t的值；若不存在请说明理由．13．在平面直角坐标系中矩形OABC的边OA任x轴上OC在y轴上B（4 3）点M从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动设△AOM的面积为S 点M运动的时间为t．（1）当0＜t＜3时AM＝当7＜t＜10时OM＝；（用t的代数式表示）（2）当△AOM为等腰三角形时t＝；（3）当7＜t＜10时求S关于t的函数关系式；（4）当S＝4时求t的值．14．如图1 在平面直角坐标系中正方形OABC的边长为6 点A C分别在x y 正半轴上点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点且OP＝t连结PC将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ连结CQ取CQ中点M．（1）当t＝2时求Q与M的坐标；（2）如图2 连结AM以AM AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM 的面积为S．①用含t的代数式表示S（0<t<6）．②当N落在△CPQ的直角边上时求∠CPA的度数；（3）在（2）的条件下连结AQ记△AMQ的面积为S'若S＝S'则t＝（直接写出答案）．15．如图平面直角坐标系中矩形OABC的顶点B的坐标为（7 5）顶点A C 分别在x轴y轴上点D的坐标为（0 1）过点D的直线与矩形OABC的边BC交于点G 且点G不与点C重合以DG为一边作菱形DEFG 点E在矩形OABC的边OA 上设直线DG的函数表达式为y=kx+b（1）当CG=OD时求直线DG的函数表达式；（2）当点E的坐标为（5 0）时求直线DG的函数表达式；（3）连接BF 设△FBG的面积为S CG的长为a 请直接写出S与a的函数表达式及自变量a 的取值范围．16．如图在四边形ABCD 中 //AD BC 3AD = 5DC = 42AB = 45B ∠=︒ 动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动设运动的时间为s t .（1）求BC 的长.（2）当//MN AB 时求t 的值（3）试探究：t 为何值时 MNC ∆为等腰三角形？参考答案：1．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠CAD =∠ACB ∠AEF =∠CFE∵EF 垂直平分AC 垂足为O∴OA =OC∴△AOE ≌△COF∴OE =OF∴四边形AFCE 为平行四边形又∵EF ⊥AC∴四边形AFCE 为菱形设菱形的边长AF =CF =x cm 则BF =（8﹣x ）cm在Rt △ABF 中 AB =4cm由勾股定理得42+（8﹣x ）2=x 2解得x =5iii ）如图3 当P 点在AB 上 Q 点在CD 上时 AP =CQ 即12﹣a =b 得a +b =12．综上所述 a 与b 满足的数量关系式是a +b =12（ab ≠0）．2．（1）过P 点作AB∥MN∵S 矩形AEPM +S 矩形DFPM =S 矩形CFPN +S 矩形DFPM =S 矩形ABCD -S 矩形BEPN又∵11,,22AEP CFP AEPM CFPN SS S S ==矩形矩形 ∴1==26=62AEP CFP S S ⨯⨯， ∴1212.S S +=（2）如图连接PA PC在APB △中因为点E 是AB 中点可设APE BPE S S a ==同理 ,,BPF CPF CPG DFG DPH APH S S b S S c S S d ======所以APE APH CPF AEPH PFCG CPG S S SS a b d S S c =+++=++++四边形四边形 BPE BPF DPH DPH EDFP HPGD S S S S S S a b c d +=+++=+++四边形四边形．所以12EBFP HPGD AEPH PFCG S S S S S S +++=+四边形四边形四边形四边形所以1212ABD ABCD SS S S ==+ 所以1DPH APH S S S a ==-． ()()()1121121PBD ABD BPE PDH S S S S S S S S a S a S S =-++=+-++-=-．（3）易证四边形EBGP 四边形HPFD 是平行四边形．EBP SHPD S ．()()121211122222ABD ABCD EBF HPD EBP HPD SS S S S S S S S S ==+++=+++ ()()12112FBD ABD EBP HPD S S S S S S S =-++=-．（4）试题解析：（1）由已知得A 点坐标（﹣4﹐0） B 点坐标（0﹐43﹚ ∵OB=3OA ∴∠BAO=60° ∵∠ABC=60° ∴△ABC 是等边三角形 ∵O C=OA=4 ∴C 点坐标﹙4 0﹚ 设直线BC 解析式为y kx b =+∴ ∴直线BC 的解析式为343y x =-+； ﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时作QH⊥x 轴 ∵QH CQ OB CB= ∴2843QH t = ∴QH=3t ∴S △APQ =AP•QH=132t t ⋅=232t ﹙0＜t≤4﹚ 同理可得S △APQ =t·﹙833t -﹚=23432t t -+﹙4≤t<8﹚∴223(04)2{343?(48)2t t S t t t <≤=-+≤<；（3）存在如图当Q 与B 重合时四边形AMNQ 为菱形此时N 坐标为（4 0）其它类似还有（﹣4 8）或（﹣4 ﹣8）或（﹣4 ）．4．（1）53（2）存在使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半．（1）过D 作DE⊥AB 于E 过C 作CF⊥AB 于F 通过Rt ADE Rt BCF ∆≅∆ 得AE BF = 若四边形APQD 是直角梯形则四边形DEPQ 为矩形通过AP AE EP =+ 代入t 值即可求解（2）假设当时通过点Q 在CD 上或在AD 上两种情况进行讨论求解5．（1）线段AB 长度的最小值为4理由如下：连接OP如图② 设四边形APQO 为平行四边形因为OQ PA ∥ 90APO ︒∠=所以90POQ ︒∠= 又因为OP OQ =所以45PQO ︒∠= 因为PQ OA ∥所以PQ y ⊥轴．设PQ y ⊥轴于点H在Rt △OHQ 中根据2,45OQ HQO ︒=∠= 得Q 点坐标为（2,2-）所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-）．6．(1)∵长方形ABCD∴∠A =∠B =90°∵点E 为AD 的中点 AD =6cm∴AE =3cm又∵P 和Q 的速度相等可得出AP =BQ =1cm BP =3 ∴AE =BP在△AEP 和△BQP 中∴y=xy 3=4-y⎧⎨⎩ 解得：x=1y=1⎧⎨⎩ (舍去). 综上所述,点Q 的运动速度为32cm /s 时能使两三角形全等.7．(1)1(2)54t =或4或232 (3) 3.5t = 5.5或10（1）解：动点P 的速度是2cm/s∴当2t =时 224AP =⨯=∵5cm AB =∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时 CDP △是等腰三角形∴PD CP =在长方形ABCD 中 ,90AD BC A B =∠=∠=︒∴()HL DAP CBP ≌∴AP BP =∴1522AP AB ==∵动点P 的速度是2cm/s∵90D5DP CD == 2AB CB CD t ++=∴要使一个三角形与DCQ 全等①当点P运动到1P时16△≌△DCQ CDPCP DQ==此时1∴点P的路程为：1527AB BP+=+=∴72 3.5t=÷=；②当点P运动到2P时26△≌△CDQ ABPBP DQ==此时2∴点P的路程为：25611+=+=AB BP∴112 5.5t=÷=③当点P运动到3P时35△≌△CDQ BAP==此时3AP DQ∴点P的路程为：3585220AB BC CD DP+++=+++=∴20210t=÷=④当点P运动到4P时即P与Q重合时46△≌△CDQ CDPDP DQ==此时4∴点P的路程为：4585624+++=+++=AB BC CD DPt=÷=此结果舍去不符合题意∴24212综上所述t的值可以是： 3.5t= 5.5或10．8．（1）四边形ABCD是平行四边形∥∴BC AD∴∠=∠FCG EDGG是CD的中点∴=CG DG△中在CFG△和DEGCFG∴≅(ASA)DEGFG EG∴=又CG DG=∴四边形CEDF是平行四边形．2）①当5AE=如图过60B∠=12BM∴=5AE=DE AD∴=在MBA△BM DEB=⎧⎪∠=∠⎨⎪(SAS)MBA EDC∴≅CED AMB∴∠=∠四边形CEDF是平行四边形∴平行四边形CEDF②当2AE cm =时四边形CEDF 是菱形理由如下：四边形ABCD 是平行四边形8AD ∴= 6CD AB == 60CDE B ∠=∠=︒2AE =6DE AD AE ∴=-=DE CD ∴=CDE ∴∆是等边三角形CE DE ∴=四边形CEDF 是平行四边形∴平行四边形CEDF 是菱形故答案为：2；9．（1）解：∵|b ﹣8|6c +-=0∴b -8=0 c -6=0∴b =8 c =6∵B （b 0） C （0 c ）∴B （8 0） C （0 6）又∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴∴A (8 6)；（2）∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴 GE ⊥y 轴∴四边形AEGC 是矩形设运动时间为t 秒∴OD =t AE =2t DG =6+2t-t =6+t∴S 四边形AEGC =8×2t =16t S △DEG =12×（6+t ）×8=4t +242∵OM＝4OP∴-m=-4×62m解得m=-12综上所述m的值为-4或-12．10．（1）∵点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）∴OA=4 OB=8∵点C运动到线段OB的中点∴OC=BC=12OB=4∵动点C从点B出发沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动∴2t=4解之：t=2；∵PE=OA=4 动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6∴点E（6 0）（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形∴OC=PD OC∥PD当点C在y轴的负半轴上时③如果点M在DE上时24163(3)22t tt--=++解得423t=+④当N在CE上时28(3)8214tt tt-⋅++-=-+解得12t=综上分析可得满足条件的t的值为：t1＝28﹣16 3t2＝2 t3＝4+2 3t4＝12．11．(1) ()30D，,()1,3E;(2)933022933222572222t tS t tt t⎧⎛⎫-+≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩＜（3）198s解：（1）3922y x=-+当y=0时39=022x-+则x=3 即点()30D，当y=3时39=322x-+则x=1 故点()1,3E故：()30D，,()1,3E；（2）如图1 ①当点P在OD段时此时0≤t＜32119()2223233S PD OC t t=⨯⨯=⨯-⨯=-+；②当点P在点D时此时t=32此时三角形不存在0S=；''6ADP BEP S S -=-30232t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎫<≤⎪；即当点P 在边AB 上运动且PD PE +的值最小时运动时间t 为198s ． 12．（1）16cm ；（2）(8813)cm +；（3）53t =秒或395秒解：（1）如图1过A 作AM DC ⊥于M在四边形ABCD 中 //AB CD 90BCD ∠=︒//AM BC ∴∴四边形AMCB 是矩形10AB AD cm == 8BC cm =8AM BC cm ∴== 10CM AB cm ==在Rt AMD ∆中由勾股定理得：6DM cm =10616CD DM CM cm cm cm =+=+=；（2）如图2当四边形PBQD 是平行四边形时 PB DQ =即1032t t -=解得2t =此时4DQ = 12CQ = 22413BQ BC CQ =+=所以()28813PBQD C BQ DQ =+=+；1003t 14(102BPQ BP BC ==解得53t =；P 在BC 上时 63t1(32BP CQ t =此方程没有实数解；CD 上时：在点Q 的右侧54(34PQ BC =6< 不合题意若P 在Q 的左侧如图6 即3485t <14(534)202BPQ S PQ BC t ∆==-= 解得395t =；综上所述当53t =秒或395秒时 BPQ ∆的面积为220cm ． 13．（1）t 10-t ；（2）5；（3）S =20-2t ；（4）2或8．解：（1）当0<t <3时点M 在线段AB 上即AM =t 当7＜t <10时点M 在线段OC 上 OM =10-t故填：t 10-t ；（2）∵四边形ABCO 是矩形 B （4 3）∴OA =BC =4 AB =OC =3∵△AOM 为等腰三角形∴只有当MA =MO 此时点M 在线段BC 上 CM =BM =2 ∴t =3+2=5故填：5；（3）∵当7<t <10时点M 在线段OC 上∴114(10)20222S OA OM t t =⋅⋅=⨯⨯-=-；（4）①当点M 在线段AB 上时 4=12×4t 解得t =2；②当点M 在线段BC 上时 S =6 不符合题意；当点M 在线段OC 上时 4=20-2t 解得t =8．∴OD ＝OP +PD ＝8∴Q （8 2）∵M 是CQ 的中点 C （0 6）∴M （4 4）；（2）①∵△COP ≌△PDQ∴OP ＝OQ ＝t OC ＝PD ＝6∴OD ＝t +6∴Q （t +6 t ）∵C （0 6）∴M （62t + 62t +）当0＜t ＜6时 S ＝AP ×y M ＝（6﹣t ）×62t +＝2362t -； ②分两种情况：a 当N 在PC 上时连接OB PM 如图2﹣1所示：∵点M 的横纵坐标相等∴点M 在对角线BD 上∵四边形OABC 是正方形∴OC ＝OA ∠COM ＝∠AOM∴∠MPA ＝12（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠CPA ＝67.5﹣45＝22.5°；综上所述当点N 在△CPQ 的直角边上时 ∠CPA 的度数为112.5°或22.5°；（3）过点M 作MH ⊥x 轴于点H 过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∵AMQ AHM AGQ MHGQ S S S S =--△△△梯形∴S '＝12（62t ++t ）•62t +﹣12（6﹣62t +）•62t +﹣12t •t ＝3t ①当0＜t ＜6时即点AP 在点A 左侧时如图3所示：∵S ＝S '∴2362t -＝3t 解得：t ＝﹣3+35 或t ＝﹣3﹣35（舍去）；②当t ＞6时即点P 在点A 右侧时如图4所示：S ＝AP ×y M =（t ﹣6）×62t +＝2362t - ∵S ＝S '将D （0 1）G （10 5）代入y=kx+b 得：1105b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：21051k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴当CG=OD 时直线DG 的函数表达式为y=2105x+1．（3）设DG 交x 轴于点P 过点F 作FM⊥x 轴于点M 延长MF 交BC 于点N 如图所示．∵DG∥EF∴∠FEM=∠GPO．∵BC∥OA∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．在△DCG 和△FME 中90DCG FME DGC FEMDG FE⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△DCG≌△FME（AAS ）∴FM=DC=4．∵MN⊥x 轴∴四边形OMNC 为矩形在Rt△CDH 中由勾股定理可得： HC=22543-=∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；（2）如图② 过D 作DG∥AB 交BC 于G 点则四边形ADGB 为平行四边形 ∴BG=AD=3∴GC=BC−BC=10−3=7由题意得当M N 运动t 秒后 CN=t CM=10−2t∵AB∥DG MN∥AB∴DG∥MN∴∠NMC=∠DGC又∵∠C=∠C∴△MNC ~△GDC∴CN CM CD CG=, ∴10257tt -=解得t=5017；（3）第一种情况：当NC=MC 时如图③22∵∠C=∠C∠MFC=∠DHC=90°∴△MFC~△DHC∴FC MCHC DC=即：1 102253tt-=解得：t=6017；综上所述当t=103t=258或t=6017时△MNC为等腰三角形.。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形复习课件(共64张PPT)

第一章
特殊平行四边形
章末复习
第一章特殊平行四边形
章末复习
知识框架
归纳整合
素养提升
中考链接
第一章特殊平行四边形
知识框架
菱形
正方形
矩形
菱形、矩形、正
方形之间的关系
特殊平行四边形
第一章特殊平行四边形
知识框架
定义
有一组邻边相等的平行
四边形叫作菱形
四条边相等
性质
对角线互相垂直
菱形
对称性
既是轴对称图形, 又是中心对称图形
第一章特殊平行四边形
归纳整合
相关题1-2
如图1-Z-4, 在菱形ABCD中, 对角线AC, BD相
交于点O, 过点D作对角线BD的垂线交BA的
延长线于点E. (1)求证：四边形ACDE是平行
四边形；(2) 若 AC = 8 ,
△ADE的周长.
BD = 6 ,
求
第一章特殊平行四边形
归纳整合
分析
①
√
∵正方形ABCD的边长为6, CE=2DE, ∴DE=2, CE=4.
又∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置,
∴AF=AD=AB=6, ∠AFE=∠D=∠B=90°, 又AG=AG,故Rt△ABG和Rt△AFG
全等, ∴BG=GF
②
√
设 BG=x, 则GF=x, CG=BC-BG=6-x, 在Rt△CGE中, GE=x+2, EC=4,
过点H作PQ∥EF, 分别交AB, CD于点P, Q, 得到四边形MNQP, 此
时, 他猜想四边形MNQP是菱形, 请在图1-Z-2的框中补全他的证明
思路．
第一章特殊平行四边形

中考数学专题训练：特殊平行四边形(附参考答案)

中考数学专题训练：特殊平行四边形（附参考答案）1．如图，在矩形ABCD和△BDE中，点A在BE上．若矩形ABCD的面积为20，△BDE的面积为24，则△ADE的面积为( )A．10 B．12C．14 D．162．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OM⊥AC，交BC于点M，过点M作MN⊥BD，垂足为点N，则OM＋MN的值为( )A．245B．165C．125D．653．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，E是AC 的中点，则BE的长为( )A．2 B．52C．√5D．34．关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形5．下列选项中能使□ABCD成为菱形的是( )A．AB＝CD B．AB＝BCC．∠BAD＝90°D．AC＝BD6．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC－CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形7．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( )A．2 B．52C．3 D．48．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EF.若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为( )A．2 B．3C．4 D．59．如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为( )A．2 B．4C．5 D．610．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角．顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→c ③a→b→c，则正确的是( )A．仅①B．仅③C．①②D．②③11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是( )A．2 B．√5C．3√22D．12512．如图，已知F，E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于点P，则下列结论成立的是( )A．BE＝12AE B．PC＝PDC．∠EAF＋∠AFD＝90°D．PE＝EC13．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是( )A．1 B．√2C．√3D．214．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为( )A．√6B．√62C．2√2D．2√315．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC和AC的中点，请添加一个条件________________________，使四边形BEFD为矩形．(填一个即可)16．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.若AC＝12，BD＝16，则OE的长为______．17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的中点，点FAC，连接EF.若AC＝10，则EF＝______．在对角线AC上，且AF＝1418．如图，E是矩形ABCD边AD上一点，F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为_____．19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为点E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为______．20．如图，菱形ABCD的边长为6 cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2√3 cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为_____cm.21．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE 的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于______．22．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到正方形AB1C1D1，则阴影部分的面积是_________．23．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于______．24．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是_______.参考答案1．C 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．B 9．B 10．C 11．D 12．C 13．C 14．B15．AB⊥BC(答案不唯一) 16．10 17．52 18.3 19．12520．221．√19422．2－2√3323．2α 24．8√5。

中考数学复习专题特殊平行四边形

2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》评卷人得分一．选择题（共12小题）1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．138．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．2510．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4评卷人得分二．填空题（共6小题）13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2= ．18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF ⊥BD于F，则PE+PF的值为．评卷人得分三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD 于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB 于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴A、B、D都不正确．∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故C正确．故选C．3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选D．4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD【解答】解：如图：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；故选D．5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．13【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，同理：AF=BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA===8，∴AE=2OA=16．故选：A．8．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定【解答】解：过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，则∠4=∠5=90°=∠AMF∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，∴四边形AMFD是矩形，∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，同理HN=AB=2，HN∥AB，∴∠1=∠2，∵HG⊥EF，∴∠HOE=90°，∴∠1+∠GHN=90°，∵∠3+∠GHN=90°，∴∠1=∠3=∠2，即∠2=∠3，∠4=∠5，∴△FME∽△HNG，∴==∴EF：GH=AD：CD=3：2．故选B．9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．25【解答】解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===25，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，=BC•AC=AB•CP，此时，S△ABC即×20×15=×25•CP，解得CP=12．故选A．10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°∴∠ABF=∠BAF=40°∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°∴∠CDF=60°．故选D．11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF=PF，∴F为PG中点．又∵由题可知，∠BEP=90°，∴EF=PG，∵PF=PG，∴EF=PF，∴∠FEP=∠EPF，∵∠BEP=∠EPC=90°，∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°﹣70°）=55°，∴∠FPC=55°；故选：A．12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：连接BD，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴MB=，OF=，∵OE=OF，∴MB：OE=3：2，∴④正确；故选：C．二．填空题（共6小题）13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于75 度．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故答案为：75．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为4．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，=底×高=2×2=4，S菱形ABCD故答案为4．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是 3 ．【解答】解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，∴OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE=8﹣x，在Rt△CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，∴DE的长是3．故答案为：3．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），∵点G为AB的中点，∴BG=AB=CD=FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，∴∠EGF=∠GEB，∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，∴BO=BD=BC，∵E为OC中点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG=∠EPG=90°∵GP∥BE，G为AB中点，∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG=EG=AB，∴EG=EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF=BE，∵GP=BE=GF，∴GP=FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE=∠FPE=90°在△GPE和△FPE中，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP=∠FEP，∴EA平分∠GEF，即④成立．故答案为：①②④．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2= 30°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，∵AB=BE，∠ABE=90°，∴∠BAE=∠AEB=45°，∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB，∵∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，故答案为：30°．18．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为．【解答】解：连接OP ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC ，BD=2BO=2DO ，AC=BD ，∴OA=OD=OC=OB ，∴S △AOD =S △DOC =S △AOB =S △BOC =S 矩形ABCD =×6×8=12，在Rt △BAD 中，由勾股定理得：BD===10， ∴AO=OD=5，∵S △APO +S △DPO =S △AOD ，∴×AO ×PE+×DO ×PF=12， ∴5PE+5PF=24，PE+PF=，故答案为：．三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．【解答】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AB=AD，又∵AE∥CD，CE∥AB∴四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt△ABC中，AC===8．∵平行四边形ADCE是菱形，∴CO=OA，又∵BD=DA，∴DO是△ABC的中位线，∴BC=2DO．又∵DE=2DO，∴BC=DE=6，∴S===24．菱形ADCE20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD 于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．【解答】答：四边形BFDE的形状是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB 于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．【解答】证明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，∴四边形DEFG是平行四边形，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△DGB和△DEC中，，∴△DGB≌△DEC（AAS），∴DG=DE，∵四边形DEFG是平行四边形，∴四边形DEFG是菱形，∴GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．【解答】（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，∴∠AEC=∠AFC=90°，又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．（2）结论：MN∥BC且MN=BC．证明：∵四边形AECF为矩形，∴对角线相等且互相平分，∴NE=NC，∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，∴MN∥BC，又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），∴N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则MN是△ABC的中位线，MN∥BC，1而MN∥BC，M即为点M，1所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）∴MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，所以MBCK是平行四边形，MK=BC，所以MN=BC（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．理由：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∵EF∥AC，∴AC⊥CB，∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．【解答】（1）△BEC是直角三角形：理由是：∵矩形ABCD，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE===，同理BE=2，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形．（2）解：四边形EFPH为矩形，证明：∵矩形ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵∠BEC=90°，∴平行四边形EFPH是矩形．（3）解：在Rt△PCD中FC⊥PD，由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，∴CF==，∴EF=CE﹣CF=﹣=，∵PF==，∴S=EF•PF=，矩形EFPH答：四边形EFPH的面积是．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，∴BD=AC，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。

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2.下列说法错误的是（）.
A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等
C有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）.
A2对B、4对C、6对D、8对
4.已知矩形的一条对角线长为10cm两条对角线的一个交角为120。，则矩形的边长分别为
由性质2有AO=BO=CO=d0AC=1BD因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形2 2
斜边上的中线等于斜边的一半.
例1、已知：如图，矩形ABCD勺两条对角线相交于点0,/AOB=0°,AB=4cm求矩形对角线的长.
例2、已知：如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长
4-31（b））.求证：EF=BF，OF=CF（4）如图4-31（c），若将矩形沿直线MN折叠，使顶点B与D重合，M N交AD于M交BC于N.求折痕MN长.
3矩形的判定：
判定一：有一个角是90。的平行四边形
判定二：有三个内角是直角的四边形
判定三：对角线相等的平行四边形
由判定一、三可知要证明一个四边形是矩形，一般先证明它是平行四边形，再证明有一个角是直角。
cmcm，cm，cm
5. 如图，矩形ABCD中,AE±BD垂足为E,/DAE=Z
6、已知如图，0是矩形ABCD寸角线的交点，AE平分/BAD/AOD=120，求/AEO勺度数.
7、如图（a），在矩形ABCD中，两条对角线交于点0,/A0&120° ,AB=4.求：
（1）矩形对角线长；（2）BC边的长；（3）若过0垂直于BD的直线交AD于E,交BC于F（图
专题一：特殊的平行四边形
矩形菱形正方形
一、学法指引
矩形菱形正方形是特殊的平行四边形，因此它们既具有平行四边形的一般性质，又具有自己的特殊性质，要求掌握各自的性质，判定，并能运用性质、判定解决相关问题同时注意它们的包含与被包含的关系。
二、探究与思考
1）探究矩形的定义，性质，判定
1矩形的定义
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
例3、如图，四边形ABCC中，AC丄BD于点0,EF// AC// HG EH// BD// FQ点E、F、G H分
别在四边形的边上。
求证：FH=EG
讲中练
1.填空：（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是.
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四
个角的度数分别为、、、.
例4、如图，在△ABC中，点D在AB上，且AD=CD=BDDE DF分别是/BDC/ADC的平分线。四边形FDEC是矩形吗？为什么？
2矩形的特殊性质
因为平行四边形的对角相等，邻角互补，而矩形有一个角是直角，所以矩形的四个角都是直角
矩形性质1矩形的四个角都是直角.
如图，在矩形ABCD中AC BD相交于点0,显然△ABC^A DCB所以AC=B性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.